Para calcular a integral da função \( f(x) = x^2 + 3 \) no intervalo \([1, 3]\) usando a regra dos retângulos à esquerda com \( n = 10 \), siga os passos abaixo: 1. Determine a largura dos retângulos: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 2. Calcule os pontos de amostragem: Os pontos de amostragem para os retângulos à esquerda são: \[ x_0 = 1, \quad x_1 = 1,2, \quad x_2 = 1,4, \quad x_3 = 1,6, \quad x_4 = 1,8, \quad x_5 = 2,0, \quad x_6 = 2,2, \quad x_7 = 2,4, \quad x_8 = 2,6, \quad x_9 = 2,8 \] 3. Calcule a soma das áreas dos retângulos: \[ \text{Soma} = f(x_0) \Delta x + f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + \ldots + f(x_9) \Delta x \] Onde \( f(x) = x^2 + 3 \): \[ \text{Soma} = (f(1) + f(1,2) + f(1,4) + f(1,6) + f(1,8) + f(2,0) + f(2,2) + f(2,4) + f(2,6) + f(2,8)) \cdot 0,2 \] Calculando cada \( f(x) \): - \( f(1) = 1^2 + 3 = 4 \) - \( f(1,2) = (1,2)^2 + 3 = 4,44 \) - \( f(1,4) = (1,4)^2 + 3 = 4,96 \) - \( f(1,6) = (1,6)^2 + 3 = 5,56 \) - \( f(1,8) = (1,8)^2 + 3 = 6,24 \) - \( f(2,0) = (2,0)^2 + 3 = 7 \) - \( f(2,2) = (2,2)^2 + 3 = 8,84 \) - \( f(2,4) = (2,4)^2 + 3 = 10,76 \) - \( f(2,6) = (2,6)^2 + 3 = 12,76 \) - \( f(2,8) = (2,8)^2 + 3 = 14,84 \) Agora, somando: \[ \text{Soma} = (4 + 4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7 + 8,84 + 10,76 + 12,76 + 14,84) \cdot 0,2 \] \[ \text{Soma} = 74,4 \cdot 0,2 = 14,88 \] 4. Calcule o erro relativo: O valor exato da integral é \( \frac{44}{3} \approx 14,67 \). O erro absoluto é: \[ \text{Erro absoluto} = |14,88 - \frac{44}{3}| \approx |14,88 - 14,67| = 0,21 \] O erro relativo é: \[ \text{Erro relativo} = \frac{\text{Erro absoluto}}{\text{Valor exato}} \cdot 100\% = \frac{0,21}{\frac{44}{3}} \cdot 100\% \approx \frac{0,21 \cdot 3}{44} \cdot 100\% \approx 1,43\% \] Portanto, o valor aproximado da integral é \( 14,88 \) e o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato é aproximadamente \( 1,43\% \).