Análise Combinatória e Probabilidades (2)

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09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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Análise Combinatória
e Probabilidades
Hercules Sarti
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Adaptada por Antonio Fernando Silveira Alves
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APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Análise Combinatória e
Probabilidades, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâ­
mico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às)
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis­
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e­mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br,
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso,
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá­lo(a) no seu estudo são o suple­
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................................................................... 5
1 ANÁLISE COMBINATÓRIA............................................................................................................... 7
1.1 Combinações Simples ...................................................................................................................................................7
1.2 Arranjos Simples ..............................................................................................................................................................7
1.3 Permutações Simples .....................................................................................................................................................8
1.4 Fatorial .................................................................................................................................................................................8
1.5 Princípio Fundamental da Contagem......................................................................................................................9
1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações ....................................................................9
1.7 Combinações Complementares ............................................................................................................................. 11
1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ,( )n pAR ..........................................................................................................12
1.9 Permutações com Elementos Repetidos .............................................................................................................12
1.10 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................13
1.11 Atividades Propostas ................................................................................................................................................ 14
2 PROBABILIDADES............................................................................................................................... 19
2.1 A Teoria das Probabilidades ......................................................................................................................................19
2.2 Probabilidade Condicional .......................................................................................................................................22
2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total ...................................................................................................23
2.4 Independência de Eventos .......................................................................................................................................24
2.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................26
2.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................27
3 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES................................................................................... 37
3.1 Distribuição de Bernoulli ...........................................................................................................................................37
3.2 Distribuição Geométrica ............................................................................................................................................38
3.3 Distribuição Binomial ..................................................................................................................................................39
3.4 Distribuição de Poisson ..............................................................................................................................................40
3.5 Distribuição Normal .....................................................................................................................................................41
3.6 Aproximação da Binomial pela Normal ...............................................................................................................42
3.7 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................43
3.8 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................43
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................................... 47
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS..................................... 49
REFERÊNCIAS............................................................................................................................................. 55
ANEXO............................................................................................................................................................. 57
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INTRODUÇÃO
Este material busca apresentar a você, aluno(a) da área de Ciências Exatas, na modalidade a dis­
tância, um estudo a respeito da Análise Combinatória e Probabilidades como parte fundamental da área
de Matemática, relacionada com a formação para a disciplina de Estatística, que será apresentada nos
próximos módulos.Os Problemas de Contagem que dão origem à Análise Combinatória são conceitos que antecedem,
na maioria dos livros, os estudos relacionados com a Teoria das Probabilidades. Os conhecimentos de
probabilidade são fundamentais para estudos estatísticos, visto que as pesquisas trabalham com possi­
bilidades.
Em Combinatória veremos, inicialmente, os conteúdos referentes a Fatorial, Combinações, Arranjos
e Permutações. Em continuidade, estudaremos as Combinações Complementares, os Arranjos com Re­
petição e as Permutações com Elementos Repetidos. Numa segunda etapa, faremos o estudo da Teoria
das Probabilidades, incluindo a Probabilidade Condicional, a Independência de Eventos e os Teoremas
da Multiplicação e da Probabilidade Total. Completando o estudo das Probabilidades, iremos trabalhar
com as Distribuições de Probabilidades, destacando as Distribuições de Poisson, Binomial e Normal.
Espera­se que, com o término deste módulo, você tenha atingido os objetivos propostos para esta
disciplina, e que ela contribua de forma significativa para a sua formação.
Hercules Sarti
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ANÁLISE COMBINATÓRIA1
Caro(a) aluno(a), neste capitulo iremos tra­
tar dos problemas de contagem, que são a base
da Análise Combinatória.
A Análise Combinatória visa a desenvol­
ver métodos que permitam contar o número de
elementos de um conjunto, sendo que esses ele­
mentos são agrupamentos formados sob certas
condições.
Os agrupamentos a serem estudados divi­
dem­se em Permutações, Arranjos e Combina­
ções.
Neste momento, queremos destacar que
a realização de uma leitura atenta, detalhada e
minuciosa é um item fundamental para um bom
encaminhamento da estratégia de resolução a ser
empregada em cada problema.
1.1 Combinações Simples
Seja A um conjunto com n elementos. Os
subconjuntos de A com p elementos constituem
agrupamentos que são chamados combinações
dos n elementos de A, p a p. Nas combinações, os
agrupamentos diferem entre si apenas pela natu­
reza de seus elementos.
Exemplo 1: Se A = {1, 3, 5, 7}, são combina­
ções dos 4 elementos de A, 3 a 3, os agrupamen­
tos:
{1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7} e {1, 5, 7}.
1.2 Arranjos Simples
Se A é um conjunto com n elementos, as
sucessões com p elementos distintos, escolhidos
em A, constituem agrupamentos que são chama­
dos arranjos dos n elementos de A, p a p. Nos ar­
ranjos, os agrupamentos diferem entre si apenas
pela ordem de seus elementos.
Dicionário
Arranjo: s.m. Boa disposição, ordem.
Em matemática: as várias maneiras que se pode
formar um certo número de quantidades, reunin­
do­as em qualquer ordem, duas a duas, três a três
etc.
Observe que no arranjo e na combinação iremos
utilizar apenas parte dos elementos do conjunto
dado.
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Exemplo 2: Se A = {1, 3, 5, 7}, os arranjos dos
4 elementos de A, 3 a 3, são as seguintes suces­
sões com 3 elementos:
(1, 3, 5), (1, 5, 3), (3, 1, 5), (3, 5, 1), (5, 1, 3), (5, 3, 1)
(1, 3, 7), (1, 7, 3), (3, 1, 7), (3, 7, 1), (7, 1, 3), (7, 3, 1)
(1, 5, 7), (1, 7, 5), (5, 1, 7), (5, 7, 1), (7, 1, 5), (7, 5, 1)
(3, 5, 7), (3, 7, 5), (5, 3, 7), (5, 7, 3), (7, 3, 5), (7, 5, 3).
Se A tem n elementos, as sucessões forma­
das com os n elementos de A, usando cada um
deles uma só vez em cada agrupamento, são
chamadas permutações dos n elementos de A.
Pode­se dizer que as permutações são arranjos
onde p = n.
Exemplo 3: Se A = {1, 3, 5, 7}, as permuta­
ções dos 4 elementos de A, são as sucessões com
4 elementos:
(1, 3, 5, 7), (1, 3, 7, 5), (1, 7, 3, 5), (1, 7, 5, 3), (1, 5, 3, 7), (1, 5, 7, 3),
(3, 1, 5, 7), (3, 1, 7, 5), (3, 7, 1, 5), (3, 7, 5, 1), (3, 5, 7, 1), (3, 5, 7, 1),
(5, 1, 3, 7), (5, 1, 7, 3), (5, 3, 1, 7), (5, 3, 7, 1), (5, 7, 1, 3), (5, 7, 3, 1),
(7, 1, 3, 5), (7, 1, 5, 3), (7, 3, 1, 5), (7, 3, 5, 1), (7, 5, 1, 3), (7, 5, 3, 1).
1.3 Permutações Simples
Olá pessoal, vocês já ouviram falar de fato­
rial?
Ao produto n (n 1) (n 2) 3 2 1⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅.
vamos representá­lo simplesmente por n! (lê­se:
n fatorial) com n ∈ N.
Exemplo 4: Observe os fatoriais a seguir:
Dicionário
Permuta: s.f. Troca, intercâmbio, permutação.
Sinônimos de permuta: comuta, mudança e troca.
Observe que, como o próprio significado demons­
tra, permuta significa uma troca, uma alteração na
posição, na ordem dos elementos e que nesta si­
tuação iremos utilizar todos os elementos do con­
junto dado.
1.4 Fatorial
8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
5! 5 4 3! 5 4 3 2 1 120= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
n! n (n 1)!= ⋅ −
(n 1)! (n 1) n!+ = + ⋅
(n 1)! (n 1) (n 2)!− = − ⋅ −
Observação: Vamos adotar como verdade
que 0! = 1.
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Os problemas de Análise Combinatória são,
basicamente, problemas de contagem. A aborda­
gem desses problemas é baseada num fato, de
fácil comprovação, denominado Princípio Fun­
damental da Contagem ou Regra do Produto.
Um acontecimento é composto de dois es­
tágios sucessivos e independentes. O primeiro
estágio pode ocorrer de m modos distintos; em
seguida, o segundo estágio pode ocorrer de n
modos distintos. Nessas condições, dizemos que
o número de maneiras distintas de ocorrer esse
acontecimento é igual ao produto m n⋅ .
Exemplo 5: Um estudante, ao se inscrever
no Concurso para Vestibular, deve escolher o Cur­
so e a Faculdade que deseja cursar. Sabe­se que
1.5 Princípio Fundamental da Contagem
existem cinco cursos possíveis: Engenharia, Medi­
cina, Odontologia, Administração e Direito. Cada
curso pode ser feito em três faculdades possíveis:
Estadual, Federal e Particular. Nessas condições,
qual o número total de opções que o estudante
pode fazer?
Resolução: Pelo Princípio Fundamental da
Contagem, usamos a regra do produto.
5 cursos x 3 faculdades = 15 opções de es­
colha.
Resposta: O estudante pode fazer 15 op­
ções.
1.6 Cálculo do Número de Arranjos, Permutações e Combinações
Atenção
Os arranjos são agrupamentos em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos
componentes.
,
!
( )!n p
n
A
n p
=
− ( , N, n p)n p ∈ ≥
As permutações são agrupamentos ordenados em que em cada grupo entram todos os elementos.
!nP n= ( N)n ∈
As combinações são agrupamentos em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos
componentes.
,
!
!( )!n p
n
C
p n p
=
− ( , N, n p)n p ∈ ≥
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Uma das principais dificuldades encontra­
das pelos estudantes ao se defrontarem com a
resolução de exercícios de análise combinatória
consiste exatamente em identificar qual o tipo de
agrupamento que devemos aplicar na resolução
do problema proposto.
Para que se tenha sucesso na resolução
dos problemas propostos e conseguir identificar
qual o tipo de agrupamento que será necessário
para sua resolução, é imprescindível uma leitura
atenta, detalhada e minuciosa do enunciado do
problema proposto, e que o aluno domine ple­
namente as características fundamentais de cada
tipo de agrupamento.
Para isso, sugerimos a você, prezado(a)
aluno(a), que diante de cada problema proposto,
efetue sempre estes questionamentosa seguir,
para que consiga identificar qual o tipo de agru­
pamento envolvido na resolução de cada proble­
ma:
1. Estamos utilizando todos os elementos
do conjunto ou parte deles?
Todos os elementos = PERMUTAÇÃO
(SIMPLES OU COM REPETIÇÃO)
No caso de utilizarmos todos os elementos,
do conjunto dado, analise de acordo com o
enunciado se o problema proposto permi­
te ou não repetição dos elementos.
Não = PERMUTAÇÃO SIMPLES
Sim = PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
2. Estamos utilizando todos os elementos
do conjunto ou parte deles?
Parte dos elementos = ARRANJO (SIMPLES
OU COM REPETIÇÃO) ou COMBINAÇÃO
3. O Agrupamento com parte dos ele­
mentos é ORDENADO ou NÃO ORDE­
NADO?
Ordenado = ARRANJO
(SIMPLES OU COM REPETIÇÃO)
O Agrupamento Ordenado com parte dos
elementos permite ou não REPETIÇÃO?
Não = ARRANJO SIMPLES
Sim = ARRANJO COM REPETIÇÃO
4. O Agrupamento com parte dos ele­
mentos é ORDENADO ou NÃO ORDE­
NADO?
Não Ordenado = COMBINAÇÃO
Exemplo 6: Com 12 pessoas, de quantos
modos podemos formar um grupo de 4 pessoas?
Vamos treinar os procedimentos indicados?
De acordo com o enunciado, o agrupamen­
to a ser formado irá utilizar todos os elementos ou
parte deles?
Perceba que iremos formar um grupo de 4
pessoas entre um total de 12 pessoas disponíveis.
Logo, estamos utilizando parte dos elementos.
Consequentemente, sabemos que teremos
uma situação de Arranjo ou de Combinação.
O que difere uma situação de Arranjo de
uma de Combinação? É a ordem dos elementos
do agrupamento a ser formado.
Vamos supor que no exemplo acima as 4
pessoas escolhidas sejam as pessoas denomina­
das por A, B, C e D.
Para identificar se o agrupamento é ordena­
do ou não podemos efetuar o seguinte questio­
namento:
De acordo com o enunciado, o agrupamen­
to {A,B,C,D} é diferente do agrupamento {D,A,C,B}?
Ou seja, esses dois agrupamentos e todos os de­
mais agrupamentos possíveis de serem formados
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com esses 4 elementos devem ser contados indi­vidualmente, ou serem considerados todos idên­
ticos e, consequentemente, serem contabilizados
apenas uma única vez?
Perceba que de acordo com o enunciado, a
ordem dos elementos não é importante. Logo, to­
dos os agrupamentos possíveis de serem forma­
dos com os elementos A,B,C,D, alterando apenas
a ordem destes, devem ser considerados idênti­
cos e contados apenas uma única vez.
Estamos, portanto, diante de um agrupa­
mento, que utiliza parte dos elementos e não or­
denado. Isso nos leva a identificar que o problema
refere­se a um caso de Combinação.
Numa situação de Arranjo, temos um agru­
pamento ordenado, ou seja, a ordem dos elemen­
tos é importante, e isso faz com que cada agrupa­
mento seja contado individualmente. No caso de
uma situação semelhante ao exercício proposto
acima, teríamos um caso de Arranjo, se, por exem­
plo, a primeira pessoa A fosse ocupar um cargo
de presidente, a segunda pessoa C fosse ocupar o
cargo de vice­presidente, a terceira pessoa D fos­
se ocupar o cargo de secretário e a quarta pessoa
B fosse ocupar o cargo de tesoureiro.
Perceba que, se alteramos a ordem dos
elementos nessa situação, os agrupamentos
{A,B,C,D} e {A,C,D,B} seriam considerados diferen­
tes e contabilizados individualmente, assim como
com todos os outros agrupamentos de 4 elemen­
tos possíveis de serem formados com A,B,C,D.
Vamos agora à resolução do problema pro­posto.
Resolução:
12,4
12! 12.11.10.9.8!
495
4!(12 4)! 4.3.2.1.8!
C = = =
−
Exemplo 7: Com os dígitos 1, 2, 3, 7, 9:
a) Quantos números com 3 algarismos
distintos podemos formar?
b) Quantos números com 5 algarismos
distintos podemos formar?
Antes de verificar a resolução, tente identifi­
car qual o tipo de agrupamento envolvido. Repita
os questionamentos indicados!
Pense a respeito!
Conseguiu? Identificou?
Veja se acertou!
Resolução:
a) , ! 5! 120
60
( )! (5 3)! 2!
n p
n
A
n p
= = = =
− −
b) 120!5!===nPn
1.7 Combinações Complementares
Considere a seguinte relação:
, ,n p n n pC C −=
Demonstração:
,
!
!( )!n p
n
C
p n p
=
−
(Trocam­se os fatores do denominador)
,
!
( )! !
n p
n
C
n p p
=
−
(Acrescenta­se e subtrai­se n no 2º fator do
denominador)
Page 10Hercules Sarti
!n
Observação: Se fizermos p = n, temos:
0,, nnn CC = . Porém, 1
, =nnC , pois o único
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, ,( )![ ( )]!n p n n pC Cn p n n p −= =− − −
Portanto, a relação é válida.
, ,n p n n pC C −
=
Exemplo 8: Observe as igualdades:
a) 10,7 10,3C C=
b) ,7 , 7a a aC C −=
subconjunto com n elementos que podemos
obter de um conjunto A, que por sua vez tem n
elementos, é o próprio conjunto A. Também sa­
bemos que A tem apenas um subconjunto com
“zero elemento”, que é o conjunto vazio.
Então: 10,,
== n
nn CC
,0
! !
1
0!( 0)! 0! !
n
n n
C
n n
= = =
− , por coe­
rência 1!0= .
1.8 Arranjos com Elementos Repetidos ,( )n pAR
Exemplo 9: Quantos números de 3 algaris­
mos podemos formar com os dígitos de 1 a 9?
Resolução: Nesse caso, temos nove algaris­
mos que podem ocupar a “casa” da centena, nove
para ocupar a “casa” da dezena e nove para ocu­
par a “casa” da unidade:
39 729
9 9 9
= =
Através do exemplo, pode­se concluir a se­
guinte relação:
,( ) p
n pAR n=
1.9 Permutações com Elementos Repetidos
Exemplo 10: Quantos anagramas têm a pa­
lavra ARCADA?
Resolução: A palavra possui seis letras, te­
mos: 720!66
==P
Porém, há três letras A, o que nos leva ao
cálculo: 6!33
==P
Portanto, temos: 120
6
720 = anagramas.
Valem as seguintes relações:
1 elemento repetido:
!
!
a
n
Pa
n =
2 elementos repetidos:
!!
!,
ba
n
Pban ⋅
=
3 elementos repetidos:
!!!
!,,
cba
n
Pcban ⋅⋅
=
Page 11 Análise Combinatória e Probabilidades
Saiba mais
“O médico, matemático, astrólogo e filósofo italiano Gerolamo Cardano (1501­1576) era filho de pais solteiros. Por isso foi
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enjeitado, antes mesmo de nascer: o seu pai pensou em provocar aborto, mas não o fez porque era crime que levava o con­denando à pena morte. O pai de Gerolamo era um intelectual que se dedicava à medicina, a advocacia, a matemática e às
ciências ocultas. Instigado pelo pai, o filho também se formou em medicina após estudar em Pavia e Padua. Ganhou fama e
dinheiro como médico, o que abriu novos caminhos e o levou, depois, a aceitar o convite para lecionar nas Universidades de
Pavia, Milão e Bolonha. Por sobreviver a tanta rejeição tinha de ser predestinado, isso o levou a ser igualado aos gênios da épo­
ca. Cardano era multifacetado, filósofo que professava o naturalismo, sempre ao lado dos cientistas mais ousados, na dianteira
do pensamento. Como filósofo e mestre, considerava o mundo e tudo que nele habita seres viventes e animados, donos de
vida própria. Em razão disso sempre direcionou os estudos e ensinamentos no rumo do experimentalismo, da ousadia. Des­
cobriu que a ciência sempre mostrava duas faces, dualidade que sempre explorou: astronomia­astrologia, química­alquimia,
religião­filosofia, espiritualidade­natureza, matemática­jogo de azar. A obra matemática pela qual Cardano ficou conhecido
é a Arte Maior, onde ele publica as soluções das equações cúbicas e quátricas, que até então estavam inéditas. À margem
dessa publicação, um livreiro com o olhar de comerciante viu possibilidades de ganho num pequeno manual do jogador
intitulado O livro dos jogos de azar. Alguns críticos afirmam queesta foi sua contribuição maior para a ciência matemática.
Simplesmente porque, neste livro, Cardano inventa, por vias indiretas, a eqüiprobabilidade, que tem como principal objetivo
o de transformar a esperança – que até então era uma coisa utópica, não real – numa possibilidade matemática. Cardano
transformou a teoria da probabilidade nos jogos de azar em algo que se pode chamar de pré­história da relatividade. Segun­
do ele explica, a eqüiprobabilidade é uma constante na qual o montante exato da aposta a ser feita por um jogador, tem a
probabilidade [ p ] de ganhar a importância [ s ].
Estabeleceu, assim, a lei pn = pn, que dá a possibilidade que o evento de probabilidade p ocorra independente n sucessivas
vezes. Cardano montou a tábua de probabilidades para danos e a lei dos grandes números, questões que foi pioneiro. Gero­
lamo também ensina no livro como trapacear nos jogos de azar. Mas o quê importa esse detalhe diante do vanguardismo da
obra científica que resultou da eqüiprobabilidade? Convém lembrar que no Século XVI o jogo, não era considerado apenas
um passatempo. Em pouco tempo cresceu em popularidade, foi levado para os salões oficiais e começou a ser realizado tam­
bém nas residências. Mas a freqüência foi tão grande que obrigou os viciados a fundarem casas reservadas para essa única
finalidade, nas quais os jogadores se reuniam para apostar a dinheiro. Gerolamo, que não tinha aporte financeiro por parte do
pai, se iniciou na jogatina ainda estudante para suprir os gastos com as diversões naturais da idade. E foi assim que nasceram
os cassinos, os bingos, as casas de jogos: nela os cientistas – à margem dos perigos da inquisição que logo incendiariam as
mentes e os livros – procuravam se divertir e, ao mesmo tempo, discutiam, entre baforadas e taças de vinho, as suas teorias
fantásticas. Deste Gerolamo Cardano se sabia que era um jogador viciado, mas era também um gênio. Em sua autobiografia
De própria vita, Cardano confessa que jogou xadrez cotidianamente por mais de 40 anos! Também jogou carteado, dados,
gamão e tantos outros jogos de azar por mais de 25 anos. Sendo cientista e matemático é pouco provável que Gerolamo
Cardano não tivesse o cuidado de fazer análises, estudos e teorias sobre o jogo de xadrez.”
Fonte: http://pt.shvoong.com/exact­sciences/1695140­cardano­jogador­xadrez/
Neste capítulo, trabalhamos com os problemas de contagem. Eles se dividem em dois tipos:
Os Arranjos, que incluem também as Permutações, são agrupamentos em que um grupo é diferen­
te de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Nesse caso, a ordem dos elemen­
tos gera novo agrupamento.
O outro tipo são os problemas de Combinações, em que um grupo é diferente de outro apenas
pela natureza dos elementos componentes.
Os Arranjos, Permutações e Combinações utilizam­se da notação fatorial para facilitar os cálculos
dessas contagens.
1.10 Resumo do Capítulo
Page 12Hercules Sarti
1. São dados 5 pontos A, B, C, D, E, representados abaixo. Quantas retas distintas eles determi­
1.11 Atividades Propostas
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nam?
2. Certo aluno descobre, numa livraria, 4 livros de seu interesse. Se ele só pode comprar dois de­
les, de quantos modos poderá fazê­lo?
3. Quatro times de futebol disputam um torneio, no qual são atribuídos prêmios ao campeão e ao
vice­campeão. De quantos modos os prêmios podem ser atribuídos?
4. Quatro cidades A, B, C, D são interligadas por vias férreas, conforme a figura a seguir. Os trens
movimentam­se apenas em linha reta, ligando duas cidades. Para atender a todos os passa­
geiros, quantos tipos de passagem devem ser impressos? (As passagens de “ida” e “volta” são
bilhetes distintos).
5. Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis? (Não são admitidos
empates).
6. A diretoria de um clube é formada por três membros: presidente, secretário e tesoureiro. Três
candidatos disputam os cargos, tendo ficado decidido que o mais votado será o presidente, o
2º lugar, secretário e o 3º lugar será o tesoureiro. De quantos modos a diretoria pode ser com­
posta? (Não se admitem empates nas votações).
7. Simplifique:
12!
a)
9!
=
15!
b)
5!.10!
=
B
A
D C
.
.
.
.
.A
B
C
DE
Page 13 Análise Combinatória e Probabilidades
8. Resolva as equações:
a) n! 12 (n 1)!= ⋅ −
b) (n 2)! 20 (n 4)!− = ⋅ −
c) ( ) [ ]2 2
n! (n 1)! 25= − ⋅
9. Quantos números com dois algarismos diferentes podemos formar com os dígitos de 1 a 9?
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10. Quantos anagramas tem a palavra HOJE?
11. De quantos modos 6 pessoas podem sentar em 6 cadeiras alinhadas?
12. Sendo n um número inteiro positivo tal que
( 2)12n nP P −= ⋅ , calcule n.
13. Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos modos poderão se
acomodar para uma viagem quando:
a) só uma pessoa sabe dirigir?
b) duas pessoas sabem dirigir?
c) todos sabem dirigir?
14. Com 7 professores, de quantos modos podemos formar uma comissão de 3 professores?
15. Quantas diagonais tem um heptágono?
16. Resolva as equações:
a)
2,3, .3 nn CC =
b) 2,4, .5.2 nn CC =
17. Quantos anagramas da palavra LIVRO começam pela L?
18. Quantos números com 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 7?
19. Quantos triângulos podem ser obtidos tendo vértices em três quaisquer dos vértices de um
decágono?
20. Encontre n, sabendo que ,4 ,348.n nA C= .
Page 14Hercules Sarti
21. Encontre os valores de n e m, sabendo que:
7,87, . mn CPA = e 78,7, .PCA nm
=
22. Qual o número de modos distintos de se repartir um grupo de 7 pessoas em dois grupos, tendo
um deles quatro pessoas?
23. Com 3 goleiros e 10 jogadores que jogam em qualquer outra posição:
a) De quantos modos um time de futebol de salão pode ser formado?
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b) Em quantos deles sempre figura um determinado jogador J, não goleiro?
c) Em quantos deles nunca figura o jogador J?
24. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, sendo que o 7
sempre é o algarismo da unidade de milhar?
25. Quantos anagramas tem a palavra LICOROSO?
26. Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA começam por M?
27. Qual o número de anagramas da palavra CARMO, onde as letras C e A aparecem juntas?
28. Dados 6 pontos coplanares, dos quais não há 3 colineares, qual é o número de retas que podem
ser obtidas passando por dois quaisquer desses pontos?
29. Dados 6 pontos coplanares, 3 dos quais são colineares, qual é o número de retas que podem ser
obtidas passando por dois quaisquer desses pontos?
30. Com 8 professores, de quantos modos podemos formar uma banca com 3 membros em que
figure sempre um determinado professor?
31. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais não são coplanares, qual é o número de planos que
podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
32. Dados 10 pontos do espaço, dos quais exatamente 6 são coplanares, qual é o número de pla­
nos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?
33. Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer. De quantos modos diferentes
pode ocorrer a chegada dos 3 primeiros colocados?
Page 15 Análise Combinatória e Probabilidades
34. Utilizando os algarismos 1, 2, 5, 7 e 8, quantos números naturais pares podemos escrever com:
a) 4 algarismos?
b) 4 algarismos distintos?
35. Uma pessoa pretende colocar 7 livros numa estante,um ao lado do outro. Entre esses livros, há
4 romances e 3 ficções científicas.
a) De quantos modos esses livros podem ser dispostos na estante?
b) De quantos modos eles podem ser dispostos, de maneira que dois romances não fiquem
juntos?
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36. Em nosso sistema de numeração, quantos números naturais ímpares de 4 algarismos apresen­
tam algarismos repetidos?
37. Quantos anagramas são possíveis formar com as letras da palavra LUCRO?
38. Quantos anagramas formados com as letras da palavra PESCADOR:
a) começam e terminam com uma consoante?
b) começam com uma vogal e terminam com uma consoante?
c) apresentam as vogais juntas e em ordem alfabética?
d) apresentam as vogais juntas e em qualquer ordem?
39. Daniele possui uma pequena coleção de latinhas de cerveja, sendo 4 de marcas nacionais e 6
de marcas estrangeiras. De quantos modos Daniele pode colocar as latinhas numa prateleira,
uma ao lado da outra, de modo que as nacionais fiquem juntas e as estrangeiras fiquem juntas,
em qualquer ordem?
40. Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas. De quantos modos
podem­se enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca fiquem juntas?
41. Seja E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) Quantos subconjuntos de 3 elementos E possui?
b) Quantos números com 3 algarismos distintos de E é possível escrever?
42. Uma empresa pretende sortear 2 automóveis diferentes entre as 12 top models que foram ca­
pas de uma revista ao longo de 1 ano. O sorteio será realizado em duas etapas. Primeiro serão
sorteadas 6 finalistas. Em seguida, os 2 automóveis serão sorteados entre as finalistas.
a) De quantas maneiras diferentes pode resultar o grupo de 6 finalistas?
b) Uma vez definidas as finalistas, de quantas maneiras pode ocorrer a premiação?
Page 16Hercules Sarti
43. Com vértices nos pontos dados sobre as retas, quantos triângulos são possíveis construir no
caso abaixo?
A B C D E
K L M N
44. Para 3 alunos que ficaram em recuperação, um professor preparou 9 questões, sendo 3 para
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cada aluno. De quantas maneiras o professor poderá distribuir as questões entre os recuperan­dos?
45. Uma junta médica de 5 integrantes será escolhida entre 6 cardiologistas e 4 pediatras. Quantas
juntas diferentes são possíveis formar, de modo que entre os integrantes haja:
a) 3 cardiologistas e 2 pediatras?
b) No mínimo um pediatra?
c) No máximo um pediatra?
46. De um baralho de 52 cartas, são eliminadas todas as cartas com os números 8, 9 e 10. Com o
restante do baralho, quantos jogos de 4 cartas é possível formar, de modo que entre elas haja:
a) exatamente um ás?
b) pelo menos um ás?
c) exatamente duas figuras?
d) pelo menos duas figuras?
e) no máximo duas figuras?
47. Uma pessoa quer convidar 4 entre 10 amigos para um jantar. No entanto, dois desses amigos
têm fortes diferenças pessoais. De quantas maneiras pode ser formado o grupo dos 4 convida­
dos, de modo que não compareçam simultaneamente as duas pessoas citadas?
48. Pretende­se distribuir 12 bolinhas vermelhas, 11 azuis e 13 pretas entre dois meninos. Cada
menino deve receber no mínimo 5 bolinhas de cada cor. De quantas maneiras pode ser feita a
distribuição?
49. Quantos números naturais de 7 algarismos distintos são possíveis formar utilizando todos os
algarismos do número 1 234 567?
50. Quantos números naturais ímpares são possíveis escrever permutando os algarismos do nú­
mero 6 725 727?
51. Com nletras iguais a Ae 3 letras iguais a Bformam­se um total de 8n + 16 permutações. Calcule
n.
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PROBABILIDADES2
2.1 A Teoria das Probabilidades
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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Durante o século XVII, com os chamados
jogos de azar, surgiram os primeiros estudos de
probabilidade. Apesar de ter origem através dos
jogos de azar, a probabilidade tornou­se funda­
mental para conhecermos as chances que dispo­
mos para tomarmos decisões.
Quando se pensa numa probabilidade,
dispõe­se de algo incerto, mas que oferece cer­
to grau de confiança ou possibilidade de ocorrer.
Para medir o grau de confiança que se deposita
em certas afirmações ou experimentos, define­se:
Probabilidade é o número que resulta da
divisão do número de casos favoráveis a um
evento pelo número total de casos possíveis.
Exemplo 11: Qual a probabilidade de se
obter face ímpar numa única jogada de dado?
Resolução: Um dado tem o total de seis fa­
ces: F1, F2, F3, F4, F5 e F6.
As faces ímpares são três: F1, F3 e F5.
Probabilidade de F1 F3 F5 3 Faces 3 1
0,5
F1 ou F3 ou F5 F1 F2 F3 F4 F5 F6 6 Faces 6 2
+ +
= = = = =
+ + + + +
Pode­se, então, utilizar a fórmula:
p
f
XP =)(
Onde:
P(X) é a probabilidade de ocorrer o evento
X;
f é o número de casos favoráveis à ocor­
rência de X;
p é o número de casos possíveis.
Sejam A e B dois eventos, então A ∪ B será
também um evento que ocorrerá se, e somente
se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. Diz­se que A ∪
B é a união entre o evento A e o evento B.
Sejam A e B dois eventos, então A ∩ B será
também um evento que ocorrerá se, e somente
se, A e B ocorrerem simultaneamente. Define­
­se que A Ç B é a interseção entre o evento A e
o evento B. Em particular, se A ∩ B = ∅, A e B são
chamados mutuamente exclusivos.
Seja A um evento, então o evento comple­
mentar de A (indicado por: Ac) será também um
evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocor­
rer.
Page 18Hercules Sarti
A seguir, seguem alguns teoremas impor­
tantes a respeito de probabilidades:
T1: a probabilidade do evento certo é igual
a 1.
T2: se A Ì B (lê­se: A está contido em B), en­
tão P(A) £ P(B).
T3: se A é um evento, então 1)(0 ≤≤ AP .
T4: se A e B são eventos, então
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .
Observação: Se A e B são mutuamente
exclusivos (A ∩ B = ∅), então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
a) Será chamado de A o evento formado
pela bola de número 27: A = {B27}.
50
1
Bolas50
Bola1
B50B3,...,B2,B1,
B27
P(A) ===
b) Será chamado de B o evento formado
pelas bolas pares:
B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25
elementos.B = {B2, B4,..., B50}. Este evento B possui 25 elementos.
2
1
50
25
Bolas50
Bolas25
B50B3,...,B2,B1,
B50...B4B2
P(B) ===
+++
=
c) Será chamado de C o evento formado
pelas bolas de número maior que 20:
C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui
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T5: se A é um evento, então o evento
complementar de A terá probabilidade
)(1)( APAPc −= .
Exemplo 12: Uma urna contém 50 bolas
idênticas; se as bolas forem numeradas de 1 a 50,
qual a probabilidade de, em uma extração ao aca­
so, obter:
a) a bola de número 27?
b) uma bola de número par?
c) uma bola de nº maior que 20?
d) uma bola de número menor ou igual a
20?
Resolução: Há um total de 50 bolas: B1, B2,
B3,..., B50.
Atenção
Probabilidade é o número que resulta da divi­
são do número de casos favoráveis a um evento
pelo número total de casos possíveis.
30 elementos.C = {B21, B22,..., B50}. Este evento C possui 30 elementos.
5
3
50
30
Bolas50
Bolas30
B50B3,...,B2,B1,
B50...B22B21
P(C) ===
+++
=
d) Será chamado de D o evento formado
pelas bolas de número menor ou igual que 20:
D = {B1, B2,..., B20}. Este evento D possui
20 elementos.D = {B1,B2,..., B20}. Este evento D possui 20 elementos.
5
2
50
20
Bolas50
Bolas20
B50B3,...,B2,B1,
B20...B2B1
P(D) ===
+++
=
Exemplo 13: Três cavalos C
1
, C
2
e C
3
dispu­
tam um páreo, do qual só se premiará o vencedor.
O espaço amostral é: S = {C
1
, C
2
, C
3
}. Um conhece­
dor dos 3 cavalos afirma que as “chances” de C
1
vencer são o dobro das de C
2
, e que C
2
tem o tri­
plo das “chances” de C
3
. Qual a probabilidade que
cada cavalo tem de vencer?
Resolução: Atribui­se uma probabilidade p
ao cavalo C
3
. Þ C
3
= p
O cavalo C
2
tem o triplo das “chances” de C
3.
Þ C
2
= 3C
3
= 3p
Já o cavalo C
1
tem o dobro das “chances” de
C
2.
Þ C
1
= 2C
2
= 2 ×3p = 6p
Page 19 Análise Combinatória e Probabilidades
Somente esses três cavalos disputam, logo:Somente esses três cavalos disputam, logo:
1321 =++ CCC ⇒ 136 =++ ppp ⇒ 110 =p ⇒
10
1
=p
Então, a probabilidade dos cavalos será:Então, a probabilidade dos cavalos será:
10
Então, a probabilidade dos cavalos será:
10
6
6
1
== pC
10
3
3
2
== pC
10
1
3
== pC
Saiba mais
“Pascal nasceu a 19 de Julho de 1623, em Clermont­Ferrand, na França, filho de Étienne Pascal e Antoniette Bejon. Quando
tinha apenas três anos, perdeu a mãe e, como era o único filho do sexo masculino, o pai encarregou­se diretamente da sua
educação. Étienne desenvolveu um método singular de educação do filho, com exercícios de diversos tipos para despertar a
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razão e o juízo correto. Disciplinas como Geografia, História e Filosofia foram ensinadas, sobretudo, por meio de jogos.Étienne acreditava que a Matemática só deveria ser ensinada ao filho quando este fosse mais velho. Nesse sentido, mantinha
longe do filho os livros de matemática. Pascal tinha, porém grande curiosidade sobre aqueles ‘estranhos’ assuntos. Por inter­
médio de conversas que ouvia ou da leitura de obras que passavam pela censura do pai, descobriu as maravilhas da ciência
dos números. Mesmo sem professor, começou a desenvolver os seus estudos. Aos 12 anos, o pai descobriu­o desenhando
no chão, figuras geométricas com carvão. Nessa mesma altura, Pascal descobre que a soma dos ângulos de um triângulo é
igual a dois ângulos retos.
Estavam ali, por intuição, várias das proposições da matemática de Euclides. Pascal havia chegado sozinho à 32ª proposição
do Livro 1 dos Elementos do velho sábio.
Reconhecida a sua genialidade, foi dada permissão ao jovem Pascal para que estudasse matemática livremente.
Étienne Pascal mesmo não sendo uma pessoa totalmente ortodoxa, frequentava a casa do padre franciscano Marin Mersene,
que também era frequentada por muitas personalidades importantes. Foi quando, com aproximadamente 14 anos, Blaise
Pascal decidiu acompanhar o seu pai nessas reuniões e aos 16 anos apresentou vários teoremas de Geometria Projetiva, onde
constava o conhecido ‘Hexágono Místico’. Ainda com os seus 16 anos, escreveu ‘Éssai sur les coniques’ (Ensaio sobre as Cônicas),
baseado no estudo de Girad Desargues.
Mais tarde, para ajudar o pai, sempre ocupado com os números, dedicou­se à criação de uma máquina de calcular. Pascal de­
senvolveu importantes estudos que tiveram como inspiração as descobertas do italiano Torricelli sobre a pressão atmosférica.
A partir de 1647, Pascal passou a dedicar­se ao estudo da aritmética. Desenvolveu cálculos de probabilidade, a fórmula de
geometria do acaso, o conhecido Triângulo de Pascal e o tratado sobre as potências numéricas.
Mas o trabalho excessivo minou a sua saúde, débil por natureza, caindo gravemente doente. Em 1648 frequentou, com sua
irmã Jacqueline, os seguidores de Saint­Cyran, que o levaram ao misticismo de Port­Royal. Depois da morte do pai, o seu
fervor religioso arrefeceu um pouco, iniciando­se o chamado período mundano de Pascal, devido à proibição médica de
dedicar­se a trabalhos intelectuais, prejudiciais à sua saúde, e a pratica de exercícios de penitência.
Pascal faleceu à primeira hora da madrugada de 29 de Agosto de 1662, aos 39 anos, vítima de um tumor maligno no estoma­
go. As suas últimas palavras foram: ‘Que Deus jamais me abandone!’.”
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/biografia.htm.
Page 20Hercules Sarti
Caro(a) aluno(a), observe que, como na pró­
pria denominação deste tópico, em casos de pro­
babilidade condicional, teremos uma condição,
ou ainda, uma “informação a mais” no problema.
Essa informação do que ocorreu em determina­
da etapa do fenômeno aleatório em estudo pode
influenciar nas probabilidades de ocorrências de
etapas sucessivas. Nesse caso, podemos dizer que
“ganhamos informações” e podemos recalcular as
probabilidades de interesse.
Uma leitura atenta e detalhada do enuncia­
do é de extrema importância para identificarmos
as situações onde o conceito de probabilidade
condicional estará envolvido.
Observe o exemplo a seguir e identifique
2.2 Probabilidade Condicional
A, vamos contar quantos são os casos favoráveis
à ocorrência de B. Note que isso equivale a deter­
minar A ∩ B.
A ∩ B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} n(A ∩ B) = 7
Assim, entre os 10 números ímpares pos­
síveis de terem ocorrido, há 7 casos favoráveis à
ocorrência de um número primo. Logo, a proba­
bilidade de ocorrer primo, sabendo que ocorreu
ímpar é:
( ) 7
( / )
( ) 10
n A B
P B A
n A
∩
= =
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no enunciado “a informação a mais”.
Exemplo 14:Considere o problema seguin­
te:
Uma bola é retirada de uma urna que con­
tém 20 bolas numeradas de 1 a 20. A pessoa que
a retirou diz o seguinte para os que acompanham
o sorteio:
Saiu um número ímpar!
Pergunta­se:
Qual é a probabilidade de ter saído um nú­
mero primo?
Há 20 resultados possíveis para o experi­
mento “retirar uma bola da urna”. Isto é,
S = {1, 2, 3, 4, ..., 19, 20}
Dentre esses resultados, destacam­se os
eventos:
A: sair número ímpar. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,
15, 17, 19}
B: sair número primo. B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19}
O problema pede a probabilidade de ocor­
rer B (número primo), mas informa que já ocorreu
A (número ímpar). Então, entre os elementos de
Definição: Seja S um espaço amostral
e onde há dois eventos, A e B. O símbolo P(A/B)
indica a probabilidade do evento A, dado que o
evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade
condicional do evento A, uma vez que B tenha
ocorrido. Quando se calcula P(A/B), tudo se passa
como se B fosse o novo espaço amostral “reduzi­
do” dentro do qual queremos calcular a probabi­
lidade de A.
Observação: Note que )/()/( BAPABP ≠ ,
vejam usando o exemplo anterior:
Dicionário
Espaço amostral: é o conjunto formado por todos
os resultados possíveis de um experimento aleató­
rio. É indicado pelo símbolo Ω.
( ) 7
( / )
( ) 10
n A B
P B A
n A
∩
= =
( ) 7
( / )
( ) 8
n A B
P A B
n B
∩
= =
e
Page 21 Análise Combinatória e Probabilidades
Atenção
P(A/B) é a probabilidade condicional do even­
to A, uma vez que B tenha ocorrido. Tudo se
passa como se B fosse o novo espaço amostral
“reduzido” dentro do qual queremos calcular a
probabilidade de A.
Uma consequência importante da defini­
ção de probabilidade condicional é a seguinte:
)/()()(
)(
)(
)/( BAPBPBAP
BP
BAP
BAP ×=∩⇒
∩
=
∩
2.3 Regra da Multiplicação e Probabilidade Total
O problema pede a probabilidade de obser­
varmos urna I e bola vermelha, ou seja, a interse­
ção entre os eventos:
1 1 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( / )
2 5 10 5
PU V PU PV U∩ = × = × = =
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)/()()()( )()/( ABPAPBAPAPBAPABP ×=∩⇒=
Isto é, a probabilidade da ocorrência simul­
tânea de dois eventos [P(A ∩ B)] é o produto da
probabilidade de um deles pela probabilidadedo
outro, dado o primeiro.
Exemplo 15: Uma urna I contém 2 bolas
vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4
bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é
escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao
acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna
I e bola vermelha?
Resolução: Como existem duas urnas (U
1
e
U
2
), a probabilidade de cada urna é 0,5.
Já, a probabilidade de ocorrer bola verme­
lha (V) condicionada à urna I será dada por:
5
2
)/(1 =UVP , pois há duas boas verme­
lhas numa urna que possui 5 bolas.
Outra situação importante é o chamado
teorema da probabilidade total. Ele é utilizado
quando a probabilidade de um evento A é difícil
de ser calculada diretamente, porém se torna sim­
ples o seu cálculo usando os conceitos a seguir.
Inicialmente, considere n eventos B
1
, B
2
,...,
B
n
. Considere que eles formam uma partição do
espaço amostral S, quando:
I) P (B k ) >0 ∀ k;
II) B i
∩ B
j = ∅ para i ≠ j;
III) SB
n
i
i ==
U
1
.
Os eventos B
1
, B
2
,..., B
n
são dois a dois mu­
tuamente exclusivos exaustivos (sua união é S).
Seja A um evento qualquer do espaço amostral S
e B
1
, B
2
, ..., B
n
, uma partição de S, é válida a seguin­
te relação:
Page 22Hercules Sarti
A = (B
1∩ A) ∪ (B2 ∩ A) ∪ (B3∩ A) ∪ ... ∪ (Bn ∩ A).
Note que (B
1
∩ A); (B
2
∩ A) ...; (B
n
∩ A) são
dois a dois mutuamente exclusivos, portanto:
)()()()( 21 ABPABPABPAP
n ∩
++∩+∩= .
Exemplo 16: Uma urna I tem 2 bolas ver­
melhas (V) e 3 brancas (B); outra urna II tem 3
bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4
bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecio­
nada ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a
probabilidade de a bola ser vermelha?
Resolução: Utilizando o teorema da proba­
bilidade total, temos:
Resolução: utilizando o teorema da probabilidade total, temos:
P(V) = P(U1 V) + P(U2 V) + P(U3 V)
P(V) = P(U1 ) P(V / U1) + P(U2 ) P(V / U2) + P(U3 ) P(V / U3)
180
109
6
4
3
1
4
3
3
1
5
2
3
1
)(VP
Resolução: temos três caixas, contendo:
C
1
= 2 moedas de ouro;
C
2
= 1 moeda de ouro e 1 moeda de prata;
C
3
= 2 moedas de prata.
Queremos calcular a probabilidade de a se­
gunda moeda ser de ouro, sabendo que a primei­
ra foi de ouro. Em outras palavras, a probabilida­
de de caixa C
1
, sabendo que ocorreu ouro (O). Em
símbolos: P(C
1
/O) = ?
Utilizando o teorema da probabilidade to­
tal, temos:
Utilizando o teorema da probabilidade total, temos:
P(O) = P(C1 O) + P(C2 O) + P(C3 O)
P(O) = P(C1 ) P(O / C1) + P(C2 ) P(O / C2) + P(C3 ) P(O / C3)
2
1
6
3
2
0
3
1
2
1
3
1
2
2
3
1
)(OP
Utilizando a probabilidade condicional,
vem:
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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Exemplo 17 (problema da moeda de Ber­
trand):
Existem três caixas idênticas. A 1a contém
duas moedas de ouro, a 2a contém uma moeda de
ouro e outra de prata, e a 3a, duas moedas de pra­
ta. Uma caixa é selecionada ao acaso e da mesma
é escolhida uma moeda ao acaso. Se a moeda es­
colhida for de ouro, qual a probabilidade de que a
outra moeda da caixa escolhida também seja de
ouro?
3
2
6
4
1
2
6
2
2
1
2
2
3
1
)/( 1 ==×=
×
=OCP
2.4 Independência de Eventos
Dados dois eventos A e B de um espaço
amostral W, diremos que A independe de B se
P(A/B) = P(A). Isto é, A independe de B se a ocor­
rência de B não afeta a probabilidade de A.
Observemos que, se A independe de B, en­
tão B independe de A, pois:
)(
)(
)()(
)(
)/()(
)(
)(
)/( BP
AP
APBP
AP
BAPBP
AP
BAP
ABP =⋅=⋅=
∩
=
Dois eventos A e B são chamadosindepen­
dentes, se
)()()(BPAPBAP ⋅=∩
Page 23 Análise Combinatória e Probabilidades
Observações:
a) Se A e B não são independentes, eles
são chamados dependentes.
b) Se A e B são independentes, então:
A e BC são independentes;
AC e B são independentes;
AC e BC são independentes.
Exemplo 18: uma moeda é lançada 3 vezes.
Sejam os eventos:
A: ocorrem pelo menos duas caras.
B: ocorrem resultados iguais nos três lança­
mentos.
Mostrar que os eventos A e B são indepen­
dentes.
Resolução:
= {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); (C, K, C); (C, C, K); (C, C, C)}.
A = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (C, K, K)}; P(A) =
2
1
B = {(K, K, K); (C, C, C)}; P(B) =
4
1
8
2
A B = {(K, K, K)}; P(A B) =
8
1
Logo, P(A B) = P(A) x P(B)
4
1
2
1
8
1
Atenção
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral
Ω, diremos que A independe de B se P(A/B) =
P(A).
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Portanto, A e B são independentes.
Exemplo 19: Duas pessoas praticam tiro
ao alvo. A probabilidade de a 1ª atingir o alvo é
P(A) =
3
1 e a probabilidade de a 2ªatingir o alvo é
P(B) =
3
2 . Admitindo A e B independentes, se os
dois atiram, qual a probabilidade de:
a) ambos atingirem o alvo?
b) ao menos um atingir o alvo?
Resolução:
9
2
3
2
3
1
)().() =⋅=BPAPa
9
7
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
)().()().()().()
=⋅+⋅+⋅
=++ BPAPBPAPBPAPb cc
Considere 3 eventos A, B e C do mesmo es­
paço amostral Ω. Dizemos que A, B e C são inde­
pendentes, se P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B) . P(C)
Generalizando:
P(A
1
∩ A
2
∩ ... ∩ A
n
) = P(A
1
) . P(A
2
) . . . . . P(A
n
)
Exemplo 20: Um dado é lançado 5 vezes.
Qual a probabilidade de que a face “2” apareça
pelo menos uma vez nos 5 lançamentos?
Resolução: Vamos calcular a probabilidade
da face 2 aparecer nenhuma vez.
7776
3125
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5 =⋅⋅⋅⋅
Page 24Hercules Sarti
Agora, calcula­se a probabilidade de a face
2 aparecer pelo menos uma vez, usando o evento
complementar:
7776
4651
7776
3125
1 =−
2.5 Resumo do Capítulo
A probabilidade de um evento consiste na razão entre os casos favoráveis a ocorrência do evento
e o total de casos possíveis do experimento aleatório. A utilização de probabilidades ocorre em jogos do
cotidiano, no cálculo de seguros em geral e, em outras situações onde é fundamental conhecer suas pos­
sibilidades de chances. Neste capítulo, vimos a Probabilidade de um Evento condicionado à ocorrência
de outro evento e também Eventos Independentes em termos de probabilidades.
A utilização da Análise Combinatória está diretamente associada aos problemas de probabilidades,
onde se torna fundamental determinarmos a quantidade de elementos dos conjuntos Espaço Amostral
e Eventos.
Muitos alunos não conhecem a composição de um baralho e, como este comumente é tema de diversos problemas de
análise combinatória e probabilidades, apresentaremos a seguir como um baralho é formado.
Curiosidade
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O baralho comum tem 52 cartas (espaço amostral), sendo 26 vermelhas e 26 pretas. São divididas em 4 naipes: copas,
ouro, paus e espadas, sendo que cada naipe possui 13 cartas numeradas de 2 a 10 e mais as cartas chamadas de figuras:
o Rei (símbolo K), a Rainha ou Dama (símbolo Q), o Valete (símbolo J) e o Ás (símbolo A).
(13 cartas por naipe x 4 naipes = 52 cartas).
Observe a tabela com as informações detalhadas de um baralho:
Page 25 Análise Combinatória e Probabilidades
1. Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis brancas. Sorteando­se uma bola, qual a proba­
bilidade de ela ser vermelha?
2. No lançamento simultâneo de dois dados, encontra­se o seguinte espaço amostral:
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),(1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Determine a probabilidade dos seguintes eventos:
A: ocorrência de números iguais nos dois dados.
B: ocorrência de números cuja soma seja 12.
C: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 12.
D: ocorrência de números cuja soma seja 8.
E: ocorrência de números cuja soma seja diferente de 8.
F: ocorrência de números iguais, com soma igual a 8.
G: ocorrência de números iguais, com soma igual a 7.
H: ocorrência de números iguais nos dois dados, ou de números com soma igual a 8.
I: ocorrência de números múltiplos de 3 nos dois dados.
2.6 Atividades Propostas
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3. Numa cidade com 1.000 eleitores, vai haver uma eleição com 2 candidatos, A e B. É feita uma
prévia em que os 1.000 eleitores são consultados, sendo que 510 já se decidiram, definitiva­
mente, por A. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição?
4. Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa.
Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda;
b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda.
5. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos
eventos abaixo?
a) Ocorrer dama de copas.
b) Ocorrer dama.
c) Ocorrer carta de naipe de paus.
d) Ocorrer uma figura.
e) Ocorrer uma carta que não é um rei.
Page 26Hercules Sarti
6. Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na
urna. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser:
a) branca?
b) vermelha?
c) azul?
7. Jogando 3 dados, qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4?
8. Os jogadores A, B, C e D disputam um torneio onde A e B têm “chances” iguais, C e D também
têm “chances” iguais, mas A tem o dobro das “chances” de C. Qual a probabilidade de B vencer?
Qual a probabilidade de D vencer?
9. Considere o espaço amostral S = {a, b, c, d} de um experimento aleatório. Consideremos a se­
guinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8, P(b) = 1/8, P(c) = ¼, P(d) = x. Determine o valor
de x.
10. Com os dados do exercício anterior e sejam os eventos A = {a, b, c} e B = {c, d}, determine P(A),
P(B), P(Ac), P(Bc), P(A Ç B) e P(A È B).
11. As “chances” de um time de futebol T ganhar o campeonato que está disputando são de 5 para
2. Determine:
a) a probabilidade de T ganhar;
b) a probabilidade de T perder.
12. Dos 100 alunos de uma turma, 40 gostam de Álgebra, 30 gostam de Geometria, 10 gostam de
Álgebra e Geometria, e há os que não gostam de Álgebra nem de Geometria. Um aluno é esco­
lhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele gostar de:
a) Álgebra?
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b) Geometria?c) Álgebra e Geometria?
d) Álgebra ou Geometria?
13. Dois dados equilibrados são lançados.
a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais nas faces superiores?
b) Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes?
14. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, dos quais 4 apresentam defeitos.
a) Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa?
b) Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituo­
sas?
c) Se um freguês vai comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos
uma com defeito?
Page 27 Análise Combinatória e Probabilidades
15. Onze jovens são dispostos em uma fila. Qual a probabilidade de dois determinados jovens:
a) ficarem juntos?
b) ficarem separados?
16. Dois indivíduos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda “honesta”. Eles combinam lançar
a moeda cinco vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em três ou mais lançamentos. Cada
um aposta R$ 2.800,00. Feitos os dois primeiros lançamentos, em ambos os quais A vence, eles
resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico, de que forma devem ser repartidos
os R$ 5.600,00?
17. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estu­
dam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) ele estude Economia e Engenharia?
b) ele estude somente Engenharia?
c) ele estude somente Economia?
d) ele não estude Engenharia nem Economia?
e) ele estude Engenharia ou Economia?
18. Uma cidade tem 50.000 habitantes e 3 jornais A, B, C. Sabe­se que:
▪ 15.000 leem o jornal A;
▪ 10.000 leem o jornal B;
▪ 8.000 leem o jornal C;
▪ 6.000 leem os jornais A e B;
▪ 4.000 leem os jornais A e C;
▪ 3.000 leem os jornais B e C;
▪ 1.000 leem os três jornais.
Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que:
a) ela leia pelo menos um jornal?
b) leia só um jornal?
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19. Oito pessoas (dentre elas Pedro, Silvia e João) são dispostas ao acaso em uma fila. Qual a pro­
babilidade de:
a) os três ficarem juntos?
b) os três ficarem separados?
20. Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros deter­
minados fiquem juntos?
21. Uma urna contém 4 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Cinco bolas são selecionadas ao
acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas, uma vermelha e 2 azuis?
Page 28Hercules Sarti
22. Um lote contém 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. Cinco lâmpadas são escolhidas
ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) todas serem boas?
b) todas serem defeituosas?
c) 2 serem boas e 3 defeituosas?
23. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 7 brancas. Duas bolas são extraídas sucessivamente ao
acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) ambas serem brancas?
b) ambas serem vermelhas?
24. Uma moeda é lançada 10 vezes, qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas?
25. Sejam A e B eventos tais que: P(A) =
3
1 , P(B) =
4
1 e P(A∩B) =
6
1 .
Determine:
a) P(A/B)
b) P(B/A)
c) P(A/A∪B)
d) P(A∪B/A)
26. Dos 50 alunos de uma classe, 10 foram reprovados em Física, 12 em Matemática, sendo que 6
foram reprovados em Física e Matemática. Um aluno é escolhido ao acaso.
a) Sabendo que ele foi reprovado em Matemática, qual a probabilidade de também ter sido
reprovado em Física?
b) Sabendo que ele foi reprovado em Física, qual a probabilidade de também ter sido re­
provado em Matemática?
27. Um casal tem dois filhos. Determine a probabilidade de ambos serem rapazes, dado que:
a) o primeiro filho é rapaz.
b) pelo menos um dos filhos é rapaz.
28. Um dado é lançado e o número da face de cima é observado.
a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5?
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade de ele ser par?
c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3?
d) Se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?
29. Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
a) Qual a probabilidade de o número ser par?
b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50?
c) Quala probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?
Page 29 Análise Combinatória e Probabilidades
30. Dois dados d
1
e d
2
são lançados.
a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6, se a face observada em d1 foi 2?
b) Qual a probabilidade de o dado d1 apresentar face 2, se a soma dos pontos foi 6?
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos
um dado apareceu o resultado 2?
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma dos pontos
nos dois dados foi menor ou igual a 4?
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, se a soma dos pontos
foi menor ou igual a 9?
31. Considere um tetraedro, como um dado, com 4 faces numeradas de 1 a 4. Dois tetraedros t
1
e t
2
são lançados sobre um plano e observam­se os números das faces nas quais se apoiam
os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos for maior que 5, qual a probabilidade de que o
número observado em t
1
seja:
a) 4?
b) 3?
32. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada
moça, segundo a tabela:
CABELOS
OLHOS
Azuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a probabilidade
de ela ser:
a) loira?
b) morena de olhos azuis?
c) morena ou ter olhos azuis?
d) está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente co­
bertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela
seja morena?
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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33. De um total de 100 alunos que se destinam ao curso de Matemática, Física e Química sabe­se
que:
I ­ 30 destinam­se à Matemática e, desses, 20 são do sexo masculino.
II ­ O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam­se à Química.
III ­ Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.
34. Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo femi­
nino, qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática?
Page 30Hercules Sarti
35. Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo­se ao acaso entre Antônio, Benedito, César,
Denise, Elisabeth e Fábio. Se Denise não pertence à comissão, qual a probabilidade de César
pertencer?
36. Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos
ocupados. Qual é a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um
apartamento ocupado?
37. Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e
o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao
acaso, um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Determine a probabilidade de a face que o
juiz vê ser vermelho e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela.
38. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas.
Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também ao acaso. Qual a probabi­
lidade de observarmos:
a) urna I e bola vermelha?
b) urna I e bola preta?
c) urna II e bola vermelha?
d) urna II e bola preta?
39. Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao acaso e, sem
reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a probabilidade de:
a) a 1ª bola ser vermelha e a 2ª branca?
b) a 1ª bola ser branca e a 2ª vermelha?
c) a 1ª e a 2ª serem vermelhas?
40. O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias no mês de outubro. Qual a
probabilidade de não chover nos dias 1º e 2 de outubro?
41. A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna
III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é
extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser:
a) vermelha?
b) branca?
c) amarela?
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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42. Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fábrica B
existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica C existem 38 peças boas e 2
defeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a
probabilidade de a peça ser:
a) boa?
b) defeituosa?
Page 31 Análise Combinatória e Probabilidades
43. Em um jogo de cara ou coroa, em cada tentativa a moeda é lançada 3 vezes consecutivas. Uma
tentativa é considerada um sucesso se o número de vezes que se obtém cara superar estri­
tamente o número de vezes que se obtém coroa. Qual é a probabilidade de serem obtidos 2
sucessos nas 2 primeiras tentativas?
44. A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas, 5 amarelas e 2
brancas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna I e colocada na urna II, em seguida uma bola é
escolhida na urna II ao acaso. Qual a probabilidade de essa segunda bola ser:
a) vermelha?
b) amarela?
c) branca?
45. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma
urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola, também ao acaso.
a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?
b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha?
c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I?
46. Uma caixa contém 3 moedas M
I
, M
II
e M
III
. A M
I
é “honesta”, a M
II
tem duas caras e a M
III
é viciada
de tal modo que caras são duas vezes mais prováveis que coroas. Uma moeda é escolhida ao
acaso e lançada.
a) Qual a probabilidade de observarmos moeda MI e cara?
b) Qual a probabilidade de observarmos cara?
c) Se o resultado final foi cara, qual a probabilidade de que a moeda lançada tenha sido MI .
47. Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a produção da máquina A é o triplo
da produção da máquina B. A máquina A produz 80% de peças boas e a máquina B produz
90%. Uma peça é selecionada ao acaso no estoque e verifica­se que é boa. Qual a probabilida­
de de que tenha sido fabricada pela máquina A?
48. Certa moléstia A é detectada através de um exame de sangue. Entre as pessoas que efetiva­
mente possuem a moléstia A, 80% delas têm a moléstia detectada pelo exame de sangue.
Entre as pessoas que não possuem a moléstia A, 5% delas têm a moléstia detectada (erronea­
mente) pelo exame de sangue. Numa cidade, 2% das pessoas têm a moléstia A. Uma pessoa da
cidade foi submetida ao citado exame de sangue, que a acusou como portadora da moléstia A.
Qual a probabilidade de essa pessoa estar efetivamente atacada pela moléstia?
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49. Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. 5% dos homens são daltôni­
cos e 0,25% das mulheres são daltônicas. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica­se que
é daltônica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher?
Page 32Hercules Sarti
50. As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: P(A) =
3
1 e P(B) =
5
3 .
Qual a probabilidade de que:
a) ambos resolvam o problema?
b) ao menos um resolva o problema?
c) nenhum resolva o problema?
d) A resolva o problema, mas B não?
e) B resolva o problema, mas A não?
51. A probabilidade de certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de certa data, é 0,4, e de que
sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0,5. Qual a probabilidade de:
a) ambos sobreviverem mais 10 anos a partirdaquela data?
b) ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data?
52. A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A) =
2
1
, a de que outro aluno
B resolva é P(B) =
3
1 e a de que um terceiro aluno C o resolva é P(C) =
4
1 . Qual a probabilidade
de que:
a) os três resolvam o problema?
b) ao menos um resolva o problema?
53. Luís tem probabilidade
4
1 de convidar Alice para um passeio num domingo. A probabilidade
de que César a convide é
5
2 e a de Olavo é
2
1 . Qual a probabilidade de que:
a) os três a convidem para o passeio?
b) ao menos um a convide para o passeio?
c) nenhum a convide para o passeio?
54. As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são
2 4 7
,
3 5 10
e , respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que
pelo menos um marque um gol?
55. Em uma indústria, há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários­mínimos (sm), 20 que ga­
nham entre 10 e 20 sm e 70 que ganham menos de 10 sm. Três pessoas dessa indústria são
selecionadas. Determine a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 sm.
56. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 m de altura. 60% dos
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estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75 m. Qual aprobabilidade de que seja homem?
Page 33 Análise Combinatória e Probabilidades
57. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de
4
3
, da classe B é de 5
1
e da C é de 1
20
. As probabilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca X são
1 3 3
,
10 5 10
e , dado que sejam A, B e C, respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca
X. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?
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35
Page 34
Consideremos uma única tentativa de um
experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou
fracasso nessa tentativa. Seja p a probabilidade
de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com
p + q = 1.
Seja X: número de sucessos em uma única
tentativa do experimento. X assume o valor O
que corresponde ao fracasso, com probabilidade
q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com
probabilidade p.
=
sucesso1
fracasso0
X com P(X = 0) = q
e P(X=1) = p
Nessas condições, a variável aleatória X tem
distribuição de Bernoulli, e sua função de proba­
bilidade é dada por:
xxqpxXP
−×== 1)(
Com média ou esperança E(X) = p e com va­
riância VAR(X) = p×q.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES3
Exemplo 21: Uma urna tem 30 bolas bran­
cas e 20 verdes. Retira­se uma bola dessa urna.
Seja X: número de bolas verdes, calcular E(X),
VAR(X) e determinar P(X).
Resolução:
Resolução:
5
2
50
20
1
5
3
50
30
q0
p
X
5
2
)( pXE
25
6
5
3
5
2
)( qpXVAR
xx
xXP
1
5
3
5
2
)(
3.1 Distribuição de Bernoulli
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Page 35Hercules Sarti
Consideremos tentativas sucessivas e inde­
pendentes de um mesmo experimento aleatório.
Cada tentativa admite sucesso com probabilida­
de p e fracasso com probabilidade q; p + q = 1.
Seja X: número de tentativas necessárias ao
aparecimento do primeiro sucesso.
Logo, X assume os valores:
X = 1, que corresponde ao sucesso (S) e P(X
= 1) = p;
X = 2, que corresponde ao fracasso (F) na 1ª
tentativa e sucesso na segunda, (FS) e P(X = 2) =
Saiba mais
Família serve a ciência por 100 anos
“Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a família Bernoulli. Oriunda
dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em 1583 para Basiléia, na Suíça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de
membros da família conseguiu renome na Matemática e na Física, sendo quatro deles efeitos como sócios estrangeiros da
Academia das Ciências, da França.
Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean, respectivamente, quinto e décimo filhos
de Nicolaus.
Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou­se por seus estudos sobre infinitésimos, seus
artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas na revista ‘Acta Eruditorum’ (Anotações dos eruditos), suas pesquisas
sobre séries infinitas em que aparece o resultado célebre conhecido como ‘desigualdade de Bernoulli’: (1 + x)n > 1 + nx.
A ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente.
Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a parábola semi­cúbica, a lemniscata, a
catenária, a isócrona, a espiral logarítmica, etc.
Jean Bernoulli, segundo a vontade do seu pai, deveria ser médico. Indo estudar em Paris, desgarrou para a Matemática,
escrevendo em 1691­1692 dois livros de Cálculo que foram publicados muito mais tarde.
Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês de L’Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em
enviar ao nobre francês suas descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse.
A consequência foi que, uma das mais importantes descobertas de Jean passou à História com nome de ‘regra de
L’Hospital’.
Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz, pois todos eles colaboravam com artigos
para a mesma revista, ‘Acta Eruditorum’ (Anotações dos eruditos). Jacques é também autor do clássico ‘Arte de conjecturar’,
considerada a mais antiga obra sobre probabilidade.
Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean II. Nicolas foi professor de Matemática em S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram
professores em Basiléia. Outro Bernoulli, Nicolas II, primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu,
em Pádua. Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade.
Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no século XVIII, fazendo juz ao nome da família.”
Fonte: http://matematica.com.br/site/biografias/105.html.
3.2 Distribuição Geométrica
X = 3, que corresponde a (FFS) e P(X = 3) =
P(F ∩ F ∩ S) = q x q x p
= q² x p;
X = 4, que corresponde a (FFFS) e P(X = 4) =
q³ x p; e assim sucessivamente.
Nessas condições, a variável aleatória X tem
distribuição de Geométrica, e sua função de pro­
babilidade é dada por:
pqxXP x ×== −1
)(
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P(F ∩ S) = q x p;
Page 36 Análise Combinatória e Probabilidades
Exemplo 22: A probabilidade de se encon­
trar aberto o sinal de trânsito numa esquina é
0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário
passar pelo local 5 vezes, para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
Resolução:
X: número de vezes necessárias para encon­
trar o sinal aberto.
p = 0,20 q = 0,80
pqxXP x ×== −1
)(
P (X = 5) = (0,80)4 x (0,20) = 0,08192
A probabilidade é de 0,08192
A distribuição binomial tem esse nome por­
que se baseia no desenvolvimento de (a + b)n,
que é o Binômio de Newton.
Consideremos, então, uma sequência de
n ensaios. Seja p a probabilidade de sucesso em
cada ensaio e q a probabilidade de fracasso (q =
1 – p). Queremos calcular a probabilidade P
k
, da
ocorrência de exatamente K sucessos, nos n en­
saios. É evidente que K ∈ {0, 1, 2, ..., n}.
A probabilidade P
k
de exatamente K suces­
sos nos n ensaiosserá dada pela fórmula:
knk
k qp
k
n
P
−⋅⋅=
Onde: n !
k! (n k)!
n
k
 
= 
⋅ − 
(Combinação dos
n elementos tomados k vezes)
Os valores de n e k são sempre inteiros.
3.3 Distribuição Binomial
Atenção
Consideremos, então, uma sequência de n en­
saios. Seja p a probabilidade de sucesso em cada
ensaio e q a probabilidade de fracasso (q = 1 – p).
Queremos calcular a probabilidade Pk, da ocor­
rência de exatamente K sucessos, nos n ensaios.
Exemplo 23: Uma urna tem 4 bolas verme­
lhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, ob­
servada sua cor e reposta na urna. O experimento
é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de ob­
servarmos exatamente 3 vezes bola vermelha?
Resolução:
O problema trata­se de uma distribuição bi­
nomial em que cada ensaio será feito nas mesmas
condições (bola é reposta na urna). Temos, então:
Número de ensaios n = 5.
Probabilidade de sucesso para um ensaio
6
4=p (nesse caso, o sucesso é bola vermelha).
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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40
Probabilidade de fracasso é o evento com­
plementar dado por
6
2
6
4
1 =−=q .
Aplica­se a fórmula para K = 3 (exatamente
3 vezes bola vermelha):
knk
k qp
k
n
P
−⋅⋅=
3 2
3
5 4 2
10 0,2963 0,1111 0,3292
3 6 6
P
         
= ⋅ ⋅ = × × =         
      
3.4 Distribuição de Poisson
Consideremos a probabilidade de ocorrên­
cia de sucessos em um determinado intervalo.
A probabilidade da ocorrência de um suces­
so no intervalo é proporcional ao intervalo. A pro­
babilidade de mais de um sucesso nesse intervalo
é bastante pequena com relação à probabilidade
de um sucesso.
Seja X o número de sucessos no intervalo,
então:
!
)(
k
e
kXP
Kλλ ×
==
−
, onde
718282,2≅e e l é a média aritmética.
A variável X assim definida tem distribuição
de Poisson.
A distribuição de Poisson é muito usada na
distribuição do número de:
1. Carros que passam por um cruzamento
por minuto, durante certa hora do dia;
2. Erros tipográficos por página, em um
material impresso;
3. Defeitos por unidade por peça fabrica­
da;
4. Colônia de bactérias numa dada cul­
tura por 0,01 mm², numa plaqueta de
microscópio;
5. Mortes por ataque de coração por ano,
numa cidade. É aplicada também em
problemas de filas de espera em geral,
e outros.
Exemplo 24: Num livro de 800 páginas há
800 erros de impressão. Qual a probabilidade de
que uma página contenha pelo menos 3 erros?
Resolução:
Sendo X: número de erros por página
A média l = 800 erros: 800 páginas = 1 erro
por página
Queremos calcular P(X ≥ 3) = ?
P(X ≥ 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [ P(X=0) + P(X=1)
+ P(X=2)]
×
+
×
+
×
−=
−−−
!2
1
!1
1
!0
1
1
211101 eee
]183940,0367879,0367879,0[1 ++−=
080302,0919698,01 =−=
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41
Há uma distribuição de frequência deno­
minada curva normal, considerada um modelo
teórico ou ideal que resulta muito mais de uma
equação matemática do que de um real delinea­
mento de pesquisa com coleta de dados.
A curva normal é um tipo de curva simétri­
ca, suave, cuja forma lembra um sino. Ela é uni­
modal, sendo seu ponto de frequência máxima,
situado no meio da distribuição, em que a média,
a mediana e a moda coincidem.
3.5 Distribuição Normal
Dicionário
Unimodal: no caso da curva normal, significa que
a curva tem apenas um pico (observe a figura a
seguir).
Em Estatística, diz­se que possui apenas uma
moda (medida estatística).
A Distribuição Normal é uma das mais im­
portantes distribuições de probabilidades co­
nhecidas. Isso se deve não só aos recursos que
ela própria oferece, mas também ao fato de que
muitas outras distribuições de probabilidades
convergem para ela.
A Distribuição Normal é uma distribuição
contínua, ou seja, a variável X pode assumir
quaisquer valores do campo dos reais. Lembre­se
que, se X tiver Distribuição Binomial, só poderá
ter valores inteiros. Nesse caso, a variável X é cha­
mada de discreta.
Na Figura 1 é possível visualizar um exem­
plo de Curva Normal.
Figura 1 – Exemplo de curva normal.
Frequência
A área sob a curva é aquela região do pla­
no compreendida entre a curva e o eixo das abs­
cissas, que corresponde em qualquer Distribuição
Normal a 100% dos dados considerados.
A natureza simétrica da Curva Normal vai le­
var a concluir que qualquer distância medida em
unidades de desvio padrão (S), acima ou abaixo
da média, contém a mesma porção da área sob
a curva.
Temos então:
▪ 34,13% da área total situa­se entre a
média e 1 S abaixo ou acima da média;
▪ 47,72% da área total situa­se entre a
média e 2 S abaixo ou acima da média;
▪ 49,87% da área total situa­se entre a
média e 3 S abaixo ou acima da média.
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42
Vamos imaginar uma variável X que te­
nha Distribuição Normal com média X e desvio
padrão S. Se deslocarmos o eixo vertical para a
direita até o centro da curva, teremos feito uma
mudança de origem, em que o zero passou a
ocupar a média da curva. Tomemos uma nova va­
riável Z e definindo­a, temos:
S
XX
Z i −=
Onde X
i
é qualquer valor da variável X no
campo dos reais.
Com esse processo, teremos construído
uma Distribuição Normal Reduzida ou Distri­
buição Normal Padronizada com os seguintes
parâmetros:
0=X 12 =S S = 1
Dessa forma, as infinitas distribuições nor­
mais reduzem­se a apenas uma: N(0; 1).
Uma forma abreviada de indicar que a
variável X se distribui normalmente é escrever
);(N é X2SX , onde X é a média e S2 é a variân­
cia.
Exemplo 25: X é N(20; 16). Calcular P(X <
25).
Resolução:
São dados: 20X = e S² = 16. Então: S = 4.
Primeiramente vamos transformar a variá­
vel X em variável reduzida Z:
25 20 5
1, 25
4 4
iX X
Z
S
− −
= = = =
Consultando a tabela de probabilidades
curva normal reduzida (Anexo 1), obtemos a pro­
babilidade de 0,3944 para Z = 1,25. É importante
lembrar que essa probabilidade vai da média até
1,25 unidade de desvio padrão acima da média.
O problema pede: P(X < 25) = P(Z < 1,25) =
0,3944 + 0,5 = 0,8944.
3.6 Aproximação da Binomial pela Normal
A média aritmética de uma distribuição bi­
nomial é dada por
pn⋅=µ
Onde:
m representa a média procurada (popula­
cional);
n representa o número de repetições do ex­
perimento;
p representa a probabilidade associada ao
evento sucesso.
A variância de uma distribuição binomial é
dada por
qpn⋅⋅=2σ
Onde:
σ2 representa a variância procurada (popu­
lacional);
n representa o número de repetições do ex­
perimento;
p representa a probabilidade associada ao
evento sucesso;
q representa a probabilidade associada ao
evento fracasso.
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Quando pn ⋅ ou qn ⋅ (sempre o menor)
for 5≥ , a normal constituirá uma boa aproxima­
ção para a binomial. A fórmula resolutiva da bino­
mial pela normal é:
qpn
pnX
Z i
i ⋅⋅
⋅−±
= 5,0
Exemplo 26: Uma moeda honesta é lança­
da 20 vezes. Sendo X o número de “caras”, deter­
minar P (12 ≤ X ≤ 14).
Resolução:
1
12 0,5 20 0,5 11,5 10 1,5
0,67
2,236120 0,5 0,5 5
Z
− − ⋅ −
= = = =
⋅ ⋅
2
14 0,5 20 0,5 14,5 10 4,5
2,01
2,236120 0,5 0,5 5
Z
+ − ⋅ −
= = = =
⋅ ⋅
Consultando a tabela de probabilidadescurvanormal reduzida (Anexo 1), obtemos a pro­
babilidade de 0,2486 para Z = 0,67 e 0,4778 para
Z = 2,01. É importante lembrar que essa probabi­
lidade vai da média até 0,67 ou até 2,01 unidades
de desvio padrão acima da média.
O problema pede: P(12 ≤ X ≤ 14) = P(0,67 ≤
Z ≤ 2,01) = 0,4778 – 0,2486 = 0,2292.
3.7 Resumo do Capítulo
3.8 Atividades Propostas
Neste capítulo, aprofundamos os conceitos referente a probabilidades, estudando as Distribuições
Estatísticas de Probabilidades. Com os novos conceitos, podemos verificar maiores aplicações das proba­
bilidades na resolução de problemas com enfoques diferenciados daqueles vistos no capítulo anterior.
Devemos destacar as Distribuições Binomial, Normal e de Poisson, mais comuns em situações cotidianas.
1. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras?
2. Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes?
3. Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda quando atira. Supondo que às
vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exa­
tamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?
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4. A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de
5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?
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5. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara?
6. Um time de futebol tem probabilidade p = 3/5 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar
5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma?
7. Numa estrada há dois acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em:
a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes?
b) 300 km ocorram 5 acidentes?
8. A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a pro­
babilidade de que numa instalação de:
a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem?
b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem?
9. Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de
um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo
setor de 3 km de extensão?
10. Sabe­se que X tem distribuição Normal com média igual a 60 e variância M. Sabe­se também
que P (X ≥ 70) = 0,0475. Qual o valor de M? Resposta arredondada para o inteiro mais próximo.
11. X tem distribuição Normal com os seguintes parâmetros:
Média aritmética = 30
Variância = 16
Qual a probabilidade de (X ≥ 40)?
12. X é N(20; 49). Calcular P(X < 30).
13. X é N(10; 100). Calcular P(12 ≤ X ≤ 20).
14. X é N(30; 16). Calcular P(X ≤ 19).
15. X é N(20; 25). Calcular P(X ≤ 30).
16. X é N(50; 81). Calcular P(40 ≤ X ≤ 60).
17. X é N(10; 16). Calcular P(X ≥ 5).
Page 42 Análise Combinatória e Probabilidades
18. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio pa­
drão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
a) maior que 120;
b) maior que 80;
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c) entre 85 e 115;
d) maior que 100.
19. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão
5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:
a) entre 60 kg e 70 kg;
b) mais que 63,2 kg;
c) menos que 68 kg.
20. Os salários dos diretores das empresas de São Paulo distribuem­se normalmente com média de
R$ 8.000,00 e desvio padrão de R$ 500,00. Qual a porcentagem de diretores que recebem:
a) menos de R$ 6.470,00?
b) entre R$ 8.920,00 e R$ 9.380,00
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CONSIDERAÇÕES FINAIS4
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Este material foi elaborado para você, o(a) aluno(a) da área de Ciências Exatas, atingir os objetivos
de aprendizagem propostos para esta disciplina. Com a leitura desta apostila e a realização dos exercícios
propostos, espera­se que você consiga desenvolver as habilidades e os conhecimentos que contribuem
com a formação do(a) profissional egresso(a) desta área.
O aprofundamento dos assuntos apresentados e a ampliação de outros conhecimentos podem ser
adquiridos através dos livros citados nas Referências e em outras obras relacionadas com esses temas.
Para o aproveitamento completo da disciplina, é fundamental que você utilize os recursos disponí­
veis no portal (correio, chat e fórum), assista às aulas web e às aulas transmitidas via satélite, e realize as
atividades avaliativas e a prova presencial de maneira satisfatória.
Espera­se que as suas expectativas possam ser atingidas, coloco­me à disposição para as críticas
em relação a esta obra.
Um forte abraço.
Prof. Hercules Sarti
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RESPOSTAS COMENTADAS DAS
ATIVIDADES PROPOSTAS
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CAPÍTULO 1
1. 10 2. 6 3. 12 4. 12 5. 6 6. 6
As questões 1 e 2 referem­se a combinações. As questões 3 e 4 referem­se a arranjos simples. Já as
questões 5 e 6 referem­se a permutações.
7. a) 1.320 b) 3.003 8. a) 2 b) 7 c) 5
Na questão 7, desenvolva os fatoriais maiores até atingirem os fatoriais menores e, simplifique as
frações. Faça o mesmo nas equações da questão 8, simplificando e eliminando os fatoriais.
9. 72 10. 24 11. 720 12. 4
No exercício 9, usar arranjo com n = 9 e p = 2. Na questão 10, usar permutação para n = 4. Na 11,
usar permutação para n = 6.
No 12, usar os conceitos de permutação, simplificando os fatoriais.
13. a) 24 b) 48 c) 120 14. 35 15. 14
No 13, usar permutações: a) P
4
= 24, b) 2.P
4
= 48, c) P
5
= 120.
No 14, usar combinação: C
7,3
= 35. No 15 fazer C
7,2
= 21 segmentos e subtrair o número de lados, ou
seja, 21 – 7 = 14 diagonais.
16. a) 11 b) 8 17. 24 18. 504
No 16, usar a fórmula de combinações, simplificar os fatoriais e calcular o valor de n. No 17, fazer
1.P
4
= 24. No 18, usar arranjo: 1 . 9 . 8 .7 = 504.
19. 120 20. 11 21. m = 7; n = 8
No 19 fazer C
10,3
= 120. No 20 usar as fórmulas de arranjo e combinação, simplificar os fatoriais e
obter n = 11.
No 21, resolver o sistema de equações.
Page 45Hercules Sarti
22. 35 23. a) 630 b) 252 c) 378 24. 1.000 25. 6.720
a) No 22 fazer C
7,4
= 35. No 23, usar combinação: a) C
3,1
. C
10,4
;
b) b) C
3,1
. C
9,3
; c) C
3,1
. C
9,4
. No 24, usar arranjos: 1 . 10 . 10 . 10 = 1000.
c) No 25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.
26. 30.240 27. 48 28. 15 29. 13 30. 21
No 26, permutação com elementos repetidos: 9! : (3!2!) = 30240.
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50
No 27, P . P
4
= 48. No 28, usar combinação: C
6,2
= 15. No 29, usar combinação: C
6,2
– C
3,2
+ 1= 13. No
30, usar combinação: C
7,2
= 21.
No E25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.
31. 120 32. 101 33. 720 34. a) 250 b) 48
No 31, usar combinação: C
10,3
= 120. No 32: C
10,3
– C
6,3
+ 1= 101.
No 33, usar arranjo: A
10,3
= 720.
No 34, usar arranjos: a) 5 . 5 . 5 . 2 = 250; b) 4 . 3 . 2 . 2 = 48.
35. a) 5.040 b) 144 36. 2260 37. 120
No 35, usar permutação: a) 7! = 5040; b) 4! 3! = 24 . 6 = 144.
No 36,calcular a quantidade de números ímpares e subtrair a quantidade que tem algarismos re­
petidos. 37. Usar: P
5
= 5! = 120.
No E25, permutação com elementos repetidos: 8! : 3! = 6720.
38. a) 14.400 b) 10.800 c) 720 d) 4320 39. 34.560 40. 35
No 38, usar permutação: a) 5 . 6! . 4 = 14400; b) 3 . 6! . 5 = 10800;
c) 6! = 720; d) 6! . 3! = 4320. No 39, P
2
. P
4
. P
6
= 34560.
No 40, permutação com elementos repetidos: 7! : (4! . 3!) = 35.
41. a) 20 b) 120 42. a) 924 b) 30 43. 70
No 41: a) C
6,3
= 20; b) A
6,3
= 120.
No 42: a) C
12,6
= 924; b) A
6,2
= 30.
No 43, usar combinações: C
9,3
– C
5,3
– C
4,3
= 84 – 10 – 4 = 70.
44. 1.680 45. a) 120 b) 246 c) 66
No 44, usar combinações: C
9,3
. C
6,3
. C
3,3
= 1680. No 45, usar combinações: a) C
6,3
. C
4,2
= 120; b) C
4,1
.
C
6,4
+ C
4,2
. C
6,3
+ C
4,3
. C
6,2
+ C
4,4
. C
6,1
= 246; c) C
4,0
. C
6,5
+ C
4,1
. C
6,4
= 66.
Page 46 Análise Combinatória e Probabilidades
46. a) 28560 b) 32485 c) 24948 d) 31608 e) 84735 47. 182
No 46, usar combinações: a) C
4,1
. C
36,3
= 28560; b) C
4,1
. C
36,3
+ C
4,2
. C
36,2
+ C
4,3
. C
36,1
+ C
4,4
. C
36,0
= 32485;
os itens c, d e e são análogos.
No 47, usar combinações: C
2,1
. C
8,3
+ C
2,0
. C
8,4
= 120 + 70 = 182.
48. 24 49. 5.040
Na questão 48, cada menino deve receber 5 bolinhas de cada cor, subtrair 10 bolinhas de cada uma
das cores e usar o princípio multiplicativo com as bolinhas restantes. 49. P
7
= 5040.
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51
50. 240 51. 5
No 50, usar permutação com elementos repetidos: 7! : (3! . 2!) = 420. Dos 420 números, são ímpares
4/7, ou seja 240. 51. Usar permutação com elementos repetidos: (n + 3)! : (n! . 3!) = 8n + 16 e resol­
ver a equação.
CAPÍTULO 2
1. ¼ 2. a) 1/6 b) 1/36 c) 1 d) 5/36 e) 31/36
f) 1/36 g) 0 h) 5/18 i) 1/9
1. Há duas bolas vermelhas num total de 8 bolas, resultando em 2/8.
2. No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elementos
de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
3. 1 4. a) 2/3 b) 1/3
3. Na cidade há 1.000 eleitores e 510 já se decidiram definitivamente pelo candidato A. Logo, o
candidato A tem a maioria dos votos e será eleito (evento certo). 4. Considere o espaço amostral
formado por 2 caras e 1 coroa, resultando em 2/8.
E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elemen­
tos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
5. a) 1/52 b) 1/13 c) ¼ d) 3/13 e) 12/13
5. Considere o espaço amostral formado por 52 elementos. Estabeleça o número de elementos de
cada evento. Monte as probabilidades em forma de frações e simplifique­as sempre que possível.
E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elemen­
tos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
Page 47Hercules Sarti
6. a) 3/10 b) 2/10 c) ½ 7. 1/54
6. Considere o espaço amostral formado por 10 bolas. Estabeleça o número de elementos de cada
evento. Monte as probabilidades em forma de frações e simplifique­as sempre que possível. 7.n(S)
= 6³ = 216.
E53: No lançamento de dois dados, temos 36 possibilidades, determine a quantidade de elemen­
tos de cada evento e estabeleça a sua probabilidade.
8. P(B) = 1/3; P(D) = 1/6 9. ½
8. Use A = 2x , B = 2x, C = x e D = x. A soma das probabilidades é 1. Logo 6x = 1 e x = 1/6.
9. Use a soma das probabilidades é igual a 1.
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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52
10. P(A) =1/2; P(B) = 3/4; P(Ac) = 1/2; P(Bc) = 1/4; P(A ∩ B) = 1/4; P(A ∪ B) = 1.
10. Probabilidade de A, é dada por 1/8 + 1/8 + 1/4 = 1/2. Use o evento complementar P(Ac) = 1 –
P(A). Determine a união e a intersecção dos conjuntos A e B, e suas probabilidades.
11. a) 5/7 b) 2/7 12. a) 2/5 b) 3/10 c) 1/10 d) 3/5
11. Somar 5 com 2, obtendo o denominador 7 da fração.
12. Montar os conjuntos em forma de diagramas, começando pela intersecção de 10 alunos. De­
terminar as probabilidades.
13. a)1/6 b) 5/6 14. a) 1/3 b) 1/11 c) 19/33
13. Dois dados formam um espaço amostral de 36 pares de números. Use também o evento com­
plementar.
14. a) 4/12 = 1/3; b) 4/12 . 3/11 = 1/11; c) use combinações C
12,2
e outros diagramas, começando
pela intersecção de 10 alunos. Determinar as probabilidades.
15. a) 2/11 b) 9/11 16. A = R$ 4.900,00 e B = R$ 700,00
15. usar permutações: a) (2. P
10
: P
11
); b) usar o evento complementar.
16. as chances de A são 7/8 (AAA), (AAB), (ABA), (BAA), (ABB), (BAB), (BBA) e as de B 1/8 (BBB). Fazer
7/8 x 5600 = 4900.
17. a) 1/50 b) 7/50 c) 7/25 d) 14/25 e) 11/25
17. Montar o diagrama representando os conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersecção.
a)10/500 = 1/50, b) 70/500 = 7/50, c) 140/500 = 7/25, d) 280/500 = 14/25, e) União 220/500 = 11/25.
Page 48 Análise Combinatória e Probabilidades
18. a) 21/50 b) 1/5
18. montar o diagrama representando os três conjuntos e iniciar seu preenchimento pela intersec­
ção dos três. Depois, pelas interseções dois a dois: a) 21000/50000 = 21/50, b) 10000/50000 = 1/5.
19. a) 3/28 b) 25/28 20. 1/12
21. Usar permutações na probabilidade: a) (P
3
. P
6
): P
8
; b) Usar o evento complementar.
22. Permutações na probabilidade: (P
3
. P
7
): P
9
23. 2/7 24. a) 0,3879 b) 0,000046 c) 0,0269
23. Usar combinações (C
4, 2
. C
2, 1
. C
3, 2
): C
9, 5
.
24. Usar combinações: a) C
50, 5
: C
60, 5
= 0,3879; b) C
10, 5
: C
60, 5
= 0,000046; c) (C
50, 5
. C
10, 3
): C
60, 5
= 0,0269.
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53
25. a) 7/22 b) 5/33 26. 63/256
25. Usar combinações: a) C
7, 2
: C
12, 2
; b)C
5, 2
: C
12, 2
.
26. Determinar o espaço amostral n(S) = 210 = 1024. Usar combinações para determinar o evento 5
caras, C
10,5
= 252. A probabilidade é 252/1024 e simplifique.
27. a) 2/3 b) 1/2 c) 4/5 d) 1
27. Usar probabilidade condicionada: a) 1/6 : 1/4; b) 1/6 : 1/3; c) lembre­se que A Ç (A È B) = A e
calcular a união, resultando em1/3 : 5/12; d) P(A) : P(A) = 1.
28. a) 1/2 b) 3/5 29. a) 1/2 b) 1/3
28. a) 12 foram reprovados em Matemática, e, desses, 6 foram reprovados em Física, logo temos
6/12 = 1/2; b) 6/10 = 3/5.
29. a) (MF), (MM): P = 1/2; b) (MF), (MM), (FM): P = 1/3.
30. a) 1/3 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/2 31. a) 1/2 b) 24/49 c) 1/5
30. a) {2, 4, 6} P = 1/3; b) {5, 6} P = 1/2; c) {1, 3, 5} P = 1/3; d) {1, 2 } P = 1/2. 31. a) 50/100 = 1/2; b) há
49 números menores que 50. Destes, 24 são pares; P = 24/49; c) 10/50 = 1/5.
32. a) 1/6 b) 1/5 c) 7/11 d) 1 e) 4/15 33. a) 1/2 b) 1/3
32. a) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), P = 1/6; b) (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), P = 1/5; os outros
itens são análogos.
33. Soma maior que 5, temos: (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4) a) P = 3/6 =1/2; b) 2/6 = 1/3.
Page 49Hercules Sarti
34. a) 13/25 b) 2/25 c) 19/25 d) 7/13 35. 1/5
34. Analisando a tabela dada, obtemos as probabilidades indicadas.
35. Montar uma tabela a partir do enunciado e determinar a probabilidade condicionada.
36. 3/5 37. 2/5 38. 1/6 39. a) 3/14 b) 2/7 c) 3/8 d) 1/8
36. Fazer C
5,3
e obter a probabilidade condicionada 6/10 =3/5.
37. Interpretar e obter a probabilidade P = 2/5.
38. Interpretar e obter a probabilidade P = 1/6. 39. a) 1/2 . 3/7 = 3/14; b) 1/2 . 4/7 = 2/7.
40. a) 4/35 b) 4/35 c) 4/15
41. 65/93
42. a) 11/28 b) 71/140 c) 1/10
43. a) 53/60 b) 7/60
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54
44. 1/445. a) 11/30 b) 7/15 c) 1/6
46. a) 3/14 b) 33/56 c) 4/11
47. a) 1/6 b) 13/18 c) 3/13
48. 8/11
49. 24,6%
50. 1/21
51. a) 1/5 b) 11/15 c) 4/15 d) 2/15 e) 2/5
52. a) 0,2 b) 0,7
53. a) 1/24 b) 3/4
54. a) 1/20 b) 31/40 c) 9/40
CAPÍTULO 3
1. 0,2344
2. 0,03215
3. 0,0459
4. 0,2592
5. 0,9844
6. 0,98976
10. s² = 36
11. 0,0062
12. 0,9236
13. 0,262
14. 0,003
15. 0,9772
16. 0,733
17. 0,8944
Page 50
REFERÊNCIAS
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 1994.
HAZZAN, S. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: Atual, 1993.
LEVIN, J. Estatística aplicada a ciências humanas. São Paulo: Harbra, 1987.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade. São Paulo: Makron, 1999.
09/07/2015 Análise Combinatória e Probabilidades
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55
Page 51
ANEXO
PROBABILIDADES CURVA NORMAL REDUZIDA (0 A Z)
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
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57
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3032 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
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