disciplina -aj

Prévia do material em texto

d) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(x^2 + 1) \) é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
10. **Qual é o valor de \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) \( e - 1 \) 
 c) \( \ln(e) \) 
 d) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
 **Resposta: d) \( \ln(e) - \ln(1) \)** 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) de 1 a \( e \) é \( \ln(x) \) avaliado em 1 e \( e \), 
então \( \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \). 
 
11. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} (x^2 \sin(x)) \) quando \( x = 0 \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) -1 
 d) 2 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** A segunda derivada de \( x^2 \sin(x) \) é \( 2 \sin(x) + x^2 \cos(x) \), então 
em \( x = 0 \), temos \( 2 \sin(0) + 0 \cdot \cos(0) = 0 \). 
 
12. **Qual é o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** Esta é uma série geométrica com a soma \( \frac{a}{1 - r} \), onde \( a = 
\frac{1}{2} \) e \( r = \frac{1}{2} \), então a soma é \( \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \). 
 
13. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) 2 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) de 0 a \( \frac{\pi}{2} \) é \( -\cos(x) \) avaliado em 0 
e \( \frac{\pi}{2} \), então \( -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = 0 - (-1) = 1 \). 
 
14. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (e^{2x} \sin(x)) \)?** 
 a) \( e^{2x} \sin(x) + 2e^{2x} \cos(x) \) 
 b) \( e^{2x} \cos(x) + 2e^{2x} \sin(x) \) 
 c) \( 2e^{2x} \sin(x) \) 
 d) \( e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) \) 
 **Resposta: a) \( e^{2x} \sin(x) + 2e^{2x} \cos(x) \)** 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, a derivada é \( e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cdot 2 \ 
 
cos(x) \). 
 
15. **Qual é o valor de \( \frac{d^2}{dx^2} (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) \) quando \( x = 1 \)?** 
 a) 4 
 b) 6 
 c) 2 
 d) 8 
 **Resposta: a) 4** 
 **Explicação:** A segunda derivada é \( 12x - 24 \), então em \( x = 1 \), temos \( 12(1) - 24 = 
12 - 24 = -12 \). 
 
16. **Qual é a solução da equação \( \log_2(x) + \log_2(x - 1) = 3 \)?** 
 a) 2 
 b) 4 
 c) 8 
 d) 16 
 **Resposta: b) 4** 
 **Explicação:** Usando a propriedade dos logaritmos, \( \log_2((x)(x - 1)) = 3 \), então \( x(x 
- 1) = 2^3 = 8 \), resolvendo a equação quadrática \( x^2 - x - 8 = 0 \), obtemos \( x = 4 \). 
 
17. **Qual é o valor de \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx \)?** 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{1}{1}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2} \) é \( -\frac{1}{x} \), então de 1 a 2, é \( -
\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). 
 
18. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \)?** 
 a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( -\frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta: a) \( -\frac{1}{x^2} \)** 
 **Explicação:** A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \). 
 
19. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) \(\pi\) 
 c) 2 
 d) \(\pi - 1\) 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) de 0 a \( \pi \) é \( \sin(x) \) avaliado em 0 e \( \pi 
\), então \( \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0 \). 
 
20. **Qual é a solução da equação \( x^3 - 4x = 0 \)?** 
 a) 0 e \(\pm 2\)