teste e prova -O

Prévia do material em texto

15. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (x^2 \ln(x)) \)?** 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(2x \ln(x) + x^2\) 
 c) \(2x \ln(x) - x\) 
 d) \(x \ln(x) + x\) 
 **Resposta: a)** 
 
 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, a derivada de \(x^2 \ln(x)\) é \(2x \ln(x) + x\). 
 
16. **Qual é a fórmula de Euler para um número complexo \(z = re^{i\theta}\)?** 
 a) \(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\) 
 b) \(e^{i\theta} = \cos(\theta) - i \sin(\theta)\) 
 c) \(e^{i\theta} = \cos(\theta) \cdot i \sin(\theta)\) 
 d) \(e^{i\theta} = \cos(\theta) \cdot \sin(\theta)\) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** A fórmula de Euler é \(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\). 
 
17. **Qual é o valor da integral dupla \(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x y \, dx \, dy\)?** 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta: b)** 
 **Explicação:** Calculando a integral em ordem de \(x\) e depois \(y\), obtemos 
\(\frac{1}{6}\). 
 
18. **Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} (e^x \sin(x)) \)?** 
 a) \(e^x (\sin(x) + \cos(x))\) 
 b) \(e^x (\sin(x) - \cos(x))\) 
 c) \(e^x (\cos(x) - \sin(x))\) 
 d) \(e^x (\cos(x) + \sin(x))\) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, a derivada é \(e^x (\sin(x) + \cos(x))\). 
 
19. **Qual é o valor de \(\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \cos(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(1\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\), a integral se transforma 
em \(\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx\), resultando em \(\frac{1}{2}\). 
 
20. **Qual é o valor de \(\frac{d}{dx} (\ln(\cos(x)))\)?** 
 a) \(-\tan(x)\) 
 b) \(\tan(x)\) 
 c) \(-\sec(x)\) 
 d) \(\sec(x)\) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \(\ln(\cos(x))\) é \(-\tan(x)\). 
 
21. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(1\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{1 + x^2}\) é \(\arctan(x)\), então \(\int_{0}^{1} 
\frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}\). 
 
22. **Qual é o valor da série infinita \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)?** 
 a) 2 
 b) 1 
 c) \(\frac{3}{2}\) 
 d) 3 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Esta é uma série geométrica com a soma dada por \(\frac{a}{1 - r}\), onde 
\(a = 1\) e \(r = \frac{1}{2}\). A soma é \(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\). 
 
23. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} x e^x \, dx\)?** 
 a) \(e - 2\) 
 b) \(e - 1\) 
 c) \(1\) 
 d) \(e - 1 - \frac{1}{e}\) 
 **Resposta: a)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes, o resultado é \(e - 2\). 
 
24. **Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta: b)** 
 **Explicação:** A integral é a forma da função gamma \(\Gamma(2)\), que é igual a \(1!\), 
ou seja, \(1\). O valor é \(2\) porque a integral é \(\Gamma(2)\), que é \(1\), multiplicado por 
\(1!\). 
 
25. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) \(-\infty\) 
 **Resposta: a)**