Matemática - Volume 4

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ENSINO MÉDIO
PRÉ-VESTIBULAR
MAT
MATEMÁTICA
COLEÇÃO PV
Copyright © Editora Poliedro, 2022.
Todos os direitos de edição reservados à Editora Poliedro.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal, Lei 9.610
de 19 de fevereiro de 1998.
ISBN 978-65-5613-330-0
Presidente: Nicolau Arbex Sarkis
Autoria: Flavio Lieb Filho, João Guilherme Giudice, Marco
Aurélio de Melo Miola, Renato Alberto Rodrigues (Tião)
e Umberto Cesar Chacon Malanga
Edição e conteúdo: Ana Paula Enes, Juliana Grassmann
dos Santos, Andriele de Carvalho Landim Aquino, Larissa
Calazans Nicoletti Mesquita, Rodrigo Macena e Silva,
Waldyr Correa dos Santos Junior e Júlia Lima Souza (assist.)
Edição de arte: Christine Getschko, Marina Ferreira,
Bruna H. Fava, Lourenzo Acunzo e Nathalia Laia
Design: Adilson Casarotti
Licenciamento e multimídia: Leticia Palaria de Castro
Rocha e Jessica Clifton Riley, Danielle Navarro Fernandes e
Vitor Hugo Duarte Medeiros
Revisão: Daniel de Febba Santos, Bianca da Silva Rocha,
Bruno Oliveira Freitas, Eliana Marília Gagliotti Cesar, Ellen
Barros de Souza, Ingrid Lourenço, Sara de Jesus Santos,
Sárvia Martins e Thiago Marques
Impressão e acabamento: PierPrint
Crédito de capa: BEST-BACKGROUNDS/Shutterstock.com
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Sumário
Frente 1
12 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton ������������������������������������������������������������������������ 5
Números binomiais, 6
Triângulo de Pascal, 7
Binômio de Newton, 9
Revisando, 11
Exercícios propostos, 12
Texto complementar, 14
Resumindo, 14
Quer saber mais?, 15
Exercícios complementares, 16
BNCC em foco, 18
13 Probabilidades ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 19
Experimento aleatório e espaço amostral, 20
Cálculo de probabilidades, 20
Probabilidade condicional, 23
Distribuição binomial, 27
Revisando, 28
Exercícios propostos, 29
Texto complementar, 37
Resumindo, 37
Quer saber mais?, 39
Exercícios complementares, 39
BNCC em foco, 50
Frente 2
9 Polinômios ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 51
Monômios de uma variável, 52
Binômios, 55
Trinômios com uma variável, 56
Polinômios, 57
Gráficos de polinômios com coeficientes reais, 64
Operações com polinômios, 69
Revisando, 77
Exercícios propostos, 79
Texto complementar, 87
Resumindo, 88
Quer saber mais?, 88
Exercícios complementares, 88
BNCC em foco, 96
10 Equações polinomiais �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 97
Equações de uma variável, 98
Equações polinomiais de uma variável, 99
Raízes de polinômios 3 soluções de equações, 105
Relações entre coeficientes e raízes, 112
Revisando, 113
Exercícios propostos, 115
Texto complementar, 120
Resumindo, 121
Quer saber mais?, 122
Exercícios complementares, 122
BNCC em foco, 126
Frente 3
14 Cilindros ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 127
Definição, 128
Cilindro circular reto ou cilindro de revolução, 128
Cilindro oblíquo, 128
Seção meridiana, 129
Cilindro equilátero, 129
Seção não meridiana, 129
Áreas no cilindro de revolução, 129
Volume de um cilindro, 130
Tronco de um cilindro reto, 130
Revisando, 132
Exercícios propostos, 136
Texto complementar, 139
Resumindo, 140
Quer saber mais?, 140
Exercícios complementares, 140
BNCC em foco, 144
15 Cones e esferas ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 145
Cones, 146
Esferas, 150
A descoberta de Arquimedes, 150
Inscrições e circunscrições, 154
Sólidos de revolução, 159
Revisando, 161
Exercícios propostos, 166
Texto complementar, 175
Resumindo, 176
Quer saber mais?, 179
Exercícios complementares, 180
BNCC em foco, 186
16 Troncos ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 187
Semelhança de sólidos, 188
Semelhança de sólidos e paralelismo, 189
Tronco de pirâmide, 190
Tronco de cone, 190
Revisando, 193
Exercícios propostos, 195
Texto complementar, 200
Resumindo, 200
Quer saber mais?, 201
Exercícios complementares, 201
BNCC em foco, 204
Gabarito ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 205
Números binomiais, triângulo de
Pascal e binômio de Newton
Um binômio elevado à segunda potência (a 1 b)2 ou elevado à terceira potência
(a 1 b)3 pode ser facilmente representado geometricamente e desenvolvido alge-
bricamente pela aplicação da propriedade distributiva. À medida que a potência
aumenta, fica muito mais trabalhoso desenvolver algebricamente a expressão e se
torna inviável representá-la geometricamente. O estudo proposto neste capítulo
facilita o trabalho com esse tipo de expressão e mostra uma importante ferramenta
para a resolução de exercícios que envolvem probabilidades e suas aplicações em
cálculos que envolvem jogos.
12
CAPÍTULO
FRENTE 1
o
ta
ra
e
v
74
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
6 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Números binomiais
No capítulo anterior, entre outras coisas, vimos como
representar e calcular uma combinação. Os números bino-
miais correspondem a uma maneira diferente de apresentar
ou representar as combinações.
Sejam n e k números naturais, com n. k. Um número
binomial ou um coeficiente binomial n sobre p, represen-
tado por
n
k
 é dado por
n
n k k
!
( )! !2 ?
 e dizemos que n é o
numerador e k é a classe do número binomial.
Atenção
Note que o número binomial representa uma combina-
ção
n
k n k
 C
,
5 ou seja, é a quantidade de conjuntos com
k elementos que podemos formar a partir de n elementos
disponíveis. Essa relação pode ser um grande ponto de
partida para tornar este estudo menos abstrato.
Casos particulares
Retomando a simplificação de números fatoriais aplica-
da no capítulo anterior, vamos conciliá-la com os chamados
números binomiais e calcular seus valores. Veja alguns
exemplos:
ɔ C
10
4
10!
(10 4)! 4!
10 9 8 7 !
 4 3 2 1
 210
10, 4
5 5
2 ?
5
? ? ? ?
? ? ? ?
5
ɔ C
12
3
12!
(12 3)! 3!
12 11 10 !
 3 2 1
 220
12, 3
5 5
2 ?
5
? ? ?
? ? ?
5
ɔ C
15
13
15!
(15 13)! 13!
15 14 !
2 1 !
 105
15, 13
5 5
2 ?
5
? ?
? ?
5
Confira agora alguns casos particulares aos quais de-
vemos estar atentos.
I.
n n
nn
C
0
!
( 0)! 0!
!
! 1!
1
, 0
5 5
2 ?
5
?
5
O conjunto vazio é o único conjunto sem elementos.
Exemplos:
n3
0
11
0
25
0 0
15 5 5 5
II. 5 5
2 ?
5 5
n n
n
nnC 1
!
( 1)! 1! 1
, 1
 A partir de n elementos podemos formar n conjun-
tos com apenas 1 elemento.
Exemplos:
4
1
 45 ;
12
1
 125 ;
27
1
275 ;
n
n
1
5
III. n
n
n
n n n
n
nn n
C
!
( )! !
!
0! !
1, 5 5
2 ?
5
?
5
 A partir de n elementos, podemos formar um único
conjunto com n elementos.
Exemplos:
n
n
4
4
12
12
21
21
15 5 5 5
Confira as afirmações de cada caso particular utilizando
seus conhecimentos sobre conjuntos.
Binomiais complementaresPara quaisquer números binomiais
n
k
 e
p
q
 com n. k
e p . q, a igualdade
n
k
p
q
5 é válida apenas quando
n 5 p e k 5 q ou quando n 5 p e k 1 q 5 n.
Vamos retomar com exemplos a propriedade enuncia-
da. Note a igualdade dos números apresentados:
6
4
6
2
6!
(6 4)! 4!
6!
(6 2)! 2!
6!
2!4!
6!
4!2!
5 ~
2 ?
5
2 ?
~ 5
Note acima que com 6 elementos disponíveis, a quan-
tidade de possibilidades de escolha de 4 elementos para
formar um conjunto é igual à quantidade de possibilidades
de escolha para um conjunto de 2 elementos.
Também são válidas as igualdades:
10
3
10
7
5
15
5
15
10
5
22
18
22
4
5
Assim, observamos que com 10 elementos disponíveis,
a quantidade de possibilidades de escolha de 3 elementos
para formar um conjunto é igual à quantidade de possi-
bilidades de escolha para um conjunto de 7 elementos.
Omesmo ocorre com 15 elementos disponíveis para a
formação de conjuntos com 5 ou 10 elementos, ou ainda
com 22 elementos disponíveis para a formação de conjun-
tos com 4 ou 18 elementos.
A igualdade
n
k
n
p
5 com n . k e p . q, é válida
quando k5 p ou quando k1 p5 n, e neste caso dizemos
que
n
k
 e
n
p
 são binomiais complementares.
Exemplos:
a)
x
x x x
12 12
9
 9 ou 9 12 35 ~ 5 1 5 ~ 5
b)
x
x x x
18 18
16
 16 ou 16 18 25 ~ 5 1 5 ~ 5
Exercício resolvido
1. Aline faz parte de um grupo de  pessoas. Quais são
as possibilidades de formar um grupo de  pessoas:
a) sem restrições?
b) escolhendo Aline para o grupo?
c) sem escolher Aline para o grupo?
7
F
R
E
N
T
E
 1
Resolução:
a) Podemos resolver este problema com a com-
binação C0, 4, que pode ser representada por
5
? ? ? ?
? ? ? ?
5
10
4
10 9 8 !
4 3 2 1
210
Assim, existem  possibilidades para formarmos
um grupo com  pessoas a partir de um grupo de
 pessoas.
b) Escolhendo Aline, sobram 3 vagas para 9 pessoas.
Podemos resolver o problema com a combinação
C9, 3, definida por 5
? ? ?
? ? ?
5
9
3
9 8
3 2 1
84
Assim, existem  possibilidades para formarmos
um grupo com  pessoas a partir de um grupo de
 pessoas, com Aline incluída no grupo.
c) Eliminando Aline das opções, serão 4 vagas para
9 pessoas disponíveis. Podemos resolver o pro-
blema com a combinação C9, 4, que pode ser
resolvida por 5
? ? ? ?
? ? ? ?
5
9
4
9 8 7 6
4 3 2 1
126
Assim, existem  possibilidades para formar-
mos grupos com  pessoas a partir de  pessoas
disponíveis, sabendo que Aline não estará em ne-
nhum grupo.
Note que, somando os grupos com a presença
de Aline com os que ela não participa, temos a
quantidade total de grupos que podemos formar
sem restrições:
1 5 ~ 1 5
9
3
9
4
10
4
84 126 210
Triângulo de Pascal
Uma maneira de apresentarmos os números binomiais
é utilizando o triângulo de Pascal.
Nele, dispomos números binomiais em linhas, em uma
configuração que lembra o formato de um triângulo. Em
cada linha mantemos o numerador constante e, em cada
coluna, a classe. Assim, temos a disposição:
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha n
C
o
lu
n
a
0
C
o
lu
n
a
 1
C
o
lu
n
a
 2
C
o
lu
n
a
 3
C
o
lu
n
a
 4
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
n
0
n
1
n
2
n
3
n
4
C
o
lu
n
a
n
n
n
»
ˆ
Triângulo de Pascal
Observe o triângulo quando calculados os números
binomiais.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Propriedades do triângulo de Pascal
Podemos perceber algumas regularidades no triângulo
de Pascal.
Elementos das extremidades
Os primeiros e últimos elementos de cada linha são
iguais a 1.
Isso se deve a dois fatores:
ɔ O primeiro elemento de cada linha é da forma
n
0
e, como vimos anteriormente,
n
0
 15 para qualquer
n natural.
ɔ O último elemento de cada linha é da forma
n
n
 e,
como também vimos anteriormente,
n
n
 15 para
qualquer n natural.
Elementos equidistantes dos extremos de uma linha
Os termos equidistantes dos extremos de cada linha
são iguais, pois tratam-se de binomiais complementares.
Considere a linha n. Os elementos equidistantes dos
extremos dessa linha podem ser escritos como
n
k01
e
n
n k2
.
Como k 1 (n 2 k) 5 n,
n
k01
 e
n
n k2
 são bino-
miais complementares. Assim:
Na linha 6, por exemplo, o número que está a uma dis-
tância de 2 posições do primeiro número é 15. O número
que está distante 2 posições do último número também é 15.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Verifique essa propriedade nas outras linhas do
triângulo.
8 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Relação de Stifel
A soma de dois elementos consecutivos de uma linha
é igual ao elemento abaixo do elemento da direita, isto é:
Essa relação é conhecida como relação de Stifel.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Utilizando a expressão do número binomial podemos
provar qualquer das igualdades apresentadas anteriormente.
Exemplos:
a)
8
5
8
6
9
6
1 5 ~
8!
(8 5)! 5!
8!
(8 6)! 6!
9!
(9 6)! 6!
~
2 ?
1
2 ?
5
2 ?
~
8 7 6 5!
3 2 1 5!
8 7 6!
2 1 6!
9 8 7 6!
3 2 1 6!
~
? ? ?
? ? ?
1
? ?
? ?
5
? ? ?
? ? ?
~ 56 1 28 5 84
b)
11
7
11
8
12
8
1 5 ~
11!
(11 7)! 7!
11!
(11 8)! 8!
12!
(12 8)! 8!
~
2 ?
1
2 ?
5
2 ?
~
11 10 9 8 7!
4 3 2 1 7!
11 10 9 8!
3 2 1 8!
12 11 10 9 8!
4 3 2 1 8!
~
? ? ? ?
? ? ? ?
1
? ? ?
? ? ?
5
? ? ? ?
? ? ? ?
~ 330 1 165 5 495
Teorema das linhas
Somando todos os elementos de uma linha temos:
Exemplos:
a)
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
1 1 1 1 5
5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 24
b)
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
1 1 1 1 1 5
5 1 1 5 1 10 1 10 1 5 1 1 5 32 5 25
Saiba mais
Exercícios resolvidos
2. Resolva a equação 1 5
x
11
6
11
7
12
.
Resolução:
Pela relação de Stifel, temos:
( )
1 5 ~ 5
x x
11
6
11
7
12 12
7
12
12
7
~ x 5  ou x 5  2  5 
Portanto, S 5 {, }.
3. Calcule ∑
5
p
p
8
2
7
.
Resolução:
Considere ∑5 5 1 1 1
5
p
p
S
8 8
2
8
3
…
8
7
2
7
Pelo teorema das linhas, temos:
1 1 1 1 1 5 5
8
0
8
1
8
2
…
8
7
8
8
2 256
8
Assim:
1 1 1 5
8
0
8
1
S
8
8
256~
~  1  1 S 1  5 ~ S 5 
4. Em uma sala, há  lâmpadas que acendem de forma
independente. De quantas maneiras podemos ilumi-
nar essa sala?
Resolução:
Podemos acender um conjunto de , , ,  ou  lâmpa-
das. Para cada conjunto, há um número de possibilidades
que pode ser obtido do triângulo de Pascal.
1
5
5
1
9
F
R
E
N
T
E
 1
Pelo teorema das linhas, sabemos que:
1 1 1 1 1 5 5
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
2 32
5
Como
5
0 representa o caso em que nenhuma lâm-
pada está acesa, temos:
1 1 1 1 5 2 5 2 5
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
32
5
0
32 1 31
Assim, há  possibilidades de iluminar a sala.
Binômio de Newton
O termo “binômio” vem de bi (dois) 1 nômio (nome)
e se refere à quantidade de parcelas de uma expressão.
No Binômio de Newton, temos um binômio (a 1 b), sendo
a e b números reais, como base de uma potência n, com
n natural.
As potências de binômios com expoentes iguais ou
menores do que 3 foram apresentadas no capítulo de fato-
ração. Agora, vamos mostrar uma maneira de desenvolver
aquelas com expoentes maiores que 3.
Observe a relação entre os coeficientes do desen-
volvimento das potências e os termos do triângulo de
Pascal:
1 (a 1 b)051
1 1 (a 1 b)151 ?a 1 1 ?b
1 2 1 (a 1 b)251 ?a2 1 2 ?ab 1 1 ?b2
1 3 3 1 (a 1 b)351 ?a3 1 3 ?a2b 1 3 ?ab2 1 1 ?b3
1 4 6 4 1(a 1 b)451 ?a414 ?a3b16 ?a2b214 ?ab311 ?b4
æ æ
Observe os expoentes de a. A primeira parcela tem
expoente igual ao do binômio e ele vai diminuindo nas
parcelas seguintes até a última, onde ele é nulo.
Os expoentes de b, por outro lado, começam com
expoente zero e aumentam até o expoente do binômio.
Por que isso ocorre?
Vamos calcular, por exemplo, o coeficiente do termo
a
4
b
2 do desenvolvimento de (a 1 b)6.
(a1 b)65 (a1 b) ? (a1b) ? (a1 b) ? (a1 b) ? (a1 b) ? (a1 b)
Para obtermos a4b2, multiplicamos no processo dessa
distributiva 4 vezes a e 2 vezes b, considerando os 6 fa-
tores. Observe algumas possibilidades de obtermos esse
resultado:
a ? a ? a ? a ? b ? b, a ? a ? b ? a ? a ? b, b ? a ? b ? a ? a ? a,
b ? a ? a ? a ? a ? b, ...
O número de possibilidades para obtermos a4b2 é a
soma da quantidade de parcelas a4b2 que podem ser for-
madas, e pode ser calculada do número de grupos de dois
b que escolhemos a partir das 6 parcelas disponíveis, ou
seja, a partir de
6
2
.
Exemplo: Vamos desenvolver (2x 1 y)4.




















1 5 ? ? 1 ? ? 1
1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1
1 ? ? 5 1 1 1 1
x y x y x y
x y x y x y
x x y x y x y
y x x y x y xy y
(2 )
4
0
(2 )
4
1
(2 )
4
2
(2 )
4
3
(2 )
4
4
(2 )
1 16 1 4 8 6 4 4 2
1 1 16 32 24 8
4 4 0 3 1
2 2 1 3 0 4
4 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
Note que:
• temos apenas uma possibilidade para formar x4y0:
x ? x ? x ? x
• temos 4 possibilidades para formar x3y1:
x ? x ? x ? y, x ? x ? y ? x, x ? y ? x ? x e y ? x ? x ? x
• temos 6 possibilidades para formar x2y2:
x ? x ? y ? y, x ? y ? x ? y, y ? x ? x ? y, y ? y ? x ? x,
y ? x ? y ? x e x ? y ? y ? x
• temos 4 possibilidades para formar x1y3:
x ? y ? y ? y, y ? x ? y ? y, y ? y ? x ? y e y ? y ? y ? x
• temos apenas 1 possibilidade para formar x0y4:
y ? y ? y ? y
Observe outro exemplo em que há uma subtração no
binômio. Vamos desenvolver (2x 2 y)4.
Note que (2x 2 y)4 5 (2x 1 (2y))4. Temos, então:




















⋅
2 5 ? ? 2 1 ? ? 2 1
1 ? ? 2 1 ? ? 2 1
1 ? ? 2 5 ? ? 1 ? ? 2 1
1 ? ? 1 ? 2 1 ? ? 5
5 2 1 2 1
x y x y x y
x y x y
x y x x y
x y x y y
x x y x y xy y
(2 )
4
0
(2 ) ( )
4
1
(2 ) ( )
4
2
(2 ) ( )
4
3
(2 ) ( )
4
4
(2 ) ( ) 1 16 1 4 8 ( )
6 4 4 2 ( ) 1 1
16 32 24 8
4 4 0 3 1
2 2 1 3
0 4 4 3
2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
Como o expoente de (2y) alterna entre um número par
e outro ímpar, temos a alternância de sinal nas parcelas.
De modo geral, para uma potência na forma (a 1 b)n
em que a e b são números inteiros e n é natural, podemos
escrever o desenvolvimento do binômio do seguinte modo:
Termo geral do binômio de Newton
A partir dos exemplos vistos, podemos escrever o ter-
mo geral T do binômio de Newton, que representa uma das
parcelas do desenvolvimento desse binômio. No caso de
(2x 1 y)4, sendo p um número natural, temos:








x y x y x y(2 )
4
0
(2 )
4
1
(2 )
4 4 0 3 1
1 5 1 1












x y x y x y
4
2
(2 )
4
3
(2 )
4
4
(2 )
2 2 1 3 0 4
1 1



p
x y
p
p p
T
4
(2 )
1
4
5
1
2
10 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Para p 5 0, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x y x y
x x
T
4
0
(2 ) T
4
0
(2 )
T 1 16 1 16
0 1
4 0 0
1
4 0
1
4 4
Para p 5 1, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x y x y
x y x y
T
4
1
(2 ) T
4
1
(2 )
T 4 8 32
1 1
4 1 1
2
3 1
2
3 3
Para p 5 2, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x y x y
x y x y
T
4
2
(2 ) T
4
2
(2 )
T 6 4 24
2 1
4 2 2
3
2 2
3
2 2 2 2
Para p 5 3, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x x y
x y xy
T
4
3
(2 ) y T
4
3
(2 )
T 4 2 8
3 1
4 3 3
4
1 3
4
3 3
Para p 5 4, temos:







5 ~ 5 ~
~ 5 ? ? 5
1
2
x x y
y y
T
4
4
(2 ) y T
4
4
(2 )
T 1 1
4 1
4 4 4
5
0 4
5
4 4
Generalizando, para (a 1 b)n com n, p é N, temos a
seguinte fórmula do termo geral para o binômio de Newton:
Exercícios resolvidos
5. Calcule o termo em x do desenvolvimento de
x
x
12
10
1 .
Resolução:
O termo geral do desenvolvimento do binômio é:
T
10
(x )
1
T1
2 10
p
1p xp
p
p5 ? ? ~1
2
1
10
T
1020 2
1
20 3
p
x x
p
x
p p
p
p
5 ? ? ~ 5
2 2
1
2
Como o termo desejado é o termo em x, igualando
os expoentes do termo geral e de x, temos:
 2 p 5 ~ p 5 ~ p 5 
Portanto, o termo pedido é:
T
10
4
T
10!
(10 4)! 4!
T
10 9 8
4 3 2 1
T 210
4 1
20 3 4
5
20 12
5
8
5
8
x x
x x
5 ~ 5
2 ?
~
~ 5
? ? ? ?
? ? ? ?
~ 5
1
2 ? 2
Portanto, o termo procurado é o quinto termo e é igual
a x.
6. Encontre o termo independente de x no desenvolvi-
mento de x
x
13
12
1 .
Resolução:
O termo geral do desenvolvimento é:
T
12
( )
1
1
3 12
p
x
xp
p
p
5 ? ? ~1
2
T
12
T
12
1
36 3
1
36 4
p
x x
p
xp
p p
p
p
5 ? ? ~ 51
2 2
1
2
No termo independente, temos x. Assim:
 2 p 5 ~ p 5 ~ p 5 
Portanto, o termo pedido é:
T
12
9
T
12
9
T
12!
(12 9)! 9!
T
12 11 10
3 2
220
9 1
36 4 9
10
36 36
10
0
10
x x
x
5 ~ 5 ~
~ 5
2 ?
~ 5
? ? ?
? ? ?
5
1
2 ? 2
Portanto, o termo independente de x é o o termo e
vale .
Soma dos coeficientes do desenvolvimento do
binômio
Vamos calcular a soma dos coeficientes do desenvol-
vimento do binômio.
Perceba que não são necessariamente iguais aos
termos do triângulo de Pascal, uma vez que os números
binomiais aparecem multiplicados pelos coeficientes de
cada termo.
Observe a soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (2x 1 y)4. Temos:
(2x 1 y)4 5 16x4 1 32x3y 1 24x2y2 1 8xy3 1 y4
Logo, a soma S dos coeficientes é S5 161 321 241
1 81 15 81.
Uma das maneiras de se conhecer essa soma sem a
necessidade de conhecer o desenvolvimento do binômio
é substituindo os termos literais do binômio por 1. Assim,
no caso sugerido, considerando x 5 y 5 1, obtemos o
mesmo resultado:
S 5 (2 ? 1 1 1)4 5 (2 1 1)4 5 34 5 81
Exercício resolvido
7. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvi-
mento de:
a) (1 – x)20 b) (2a 1 3b)4 c) (5x – 3y)6
Resolução:
a) Fazendo x 5 1 em (1 – x)20, temos:
( – ) 5  5 
b) Fazendo a 5 b 5 1 em (2a 1 3b)4, temos:
( ?  1  ? ) 5 ( 1 ) 5  5 
c) Fazendo x 5 y 5 1 em (5x – 3y)6, temos:
( ?  –  ? ) 5 ( – ) 5  5 
11
F
R
E
N
T
E
 1
1. Calcule:
a)
11
2
b)
15
3
c)
30
29
2. Resolva a equação
x x
25
2 19
25
 12
5
2
.
3. Resolva a equação
x
15
5
15
6
16
2 4
1 5
1
.
4. Calcule ∑
p
p
7
 0
7
5
.
5. Quantos subconjuntos de dois elementos tem um
conjunto com dez elementos?
6. Desenvolva (x 1 ).
Revisando
7. Desenvolva (x – y).
8. Encontre o coeficiente do termo em x³ do desenvolvi-
mento de x
x
12
6
1 .
9. Calcule o termo independente do desenvolvimento
de x
x
1
8
1 .
10. Qual é a soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (x – y)?
12 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Exercícios propostos
1. Calcule:
a)
10
3
b)
12
2
c)
25
0
d)
18
1
e)
15
15
2. Complete as igualdades apresentadas nos itens com
números na forma binomial.
a)
11
5
11
6
1 5
b)
20
10
20
11
1 5
c)
30
12
29
12
2 5
3. Walter faz parte de uma empresa em que há  co-
laboradores. A partir desse grupo, será formada uma
comissão de  pessoas para a brigada de incêndio.
Determine:
a) o número de comissões possíveis sendo Walter
um dos escolhidos.
b) quantas são as possibilidades de formar diferen-
tes comissões em que Walter não participa.
c) o total de comissões possíveis.
4. Calcule:
a) ∑
p
p
8
 0
8
5
b) ∑
p
p
10
 0
10
5
c) ∑
p
p
10
 2
9
5
5. Unesp 2021 Os motores a combustão utilizados em
veículos são identificados pelas numerações ., .
ou ., entre outras, que representam a capacidade
volumétrica total da câmara dos pistões, calculada de
acordo com o diâmetro e o curso de cada pistão e a
quantidade de pistões.
Para o cálculo dessa capacidade, considera-se que
cada câmara tem o formato de um cilindro reto cuja
altura é o curso do pistão. Desse modo, um motor que
possui  cilindros que deslocam  cm³ de mistura
gasosa cada totaliza uma capacidade volumétrica de
 cm³, sendo chamado de um motor   cilindra-
das ou, simplesmente, ..
Uma montadora registrou a patente de um motor em
que cada cilindro tem capacidade cúbica diferente,
contrariando o modelo usual. Para um motor com
  cilindradas, aoinvés de termos um motor
comtrês cilindros iguais de  cilindradas, podere-
mos ter um motor com três cilindros, mas de , 
e cilindradas, por exemplo. Em teoria, isso daria
maior versatilidade e efi ciência ao motor, quando com-
binado com a tecnologia de desativação de cilindros.
Nesse novo motor, no lugar de termos apenas a opção
de desativação de cilindros de  cilindradas, o ge-
renciamento eletrônico poderá desativar um cilindro
de  cilindradas, por exemplo, ou fazer a desativa-
ção de vários cilindros, conforme a necessidade. Com
esta solução, o leque de opções de motorização, ba-
seado nos diferentes ajustes de uso de um ou mais
cilindros, passa de  confi gurações possíveis para 
confi gurações de cilindradas resultantes. Já para um
motor  cilindros, as possibilidades sobem de  para
até  confi gurações diferentes de motorização.
Considere o Triângulo de Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Um motor com  cilindradas, com cilindros de
, , , ,  e   cilindradas, terá, com
a tecnologia de desativação de cilindros, uma quanti-
dade de opções de motorização igual a
a) 30.
b) 63.
c) 64.
d) 36.
e) 72.
6. Para que os números binomiais
x
15
2
 e
x
15
2 sejam
iguais, a soma dos valores que x pode assumir é
igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
7. Mackenzie-SP 2017 Sabendo que ∑ n
p
p
n
 256
0
5
5
então o valor de n vale
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
13
F
R
E
N
T
E
 1
8. UFRGS 2014 Considere a configuração dos números
dispostos nas colunas e linhas abaixo.
C
o
lu
n
a
 0
C
o
lu
n
a
 1
C
o
lu
n
a
 2
C
o
lu
n
a
 3
C
o
lu
n
a
 4
C
o
lu
n
a
 5
C
o
lu
n
a
 6
C
o
lu
n
a
 7
...
Linha 0 1
Linha 1 1 1
Linha 2 1 2 1
Linha 3 1 3 3 1
Linha 4 1 4 6 4 1
Linha 5 1 5 10 10 5 1
Linha 6 1 6 15 20 15 6 1
Linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
O número localizado na linha 15 e na coluna 13 é
a) .
b) 9.
c) .
d) .
e) .
9. IME-RJ 2016 O valor da soma abaixo é:
1 1 1 1 1


2016
5
2017
5
2018
5
2019
5
2020
5
2016
6
a)
2020
6
b)
2020
7
c)
2021
5
d)
2021
6
e)
2022
5
10. Desenvolva os binômios apresentados a seguir.
a) (x 1 y)
b) (a

2 b)

11. Determine o valor numérico do polinômio p(x) 5 x
4
1
1 4x
3
1 6x
2
1 4x 1 2017 para x 5 4.
a)   9.
b) 8 .
c)   8.
d)   .
e)   .
12. EsPCEx-SP 2021 Qual o valor de n, no binômio
(x1 3)n para que o coeficiente do 5
o
 termo nas potên-
cias decrescentes de x seja igual a 5 670?
a) 
b) 
c) 
d) 8
e) 9
13. Efomm-RJ 2020 Assinale a alternativa que apresen-
ta o termo independente de x na expansão binomial
x
x
1
.
2
6
8
1
a) 
b) 8
c) 8
d) 
e) 
14. FGV-SP 2018 Uma aplicação financeira de C reais
à taxa mensal de juros compostos de x% é resgata-
da depois de  meses no montante igual a C
8
 reais.
Sendo assim,
C
C
8 é um polinômio P(x) de grau  cujo
coeficiente do termo em x5 será
a)  ? 
28
b)  ? 
28
c)  ? 
28
d)  ? 
2
e)  ? 
2
15. ESPM-SP 2018 No desenvolvimento do binômio
(x 1 p ? y)
n
, com p e n naturais, o termo 112x
6
y
2
 é o
terceiro quando feito com potências crescentes de
y e o sétimo quando feito com potências crescentes
de x. O valor de p 1 n é igual a:
a) 
b) 
c) 9
d) 
e) 
16. Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de:
a) (x 2 y)
b) (a 1 b)

17. FGV-RJ 2016 Um grupo de oito alunos está sendo
liderado em um passeio por dois professores e, em
determinado momento, deve se dividir em dois sub-
grupos. Cada professor irá liderar um dos subgrupos
e cada aluno deverá escolher um professor. A única
restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo um
aluno.
O número de maneiras distintas de essa subdivisão
ser feita é
a) 8.
b) .
c) 8.
d) .
e) .
18. ITA-SP 2013 O coeficiente de x4y
4
 no desenvolvimen-
to de (1 1 x 1 y)
10
 é
a) 
b) 
c) 
d) 89
e) 
14 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Texto complementar
Aplicação do binômio de Newton
O binômio de Newton pode ser uma alternativa para efetuar algumas operações com juros compostos.
Para saber, por exemplo, qual é o montante de uma aplicação de R$ 1 000,00 a juros de 1% ao mês após um ano, podemos relembrar o cálculo
de juros compostos em matemática financeira e aplicá-lo à situação descrita:
M5 C
0
? (11 i )t~ M5 1 000 ? (11 0,01)12
Note que temos um binômio como base da potência. Na impossibilidade de utilização de uma calculadora, podemos desenvolver o binômio:
⋅
(1 0,01) (1 10 )
12
0
1 (10 )
12
1
1 (10 )
12
2
1 (10 )
12
3
1 (10 ) ...
12
0
1 10
12
1
1 10
12
2
1 10
12
3
1 10 ...
1 1 1 12 1 10 66 1 10 220 1 10 ...
1 0,12 0,0066 0,000220 ... 1,12682...
12 2 12
12 2 0 11 2 1 10 2 2 9 2 3
0 2 4 6
2 4 6
1 5 1 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 5
5 1 1 1 1 5
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
Portanto, (11 0,01)12à 1,12682, pois as demais parcelas são muito pequenas se comparadas às primeiras e podem ser desprezadas.
O montante é dado, então, em reais, por:
M5 1 000 ? (11 0,01)12à 1 000 ? 1,12682à 1126,82
O resultado pode ser conferido em uma calculadora, onde obtemos R$ 1 126,82.
Texto elaborado para fins didáticos.
Resumindo
Números binomiais
Binomiais complementares
Triângulo de Pascal
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha n
C
o
lu
n
a
 0
C
o
lu
n
a
 1
C
o
lu
n
a
2
C
o
lu
n
a
 3
C
o
lu
n
a
 4
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
n
0
n
1
n
2
n
3
n
4
C
o
lu
n
a
n
n
n
»
ˆ
15
F
R
E
N
T
E
 1
Quer saber mais?
Sites
Instituto Blaise Pascal – Tecnologia e educação. Blaise Pascal. Disponível em: http://www.institutopascal.org.br/visao/institucional/
blaise-pascal.php. Acesso em: 8 fev. 2022.
O texto conta a história de Blaise Pascal, matemático a quem costuma-se atribuir a autoria do triângulo de Pascal.
SILVEIRA, J. F. Porto da. O triângulo de Pascal é de Pascal? UFRGS. Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2b.html.
Acesso em: 8 fev. 2022.
Nesta página você poderá ler uma discussão muito interessante sobre a autoria do triângulo de Pascal.
Calculados os valores numéricos, o triângulo terá a seguinte composição:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
æ ˆ
Propriedades do triângulo de Pascal
ɔ Elementos das extremidades: os primeiros e últimos elementos de cada linha são iguais a 1.
ɔ Elementos equidistantes dos extremos de uma linha são iguais.
ɔ Relação de Stifel
ɔ Teorema das linhas
Binômio de Newton
( )
0 1 2
…
1
, e
0 1 1 2 2 1 1 0
1 5 1 1 1 1
2
1
é R é N
2 2 2
a b
n
a b
n
a b
n
a b
n
n
a b
n
n
a b
a b n
n n n n n n
Termo geral do binômio (a 1 b)n
16 MATEMÁTICA Capítulo 1 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
Exercícios complementares
1. UEPG-PR 2013 Assinale o que for correto.

n n
n2 2
5
2

4
1
4
2
4
3
4
4
 151 1 1 5
 A soma das soluções da equação
x
11 10
3
10
2
2 5 é 11.
 A equação
x x
10 10
2 4
5
2
 tem duas soluções distintas.

n n n
1 2
 1
2
1 5
1
Soma:
2. UPF-RS 2016 Desenvolvendo o binômio (x 2 y)n, obtém-se um polinômio de  termos. O valor de n é:
a) 15 b) 10 c) 5 d) 4 e) 2
3. EsPCEx-SP 2017 O valor da expressão
E 5 ()5 1  ? () 1  ? () 1  ? () 1  ? () 1 
é igual a
a) 9 ? 103 b) 9 ? 10 c) 10 d) 999 999 e) 999 ? 10
4. ITA-SP A expressão 1 )(2 3 5
5
 – 2 )(2 3 5
5
 é igual a
a) 2 630 5 b) 2 690 5 c) 2 712 5 d) 1584 15 e) 1 604 15
5. Unioeste-PR 2013 O valor da expressão
 2  ?  ?  1  ?  ?  2  ?  ?  1 
é igual a
a) 153(153 – 3)3 1 3. b) 1474. c) 154 ?34. d) 1534. e) 154 ?104.
6. UEPG-PR Considerando que, a5 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 b5 5  e a 2 b 5 2,assinale o que for
correto.
 a > 1.
 b < 0.

b
a
 é um número natural.
 a b
5
2
.
2 2
1 5

a
b
1
3
.5
Soma:
7. Ifal 2017 O termo independente no desenvolvimento do binômio x
x
2
32
3
5
2 é
a) –720. b) –360. c) 0. d) 360. e) 720.
8. Uern 2013 A soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do binômio de Newton
x
x
2
8
1 é
a) 3 b) 4 c) 6 d) 7
9. Uece 2020 O termo independente de x no desenvolvimento binomial de x x
x
13
3
13
? 1 é
a) 725. b) 745. c) 715. d) 735.
17
F
R
E
N
T
E
 1
10. Uece 2016 No desenvolvimento de x(x 1 )1, o coeficiente de x é
a) 480. b) 320. c) 260. d) 180.
11. UEPG-PR 2016 Dois casais, Marcos e Maria e Leonardo e Lucia, vão ao teatro, sentando-se em quatro lugares con-
secutivos que sobraram numa mesma fila. Considerando n o número de maneiras diferentes que os quatro podem
sentar, de tal forma que Marcos sempre fique ao lado de Maria e Leonardo fique ao lado de Lucia, assinale o que for
correto.
 O coeficiente do termo central do desenvolvimento do binômio (x 1 y)n é maior que 80.
 Um dos termos do desenvolvimento do binômio (x 2 2)n é igual a 112x6.
 Acendendo pelo menos uma lâmpada, pode-se iluminar de 256 modos diferentes uma sala que tem n lâmpadas,
com interruptores independentes.
 Se x 5 1, então
n
x
n
x3 2 2 11
5
1
.
 Existem menos que 50 maneiras de sentar-se n meninos num banco que tem apenas dois lugares.
Soma:
12. UEPG-PR 2016 No desenvolvimento do binômio x
k
x
n
2
3
1 , onde n e k são números reais, o º termo vale x7.
Nesse contexto, assinale o que for correto.
 n é um número primo.
 n 1 k > 10.
 O desenvolvimento não tem um termo independente de x.
 A soma de seus coeficientes é 81.
 O coeficiente do 3º termo vale 84.
Soma:
13. FGV-SP 2013 Desenvolvendo-se o binômio P(x) 5 (x 1 )5, podemos dizer que a soma de seus coeficientes é
a) 16 b) 24 c) 32 d) 40 e) 48
14. UFPE No desenvolvimento binomial de 1
1
3
10
1 , quantas parcelas são números inteiros?
15. UEPG/PSS-PR Considerando que n é a solução da equação A
n,  5 An,  e que m é solução da equação
A
m, 5 5 Cm, , assinale o que for correto.
 A soma dos coeficientes do binômio (3x 1 1)m 2 n é 64.
 Se
mp np p n
14 14
,
2
5
1
 então p 5 3 ou p 5 2.
 O quarto termo do desenvolvimento do binômio (x 1 m)n é 14 580x3.
 O valor de
n n n n n n n
0 1 2 3 4 5 6
 64.1 1 1 1 1 1 5
Soma:
16. UFC-CE Poupêncio investiu R$ , numa aplicação bancária que rendeu juros compostos de % ao mês, por
cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é sufi-
ciente para que Poupêncio compre um computador de R$ , à vista? Explique sua resposta.
17. Mackenzie-SP 2019 Se S 5 {, , , ..., }, o número de pares ordenados distintos, (A, B), em que A e B são subcon-
juntos, disjuntos, de S é
a) 30 b) 30 2 1 c) 39 d) 20 2 1 e) 20
18. FGV-SP 2017 O coeficiente de x1 na expansão de ( 1 x 1 x5)1 é igual a
a) 120. b) 90. c) 81. d) 60. e) 54.
BNCC em foco
MATEMÁTICA Capítulo 12 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton
1.
Representantes de turma são alunos da própria classe que têm uma função parecida com a de mediação e gerência. É
o principal elo entre a turma e a instituição (docentes, coordenação e UNIFAP) por isso precisam ter disponibilidade para
participar, efetivamente, das reuniões para as quais forem demandados. É o interlocutor do grupo. Está responsável por
administrar eventuais conflitos e deve estar em permanente diálogo em prol do consenso. Esse estudante que vai levar ques-
tões comuns (e não particulares) dos demais colegas de sala para professores e coordenadores. Eles também podem tomar
decisões importantes pela turma, já que têm o poder para isso - mas, claro, após uma consulta aos demais colegas de turma,
não podendo tomar nenhuma decisão sozinho.
a)
b)
2.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a)
b)
EM13MAT310
EM13MAT203
EM13MAT312
Probabilidades
Um dos grandes anseios do ser humano é estar no controle das mais variadas situa-
ções, prevendo e prevenindo condições desfavoráveis. Apesar do desenvolvimento
da teoria das probabilidades ter sido baseada em jogos de azar, atualmente é uma
importante ferramenta para racionalizar previsões dos mais variados tipos, tais como,
acompanhar a ocorrência de fenômenos naturais (asteroides, vulcões e furacões), em
estudos biológicos, financeiros, de marketing ou econômicos, embasando decisões
governamentais, empresariais e até mesmo pessoais. Neste capítulo, vamos conhecer
e compreender os conceitos básicos e os cálculos que envolvem as probabilidades.
13
CAPÍTULO
FRENTE 1
20 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
Experimento aleatório e espaço
amostral
Um experimento (ou fenômeno) é aleatório quando,
mesmo que repetido exatamente nas mesmas condições,
não conseguimos prever seu resultado. Apesar de conhe-
cermos as possibilidades, não há como assegurar com
certeza qual será o resultado. O valor da face voltada para
cima no lançamento de um dado, o resultado do lançamen-
to de uma moeda cuja massa é distribuída igualmente, o
sorteio de uma carta de baralho comum são alguns exem-
plos de experimentos aleatórios.
Existem outras situações, como uma partida de futebol,
a ocorrência de chuva e a aprovação em um concurso, que
não podem ser classificadas como eventos ou fenômenos
aleatórios, pois sofrem influências de decisões, de caracte-
rísticas de clima, ou de conhecimentos prévios, entre outros.
Já os experimentos em que podemos prever com
exatidão o que ocorrerá são chamados de experimentos
determinísticos.
A análise da probabilidade dos experimentos ou fe-
nômenos aleatórios será o nosso objeto de estudo. Como
não podemos de antemão definir o resultado desse tipo
de fenômeno, buscamos elementos que ajudem a nos
aproximarmos de um resultado mais preciso (limitando ao
mínimo possível o total de possibilidades), por exemplo com
o espaço amostral.
Espaço amostral é o conjunto de todos os resulta-
dos possíveis de um experimento ou fenômeno aleatório.
Vamos utilizar o símbolo V para diferenciá-lo de outros
conjuntos.
Exemplos:
• No lançamento de um dado, o espaço amostral é
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• No lançamento de duas moedas, considerando C para
o resultado cara e K para coroa, temos como resulta-
dos possíveis V 5 {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}.
Evento, evento certo e evento impossível
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amos-
tral. Vamos utilizar letras maiúsculas para representar esses
subconjuntos.
Exemplos:
• No experimento aleatório de lançar um dado, cujo es-
paço amostral é V, A é o evento “o número da face
voltada para cima ser par” e é um subconjunto de V:
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} A 5 {2, 4, 6}
• No experimento aleatório de lançar duas moedas simul-
taneamente, cujo espaço amostral é V, B é o evento
“ocorrer duas coroas nesse lançamento” e é um sub-
conjunto deV:
V 5 {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} B 5 {(K, K)}
Dizemos que um evento A é certo se coincidir com
o espaço amostral do experimento aleatório considerado
(A 5 V).
Exemplo:
• No experimento aleatório de lançar um dado e verifi-
car a face voltada para cima, cujo espaço amostral éV,
A é o evento “o valor sorteado é representado por um
número natural” e é um subconjunto de V:
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dizemos que um evento B é impossível se ele for vazio
(B 5 0).
Exemplo:
• No experimento aleatório de lançar um dado e veri-
ficar a face voltada para cima, cujo espaço amostral
é V, B é o evento “o valor sorteado é representado
por um número maior do que 6”:
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} B 5 0
Nesse caso, como não existe nenhum elemento de V
maior do que 6, B é vazio e, de fato, é impossível sortear
um número maior do que 6 em um dado comum.
Cálculo de probabilidades
Espaço amostral equiprovável
Para prosseguir com esse estudo, é importante defi-
nir alguns parâmetros para os experimentos.Neste caso,
vamos trabalhar com experimentos e fenômenos cujo es-
paços amostrais sejam equiprováveis.
Um espaço amostral é considerado equiprovável quan-
do todos os eventos formados por um único elemento do
espaço amostral têm a mesma chance de ocorrer.
Exemplo:
• No lançamento de um dado comum e honesto, todos
os números têm a mesma chance de serem sortea-
dos. Nesse caso, o experimento de lançar um dado
honesto tem espaço amostral equiprovável.
• Se no experimento de sortear bolas de uma urna
em que houver mais bolas azuis do que vermelhas,
há mais chance de sortear uma bola azul do que de
sortear uma bola vermelha, o que mostra um espaço
amostral não equiprovável. Considerando o sorteio
de uma bola na urna da figura a seguir cujas bolas só
são diferentes pela cor, as chances de retirarmos uma
bola vermelha ou uma bola azul não são iguais.
V 5 {A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, V}
Se considerarmos que cada bolinha azul é diferente
das outras, as chances de tirar cada uma das bolinhas passa
a ser igual e o espaço amostral V será equiprovável.
Probabilidade
Considere o espaço amostral V de um experimento
aleatório, tal queV é finito eV=0. A probabilidade P(A) de
ocorrer um evento A é dada pela razão entre n(A), que é o
número de elementos do evento A, e n(V), que é o número
de elementos do espaço amostral V, ou seja:
21
F
R
E
N
T
E
 1
Uma vez que o evento A é um subconjunto não vazio
de V, vale a relação:
0 , n(A) , n(V)
Analisando P(A), temos que:
,
V
, ~ , ,
n
n
0
(A)
( )
1 0 P(A) 1
Assim, nenhum evento pode ter uma probabilidade
negativa ou maior que 1.
Decorre da definição que a probabilidade de ocorrên-
cia de um evento certo é dada por:
5
V
~ 5
V
V
5
n
n
n
n
P(A)
(A)
( )
P(A)
( )
( )
1
Também a partir da definição, podemos concluir que
a probabilidade de ocorrência de um evento impossível é
dada por:
5
V
~ 5
V
5
n
n n
P(A)
(A)
( )
P(A)
0
( )
0
Exercícios resolvidos
1. Lançando um dado honesto, qual a probabilidade de:
a) ocorrer número par?
b) ocorrer número maior que 4?
Resolução:
Sendo o espaço amostral V 5 {, 2, 3, , 5, 6}, temos:
a) Sendo A o evento “ocorrer número par no lança-
mento de um dado honesto”, temos A 5 {, 4, }.
Assim, podemos escrever:
P(A)
3
6
1
2
5 5
b) Sendo B o evento “ocorrer número maior que 4 no
lançamento de um dado honesto”, temos B5 {, }.
Assim, podemos escrever:
P(B)
2
6
1
3
5 5
2. Lançando dois dados honestos, qual a probabilidade:
a) do produto das faces ser ímpar?
b) da soma dos dados ser 9?
Resolução:
Podemos escrever o espaço amostral na forma de pa-
res ordenados ou usando um quadro de dupla entrada
para representar n(V)5 6 ? 65 36.
1   4  
1 X X X

 X X X O
4 O
 X X O X
 O
a) Estão marcadas com X todas as multiplicações
cujos fatores são dois números ímpares. Sendo A
o evento “ocorrer número ímpar na multiplicação
do resultado de dois dados honestos”, temos que
isso só ocorre quando os dois fatores são ímpa-
res, ou seja, A 5 {(1, 1), (1, ), (1, ), (, 1), (, ),
(, ), (, 1), (, ), (, )}. Assim, verificamos que
n(A) 5 9, consequentemente:
P(A)
9
36
1
4
5 5
b) No quadro, estão marcados com O todos os pares
cuja soma é 9. Sendo B o evento “ocorrer soma 9
na adição do resultado de dois dados honestos”,
temos B 5 {(, ), (4, ), (, 4), (, )}. Assim, verifi-
camos que n(B) 5 4, e:
P(B)
4
36
1
9
5 5
3. De um grupo de seis homens e quatro mulheres, es-
colheremos três pessoas para formar uma comissão.
Qual a probabilidade de serem escolhidos duas mu-
lheres e um homem?
Resolução:
O número possível de comissões é o número de ele-
mentos do espaço amostral:
( ) C
10 9 8
3 2 1
12010, 3V 5 5
? ?
? ?
5n
Sendo A o evento “ocorrência de comissões com
2mulheres e homem”, temos:
n(A) C C
4 3
2 1
6 364, 2 6, 15 ? 5
?
?
? 5
Assim, a probabilidade é dada por P(A)
36
120
3
10
5 5 .
4. Em uma urna há cinco bolas pretas e quatro bolas
brancas de mesmo tamanho. Retirando-se três bolas
sem reposição, qual a probabilidade de a 3ª bola ser
preta?
Resolução:
O número de possibilidades de retiradas é o número
de elementos do espaço amostral.
1ª bola ª bola ª bola
ô ô ô
9 ? 8 ? 7 5 04
Portanto, n(V) 5 5.
Para encontrar o número de possibilidades de retira-
da com a bola preta na 3ª posição, começamos pela
terceira opção. Restam, assim,  possibilidades para a
ª bola e  possibilidades para a 2ª bola:
1ª bola ª bola ª bola
ô ô ô
8 ? 7 ?  5 80
Assim, n(A) 5 2.
A probabilidade pedida é P(A)
280
504
5
9
5 5 .
22 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
Atenção
Interseção de dois eventos
A interseção de dois eventos é outra operação simples
vinda da teoria de conjuntos que nos ajudará a resolver
exercícios que envolvem probabilidades. Lembrando que a
ideia de interseção está ligada a simultaneidade, “ao mes-
mo tempo” e muitas vezes ao conectivo “e”.
Lembrando que a interseção de dois conjuntos A e B é
o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente
a A e a B e para indicá-la usamos o símbolo “ì”.
Considerando, por exemplo, o espaço amostral
V 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} de um experimento aleatório e
os eventos A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {4, 5, 6, 7}, a interseção
entre eles será A ì B 5 {4}.
Exercícios resolvidos
5. Lançando dois dados honestos, calcule a probabili-
dade de ocorrer, simultaneamente, o sorteio de dois
números ímpares e a soma dos números sorteados
ser igual a 8.
Resolução:
Temos n(V) 5  ? 5 .
1 2 3 4 5 6
1 X X X
2 O
3 X X Y
4 O
5 X Y X
6 O
Assim, temos:
• o evento A – sorteio de dois números ímpares
(indicados por X no quadro) ñ A 5 {(1, 1), (1, 3),
(1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}, logo,
n(A) 5 9;
• o evento B – a soma dos números sorteados ser
igual a  (indicados por O no quadro)ñ B5 {(2, 6),
(3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}, logo, n(B)5 5.
Assim, A ì B 5 {(, ), (, )} e n(A ì B) 5 , logo,
a probabilidade dos eventos ocorrerem simulta-
neamente é P(A B)
2
36
1
18
ì 5 5 .
6. Sorteando uma carta de um baralho comum de  car-
tas, qual a probabilidade de ocorrer uma carta de copas
e um número par?
Resolução:
Como o baralho tem  cartas, sendo  de cada nai-
pe, n(V) 5 .
Para o evento A, ser sorteada uma carta de copas,
temos n(A) 5 :
A 5 {A ,  ,  ,  ,  ,  ,  , 8 ,  , 0 , J ,
Q , K }
Para o evento B, ser sorteada uma carta com um nú-
mero par, temos n(B) 5 0:
B 5 {♦, ♦, ♦, 8♦, 0♦,  ,  ,  , 8 , 0 ,  ,  ,
 , 8 , 0 ,  ,  ,  , 8 , 0 }
O evento sortear uma carta de copas e com um número
par é dado, então, por A ì B 5 { ,  ,  , 8 , 0 },
logo, n(Aì B)5 .
Assim, P(A B)
5
52
ì 5 .
Atenção
União de dois eventos
A união de conjuntos também nos ajudará com cálculo
de probabilidades e será preciso identificá-la nos exercícios.
Lembraremos dessa operação sempre que existirem ideias
como unir ou juntar, escolhas do tipo “esse ou aquele”,
“tanto faz um ou outro” e, principalmente, quando estiver
envolvido o conectivo “ou”.
A união, ou reunião, de dois conjuntos, A e B, resulta
em um único conjunto, que contém tanto os elementos do
conjunto A quanto os do conjunto B e mais nenhum outro
elemento, e para indicá-la usamos o símbolo “í”.
Considerando, por exemplo, o espaço amostral
V5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} de um experimento e os eventos
A 5 {1, 2, 3, 4} e B 5 {4, 5, 6, 7}, a união entre eles é o
conjunto A í B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
No estudo dos conjuntos, vimos que n(Aí B)5 n(A)1
1 n(B) 2 n(A ì B), assim, dividindo todas as parcelas por
n(V), teremos:
n
n
n
n
n
n
n
n
(A B)
( )
(A)
( )
(B)
( )
(A B)
( )
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
í
V
5
V
1
V
2
ì
V
í 5 1 2 ì
Durante a resolução de um exercício que envolva a
união de dois eventos, é preciso lembrar da soma de proba-
bilidades e de verificar se há interseção entre os conjuntos
ou se eles são disjuntos.
23
F
R
E
N
T
E
 1
Exercício resolvido
7. Lançando um dado comum e honesto, qual a probabi-
lidadeda face voltada para cima ser a de um número
par ou de um número múltiplo de 3?
Resolução:
Considerando o espaço amostral V 5 {, 2, 3, , 5, 6}
e os eventos:
A: ser sorteado um número parñ A 5 {2, , 6}
B: ser sorteado um número múltiplo de 3ñ B 5 {3, 6}
Temos que A ì B 5 {6}, assim, a probabilidade de
ocorrer um número par ou múltiplo de 3 é:
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
P(A B)
3
6
2
6
1
6
4
6
2
3
í 5 1 2 ì
í 5 1 2 5 5
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando
a ocorrência de um deles exclui a possibilidade do outro
ocorrer e, portanto, não podem ocorrer simultaneamente.
Matematicamente, podemos escrever A ì B 5 0.
A probabilidade da união nesses casos é:
P(A í B) 5 P(A) 1 P(B)
Exercício resolvido
8. Lançando um dado comum e honesto, qual a pro-
babilidade de ocorrerem números maiores que  ou
ocorrer o número 3?
Resolução:
Considerando o espaço amostral V 5 {, 2, 3, , 5, 6}
e os eventos:
A: ser sorteado um número maior que ñ A 5 {5, 6}
B: ser sorteado o número 3ñ B 5 {3}
Temos que A ì B 5 0, assim, a probabilidade de
ocorrer um número maior que  ou o número 3 é:
P(A B) P(A) P(B)
P(A B)
2
6
1
6
3
6
1
2
í 5 1
í 5 1 5 5
Eventos complementares
SendoV o espaço amostral de um determinado expe-
rimento, considerando um evento A, podemos escrever o
evento A, complementar de A em relação a V.
Para esses conjuntos, é valido afirmar que Aí A 5 V
e que A ì A 5 0.
Assim, se os elementos de um evento A respeitam de-
terminada propriedade, os elementos que não pertencem
a A, necessariamente pertencem ao seu complemento, A.
Portanto, o complemento de um conjunto A é formado por
elementos que não respeitam a propriedade que define
os elementos de A.
Considerando, por exemplo, o lançamento de um dado
honesto, temos o espaço amostral V 5 {1, , , 4, , },
sendo A o evento ocorrer um número maior do que 4, en-
tão A5 {, }. Consequentemente, o evento A é o de não
ocorrer um número maior do que 4, logo, A 5 {1, , , 4}.
Ainda podemos escrever:
(A) (A) ( )
(A)
( )
(A)
( )
( )
( )
P(A) P(A) 11 5 V ~
V
1
V
5
V
V
~ 1 5n n
n
n
n
n
n
n
Se conhecemos a probabilidade de ocorrência de um
evento, conhecemos a probabilidade de seu complemento.
Exercício resolvido
9. Lançando um dado honesto três vezes, qual a proba-
bilidade de não ocorrerem três números iguais?
Resolução:
O lançamento de um dado por três vezes implica que
n(V) 5 6 ?6 ?6 5 26.
Sendo A o evento de não ocorrerem três números
iguais nos lançamentos, o evento A, complementar
de A é o de ocorrerem três números iguais nesses
lançamentos do dado.
Assim, A 5 {(, , ), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (, , ), (5, 5, 5),
(6, 6, 6)} e sua probabilidade de ocorrer é dada por
P(A)
6
216
1
36
5 5 .
Levando em conta que P(A) 1 P(A) 5 , temos que:
P(A) P(A) 1 P(A)
1
36
1 P(A) 1
1
36
35
36
1 5 ~ 1 5 ~ 5 2 5
Essa é a probabilidade de não ocorrerem três núme-
ros iguais nos lançamentos do dado.
Saiba mais
Probabilidade condicional
Dependendo do tipo de informação que possuímos em
relação a determinado experimento, o cálculo das probabi-
lidades relacionadas a ele pode sofrer alterações.
Sorteando um estudante qualquer de uma sala de aula
ao acaso, todos os estudantes da sala têm a mesma pro-
babilidade de serem escolhidos. Já se soubermos que o
escolhido é um menino, por exemplo, as meninas veem sua
probabilidade cair a zero enquanto os meninos têm a sua
probabilidade de escolha aumentada.
24 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
Vamos analisar um outro exemplo. A partir de um grupo
de pessoas, montamos o quadro a seguir, segundo a cor
dos cabelos:
Loiros (L) Castanhos (C) Total
Escolhendo uma pessoa ao acaso, considerando os
dados do quadro, vamos calcular a probabilidade da pes-
soa sorteada:
• ser uma moça: 5P(M) 28
50
• ter cabelos castanhos: 5P(C) 34
50
• ser uma moça e ter cabelos castanhos: ì 5P(M C) 21
50
• ser uma moça ou ter cabelos castanhos:
í 5 1 2 ì
í 5 1 2 5
P(M C) P(M) P(C) P(M C)
P(M C)
28
50
34
50
21
50
41
50
Quando se quer que seja “uma moça e tenha cabe-
los castanhos”, não temos nenhuma informação sobre a
pessoa escolhida. Porém, se fosse pedida a probabilida-
de da pessoa escolhida ser uma moça, sabendo que ela
possui cabelos castanhos, devemos notar que temos a
informação sobre a cor dos cabelos e isso já restringe as
possibilidades.
Assim, a probabilidade da pessoa escolhida ser uma
moça sabendo que ela possui cabelos castanhos pode ser
escrita na forma: 5P(M|C)
21
34
.
Qual a probabilidade da pessoa escolhida ser loira sa-
bendo que é um rapaz?
Novamente a informação sobre a pessoa escolhida ser
um rapaz diminui as opções e, nesse caso, a probabilidade
pode ser escrita como: 5P(L |R)
9
22
.
Observando os exemplos anteriores, temos:
5
ìn
n
P(M|C)
(M C)
(C)
5
ìn
n
P(L |R)
(L R)
(R)
Assim, é possível definir uma expressão para o cálculo
da probabilidade condicional. Conforme vimos, a infor-
mação “sabendo que ocorreu B” restringe as opções do
evento e do espaço amostral:
P(A)
(A)
( )
P(A |B)
(A B)
( B)
P(A |B)
(A B)
(B)
ocorreu o evento B5
V
5
ì
Vì
~
~ 5
ì
n
n
n
n
n
n
Dividindo numerador e denominador por n(V), obtemos
a expressão para o cálculo da probabilidade condicional:
Exercícios resolvidos
10. Lançando dois dados, qual a probabilidade da soma
das faces voltadas para cima ser igual a 7, sabendo
que em um dos dados ocorreu o número 3?
Resolução:
O número de elementos do espaço amostral é
n(V) 5 6 ?6 5 36.
     
 X O
 X O
 X X X Y X X
 Y
 O X
 O X
O evento A, marcado no quadro com X, ser sortea-
do o número 3 no lançamento de um dado honesto:
A 5 {(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 3), (5, 3), (6, 3)} ñ n(A) 5 11.
O evento B, marcado no quadro com O, ocorrer soma
7 no lançamento de dois dados honestos: B 5 {(1, 6),
(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}ñ n(B) 5 6.
Como A ì B 5 {(3, 4), (4,3)}, temos que n(A ì B) 5 2,
assim:
n
n
P(B | A)
(A B)
(A)
P(B | A)
2
11
5
ì
~ 5
11. Em uma sala de estudo, sorteando um estudante ao
acaso, a probabilidade de ter estudado matemática é
de 70%, de ter estudado física é de 50% e a probabi-
lidade de ter estudado física, sabendo que estudou
matemática é de 60%. Qual a probabilidade de ter es-
tudado física ou matemática?
Resolução:
Do enunciado, podemos escrever que a probabilida-
de de ter estudado:
• matemática: P(M) 5 %.
• física: P(F) 5 %.
• física, sabendo que estudou matemática: P(F | M) 5
5 %.
UsandoP(F |M)
P(F M)
P(M)
5
ì
, temos:
P(F M)
P(M)
60%
P(F M)
70%
60% P(F M) 42%
ì
5 ~
ì
5 ~ ì 5
Portanto, a probabilidade de o aluno ter estudado físi-
ca ou matemática é:
P(Fí M) 5 P(F) 1 P(M) 2 P(Fì M)
P(Fí M) 5 50% 1 70% 2 42% 5 78%
25
F
R
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N
T
E
 1
Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes, quando a ocor-
rência de um deles não altera a probabilidade do outro ocorrer.
P(A | B) 5 P(A) P(B | A) 5 P(B)
Exemplo:
Sorteando uma carta de um baralho de 52 cartas, cal-
cule a probabilidade de:
a) ser sorteada uma dama.
 Como existem 4 damas no baralho, temos que
5 5P(Dama)
4
52
1
13
.
b) ser sorteada uma carta de copas.
 Como existem 13 cartas de copas, temos que
5 5P(Copas)
13
52
1
4
.
c) ser sorteada uma dama, sabendo que a carta é de
copas.
 Como só há uma dama de copas, temos que
5P(Dama|Copas)
1
13
.
d) ser sorteada uma carta de copas, sabendo que a carta
é uma dama.
 Só há 1 dama de copas entre as damas:
5P(Copas |Dama)
1
4
.
Assim, notamos que os eventos “ser sorteada uma dama”
e “ser sorteada uma carta de copas” são independentes.
Atenção
Produto de probabilidades
A simultaneidade aparece em muitas aplicações, mas
nem sempre é uma tarefa fácil perceber os conjuntos en-
volvidos ou a interseção entre eles. Para resolver esse tipo
de problema, podemos usar a expressão da probabilidade
condicional modificada:
Assim, para determinar a probabilidade de dois eventos
A eB ocorrerem ao mesmo tempo, dado por P(Aì B), deve-
mos multiplicar a probabilidade de ocorrência de um deles,
P(B), pela probabilidade de ocorrência do outro, sabendo
que o primeiro já ocorreu, P(A | B).
Para eventos independentes, utilizamos:
P(Aì B) 5 P(A) ? P(B)
Exercícios resolvidos
12. Retirando, sem reposição, duas bolas de mesmo ta-
manho e massa de uma urna com  bolas verdes,
 bolas amarelas e  bolas roxas, qual a probabilidade:
a) da 1ª bola sorteada ser verde e da 2ª ser roxa?
b) de uma bola sorteada ser verde e outra amarela?
c) de serem sorteadas bolas iguais?
Resolução:
Total de bolas:  1  1  5 
a) Note a simultaneidade dos fatos que devem ocor-
rer: 1a bola sorteada ser verde e 2ª bola ser roxa.
A probabilidade P1 será:
P P(1 verde) P(2 roxa | 1 verde) P
5
12
3
11
5
441
a a a
5 ? ~ 5 ? 5
b) Há duas opções para a retirada pedida: a 1ª bola
ser verde e a 2ª bola, amarela, ou a 1ª bola ser
amarela e a 2ª ser verde:
P(V A)
5
12
4
11
5
33
P(A V)
4
12
5
11
5
33
ì 5 ? 5
ì 5 ? 5
Como as probabilidades são iguais, basta calcular
uma delas e multiplicar esse valor por . Assim, a
probabilidade P
2
 de uma bola sorteada ser verde
e outra amarela é P 2
5
33
10
33
2
5 ? 5 .
c) Nesse caso, temos 3 opções: sortear 2 bolas ver-
des ou 2 bolas amarelas ou 2 bolas roxas. Esses
eventos são mutuamente exclusivos, assim:
• 2 verdesñ P(V)
5
12
4
11
10
66
5 ? 5
• 2 amarelasñ P(A)
4
12
3
11
6
66
5 ? 5
• 2 roxasñ P(R)
3
12
2
11
3
66
5 ? 5
A probabilidade P
3
 pedida é:
P
10
66
6
66
3
66
19
66
3
5 1 1 5
13. Considere as duas urnas da figura. Uma delas será
escolhida ao acaso e dela será sorteada uma bola.
A B
Qual a probabilidade de ser sorteada uma:
a) bola verde da urna A?
b) bola verde?
c) bola azul?
Resolução:
a) Novamente dois eventos devem ocorrer: urna A
e bola verde.
A probabilidade de ocorrer a urna A é
1
2
 e a de
ser sorteada uma bola verde, sabendo que ela é
da urna A é
3
5
, assim:
P(V A) P(A) P(V | A)
1
2
3
5
3
10
ì 5 ? 5 ? 5
26 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
b) Podemos ter bola verde da urna A ou bola verde
da urna B. Como não é possível uma bola estar
nas duas urnas ao mesmo tempo, basta somar-
mos as probabilidades obtidas:
P(V A) P(A) P(V | A)
1
2
3
5
3
10
ì 5 ? 5 ? 5
P(V B) P(B) P(V |B)
1
2
2
3
1
3
ì 5 ? 5 ? 5
A probabilidade pedida é P(V)
3
10
1
3
5 1 5
9 10
30
19
30
5
1
5 .
c) O evento “bola azul” é o complemento do evento
“bola verde”, assim:
1 5 ~ 5 2 ~ 5 2 5P(A) P(V) 1 P(A) 1 P(V) P(A) 1
19
30
11
30
“Invertendo” a probabilidade condicional
De um modo geral, é fácil calcular P(A | B), mas não é
tão fácil assim calcular e compreender P(B | A). Lembrando
que a interseção é comutativa e utilizando o produto de
probabilidades, temos:
Considerando as probabilidades do exercício resolvido
13, temos:
• de ser escolhida a urna A: 5P(A) 1
2
;
• da bola sorteada ser verde: 5P(V) 19
30
;
• da bola sorteada ser verde, sabendo que é da urna A:
5P(V | A)
3
5
.
Vamos calcular a probabilidade da bola sorteada ter
sido retirada da urna A, sabendo que ela é verde.
? 5 ?
? 5 ?
? 5
5
P(V) P(A | V) P(A) P(V | A)
19
30
P(A | V)
1
2
3
5
19
30
P(A | V)
3
10
P(A | V)
9
19
O complemento dessa probabilidade é P(B | V) 5
5 2 5
2
51
9
19
19 9
19
10
19
, ou seja, a chance maior é da
bola ter saído da urna B.
Probabilidade total
Dividindo o espaço amostral em vários eventos mutua-
mente exclusivos, podemos calcular a probabilidade de um
evento somando todas as suas possibilidades.
A
B
C
V
D
E
X
Sabendo que
X5 (Xì A)í (Xì B)í (Xì C)í (Xì D)í (Xì E), temos:
P(X)5 P(Aì X)1 P(Bì X)1 P(Cì X)1 P(Dì X)1 P(Eì X)
Exercício resolvido
14. Um piloto profissional de corrida tem 55% de pro-
babilidade de vencer determinada prova quando
chove. No caso de não chover durante a prova, sua
probabilidade de vitória passa a ser de 0%. Mo-
nitorando o serviço de meteorologia, sua equipe
estima em 40% a probabilidade de chuva durante
o evento. Qual é a probabilidade do piloto vencer
a corrida?
Resolução:
O piloto pode vencer (V) a prova com chuva (C) ou
sem chuva (C):
P(V) 5 P(Vì C) 1 P(Vì C)
• Probabilidade de chover: P(C) 5 %.
• Probabilidade de não chover: P(C)5 1% – %5
5 6%.
Assim:
P(V C) P(C) P(V | C) P(V C) 40% 55% 22%
P(V C) P(C) P(V | C) P(V C) 60% 30% 18%
ì 5 ? ~ ì 5 ? 5
ì 5 ? ~ ì 5 ? 5
Portanto, a probabilidade de o piloto vencer a prova é:
P(V) 5 P(Vì C) 1 P(Vì C) 5 22% 1 8% 5 40%
Espaço amostral não equiprovável
Um espaço amostral é dito não equiprovável quando,
dos eventos que o compõem, ao menos um elemento não
tem a mesma chance de ocorrência dos outros.
Nessa circunstância, não podemos utilizar
V
n
n
(A)
( )
no
cálculo da probabilidade.
Considerando, por exemplo, o lançamento de uma
moeda e a observação da face voltada para cima, notou-
-se que o número de caras ocorre 3 vezes mais que o
número de coroas. Lançando essa mesma moeda duas
vezes, qual a probabilidade das duas faces voltadas para
cima serem caras?
Chamando de C o evento “cara voltada para cima” e de
K o “coroa voltada para cima” e, sendo x a probabilidade
de ocorrência de coroa, temos:
5
5
x
x
P(C) 3
P(K){ .
Como esses eventos são complementares, podemos
afirmar que:
1 5 ~ 1 5 ~ 5 ~ 5x x x xP(C) P(K) 1 3 1 4 1
1
4
Assim, a probabilidade de ocorrer uma cara é P(C)
3
4
5 ;
 logo, a probabilidade de ocorrência de duas caras é igual
a ? 5
3
4
3
4
9
16
.
27
F
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E
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E
 1
Estabelecendo relações
Distribuição binomial
Esse método é a fronteira entre a probabilidade estu-
dada no Ensino Médio e as distribuições de probabilidades
estudadas no Ensino Superior. Em determinadas situações,
é possível a utilização de outras ferramentas apresentadas
anteriormente, porém a técnica da distribuição binomial
é muito útil quando aplicada em experimentos aleatórios
que podem ocorrer sucessivas vezes com apenas dois
resultados possíveis: ocorrer ou não ocorrer determinada
propriedade.
Exemplos:
a) Lançar um dado 10 vezes e verificar a face voltada
para cima:
A: ocorrer a face com o número 2;
A: não ocorrer a face com o número 2.
b) Observar o comportamento de 6 semáforos de uma
avenida, verificando:
B: a ocorrência de luz verde;
B: a não ocorrência de luz verde.
A distribuição binomial é utilizada para o cálculo da
probabilidade de um evento ocorrer um certo número de
vezes. Utiliza-se também a expressão “ocorrer um certo
número de sucessos ou fracassos”.
Assim, se a probabilidade de um semáforo estar com a
luz verde acesa é de
2
5
, qual a probabilidade de 4 semáfo-
ros estarem verdes num total de  observados?
Temos:
• Estar com a luz verde acesa: 5P(V)
2
5
;
• Não estar com a luz verde acesa: 5 2 5P V 1
2
5
3
5
( ) .
Alguns resultados possíveis são:
V V V V V V; V V V V V V; V V V V V V; V V V V V V;
V V V V V V; ...
Existem  “posições” a serem verificadas: 4 delas
devem ser “sucesso” (luz verde) e 2 delas devem ser “fra-
casso” (não luz verde), ou seja, são 5C
6
46, 4
 resultados
possíveis. Considerando as probabilidades, de sucesso ou
fracasso, a probabilidade P pedida será:
5 ? ? ? ? ? ? 5 ? ?
5 ? ? 5 5 5
P
6
4
2
5
2
5
2
5
2
5
3
5
3
5
6
4
2
5
3
5
P 15
16
625
9
25
432
3 125
0,13824 13,824%
4 2
É possível escrever uma expressão que pode ser utili-
zada na resolução de muitos exercícios. Considerando que
o experimento ocorra n vezes, com k sucessos, com uma
probabilidade de sucesso igual a p e de fracasso igual a
 2 p, temos:
5 ? ? 2
2n
k
p p
k n k
P (1 )
Essa fórmula é similar à do termo geral do desenvolvi-
mento do binômio de Newton.
Exercício resolvido
15. Um dado é lançado 10 vezes. Considerando a face
voltada para cima, qual é a probabilidade da face 
ocorrer exatamente 3 vezes?
Resolução:
Sendo n(V) 5 6, temos:
• Sucesso: ocorrer a face 2. A probabilidade é
p
1
6
5 .
• Fracasso: não ocorrer a face 2: A probabilidade é
p1 1
1
6
5
6
25 2 5 .
Para que ocorram 3 sucessos em 10 lançamentos, a
probabilidade P é:
P
10
3
1
6
5
6
120
1
216
78 125
279936
0,155
3 7
5 ? ? 5 ? ? à
Portanto, a probabilidade da face  ocorrer em 3 dos
10 lançamentos é de, aproximadamente, 15,5%.
28 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
1. Lançando dois dados honestos, qual a probabilidade
de a soma dos valores obtidos ser igual a 6?
2. Rodrigo faz parte de uma turma de 20 estudantes. Três
deles serão sorteados para uma apresentação. Qual a
probabilidade de Rodrigo ser sorteado?
3. Sorteando uma carta de um baralho de 52 cartas,
qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de
espadas?
4. Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos. Cal-
cule P(A), sabendo que P(B) 5 0,4 e P(Aí B) 5 0,7.
5. Mário e Nelson estão numa competição de tiro ao alvo.
Cada um tem direito a apenas um tiro. A probabilidade
de Mário acertar é de 80% e de Nelson acertar é de
75%. Qual a probabilidade de o alvo ser atingido?
6. Em uma urna há 6 bolas pretas e 4 brancas. Sortean-
do duas bolas sem reposição, qual a probabilidade de
sair uma bola de cada cor?
Revisando
7. Uma pessoa tem 3 cartões em seu bolso. O primeiro
deles é amarelo em um lado e vermelho no outro, o
segundo tem os dois lados vermelhos e o terceiro tem
um lado amarelo e outro azul. Sorteando um dos car-
tões aleatoriamente e observando apenas um lado,
qual a probabilidade de se ver um lado vermelho?
8. Em uma urna há 7 bolas vermelhas e 3 brancas, todas
de mesmo tamanho e massa. Sorteando cinco bolas
sem reposição, qual a probabilidade de serem sortea-
das 3 bolas vermelhas e duas brancas?
9. Maria vai prestar vestibular em três faculdades diferen-
tes. A chance de passar no 1º vestibular é de 50%, no
2º é de 40% e no 3º é de 60%. Qual a probabilidade de
ser aprovada em alguma prova?
10. Lançando um dado honesto 6 vezes, qual a probabili-
dade do número 1 ser sorteado apenas uma vez?
29
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N
T
E
 1
1. Enem 2015 Em uma central de atendimento, cem pes-
soas receberam senhas numeradas de  até . Uma
das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabili-
dade de a senha sorteada ser um número de  a 2?
a)
1
100
c)
20
100
e)
80
100
b)
19
100
d)
21
100
2. UEG-GO 2019 Em um programa de televisão, será sor-
teado um dos participantes para executar determinada
tarefa. Sabe-se que, entre os participantes,  são ho-
mens, 6 são mulheres e uma mulher recebeu imunidade
e não poderá participar do sorteio. Colocando-se os
nomes dos participantes que serão sorteados em uma
urna e retirando-se um deles ao acaso, a probabilidade
de que seja uma mulher é de
a)
1
2
c)
3
5
e)
5
9
b)
1
5
d)
1
9
3. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade
da soma das faces voltadas para cima ser igual a ?
4. Lançando 3 dados, qual a probabilidade de não ocor-
rerem três números iguais?
5. Famerp-SP 2019 Os dados honestos P e Q possuem
seis e oito faces, respectivamente. As faces de P es-
tão numeradas com –2, –, , , 2 e 3. As faces de
Q estão numeradas com –, –3, –2, –, , , 2 e 3.
Lançando-se P e Q simultânea e aleatoriamente, a
probabilidade de que a soma dos números obtidos
seja maior que – é de
a) 8,7%. c) ,%. e) 0,%.
b) ,0%. d) 8,0%.
6. Unesp 2015 Uma loja de departamentos fez uma
pesquisa de opinião com   consumidores, para
monitorar a qualidade de atendimento de seus servi-
ços. Um dos consumidores que opinaram foi sorteado
para receber um prêmio pela participação na pesquisa.
A tabela mostra os resultados percentuais registrados
na pesquisa, de acordo com as diferentes categorias
tabuladas.
categorias
percentuais
Se cada consumidor votou uma única vez, a probabi-
lidade de o consumidor sorteado estar entre os que
opinaram e ter votado na categoria péssimo é, apro-
ximadamente,
a) 0% c) % e) %
b) 0% d) 9%
Exercícios propostos
7. Unicamp-SP 2017 Um dado não tendencioso de seis
faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que
o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do
que 3 é igual a
a)
1
3
b)
1
5
c)
1
7
d)
1
9
8. Enem 2020 O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê
certos direitos às pessoas com idade avançada, con-
cedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição
de imposto de renda antes dos demais contribuintes.
A tabela informa os nomes e as idades de 2 idosos
que aguardam suas restituições de imposto de ren-
da. Considere que, entre os idosos, a restituição seja
concedida em ordem decrescente de idade e que, em
subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem
seja decidida por sorteio.
Nome Idade (em ano)
Nessas condições, a probabilidade de João ser a séti-
ma pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a
a)
1
12
c)
1
8
e)
1
4
b)
7
12
d)
5
6
9. Fuvest 2014 O gamão é um jogo de tabuleiro muito
antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em
lances de dados, com estratégia, no movimento das
peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil,
o número total de casas que as peças de um jogador
podem avançar, numa dada jogada, é determinado
pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse
número é igual à soma dos valores obtidos nos dois
dados, se esses valores forem diferentes entre si; e
é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos
dois dados forem iguais. Supondo que os dados não
sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder
fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em
uma jogada é
a)
1
3
b)
5
12
c)
17
36
d)
1
2
e)
19
36
30 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
10. Unesp 2014 Em um condomínio residencial, há
120 casas e 230 terrenos sem edificações. Em um
determinado mês, entre as casas, 20% dos proprie-
tários associados a cada casa estão com as taxas de
condomínio atrasadas, enquanto que, entre os pro-
prietários associados a cada terreno, esse percentual
é de 10%. De posse de todos os boletos individuais de
cobrança das taxas em atraso do mês, o administra-
dor do empreendimento escolhe um boleto ao acaso.
A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um
proprietário de terreno sem edificação é de
a)
24
350
c)
47
350
e)
23
47
b)
24
47
d)
23
350
11. Em uma moeda viciada, a face coroa ocorre o dobro
de vezes que a face cara. Qual a probabilidade de
ocorrer coroa?
12. UFU-MG 2018 As irmãs Ana e Beatriz e seus respecti-
vos namorados vão sentar-se em um banco de jardim
(figura) de modo que cada namorado fique ao lado de
sua namorada.
A probabilidade de as irmãs sentarem-se uma ao lado
da outra é igual a
a) ,5.
b) ,.
c) ,45.
d) ,5.
13. ESPM-SP 2019 Uma urna contém  bolas idênticas
numeradas de 1 a . Quatro bolas serão retiradas uma
a uma, aleatoriamente, dessa urna e enfileiradas em
uma canaleta da esquerda para a direita, na ordem de
retirada, formando um número de  algarismos. A pro-
babilidade de o algarismo das unidades ser o maior
de todos os algarismos desse número é igual a:
a)
1
6
c)
1
2
e)
1
3
b)
2
3
d)
1
4
14. UFJF/Pism-MG 2019 Em um hospital trabalham 12
médicos, dos quais  são cardiologistas. Um pa-
ciente apareceu com uma doença cardíaca rara. A
direção do hospital resolveu montar um grupo de
estudos composto por médicos para analisar o caso.
a) Quantos grupos de estudos distintos com  mé-
dicos é possível montar para realizar o estudo?
b) Quantos grupos de estudos distintos com  médi-
cos têm pelo menos um cardiologista?
c) Um grupo de estudos com  médicos será formado
aleatoriamente para o estudo. Qual é a probabili-
dade de que tenha pelo menos um cardiologista
em sua composição?
15. Unioeste-PR 2019 Uma empresa possui 10 diretores,
dos quais, 3 são suspeitos de corrupção. Foi resolvido
se fazer uma investigação composta por uma comissão
de  diretores da empresa. A única condição imposta
é que a comissão de investigação selecionada tenha
a maioria de diretores não suspeitos. Selecionada, ao
acaso, uma comissão para apuração das suspeitas for-
mada por diretores desta empresa, é CORRETO afirmar
que a probabilidade de que esta comissãoatenda à
condição imposta está no intervalo:
a) (,; ,5)
b) (,5; ,7)
c) (,7; ,8)
d) (,8; ,9)
e) (,9; ,99)
16. FICSAE-SP 2016 Em uma urna vazia foram coloca-
das fichas iguais, em cada uma das quais foi escrito
apenas um dos anagramas da palavra HOSPITAL. A
probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha
dessa urna, no anagrama nela marcado as letras ini-
cial e final sejam ambas consoantes é
a)
5
14
b)
3
7
c)
4
7
d)
9
14
17. Unicamp-SP 2014 Um caixa eletrônico de certo ban-
co dispõe apenas de cédulas de 20 e 0 reais. No
caso de um saque de 00 reais, a probabilidade do
número de cédulas entregues ser ímpar é igual a
a)
1
4
b)
2
5
c)
2
3
d)
3
5
18. Unifesp 2018 Em uma classe de 16 alunos, todos são
fluentes em português. Com relação à fluência em lín-
guas estrangeiras, 2 são fluentes em francês e inglês, 6
são fluentes apenas em inglês e 3 são fluentes apenas
em francês.
a) Dessa classe, quantos grupos compostos por
alunos podem ser formados sem alunos fluen-
tes em francês?
b) Sorteando ao acaso  alunos dessa classe, qual é
a probabilidade de que ao menos um deles seja
fluente em inglês?
19. Unicamp-SP 2021 Um número natural é escolhido ao
acaso entre os números de 1 a 100, e depois dividido
por 3. A probabilidade de que o resto da divisão seja
igual a 1 é de
a)
31
100
.
b)
33
100
.
c)
17
50
.
d)
19
50
.
31
F
R
E
N
T
E
 1
20. Mackenzie-SP 2016 Antônio, José, Pedro, Maria e
Renata foram comemorar o aniversário de Antônio
em uma churrascaria da cidade. O garçom que os
recebeu acomodou-os prontamente em uma mesa re-
donda para 5 pessoas e assim que todos se sentaram
Antônio percebeu que, sem querer, haviam sentado
em volta da mesa por ordem de idade, isto é, a par-
tir do segundo mais novo até o mais velho, cada um
tinha como vizinho do mesmo lado, o colega imediata-
mente mais novo. A probabilidade de isso ocorrer se
os cinco amigos sentassem aleatoriamente é
a)
1
2
c)
1
6
e)
1
24
b)
1
4
d)
1
12
21. Unesp 2019 Dois números reais de  a , e que
podem ser iguais, serão sorteados ao acaso. Deno-
tando-se esses números por x e y, a probabilidade de
que eles sejam tais que x2 1 y2 ,  é igual a
a)
1
20
c)
p
20
e)
p
8
b)
p
64
d)
p
16
22. Fuvest-SP 2018 Em uma urna, há bolas amarelas,
brancas e vermelhas. Sabe-se que:
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha
dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar
uma bola amarela.
II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a
probabilidade de retirar uma bola vermelha passa
a ser
1
2
.
III. Se forem retiradas 1 bolas vermelhas dessa
urna, a probabilidade de retirar uma bola branca
passa a ser
1
2
.
A quantidade de bolas brancas na urna é
a) 8.
b) 10.
c) 1.
d) 14.
e) 1.
23. Fuvest-SP 2015 De um baralho de 2 cartas, sete de
cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros,
uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele
mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as
demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre
as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A proba-
bilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de
ouros é:
a)
1
130
b)
1
420
c)
10
1 771
d)
25
7 117
e)
52
8 117
24. Unicamp-SP 2014 Uma loteria sorteia três números
distintos entre doze números possíveis.
a) Para uma aposta em três números, qual é a proba-
bilidade de acerto?
b) Se a aposta em três números custa R$ ,00, quan-
to deveria custar uma aposta em cinco números?
25. Unicamp-SP 2019 A figura abaixo representa um
dado na forma de um tetraedro regular com os vér-
tices numerados de  a . Em um lançamento desse
dado, deve ser observado o número estampado no
vértice superior.
a) Considere a soma dos números obtidos em dois
lançamentos de um dado tetraédrico. Determine
de quantas maneiras essa soma pode resultar em
um número primo.
b) Seja pn a probabilidade de se observar o número
n no lançamento de um dado tetraédrico tenden-
cioso para o qual p1 5 p 5 p3 5 4p4. Calcule
essas quatro probabilidades.
26. Unifesp 2014 Uma população de  camundon-
gos, marcados de  a , será utilizada para um
experimento em que serão sorteados aleatoriamente
camundongos. Dos  camundongos, apenas 2 têm
certa característica C, 5 têm certa característica C2 e
nenhum deles tem as duas características. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos
camundongos com a característica C1 esteja no
grupo sorteado?
b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado
tenha apenas 1 camundongo com a característica
C1 e ao menos  com a característica C?
27. Dois dados de 6 faces são lançados. Qual a probabi-
lidade:
a) da soma ser  ou 8?
b) de ocorrerem números iguais ou da soma ser 10?
c) de ocorrerem números diferentes e da soma ser ?
28. Em um grupo de 3 estudantes,  estudam matemáti-
ca, 5 estudam física e 3 estudam matemática e física.
Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade
de que ele:
a) estude matemática e física?
b) estude somente matemática?
c) não estude matemática nem física?
d) estude matemática ou física?
32 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
29. A e B são eventos mutuamente exclusivos. A probabi-
lidade de ocorrer o evento A é 20% e a de ocorrer A
ou B é 50%. Qual a probabilidade de ocorrer B?
30. UPE-SSA 2016 Se dois dados idênticos e não vicia-
dos são lançados, a probabilidade de a soma dos
pontos obtidos ser um múltiplo de 2 ou um múltiplo
de 3 é de aproximadamente
a) 66,6%
b) 6,%
c) ,%
d) ,%
e) ,%
31. Uerj 2018 Um jogo consiste em lançar cinco vezes
um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a
, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer.
Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo
menos três resultados pares.
A probabilidade de um jogador vencer é:
a)
3
5
c)
1
5
b)
2
3
d)
1
2
32. Efomm-RJ 2016 Um dado cúbico, não viciado, com fa-
ces numeradas de 1 a , é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face superior
do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a
probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja
sucessor de b OU que a, b, e c sejam primos?
a)
4
216
c)
108
216
e)
10
216
b)
27
216
d)
31
216
33. Unesp 2015 Um dado viciado, que será lançado uma
única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a . A
tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência
de cada face.
número na face
probabilidade de
ocorrência da face
Sendo X o evento “sair um número ímpar” e Y um
evento cuja probabilidade de ocorrência seja 90%,
calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva
uma possível descrição do evento Y.
34. UEPG-PR 2019 Foram entrevistadas 72 pessoas,
perguntando em quais bancos: A, B ou C realizariam
investimentos financeiros. Das pessoas entrevista-
das, 25 disseram que realizariam investimentos nos
três bancos; 240 realizariam investimentos no banco
B, 70 realizariam investimentos nos bancos B e C; 0
realizariam investimentos nos bancos A e C; 215 re-
alizariam investimentos no banco A; 55 realizariam
investimentos nos bancos A e B e 355 realizariam in-
vestimentos no banco C.
A partir do exposto, assinale o que for correto.
 A probabilidade de investimento no banco A ou C
é menor do que %.
 A probabilidade de não investirem em nenhum
dos bancos é maior do que %.
 A probabilidade de investimento apenas no ban-
co C é maior do que %.
 A probabilidade de investimento no banco B e C
é menor do que %.
 A probabilidade de investimento no banco A ou B
é menor do que %.
Soma:
35. Fuvest-SP Um dado cúbico, não viciado, com faces
numeradas de 1 a , é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face su-
perior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c).
Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a
ou que c seja sucessor de b?
a)
4
27
c)
7
27
e)
23
54
b)
11
54
d)
10
27
36. Um dado honesto é lançado. Se o número observado
for menor que 4, qual a probabilidade de ele ser ímpar?
37. EsPCEx-SP 2021 Dois dados cúbicosnão viciados,
um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois da-
dos são numerados de 1 a . Qual a probabilidade da
soma dos números que saírem nos dois dados dar 7,
sabendo-se que no dado azul saiu um número par?
a)
1
12
d)
1
3
b)
1
2
e)
1
18
c)
1
6
38. Sorteia-se um elemento do conjunto S 5 {1, 2, 3, 4, ...,
100}. Se o elemento é um número par, qual a probabi-
lidade de ser um número divisível por 7?
39. Um grupo de 50 moças é classificado de acordo
com a cor dos olhos e dos cabelos, segundo o qua-
dro a seguir.
Loira Morena Ruiva
Escolhendo uma moça aleatoriamente, qual a proba-
bilidade de ela:
a) ser morena?
b) ter olhos azuis?
c) ser morena de olhos azuis?
d) ter olhos castanhos, sabendo que é loira?
e) ser morena, se tem olhos azuis?
33
F
R
E
N
T
E
 1
40. Uma comissão de 3 pessoas é formada ao acaso
entre um grupo de  pessoas, entre elas André e
Beatriz. Se André não pertence à comissão, qual é a
probabilidade de Beatriz pertencer?
41. Unesp 2021 Um estudo para determinar a proba-
bilidade da efetividade de um novo exame para
obtenção do diagnóstico de uma doença baseou-se
nos resultados obtidos em um grupo constituído de
 62 pessoas. A tabela mostra os resultados desse
estudo.
Possui a doença?
Resultado
do Exame
A análise dos resultados mostra que, apesar de a pro-
babilidade de o teste detectar a doença em quem a
possui ser de __________, a probabilidade de uma
pessoa desse grupo que obtém um resultado positi-
vo não ter a doença, ou seja, um falso positivo, é de
__________, indicando que esse novo exame preci-
sa ser aprimorado.
Os percentuais que completam, respectivamente, a
frase são:
a) 8%; 8%.
b) 0%; 8%.
c) 0%; 7%.
d) 8%; 44%.
e) 8%; 7%.
42. Unesp 2018 Dois dados convencionais e honestos
foram lançados ao acaso. Sabendo-se que saiu o nú-
mero 6 em pelo menos um deles, a probabilidade de
que tenha saído o número  no outro é igual a
a)
2
9
c)
2
11
e)
1
18
b)
8
11
d)
1
6
43. UFPR 2013 Para verificar a redução de efeitos co-
laterais de um novo tratamento, pesquisadores
ministraram a dois grupos distintos de voluntários o
tratamento convencional e o novo tratamento. Os re-
sultados obtidos estão descritos na tabela a seguir:
Apresentou Efeitos Colaterais
Tratamento Convencional
Novo Tratamento
a) Qual a probabilidade de um voluntário, escolhi-
do aleatoriamente dentre os participantes dessa
pesquisa, ter apresentado efeitos colaterais?
b) Qual a probabilidade de um voluntário ter sido
submetido ao novo tratamento, dado que ele
apresentou efeitos colaterais?
44. Enem 2015 Um bairro residencial tem cinco mil
moradores, dos quais mil são classificados como
vegetarianos. Entre os vegetarianos, % são espor-
tistas, enquanto que, entre os não vegetarianos, essa
porcentagem cai para 2%. Uma pessoa desse bairro,
escolhida ao acaso, é esportista. A probabilidade de
ela ser vegetariana é
a)
2
25
b)
1
5
c)
1
4
d)
1
3
e)
5
6
45. Enem 2019 Em um determinado ano, os computado-
res da receita federal de um país identificaram como
inconsistentes 2% das declarações de imposto de
renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração
é classificada como inconsistente quando apresenta
algum tipo de erro ou conflito nas informações presta-
das. Essas declarações consideradas inconsistentes
foram analisadas pelos auditores, que constataram
que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda
que, dentre as declarações que não apresentaram in-
consistências, 6,25% eram fraudulentas.
Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração
de um contribuinte ser considerada inconsistente,
dado que ela era fraudulenta?
a) 0,000 c) 0,11 e) 0,000
b) 0,1000 d) 0,1
46. UEG-GO 2016 Pedro jogou dois dados comuns nu-
merados de  a 6. Sabendo-se que o produto dos
números sorteados nos dois dados é múltiplo de 3, a
probabilidade de terem sido sorteados os números 3
e  é uma em
a) 18 b) 1 c) 10 d) 9
47. Famema-SP 2020 Uma confecção de roupas produ-
ziu um lote com um total de 5 camisetas, distribuídas
entre os tamanhos P e M, sendo 5 lisas e as demais
estampadas. Nesse lote, havia  camisetas tama-
nho P, das quais 6 eram estampadas. Retirando-se,
ao acaso, uma camiseta desse lote e sabendo que
seu tamanho é M, a probabilidade de que seja uma
peça estampada é igual a
a) % c) 48% e) 7%
b) 4% d) 0%
48. UFMS 2020 Em uma pequena propriedade rural da
cidade de Aquidauana, há três raças de gado de
corte: Nelore, Girolando e Pantaneira. O rebanho é
composto por  cabeças, sendo 25 cabeças da raça
Nelore,  da raça Girolando e 5 da raça Pantaneira.
Para uma exposição agropecuária, serão enviadas 3
cabeças. Escolhendo ao acaso, qual a probabilidade
de as três cabeças escolhidas para a exposição se-
rem da raça Girolando?
a)
1
4
. c)
3
247
. e)
203
494
.
b)
1
998
. d)
3
40
.
34 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
49. Enem PPL 2019 Uma empresa sorteia prêmios entre
os funcionários como reconhecimento pelo tempo tra-
balhado. A tabela mostra a distribuição de frequência
de 20 empregados dessa empresa que têm de 25 a
35 anos trabalhados. A empresa sorteou, entre esses
empregados, uma viagem de uma semana, sendo
dois deles escolhidos aleatoriamente.
Tempo de serviço Número de empregados
Qual a probabilidade de que ambos os sorteados te-
nham 34 anos de trabalho?
a)
1
20
c)
1
16
e)
5
20
b)
1
19
d)
2
20
50. Numa urna há 7 bolas vermelhas, 5 brancas e 3 pre-
tas. Retirando duas bolas ao acaso, sem reposição,
qual a probabilidade:
a) da ª ser vermelha;
b) da ª ser vermelha e a ª branca;
c) de sair uma vermelha e outra branca;
d) não sair nenhuma preta;
e) da ª ser vermelha.
51. André tem probabilidade
1
4
 de convidar Maria para
um jantar. A probabilidade de que Bruno a convide é
2
5
 e a de Carlos é
1
2
. Qual a probabilidade de o con-
vite para um jantar ser feito:
a) pelos três?
b) por nenhum deles?
c) por pelo menos um deles?
52. Unesp 2021 Para a identificação do câncer de prós-
tata utiliza-se, além do exame digital, o exame de
sangue PSA (antígeno prostático específico), que é
um procedimento básico para início do rastreamento.
No entanto, o PSA é um biomarcador imperfeito, pois
pode levar a falsos diagnósticos e excesso de trata-
mento cirúrgico.
Um grupo de pesquisadores obteve, para uma de-
terminada população, que a probabilidade de um
resultado do exame PSA ser verdadeiro, ou seja, in-
dicar positivo para quem tem a doença ou negativo
para quem não tem a doença, é de 60%. Ao analisar o
resultado de dois testes desse grupo, a probabilidade
de que pelo menos um seja falso é de
a) %. c) %. e) %.
b) %. d) 8%.
53. Um dado é lançado 4 vezes. Qual a probabilidade de
observarmos o número 3:
a) quatro vezes?
b) apenas nos dois primeiros lançamentos?
c) em dois lançamentos?
54. Unicamp-SP 2016 Uma moeda balanceada é lançada
quatro vezes, obtendo-se cara exatamente três vezes.
A probabilidade de que as caras tenham saído conse-
cutivamente é igual a
a)
1
4
. c)
1
2
.
b)
3
8
. d)
3
4
.
55. A probabilidade de Marcelo e Antônio visitarem
Artur no próximo domingo é, respectivamente, 70%
e 60%. Sabendo que esses são eventos indepen-
dentes, qual a probabilidade de Artur receber visita
no domingo?
56. Enem 2016 Um adolescente vai a um parque de
diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a
um brinquedo que se encontra na área IV, dentre
as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra
o mapa do parque, com a localização da entrada,
das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e
dos possíveis caminhos para se chegar a cada área.
O adolescente não tem conhecimento do mapa do
parque e decide ir caminhando da entrada até che-
gar à área IV.
Suponha que relativamente a cada ramificação,
as opções existentes de percurso pelos caminhos
apresentem iguais probabilidades de escolha, que
a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os ca-
minhos existentes e que, ao tomar um caminho
que chegue a uma área distinta da IV, o adoles-
cente necessariamentepassa por ela ou retorna.
Nessas condições, a probabilidade de ele chegar
à área IV sem passar por outras áreas e sem retor-
nar é igual a
a)
1
96
d)
1
4
b)
1
64
e)
5
12
c)
5
24
35
F
R
E
N
T
E
 1
57. Unicamp-SP 2019 O sistema de segurança de um
aeroporto consiste de duas inspeções. Na primeira
delas, a probabilidade de um passageiro ser inspecio-
nado é de
3
5
. Na segunda, a probabilidade se reduz
para
1
4
. A probabilidade de um passageiro ser inspe-
cionado pelo menos uma vez é igual a:
a)
17
20
b)
7
10
c)
3
10
d)
3
20
58. Enem 2015 Em uma escola, a probabilidade de um
aluno compreender e falar inglês é de 3%. Três
alunos dessa escola, que estão em fase final de se-
leção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem
chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de cha-
má-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz,
oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser res-
pondida por qualquer um dos alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter
sua pergunta oralmente respondida em inglês é
a) ,7%
b) 0,0%
c) 44,1%
d) ,7%
e) 90,0%
59. Fuvest-SP 2020 Carros que saem da cidade A rumo
a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem cami-
nhos diversos, passando por pelo menos uma das
cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas
setas, como mostra a figura. Os números indicados
nas setas são as probabilidades, dentre esses carros,
de se ir de uma cidade a outra.
C
0,2
0,6
0,1
0,3
0,9
0,7
0,8
0,4
A
B
D
Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A
a F é
a) 0,10.
b) 0,1.
c) 0,4.
d) 0,.
e) 0,84.
60. Famema-SP 2017 Um professor colocou em uma pas-
ta 36 trabalhos de alunos, sendo 2 deles de alunos
do º ano e os demais de alunos do 2º ano. Retirando-
-se aleatoriamente 2 trabalhos dessa pasta, um após
o outro, a probabilidade de os dois serem de alunos
de um mesmo ano é
a)
1
2
. c)
1
4
. e)
1
6
.
b)
1
3
. d)
1
5
.
61. Unicamp-SP 2018 Lançando-se determinada moeda
tendenciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro
da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos
dessa moeda, a probabilidade de sair o mesmo resul-
tado é igual a
a)
1
2
. b)
5
9
. c)
2
3
. d)
3
5
.
62. PUC-Rio 2017 Ao lançar um dado 3 vezes sucessivas,
qual é a probabilidade de obter ao menos um número
ímpar?
a)
1
8
c)
3
8
e)
7
8
b)
1
4
d)
5
8
63. Unicamp-SP 2020 Um atleta participa de um torneio
composto por três provas. Em cada prova, a probabi-
lidade de ele ganhar é de
2
3
 independentemente do
resultado das outras provas. Para vencer o torneio, é
preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabili-
dade de o atleta vencer o torneio é igual a
a)
2
3
. b)
4
9
. c)
20
27
. d)
16
81
.
64. Fuvest-SP 2019 Uma seta aponta para a posição zero
no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no
mesmo lugar ou mover-se uma unidade para a direita
ou mover-se uma unidade para a esquerda, cada uma
dessas três possibilidades com igual probabilidade.
0−1−2−3−4−5 +1 +2 +3 +4 +5
Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta
volte à posição inicial?
a)
1
9
c)
1
3
e)
125
243
b)
17
81
d)
51
125
65. Enem 2019 O dono de um restaurante situado às mar-
gens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma
placa de propaganda de seu restaurante ao longo da
rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos
seus clientes e concluiu que a probabilidade de um
motorista perceber uma placa de anúncio é
1
2
. Com
isso, após autorização do órgão competente, decidiu
instalar novas placas com anúncios de seu restaurante
ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabili-
dade de um motorista perceber pelo menos uma das
placas instaladas fosse superior a
99
100
.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda
a serem instaladas é
a) 99.
b) 1.
c) 0.
d) .
e) 1.
36 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
66. Enem 2017 Um morador de uma região metropolitana
tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o tra-
balho quando chove na região; caso não chova, sua
probabilidade de atraso é de 25%. Para um determi-
nado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a
probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.
Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar
para o serviço no dia para o qual foi dada a estimativa
de chuva?
a) ,7
b) ,1
c) ,
d) ,6
e) ,8
67. Enem 2014 O psicólogo de uma empresa aplica um
teste para analisar a aptidão de um candidato a de-
terminado cargo. O teste consiste em uma série de
perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou
falso e termina quando o psicólogo fizer a décima per-
gunta ou quando o candidato der a segunda resposta
errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo
sabe que a probabilidade de o candidato errar uma
resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar
na quinta pergunta é
a) ,48
b) ,819
c) ,4
d) ,496
e) ,491
68. Mackenzie-SP 2017 João guardou as duas chaves
de sua casa em uma caixa que estava na estante da
sala. Ao sair, no dia seguinte, foi pegar as chaves de
casa na caixa em que as havia guardado e percebeu
que a caixa continha 5 chaves e não apenas as duas
que eram suas. Como não conseguia distinguir as
suas chaves e já estava atrasado para um compromis-
so, João resolveu sortear 3 das 5 chaves e levá-las
consigo. Assim, a probabilidade de que João consiga
entrar em casa quando voltar é
a) ,
b) ,7
c) ,9
d) ,6
e) ,4
69. Unesp 2017 Em um jogo de tabuleiro, o jogador des-
loca seu peão nas casas por meio dos pontos obtidos
no lançamento de um par de dados convencionais e
não viciados. Se o jogador obtém números diferentes
nos dados, ele avança um total de casas igual à soma
dos pontos obtidos nos dados, encerrando-se a joga-
da. Por outro lado, se o jogador obtém números iguais
nos dados, ele lança novamente o par de dados e
avança seu peão pela soma dos pontos obtidos nos
dois lançamentos, encerrando-se a jogada. A figura a
seguir indica a posição do peão no tabuleiro desse
jogo antes do início de uma jogada.
Iniciada a jogada, a probabilidade de que o peão en-
cerre a jogada na casa indicada na gura com a bomba
é igual a
a)
37
324
. c)
23
144
. e)
23
216
.
b)
49
432
. d)
23
135
.
70. Unesp 2012 O mercado automobilístico brasileiro
possui várias marcas de automóveis disponíveis aos
consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e
E), a matriz fornece a probabilidade de um proprietário
de um carro de marca da linha i trocar para o carro de
marca da coluna j, quando da compra de um carro novo.
Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem
as probabilidades de um proprietário permanecer com
a mesma marca de carro na compra de um novo.
A B C D E
A
B
C
D
E
A probabilidade de um proprietário de um carro da
marca B comprar um novo carro da marca C, após duas
compras, é:
a) ,
b) ,4
c) ,
d) ,9
e) ,
71. EsPCEx-SP 2020 Numa sala existem duas caixas com
bolas amarelas e verdes. Na caixa , há 3 bolas amare-
las e  bolas verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e
5 bolas verdes. De forma aleatória, uma bola é extraída
da caixa , sem que se saiba a sua cor, e é colocada na
caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade de
extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a
a)
49
110
. c)
53
110
. e)
61
110
.
b)
51
110
. d)
57
110
.
72. Famema-SP 2019 Uma pessoa colocou em um frasco
não transparente 2 comprimidos de um medicamen-
to A e 5 comprimidos de um medicamento B. Todos
os comprimidos possuem o mesmo formato e as
mesmas dimensões, porém são de cores diferentes.
Se essa pessoa retirar aleatoriamente 2 comprimi-
dos desse frasco, um após o outro, sem reposição,
a probabilidade de saírem 2 comprimidos do mesmo
medicamento é
a)
3
4
. b)
1
4
. c)
1
5
. d)
2
5
. e)
1
2
.
37
F
R
E
N
T
E
 1
Texto complementar
Resumindo
Experimento aleatório e espaço amostral
Experimento (ou fenômeno) aleatório: todo experimento (ou fenômeno) que não conseguimos prever o resultado.
EspaçoAmostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento ou fenômeno aleatório.
Evento, evento certo e evento impossível
Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral.
Evento A certo: A 5 V.
Evento B impossível: B 5 0.
Probabilidade de acertar na loteria
Uma das aplicações da probabilidade é dar referências para a precificação de jogos como loterias.
Considere um conjunto de 60 números. Para jogar, devem ser escolhidos 6 números e o vencedor é aquele que conseguir acertar os 6 números
sorteados. Qual deveria ser o preço para se fazer um jogo em que sejam escolhidos 7 números?
O jogo base tem seis números. Se você escolher sete números, concorrerá com C7, 65 7 jogos de seis números cada. Dessa forma, o preço desse
jogo deve ser o preço base multiplicado por 7.
Se a escolha for por fazer um jogo com oito números, o apostador concorrerá com C8, 65 28 jogos e deve pagar 28 vezes o preço base.
A probabilidade P6 de acertar os 6 números sorteados é dada por:
P
1
C
1
60 59 58 57 56 55 !
! 6 5 4 3 2 1
1
50063860
6
60, 6
5 5
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
5
Jogando 6 números qual a chance de acertar 5 deles? Considere que no sorteio dos 6 números temos cinco dos números sorteados, chamaremos
de números certos e 54 errados.
O número máximo de jogos com 5 acertos é:
5 certos 1 errado
C C 6 54 3246, 5 54, 1
ô ô
? 5 ? 5
A probabilidade P5 de acertar 5 números é dada por:
P
324
C
324
50063860
1
154 500
5
60, 6
5 5 à
Do mesmo modo, podemos calcular a probabilidade de acerto para 4 números:
4 certos 2 errados
C C 15 1 431 21 4656, 4 54, 2
ô ô
? 5 ? 5
Assim, a probabilidade P4 de acertar apenas 4 números é:
P
21 465
C
21 465
50063860
1
2 330
4
60, 6
5 5 à
Texto elaborado para fins didáticos.
38 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
Cálculo de probabilidades
Espaço amostral equiprovável
Um espaço amostral é dito equiprovável quando todos os eventos formados por apenas um elemento do espaço amostral têm
a mesma chance de ocorrer.
Probabilidade
5
V
n
n
P(A)
(A)
( )
Sendo n(A) o número de elementos do evento A e n(V) o número de elementos do espaço amostral V, com V finito e equipro-
vável e V = 0.
Propriedades das probabilidades
Para um evento A qualquer: 0 , P(A) , 1.
Para um evento certo B: P(B) 5 1.
Para um evento impossível C: P(C) 5 0.
Interseção de dois eventos
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B.
União de dois eventos
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B.
P(A í B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A ì B)
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui a possibilidade do outro ocorrer
(A ì B 5 0).
P(A í B) 5 P(A) 1 P(B)
Eventos complementares
O evento A é complementar do evento A quando:
í 5V
ì 5 0
A A
A A
.
Probabilidade condicional
A probabilidade de ocorrer um evento A, sabendo que já ocorreu o evento B é dada por:
5
ì
P(A | B)
P(A B)
P(B)
Eventos independentes
P(A | B) 5 P(A) P(B | A) 5 P(B)
Produto de probabilidades
5
ì
~ ì 5 ?P(A | B)
P(A B)
P(B)
P(A B) P(A | B) P(B)
Quando os eventos A e B são independentes, temos:
P(Aì B) 5 P(A) ? P(B)
Distribuição binomial
Pode ser aplicada em experimentos aleatórios, que podem ocorrer sucessivas vezes com apenas dois resultados possíveis:
ocorrer (sucesso) ou não ocorrer (fracasso) determinada propriedade.
Supondo que um experimento ocorra n vezes, com k sucessos, com uma probabilidade de sucesso igual a p e de fracasso igual
a 1 2 p, temos:
5 ? ? 2
2n
k
p p
k n k
P (1 )
39
F
R
E
N
T
E
 1
1. UFRGS 2018 Considere os números naturais de 1 até
100. Escolhido ao acaso um desses números, a proba-
bilidade de ele ser um quadrado perfeito é
a)
1
10
. b)
4
25
. c)
3
10
. d)
1
2
. e)
9
10
.
2. Marina faz parte de um grupo de 10 pessoas de onde
serão sorteadas 3 delas. Qual é a probabilidade de
ela ser sorteada?
3. Enem 2012 Em um blog de variedades, músicas, man-
tras e informações diversas, foram postados “Contos
de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam
opinar, assinalando suas reações em “Divertido”, “As-
sustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog
registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta
postagem.
O grá co a seguir apresenta o resultado da enquete.
CONTOS DE HALLOWEEN
opinião dos visitantes
DIVERTIDO
ASSUSTADOR
CHATO
NÃO OPINARAM
0%
21%
12%
15%
52%
10% 20% 30% 40% 50% 60%
O administrador do blog irá sortear um livro entre
os visitantes que opinaram na postagem “Contos de
Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou
mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa
escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assina-
lado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é
mais aproximada por
a) ,9
b) ,2
c) ,4
d) ,
e) ,8
4. Fuvest-SP Dois dados cúbicos, não viciados, com
faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultanea-
mente. A probabilidade de que sejam sorteados dois
números consecutivos, cuja soma seja um número
primo, é de:
a)
2
9
b)
1
3
c)
4
9
d)
5
9
e)
2
3
5. Enem 2020 Suponha que uma equipe de corrida de
automóveis disponha de cinco tipos de pneu (I, II, III,
IV, V), em que o fator de eficiência climática EC (índice
que fornece o comportamento do pneu em uso, de-
pendendo do clima) é apresentado:
• EC do pneu I: com chuva , sem chuva ;
• EC do pneu II: com chuva 7, sem chuva –4;
• EC do pneu III: com chuva –2, sem chuva ;
• EC do pneu IV: com chuva 2, sem chuva 8;
• EC do pneu V: com chuva –, sem chuva 7.
O coe ciente de rendimento climático (CRC) de um
pneu é calculado como a soma dos produtos dos fato-
res de EC, com ou sem chuva, pelas correspondentes
probabilidades de se ter tais condições climáticas:
ele é utilizado para determinar qual pneu deve ser
selecionado para uma dada corrida, escolhendo-se
o pneu que apresentar o maior CRC naquele dia. No
dia de certa corrida, a probabilidade de chover era de
0% e o chefe da equipe calculou o CRC de cada um
dos cinco tipos de pneu.
O pneu escolhido foi
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Quer saber mais?
Sites
MORICONI, Marco. Instituto de Física da UFF. Trocar ou não de porta? Artigo da Revista Ciência Hoje 218. Disponível em: https://
cienciahoje.org.br/artigo/trocar-ou-nao-de-porta/#:~:textImagine%2que%2voc%C%AA%2C% 2leitor%2C%2est%C%A,
uma%2assinatura%2da%2Ci%C%AAncia%2Hoje%2. Acesso em: 2 mar. 222.
Imagine-se participando do jogo de auditório em que você escolhe um prêmio escondido atrás de uma de três portas, pois, em
uma delas, há um prêmio especial.
DINIZ, André Luiz. Qual é a probabilidade? Disponível em: http://qualeaprobabilidade.blogspot.com/2//fraudando-as-
estatisticas.html. Acesso em: 2 mar. 222.
Aplicação de probabilidades e estatísticas no estudo de fraudes e balanços financeiros e a Lei de Benford.
FUNNY2. As probabilidades são... Disponível em: http://www.funny2.com/odds.html. Acesso em: 2 mar. 222.
Probabilidades curiosas ou de fatos curiosos.
Exercícios complementares
40 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
8. FGV-SP 2020 Uma urna contém 4 bolinhas numera-
das com os números 1, 3, 5 e 7.
Uma bolinha é sorteada ao acaso, tem seu número ob-
servado e é recolocada na urna.
Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada ao acaso.
Considere as seguintes probabilidades:
p1: probabilidade de que o número da 1ª bolinha este-
ja entre 4 e 6, excluindo 4 e 6.
pM: probabilidade de que a média aritmética dos dois
números sorteados esteja entre 4 e 6, excluindo 4 e 6.
O valor de p1 1 pM é:
a)
8
16
c)
7
16
e)
9
16
b)
6
16
d)
5
16
9. UPE-SSA 2018 Algumas diagonais do decágono re-
gular passam pelo seu centro e outras não. Sendo
assim, escolhendo-se ao acaso uma diagonal desse
polígono, qual é a probabilidade de ela não passar
pelo centro do decágono?
a)
6
7
c)
3
4
e)
1
7
b)
1
2
d)
3
5
10. Fuvest-SP 2012Francisco deve elaborar uma pes-
quisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão
selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha,
besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, ca-
ranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto.
Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes
escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam
insetos?
a)
49
144
c)
7
22
e)
15
144
b)
14
33
d)
5
22
11. ESPM-SP 2018 A senha bancária da dona Maria era
753213 seguida pelas letras D, D e B, nessa ordem.
Acontece que ela só se lembrava da parte numéri-
ca, esquecendo-se completamente da sequência
de letras. A caixa eletrônica apresentou os 4 botões
mostrados na figura abaixo, que ela deveria pressio-
nar exatamente 3 vezes, podendo repeti-los, um para
cada letra da senha.
Se ela zer as escolhas aleatoriamente, a probabilidade
de acertar a senha será:
a)
9
32
b)
5
16
c)
1
4
d)
3
8
e)
3
16
6. EPCar-MG 2020
Você conhece o jogo chamado Dominó?
“Existem várias versões que tentam decifrar de onde
veio o jogo, mas nenhuma delas até hoje pôde ser con-
firmada. Acredita-se, porém, que ele tenha surgido na
China, inventado por um soldado chamado Hung Ming,
que teria vivido de 243 a 181 a.C. (...) O nome dominó
provavelmente deriva da expressão latina domino gratias,
que significa “graças a Deus”, dita pelos padres europeus
enquanto jogavam. Atualmente, o dominó é jogado em
quase todos os países do mundo, mas é mais popular na
América Latina.”
(Disponível em: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/qual-e-a-origem-
do-domino/. Acesso em 26 de fevereiro de 2019.)
Disponível em: https://br.depositphotos.com/64902345/stockillustration-do-
mino-set.html. Acesso em 26 de fevereiro de 2019.
As 28 peças de um dominó tradicional são divididas
em duas metades. Nelas aparecem representados os
números 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, geralmente pintados em
quantidades de pontos tal como a gura anterior.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Ver-
dadeira ou (F) Falsa.
 Dentre todas as peças do jogo, a probabilidade de
se escolher uma peça em que os dois números re-
presentados são diferentes entre si é igual a 75%.
 A probabilidade de se escolher a peça
dentre todas as peças do jogo, é maior que 3,5%.
 Dentre as peças que só têm representados núme-
ros pares em ambas as metades, 40% são aquelas
em que há um par de números iguais.
Sobre as proposições, tem-se que
a) apenas uma afirmação é verdadeira.
b) apenas duas afirmações são verdadeiras.
c) todas as afirmações são verdadeiras.
d) nenhuma afirmação é verdadeira.
7. IFPE 2019 Numa urna, foram colocados cinco cartões
numerados de 1 a 5. Serão sorteados, sem reposição,
dois cartões. Qual a probabilidade de os números pre-
sentes nos cartões sorteados serem consecutivos?
a) %
b) %
c) %
d) %
e) %
41
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E
N
T
E
 1
12. Mackenzie-SP 2016 Se um dado honesto é arre-
messado  vezes, a probabilidade de obtermos, pelo
menos, 3 resultados iguais
a)
5
36
c)
5
54
e)
15
216
b)
12
108
d)
7
72
13. EsPCEx-SP 2019 Enrico guardou moedas em um co-
frinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo,
constatou que:
I. O cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,,
R$ 0,0 e R$ 1,00.
II. A probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,
é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda
de R$ 0,0
III. Se forem retiradas 1 moedas de R$ 0, desse
cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de
R$ 0,0 passa a ser
9
40
.
IV. Se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,0 desse
cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda
de R$ 1,00 passa a ser
1
4
.
Diante dessas constatações, podemos armar que a
quantidade de moedas de R$ ,25 nesse cofrinho era
a) 7.
b) .
c) .
d) 81.
e) 108.
14. Unioeste-PR 2020 O alarme da casa de José é
acionado por um teclado numérico composto pelos
algarismos , , 2, 3, , 5, 6, ,  e . Após digitar vá-
rias vezes a mesma senha de três algarismos, a qual é
6, a tinta das teclas que correspondem aos algaris-
mos  e 6 apagou-se. Suponha que uma pessoa que
não conheça a senha veja que os algarismos dessas
teclas estão apagados e deduza que os números 
e 6 devem compor a senha. Levando esta informa-
ção em consideração e que esta pessoa sabe que
a senha tem três algarismos, mas não sabe que são,
necessariamente, distintos, a chance dessa pessoa
acertar a senha CORRETA em uma única tentativa é:
a) 1 em 1000.
b) 1 em 0.
c) 1 em .
d) 1 em 4.
e) 1 em 7.
15. FGV-SP 2021 Considere a função polinomial f (x) 5
5 ( 2 2k)x 1 3k 1 , em que k é um número real.
Sorteando-se aleatoriamente o valor de k do conjun-
to 2
1
12
, 0,
1
12
,
1
6
,
1
4
,
1
3
,
5
12
,
1
2
,
7
12
,
2
3
,
3
4
,
5
6
,
11
12
, 1{ } , a
probabilidade de que a função f (x) seja estritamente
crescente e seu gráfico intersecte o eixo y em um va-
lor maior ou igual a 2 é de
a)
5
14
b)
2
7
c)
3
14
d)
1
7
e)
1
14
16. Enem 2018 O gerente do setor de recursos humanos
de uma empresa está organizando uma avaliação em
que uma das etapas é um jogo de perguntas e res-
postas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas,
pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e
escreveu cada pergunta em cartões para colocação
em uma urna.
Contudo, após depositar vinte perguntas de diferen-
tes níveis na urna, ele observou que 25% delas eram
de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível
fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar
mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a
probabilidade de o primeiro participante retirar, alea-
toriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 5%.
Com essas informações, a quantidade de perguntas
de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna
é igual a
a) 10.
b) 1.
c) .
d) 40.
e) 4.
17. Enem 2018 Um rapaz estuda em uma escola que fica
longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o trans-
porte público. Como é muito observador, todos os dias
ele anota a hora exata (sem considerar os segundos)
em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Tam-
bém notou que nunca consegue chegar ao ponto de
ônibus antes de 6 h 5 min da manhã. Analisando os
dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual
teve 2 dias letivos, ele concluiu que 6 h 2 min foi o
que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de
dados é 6 h 22 min.
A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de
fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes
de 6 h 2 min da manhã é, no máximo,
a)
4
21
b)
5
21
c)
6
21
d)
7
21
e)
8
21
42 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
18. ITA-SP 2021 Um dodecaedro regular tem 12 faces
que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vér-
tices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de
eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a:
a)
15
100
. b)
3
19
. c)
15
190
. d)
5
12
. e)
2
5
.
19. FMJ-SP 2021 No ensino médio de uma escola, estão
matriculados 53 alunos no primeiro ano, 37 alunos no
segundo ano e 30 alunos no terceiro ano. Todos es-
ses alunos formarão duplas entre si, de maneira que
em cada dupla não haja alunos do mesmo ano. Uma
dessas duplas será escolhida ao acaso e a probabili-
dade de a dupla escolhida ter um aluno do primeiro
ano e um aluno do segundo ano é
a)
2
3
b)
3
4
c)
1
2
d)
4
5
e)
1
3
20. EPCar-MG 2021 Testes realizados em um jogo de arco
e flecha provaram que a probabilidade de acerto em
uma das quatro áreas A1, A2, A3 ou A4 de um alvo como
o da figura a seguir é a razão entre a área da região e o
quadrado da distância entre o jogador e o alvo, nessa
ordem.
Sabe-se que A1 é a área de um círculo de raio 1 m e A2,
A3 e A4 são áreas de coroas circulares concêntricas
com A1, com as medidas indicadas na gura a seguir,
em metros.
A probabilidade de um jogador que está a 16 m de
distância do alvo acertar a área
a) A é a metade da probabilidade de acertar a área A.
b) A é o dobro da probabilidade de acertar a área A.
c) A é sete vezes a probabilidade de acertar a área A.
d) A é o triplo da probabilidade de acertar a área A.
21. UEL-PR 2015 Em uma cidade do LesteEuropeu, 71
cidadãos são indicados, anualmente, para concor-
rerem aos títulos de Cidadão Honorário e Cidadão
Ilustre da Terra. Cada indicado pode receber apenas
um dos títulos. Neste ano, a família Generoza conta
com 7 pessoas indicadas ao recebimento dos títulos.
A partir dessas informações, determine a probabili-
dade de os 2 cidadãos eleitos pertencerem à família
Generoza. Justifique sua resposta apresentando os
cálculos realizados.
22. FGV-SP 2020
a) Aldo, Beatriz e Carlos encontraram 8 bolinhas de
tênis idênticas. De quantas maneiras podem repar-
ti-las se cada amigo leva ao menos uma bolinha?
b) Em um grupo de homens e mulheres em que o
número de mulheres é o dobro do número de
homens, % dos homens já viajaram ao exterior
e 48% das mulheres nunca viajaram ao exterior.
Qual é a probabilidade, expressa em porcenta-
gem, de que uma pessoa do grupo, escolhida ao
acaso, nunca tenha viajado ao exterior?
23. Famerp-SP 2017 O banco de sangue de um hospital
possui 100 bolsas de sangue, cada uma obtida de um
doador diferente. As bolsas estão distribuídas por gru-
po sanguíneo, conforme mostra a tabela.
Grupo Sanguíneo Número de bolsas
Total
Dois dos 100 doadores das bolsas indicadas na ta-
bela pretendem voltar ao hospital para fazer nova
doação de uma bolsa de sangue cada um. Con-
siderando que os dados da tabela não tenham se
alterado até que essas duas pessoas voltem a fazer
sua doação, a probabilidade de que a proporção de
bolsas do grupo sanguíneo AB, desse hospital, pas-
se a ser igual a
1
17
 do total de bolsas após essas
duas novas doações é de
a)
1
425
b)
1
625
c)
1
289
d)
1
825
e)
1
51
24. Fuvest-SP Um apreciador deseja adquirir, para sua
adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por
 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas
da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher  gar-
rafas desse lote?
b) De quantas maneiras é possível escolher  gar-
rafas do lote, sendo  garrafas da Espanha, 4 da
Itália e 4 da França?
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao
acaso,  garrafas do lote, haja exatamente 4 gar-
rafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada
um dos outros dois países?
43
F
R
E
N
T
E
 1
25. Fuvest-SP 2019 Uma urna tem A bolas azuis e B bo-
las brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma
só vez, aleatoriamente, a probabilidade de saírem
duas bolas azuis é denotada por pA, a probabilidade
de saírem duas bolas brancas é denotada por pB, e a
probabilidade de saírem duas bolas de cores diferen-
tes é denotada por pM.
a) Se A 5  e B 5 , determine pB.
b) Se o total de bolas da urna é 1 e pM é o triplo de
pA, quantas bolas azuis e quantas bolas brancas
há na urna?
c) Se A5 , para quais valores de B o valor de pM é
estritamente maior do que
1
2
?
26. ITA-SP 2019 Escolhem-se aleatoriamente três núme-
ros distintos no conjunto {, 2, 3, ..., 2, 3}. Determine
a probabilidade da soma desses três números ser di-
visível por 3.
27. Fuvest-SP 2021 Um parque industrial com 2 indús-
trias foi estruturado de forma que seu sistema de
esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um
serviço de inspeção no ponto O detectou uma subs-
tância proibida que pode ter vindo de qualquer uma
das indústrias, com igual probabilidade. Para autuar
as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela
seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras
coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F, no primeiro dia
e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas
as indústrias dos grupos apontados como contami-
nados no primeiro dia. Um dos cenários examinados
pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente
quatro indústrias irregulares.
O
A
B
C D
E
F
a) Quantas são as formas possíveis de exatamente
quatro indústrias irregulares estarem distribuídas
entre as 4 indústrias do parque?
b) Qual é a probabilidade, havendo exatamente qua-
tro indústrias irregulares, de que o gasto total de
kits de testes nos dois dias seja ?
c) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro
indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de
testes usados nos dois dias seja 14 ou menos?
28. Fuvest-SP 2018 Em um torneio de xadrez, há 2n par-
ticipantes.
a) Na primeira rodada, há n jogos. Calcule, em função
de n, o número de possibilidades para se fazer o
emparceiramento da primeira rodada, sem levar em
conta a cor das peças.
b) Suponha que 1 jogadores participem do torneio,
dos quais  sejam homens e  sejam mulheres.
Qual é a probabilidade de que, na primeira roda-
da, só haja confrontos entre jogadores do mesmo
sexo?
29. Uerj 2019 Um menino vai retirar ao acaso um único
cartão de um conjunto de sete cartões. Em cada um
deles está escrito apenas um dia da semana, sem
repetições: segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sá-
bado, domingo. O menino gostaria de retirar sábado
ou domingo.
A probabilidade de ocorrência de uma das preferên-
cias do menino é:
a)
1
49
b)
2
49
c)
1
7
d)
2
7
30. Numa cidade, 3% das pessoas têm cabelos pretos,
% são loiras, 2% têm cabelos castanhos e % são
ruivas. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Qual a pro-
babilidade dela:
a) ser loira?
b) não ter cabelos castanhos?
c) ter cabelos pretos ou ser ruiva?
31. Ifal 2017 Em um certo grupo de pessoas,  falam in-
glês, 32 falam espanhol, 2 falam francês, 2 falam inglês
e espanhol,  falam inglês e francês, 6 falam espanhol e
francês, 2 falam as 3 línguas e 2 não falam nenhuma das
línguas. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse
grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espa-
nhol ou francês?
a) 7,%
b) 40%
c) 0%
d) 7,%
e) 7,%
32. Unicamp-SP Três candidatos A, B e C concorrem à pre-
sidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos
sócios entrevistados, 5 não pretendem votar. Dentre
os entrevistados que estão dispostos a participar da
eleição,  sócios votariam apenas no candidato A, 
votariam apenas em B, e  votariam apenas no can-
didato C. Além disso,  disseram que não votariam
em A,  disseram que não votariam em C, e  sócios
estão na dúvida e podem votar tanto em A como em
C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que
 entrevistados votariam em qualquer candidato. Com
base nesses dados, pergunta-se:
a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida en-
tre votar em B ou em C mas não votariam em A?
Dentre os sócios consultados que pretendem parti-
cipar da eleição, quantos não votariam em B?
b) Quantos sócios participaram da pesquisa? Suponha
que a pesquisa represente fielmente as intenções
de voto de todos os sócios do clube. Escolhendo
um sócio ao acaso, qual a probabilidade de que ele
vá participar da eleição, mas ainda não tenha se de-
cidido por um único candidato?
44 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
33. FPP-PR 2020 Um estagiário está fazendo um ex-
perimento em laboratório. Seu chefe pediu para ele
adicionar no experimento substâncias específicas de
2 frascos do laboratório, porém o estagiário não pres-
tou atenção no chefe e pegou ao acaso 2 frascos sem
nem ver quais substâncias eles continham. Sabe-se
que cada frasco contém uma mistura de duas subs-
tâncias diferentes dentre um arsenal de 10 substâncias
diferentes rotuladas com as letras de A até J e que o
laboratório possui exatamente 1 frasco para cada com-
binação possível das substâncias disponíveis.
Sabendo que o experimento só dará certo se as
substâncias A ou E forem adicionadas, é CORRETO
armar que a probabilidade de o estagiário estragar
a experiência é
a)
1
50
c)
11
45
e)
31
50
b)
4
35
d)
21
55
34. UPE-SSA 2018 Quatrocentas pessoas foram entrevis-
tadas, em uma pesquisa de opinião, sobre o consumo
dos produtos A, B e C, cujos resultados estão apre-
sentados na tabela a seguir:
Produtos A B C A e B A e C B e C A, B e C
Consumo(s)
Se escolhermos ao acaso uma dentre as pessoas en-
trevistadas, qual é a probabilidade de ela não consumir
nenhum dos três produtos?
a) %
b) %
c) %
d) 3%
e) 3%
35. USF-SP 2018 Em um hospital com 160 funcionários,60% são graduados e 70% são do sexo masculino.
Sabe-se ainda que
2
3
das pessoas de sexo feminino
são graduados. A partir dessas informações, é correto
afirmar que, escolhido ao acaso um desses funcioná-
rios, a probabilidade de ele ser do sexo masculino e
graduado é
a)
1
3
. c)
1
2
. e)
5
32
.
b)
2
5
. d)
1
5
.
36. Fuvest-SP 2012 Considere todos os pares ordena-
dos de números naturais (a, b), em que 11 , a , 22 e
4 , b , 51. Cada um desses pares ordenados está
escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um des-
ses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que
se obtenha um par ordenado (a, b) de tal forma que
a fração
a
b
 seja irredutível e com denominador par?
a)
7
27
c)
6
27
e)
5
27
b)
13
54
d)
11
54
37. Fuvest-SP 2013 Sócrates e Xantipa enfrentam-se em
um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquis-
ta e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates
ataca jogando três dados e Xantipa se defende com
dois. Depois de lançados os dados, que são honestos,
Sócrates terá conquistado um território se e somente
se as duas condições seguintes forem satisfeitas:
1) o maior valor obtido em seus dados for maior que
o maior valor obtido por Xantipa;
2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor
maior que o menor valor obtido por Xantipa.
a) No caso em que Xantipa tira  e , qual é a proba-
bilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
b) No caso em que Xantipa tira  e , qual é a proba-
bilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
38. UEG-GO 2015 A tabela a seguir apresenta a preferên-
cia de homens e mulheres em relação a um prato, que
pode ser doce ou salgado, típico de certa região do
Estado de Goiás.
Sexo
Preferências
Considerando-se os dados apresentados na tabela, a
probabilidade de um desses indivíduos preferir o prato
típico doce, sabendo-se que ele é do sexo feminino,
é de
a) ,3 b) , c) , d) ,
39. Cefet-RJ 2020 Marcos iniciou estágio em uma fábrica
de lâmpadas e lhe atribuíram a tarefa de testar lâm-
padas sob condições com alta umidade e com alta
temperatura, usando intensidade e vida útil como
resposta de interesse. Finalizados os testes, Marcos
construiu a seguinte tabela:
INTENSIDADE
V
ID
A
Ú
T
IL
Com base nos dados da tabela, é FALSO armar que:
a) A tabela apresenta o desempenho de 3 lâm-
padas.
b) Caso uma dessas lâmpadas seja selecionada
aleatoriamente, a probabilidade de apresentar
resultados insatisfatórios sob qualquer critério é
de %.
c) Caso uma dessas lâmpadas seja selecionada
aleatoriamente, a probabilidade de apresentar
resultado satisfatório para Vida Útil e também sa-
tisfatório para Intensidade é de 9%.
d) Existe a possibilidade de se ter lâmpada com vida
útil satisfatória, porém insatisfatória para intensidade.
45
F
R
E
N
T
E
 1
40. UPE 2015 Dentre os esportes oferecidos aos estu-
dantes de uma escola com 3 alunos, temos o
futebol como preferência, sendo praticado por 6
estudantes. 3 estudantes dessa mesma escola
praticam natação, e  praticam ambos os esportes.
Selecionando-se um estudante praticante de futebol
para uma entrevista, qual a probabilidade de ele tam-
bém praticar natação?
a)
1
3
b)
2
3
c)
4
3
d)
1
6
e)
5
6
41. Enem PPL 2020 Para um docente estrangeiro tra-
balhar no Brasil, ele necessita validar o seu diploma
junto ao Ministério da Educação. Num determinado
ano, somente para estrangeiros que trabalharão em
universidades dos estados de São Paulo e Rio de Ja-
neiro, foram validados os diplomas de 2 docentes
estrangeiros. Na tabela, está representada a distri-
buição desses docentes estrangeiros, por países de
origem, para cada um dos dois estados.
São Paulo Rio de Janeiro Total
Argentina
Espanha
Cuba
Portugal
Venezuela
Total de docentes
A probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um
docente espanhol, sabendo-se que ele trabalha em
uma universidade do estado de São Paulo é
a)
60
402
c)
60
100
e)
279
402
b)
60
239
d)
100
239
42. Enem 2013 Uma fábrica possui duas máquinas que
produzem o mesmo tipo de peça. Diariamente a má-
quina M produz 2  peças e a máquina N produz
3  peças. Segundo o controle de qualidade da fá-
brica, sabe-se que 6 peças, das 2  produzidas
pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito,
enquanto que 2 peças, das 3  produzidas pela
máquina N, também apresentam defeitos. Um traba-
lhador da fábrica escolhe ao acaso uma peça, e esta
é defeituosa.
Nessas condições, qual a probabilidade de que a
peça defeituosa escolhida tenha sido produzida pela
máquina M?
a)
3
100
c)
1
3
e)
2
3
b)
1
25
d)
3
7
43. FICSAE-SP 2019 Considere um bando de pássaros
de determinada espécie, no qual cabe ao macho
conquistar a fêmea para formar um casal. Enquanto
a maioria dos pássaros machos dessa espécie canta
e dá pequenos saltos, alguns conseguem dar saltos
maiores, atraindo mais a atenção das fêmeas. Com
isso, estima-se que a chance dos pássaros que reali-
zam maiores saltos conseguirem uma parceira é igual
a 3%, enquanto a chance dos demais pássaros ma-
chos dessa espécie é igual a %.
Sabendo-se que nesse bando há 5 pássaros ma-
chos, dos quais 3 conseguem dar saltos maiores, ao
observar um casal recém-formado, a probabilidade de
o pássaro macho ser capaz de dar saltos maiores é
a)
1
3
b)
3
5
c)
3
50
d)
3
7
e)
3
20
44. Cefet-RJ 2019 O Cefet/RJ oferece a seus alunos ativi-
dades extracurriculares para complementação de sua
formação. No ano de 2, 25% dos seus   alunos
inscreveram-se nos cursos de Dança Contemporânea
ou de Teatro. Dos alunos inscritos,
1
9
 desistiu e não
compareceu nem participou de nenhuma das aulas.
Após inscrições e desistências, cada curso contou
com a participação de 2 alunos.
a) Quantos alunos não participaram de nenhuma
das atividades extracurriculares apresentadas?
b) Escolhendo-se ao acaso um aluno que participa
das atividades extracurriculares apresentadas,
qual a probabilidade de que ele participe tanto de
Dança quanto de Teatro?
45. Enem PPL 2018 O gerente de uma empresa sabe
que % de seus funcionários são do sexo masculino
e foi informado de que a porcentagem de emprega-
dos fumantes nessa empresa é de 5% dos homens e
de 5% das mulheres. Selecionando, ao acaso, a ficha
de cadastro de um dos funcionários, verificou tratar-se
de um fumante.
Qual a probabilidade de esse funcionário ser do sexo
feminino?
a) 0,0%
b) 0,0%
c) 1,7%
d) ,0%
e) 1,%
46. EPCar-MG 2017 Num auditório da Academia da Força
Aérea estão presentes 2 alunos do Curso de Forma-
ção de Oficiais Aviadores dos quais apenas  usam
agasalho. Estão presentes, também, 25 alunos do
Curso de Formação de Oficiais Intendentes dos quais
apenas 5 usam agasalho. Um dos alunos presentes é
escolhido ao acaso.
É correto armar que é igual a
2
9
 a probabilidade de
que o aluno escolhido
a) seja do Curso de Formação de Oficiais Intenden-
tes ou use agasalho.
b) use agasalho, sabendo que é do Curso de Forma-
ção de Oficiais Intendentes.
c) seja do Curso de Formação de Oficiais Aviadores
que não use agasalho.
d) não use agasalho, sabendo que é do Curso de
Formação de Oficiais Aviadores.
46 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
47. ITA-SP 2020 Lançando três dados de 6 faces, nume-
radas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado
de que a soma dos números observados na face
superior de cada dado é igual a 9. Determine a proba-
bilidade de o número observado em cada uma dessas
faces ser um número ímpar.
48. Acafe-SC 2016 O Exame de Papanicolau é um teste
usado para o diagnóstico do câncer cervical (câncer de
colo de útero), muitas vezes causado pela infecção do
papiloma vírus humano, HPV. Para avaliar a qualidade
de diagnóstico do Exame Papanicolau, 600 mulheres
de uma determinada região foram submetidas ao teste,
sendo que 500 estavam sadias (sem câncer) e 100 es-
tavam doentes (com câncer). Após o teste, verificou-se
que, dos resultados referentes às mulheres sadias, 350
deram negativo e, dos resultados referentes às mulhe-
res doentes, 94 deram positivo.Analise as proposições abaixo e classique-as em V -
verdadeiras ou F - falsas.
 A probabilidade do teste Papanicolau ter resultado
negativo, dentre as pacientes que não têm câncer,
é de 58%.
 A probabilidade do teste Papanicolau ter resultado
positivo, dentre as pacientes que realmente têm
câncer, é 0,94.
 A probabilidade de uma paciente realmente ter
câncer, dentre aquelas com resultado positivo no
teste Papanicolau, é de 40,6%.
 A probabilidade de uma paciente não ter câncer,
dentre aquelas com resultado negativo no teste
Papanicolau, é aproximadamente 98%.
 A probabilidade de uma paciente realmente ter
câncer, dentre aquelas com resultado negativo no
teste Papanicolau, é inferior a 2%.
A sequência correta, de cima para baixo, é:
a) V - V - F - F - V
b) F - F - V - V - V
c) V - F - V - F - F
d) F - V - F - V - V
49. UEPG-PSS-PR 2019 Considerando que uma estante
contém 6 livros de história, 4 livros de português e
5 livros de matemática, assinale o que for correto.
 Se um livro é retirado da estante, a probabilidade
desse livro ser de matemática é
1
3
.
 Se dois livros forem retirados da estante, sem re-
posição, a probabilidade de o primeiro livro ser de
história e o segundo de português é
4
35
.
 Se três livros forem retirados da estante, sem re-
posição, a probabilidade do primeiro livro ser de
história, o segundo de português e o terceiro de
matemática é
4
91
.
 Se um livro for retirado da estante, a probabilidade
desse livro ser de história ou de português é
2
3
.
Soma:
50. UEM-PR 2018 Considere um campeonato com 16 times
de futebol, nomeados de T1 até T16. Sobre a formação
dos jogos e resultados das partidas, assinale o que for
correto.
 A probabilidade de, no primeiro sorteio, sair o
time T é de %.
 Existem ! possibilidades de escolher o primeiro
jogo (dois times).
 Se, no campeonato, em cada jogo tivermos um
vencedor e se o perdedor for eliminado, então te-
remos  jogos até conhecermos o vencedor.
 Existem exatamente   possibilidades de se
formar  grupos de  times.
 A chance de um time ganhar seus  primeiros
jogos, considerando-se que não existe a possibi-
lidade de empate, é de ,%.
Soma:
51. Acafe-SC 2021 Uma fábrica de peças automotivas
produz três tipos de peças P1, P2 e P3. Sabe-se que
30% das peças produzidas nessa fábrica são do tipo
P1 e 95% das peças do tipo P1 não apresentam defei-
tos. Escolhendo, ao acaso, uma das peças produzidas
por essa fábrica, qual a probabilidade de se selecio-
nar uma peça defeituosa do tipo P1?
a) %
b) %
c) %
d) ,%
52. UFJF/Pism-MG 2021 Hoje, o preço do quilo do toma-
te é R$ 4,00. Durante três semanas consecutivas, e a
cada semana, esse preço pode aumentar R$ 1,00 com
probabilidade igual a
1
2
 ou cair R$ 0,50 com a mesma
chance. Qual a probabilidade do quilo do tomate ser
encontrado acima de R$ 4,01 na terceira semana?
53. UFJF/Pism-MG 2020 Uma pesquisa realizada pela
coordenação de um curso de graduação apontou
que dos 20 alunos matriculados na turma da disciplina
Português, 4 são estrangeiros. A coordenação irá pro-
mover a visita a um museu no Rio de Janeiro para 5
dos alunos matriculados na disciplina Português, que
serão escolhidos aleatoriamente.
a) Quantos grupos distintos, com pelo menos  dos
alunos estrangeiros, podem ser compostos para
a viagem?
b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos alu-
nos estrangeiros participe da viagem?
54. Enem 2018 Para ganhar um prêmio, uma pessoa de-
verá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas
bolas pretas de uma mesma urna.
Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são
como descritas a seguir:
47
F
R
E
N
T
E
 1
• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas
pretas e uma bola verde;
• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pre-
tas e uma bola verde;
• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas
verdes;
• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas
pretas.
A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções
apresentadas:
• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da
urna A;
• Opção  – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da
urna B;
• Opção  – Passar, aleatoriamente, uma bola da
urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoria-
mente, duas bolas da urna A;
• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da
urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoria-
mente, duas bolas da urna C;
• Opção  – Passar, aleatoriamente, uma bola da
urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoria-
mente, duas bolas da urna D.
Com o objetivo de obter a maior probabilidade pos-
sível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a
opção
a) 1.
b) .
c) .
d) 4.
e) .
55. UEM-PAS-PR 2021 Em uma padaria há um cesto
com 3 pães de 5 g cada,  pães de 5 g cada e 2
pães de 55 g cada. São os únicos pães disponíveis
para a venda em um determinado dia. Considere
que, uma vez retirado um pão desse cesto, ele não
pode ser devolvido a esse cesto. Assinale o que for
correto.
 Comprando  pães aleatoriamente, a probabili-
dade de que o conjunto pese exatamente 10 g
é
1
3
.
 Comprando 8 pães aleatoriamente, a probabili-
dade de que o conjunto pese exatamente 400 g
é
1
9
.
 Retirando  pães do cesto, a probabilidade de
que o segundo pese  g é
16
81
.
 Comprando  pães aleatoriamente, a probabilida-
de de que pelo menos um deles pese exatamente
0 g é
13
18
.
 Se no final do dia restou um único desses pães
sem ser vendido, a probabilidade de que ele pese
 g é
2
9
.
Soma:
56. Mackenzie-SP 2015 Em uma das provas de uma gin-
cana, cada um dos  membros de cada equipe deve
retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bo-
las numeradas de  a , que deve ser reposta após
cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa pro-
va é igual ao número de bolas com números pares
sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilida-
de de uma equipe conseguir pelo menos um ponto é
a)
4
5
c)
9
10
e)
15
16
b)
7
8
d)
11
12
57. Fuvest-SP 2016 Em um experimento probabilístico,
Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa con-
tendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o
experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quan-
tas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que
a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja
1
3
.
a) 
b) 4
c) 
d) 8
e) 10
58. Unicamp-SP 2016 O gráfico de barras abaixo exibe a
distribuição da idade de um grupo de pessoas.
N
ú
m
e
ro
 d
e
P
e
s
s
o
a
s
Idade
1
2
3
4
5
0
21 22 23 24 25
a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos
homens é igual à média de idade das mulheres.
b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher
desse grupo, determine a probabilidade de que a
soma de suas idades seja igual a 49 anos.
59. FGV-SP 2018 Uma caixa contém  bolas de mes-
mo formato, peso e textura, sendo algumas brancas e
outras pretas. Sorteando-se ao acaso, e com reposi-
ção, uma bola duas vezes, a probabilidade de que em
ambos os sorteios saia uma bola preta é igual a
256
625
.
Sendo assim, o total de bolas pretas na caixa supera o
total de bolas brancas em
a) 4.
b) 8.
c) 0.
d) .
e) .
48 MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
60. Fuvest-SP 2012
a) Dez meninas e seis meninos participarão de um
torneio de tênis infantil. De quantas maneiras dis-
tintas essas 16 crianças podem ser separadas
nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4
jogadores, sabendo que os grupos A e C serão
formados apenas por meninas e o grupo B, ape-
nas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase se-
mifinal terá os jogos entre Maria e João e entre
Marta e José. Os vencedores de cada um dos
jogos farão a final. Dado que a probabilidade de
um menino ganhar de uma menina é
3
5
, calcule a
probabilidade de uma menina vencer o torneio.
61. Fuvest-SP 2017 Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brin-
cam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto).
Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que
é colocado em uma urna, e cada participante retira
um deles ao acaso. A probabilidade de que nenhumparticipante retire seu próprio nome é
a)
1
4
b)
7
24
c)
1
3
d)
3
8
e)
5
12
62. Enem digital 2020 Um apostador deve escolher uma
entre cinco moedas ao acaso e lançá-la sobre uma
mesa, tentando acertar qual resultado (cara ou coroa)
sairá na face superior da moeda.
Suponha que as cinco moedas que ele pode escolher
sejam diferentes:
• duas delas têm “cara” nas duas faces;
• uma delas tem “coroa” nas duas faces;
• duas delas são normais (cara em uma face e co-
roa na outra).
Nesse jogo, qual é a probabilidade de o apostador
obter uma face “cara” no lado superior da moeda lan-
çada por ele?
a)
1
8
b)
2
5
c)
3
5
d)
3
4
e)
4
5
63. Efomm-RJ 2019 Considere uma urna contendo cin-
co bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha
que três bolas sejam retiradas da urna, de forma alea-
tória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é
a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham
a mesma cor?
a) 7,44%
b) 8,33%
c) 9,17%
d) 15,95%
e) 27,51%
64. FMP-RJ 2019 Um médico está acompanhando um ca-
sal que deseja ter filhos. Segundo o médico, a esposa
não tem chances de ter gêmeos, mas, se engravidar,
a probabilidade de o neném ser do sexo masculino é
de 0%. O casal deseja ter três nenéns e deseja que
eles não sejam, todos, do mesmo sexo.
Conrmando-se o parecer do médico, a probabilidade
de o casal conseguir o que deseja, ao nal de três gra-
videzes bem-sucedidas, é
a) 5%
b) 66%
c) 4%
d) 72%
e) 24%
65. UEG-GO 2019 Dois candidatos, A e B, disputam a
presidência de uma empresa. A probabilidade de
o candidato A vencer é de 0,0; ao passo que a de
B vencer é de 0,0. Se o candidato A vencer essa
disputa, a probabilidade de Heloísa ser promovida a
diretora dessa empresa é de 0,0; já se o candidato B
vencer, essa probabilidade será de 0,0. A probabili-
dade de Heloísa, após a disputa da presidência dessa
empresa, ser promovida a diretora, é de
a) ,5
b) ,45
c) ,65
d) ,56
e) ,55
66. UFPR 2019 Em uma reunião de condomínio, os mo-
radores resolveram fazer um sorteio para decidir a
ordem em que suas casas serão pintadas. As  casas
desse condomínio estão dispostas conforme o esque-
ma abaixo.
1 3 5 7
2 4 6 8
49
F
R
E
N
T
E
 1
Dizemos que duas casas são vizinhas quando estão
dispostas de frente ou de lado. Por exemplo, a casa
3 é vizinha das casas 1, 4 e 5, enquanto a casa 8 é
vizinha apenas das casas 6 e 7.
Qual é a probabilidade das duas primeiras casas sor-
teadas serem vizinhas?
a)
5
28
b)
5
32
c)
5
14
d)
5
16
e)
9
56
67. UEMG 2018 Um professor preparou dois tipos de
provas, A e B. Na prova A, inseriu 3 questões de Aná-
lise Combinatória e 4 questões de Probabilidade; na
prova B, inseriu 6 questões de Análise Combinatória
e 2 questões de Probabilidade. Na véspera da pro-
va, para verificar o preparo dos alunos para a prova,
escolheu, ao acaso, um tipo de prova e dele esco-
lheu, também ao acaso, uma questão. Sabendo que a
questão escolhida foi de Análise Combinatória, qual é
a probabilidade de essa questão fazer parte da prova
do tipo A?
a)
3
11
.
b)
4
11
.
c)
5
11
.
d)
6
11
.
68. ITA-SP 2018 São dadas duas caixas, uma delas con-
tém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém
duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso,
uma bola de cada caixa. Se P
1
 é a probabilidade de
que pelo menos uma bola seja preta e P
2
 a probabi-
lidade de as duas bolas serem da mesma cor, então
P
1
1 P
2
 vale
a)
8
15
b)
7
15
c)
6
15
d) 
e)
17
15
69. Famema-SP 2018 Em um curso para profissionais
da saúde, há 25 alunos, dos quais 16 são mulheres.
Entre as mulheres, 12 têm curso de especialização e,
entre os homens, 8 têm curso de especialização. Sor-
teando-se aleatoriamente dois alunos desse curso, a
probabilidade de eles serem de sexos diferentes e
pelo menos um deles ter curso de especialização é
a)
4
15
b)
2
5
c)
1
3
d)
3
5
e)
7
15
70. Fuvest-SP 2016 João e Maria jogam dados em uma
mesa. São cinco dados em forma de poliedros re-
gulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um
dodecaedro e um icosaedro. As faces são numera-
das de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os
dados são honestos, ou seja, para cada um deles,
a probabilidade de qualquer uma das faces ficar
em contato com a mesa, após o repouso do dado,
é a mesma.
Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos
cinco dados, João o lança e verica o número da face
que cou em contato com a mesa.
a) Qual é a probabilidade de que esse número seja
maior do que ?
b) Qual é a probabilidade de que esse número seja
menor do que ?
Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois
dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da
soma dos números das duas faces que caram em
contato com a mesa, após o repouso dos dados.
c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja
maior do que 0?
71. Unifesp 2021 Uma caixa possui n cartas, numeradas
de 1 até n. Desta caixa são sorteadas, ao acaso, m
cartas.
a) Para n 5 0 e m 5 , qual é a probabilidade de
que entre as cartas sorteadas tenha saído uma
com o número ?
b) Estabeleça uma fórmula que calcule a proba-
bilidade de que, entre as m cartas sorteadas
do total de n cartas, tenham saído k cartas
pré-estabelecidas, com k variando de  até m.
Apresente sua fórmula com notação de fatorial,
simplificada ao máximo, e com o domínio de va-
lidade de n, m e k.
MATEMÁTICA Capítulo 13 Probabilidades
BNCC em foco
1.
a)
b)
c)
d)
2.
a)
b)
c)
d)
3.
a)
b)
c)
d)
EM13MAT312
EM13MAT311
EM13MAT311
72. Fuvest-SP 2020 Um jogo educativo possui 16 peças
nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e
cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, bran-
co, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si
quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória.
O conjunto de  peças que cada jogador recebe é
chamado de coleção.
a) Quantas são as possíveis coleções que um joga-
dor pode receber?
b) Qual é a probabilidade de que os dois joga-
dores recebam a mesma quantidade de peças
amarelas?
c) A regra do jogo estabelece pontuações para
as peças, da seguinte forma: círculo 5  pon-
to, triângulo 5 2 pontos, quadrado 5 3 pontos
e estrela 5  pontos. Quantas são as possíveis
coleções que valem 2 pontos ou mais?
Polinômios
São muitos os modelos matemáticos que podem ser utilizados para descrever comportamentos
de fenômenos naturais ou provocados. Alguns desses modelos têm como base os polinômios,
assunto que será tratado neste capítulo. Polinômios são eficientes para modelar problemas que
envolvem a evolução temporal de indicadores financeiros, como taxas de juros, e também para
descrever problemas de Geometria que envolvem medidas de comprimentos, áreas e volumes.
Existem diferentes técnicas de modelagem, como a da regressão linear e polinomial, que combinam
conhecimentos estatísticos, extraídos de observações e conhecimentos matemáticos do estudo das
funções, que podem ser adequados a praticamente todo tipo de variação temporal de uma grandeza.
Esses modelos permitem que sejam feitas previsões futuras sobre o comportamento de variáveis
físicas e químicas, bem como demográficas e econômicas. Sendo assim, o estudo dos polinô-
mios tem grande importância no desenvolvimento de diferentes áreas do conhecimento.
9
CAPÍTULO
FRENTE 2
A
w
s
to
k
/S
h
u
tt
e
rs
to
c
k
.c
o
m
52 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Monômios de uma variável
Denomina-se monômio toda expressão matemática aberta da forma axn em que:
• a é uma constante complexa, não nula, denominada coeficiente;
• x é também um número complexo denominado variável do monômio;
• n é um número natural denominado grau do monômio.
Então:
~
é C
é C
é N
*
ax
a
x
n
n
Embora a variável de um monômio possa ser representada por qualquer letra, são comumente utilizadas as últimas
letras do alfabeto, como x, y ou z, ou ainda, t quando nos referimos ao tempo.
Veja na tabela, alguns exemplos de monômios na variável x.
Monômio CoeficienteGrau
Atenção
Valor numérico de um monômio
Todo monômio pode ser interpretado como uma função do tipo y 5 axn. Assim, o valor numérico de um monômio
é obtido como sendo a imagem da função y(x) quando a variável x é substituída por valores especificamente atribuídos.
Veja os exemplos a seguir:
• o valor numérico do monômio x para x 5 − é:  ? (2) 5  ? 6 5 ;
• o valor numérico de −ix para x 5  1 i é: 2i ? ( 1 i ) 5 2i ? ( 1 i 1 i) 5 2i ? i 5 26i 5 6;
• o valor numérico de
6
x quando x 5  1 i é: 1 5 1 5 1
12 18
6
12
6
18
6
2 3
i
i i ;
• O valor numérico de x quando x 5 i é: i 5 i3 5 2i;
• O valor numérico de −x quando 5 2 2x é: 2 2 52 2( ) ;
• O valor numérico de  quando x 5   é:  ?  0 5  ?  5 .
Atenção
Funções monomiais definidas em ℝ
Quando o universo numérico em que são recolhidos o valor do coeficiente e os valores da variável de um monômio
fica restrito ao conjunto dos números reais, as funções monomiais admitem representações cartesianas que obedecem
a determinados padrões.
53
F
R
E
N
T
E
 2
Os formatos dos gráficos das funções monomiais definidas em R dependem, principalmente, do sinal de seu coefi-
ciente e da paridade de seu grau.
Como o coeficiente de um monômio não pode ser nulo, devemos analisar quatro casos. Observe:
Coeficiente
negativo
grau par
grau ímpar
Coeficiente
positivo
grau par
grau ímpar
Veja no quadro a seguir o comportamento gráfico dos monômios de grau par:
y 5 ax
n Coeficiente (a = 0)
a > 0 a < 0
54 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Observe no quadro a seguir o comportamento gráfico dos monômios de grau ímpar:
y 5 ax
n Coeficiente (a = 0)
a > 0 a < 0
Operações com monômios de mesma variável
Podemos efetuar as quatro operações com monômios (adição, subtração, multiplicação e divisão) de mesma variável
e, nem sempre, o resultado obtido é um monômio.
Podemos garantir que o produto de dois monômios é sempre um monômio, mas em uma adição ou subtração, isso
nem sempre acontece. A soma (ou a diferença) de dois monômios será um monômio se, e somente se, os monômios
adicionados (ou subtraídos) tiverem o mesmo grau. Já na divisão, o quociente é um monômio se o grau do dividendo for
maior que o grau do divisor.
Multiplicação e divisão de monômios
MULTIPLICAÇÃO
Para multiplicar monômios de mesma variável, efetua-se o produto dos coeficientes e o produto das variáveis. Observe
o exemplo a seguir para os monômios y 5 x e z 5 x3. O produto y ? z será:
x ? x3 5  ?  ? x ? x3 5  ? x 1 3 5 x
55
F
R
E
N
T
E
 2
Note que:
• o coeficiente do produto é o produto dos coeficientes
dos fatores.
• o grau do produto é a soma dos graus dos fatores.
De modo genérico, sendo y 5 axn e z 5 dois mo-
nômios, tem-se que o produto y ? z é dado por:
DIVISÃO
Analogamente à multiplicação, para dividir um mo-
nômio por outro de mesma variável, efetua-se a divisão
dos coeficientes e a divisão das variáveis. Observe o
exemplo para os monômios y 5 x e z 5 x3. Os quo-
cientes
y
z
 e
z
y
 são:
2
5
2
5
0,4
5
2
5
2
5
2
5
2
4
3
4 3
3
4
3 4 1
5 5 5
5 5 5 5
2
2 2
y
z
x
x
x x
z
y
x
x
x x
x
Note que:
• o coeficiente do quociente é o quociente entre os
coeficientes dos monômios.
• o grau do quociente é a diferença entre os graus dos
monômios.
Atenção
De modo genérico, sendo y 5 axn e z 5 dois mo-
nômios, tem-se que o quociente
y
z
 é dado por:
Quando n . m essa expressão representa um monômio.
Potências de monômios
Para elevar um monômio a um expoente natural, pro-
cede-se da seguinte maneira:
• o coeficiente da potência é a potência do coeficiente.
• o grau da potência é o produto do grau pelo expoente
da potenciação.
Observe o exemplo, considerando o monômio y 5 x
e o expoente , ou seja, vamos calcular y3:
y
3 5 (x)3 5 3 ? x ? 3 5 x1
(veja o boxe
Atenção a seguir)
De modo genérico, sendo m um expoente natural
e o monômio y 5 axn, temos que a potenciação y m é
dada por:
Adição e subtração de monômios
A adição e a subtração de monômios de mesma va-
riável só podem ser efetuadas se os monômios possuírem
o mesmo grau. Para adicionar ou subtrair dois monômios
nessas condições, efetua-se a soma ou a subtração dos
coeficientes e, se o resultado não for nulo, mantém-se o
mesmo grau dos monômios operados. Veja o exemplo a
seguir, considerando os monômios y 5 6x3 e z 5 x3. Va-
mos obter: y 1 z e y – z:
y 1 z 5 6x3 1 x3 5 (6 1 )x3 5 x3
y 2 z 5 6x3 2 x3 5 (6 2 )x3 5 2x3
Observe que:
• o coeficiente da soma é a soma dos coeficientes dos
monômios adicionados.
• o coeficiente da diferença é a diferença dos coeficien-
tes dos monômios subtraídos.
Se o coeficiente obtido for diferente de zero, então:
• o grau da soma é o mesmo grau dos monômios
somados.
• o grau da diferença é o mesmo grau dos monômios
subtraídos.
De modo genérico, se y 5 axn e z 5 bxn são dois
monômios, tem-se que a soma y 1 z e a diferença y 2 z
são expressas por:
Quando dois monômios de mesma variável e graus
diferentes são adicionados ou subtraídos, o resultado nunca
é um monômio, mas, sim, um binômio.
Saiba mais
Binômios
Binômios são expressões algébricas compostas de
dois monômios, que resultam da adição ou da subtração
desses monômios, com variáveis diferentes ou com mesma
variável, mas graus diferentes.
O grau de um binômio é dado pelo grau do monômio
de maior grau.
56 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Exemplos:
• M 5 x 1 y3 é um binômio de 3º grau.
• N 5 x 1 y é um binômio de 2º grau.
• B 5 x 1 9x é um binômio de º grau.
Os monômios de um binômio também podem ser cha-
mados de termos.
Entre esses exemplos, os binômios M e N têm duas
variáveis cada: x e y. Por esse motivo é comum que sejam
indicados por M(x, y) e N(x, y). Já o binômio B tem apenas
a variável x, por isso também pode ser indicado por B(x).
• M(x, y) 5 x 1 y3
• N(x, y) 5 x 1 y
• B(x) 5 x 1 9x
Binômios de grau mínimo são, necessariamente, de
º grau, pois zero é o único número natural menor do que .
Exemplos:
• P(x) 5 x 1 
• Q(x) 5 −x 1 ,
• R(x) 5 ( 1 i )x 1 ( − i )
De forma genérica, um binômio de º grau é uma ex-
pressão matemática da forma ax 1 b com a e b diferentes
de zero.
Operações com binômios do 1º grau
Adições e subtrações de binômios do 1º grau são efe-
tuadas sempre entre os monômios de mesmo grau. Assim,
sendo A 5 ax 1 b e B 5 cx 1 d, tem-se que:
A 1 B 5 (a 1 c)x 1 (b 1 d )
A 2 B 5 (a 2 c)x 1 (b 2 d )
Multiplicações entre binômios do 1º grau são
efetuadas de modo distributivo entre todos os seus
monômios. Assim:
A ? B 5 (ax 1 b) ? (cx 1 d )
A ? B 5 ax ? cx 1 ax ? d 1 b ? cx 1 b ? d
A ? B 5 acx2 1 adx 1 bcx 1 bd
A ? B 5 acx2 1 (ad 1 bc)x 1 bd
O produto de dois binômios do º grau com mesma
variável resulta em um trinômio do º grau.
Trinômios com uma variável
São as expressões algébricas que resultam da adição
de três monômios com mesma variável, mas graus dife-
rentes, de modo que todo trinômio possua três monômios.
O grau de um trinômio desse tipo é dado pelo grau do
monômio de maior grau.
Exemplos:
• R 5 y 1 y3 1 4 é um trinômio do 3º grau.
• S 5  1 y 1 y é um trinômio do 2º grau.
• T 5 x3 1 9x 1 x é um trinômio do 3º grau.
Trinômios de grau mínimo são, necessariamente, do
º grau, pois zero e um são os únicos números naturais
menores do que .
Trinômios do 2º grau
Trata-se das expressões do tipo ax1 bx 1 c em que a,
b e c são números complexos diferentes de zero. Observe
os exemplos:
• x 1 x 1 
• 2 2 ? 12 42x x
• x
 2 x 1 
• x
 1 ( 1 i )x 2  1 i
Considerando o universo dos números complexos, todo
trinômio do 2º grau resulta do produto de dois binômios do
1º grau. Note os exemplos:
• x 1 x 1  5 (x 1 )(x 1 )
• 2 22 ? 1 5 1 12 4 2 2 22 ( )( )x x x x
• 2 1 5 2
1
2
2
1
1 3
2
1 3
2
2
x x x
i
x
i
• x
 1 ( 1 i )x 2  1 i 5 (x 1  1 i )(x 1 i )
De modo genérico, a todo trinômio do º grau, com
apenas uma variável (no caso x), estão associados dois
números x1 e x tais que:
Osvalores de x1 e x podem ser obtidos por meio da
fórmula quadrática:
2
2
5
2 2
5
1 2
4
2
4
2
1
2
2
2
x
b b ac
a
x
b b ac
a
.
Devido à presença da operação de radiciação nessa
fórmula, os valores x1 e x também são chamados de raízes
do trinômio.
Quando os coeficientes a, b e c são números reais, a
expressão b 2 ac é denominada discriminante do trinô-
mio e indicada por (D). Lê-se delta: D 5 b 2 ac.
Atenção
Trinômios quadrados perfeitos
Quando um binômio do 1º grau é multiplicado por si
mesmo, ou seja, é elevado à 2ª potência, obtém-se um
trinômio cujo discriminante é nulo (D 5 ).
57
F
R
E
N
T
E
 2
Considere o binômio mx 1 n:
(mx 1 n)(mx 1 n) 5 (mx 1 n) 5 mx 1 mnx 1 n
Comparando essa expressão com a forma ax 1 bx 1 c
de um trinômio do º grau, tem-se:
m

x
 1 mnx 1 n
õ õ õ
ax
 1 bx 1 c
5
5
5
2
2
a m
b mn
c n
D 5 b 2 ac 5 (mn) 2 mn 5 mn 2 mn 5 
Como nesse caso as raízes x1 e x têm o mesmo valor,
esse valor é denominado raiz dupla do trinômio. Todo tri-
nômio quadrado perfeito possui raiz dupla.
Polinômios
Polinômios são funções complexas f : C ñ C resultantes
da soma de uma série de monômios que podem ter mes-
mo grau ou graus diferentes, mesma variável ou variáveis
diferentes.
As variáveis de um polinômio são comumente apre-
sentadas entre parênteses como mostram os exemplos
a seguir:
• A(x, y) 5 x 1 xy 1 y − x − y 1 
• B(x, y, z) 5 x3 1 9x − y 1 z
• P(x) 5 x3 1 x 1 x 1 
Entre os exemplos acima, o polinômio A tem  variáveis
(x e y), o polinômio B tem  variáveis (x, y e z) e o polinômio
P tem apenas a variável x.
Podemos afirmar que toda somatória de monômios
de diferentes graus e mesma variável é um polinômio que
pode ser expresso por:
∑x a x np
n p
p
n
P( ) ,
0
é N5 2
5
Os monômios apx
n 2 p são denominados termos do
polinômio, assim a palavra binômio designa um polinômio
com dois termos, a palavra trinômio um polinômio com três
termos e assim por diante.
Observação: Embora o prefixo poli indique pluralidade,
no estudo da Álgebra também consideram-se os monômios
como um tipo especial de polinômio.
Todo número complexo também pode ser considerado
um polinômio pela sua definição algébrica.
∑ ∑n x a x a x a x ap
n p
p
n
p
n p
p
0 P( )
0 0
0
0
0
0~5 5 5 5 5
2
5
2
5
Polinômios como esses são denominados polinômios
constantes e, particularmente, quando essa constante é o
número zero, o polinômio também é chamado de polinô-
mio nulo.
Características dos polinômios de apenas
uma variável
Escrevendo de forma explícita a somatória dos monô-
mios de graus diferentes, que definem um polinômio com
uma única variável, tem-se a expressão geral:
P(x) 5 a n 1 a1
2 1 1 a
2  1 ... 1 an2 x
 1 an2 1x 1 an
Os coeficientes e a variável de um polinômio podem
ser quaisquer números complexos, mas o expoente da va-
riável deve ser necessariamente um número natural.
Cada termo ou monômio de um polinômio apresen-
ta um coeficiente multiplicado pela variável elevada a
algum expoente. No termo a1x
n 2 1, por exemplo, a1 é o
coeficiente, x é a variável e n –  é o expoente.
Os termos de um polinômio costumam ser apresenta-
dos de acordo com alguma relação de ordem (crescente
ou decrescente) entre os expoentes da variável. Neste
capítulo, foi feita a opção pela ordem decrescente dos
expoentes.
No termo an 2 1x tem-se, particularmente, que a
variável x está elevada à primeira potência, ou seja,
o expoente da variável é o número :
an2 1x 5 an2 1x
1
Outro termo que merece atenção especial é o termo
an, em que o expoente da variável x é o número zero:
an 5 anx
0
Este monômio de grau zero é denominado termo
independente do polinômio.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio P é indicado por GP ou gr(P).
Em polinômios de apenas uma variável, o grau coincide
com o valor do expoente do seu monômio não nulo de
maior grau.
O monômio não nulo que fornece o grau de um poli-
nômio é denominado termo principal do polinômio. Veja,
a seguir, alguns exemplos:
Polinômio
Termo
principal
Grau
Considere a expressão geral para o polinômio P(x) de
acordo com a ordem decrescente dos expoentes de seus
termos:
P(x) 5 a 1 a1x
n2 1 1 a
2  1 ... 1 an2 x
 1 an2 1x 1 an
58 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Nessa expressão, em que n é um número natural, nem
sempre o primeiro termo a representa o termo principal
de P, pois o termo pode ou não ser um monômio nulo. Se o
primeiro termo da expressão for não nulo, então ele é o termo
principal e seu expoente n indica qual é o grau do polinômio.
a0 =  ~ gr(P) 5 n
Quando o primeiro termo da expressão for um monô-
mio nulo, ou seja, a0 5 , deve-se observar o seu segundo
termo a1x
n 2 1, a fim de verificar se ele é ou não nulo. Caso
o primeiro termo seja nulo e o segundo não, o grau do
polinômio é o expoente da variável do segundo termo.
a0 5  e a1 =  ~ gr(P) 5 n 2 
Quando o primeiro e segundo termos da expressão ge-
ral são nulos, deve-se observar o seu terceiro termo e assim
por diante, até que se encontre um termo que não seja nulo.
Exercício resolvido
1. Sendo k um número real, determine os valores de
k para que P(x) 5 (k 2 1)x 1 3x2 1 kx 1 1 seja um
polinômio do:
a) º grau.
b) º grau.
Resolução:
a) Para que P(x) seja do º grau, o coeficiente de x3
deve ser igual a zero. Assim: k 2  5  ~ k 5 .
b) Para que P(x) seja do º grau, o coeficiente de x3
deve ser diferente de zero. Assim: k 2  =  ~
~ k = .
Atenção
Série dos coeficientes de um polinômio
Além da expressão geral P(x) 5 a0x
n 1 a1
2 1 1 ... 1
1 an2 1x 1 an, todo polinômio não nulo pode ser represen-
tado pela sucessão dos números complexos que são os
coeficientes de cada termo:
(a0, a1, ... ,an2 1, an), a0 = 
Os elementos ordenados nessa sucessão de números
complexos são denominados:
a0 ñ Coeficiente principal ou coeficiente dominante
a1 ñ Coeficiente secundário
æ
an ñ Termo independente
A série de coeficientes de um polinômio sempre inicia
com seu coeficiente principal a0 =  e termina pelo seu
termo independente an. Os polinômios de grau zero têm
apenas um coeficiente, por isso só observam-se as séries
de coeficientes de polinômios com grau n . .
Por exemplo, a série de coeficientes do binô-
mio B(x) 5 x 2  é o par ordenado (, 2); a série de
coeficientes do trinômio T(x) 5 x 1 x 1  é a trinca
ordenada (, , ); a série de coeficientes do quadrinômio
Q(x) 5 2x3 1 6x 1 x 2  é a quadra ordenada(2, 6, ,−).
O número de elementos da série de coeficientes de
um polinômio é sempre um número maior que o grau do
polinômio. Então, se gr(P) 5 n, a série possui (n 1 ) ele-
mentos ordenados. Assim, os coeficientes dos termos nulos
de um polinômio de grau n .  devem ser apresentados
em suas respectivas séries.
Observe, por exemplo, que embora o polinômio P(x) 5
5 x 1 x6 1 x 2 x3 2 x 1  seja do º grau,
há apenas 6 termos explícitos em sua forma geral. Isso
ocorre quando há monômios nulos entre seus termos.
No caso específico desse P(x), trata-se dos termos do 5º
e 1º graus. Escrevendo cada um deles com o coeficiente
nulo, tem-se uma expressão de 8 termos visíveis:
P(x) 5 x 1 x6 1 x5 1 x 2 x3 2 x 1 x 1 
Nessa representação do polinômio, pode-se observar
mais facilmente a série de seus coeficientes com  1  5 
elementos ordenados:
(, , , , 2, 2, , )
As séries de coeficientes de um polinômio são usa-
das nos algoritmos de algumas operações com polinômios
como, por exemplo, a divisão.
Valor numérico de um polinômio
Para determinar o valor numérico de um polinômio,
basta que sejam atribuídos valores numéricos para suas
variáveis.
Observe os exemplos a seguir:
• Quando x 5  e y 5 , o valor numérico do polinômio
A(x, y) 5 x 1 xy 1 y 2 x 2 y 1  é:
A(, ) 5  1  ?  1  2  ?  2  ?  1  5 9 1  1
1 6 2 6 2 6 1  5 
• O valor numérico do mesmo polinômio quando x 5 
e y 5 2 é:
A(, 2) 5  1  ? (2) 1 (2) 2  ?  2  ? (2) 1  5
5  1  1  2  1  1  5 
• O valor numérico de B(x, y, z) 5 x3 1 9x 2 y1 z
quando x 5  e y 5  e z 5  é:
B(, , ) 5  ? 3 1 9 ?  2  1  5  1  2  1  5 
59
F
R
E
N
T
E
 2
• O valor numérico de P(x) 5 x3 1 x 1 x 1  quando
x 5 − é:
P(2) 5 (2)3 1 (2) 1  ? (2) 1  5 2 1  2  1  5 
• O valor numérico desse mesmo P(x) quando x 5 − é:
P(2) 5 (2)3 1 (2) 1  ? (2) 1  5
5 2 1  2 6 1  5 
Entre os valores numéricos de um polinômio com uma
ou mais variáveis, há dois casos que merecem atenção
especial: o caso em que todas as variáveis são iguais a 
(zero) e o caso em que todas elas são iguais a  (um).
Quando todas as variáveis de um polinômio são nulas,
ou seja, iguais à zero, o valor numérico do polinômio coin-
cide com o valor de seu termo independente. Por exemplo,
o termo independente do polinômio a seguir é:
A(x, y) 5 x 1 xy 1 y 2 x 2 y 1 
A(, ) 5  1  ?  1  2  ?  2  ?  1  5 
Quando todas as variáveis de um polinômio são
unitárias, ou seja, iguais à um, o valor numérico do
polinômio coincide com o valor da soma de seus coefi-
cientes. Por exemplo, a soma dos coeficientes do polinômio
A(x, y) 5 x 1 xy 1 y 2 x 2 y 1  é:
A(, ) 5  1  ?  1  2  ?  2  ?  1  5
5  1  1  2  2  1  5 
Zeros ou raízes de um polinômio
Quando o valor numérico de um polinômio com apenas
uma variável é igual a zero, o valor atribuído à variável do
polinômio é chamado de zero do polinômio ou raiz do
polinômio.
Veja os exemplos a seguir:
• − é raiz do polinômio P(x) 5 x3 1 x 1 x 1 , pois:
P(2) 5 2 1  2 6 1  5 
•  é raiz do polinômio Q(x) 5 x 2 x 2 , pois:
Q() 5  2  ?  2  5  2  2  5 
• i é raiz do polinômio M(x) 5 x 1 9, pois:
M(i ) 5 (i ) 1 1 9 5 29 1 9 5 
Saiba mais
Atenção
Classificação de polinômios
É possível classificar os polinômios tanto pelo grau,
quanto pela quantidade de termos não nulos. Para isso,
considere que n seja o grau do polinômio e que m seja
o número de termos não nulos desse mesmo polinômio.
Desses valores, tem-se a relação n . m 2  que aponta o
grau mínimo de um polinômio de acordo com sua quantidade
de termos. De acordo com tal relação, o grau mínimo de um
monômio (m 5 ) é n 5 , o grau mínimo de um binômio
(m 5 ) é n 5 , o grau mínimo de um trinômio (m 5 ) é n 5 
e assim por diante. Observe, por exemplo, que o binômio
x 1  é de º grau, o binômio x 1  é de º grau, o
binômio x3 1  é de º grau, o trinômio x − x 1  é de
º grau, o trinômio −x3 1 x 1  é de º grau, o trinômio
x
 − 6x 1  é de º grau e o monômio x5 é de º grau.
Quando n 5 m 2 , o polinômio é denominado com-
pleto. A série de coeficientes de um polinômio completo
não apresenta nenhum elemento nulo. Note que o bi-
nômio x 1  é um polinômio do 1º grau completo e
seus coeficientes formam a série (4, 2) e que o trinômio
x
 − x 1  é um polinômio do º grau completo e seus
coeficientes formam a série (, −, ).
Quando n > m 2  o polinômio é denominado incom-
pleto. A série de coeficientes de um polinômio incompleto
apresenta ao menos um elemento nulo. Dos exemplos
citados anteriormente, temos que o binômio 3x 1  é
um polinômio do º grau incompleto cuja série de coefi-
cientes é (, , ), o binômio x3 1  é um polinômio do
º grau incompleto cuja série de coeficientes é (, , , ),
o trinômio −x3 1 x 1  é um polinômio do º grau incom-
pleto cuja série de coeficientes é (−, , , ), o trinômio
x
 − 6x 1  é um polinômio do º grau incompleto cuja
série de coeficientes é (, , −6, , ) e o monômio x5
é um polinômio do º grau incompleto cuja série de coefi-
cientes é (, , , , , ).
Polinômios unitários
Um polinômio é denominado unitário sempre que seu
coeficiente principal é igual a , ou seja, quando a0 5 .
Por exemplo, o polinômio A(x) 5 x 2  é um polinômio
unitário do º grau. Já o polinômio B(x) 5 x2 2 x 1 5 é
um polinômio unitário do º grau.
A expressão geral dos polinômios unitários de grau
n é:
P(x) 5 1 a1
2 1 1 ... 1 an2 1x 1 an
Polinômios recíprocos
Considere um polinômio de coeficientes reais P(x) na
sua forma geral:
P(x) 5 a 1 a1
2 1 1 a 2  1 ... 1 an2 x
 1 an 2 1x 1 an
Chama-se polinômio recíproco de P(x) o polinômio P*(x)
expresso na forma geral por:
P*(x) 5 a 1 an2 1
2 1 1 an2 x
n2  1 ... 1 ax
 1 a1x 1 a0
Dois polinômios são recíprocos quando a série dos
coeficientes de um deles coincide com a série de coefi-
cientes do outro na ordem contrária.
Exemplos:
• B(x) 5 x 1  é recíproco de B*(x) 5 x 1 .
• T(x) 5 x 1 x −  é recíproco de T*(x) 5 −x 1 x 1 .
• Q(x) 5 x32 x 1  é recíproco de Q*(x) 5 x32 x1 .
60 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Entre as propriedades que relacionam dois polinômios
recíprocos P(x) e P*(x), há duas que merecem destaque.
São elas: se gr(P) 5 n, então 5 ?P*( ) P
1
x x
x
n ; e se a = 
e P(a) 5 , então
a
5P*
1
0 .
Essa segunda propriedade garante que se o termo
independente de um polinômio não for nulo, então os in-
versos das raízes desse polinômio serão as raízes de seu
polinômio recíproco.
Note, como exemplo, que as raízes do polinômio
T(x) 5 x 2 x 1 6 são  e ; assim, podemos concluir que
5
1
2
x e 5
1
3
x são as raízes de seu polinômio recíproco
T*(x) 5 6x 2 x 1 .
Saiba mais
Polinômios autorrecíprocos
Um polinômio P(x) é denominado autorrecíproco ou
palíndromo quando coincidir com o seu recíproco, ou seja,
quando P*(x) 5 P(x).
Os coeficientes de um polinômio autorrecíproco de
grau n obedecem à relação:
ap 5 an 2 p, \p , n
A série dos coeficientes de um polinômio autorre-
cíproco é a mesma lida da esquerda para a direita ou
da direita para a esquerda. Por exemplo, o polinômio
P(x) 5 x5 1 x 2 x3 2 x 1 x 1  é um polinô-
mio autorrecíproco.
Vale ressaltar que se x 5 a é raiz de um polinômio
autorrecíproco, então 5
a
1
x também é raiz do polinô-
mio. Observe, por exemplo, que x 5  é uma das raízes do
polinômio P(x), ou seja, P() 5 :
P() 5  ? 5 1  ?  2  ? 3 2  ?  1  ?  1 
P() 5  ?  1  ? 6 2  ?  2  ?  1  ?  1 
P() 5 6 1  2  2  1 6 1  5 
Como P(x) é autorrecíproco, então 5
1
2
x também é
raiz de P(x):
P
1
2
2
1
2
3
1
2
10
1
2
10
1
2
3
1
2
2
P
1
2
2
32
3
16
10
8
10
4
3
2
2
P
1
2
2 6 40 80 48 64
32
0
32
0
5 4 3 2
5 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1
5 1 2 2 1 1
5
1 2 2 1 1
5 5
Uma propriedade importante dos polinômios recípro-
cos de grau ímpar é que eles admitem x 5 − como uma
de suas raízes. Considerando o polinômio P(x), podemos
verificar que isso é válido:
P(2) 5  ? (2)5 1  ? (2) 2  ? (2)3 2  ? (2) 1
1  ? (2) 1 
P(2) 5  ? (2) 1  ?  2  ? (2) 2  ?  1  ? (2) 1 
P(2) 5 2 1  1  2  2  1  5 
Portanto, – é raíz do polinômio P(x).
Saiba mais
Apresentações de um polinômio
Além da expressão geral P(x) 5 a0x
n 1 a1x
n 2 1 1 ... 1
1 an 2 1x 1 an, há diversas possibilidades para a apresenta-
ção de um mesmo polinômio. Entre elas merecem destaque
as formas fatoradas, que apresentam o polinômio como
produto de binômios unitários e do º grau.
Forma fatorada
No universo dos números complexos, todo polinômio
P(x) de grau n pode ser decomposto em exatamente n fatores
unitários e do º grau, como mostra a seguinte expressão:
P(x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a) ? (x 2 a3) ? ... ? (x 2 an),
com a0 = 
Para obter a expressão fatorada de um polinômio com
apenas uma variável, é necessário determinar o conjunto
{a1, a, a3, ..., an} de todas as raízes ou zeros do polinômio.
O número de raízes complexas de um polinômio sempre
coincide com o valor de seu grau.
Os polinômios do º grau possuem apenas uma raiz
complexa, por isso têm sua forma fatorada expressa por
P(x) 5 a0 ? (x 2 a1). Os polinômios do º grau possuem
exatamente duas raízes complexas e sua forma fatorada
é expressa por P(x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a) e assim por
diante, sempre lembrando que o conjunto dos números
complexos contém o conjunto dos números reais.
Forma fatorada abreviada
Se um polinômio P(x) tem grau n . , então existe a
possibilidadede que duas ou mais de suas raízes sejam
iguais. Nesses casos, pode-se indicar a quantidade de fa-
tores iguais presentes na forma fatorada de P por meio de
expoentes naturais:
P(x) 5 a0 ? (x 2 a1)
m
1 ? (x 2 a)
m
 ? ... ? (x 2 ak)
mk, com a0 = 
61
F
R
E
N
T
E
 2
Na expressão abreviada do polinômio P, os expoentes
de cada binômio unitário e de 1º grau, que representa um
fator do polinômio, são chamados de multiplicidades das
raízes de P. Assim:
• m
1
 é a multiplicidade da raiz a
1
;
• m
2
 é a multiplicidade da raiz a
2
;
æ
• m
k
 é a multiplicidade da raiz a
k
.
Nessa representação do polinômio, não deve haver
valores iguais entre as raízes a
1
, a
2
, ..., a
k
 do polinômio,
pois assim a expressão poderia ser mais abreviada ainda.
Os valores dem
1
 am
k
 não podem ser todos iguais a 1,
pois, nesse caso, todas as raízes do polinômio são distintas
e, assim, o polinômio não pode ser escrito na forma fatorada
abreviada. Portanto, k < n.
Além disso, a soma de todas as multiplicidades das
raízes de um polinômio deve coincidir com o grau do
polinômio:
m
1
1 m
2
1 m
3
1 ... 1 m
k
5 gr(P)
As raízes de um polinômio podem ser classificadas
de acordo com os valores de suas multiplicidades. Assim,
sendo m a multiplicidade da raiz a de um polinômio P(x),
tem-se que:
• Se m 5 1, então a é uma raiz simples.
• Se m 5 2, então a é uma raiz dupla.
• Se m 5 3, então a é uma raiz tripla etc.
Veja alguns exemplos:
• o polinômio P(x) do º grau que possui raiz dupla é
da forma:
P(x) 5 a
0
? (x 2 a)
2
• o polinômio P(x) de 3º grau que possui uma raiz dupla
e uma raiz simples é da forma:
P(x) 5 a
0
? (x 2 a
1
)
2
? (x 2 a
2
)
• o polinômio P(x) de 3º grau que possui raiz tripla é da
forma:
P(x) 5 a
0
? (x 2 a)
3
Identidade de polinômios
Sejam a
0
= 0 e b
0
= 0 os respectivos coeficientes
principais de dois polinômios A(x) e B(x) com mesmo grau
n é N. Na forma geral, têm-se:
A(x)5 a 1 a
1
2 1
1 a
2 2
1 ...1 a
n2 2x
2
1 a
n2 1x1 an
B(x)5 b
n
1 b
1
2 1
1 b
2
x
n2 2
1 ...1 b
n2 2x
2
1 b
n2 1x1 bn
Os dois polinômios A(x) e B(x) serão considerados
idênticos se, e somente se, tiverem o mesmo grau e exa-
tamente a mesma série de coeficientes:
ä ~ 5
5
5
5
æ
5
A( ) B( ) gr(A) gr(B) e
0 0
1 1
2 2x x
a b
a b
a b
a b
n n
Observação: Recomenda-se que as identidades poli-
nomiais sejam indicadas com o símbolo (ä), para não serem
confundidas com equações polinomiais.
Equações identidades
Dois polinômios idênticos assumem os mesmos valores
numéricos qualquer que seja o número complexo atribuído
à sua variável.
A(x) ä B(x)
Exemplo:
x
3
2 19x 2 30 ä (x 1 2)(x 1 3)(x 2 5)
Identidades também podem ser expressas usando o
símbolo de igualdade (5), mas como tratam-se de senten-
ças matemáticas verdadeiras para todo x, recomenda-se
acrescentar (\x), que significa literalmente “para todo valor
de x” ou “qualquer que seja x”. Assim:
x
3
2 19x 2 30 5 (x 1 2)(x 1 3)(x 2 5), \x
Equações polinomiais também podem ser expressas
por uma igualdade de dois polinômios, mas nesse caso os
polinômios assumem os mesmos valores numéricos apenas
quando alguns poucos números complexos são atribuídos
a sua variável.
A(x) 5 B(x)
Exemplo:
x
3
2 19x 2 30 5 x(x
2
1 11)
Essa é uma sentença matemática que pode ser
verdadeira ou falsa, de acordo com o valor de x. Note que
para x 5 −1, por exemplo, a sentença é verdadeira, mas
para x 5 2 ela é falsa:
52 ~
2 5 2 2 ? 2 2 5
52 1 2 52
2 5 2 ? 2 1 5 2 ? 1 5
5 2 ? 52
1
A( 1) ( 1) 19 ( 1) 30
1 19 30 12
B( 1) ( 1) (( 1) 11) ( 1) (1 11)
( 1) 12 12
3
2
x
2
A(2) 2 19 2 30 8 38 30 60
B(2) 2 (2 11) 2 (4 11) 2 15 30
3
2
5 ~
5 2 ? 2 5 2 2 52
5 ? 1 5 ? 1 5 ? 5
x
Os números que tornam verdadeira a sentença de
uma equação polinomial são denominados soluções da
equação. Assim, no exemplo, tem-se que x5 −1 é solução
da equação, pois implica uma igualdade (212 5 212).
Já x 5 2 não é solução da equação, pois não implica uma
igualdade (260 = 30).
O grau de uma equação polinomial determina o número
máximo de soluções complexas que ela pode possuir.
Verificando identidades
Para garantir a identidade de dois polinômios de grau n,
por meio da atribuição de valores numéricos, é necessário
que sejam feitas pelo menos n1 1 atribuições para a variá-
vel dos polinômios. Assim, como não há equação polinomial
que admita mais soluções do que o número de seu grau,
a igualdade explorada deve ser de fato uma identidade
polinomial.
62 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Como exemplo desse processo, considere os polinô-
mios A(x) e B(x) apresentados na forma geral e na forma
fatorada, respectivamente:
A(x) 5 x
3
2 19x 2 30
B(x) 5 (x 1 2)(x 1 3)(x 2 5)
Na expressão do polinômio A(x) observa-se a série
de seus coeficientes (1, 0, –19, −30) e na expressão
do polinômio B(x) observa-se o conjunto de suas raízes
{−2, −3, 5}.
Como gr(A) 5 gr(B) 5 3, para mostrar que os polinô-
mios são idênticos, por meio de verificações numéricas, é
necessário atribuir às suas variáveis pelo menos 4 valores
numéricos quaisquer:
1
A(1) 1 19 1 30 1 19 30 48
B(1) (1 2)(1 3)(1 5) 3 4 ( 4) 48
3
5 ~
5 2 ? 2 5 2 2 52
5 1 1 2 5 ? ? 2 52
x
0
A(0) 0 19 0 30 0 0 30 30
B(0) (0 2)(0 3)(0 5) 2 3 ( 5) 30
3
5 ~
5 2 ? 2 5 2 2 52
5 1 1 2 5 ? ? 2 52
x
1
A( 1) ( 1) 19 ( 1) 30 1 19 30 12
B( 1) ( 1 2)( 1 3)( 1 5) 1 2 ( 6) 12
3
52 ~
2 5 2 2 ? 2 2 52 1 2 52
2 5 2 1 2 1 2 2 5 ? ? 2 52
x
2
A( 2) ( 2) 19 ( 2) 30 8 38 30 0
B( 2) ( 2 2)( 2 3)( 2 5) 0 1 ( 7) 0
3
52 ~
2 5 2 2 ? 2 2 52 1 2 5
2 5 2 1 2 1 2 2 5 ? ? 2 5
x
Assim, tem-se que A(1)5 B(1), A(0)5 B(0), A(21)5 B(21)
e A(22)5 B(22).
Por se tratar de polinômios do 3º grau que coincidiram
em 4 valores numéricos, pode-se afirmar que A(x) e B(x) são
polinômios idênticos:
A(x) ä B(x)
Exercício resolvido
2. Sendo a e b os números tais que a igualdade
a( 2 x)
2
1  5 x( 2 x) 1 bx
2
 é verdadeira para
todo x real, então a 1 b é igual a:
a) –6,5
b) –1,5
c) 3,6
d) 1,5
e) 6,5
Resolução:
Fazendo x 5 , obtemos o valor de a:
a( 2 )2 1  5  ? ( 2  ? ) 1 b ? 
2
~
~ a 1  5  1  _ a 5 2,
Fazendo x 5 , obtemos o valor de b:
a( 2 )
2
1  5  ? ( 2  ? ) 1 b ? 
2
~
~  1  5  ? (2) 1 b _ b 5 
Portanto: a 1 b 5 2, 1  5 ,.
Alternativa: D.
Outra maneira de verificar a identidade desses polinô-
mios consiste em partir da expressão fatorada B(x) e aplicar
a propriedade distributiva do produto até que a expressão
geral A(x) seja encontrada.
B(x)5 (x1 2)(x1 3)(x2 5)5 [x

1 3x1 2x1 6](x2 5)5
5 [x

1 5x1 6](x2 5)5x
3
2 5x

1 5x

2 25x1 6x2 305
5 x
3
2 19x 2 30 5 A(x)
Observe que todas as expressões intermediárias entre
a forma fatorada de B(x) e a forma geral A(x) caracterizam
polinômios idênticos.
Exercício resolvido
3. Determine os parâmetros reais a, b e c que tor-
nam idênticos os polinômios P(x) e Q(x) definidos
a seguir.
P(x) 5 (a 2 )x

1 bx
2
1 (c 1 )x 1 
Q(x) 5 x

2 8x
2
1 7x 1 
Resolução:
Comparando as séries de coecientes desses polinô-
mios, tem-se:
2 5 ~ 5
52
1 5 ~ 5
2 5 7
8
1 7 6
a a
b
c c
.
Fatorando polinômios
Fatorar é um termo matemático para designar a trans-
formação de algum ente matemático no produto de outros.
No estudo da Aritmética, todos os números que não são
primos podem ser fatorados. O número 10, por exemplo,
é resultado da multiplicação dos números 2 e 5. Por isso,
a forma fatorada do número 10 é 2 ? 5.
Alguns números possuem diversas formas fatoradas,
como o número 40, por exemplo, possui seis fatorações
distintas, note:
405 2 ? 205 4 ? 105 5 ? 5 2 ? 2 ? 105 2 ? 4 ? 55 2 ? 2 ? 2 ? 5
O fato de a multiplicação ser uma operação comutati-
va, a ordem dos fatores não altera a forma fatorada de um
número. Assim, os produtos 5 ?  e  ? 5 indicam a mesma
fatoração do número 40.
O teorema fundamental da Aritmética enuncia que todo
número natural não primo admite apenas uma forma de
decomposição em fatores primos. No caso do número 40
essa forma é: 405 2 ? 2 ? 2 ? 5.
Quando dois ou mais fatores primos de um número
natural são iguais, a forma fatorada desse número pode ser
abreviada pelo uso da potenciação: 40 5 2
3
? 5
1
.
Dessa expressão, deve-se entender que no número 40,
o fator primo 2 possui multiplicidade  e o fator primo 5
possui multiplicidade 1.
Quando o universo dos números considerados é es-
tendido além dos números naturais, novas formas fatoradas
podem surgir. Por exemplo, no conjunto:
• Z dos números inteiros: 40 5 (24) ? (210);
63
F
R
E
N
T
E
 2
• Q dos números racionais:  5 , ? ;
• R dos números reais: 5 ?40 2 5 4 5 ;
• C dos números complexos:  5 (6 1 i ) ? (6 2 i ).
No estudo da Álgebra, os polinômios de grau n > 
podem ser fatorados em polinômios de graus menores do
que n. O binômio do º grau x − 9, por exemplo, é resul-
tado da multiplicação dos binômios do º grau x 1  e
x 2 . Por isso, a forma fatorada de x 2 9 é (x 1 )(x 2 ).
Alguns polinômios possuem diversas formas fato-
radas, como P(x) 5 x3 1 6x 1 x 1 6, por exemplo,
possui quatro fatorações distintas, sendo três com um
fator de º grau e outro de º grau:
P(x) 5 x3 1 6x 1 x 1 6 5 (x 1 )(x 1 x 1 6)
P(x) 5 x3 1 6x 1 x 1 6 5 (x 1 )(x 1 x 1 )
P(x) 5 x3 1 6x 1 x 1 6 5 (x 1 )(x 1 x 1 )
E apenas uma com todos os fatores de º grau:
P(x) 5 x3 1 6x 1 x 1 6 5 (x 1 )(x 1 )(x 1 )
Dessa expressão deve-se entender que:
2 2 2
A série de coeficientes de P( ) é (1, 6, 11, 6).
O conjunto das raízes de P( ) é { 1, 2, 3}.
x
x
Polinômios podem ter quaisquer tipos de números
complexos como coeficientes ou raízes. A única restrição
é feita aos expoentes da variável que devem ser, neces-
sariamente, números naturais. Assim, expressões como
2 5 2 14 2 2( )( )x x x , por exemplo, não representam
fatorações polinomiais, pois 5
1
2x x e
1
2
 não é um ex-
poente natural. Polinômios do º grau podem ser fatorados
apenas no caso de não serem polinômios unitários como,
por exemplo, 2 5 23 4 3
4
3
x x .
Os polinômios unitários do º grau fazem o papel aná-
logo ao dos números primos na fatoração de polinômios.
Dessa analogia, pode-se enunciar que todo polinômio de
grau n >  admite apenas uma fatoração em polinômios
unitários e do 1º grau. A identidade entre a forma geral de
um polinômio e essa forma fatorada única é uma importante
ferramenta da modelagem matemática.
com a0 =  e a1, a, …, an sendo as raízes do polinômio.
Dessa expressão deve-se entender que todo polinômio
de grau n possui exatamente n raízes complexas e, assim,
expressões particulares dessa identidade podem ser ob-
servadas de acordo com o grau do polinômio.
• Polinômios do 1º grau possuem apenas uma raiz
complexa:
ax 1 b ä a(x 2 a1), a = 
• Polinômios do 2º grau possuem exatamente duas
raízes complexas
ax
 1 bx 1 c ä a(x 2 a1)(x 2 a), a = 
• Polinômios do 3º grau possuem exatamente três
raízes complexas
ax
3 1 bx 1 cx 1 d ä a(x 2 a1)(x 2 a)(x 2 a3), a = 
• Polinômios do º grau possuem exatamente quatro
raízes complexas
ax
 1 bx3 1 1 dx 1 e ä a(x 2 a1)(x 2 a)(x 2 a3)(x 2 a),
a = 
A tabela a seguir apresenta as fatorações de alguns
polinômios do º grau:
Forma geral Forma fatorada
Há diversas técnicas que podem ser usadas na fato-
ração de polinômios do º grau. As identidades a seguir
figuram entre os casos clássicos da fatoração algébrica:
• Fator comum: a 1 ab ä a(a 1 b)
• Trinômios quadrados perfeitos:
1 1 ä 1
2 1 ä 2
2 ( )
2 ( )
2 2 2
2 2 2
a ab b a b
a ab b a b
• Diferença de quadrados: a 2 b 5 (a 1 b)(a 2 b)
Atenção
Observando a tabela anterior, o polinômio D(x)
pode ser enquadrado no caso do fator comum e pode
ser fatorado colocando-se a variável x em evidência:
x
 1 px ä x(x 1 p). O polinômio B(x) no caso do trinômio qua-
drado perfeito: x 2 6x 1 9 5 x 2  ?  ? x 1  ä (x 2 ) ä
ä (x 2 )(x 2 ). O polinômio E(x) no caso da diferença de
quadrados: 2 ä 2 ä 1 27 7 7 72 2
2
( ) ( )( )x x x x .
O polinômio F(x) no caso da soma de quadrados:
x
 1  ä x 2 (i ) ä (x 1 i )(x 2 i ).
Os polinômios A(x) e C(x) não caem nos casos clássicos
de fatoração, mas podem ser fatorados com a utilização da
técnica de agrupamento:
ä 1 1 ä 1 1 1 ä
ä 1 1 1 ä 1 1
A( ) 3 2 2 2
( 1) 2( 1) ( 1)( 2)
2 2
3
x x x x x x
x x x x x
x
ä 1 2 ä 1 2 2 ä
ä 1 2 1 ä 1 2
B( ) 6 1 6 3 2 1
3 (2 1) 1(2 1) (2 1)(3 1)
2 2
x x x x x x
x x x x x
x
64 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Observe que a fatoração por agrupamento efetuada no polinômio C(x) não obteve fatores unitários, sendo possível
ainda colocar em evidência os coeficientes principais 2 e 3 dos fatores do 1º grau obtidos:
1 2 ä 1 ? 2 ä 1 2(2 1)(3 1) 2
1
2
3
1
3
6
1
2
1
3
x x x x x x
A técnica do agrupamento também pode ser usada na fatoração de polinômios de grau superior. Observe:
5 1 2 2 5 1 2 1 5 1 2 5 1 1 2P( ) 2 9 18 ( 2) 9( 2) ( 2)( 9) ( 2)( 3)( 3)
3 2 2 2
x x x x x x x x x x x x
Gráficos de polinômios com coeficientes reais
Considere um polinômio P(x) em que todos os coeficientes são números reais. Se a variável x desse polinômio tam-
bém estiver restrita ao conjunto dos números reais, então a função y5 P(x) pode ser representada graficamente no plano
cartesiano.
P(x) 5 a0x
n
1 a1
2 1
1 a2
2 2
1 ... 1 a
n2 2x
2
1 a
n2 1x 1 an
a0 = 0, ap é R, \p, 0 , p , n, x é R
Revendo algumas funções reais
Algumas das funções polinomiais foram abordadas detalhadamente em capítulos anteriores, como as funções cons-
tantes, as funções do 1º grau (afins) e as do º grau (quadráticas). Segue uma breve revisão do comportamento gráfico
dessas funções.
Função nula e funções constantes
A representação gráfica do polinômio nulo é uma reta que coincide com o eixo das abscissas do plano cartesiano.
P(x) 5 0
y
x0
As representações gráficas dos polinômios constantes, mas não nulos, são retas paralelas ao eixo das abscissas do
plano cartesiano.
a > 0 a < 0
P(x) 5 a
65
F
R
E
N
T
E
 2
Função afim
As representações gráficas dos polinômios do 1º grau são retas concorrentes aos eixos coordenados.
a > 0 a < 0
P(x) 5 ax 1 b, a = 0
Sendo o domínio da função igual ao conjunto dos números reais, todas as funções polinomiais de grau n , , bem
como o polinômio nulo, têm seus gráficos representados por linhas retas no sistema cartesiano. A partir do grau n . 
não são mais retas que representam os gráficos das funções polinomiais de domínio real, mas curvas contínuas de vários
tipos diferentes.
Função quadrática
As representações gráficas dos polinômios do 2º grau são parábolas com eixos de simetria verticais.
Quando o coeficiente principal do polinômio do º grau é positivo (a > ), a parábola que representa o gráfico da
função tem sua concavidade voltada para cima e quando esse coeficiente é negativo (a < ) a parábola tem sua conca-
vidade voltada para baixo.
a > 0 e D > 0 a < 0 e D > 0
P(x) 5 ax2 1 bx 1 c,
a = 0
Lendo o gráfico da esquerda para a direita:
Quando a >  a função do º grau tem seu primeiro
trecho decrescente até atingir um valor mínimo e
continua com um trecho crescente.
Trecho
crescenteTrecho
decrescente
Valor mínimo
Quando a <  a função do º grau tem seu primeiro
trecho crescente até atingir um valor máximo e continua
com um trecho decrescente.
Trecho
crescente
Trecho
decrescente
Valor máximo
66 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Embora possam admitir raízes complexas não reais, os polinômios de coeficientes reais e grau n .  sempre po-
dem ser tratados como funções de domínio real e representados graficamente no plano cartesiano. Quando as raízes
de um polinômio do º grau não são números reais, as parábolas que representam seus gráficos não interceptam o
eixo das abscissas.
a > 0 e D < 0 a < 0 e D < 0
Particularmente, quando as duas raízes de um polinômio do º grau são iguais, as parábolas que representam seus
gráficos tangenciam o eixo das abscissas.
a > 0 e D 5 0 a < 0 e D 5 0
Nesse caso, a abscissa do ponto de tangência é denominada raiz dupla do polinômio.
Atenção
67
FR
E
N
T
E
 2
Funções de 3º grau
As representações gráficas dos polinômios de º grau são curvas geométricas dotadas de duas concavidades voltadas
para regiões opostas no plano cartesiano.
Seja P(x) 5 ax3 1 bx 1 cx 1 d, com a = , um polinômio do 3º grau. Veja os gráficos da função y 5 P(x) considerando
alguns parâmetros:
a > 0 a < 0
b
2
, 3ac
b
2
> 3ac
Nos casos em que b , ac, se a > , então y 5 P(x) é uma função crescente em toda sua extensão e se a < ,
então y 5 P(x) é uma função decrescente em toda sua extensão.
Nos casos em que b > ac:
• se a > , então y 5 P(x) é uma função que alter-
na trechos: crescente, decrescente e crescente,
nessa ordem.
Máximo local
Trecho
crescente
Trecho
crescente Trecho
decrescente
Mínimo local
• se a < , então y 5 P(x) é uma função que alterna
trechos: decrescente, crescente e decrescente,
nessa ordem.
Máximo local
Trecho
crescente
Trecho
decrescente
Trecho
decrescente
Mínimo local
As formas fatoradas das funções polinomiais do 3º grau com coeficientes reais também podem mudar de acordo com
as características de suas raízes.
• Se possuir três raízes reais distintas, sua forma fatorada será:
P(x) 5 a(x 2 a1)(x 2 a)(x 2 a3)
• Se possuir apenas raízes reais, sendo uma simples outra dupla, sua forma fatorada será:
P(x) 5 a(x 2 a1)(x 2 a)

• Se possuir raiz tripla, sua forma fatorada será:
P(x) 5 a(x 2 a)3
• Se possuir três raízes, sendo apenas uma delas real, sua forma fatorada será:
P(x) 5 a(x 2 a)(x 2 z)(x 2 z)
Nessa última expressão, z e z representam duas raízes complexas conjugadas.
68 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Funções de grau n> 3
Os formatos dos gráficos das funções polinomiais de
º grau em diante são mais diversos, podendo até ser
confundidos com gráficos de polinômios de grau inferior.
Isso se deve ao padrão das concavidades das curvas que
os representam no plano cartesiano, que muda a partir do
º grau como mostra a tabela:
Grau do polinômio Concavidades do gráfico
De forma genérica, tem-se que:
Há uma série de outras generalidades a respeito dos
gráficos de funções polinomiais de coeficientes reais,
como o fato de todos serem representados por uma cur-
va contínua que cruza o plano cartesiano da esquerda
para a direita.
y
x
a
n
a
2
5 a
3
a
1
a
4
a
5
Ainda relacionando o grau do polinômio ao comporta-
mento de seu gráfico, tem-se que:
• Se o grau do polinômio for par, então o primeiro e o
último trecho de seu gráfico situam-se em um mesmo
semiplano determinado pelo eixo das abscissas.
• Se o grau do polinômio for ímpar, então o primeiro e o
último trecho de seu gráfico situam-se em semiplanos
opostos pelo eixo das abscissas.
O gráfico de um polinômio intercepta o eixo das or-
denadas sempre no termo independente da função, ou
seja, no ponto de coordenadas (, an). Quando o gráfico de
um polinômio intercepta o eixo das abscissas, isso ocorre
sempre em alguma das raízes reais da função, ou seja, nos
pontos de coordenadas (a1, ), (a, ), ..., (an, ).
Nas raízes do polinômio que são simples, triplas ou
têm qualquer outra multiplicidade ímpar, as linhas que
representam os gráficos das funções polinomiais atra-
vessam o eixo das abscissas de um quadrante para outro
no plano cartesiano. Quando isso ocorre, a função muda
de sinal.
–+ – +
Nas raízes do polinômio que são duplas, quádruplas ou
têm qualquer outra multiplicidade par, as linhas que repre-
sentam os gráficos das funções polinomiais tangenciam o
eixo das abscissas. Quando isso ocorre, a função se anula,
mas mantém o sinal na vizinhança da raiz.
+ + – –
Considerando que o gráfico de uma função polinomial
deve ser lido da esquerda para a direita, em relação ao
sinal do coeficiente principal da função a0 = , pode-se
afirmar que:
• Se a0 é positivo (a0 > ), então o trecho final do gráfi-
co situa-se no º quadrante do plano cartesiano.
• Se a0 é negativo (a0 < ), então o trecho final do gráfi-
co situa-se no º quadrante do plano cartesiano.
Estabelecendo relações
69
F
R
E
N
T
E
 2
Teorema do valor intermediário
Enunciado pelos matemáticos Bernard Bolzano e Luis
Cauchy, o teorema do valor intermediário é bastante intuiti-
vo e trata de todas as funções contínuas, como as funções
polinomiais.
Sendo P(x) um polinômio de coeficientes reais, consi-
dere os números reais r e s, tais que r< s. De acordo com
esse teorema, para todo y real, tal que P(r) , y , P(s) ou
P(s), y, P(r), existe pelo menos um x real, tal que r, x, s
satisfazendo y5 P(x). Embora as demonstrações algébricas
do teorema sejam relativamente sofisticadas, ele pode ser
compreendido observando-se o trecho correspondente ao
intervalo [r, s] do gráfico cartesiano da função y5 P(x).
y
x
P(r)
0 r x s
y
P(s)
Desse teorema decorre que:
Dois casos distintos devem ser observados nessa
proposição, pois se um produto de dois números reais é
negativo, então os números multiplicados devem ter sinais
contrários. Veja as duas situações:
P(r) > 0 e P(s) < 0
y
x
P(r)
r s
P(s)
P(r) < 0 e P(s) > 0
y
x
P(s)
r s
P(r)
O teorema do valor intermediário é suficiente para
garantir a existência de raiz real do polinômio no intervalo
] r, s [, mas não informa o número de raízes que pode haver.
Veja algumas possibilidades gráficas de y 5 P(x).
Raízes de P(x) no
intervalo ] r, s [
Gráfico
Quando P(r) ? P(s) > 0, não há garantias de que P(x)
possua raízes reais no intervalo ] r, s [.
Operações com polinômios
Considere os polinômios A(x) e B(x), ambos na forma
geral:
A(x)5 a 1 a
1
2 1
1 a
2 2
1 ...1 a
n2 2
x
2
1 a
n2 1
x1 a
n
,
a
0
= 0
B(x)5b 1b
1
2 1
1b
2 2
1 ...1b
m2
1b
m2 1
x1b
m
,
b
0
= 0
70 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Note que os números naturais m e n indicam, respecti-
vamente, os graus dos polinômios A(x) e B(x).
Conhecendo as séries de coeficientes de cada po-
linômio e seus respectivos graus, é possível efetuar as
operações básicas de adição, subtração e multiplicações
entre polinômios.
É possível, também, efetuar a divisão considerando
que, assim como na operação de divisão entre números
inteiros, a divisão polinomial possui mais de uma definição.
Uma delas gera dois polinômios como resultados: o quo-
ciente Q(x) e o resto R(x).
A(x) B(x)
R(x) Q(x)
A outra não considera o resto e gera apenas um re-
sultado, que pode não ser um polinômio e sim uma função
quociente.
: 5A( ) B( )
A( )
B( )
x x
x
x
Adição de polinômios
Efetua-se a adição de dois polinômios A e B adicio-
nando-se seus monômios de mesmo grau. Assim, A 1 B
é um polinômio cujos coeficientes resultam da adição dos
coeficientes dos termos de mesmo grau dos polinômios
adicionados. Por isso, se os polinômios A e B tiverem graus
diferentes (n = m), o grau do polinômio A 1 B será igual ao
maior dos valores entre m e n.
Se os polinômios A e B tiverem o mesmo grau (n 5 m),
então sua soma fica expressa por:
A(x) 1 B(x) 5 (a0 1 b0)x
n 1 (a1 1 b1)x
n2 1 1 ... 1
1 (an2 1 1 bn2 1)x 1 (an 1 bn)
Neste caso, é possível que os coeficientes principais a0
e b0 se anulem, bem como os demais coeficientes somados,
de modo que a soma produza como resultado um polinô-
mio de grau menor do que o dos polinômios somados:
Como exemplos, considere os seguintes polinô-
mios: P(x) 5 x3 2 x 1 x 2 , Q(x) 5 x 2 x 1 6,
R(x) 5 x3 1 x 1  e S(x) 5 2x3 2 x 1 . Vamos de-
terminar algumas somas:
a) P(x) 1 Q(x)
P(x) 5 x3 2 x 1 x 2 
Q(x) 5 x 2 x 1 6 1
P(x) 1 Q(x) 5 x3 2 x 2 x 1 
Como gr(P) > gr(Q), a soma P(x) 1 Q(x) tem o grau do
polinômio P(x).
b) P(x) 1 R(x)
P(x) 5 x3 2 x 1 x 2 
R(x) 5 x3 1 x 1  1
P(x) 1 R(x) 5 x3 2 x 1 x 1 
Como gr(P) 5 gr(R) e os coeficientes principais desses
polinômios não se anulam na adição, a soma P(x) 1 R(x) tem
o mesmo grau dos polinômios P(x) e R(x).
c) P(x) 1 S(x)
P(x) 5 x3 2 x 1 x 2 
S(x) 5 2x3 2 x 1  1
P(x) 1 S(x) 5 2 x 1 x 2 
Como gr(P) 5 gr(S) e os coeficientes principais desses
polinômios anulam-se na adição, a soma P(x) 1 S(x) tem
grau menor que o dos polinômios P(x) e S(x).
Propriedadesda adição de polinômios
• Associativa: [A(x) 1 B(x)] 1 C(x) ä A(x) 1 [B(x) 1 C(x)]
• Comutativa: A(x) 1 B(x) ä B(x) 1 A(x)
• Elemento neutro: A(x) 1  ä A(x)
• Elemento simétrico: A(x) 1 [2A(x)] ä 
Saiba mais
Multiplicação de polinômio por um
número real
O conceito de multiplicação de um polinômio por um
número inteiro pode ser estendido para qualquer número
complexo l, de modo que se os coeficientes do polinômio
P(x) formam a série (a1, a, a3, ..., an), então a série dos
coeficientes do polinômio l ? P(x) será (la1, la, la3, ..., lan),
qualquer que seja l é C.
71
F
R
E
N
T
E
 2
Subtração de polinômios
Aproveitando o conceito da multiplicação de um polinômio por um número l qualquer, particularmente quando l 521,
tem-se que l ? P(x) representa o polinômio2P(x), chamado polinômio oposto de P(x).
Dessa forma, uma subtração de polinômios como A(x)2 B(x), por exemplo, pode ser definida pela soma do polinômio
A(x) com o oposto do polinômio B(x).
A(x) 2 B(x) ä A(x) 1 [2B(x)]
Por exemplo, considere os polinômios Q(x) 5 3x
2
2 5x 1 6 e P(x) 5 x
3
2 5x
2
1 4x 2 2. Vamos obter a soma
P(x) 1 [2Q(x)]:
P(x) 5 x
3
2 5x
2
1 4x 2 2
2Q(x) 5 2 3x
2
1 5x 2 6 1
P(x) 2 Q(x) 5 x
3
2 8x
2
1 9x 2 8
Multiplicação de polinômios
O produto entre dois polinômios obedece à propriedade distributiva da multiplicação.
Seja M(x) o produto do polinômio P(x) 5 x
3
2 5x
2
1 4x 2 2 pelo polinômio Q(x) 5 3x
2
2 5x 1 6:
M(x) 5 P(x) ? Q(x)
Aplicando a propriedade distributiva termo a termo, temos:
M( ) ( 5 4 2) Q( )
M( ) Q( ) 5 Q( ) 4 Q( ) 2 Q( )
M( ) (3 5 6) 5 (3 5 6) 4 (3 5 6) 2(3 5 6)
3 2
3 2
3 2 2 2 2 2
5 2 1 2 ?
5 ? 2 ? 1 ? 2 ?
5 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
Agora, distribuindo as multiplicações indicadas por cada termo do polinômio Q e alinhando pelo grau os termos
resultantes:
3x
5
2 5x
4
1 6x
3
2 15x
4
1 25x
3
2 30x
2
1 12x
3
2 20x
2
1 24x
2 6x
2
1 10x 2 12
M(x) 5 3x
5
2 20x
4
1 43x
3
2 56x
2
1 34x 2 12
M(x) 5 P(x) ? Q(x) 5 3x
5
2 20x
4
1 43x
3
2 56x
2
1 34x 2 12
Também podemos distribuir a multiplicação do polinômio P(x) por cada um dos termos de Q(x):
M(x) 5 P(x) ? (3x
2
2 5x 1 6)
M(x) 5 P(x) ? 3x
2
1 P(x) ? (25x) 1 P(x) ? 6
M(x) 5 (x
3
2 5x
2
1 4x 2 2) ? 3x
2
1 (x
3
2 5x
2
1 4x 2 2) ? (25x) 1 (x
3
2 5x
2
1 4x 2 2) ? 6
Novamente, distribuindo as multiplicações indicadas por cada termo do polinômio P(x) e alinhando pelo grau os termos
resultantes:
3x
5
2 15x
4
1 12x
3
2 6x
2
2 5x
4
1 25x
3
2 20x
2
1 10x
1 6x
3
2 30x
2
1 24x 2 12
M(x) 5 3x
5
2 20x
4
1 43x
3
2 56x
2
1 34x 2 12
Observação: O grau do produto de polinômios é igual à soma dos graus de cada polinômio multiplicado:
gr(A ? B) 5 gr(A) 1 gr(B)
Propriedades da multiplicação de polinômios
• Associativa: [A(x) ? B(x)] ? C(x) ä A(x) ? [B(x) ? C(x)]
• Comutativa: A(x) ? B(x) ä B(x) ? A(x)
• Elemento neutro: A(x) ? 1 ä A(x)
• Distributiva: A(x) ? [B(x) 1 C(x)] ä A(x) ? B(x) 1 A(x) ? C(x)
72 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Divisão de polinômios
A divisão polinomial é uma operação não comutativa, que só pode ser aplicada a dois polinômios A(x) dividendo e
B(x) divisor de cada vez.
A(x) 5 a0x
n 1 a1x
n2 1 1 ax
n2  1 ... 1 an2 x
 1 an2 1x 1 an, a0 = 
B(x) 5 b m 1 b1x
m2 1 1 bx
m2  1 ... 1 bm2 x
 1 bm2 1x 1 bm, b0 = 
Essa operação produz dois outros polinômios como resultados: o polinômio quociente Q(x) e o polinômio resto R(x).
A divisão entre os polinômios A(x) e B(x) podem ser representadas no algoritmo a seguir:
A(x) B(x)
R(x) Q(x)
Considerando os graus dos polinômios A(x) e B(x), temos as seguintes situações:
I. Se gr(A) < gr(B), então o quociente Q(x) da divisão de A(x) por B(x) é o polinômio nulo e o resto R(x) é idêntico ao
dividendo A(x):
< ~
ä
ä
Q( ) 0
R( ) A( ){n m
x
x x
II. Se gr(A) 5 gr(B), então o quociente da divisão de A(x) por B(x) é uma constante q =  e o resto é idêntico ao inverso
dessa constante multiplicado pelo dividendo A(x):
5 ~
ä =
ä ?
Q( ) 0
R( )
1
A( )
n m
x q
x
q
x
III. Se gr(A) > gr(B), então aplica-se o algoritmo da divisão de A(x) por B(x) para gerar os polinômios quociente e resto,
mas em relação ao grau de cada polinômio gerado:
> ~
5 2
< ä
(Q)
(R) ou R( ) 0{n m
gr n m
gr m x
Nesse último caso, a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x) deve ser efetuada de acordo com o algoritmo
descrito a seguir:
º) Divide-se o termo de maior grau de A pelo termo de maior grau de B, obtendo-se o termo de maior grau do quociente.
a 1 a1
2 1 1 ... 1 an2 1x 1 an b0x
m 1 b1x
m2 1 1 ... 1 bm2 1x 1 bm
20
0
a
b
x
n m
º) Multiplica-se o termo do quociente obtido por cada termo do divisor e indicam-se os monômios resultantes com seus
sinais trocados abaixo dos termos semelhantes do dividendo.
a0x
n 1 a1x
n 2 1 1 ... 1 an2 1x 1 an b 1 b1x
m2 1 1 ... 1 bm2 1x 1 bm
2 2 22 ...0
0 1
0
1
a x
a b
b
x
n n 20
0
a
b
x
n m
º) Adicionam-se os polinômios indicados do lado esquerdo do esquema, obtendo-se um polinômio que pode ser tanto
um resto parcial quanto o resto final da divisão.
a 1 a1
2 1 1 ... 1 an2 1x 1 an b0x
m 1 b1x
m2 1 1 ... 1 bm2 1x 1 bm
2 2 22 ...0
0 1
0
1
a x
a b
b
x
n n 20
0
a
b
x
n m
2 12 ...1
0 1
0
1
a
a b
b
x
n
73
F
R
E
N
T
E
 2
º) Se o polinômio gerado pela adição no passo anterior tiver grau menor que o do divisor, então o polinômio obtido é
o resto e a divisão é finalizada; caso contrário, trata-se apenas de um resto parcial e o algoritmo retorna ao º passo,
para que se continue o processo da divisão.
Considerando os polinômios A(x) 5 x5 1 x 1 x3 1 x 1 x 1  e B(x) 5 x3 1 x 1 x 2 , vamos efetuar A(x) : B(x):
• Os termos de maior grau do dividendo e do divisor são, respectivamente, x5 e x3. Dividindo um pelo outro, tem-se:
x
5 : x3 5 x5 – 3 5 x, assim:
x
5 1 x 1 x3 1 x 1 x 1  x3 1 x 1 x 2 
x

• O produto de x pelo polinômio divisor é x(x3 1 x 1 x 2 ) 5 x5 1 x 1 x3 2 x e, sendo o polinômio oposto a
esse produto 2x5 2 x 2 x3 1 x, escreve-se:
x
 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 2 
2x 2 x 2 x 1 x x
• Adicionando-se os polinômios escritos do lado esquerdo do esquema:
x
 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 2 
2x 2 x 2 x 1 x x
x
 1 6x 1 x 1 x 1 
• Como o último passo gerou um polinômio de º grau e o divisor é do º grau, o resto é apenas parcial e a divisão
continua.
• O termo de maior grau deste resto parcial é x, que dividindo pelo termo x3 do divisor resulta no monômio x – 3 5 x,
e assim obtém-se mais um termo do quociente:
x
 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 2 
2x 2 x 2 x 1 x x 1 x
x
 1 6x 1 x 1 x 1 
• O produto do termo x pelo divisor x3 1 x 1 x 2  é x4 1 x 1 2x2 2 3x, cujo polinômio oposto é 2x 2 x3 2 x 1 x
e deve ser escrito logo abaixo do último resto parcial para que a soma desses polinômios gere um novo resto na divisão.
Assim:
x
 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 2 
2x 2 x 2 x 1 x x 1 x
x
 1 6x 1 x 1 x 1 
2x 2 x 2 x 1 x
x 1 x 1 x 1 
• Como esse novo resto ainda é do º grau, igual ao grau do divisor, a divisão prossegue com a última aplicação dos
passos desse algoritmo.
• O termo de maior grau desse novo resto x3 dividido pelo termo x3 do divisor resulta no monômio constante
x3 – 3 5 x0 5 , que é o termo independente do quociente:
x
 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 2 
2x 2 x 2 x 1 x x 1 x 1 
x
 1 6x 1 x 1 x 1 
2x 2 x 2 x 1 x
x 1 x 1 x 1 
74 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
• Neste ponto a execução do algoritmo já fornece o polinômio quociente da divisão:
Q(x) 5 x 1 x 1 
• Continuando os passos do algoritmo, obtém-se o resto final da divisão:
x
 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 2 
2x 2 x 2 x 1 x x 1 x 1 
x
 1 6x 1 x 1 x 1 
2x 2 x 2 x 1 x
x 1 x 1 x 1 
2x 2 x 2 x 1 
2x 1 
Logo, na divisão de A(x) por B(x) obtemos Q(x) 5 x 1 x 1  e R(x) 5 2x 1 .
Se o polinômiodividendo possuir coeficientes nulos, recomenda-se que eles sejam escritos de forma explícita, pois isso
facilita a obtenção dos restos parciais no processo da divisão. Note que, na divisão do trinômio M(x) 5 x 1 x 2  pelo
binômio N(x) 5 x 1 , por exemplo, deve-se representar o dividendo escrevendo-se M(x) 5 x 1 x3 1 x 1 x 2 .
O mesmo pode ser feito com o divisor N(x) 5 x 1 x 1 .
x 1 x 1 x1 x 2  x 1 x 1 
2x 2 x 2 6x x 2 6
26x1 x 2 
6x1 x 1 
x 1 
Assim, na divisão de M(x) por N(x) obtemos Q(x) 5 x 2 6 e o resto R(x) 5 x 1 .
Atenção
O método de Descartes
Sem contar os restos parciais de uma divisão polinomial, os principais polinômios envolvidos são: o dividendo A(x), o
divisor B(x), o quociente Q(x) e o resto final R(x).
A(x) B(x)
R(x) Q(x)
Esses quatro polinômios podem ser relacionados pela identidade a seguir:
Dessa expressão é possível extrair relações lineares entre os coeficientes dos polinômios envolvidos, efetuando
as operações apresentadas no º membro e comparando as séries de coeficientes obtidas com a do º membro, ou
mesmo fazendo-se atribuições numéricas adequadas para a variável x.
Considere a divisão do trinômio M(x) 5 x 1 x 2  pelo binômio N(x) 5 x 1 , por exemplo.
O polinômio quociente dessa divisão é do 2º grau, pois: gr(Q) 5 gr(M) 2 gr(N) 5  2  5 .
75
F
R
E
N
T
E
 2
Assim, devem existir coeficientes a, b e c tais que Q(x) 5 ax 1 bx 1 c, com a = .
O resto dessa divisão é um polinômio do 1º grau, no máximo: gr(R) < gr(N) ~ gr(R) < .
Assim, também devem existir coeficientes p e q tais que: R(x) 5 px 1 q.
Então, da identidade M(x) ä N(x) ? Q(x) 1 R(x), tem-se:
x 1 x 2  ä (x 1 )(ax 1 bx 1 c) 1 px 1 q
Multiplicando o quociente pelo divisor:
x 1 x 2  5 ax 1 ax 1 bx3 1 bx 1 cx 1 c 1 px 1 q
Agrupando os termos semelhantes no º membro:
x 1 x3 1 x 1 x 2  ä ax 1 bx3 1 (a 1 c)x 1 (b 1 p)x 1 (c 1 q)
Comparando as séries de coeficientes, obtém-se o sistema:
5
5
1 5
1 5
1 5 2
2
0
3 0
3 3
3 10
a
b
a c
b p
c q
.
Resolvendo esse sistema, obtemos:
5
5
5 2
5
5
2
0
6
3
8
a
b
c
p
q
,
Portanto, obtém-se o quociente Q(x) 5 x 1 x 2 6 5 x 2 6 e o resto R(x) 5 x 1 .
Dispositivo prático de Briot-Ruffini
O dispositivo é um algoritmo criado para facilitar o processo da divisão de um polinômio A(x) por binômios B(x) que
sejam unitários e do º grau. Assim, esse dispositivo prático só deve ser aplicado quando o divisor for um polinômio da
forma (x 2 a). Veja o esquema:
a
Resto
Sequência dos coeficientes do polinômio
quociente Q(x)
Sequência dos coeficientes do polinômio
dividendo A(x)
Raiz do
divisor
3
+
O algoritmo obedece aos seguintes passos:
º) Na primeira posição da primeira linha escreve-se a raiz a do divisor (x 2 a).
º) Ainda na primeira linha, escreve-se a série dos coeficientes do dividendo, usando zeros para indicar os coeficientes
dos termos ocultos.
º) Copia-se o coeficiente principal do polinômio A(x) logo abaixo na segunda linha, multiplica-se o seu valor pelo número
a e adiciona-se o resultado ao próximo coeficiente de A(x), escrevendo a soma na segunda linha, logo abaixo do
coeficiente secundário de A(x).
º) Cada número escrito na segunda linha é multiplicado por a e depois somado ao próximo coeficiente de A(x), até que
seja escrito um número logo abaixo do termo independente de A(x).
º) Separa-se com um traço vertical o último número escrito na segunda linha.
6º) Terminado o processo, tem-se, na segunda linha do esquema, que os números escritos antes do traço vertical formam
a série de coeficientes do quociente da divisão e o número no final, que foi separado pelo traço, é o valor do resto
dessa divisão.
Como este algoritmo só pode ser aplicado em divisões por polinômios do 1º grau, o resto é, necessariamente, uma
função constante. Assim, a identidade do método de Descartes fica particularmente expressa por:
A(x) ä (x 2 a) ? Q(x) 1 r
Considere a divisão do polinômio A(x) 5 x3 1 x 2 x 1  pelo binômio (x 1 ), por exemplo.
Como a raiz do binômio (x 1 ) é a 5 2, escreve-se:
–
76 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Como a sequência dos coeficientes de A(x) é (2, 4, 223,
38), escreve-se na primeira linha:
–   – 
Copia-se o coeficiente principal do polinômio A(x) na
segunda linha, logo abaixo de sua posição original:
–   – 

O produto desse coeficiente pela raiz do divisor adi-
cionado ao próximo coeficiente de A(x) é:
 ? (2) 1  5 2 1  5 6
Escreve-se então esse número na segunda linha, dan-
do continuidade à série de coeficientes do quociente:
–   – 
 –6
Repetindo o procedimento de multiplicar o número
escrito na segunda linha pela raiz do divisor e adicionar
o resultado ao próximo coeficiente de A(x), obtém-se
26 ? (2) 1 (2) 5  2  5 , que também deve ser
escrito na segunda linha:
–   – 
 –6 
Com mais uma aplicação do procedimento encontra-se:
 ? (2) 1  5 2 1  5 .
Então, escreve-se esse número no final da segunda
linha, separado por um traço vertical:
–   – 
 –6  
Assim, obtemos o quociente Q(x) 5 x 2 6x 1  e o
resto r 5 .
Exercício resolvido
4. Efetue a divisão do polinômio P(x) 5 x 1 4x2 2 3
pelos seguintes polinômios:
a) x 2 
b) x 1 
c) x
d) x 2 i
Resolução:
Considerando que a série dos coecientes do polinô-
mio P(x) é (1, 4, 0, 23), podemos aplicar o dispositivo
prático em cada item.
a) A raiz do divisor x –  é a 5 .
2 1 4 0 23
1  12 21
Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 x 1 12
e resto r 5 21.
b) A raiz do divisor x 1  é a 5 –.
21 1 4 0 23
1 3 23 0
Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 3x 2 3 e
resto r 5 0.
Observação: P(x) é um polinômio divisível por
(x 1 1).
c) A raiz do divisor x é a 5 .
0 1 4 0 23
1 4 0 23
Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 4x e resto
r 5 –3.
d) A raiz do divisor x – i, é a unidade imaginária a 5 i.
i 1 4 0 23
1 4 1 i –1 1 4i –7 – i
Logo, obtemos o quociente Q(x) 5 x2 1 (4 1 i )x 1
1 (21 1 4i ) e resto r 5 27 2 i.
Atenção
Teorema do resto
Esse teorema é consequência direta da identidade
polinomial expressa pelo método de Descartes.
P(x) ä d(x) ? Q(x) 1 R(x)
em que P(x), d(x), Q(x) e R(x) são, respectivamente, dividen-
do, divisor, quociente e resto de uma divisão polinomial.
Enunciando, temos:
77
F
R
E
N
T
E
 2
Se d(x) for um polinômio do 1º grau, então R(x) será uma
função constante. Assim:
ä ? 1
ä 2a ?
x x x x
x x
P( ) d( ) Q( ) R( )
P( ) ( ) Q(x) 1 r
1 grau Constante
o
Então, fazendo x 5 a, tem-se que:
P(a) ä (a 2 a) ? Q(a) 1 r
Portanto:
Divisibilidade de polinômios
Quando o resto da divisão de um polinômio A(x) por
um polinômio B(x) for nulo, então, sendo Q(x) o quociente,
tem-se a identidade:
A(x) ä B(x) ? Q(x)
1. Considere o polinômio a seguir e faça o que se pede
em cada um dos itens.
P(x) 5 2x 1 3x 2 5x(1 2 x) 1 4x 1 7(x 1 2)
a) Determine o grau do polinômio P.
b) Determine o termo independente do polinômio P.
c) Escreva a sequência dos coeficientes numéricos
do polinômio P.
d) Calcule P().
e) Calcule P(i ).
2. Discuta em função do parâmetro m, o grau do polinômio:
P(x) 5 (m2 2 2m)x4 1 mx 1 (m 2 2)x2 1 5x 1 1
3. Considere os polinômios A(x) e B(x), do 3º grau, defini-
dos a seguir, e faça o que se pede.
A(x) 5 (x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)
B(x) 5 x 2 x2 1 2x 2 24
a) Determine o termo independente do polinômio A(x).
b) Determine o termo independente do polinômio B(x).
c) Determine a soma dos coeficientes do polinômio A(x).
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio B(x).
e) Determine o conjunto das raízes do polinômio A(x).
f) Calcule A(2), B(2), A() e B().
g) Mostre que A(x) ä B(x).
h) Calcule A(i ) e B(i ).
i) Determine o conjunto das raízes do polinômio B(x).
j) Esboce os gráficos dos polinômios A(x) e B(x).
k) Resolva a inequação x3 2 9x 1 6x 2  < .
É correto afirmar que:
• A(x) é um polinômio divisível tanto por B(x) quanto
por Q(x).
• B(x) é o quociente da divisão de A(x) por Q(x).
• As raízesdo polinômio B(x) também são raízes do
polinômio A(x).
• As raízes do polinômio Q(x) também são raízes do
polinômio A(x).
• O conjunto das raízes de A(x) é a união dos conjuntos
das raízes de B(x) e Q(x).
Saiba mais
Revisando
78 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
4. Escreva, na forma geral, o polinômio do 3º grau que
modela o gráfico a seguir.
–4
20–2 3
y
x
5. Qual polinômio pode estar representado no gráfico a
seguir?
y
x
a) x(x 1 )
b) 2x(x 1 )
c) 2x3(x 1 )
d) x( 2 x)
e) x(x 2 )
6. Considere os polinômios P(x), Q(x) e R(x):
P(x) 5 x 2 5x2 1 4x 2 2
Q(x) 5 2x 2 2x2 1 7
R(x) 5 3x2 2 5x 1 
Agora, determine os polinômios denidos em cada item:
a) A(x) 5 P(x) 1 Q(x) 1 R(x)
b) B(x) 5 xP(x) 2 Q(x)
c) C(x) 5 P(x) ? R(x)
d) D(x) 5 P(x) 1 R(x 2 )
7. Efetue a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x)
sendo:
A(x) 5 x 2 x4 1 14x 2 23x2 1 1x 2 15
B(x) 5 2x 1 4x2 1 3x 1 8
79
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N
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 2
6. Sobre dois polinômios do 3º grau A(x) e B(x), são feitas
as seguintes afirmações:
I. A(x) 1 B(x) resulta num polinômio do º grau.
II. A(x) ? B(x) resulta num polinômio do 6º grau.
Então, podemos concluir que:
a) A afirmação I não é necessariamente correta; a
afirmação II é necessariamente correta.
b) A afirmação I é necessariamente correta; a afirma-
ção II não é necessariamente correta.
c) As duas afirmações são, necessariamente, corretas.
d) A afirmação I está correta se e somente se a afir-
mação II também estiver correta.
e) Nenhuma das duas afirmações é necessariamen-
te correta.
7. Considere uma caixa cúbica de madeira sem tampa,
cuja aresta mede x cm.
x cm
x cm
x cm
Se as placas de madeira usadas na confecção das fa-
ces laterais e da base a caixa têm 1 cm de espessura,
então o volume de ar em centímetros cúbicos com-
preendido pela caixa pode ser expresso por:
a) x
3
1 5x
2
2 8x 1 4
b) x
3
2 5x
2
1 8x 2 4
c) x
3
1 5x
2
1 8x 2 4
d) x
3
2 5x
2
1 8x 1 4
e) x
3
2 5x
2
2 8x 2 4
1. Se P e Q são polinômios na variável x de graus m e n,
respectivamente, tal que 0 < n < m, então o grau do
polinômio (P 2 Q)(P 1 Q) deve ser
a) m
b) n
c) 2m
d) 2n
e) m 1 n
2. EEAR-SP 2016 Dado o polinômio: ax

1 (a1 b)x

1
1 cx 1 d –  5 0, os valores de a e b para que ele
seja um polinômio de 
o
 grau são
a) a 5  e b 5 
b) a 5  e b = 
c) a 5  e b = 
d) a 5 – e b 5 
3. Dados os polinômios P
1
(x) 5 x

1 mx

1 nx 1  e
P

(x) 5 x

1 mx 1 n e sabendo que P
1
(21) 5 Q(3) e
P

(0)527, os valores dem e n, são, respectivamente,
a) –6 e –.
b) –6 e .
c) 6 e –.
d) 6 e .
e) –6 e –.
4. Uece 2019 Considerando o polinômio P(x) 5 x 1
1 x

1 x 1 1 é correto afirmar que o valor da soma
2 1 2P( 1) P
1
3
 é um número localizado entre
a) 5, e 5,5.
b) 4, e 4,5.
c) 4,5 e 5,.
d) 5,5 e 6,.
5. EsPCEx-SP 2018 Determine o valor numérico do
polinômio p(x) 5 x4 1 x

1 x

1 x 1 017 para
x 5 9.
a) 5 2 
b) 5 8 26
c) 6 42 8
d) 65 62 6
e) 6 2 
Exercícios propostos
8. Sendo o polinômio P(x) 5 x

1 x

2 x 2 , deter-
mine o quociente e resto das divisões de P(x) pelos
seguintes polinômios:
a) x – 2
b) x 1 
c) x
d) x – i
9. Uece 2021 Se o polinômio P(x)5 x51 x
4
1 x

1 x

1
1 x 1 k, onde k é um número real, é divisível por
x 2 1, então, o valor da soma P() 1 P(–) é
a) .
b) .
c) 2.
d) 4.
10. EEAR-SP 2022 Sejam A e B os restos das divisões de
P(x) 5 x

2 3x

2 x 1  por, respectivamente, x 1 
e x 2 3. Desta forma, pode-se afirmar que
a) A 5 B
b) A 5 2B
c) B 5 2A
d) A 5 2B
80 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
8. Em dias de greve de funcionários do transporte públi-
co o departamento de trânsito de certa cidade utiliza
o polinômio P(x) 5 20,25x4 1 x 1 x2 1 50 para
estimar o número de quilômetros de engarrafamen-
tos em função do número x de horas antes ou depois
do meio-dia, de modo que x 5 0 representa meio-dia
(12 horas), x 5 1 representa 13 horas e x 5 21 repre-
senta 11 horas, por exemplo. A figura a seguir mostra o
gráfico da função y 5 P(x).
100
20
200
4 6 71–1–2–3–4 3 5
y
x
300
De acordo com o gráco e com a forma algébrica da
função y 5 P(x), o número máximo de quilômetros de
engarrafamento que pode ser estimado por esse po-
linômio é igual a:
a)  km.
b) 66 km.
c)  km.
d)  km.
e)  km.
9. UEG-GO 2015 Se o coeficiente do termo de maior
grau de um polinômio do 4º grau é 1 e suas raízes são
x 5 2i, x2 5 22i, x 5 3 e x4 5 4, então o polinômio
em questão é
a) x 2 x3 1 6x 2 x 1 
b) x 2 ix3 1 ix 1 x 1 
c) x 1 6x3 1 x 2 x 1 
d) x 2 x3 1 x 1 x 2 
10. Uece 2015 Se a expressão algébrica x2 1  se escre-
ve identicamente como a(x 1 1)2 1 b(x 1 1) 1 c onde a,
b e c são números reais, então o valor de a – b 1 c é
a) 9
b) 
c) 
d) 
11. Sendo a um número inteiro tal que P(x) 5 2x 1
1 ax2 2 7x 1 2a e Q(x) 5 2x2 2 x 1 4 1 a
sejam polinômios que satisfaçam a identidade
P(x) ä (x 1 a) ? Q(x 1 1), então:
a) a 5 
b) a 5 –
c) a 5 
d) a 5 –
e) a 5 
12. UFJF/Pism-MG 2020 A divisão de um polinômio
p(x) pelo polinômio x2 2 x resulta como quociente
2x2 1 x 1 1 e, por resto, o polinômio 3x. O resto da
divisão do polinômio p(x) por 2x 1 1 é igual a
a) −
1
2
b) −
3
4
c)
1
2
d)
3
4
e) 
13. Unicamp-SP 2021 Sejam p(x) e q(x) polinômios de
grau 2 tais que p(0) < q(0). Sabendo que p(1) 5 q(1) e
p(21) 5 q(21), o gráfico de f (x) 5 p(x) 2 q(x) pode ser
representado por
a)
0
y 5 f (x)
y
x121
b)
0
y 5 f (x)
y
x121
c)
0
y
x121
y 5 f (x)
d)
0
y
x
y 5 f (x)
121
14. O gráfico a seguir é exemplo de um modelo conhecido
como Burndown. Ele relaciona o esforço de trabalho
restante em trabalhadores por dia, ao número de dias
restantes para concluir uma determinada obra.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 Day 1 Day 2 Day 3 Day 4 Day 5 Day 6 Day 7 Day 8 Day 9 Day 10 Done
https://thiagothamiel.files.wordpress.com/2014/12/sprint-burndown.png
81
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 2
Esse tipo de gráco sempre apresenta duas funções
decrescentes f(x) e g(x) sendo, nesse exemplo, que:
• f (x) é função polinomial de primeiro grau e repre-
senta o ideal do planejamento.
• g(x) é função polinomial de grau maior e repre-
senta o andamento real da produção.
Assim, o período de produtividade alta, que acontece
quando g(x) > f (x), foi
a) do dia  ao dia .
b) do dia  ao dia .
c) do dia  ao dia .
d) do dia  ao dia .
e) do dia  ao dia  e do dia 9 ao dia .
15. O Popclock calculado a partir da nova Projeção
de População do Brasil serve para estimar a po-
pulação residente do Brasil, ajustada a cada segun-
do, utilizando as populações projetadas para 1º de
julho, cobrindo os anos de 2000 a 2020, extraídas
da Projeção de População do Brasil 2013. Elabora-
da pelo Método das Componentes Demográficas
(MCD) para cada uma das 27 unidades da fede-
ração, essa estimativa leva em consideração uma
população de partida verificada pelo Censo Demo-
gráfico de 2000, além das taxas de mortalidade,
fecundidade e migração internacional.
As populações mensais, com data de referência à
00:00 h dos dias 1º de cada mês, foram estimadas
mediante um ajuste de uma função polinomial, a partir
das populações anuais (em 1º de julho de cada ano)
compreendendo o período 2000-2020.
Com o objetivo de vericação da aderência do ajuste
polinomial aos dados observados, o gráco a seguir
compara os valores ajustados e projetados a partir do
cálculo das diferenças relativas e das taxas de cresci-
mento em cada caso:
Diferenças relativas entre as populações
projetadas e ajustadas
0,000125
0,000100
0,000075
0,000050
0,000025
–0,000025
–0,000050
–0,000075
–0,000100
–0,000125
0,000000
Fonte: http://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/notatecnica.html.
Acesso em: 10 mar. 2022.
Observando-se o número de pontos em que este
gráco intercepta algumas linhas horizontais, pode-
-se concluir que o polinômio de menor grau possível
usado para vericar as diferenças relativas entre as
populaçõesprojetadas e ajustadas é de:
a) º grau.
b) º grau.
c) º grau.
d) º grau.
e) º grau.
16. Sabe-se que P(x) 5 2x 1 7x2 2 1x 1 15 é um poli-
nômio que admite uma única raiz real. Então, esta raiz
pertence ao intervalo:
a) ], [
b) ], [
c) ], [
d) ], [
e) ], [
17. FGV-SP Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o grá-
fico dado a seguir:
Os pontos de interseção com o eixo das abscissas são
(21, 0), (1, 0) e (3, 0).
O ponto de interseção com o eixo das ordenadas é
(0, 2). Portanto, o valor de P(5) é:
a) 
b) 6
c) 
d) 
e) 
18. Uesc-BA Considere um polinômio P(x) de grau n,
n > 0 e de coeficientes reais. Considere também dois
números reais quaisquer a e b, que não sejam raízes
de P(x), com a < b. O teorema de Bolzano (matemáti-
co checo, de origem italiana, 1781-1848) afirma:
1º) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, há um número
ímpar de raízes reais entre a e b.
2º) Se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, há um número
par de raízes reais entre a e b, ou não existem raízes.
Baseado no teorema de Bolzano, os valores reais de
k, em que o polinômio P(x) 5 x 2 3x2 1 4x 1 (k 1 7)
admita um número par de raízes entre os números 1 e
2, mas de modo que 1 e 2 não sejam raízes, denem
o conjunto:
a) R 2 [2,2]
b) R 2 [2, 26]
c) R 2 [2, 29]
d) R 2 [2, 2]
e) R 2 [2, 2]
82 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
19. Uern 2015
• Divisor: x 1 x;
• Resto:  2 x; e,
• Quociente: x 2 x 1 .
Logo, o dividendo dessa operação é
a) x 1 x 1 x 1 
b) 6x 1 x 1 x 1 
c) x 1 x 1 x 1 
d) 6x 1 x 1 x 1 
20. Famerp-SP 2018 As figuras indicam uma sequência
de empilhamento de cubos de 1 cm. Da primeira pilha
em diante, os volumes das pilhas, em cm, são iguais a
1, 5, 14, 30, 55, e assim sucessivamente.
1 114 11419 11419116
Sabe-se que a soma 1 1 22 1 32 1 42 1 52 1 ... 1 x2 é
um polinômio do terceiro grau, dado por P(x) 5 mx 1
1 nx2 1 px, com m, n e p racionais. Portanto, P(1) 5 1,
P(2) 5 5, P(3) 5 14, P(4) 5 30 e assim por diante. Nas
condições dadas, m é igual a
a)
1
2
b)
5
6
c)
2
3
d)
1
6
e)
1
3
21. EEAR-SP 2021 Dados os polinômios P(x) 5 x2 1
1 ax 2 3b e Q(x) 5 2x 1 2ax 2 b, ambos divisíveis
por (x 2 1), então a soma a 1 b é:
a)
1
3
b)
2
3
c)
3
4
d)
7
5
22. Dividindo-se o polinômio P(x) por x2 1 1 obtém-se
quociente x 2 7 e resto x 1 2. Nessas condições po-
demos afirmar que o resto da divisão do polinômio
P(x) por x 2 10 é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
23. Dividindo P(x) 5 x 2 3x 1 8 por D(x) 5 x 2 2, obtém-
-se Q(x) 5 ax4 1 bx 1 cx2 1 dx 1 e e resto R(x) 5 f,
com a, b, c, d, e e f números reais. Podemos afirmar
que o valor de a 1 b 1 c 1 d 1 e – f é igual a
a) 6
b) 
c) –6
d) –
e) –6
24. Unesp 2014 O polinômio P(x) 5 ax 1 2x 1 b é di-
visível por x 2 2 e, quando dividido por x 1 3, deixa
resto 245. Nessas condições, os valores de a e b,
respectivamente, são
a)  e .
b)  e .
c) – e .
d)  e 6.
e)  e –.
25. ESPMSP 2013 O resto da divisão do polinômio
x
 2 3x2 1 1 pelo polinômio x2 2 1 é:
a) x 2 
b) x 1 
c) x 2 
d) x 1 
e) x 2 
26. UEM-PR 2020 Sejam p1(x) 5 x
 1 bx2 1 cx 1 d um
polinômio de grau 3 e p(x) um polinômio de grau 2,
ambos com coeficientes reais. Sabe-se que a 5 1 e
a2 5 −2 são raízes de p1(x) e que as raízes de p(x)
são todas complexas e não reais, denotando por a
uma terceira raiz de p1(x). Assinale o que for correto.
 O grau do polinômio soma p1(x) 1 p(x) é igual a .
 Existe um único valor para a3, de tal forma que
b 5 .
 O coeficiente d é um número par.
 É possível dividir p1(x) por p(x) com resto zero.
 O polinômio produto p1(x) ? p(x) possui somente
duas raízes reais.
Soma:
27. PUC-Rio 2020 Considere o polinômio p(x) 5 x 1
1 bx 1 cx2 1 d. Sabemos que p(0) 5 1, p(1) 5 0 e
p(21) 5 0. Quanto vale p(2)?
a) –
b) –
c) 
d) 
e) 
28. Famema-SP 2022 Os restos das divisões de um poli-
nômio D(x) por x 1 2 e por x 2 4 são, respectivamente,
4 e –2. O resto da divisão de D(x) por x2 2 2x 2 8 é
a) .
b) x 1 .
c) x – .
d) –x 1 
e) –x – .
29. UEPB 2012 Para que o resto da divisão de 2x4 2 3x 1
1 mx 2 2 por x 2 1 seja independente de x, deve-
mos ter:
a) m 5 2
b) m 5 
c) m 5 
d) m 5 
e) m 5 
30. Ifal 2012 Seja P(x) 5 x 2 2x2 1 3x 2 5 um polinômio.
O resto da divisão de P(x) pelo binômio 5 2B( )
1
2
x x é:
a) um número natural.
b) um número inteiro negativo.
c) um número racional positivo.
d) um número racional negativo.
e) um número irracional.
83
F
R
E
N
T
E
 2
31. UFTM-MG Dividindo-se o polinômio p(x) 5 3x4 2 2x 1
1 mx 1 1 por (x 2 1) ou por (x 1 1), os restos são iguais.
Nesse caso, o valor de m é igual a
a) –
b) –
c) 
d) 
e) 
32. Uece 2020 Se R(x) é o resto da divisão do polinômio
P(x) 5 (x2 1 x 1 1)2 pelo polinômio Q(x) 5 x2 2 x 1 1,
então, o valor numérico de R(2) é igual a
a) .
b) .
c) .
d) .
33. UEA-AM 2021 Considere o polinômio p(x) 5 x 1
1 x2 2 4x 1 k, em que k é um número real não nulo.
Se o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) é 2, o resto da
divisão de p(x) por (x 1 3) é igual a
a) –.
b) .
c) .
d) .
e) –.
34. PUC-Rio 2020 Considere o polinômio p(x) 5 x 2 x.
Quantas soluções reais positivas tem a equação
5p( )
1
10
x ?
a) .
b) .
c) .
d) .
35. UFF-RJ O polinômio p(x) 5 x4 2 2x 1 5x2 2 8x 1 4 tam-
bém pode ser escrito sob a forma: p(x) 5 (x 2 1)n(x2 1 s),
n é N e s é R. O valor de n 1 s é:
a) 
b) 
c) 
d) 6
e) 
36. Uerj Numa auto estrada verificou-se que a velocidade
média do tráfego, V, entre meio-dia e seis horas da
tarde, pode ser expressa pela seguinte função:
V(t ) 5 at 1 bt2 1 ct 1 40
Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t
é o número de horas transcorridas após o meio-dia e
a, b e c são constantes a serem determinadas. Veri-
cou-se, ainda, que à 1 hora, às 5 horas e às  horas da
tarde, as velocidades médias eram, respectivamente,
81 km/h, 5 km/h e 7 km/h. O número de vezes, em
um determinado dia, em que a velocidade média do
tráfego atinge 2 km/h, entre o meio-dia e seis horas
da tarde, é exatamente igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
37. Ufam 2020 Um polinômio P(x) de coeficientes intei-
ros, quando dividido por x 2 2, tem resto 10, e quando
dividido por 2x 2 3 tem resto 8. O resto da divisão de
P(x) por 2x2 2 7x 1  é dado por:
a) R(x) 5 x 1 
b) R(x) 5 x 1 
c) R(x) 5 x 1 
d) R(x) 5 x 1 
e) R(x) 5 6x 1 
38. Uece 2021 Ao dividirmos o polinômio P(x) 5 (x 2 3) 1
1 (x 2 2)2 por (x 1 1)(x 2 1) obtemos o resto na forma
R(x) 5 ax 1 b. Nestas condições, o valor de a2 2 b2
é igual a
a) –.
b) –99.
c) –.
d) –9.
39. Se P(x) 5 x4 2 3x 1 2x2, qual a alternativa que melhor
representa o gráfico de P(1 2 x)?
a)
b)
c)
d)
e)
40. UEG-GO 2013 A divisão do polinômio x 1 2x2 2 5x 2 
por (x 1 1)(x 2 2) é igual a:
a) x 2 
b) x 1 
c) x 2 6
d) x 1 6
84 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
41. Uern 2012 O valor de n para que a divisão do polinô-
mio P(x) 5 2x 1 5x2 1 x 1 17 por d(x) 5 2x2 1 nx 1 4
tenha resto igual a 5 é um número
a) menor que –6.
b) negativo maior que –.
c) positivo menor que .
d) par e maior que .
42. Unicamp-SP 2022 O polinômio p(x) 5 2x 1 ax2 1
1 bx 1 c é divisível por 2x2 2 x 1 4. O valor de
c 1 2b 2 a é:
a) 9.
b) .
c) .
d) .
43. Efomm-RJ 2021 Para que polinômio p(x) 5 x 2 4x4 1
1 2x 1 kx2 2 3x 2 2 seja divisível pelo polinômio
q(x) 5 1 2 x2, o valor de k deve ser um número
a) múltiplo de .
b) múltiplo de 6.
c) áureo.
d) primo.
e) quadrado perfeito.
44. Se 2(x2 2 x 1 1) 5 (x 2 m) 2 (x 2 n) para todo
x é R, o valor de (m 1 n) é
a) .
b) .
c) .
d) 6.
e) 9.
45. Qual deve ser o valor de k para que o resto da divisão
do polinômio 5
2
P( )
2
1
1
x
x k
x x
x x
 por 5
2
Q( ) 2
1 1
x x
seja igual a –12?
46. Unioeste 2019 Se o número real a é raiz do polinômio
P(x) e o número real b é raiz do polinômio Q(x) então é
CORRETO afirmar que
a) (a 1 b) é raiz de P(x) 1 Q(x).
b) a e b são raízes de P(x) 1 Q(x).
c) (a ? b) é raiz de P(x) ? Q(x).
d) a e b são raízes deP(x) ? Q(x).
e) (a 1 b) é raiz de P(x) ? Q(x).
47. Udesc 2019 Seja p(x) um polinômio de grau três tal
que p(0) 5 , p(1) 5 1, p(2) 5 4 e p(3) 5 . É correto
afirmar que p(4) é igual a:
a) 
b) 6
c) 
d) 
e) 
48. UFRGS 2019 A soma dos coeficientes do polinômio
P(x) 5 (1 2 x 1 x2 2 x 1 x4)  é
a) 
b) 
c) 
d) 
e)  
49. Uece 2019 Se P(z) é um polinômio do quarto grau na
variável complexa z, com coeficientes reais, que sa-
tisfaz as seguintes condições: P(i ) 5 P(2i ) 5 P(i 1 1) 5
5 P(1 2 i ) 5 0 e P(1) 5 1, então P(21) é igual a
Observação: i é o número complexo cujo quadrado
é igual a –1.
a) 
b) –
c) 
d) –
50. FGV-SP Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divi-
são de 5x 1 (m 2 12)x2 1 (m2 2 2m)x 2 2m2 1 p 1 
por x 2 2, respectivamente. Permutando-se os coe-
ficientes de Q(x) obtém-se o polinômio Q'(x) tal que
Q'(x) 5 R(x) para qualquer x é R Se m e p são constan-
tes reais positivas, então, m 1 p é igual a
a) 
b) 
c) 6
d) 
e) 
51. UPF-RS 2019 O resto da divisão do polinômio
p(x) 5 1 x 1 2 pelo polinômio q(x) 5 x 2 1 é
a) 
b) 
c) 
d) 2
e) 2
52. Uefs-BA 2018 O resto da divisão de um polinômio do
terceiro grau p(x) por (x 2 3) é igual a 24. Sabendo
que as raízes do polinômio p(x) são –3, 1 e 2, o valor
de p(0) é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
53. UEGGO 2018 Os restos da divisão do polinômio
( ) 2
1
2
2
1
2
14 3 25 2 1 2 1p x x x x x pelos polinô-
mios ( ) 25 2q x x e ( ) 85 2h x x são r e s, respec-
tivamente. Dessa forma, r 1 s é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 6
85
F
R
E
N
T
E
 2
54. UFJF 2018 O resto da divisão do polinômio p(x) 5 x 2 1
pelo polinômio q(x) 5 x 2 2,2 é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
55. Uece 2018 Se o polinômio p(x) 5 x 1 ax 1 x é di-
visível pelo polinômio d(x) 5 x 1 bx, onde a e b são
números reais, então, a relação entre a e b é
a) a 2 ab 1 b 5 
b) b 2 ab 1  5 
c) a 2 ab 1  5 
d) b 2 ab 1 b 5 
56. UPF-RS 2018 Considere o polinômio
P(x) 5 4x 2 x2 2 (5 1 m)x 1 3. Sabendo que o resto
da divisão de P pelo monômio x 1 2 é 7, determine o
valor de m.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
57. FGV-SP 2018 (Adapt.) O polinômio P(x) 5 x2 2 5x 1
1 k2, em que k é C, tem 3x 2 4 como um de seus
fatores. Assim, necessariamente, k será um número
a) imaginário puro.
b) racional não inteiro.
c) irracional.
d) inteiro.
e) positivo.
58. Mackenzie-SP 2017 Os valores de R, P e A para que a
igualdade
1 2
2
5 1
1
1
2
2 5 1 R P
1
A
1
2
3
x x
x x x x x
 seja
uma identidade são, respectivamente,
a) ,  e –
b) , – e 
c) , – e 
d) ,  e –
e) –,  e 
59. FICSAE-SP 2017 O resto da divisão de um polinômio
do segundo grau P pelo binômio (x 1 1) é igual a 3.
Dado que P(0) 5  e P(1) 5 5, o valor de P(3) é
a) –
b) –9
c) 
d) 9
60. FGV-SP 2017 O polinômio P(x) 5 x 2 x 2 1 tem uma
raiz real r tal que:
a)  < r < 
b)  < r < 
c)  < r < 
d)  < r < 
e)  < r < 
61. Uece 2017 O termo independente de x no desenvolvi-
mento da expressão algébrica (x2 2 1) ? (x2 1 x 1 2)2 é
a) 
b) –
c) 
d) –
62. Unicamp-SP 2017 Considere o polinômio p(x) 5 xn 1
1 xm 1 1, em que n > m . 1. Se o resto da divisão de
p(x) por x 1 1 é igual a 3, então
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
63. Uefs 2017 Considerando-se que o polinômio
P(x) 5 x 1 ax2 1 bx 1 c tem 1 como raiz dupla e 3
como raiz simples, é correto armar que o resto da
divisão de P(x) por (x 1 1) é
a) –
b) –
c) –6
d) –
e) –
64. Uece 2017 O resto da divisão do polinômio D(x) 5
5 x 2 5x 1 4x pelo polinômio d(x) 5 x 2 2 4x 1 1
é o polinômio do segundo grau r(x). A solução real,
não nula, da equação r(x) 5 0 pertence ao intervalo
a) [, ]
b) [, ]
c) [, ]
d) [2, ]
65. UFJF 2017 Qual é o polinômio que ao ser multiplicado
por g(x) 5 3x 1 2x2 1 5x 2 4 tem como resultado o
polinômio h(x) 5 3x 1 11x 1 8x4 1 x 2 17x2 1 4x?
a) x3 1 x 1 x
b) x3 1 x 2 x
c) x3 1 x 1 x
d) x3 1 x 1 x
e) x3 1 x 2 x
66. UEGGO 2016 Na divisão do polinômio
x4 2 2x 2 8x2 1 10x 2 2 pelo divisor x2 1 3x 2 2, o
resto multiplicado por 2 é
a) 2x 1 
b) x 1 
c) 2x 1 
d) x 1 
e) 2x 2 
86 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
67. ESPM-SP 2016 O quociente e o resto da divisão do
polinô mio x
2
1 x 2 1 pelo binômio x 1 3 são, respec-
tivamente:
a) x 2 2 e 5.
b) x 1 2 e 6.
c) x 2  e 2.
d) x 1  e 0.
e) x 2  e 22.
68. Cefet-MG 2016 Se uma das raízes do polinômio
P(x) 5 x
4
2 8x
2
1 ax 1 b é  e P(1) 5 9, então o valor
de a
5
2 4b é
a) –6
b) –2
c) 6
d) 2
69. Uece 2016 O resto da divisão de (x2 1 x 1 1)2 por
x
2
2 x 1 1 é
a) x
b) (x 2 )
c) (x 2 2)
d) (x 2 )
70. PUC-RS 2016 O polinômio p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx,
em R é divisível por (x 2 1). Podemos afirmar que
p(p(1)) é
a) 2
b) 0
c) 
d) a 1 b 1 c
e) 2a 1 b 2 c
71. UPF 2015 Se o polinômio P(x)5 x42 x21 mx1 p é
divisível por D(x) 5 x
2
1 1, o valor de m 2 p é:
a) 2
b) 2
c) 0
d) 2
e) 
72. UFJF 2015 Dado o polinômiop(x)5ax31bx21 cx1d
com a, b, c e d números reais. Qual deve ser a relação
entre os números a, b, c e d para que o polinômio p(x)
seja divisível pelo polinômio x2 1 1?
a) a 5 2d; c 5 d
b) a 5 c; b 5 d
c) a 5 2c; b 5 2d
d) a 5 d; c 5 2b
e) a 5 b 5 c 5 d
73. Cefet-MG 2015 Os polinômios A(x) 5 x2 2 3x 1  e
B(x) 5 x
4
2 x
3
1 kx
2
2 3x 2  têm uma única raiz
em comum. Os valores possíveis para k são números
a) pares.
b) primos.
c) inversos.
d) ímpares.
e) simétricos.
74. FGV-SP 2015 Se x2 2 x 2 1 é um dos fatores da fa-
toração de mx
3
1 nx
2
1 1, com m e n inteiros, então,
n 1 m é igual a
a) 22
b) 2
c) 0
d) 
e) 2
75. PUC-RS 2015 Se p(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d, onde a,
b, c, d são nú meros reais, e sabendo que p(x) é divisí-
vel por x 1 1, podemos afirmar que:
a) a 1 c > b 1 d
b) a 1 c 5 b 1 d
c) a 1 c < b 1 d
d) a 1 b 1 c 1 d 5 0
e) a 1 b 1 c 1 d 5 
76. PUC-Rio 2014 Assinale a alternativa correta:
a) x ä (x 2 2)(x 1 2x 2 ) 1 6
b) x ä (x 2 2)(x 1 2x 1 x 1 ) 1 6
c) x ä (x 2 2)(x 1 2x 1 x 1 ) 2 6
d) x ä (x 2 2)(x 2 2x 2 ) 1 
e) x ä (x 2 2)(2x 1 2x 2 ) 1 
77. ESPM-SP 2019 O polinômio P(x)5a ? xb1b ? xc1 c ? xa
é tal que os números a, b e c são naturais consecuti-
vos, nessa ordem. Sabendo-se que o resto da divisão
de P(x) por (x 2 1) é igual a 9, podemos afirmar que o
resto da divisão de P(x) por (x 1 1) é igual a:
a) 
b) 
c) 2
d) 5
e) 
78. FMP-RJ 2016 Seja f : R ñ R a função polinomial defi-
nida por f (x) 5 x
4
2 3x
3
1 3x 2 9.
O fato de x 5 3 ser um zero da função f é equivalente
ao fato de o polinômio x
4
2 3x
3
1 3x 2 9 ser divisível
por
a) x 2 
b) x 1 
c) 
d) x 2 
e) x
79. UFSJ 2012 Dado o polinômio p(x) 5 x4 2 3x3 2 3x2 1
1 11x2  é CORRETO afirmar que
a) p(0) é um número de cinco algarismos.
b) tem quatro raízes distintas.
c) na divisão por x 1 2 apresenta resto igual a .
d) é divisível por x 2 .
80. ITA-SP 2018 Seja p(x) um polinômio não nulo. Se
x
3
2 3x
2
1 x 2  e x
3
2 x
2
1 8x 2 4 são divisores
de p(x), determine o menor grau possível de p(x).
87
F
R
E
N
T
E
 2
Texto complementar
Regressão linear e polinomial
O procedimento denominado regressão polinomial permite que valo-
res de duas grandezas distintas sejam relacionados algebricamente por
meio de uma função polinomial cujo grau pode ser escolhido a partir de
parâmetros definidos.
Suponha que os dados de um experimento sejam representados
por pontos em um sistema cartesiano de coordenadas. Pela distribuição
dos momentos é possível observar quais são as melhores opções de
modelagem polinomial.
54321
y
x
0
2
4
6
8
6 7
Traçando uma curva entre os pontos, como indicado, obtemos um
polinômio de grau elevado que nem sempre é indicado, pois ele pode
apresentar oscilações que escapam do intervalo dos dados. Além disso,
é bastante comum haver erros significativos no processo de coleta dos
dados de polinômios de graus altos.
54321
y
x
0
2
4
6
8
6 7
Pode-se, então,traçar a curva de forma a obter um polinômio de grau
menor, nesse caso um polinômio do 3º grau.
54321
y
x
0
2
4
6
8
6 7
E ainda, se for conveniente para a situação apresentada, é possível
traçar uma curva de modo que os dados sejam modelados por um po-
linômio de grau 2.
54321
y
x
0
2
4
6
8
6 7
Até mesmo um polinômio de 1º grau, representado graficamente
por uma reta, pode ser suficientemente adequado para a mode-
lagem desses dados. Nesse caso, denominamos o processo de
regressão linear.
54321
y
x
0
2
4
6
8
6 7
Os valores dos coeficientes do polinômio obtido pela regressão linear
ou polinomial são calculados utilizando modelos estatísticos estudados
em cursos de ensino superior.
Veja, por exemplo, uma fórmula que permite determinar os coeficientes
a e b de uma função linear do primeiro grau pelo método dos mínimos
quadrados:
( )
( )
( )
( )( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑n
a
n xy x y
n x x
b
y x x xy
x x
2 2
2
2 2
5
2
5
2
2
Texto elaborado para fins didáticos.
88 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Resumindo
Quer saber mais?
Livro
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática elementar: complexos/polinômios/equações. 8ª. ed. p. 53-. São Paulo: Atual, 01.
Nas páginas indicadas do livro Fundamentos da Matemática Elementar é possível retomar os estudos de polinômios e ainda
exercitar com questões que envolvem esse assunto.
Site
Marinho, Adília. Curiosidades sobre o matemático francês Évariste Galois (1811-183). Clube da Matemática. SPM, 5 out 01.
Disponível em: https://clube.spm.pt/news/curiosidades-sobre-o-matemtico-francs-variste-galois-nascido-a-5-de-outubro-de-1811.
Acesso em: 8 mar. 0.
Conheça um pouco a história do matemático Évariste Galois e sua importante contribuição – a teoria dos grupos.
Vídeo
Arte e Matemática – Números e funções. Série: Matemática na Escola. IME – Unicamp. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/
recursos/1051. Acesso em: 8 mar. 0.
Exercícios complementares
Funções polinomiais
f (x) 5 a0x
n 1 a1
2 1 1 a
2  1 ... 1 an2 x
 1 an2 1x 1 an
f (x) 5 a0 ? (x 2 a1) ? (x 2 a) ? (x 2 a3) ? ... ? (x 2 an), sendo a1, a, a3, ..., an as raízes dessa função.
Propriedades
f () 5 an é o termo independente da variável x do polinômio f (x).
P() 5 a0 1 a1 1 a 1 ... 1 an é a soma dos coeficientes do polinômio f (x).
Se f (a) 5 , então a é uma das raízes ou um dos zeros de f (x).
Teorema de Bolzano
Se P(a) ? P(b) < , então a equação P(x) 5  admite pelo menos uma raiz real no intervalo ]a, b [.
Identidade polinomial
A(x) ä B(x) ^ a0 5 b0, a1 5 b1, a 5 b, ..., an 5 bn
Teorema de Descartes
A(x) B(x)
~ A(x) ä B(x) ? Q(x) 1 R(x)
R(x) Q(x)
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x 2 a) é igual a P(a).
Teorema de D’Alambert
Um polinômio P(x) é divisível por um binômio ax 1 b se e somente se 2 5P 0( )ba .
1. PUC-SP A produção diária de certo produto por um
determinado operário é avaliada pela expressão
8x 1 x2 2 x unidades, x horas após as 8 horas da
manhã, quando começa o seu turno. Qual a produção
durante a quarta hora de trabalho?
2. Fuvest-SP 2022 Suponha que o polinômio p(x) 5 x 1
1 mx 2 2, em que m é um número real, tenha uma raiz
real dupla a e uma raiz real simples b. O valor da soma
de m com a é:
a)  b) 2 c) 2 d) 2 e) 2
89
F
R
E
N
T
E
 2
10. UEG-GO 2021 Considere o polinômio
P(x) 5 x4 2 3x 2 3x2 1 7x 1 . Sabendo-se que 21 é
raiz dupla da equação P(x) 5 0, as outras raízes dessa
equação são
a)  e 
b)  e 
c)  e 
d)  e 
e)  e 
11. UFSC 2020 Considerando os gráficos dos polinômios
p(x) 5 ax 1 bx2 1 cx 1 d e h(x) 5 mx 1 n represen-
tados a seguir, é correto afirmar que:
0
y
x
21
21
22
232425 2 4
5
B
2
1
5 6 72 1
A
 o polinômio p pode ser expresso por
p(x) 5 (x 1 2)(x 2 1)(x 2 3).
 o resto da divisão do polinômio p por 2 1
4
3
4
2
x
x
é zero.
 o polinômio h pode ser expresso por h(x) 5 2x 1 .
 se o resultado da soma p(x) 1 h(x) é q(x), então o
polinômio q tem grau  e seu termo independen-
te é .
 p(2) 5 2.
 o polinômio p é crescente para x é (2ÿ, 2) í
(, 1ÿ).
 a área do triângulo que possui como vértices os
pontos A, B e a origem do sistema de coordena-
das cartesianas é igual a  unidades de área.
Soma:
12. UFF-RJ Uma parte do esboço do gráfico de uma fun-
ção polinomial f é dada na figura:
Sabe-se que a função f possui somente três raízes: a
raiz x 5 2 e outras duas que são reais e simétricas.
Determine:
a) a expressão polinomial que define f.
b) o(s) intervalo(s) em que f é positiva.
3. UFMS 2021 De um polinômio P(x), sabe-se que:
I P() 5 
II P(–) 5 
III O resto de sua divisão por x 1 x 2  é o polinô-
mio R(x) 5 ax 1 b.
Sendo assim, é correto armar que:
a) R(–) 5 –.
b) R() 5 .
c) R() 5 .
d) R(–) 5 .
e) R() 5 .
4. UEG-GO 2021 No polinômio p(x) 5 x2 1 mx 2 3, sa-
be-se que x 5 24 é uma raiz desse polinômio. Nessas
condições, o valor de m é
a) zero
b)
13
4
c) –
d)
12
5
e)
15
7
5. EEAR-SP 2022 Sabe-se que os polinômios A(x) e B(x)
têm grau 4 e que P(x) 5 A(x) ? B(x) e T(x) 5 A(x) 1 B(x)
são polinômios não nulos. Assim, pode-se afirmar que
os graus de P(x) e T(x) são, respectivamente, ____ e
menor ou igual a ____.
a) ; 
b) ; 
c) ; 
d) ; 
6. Mackenzie-SP O resto da divisão de P(x) 5 x4 1 x 1
1 x2 1 ax 1 b por x2 1 1 é 3. Calcule o valor de
(a 1 b).
7. Sendo P(x) um polinômio, sabe-se que gr[P(x)] . 2 e
que P(22) 5 25 e P(3) 5 15. Se Q(x) é o quociente da
divisão de P(x) por D(x) 5 (x 1 2) ? (x 2 3), determine o
resto da divisão de P(x) por D(x).
8. UFRJ O polinômio P(x) 5 x 2 2x2 2 5x 1 d, d é R, é
divisível por (x 2 2).
a) Determine d.
b) Calcule as raízes da equação P(x) 5 .
9. UFF-RJ Considere os polinômios p(x) 5 2x 1 2x2 1
1 7x 2 1 e q(x) 5 2x2 2 x 2 1. Calcule:
a) os valores do número complexo z, tais que
p(z) 5 q(z);
b) o número real k e o polinômio do primeiro grau
r(x) tais que p(x) 5 (x 2 k) ? q(x) 1 r(x).
90 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
16. Uerj Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma
competição.
A curva abaixo, cuja equação é e 5 t 1 at2 1 bt 1 c,
representa a posição e, em metros, do ciclista, em fun-
ção do tempo t, em segundos, em que a, b e c são
números reais xos.
e
No instante em que o ciclista parte da posição zero, o
corredor inicia um movimento, descrito pela equação
e 5 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Deter-
mine a posição mais afastada da origem na qual o
ciclista e o corredor voltam a se encontrar.
17. UFF Considere o polinômio p(x) 5 x 2 3x 1 2 e a fun-
ção real de variável real f definida por 5( )
1
( )
f x
p x
.
Sabe-se que uma das raízes de p(x) é 1. Escreva o do-
mínio de f sob a forma de intervalo.
18. UFJF 2019 Observe as divisões entre polinômios
apresentadas a seguir:
2( ) 4 3
2 ( )1
p x x
q x
( 2) ( ) 4 3
( )
3
2
2 ? 2x p x x
r q x
Calcule o resto r da segunda divisão.
19. UFJF 2018 Determine o polinômio P(x) de grau 4 que
satisfaz todas as propriedades abaixo:
I. P(2x) 5 P(x), para todo x real.
II. P(2) 5 .
III. O produto de suas raízes é igual a .
IV. O resto da divisão de P(x) por x3 1  é um polinô-
mio de grau .
20. Unicamp-SP 2017 Sabendo que a e b são números
reais, considere o polinômio cúbico p(x) 5 x 1 ax2 1
1 bx 1 1.
a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x) então
1
r
 é uma
raiz do polinômio q(x) 5 x3 1 bx 1 ax 1 .
b) Determine os valores de a e b para os quais a
sequência (p(2), p(), p()) é uma progressão
aritmética (PA), cuja razão é igual a p().
21. UFU 2017 Considere os polinômios p(x) 5 x 1 2a 1 b
e h(x) 5 x4 1 a 2 2b, em que a e b são constantes
reais e x é uma variável real. Determine os valores de
a e b para os quais esses polinômios sejam divisíveis
por x 2 4.
13. Unirio Seja f um polinômio de grau 4, cujo gráfico é
dado pela seguinte figura:
0
1,51
y
x
–1
–
27
16
Sabendo que zero é raiz tripla de f, determine:
a) A lei que define f.
b) Os valores de x < , tais que2 < f (x) , .
14. Unicid-SP 2020 Parte do percurso de uma montanha-
-russa segue exatamente o gráfico de um polinômio
P(x), de grau 3, com raízes inteiras e que compõem
uma progressão aritmética de razão 1. Sabendo que a
divisão de P(x) pelo binômio (x 2 2) deixa resto zero,
que o gráfico de P(x) passa pela origem do plano
cartesiano e que, para x 5 0,5, o carrinho da mon-
tanha-russa atinge a altura de 21 metros em relação
ao eixo das abscissas, pode-se afirmar que a altura,
em relação ao eixo das abscissas, que o carrinho da
montanha-russa estará quando x 5 1 vale
a)  m.
b)  m.
c) 6 m.
d)  m.
e)  m.
15. UFT-TO 2020 A função y 5  1 Bx2 1 Cx 1 D é
representada pelo gráfico a seguir. Assinale a alterna-
tiva CORRETA que fornece os valores dos números
reais A, B, C e D, respectivamente.
x
y
2
a) −
1
2
 ,
1
2
 e –
b) –, ,  e –
c)
1
2
, –, −
1
2
 e –
d) , –, – e 
91
F
R
E
N
T
E
 2
22. UFJF 2016 Sabendo que o polinômio p(x) 5 ax 1
1 bx 1 2 é divisível por (x 1 1)2, determine a e b.
23. Unicamp-SP 2015 Seja (a, b, c, d) uma progressão
geométrica (PG) de números reais, com razão q = 0
e a = 0.
a) Mostre que 5 2
1
x
q
 é uma raiz do polinômio cú-
bico p(x) 5 a 1 bx 1 cx 1 dx3.
b) Sejam e e f números reais quaisquer e con-
sidere o sistema linear nas variáveis x e y,
5
a c
d b
x
y
e
f
. Determine para que valores da
razão q esse sistema tem resolução única.
24. UFPE 2013 Determine o polinômio com coeficientes
reais p(x) 5 ax 1 bx2 1 cx, tal que p(x 1 1) 2 p(x) 5
5 x2 e indique a2 1 b2 1 c2.
25. UFPE Sabendo que
2 1
1 2
5 1
1
1
2 4
2
A B
2
2
3 2
x x
x x x x x
1
2
C
1x
, assinale A 1 B 1 2C.
26. FGVSP Os vértices do quadrado na figura a seguir
representam, no plano de Argand-Gauss (plano com-
plexo), todas as raízes de um polinômio p(x) cujo
coeficiente do termo de maior grau é 1.
a) Determine a expressão do polinômio p(x).
b) Calcule o resto da divisão de p(x) pelo polinômio
q(x) 5 x3 2 x 1 x 2 .
27. Insper 2016 Considere um polinômio P(x) do 4º grau,
de coeficientes reais, tal que:
• P(2) 5 P() 5 P() 5 
• P() e P() são, ambos, números positivos.
Nessas condições, os sinais dos números P(25), P(4)
e P() são, respectivamente,
a) positivo, negativo e negativo.
b) positivo, negativo e positivo.
c) negativo, negativo e negativo.
d) negativo, positivo e negativo.
e) negativo, positivo e positivo.
28. FGVSP 2016 Sabendo-se que o resto da divisão do
polinômio P(x) 5 x 2 x2 1 2k 1 2 por x 2 3 é igual a
4k 2 220, o valor de k é
a) –
b) –
c) 
d) 
e) 
29. IFSC 2014 Dado o polinômio 2 1 11x 2 x2 1 x é
CORRETO afirmar que:
a) Trata-se de um polinômio de grau 6.
b) A fatoração do polinômio é (x 2 )(x 2 )(x 2 ).
c) Se dividirmos o polinômio por x 2  o polinômio
quociente é x 2 x 1 .
d) O grau do polinômio é .
e) Podemos dividir o polinômio por x5 2 6x 1 x 2 6
e obteremos como resposta o monômio x.
30. Cefet-MG 2013 Perdeu-se parte da informação que
constava em uma resolução de um problema, pois o
papel foi rasgado e faz-se necessário encontrar três
dos números perdidos que chamaremos de A, B e C
na equação abaixo.
2
1 1
1
2
5
2 2
1 1 2
A 2
3
B
2 1
C 9 C
2 5 32
2
3 2
x
x x x
x x
x x x
O valor de A 1 B 1 C é
a) –
b) –
c) 
d) 
e) 
31. Esc. Naval-RJ 2013 Sejam F(x) 5 x 1 ax 1 b e
G(x) 5 2 1 2x 2  dois polinômios na variável real x,
com a e b números reais. Qual valor de (a 1 b) para
que a divisão
F( )
G( )
x
x
 seja exata?
a) –
b) –
c) 
d) 
e) 
32. Udesc 2012 Seja r(x) o resto da divisão do polinômio
p(x) 5 4x2 1 3x 1 5 por q(x) 5 2x2 2 x 2 1. Se
f (x) 5 2x 1 k e f (g(x)) 5 r(x), então o valor da cons-
tante k para que o conjunto solução da inequação
g(x) . 10 seja {x é R | x . 3} é:
a) –
b) –
c) 
d) 
e)
−
32
5
92 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
33. UFPR Determine m e n de modo que o resto da divi-
são do polinômio y
5
2 my
3
1 n por y
3
1 3y
2
 seja 5.
a) m 5 19; n 5 –
b) m 5 19; n 5 1
c) m 5 –4; n 5 –
d) m 5 14; n 5 1
e) m 5 –9; n 5 –
34. Udesc 2012 Sejam q(x) e r(x) respectivamen-
te, o quociente e o resto da divisão de f (x) 5
5 6x
4
2 x
3
2 x
2
2 3x 1 7 por g(x) 5 2x
2
1 x 1 1.
Oproduto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a:
a) −
7
3
b) 
c)
3
5
d) 
e)
5
3
35. A figura representa o trecho do gráfico do polinômio
de coeficientes reais P(x) onde ocorrem todas as suas
interseções com os eixos coordenados.
–1 5
y
x
–3
Assinale a alternativa que apresenta o conjunto solu-
ção da inequação P(x) ? P(x 1 2) < 0.
a) {x é R | x > }
b) {x é R | x < 2}
c) {x é R |  < x < }
d) {x é R | x < }
e) {x é R | 2 < x < 2 ou  < x < }
36. FMABC-SP 2021 Considere as constantes reais a, b
e c e os polinômios p(x) 5 ax
3
1 bx
2
1 cx 1 1 e
q(x) 5 x
3
1 3x
2
1 ax – c. Sabendo que p(1) 5 20,
p(2) 5 22 e q(–1) 5 –3, o produto abc vale
a) .
b) .
c) –4.
d) –.
e) –.
37. Ifal Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio
(x2 2)(x2 )(x2 5) obtém-se resto x1 3. Se os restos
das divisões de p(x) por x 2 2, x 2  e x 2 5 são, res-
pectivamente, os números A, B e C, então ABC vale
a) 
b) 8
c) 
d) 8
e) 
38. Quais devem ser os valores de a e b, a, b é R, para
que o polinômio P(x) 5 x3 2 x
2
2 5ax1 6b seja divi-
sível pelo polinômio Q(x) 5 x
2
1 2x 2 3?
39. UCPel Na divisão do polinômio P(x)5 x3 1mx2 2 3x1 
por x2 2 o resto é 1. Nessas condições, o valor dem é
a) –
b) 
c) –
d) 
e) –
40. UPE Para que o polinômio 6x3 2  1 2mx 2 (m 1 1)
seja divisível por x 2 3, o valor da raiz quadrada do
módulo de m deve ser igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
41. UEPG-PR 2020 Considerando que um polinômio P(x)
possui três raízes reais dadas por x1 5 –3, x2 5 1 e
x3 5 2, assinale o que for correto.
 O resto da divisão de P(x) por x 1  é
75
8
.
 P(x) ? (x 1 x 1 ) é um polinômio de grau .
 P(x) é um polinômio de terceiro grau.
 O quociente de P(x) por x –  é x 1 x 1 9.
 P(x) não é divisível por x 1 x 1 .
Soma:
42. UFPE Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais,
com coeficiente líder 1, de grau , satisfazendo:
p(x) 5 p(2x) para todo x real, p(0) 5  e p(1) 5 21.
Parte do gráfico de p(x) está esboçado a seguir.
0 3
10
15
20
25
30
25
223 1
5
2
y
x
Analise as armações a seguir, acerca de p(x).
J p(x) 5 x
4
1 6x
2
1 .
J As raízes de p(x) são 6 63 5 , para qualquer es-
colha dos sinais positivos e negativos.
J As raízes de p(x) são 6 610 2
2
 para qualquer
escolha dos sinais positivos e negativos.
J p(x) 5 (x
2
2 3)
2
1 5.
J O valor mínimo de p(x) ocorre em 5 6 3x .
93
F
R
E
N
T
E
 2
43. O resto da divisão do polinômio P(x) 5 2x 1 2kx 1 8t
pelo polinômio D(x) 5 x2 2 x 1 3 é igual a 10, então
podemos afirmar que k t vale:
a) 
b) –
c) 
d) –
e) 6
44. Unemat Seja Q(x) o quociente da divisão do polinô-
mio P(x) 5 x4 2 1 pelo polinômio D(x) 5 x 2 1, é correto
afirmar.
a) Q() 5 
b) Q() < 
c) Q() 5 
d) Q(2) 5 
e) Q() 5 
45. Uece Se Q(x) é o quociente da divisão de x
2 1 2 por
x 1 1 e Q2(x) é o quociente da divisão de x
2 1 2 por
x 2 1, então Q(3) 1 Q2(4) é igual:
a) 
b) 
c) 9
d) 
46. Uerj Considere o polinômio P(n) 5 (n 1 1)(n2 1 3n 1 2),
n é N. Calcule:
a) a quantidade de paralelepípedos retângulos
de bases quadradas e volumes numericamente
iguais a P(), cujas medidas das arestas são ex-
pressas por números naturais.
b) o valor da expressão: 1 ? 1 ? 17 4 7 5 7 2
344
9 6 3
2
( )
.
47. Unicamp-SP Seja p(x) 5 x 2 12x 1 1.
a) Verifique que x 5  é raiz de p(x).
b) Use fatoração para mostrar que se x >  e x = ,
então p(x) > .
c) Mostre que, entre todos os prismas retos de bases
quadradas que têm volume igual a  m³, o cubo é
o que tem menor área total.
48. UFMS 2021 (Adapt.) Considere um bloco reto-retan-
gular. Ele tem seu volume igual x 1 x2 1 23x 1 15.
O valor da soma das medidas de todas as arestas
desse sólido é igual a:
a) (x 1 ).
b) (x 1 ).
c) (x 1 ).
d) 6(x1 ).
e) (x 1 ).
49. UFSC Um polinômio p(x) de grau n > 2, dividido por
x – 3, dá resto 5, e dividido por x 1 1, dá resto 2. Então,
qual é o resto da divisão de p(x) por (x – 3)(x 1 1)?
50. Unicamp-SP 2022 Seja a um número real e conside-
re o polinômio f (x) 5 x 1 (a 1 1)x2 1 (a 1 2)x 1 2, que
tem x 5 21 como uma de suas raízes.
a) Determine todos os valores de a tais que x 5 2
é única raiz real.
b) Determine todos os valores de a tais que as solu-
ções de f (x) 5  sejam números inteiros.
51. Sabe-se que a energia cinética E de um corpo, em
Joules, sua massa m, em quilogramas, e sua veloci-
dade v, em metros por segundo, obedecem à relação
5
?
E
2
2
m v
.
Um determinado corpo é arremessado para o ar e so-
fre deterioração perdendo massa enquanto está em
movimento de tal forma que sua energia cinética, em
Joules, seja expressa pelo polinômio E(t ) 5 212,5t 1
1 225t2 2 1 200t 1 2 000 com t em segundos a partir
do momento do arremesso.
Determine a expressão m(t) que fornece a massa em
quilograma do corpo em função do tempo em segun-
dos, sabendo que a velocidade desse corpo, em m/s,
é dada por v(t) 5 20 2 5t.
52. FGV-SP Determine os valores de A, B e C de modo que:
1 1
1 1
5 1
1
1
1
3 6 2
3 2
A B
1
C
2
2
3 2
x x
x x x x x x
53. AFASP 2016 Considere os polinômios Q(x) 5
5 x2 2 2x 1 1 e P(x) 5 x 2 3x2 2 ax 1 b, sendo
a e b números reais tais que a2 2 b2 5 28.
Se os grácos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que
pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO
armar sobre as raízes de P(x) que
a) podem formar uma progressão aritmética.
b) são todas números naturais.
c) duas são os números a e b.
d) duas são números simétricos.
54. AFASP 2015 Considere o polinômio p(x) 5ax4 1bx 1
1 2x2 1 1, {a, b} ú R e marque a alternativa FALSA.
a) x 5  não é raiz do polinômio p(x).
b) Existem valores distintos para a e b tais que x 5 
ou x 5 2 são raízes de p(x).
c) Se a 5  e b 5 , o resto da divisão de p(x) por
x 2 x 1  é zero.
d) Se a 5 b 5  tem-se que 5 2
1
2
x i é uma raiz de
p(x), considerando que i 5 2.
55. Unicamp-SP 2016 Considere o polinômio cúbico
p(x) 5 x 1 x2 – ax – 3, onde a é um número real.
Sabendo que r e –r são raízes reais de p(x), podemos
afirmar que p(1) é igual a
a) 
b) 
c) –
d) –
94 MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
56. AFA-SP Sobre o polinômio A(x) expresso pelo determi-
nante da matriz 2
x
x
x x
1 1
1 2
1
 é incorreto afirmar que
a) não possui raízes comuns com B(x) 5 x2 2 1.
b) não possui raízes imaginárias.
c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes.
d) é divisível por P(x) 5 x 1 2.
57. UnicampSP 2018 Sejam p(x) e q(x) polinômios com
coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por q(x), obtém-se
quociente e resto iguais a x1 . Nessas condições, é
correto afirmar que
a) ao grau de p(x) é menor que 5.
b) o grau de q(x) é menor que 3.
c) p(x) tem raízes complexas.
d) q(x) tem raízes reais.
58. ITA-SP 2017 Considere o polinômio p(x) 5
5 ( ) ( ) ( )x x x x1 2 3 3 2 3 1 4 3 24 3 21 1 1 2 1 1 .
a) Determine os números reais a e b tais que
p(x) 5 (x
2
1 ax 1 1)(x
2
1 bx 1 2).
b) Determine as raízes de p(x).
59. ITA-SP 2015 Seja S o conjunto de todos os polinô-
mios de grau 4 que têm três dos seus coeficientes
iguais a  e os outros dois iguais a .
a) Determine o número de elementos de S.
b) Determine o subconjunto de S formado pelos po-
linômios que têm 21 como uma de suas raízes.
60. ITA-SP Considere o polinômio p(x) 5 a5x
5
1 a4x
4
1
1 a3x
3
1 ax

2 a1, em que uma das raízes é x 5 2.
Sabendo-se que a1, a, a3, a4 e a5 são reais e formam,
nesta ordem, uma progressão aritmética com 5
1
24
a ,
então p(2) é igual a
a) –25
b) –27
c) –36
d) –39
e) –0
61. ITA-SP Um polinômio P é dado pelo produto de 
polinômios cujos graus formam uma progressão geo-
métrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual
a  e o grau de P é , então o de maior grau tem
grau igual a
a) 30
b) 32
c) 3
d) 36
e) 38
62. ITASP 2021 Seja p(x) um polinômio com coeficientes
inteiros tal que p() 5  e  , p() < . Então, p()
é igual a:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
63. ITASP 2020 Determine todos os números in-
teiros k entre  e  para os quais o polinômio
p
k
(x) 5 x
3
2 x

2 k possui uma única raiz inteira. Para
cada um desses valores de k, determine a raiz inteira
correspondente.
64. ITA-SP A identidade
x
x
a
x
bx c
x x
4
1
1
1 1
3
3 3
1
1
5 1
1
1
1
2 1
é válida para todo número real x = 2. Determine
a 1 b 1 c.
65. IME-RJ 2020 Um polinômio P(x) de grau maior que 
quando dividido por x 2 , x 2  e x 2  deixa restos
,  e , respectivamente. O resto da divisão de P(x)
por (x 2 )(x 2 )(x 2 ) é:
a) 1
b) x
c) 30
d) x 2 1
e) x 2 30
66. IME-RJ 2018 Seja P(x) o polinômio de menor grau que
passa pelos pontos 2 1A 2, 4 3 3 ,( ) 2B 1, 3 2 2 ,( )
C 2, 3( ) eD 3, 2 .( ) O resto da divisão de P(x) por
(x 2 ) é:
a) 2 28 3 5 2 6
b) 2 26 3 4 2 1
c) 2 29 3 8 2 2
d) 2 24 3 10 2 3
e) 2 24 3 2 6
67. IME-RJ 2016 Seja P(x) 5 x 1 ax 1 b. Sabe-se que
P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afir-
mar que para todo valor a e b
a) P(21)P(1) < 0
b) P(21)P(1) 5 0
c) P(21) 1 P(1) 5 2
d) P(0)P(1) 5 0
e) P(0) 1 P(1) 5 0
68. IME-RJ 2015 Os coeficientes a0, ..., a014 do polinômio
P(x) 5 x
015
1 a014x
014
1 ... 1 a1x 1 a0 são tais que
a
i
é {, }, para  , i , 4.
a) Quais são as possíveis raízes inteiras de P(x)?
b) Quantos polinômios da forma acima têm duas raí-
zes inteiras distintas?
69. IME-RJ 2015 Qual o resto da divisão do polinômio
x
6
2 x
5
2 x
4
1 x
4
2 x
3
1 x

 pelo polinô-
mio x
3
2 x

2 x 1 ?
a) x2 1 x 2 2
b) 6x2 2 x 1 3
c) 3x 2 9
d) 6x2 2 17x 2 3
e) 6x 1 1
95
F
R
E
N
T
E
 2
70. IME-RJ 2017 O polinômio P(x) 5 x 2 bx2 1 80x 2 c
possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se
que duas das raízes de polinômio são divisoras de 80
e que o produto dos divisores positivos de c menores
do que c é c2. Qual é o valor de b?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 9
71. IME-RJ Encontre o polinômio P(x) tal que Q(x) 1 1 5
5 (x 2 1) ? P(x) e Q(x) 1 2 é divisível por x4, onde Q(x)
é um polinômio do º grau.
72. ITA-SP 2018 Se x é um número real que satisfaz
x
 5 x 1 2, então x é igual a
a) x 1 x 1 9
b) x 1 6x 1 
c) x 1 6x 1 
d) x 1 x 1 9
e) 9x 1 x 1 
73. AFA-SP 2022 Considere o polinômio P(x) 5
5 5x2n 2 4x2n 1  − 2, em que n é um número natural.
Dividindo P(x) por (x 1 1), o resto r encontrado é tal que
a) r < 
b)  , r < 
c)  , r < 
d) r . 
74. ITA-SP 2016 Considere o polinômio p com coeficien-
tes complexos definido por:
p(z) 5 z4 1 (2 1 i )z 1 (2 1 i )z2 1 (2 1 i )z 1 (1 1 i )
Podemos armar que
a) nenhuma das raízes de p é real.
b) não existem raízes de p que sejam complexas
conjugadas.
c) a soma dos módulos de todas as raízes de p é
igual a  1 2 .
d) o produto dos módulos de todas as raízes de p é
igual a 2.
e) o módulo de uma das raízes de p é igual a 2 .
75. ITA-SP 2016 Determine o termo constante do resto da
divisão do polinômio (1 1 x 1 x2)4 por (1 1 x).
76. ITA-SP 2015 Considere o polinômio p dado por
p(x) 5 2x 1 ax2 1 bx 2 1, com a, b é R. Sabendo-se
que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, então
o valor de b 2 a é igual a
a) –6
b) –
c) 6
d) 
e) 
77. ITA-SP 2015 Seja p o polinômio dado por p(x) 5
5
50
15
∑ a xj
j
j
, aj é R, j 5 0, 1, ..., 15, e a = 0. Sabendo-
-se que i é uma raiz de p e p(2) 5 1, então o resto da
divisão de p pelo polinômio q, dado q(x) 5 x 2 2x2 1
1 x 2 2, é igual a
a) 2
1
5
1
5
2
x .
b) 1
1
5
1
5
2
x .
c) 1
2
5
2
5
2
x .
d) 2
3
5
3
5
2
x .
e) 1
3
5
1
5
2
x .
78. ITA-SP Um polinômio real
5
( )
0
5
∑p x a xn
n
n
 com a 5 4,
três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o
sistema
1 1 5
1 1 5
1 1 5
2 5 0
4 2 6
2 2 2 5
a b c
a b c
a b c
.
Sabendo que a maior das raízes é simples e as de-
mais têm multiplicidade dois, pode-se armar que p(1)
é igual a
a) –
b) –
c) 
d) 
e) 6
79.ITA-SP Considere o polinômio 5
5
( )
0
15
∑p x a xn
n
n
 com
coeficientes a 5 21 e an 5 1 1 i ? an2 , n 5 1, 2, ..., 15.
Das armações:
I. p(2) é R
II. , 1 1 \ é 2( ) 4 3 2 5 , [ 1, 1]( )p x x
III. a8 5 a
é(são) verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) II e III.
80. ITA-SP O polinômio de grau 4
(a 1 2b 1 c)x4 1 (a 1 b 1 c)x 2 (a 2 b)x2 1
1 (2a 2 b 1 c)x 1 2(a 1 c),
com a, b, c é R, é uma função par. Então, a soma dos
módulos de suas raízes é igual a
a) 13 3
b) 12 3 3
c) 12 2
d) 11 2 2
e) 12 2 2
BNCC em foco
1.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a)
b)
c)
d)
e)
EM13MAT402
EM13MAT502
EM13MAT506
MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios
Equações polinomiais
O desenvolvimento da linguagem algébrica permite a codificação de problemas que pos-
suem números como soluções, impulsionando a criatividade no uso das técnicas usadas
para se obter a solução. A Álgebra se estabelece como manifestação do pensamento
matemático de forma valiosa para atividades cotidianas, como o uso do computador e
do celular. Imagine o quanto os conceitos matemáticos precisaram ser estudados e de-
senvolvidos para que cada peça de tecnologia a sua volta pudesse vir a existir!10
CAPÍTULO
FRENTE 2
98 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Equações de uma variável
Equações são sentenças matemáticas abertas que
traduzem um problema. Pode-se escrever uma equação
partindo de uma sentença matemática fechada expressa
por relação de igualdade e omitindo um dos seus valores
numéricos.
O valor omitido é chamado de incógnita da equação. O
valor da incógnita costuma ser representado por uma letra,
sendo bastante comum o uso das letras x e y.
Veja o exemplo de uma sentença fechada:
(12 2 15)2 1 11 5 20
Verifica-se que a sentença é verdadeira, pois efetuando
as operações indicadas no 1º membro, chega-se de fato ao
valor apresentado no 2º membro da igualdade. Observe:
• A diferença apresentada entre os parênteses é:
12 2 15 5 23;
• O quadrado dessa diferença: (23)2 5 9;
• Efetuando-se a adição, obtemos: 9 1 11 5 20.
De fato 20 5 20.
Agora, considere que um dos valores numéricos do
1º membro da sentença seja desconhecido. Podemos usar
a letra x para representar esse número.
(x 2 15)2 1 11 5 20
Essa equação pode ser trazida pela seguinte questão:
Embora se tenha omitido o número 12 na sentença
fechada original, ele não é a única resposta da pergunta. O
número 18 também é uma resposta possível. Veja:
18 2 15 5 3
32 5 9
9 1 11 5 20
Solução de uma equação
Os números que são respostas de uma equação tam-
bém são chamados de soluções da equação. As soluções
de uma equação costumam ser apresentadas como ele-
mentos de um conjunto numérico denominado: conjunto
solução da equação.
Como no item anterior, vimos que os números 12 e
18 são as únicas respostas que satisfazem a equação
(x 2 15)2 1 11 5 20. Por isso, o conjunto solução S dessa
equação é S 5 {12, 18}.
O conjunto solução de uma equação deve possuir
todas as soluções dessa equação e nenhum elemento
a mais.
Escrever o conjunto solução de uma equação na in-
cógnita x indica que x é S, ou seja, “x” é um elemento que
pode, nesse caso, assumir mais de um valor numérico. Por
esse motivo, a incógnita de uma equação também costuma
ser chamada de variável.
Equações com uma variável
Há diferentes tipos de equações matemáticas que po-
dem ser classificadas de acordo com o número de variáveis
e as operações ou funções que a exprimem.
O quadro a seguir mostra alguns tipos de equações
com apenas uma variável, que são estudadas no Ensino
Médio:
O conjunto solução de uma equação, dependendo
do conjunto universo em que sua variável está definida,
pode ser:
O conjunto numérico em que a variável de uma equa-
ção está definida é chamado de domínio. A solução de uma
equação numérica deve pertencer ao domínio da equação.
Considere, por exemplo, a equação 2x 1 15 5 13. Se o
domínio dessa equação é D 5 N, essa equação não possui
solução, pois x 5 21. Caso o domínio seja o conjunto dos
números inteiros (Z), a solução dessa equação é S 5 {21}.
Note que:
2x 1 15 5 13, com x é N, temos que S 5 0;
2x 1 15 5 13, com x é Z, temos que S 5 {21}.
Considerando o quadro das equações, veja algumas
possibilidades para o conjunto solução das equações dadas.
• Equação modular: |2x 1 3| 5 x 1 3
Considerando x é N, o conjunto solução dessa equa-
ção é S 5 {0}; caso tenhamos x é Z, o conjunto solução
é S 5 {0, 22}.
• Equação exponencial: 10x 5 20
Considerando x é Q, o conjunto solução dessa equa-
ção é S 5 0; caso tenhamos x é R, o conjunto solução é
S 5 {1 1 log 2} .
99
F
R
E
N
T
E
 2
• Equação trigonométrica: cos x 5 21
Considerando x é [0, 2p], o conjunto solução dessa
equação é S 5 {p}; caso tenhamos x é R, o conjunto solu-
ção é S 5 {p 1 k ? 2p, k é Z}.
• Equação do 3º grau: x 1 x 5 x2 1 1
Considerando x é R, o conjunto solução dessa equa-
ção é S 5 {1}; caso tenhamos x é C, o conjunto solução
é S 5 {1, i, 2i}.
• Equação do 4º grau: x 5 1
Considerando x é N, o conjunto solução dessa equa-
ção é S 5 {2}; caso tenhamos x é R, o conjunto solução é
S 5 {2, 22}. E, ainda, se x é C, temos S 5 {2, 22, 2i, 22i }.
• Equação do 5º grau: x 1 9x 5 0
Considerando x é R, o conjunto solução dessa equa-
ção é S 5 {0}; caso tenhamos x é C, o conjunto solução é
S 5 {0, 3i, 23i }.
Equações polinomiais de uma
variável
Quando dois polinômios não idênticos A(x) e B(x) são
comparados por uma relação de igualdade, a sentença ma-
temática aberta obtida é chamada de equação algébrica
ou equação polinomial.
A(x) 5 B(x)
Equações algébricas são equivalentes quando pos-
suem o mesmo conjunto solução. O símbolo ^ pode ser
usado para indicar que duas equações são equivalentes.
A(x) 5 B(x) ^ A(x) 2 B(x) 5 0
Assim, considerando um polinômio P(x) idêntico à
diferença entre os polinômios A(x) e B(x), pode-se dizer
que obter os elementos do conjunto solução da equação
A(x) 5 B(x) significa determinar as raízes do polinômio
P(x), tal que P(x) 5 A(x) 2 B(x). Ou seja:
A(x) 2 B(x) 5 0 ^ P(x) 5 0
Sendo assim, toda equação polinomial pode ser ex-
pressa por:
52
5
∑ 0
0
a x
p
n p
p
n
Ou ainda por:
a 1 a
2  1 a 2 2 1 ... 1 an2 2x
2 1 an2 x 1 an 5 0
Atenção
Nos casos em que P(x) é uma função constante, P(x) 5 0
é uma sentença matemática fechada e, portanto, verdadeira
ou falsa independentemente do valor de x.
• P(x) ä k
Se P(x) for o polinômio nulo (k 5 0), todo número com-
plexo será solução da equação P(x) 5 0, e, se P(x) não for
o polinômio nulo (k = 0), então nenhum número complexo
será solução da equação.
Para um melhor entendimento destes casos particula-
res, pode-se representar o polinômio P(x) como uma função
do tipo ax 1 k em que a 5 0.
P(x) 5 0 ? x 1 k
Dessa forma, considerando a equação P(x) 5 0 no uni-
verso dos números complexos, seu conjunto solução terá
apenas duas possibilidades.
• Se k 5 0, então: 0 ? x 1 0 5 0 ~ S 5 C.
• Se k = 0, então: 0 ? x 1 k 5 0 ~ S 5 0.
Grau de uma equação polinomial
O grau de uma equação algébrica representada na for-
ma P(x) 5 0 coincide com o grau do polinômio P(x). Entre os
principais conhecimentos associados às equações polino-
miais estão as relações existentes entre o grau da equação
e a quantidade de soluções que ela possui de acordo com
o domínio de sua variável. Essas relações serão enunciadas
ao longo do capítulo.
Podemos dizer que nenhuma equação polinomial pos-
sui mais soluções do que o número que representa o seu
grau, ou seja:
• Equações de grau zero não possuem soluções.
• Equações do 1º grau possuem no máximo uma solu-
ção cada.
• Equações do 2º grau possuem no máximo duas solu-
ções cada.
• Equações do 3º grau possuem no máximo três solu-
ções cada.
æ
• Equações de grau n possuem no máximo n soluções
cada.
Soluções de uma equação polinomial
A existência de soluções de uma equação do tipo
P(x) 5 0 depende de algumas características do polinô-
mio P(x) como o grau do polinômio, o domínio e a série
dos coeficientes.
Como visto acima, o número de soluções de uma equa-
ção polinomialestá limitado pelo seu grau. Assim, sendo n
o grau da equação e s o número de elementos do conjunto
solução, tem-se, primeiramente, que s , n.
O domínio da variável de uma equação depende, prin-
cipalmente, do contexto de aplicação da função polinomial.
O contexto pode ser combinatório, geométrico, temporal
ou físico, entre outros.
Veja o exemplo do polinômio A(x) 5 x 2 3x2 1 2x, que
fornece o número de arranjos com 3 elementos extraídos
de um mesmo conjunto J com x elementos. Nesse caso, o
domínio da função é o conjunto dos números naturais: x é N.
100 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Primeiramente observe o fato de que, se o conjunto J
for vazio (x 5 0), unitário (x 5 1) ou binário (x 5 2), então
não será possível extrair dele algum arranjo com 3 elemen-
tos. Isso é mostrado pelos seguintes valores numéricos do
polinômio A(x):
A(0) 5 0 2 3 ? 02 1 2 ? 0 5 0 2 0 1 0 5 0
A(1) 5 1 2 3 ? 12 1 2 ? 1 5 1 2 3 1 2 5 0
A(2) 5 2 2 3 ? 22 1 2 ? 2 5 8 2 12 1  5 0
Se J possuir exatamente 3 elementos, então será pos-
sível extrair dele  arranjos com 3 elementos:
A(3) 5 3 2 3 ? 32 1 2 ? 3 5 2 2 2 1  5 
Se J possuir exatamente  elementos, então será pos-
sível extrair dele 2 arranjos com 3 elementos:
A() 5  2 3 ? 2 1 2 ?  5  2 8 1 8 5 2
E assim por diante.
Depois, considere que esse polinômio seja usado
para se descobrir qual quantidade de elementos deve
possuir o conjunto J, para que possam ser feitos exata-
mente 20 arranjos distintos, com 3 de seus elementos.
Desse problema, vem a equação:
x
 2 3x2 1 2x 5 20
Sendo P(x) 5 A(x) 2 20, a equação fica expressa na
forma P(x) 5 0, por:
x
 2 3x2 1 2x 2 20 5 0
A equação cúbica (do 3º grau) obtida nesse exemplo
possui apenas uma solução natural, x 5 10:
x
 2 3x2 1 2x 2 20 5 0, com x é N,
então a solução é S 5 {10}.
Nesse exemplo, tem-se que:
• O grau da equação é n 5 3;
• O número de soluções é s 5 1.
Outro exemplo é o do polinômio V(x) 5 8x2 2 x, que
fornece o volume, em m, de um prisma quadrangular re-
gular cujas arestas da base medem x m. Neste caso, o
domínio da função não possui números negativos: x é R1.
Considere que esse polinômio seja usado para obter o
comprimento do lado da base que o prisma deve ter para
que seu volume seja de 2 m. Desse problema, vem a
equação:
8x2 2 x 5 2
Sendo P(x) 5 V(x) 2 2, a equação fica expressa na
forma P(x) 5 0, por:
2x 1 8x2 2 2 5 0
A equação cúbica anterior possui apenas duas solu-
ções reais positivas: x 5 2 e 5 13 21x .
2x 1 8x2 2 2 5 0, com x é R1,
então a solução é 5 1{ }S 2, 3 21 .
Nesse exemplo, tem-se que:
• O grau da equação é n 5 3;
• O número de soluções é s 5 2.
Não havendo restrição para os domínios das equações
polinomiais usadas nos dois exemplos acima, cada equação
teria três soluções complexas. Veja:
x
 2 3x2 1 2x 2 20 5 0 ~
~
2 2 2 1{ }S 10, 7 239
2
,
7 239
2
i i
8 24 0
3 2
x x2 1 2 5
{ }S 2, 3 21, 3 21~ 5 2 1
Nessas condições, tem-se, para ambos os exemplos, que:
• O grau da equação é n 5 3;
• O número de soluções é s 5 3.
No primeiro exemplo, a equação possui uma solu-
ção inteira e positiva e mais duas soluções complexas,
que são conjugadas uma da outra; no outro exemplo, a
equação possui uma solução inteira e positiva e mais
duas soluções irracionais, sendo uma positiva e outra
negativa.
Atenção
Mesmo sem restrições de coeficientes ou domínio,
isto é, com x é C, o número de soluções de uma equação
do tipo P(x) 5 0 pode variar de acordo com os coeficien-
tes do polinômio P(x). Exemplos:
• A equação x 1 x2 1 x 1  5 0, com x é C, possui
três soluções: S 5 {21, 2i, 22i }.
• A equação x 1 5x2 1 x 1 3 5 0, com x é C, possui
apenas duas soluções: S 5 {21, 23}.
• A equação x 1 3x2 1 3x 1 1 5 0, com x é C, possui
apenas uma solução: S 5 {21}.
Fórmulas resolutivas de equações polinomiais
A busca de expressões algébricas capazes de for-
necer as soluções de uma equação do tipo P(x) 5 0 em
função dos valores dos coeficientes do polinômio P(x)
foi objeto de estudo dos grandes matemáticos desde
a Antiguidade.
Os trabalhos de Diofanto de Alexandria (século III d.C.)
já tratavam de equações do 1º e 2º graus. No mundo
árabe, o matemático persa Abu Alcuarismi (século IX) apre-
sentou os primeiros métodos sistemáticos para resolver
esses tipos de equações. Os primeiros trabalhos a res-
peito das equações do 3º grau são de outro matemático
persa chamado Omar Caiam (século XI), mas o método
resolutivo desse tipo de equação só foi sistematizado
com contribuições de outros matemáticos italianos dos
séculos XV e XVI.
O método resolutivo das equações do º grau,
desenvolvido por Lodovico Ferrari (século XVI), ma-
temático italiano, consiste em utilizar uma variável
auxiliar que pode ser obtida ao resolver uma equação do
101
F
R
E
N
T
E
 2
3º grau. A partir daí, a comunidade matemática da épo-
ca passou a acreditar que seria possível resolver todas
as equações polinomiais de grau n introduzindo variáveis
auxiliares que poderiam ser encontradas resolvendo-se
equações de grau (n 2 1), mas, infelizmente, provou-se
que essa ideia estava errada.
A teoria desenvolvida nos séculos XVIII e XIX pelos
matemáticos Paolo Ruffini, Evariste Galois e Niels Abel
mostrou que nem todas as equações de grau maior que 5
poderiam ser resolvidas por processos similares àqueles
obtidos para as equações de grau inferior. O estudo para
obter um método de resolução dessas equações continua
até os dias de hoje.
Entre esses estudos, vale ressaltar um trabalho
publicado em 2019, de um matemático brasileiro cha-
mado Rodrigo Martinelli, que apresenta uma técnica
para resolver diversos tipos de equações do 5º grau e
que também pode ser usado para se resolver qualquer
equação do º grau.
Fórmula resolutiva de uma equação do 1º grau
As equações polinomiais do 1º grau podem ser ex-
pressas por:
ax 1 b 5 0, a = 0
Como essa equação só admite uma solução complexa,
sua fórmula resolutiva é dada por:
5 2x
b
a
Veja os exemplos a seguir:
I. 2x 1 8 5 0
Temos a 5 2 e b 5 8, então, a única solução da equa-
ção é 5 2 5 2 5 2
8
2
4x
b
a
.
Portanto, o conjunto solução dessa equação é S 5 {2}.
II. 2 53
7
2
0x
Temos a 5 3 e 5 2
7
2
b , então a única solução da
equação é 5 2 5 2
2
5
7
2
3
7
6
x
b
a
.
Portanto, o conjunto solução dessa equação é
5 { }S 76 .
III. 2x 1 (2 2 i ) 5 0
Temos a 5 21 e b 5 2 2 i, então a única solução é
5 2 5 2
2
2
5 2
2
1
2x
b
a
i
i .
Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 {2 2 i }.
Fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau
As equações polinomiais do 2º grau podem ser ex-
pressas por:
ax
2 1 bx 1 c 5 0, a = 0
Como essa equação pode admitir até duas soluções
complexas, suas fórmulas resolutivas são:
5
2 2 D
5
2 1 D
2
e
2
1 2
x
b
a
x
b
a
Nessas fórmulas, o parâmetro dentro das raízes qua-
dradas denomina-se discriminante e é dado por:
D 5 b2 2 ac
O número de soluções da equação e o conjunto numé-
rico à qual elas pertencem podem ser previstos pelo valor
desse parâmetro, da seguinte maneira:
• Se D > 0, então, a equação possui duas soluções reais.
• Se D 5 0, então, a equação possui apenas uma solu-
ção real.
• Se D < 0, então, a equação possui duas soluções não
reais conjugadas.
Veja os exemplos a seguir:
I. 4x 1 x 2  5 
Temos a 5 , b 5 3 e c 5 –1. Então, o discriminante
da equação é:
D 5 b2 2 ac 5 32 2  ?  ? (21) 5 9 1 1 5 25
E as soluções são:
5
2 2 D
5
2 2
?
5
2 2
5
2
5 2
5
2 1 D
5
2 1
?
5
2 1
5 5
2
3 25
2 4
3 5
8
8
8
1
2
3 25
2 4
3 5
8
2
8
1
4
1
2
x
b
a
x
b
a
Portanto, o conjunto solução da equação é 5 2{ }S 1, 14 .
II. x 1 6x 1  5 
Temos a 5 1, b 5  e c 5 9. Então, o discriminante da
equação é:
D 5 b2 2 ac 5 2 2  ? 1 ? 9 5 3 2 3 5 0
E as soluções são:
5
2 2 D
5
2 2
?
5
2 2
5
2
5 2
5
2 1 D
5
2 1
?
5
2 1
5
2
5 2
2
6 0
2 1
6 0
2
6
2
3
2
6 0
2 1
6 0
2
6
2
3
1
2
x
b
a
x
b
a
Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 {23}.
III. x 1  5 
Temos a 5 1, b 5 0 e c 5 9. Então, odiscriminante da
equação é:
D 5 b2 2 ac 5 02 2  ? 1 ? 9 5 0 2 3 5 23
E as soluções são:
5
2 2 D
5
2 2 2
?
5
2 2
5
2
5 2
5
2 1 D
5
2 1 2
?
5
2 1
5 5
2
0 36
2 1
0 6
2
6
2
3
2
0 36
2 1
0 6
2
6
2
3
1
2
x
b
a
i i
i
x
b
a
i i
i
Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 {23i, 3i }.
Fórmula resolutiva de uma equação do 3º grau
As equações polinomiais do 3º grau podem ser ex-
pressas por:
ax
 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, a = 0
102 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Como essa equação pode admitir até três soluções complexas, suas fórmulas resolutivas são:
5
2
1 2 1 2 1 2 2 2
5
2
1
2 1
? 2 1 2 1
2 2
? 2 2 2
5
2
1
2 2
? 2 1 2 1
2 1
? 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3
3
1 3
2 2 2 3
1 3
2 2 2 3
3
1 3
2 2 2 3
1 3
2 2 2 3
1
2 3
3
2 3
3
2
2 3
3
2 3
3
3
2 3
3
2 3
3
x
b
a
q q p q q p
x
b
a
i q q p i q q p
x
b
a
i q q p i q q p
Nessas fórmulas, os parâmetros dentro das raízes cúbicas e quadradas são:
5
2
5 2 1
3
3
e
2
27 3
2
2
3
3 2
p
b ac
a
q
b
a
bc
a
d
a
Em equações do 3º grau o parâmetro D é definido por: D 5 2
2 3
2 3
q p
.
O número de soluções da equação e o conjunto numérico à qual elas pertencem também podem ser previstos pelo
valor desses parâmetros, da seguinte maneira:
• Se D > 0, então, a equação possui uma solução real e duas soluções não reais conjugadas.
• Se D 5 0 e q 5 0, então, a equação possui apenas uma solução real.
• Se D 5 0 e q = 0, então, a equação possui duas soluções reais.
• Se D < 0, então, a equação possui três soluções reais.
Veja os exemplos a seguir:
I. x 2 x2 1 x 2 5 5 0
Temos a 5 1, b 5 –, c 5  e d 5 –5. Então, os primeiros parâmetros auxiliares são:
5
2
5
2 2 ? ?
?
5
2
5 5
5 2 1 5
2
?
2
2 ?
?
1
2
5
? 2
?
2
2 ?
?
1
2
5 2 1 2 5 2
⋅
3
3
( 6) 3 1 6
3 1
36 18
3
18
3
6
2
27 3
2 ( 6)
27 1
( 6) 6
3 1
( 5)
1
2 ( 6)
27 1
( 6) 6
3 1
( 5)
1
16 12 5 9
2
2
2
2
3
3 2
3
3 2
3
3 2
p
b ac
a
q
b
a
bc
a
d
a
O discriminante da equação vale:
D 5 2 5
2
2 5 2 5
2
5
2 3
9
2
6
3
81
4
8
81 32
4
49
4
2 3 2 3
q p
Então, a primeira solução da equação é:
5
2
1 2 1 D 1 2 2 D 5
22
?
1 2
2
1 1 2
2
2
5 1 1 1 2 5 1 1
5 1 1 5 1 1 5
3 2 2
( 6)
3 1
( 9)
2
49
4
( 9)
2
49
4
6
3
9
2
7
2
9
2
7
2
2
16
2
2
2
2 8 1 2 2 1 5
1
3 3 3 3
1
3 3 3 3
1
3 3
x
b
a
q q
x
x
Aproveitando as raízes cúbicas encontradas no cálculo de x, tem-se que as demais soluções da equação são:
5 1
2 1
? 1
2 2
? 5
2 1 2 2
5
1
5 1
2 2
? 1
2 1
? 5
2 2 2 1
5
2
2
1 3
2
2
1 3
2
1
4 2 2 3 1 3
2
1 3
2
2
1 3
2
2
1 3
2
1
4 2 2 3 1 3
2
1 3
2
2
3
x
i i i i i
x
i i i i i
Portanto, o conjunto solução da equação é 5
1 2{ }S 5, 1 3
2
,
1 3
2
i i
.
II. x 1 3x2 1 3x 1 1 5 0
Temos a 5 1, b 5 3, c 5 3 e d 5 1. Então, os primeiros parâmetros auxiliares são:
5
2
5
2 ? ?
?
5
2
5 5
5 2 1 5
?
?
2
?
?
1 5
?
2 1 5 2 1 5
3
3
3 3 1 3
3 1
9 9
3
0
3
0
2
27 3
2 3
27 1
3 3
3 1
1
1
2 27
27
9
3
1 2 3 1 0
2
2
2
2
3
3 2
3
3 2
p
b ac
a
q
b
a
bc
a
d
a
10
F
R
E
N
T
E
 2
O discriminante da equação vale:
D 5 2 5 2 5 2 5
2 3
0
2
0
3
0 0 0
2 3 2 3
q p
Então, a primeira solução da equação é:
5
2
?
1 2 1 1 2 2 5
2
1 1 1 2 5 2 1 1 5 2
3
3 1
0
2
0
0
2
0
3
3
0 0 0 0 1 0 0 1
1
3 3 3 3x
Aproveitando as raízes cúbicas encontradas no cálculo de x, tem-se que as demais soluções da equação são:
5 2 1
2 1
? 1
2 2
? 5 2 1 1 5 2
5 2 1
2 2
? 1
2 1
? 5 2 1 1 5 2
1
1 3
2
0
1 3
2
0 1 0 0 1
1
1 3
2
0
1 3
2
0 1 0 0 1
2
3
x
i i
x
i i
Portanto, como x 5 x2 5 x, o conjunto solução da equação é unitário: S 5 {21}.
III. 2x 1 x2 2 18x 2 5 5 0
Temos a 5 2, b 5 , c 5 –18 e d 5 –5. Então, os primeiros parâmetros auxiliares são:
5
2
5
2 ? ? 2
?
5
1
5 5
5 2 1 5
?
?
2
? 2
?
1
2
5 2
2
2 5 1 2 5 2
3
3
6 3 2 ( 18)
3 2
36 108
12
144
12
12
2
27 3
2 6
27 2
6 ( 18)
3 2
54
2
432
216
108
12
27 2 9 27 16
2
2
2
2
3
3 2
3
3 2
p
b ac
a
q
b
a
bc
a
d
a
O discriminante da equação vale:
D 5 2 5
2
2 5 2 2 5 2 5
2 3
16
2
12
3
( 8) 4 64 64 0
2 3 2 3
2 3q p
Então, a primeira solução da equação é:
5
2
?
1 2
2
1 1 2
2
2 5
2
1 1 1 2 5 2 1 1 5
6
3 2
( 16)
2
0
( 16)
2
0
6
6
8 0 8 0 1 2 2 31
3 3 3 3x
Aproveitando as raízes cúbicas encontradas no cálculo de x, tem-se que as demais soluções da equação são:
5 2 1
2 1
? 1
2 2
? 5
2 2 1 2 2
5
2
5 2
5 2 1
2 2
? 1
2 1
? 5
2 2 2 2 1
5
2
5 2
1
1 3
2
2
1 3
2
2
2 2 2 3 2 2 3
2
6
2
3
1
1 3
2
2
1 3
2
2
2 2 2 3 2 2 3
2
6
2
3
2
3
x
i i i i
x
i i i i
Portanto, como x2 5 x, o conjunto solução da equação é binário: S 5 {23, 3}.
Atenção
IV. x 2 x 1  5 0
Tem-se que a 5 1, b 5 0, c 5 – e d 5 . Assim, os primeiros parâmetros auxiliares são:
5
2
5
2 ? ? 2
?
5
1
5 5
5 2 1 5
?
?
2
? 2
?
1 5 2 1 5 1 1 5
3
3
0 3 1 ( 6)
3 1
0 18
3
18
3
6
2
27 3
2 0
27 1
0 ( 6)
3 1
4
1
0
27
0
3
4 0 0 4 4
2
2
2
2
3
3 2
3
3 2
p
b ac
a
q
b
a
bc
a
d
a
O discriminante da equação vale: D 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2
2 3
4
2
6
3
2 2 4 8 4
2 3 2 3
2 3q p .
Então, a primeira solução da equação é:
5
2
1 2 1 D 1 2 2 D 5
2
?
1 2 1 2 1 2 2 2
5 1 2 1 1 2 2 5 2 1 1 2 2
3 2 2
0
3 1
4
2
4
4
2
4
0 2 2 2 2 2 2 2 2
1
3 3 3 3
1
3 3 3 3
x
b
a
q q
x i i i i
10 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Neste ponto da resolução, para que sejam extraídas
as raízes cúbicas de 22 1 2i e 22 2 2i, recomenda-se o
uso das formas polares dos complexos.
Assim, sendo z 5 22 1 2i, tem-se:
5 2 1 5 5
5
| | ( 2) 2 8 2 2
Arg( ) 135
2 2
o
z
z
Então, uma das raízes cúbicas de z é o número com-
plexo w tal que:
5 5 5 5
5 5
| | | | 8 2 2
Arg( )
135
3
45
3 3 36
o
o
w z
w
.
Usando a forma trigonométrica dos números complexos:
5 1 ? 5 1 ? 5 12(cos45 sen45 ) 2
2
2
2
2
1
o o
w i i i
Por serem complexos conjugados, os números
22 1 2i e 22 2 2i possuem raízes cúbicas que também
são conjugadas uma da outra. Então, retornando à ex-
pressão resolutiva:
2 2 2 2 (1 ) (1 )
1 1 2
1
3 3 33 33
x i i i i
i i
5 2 1 1 2 2 5 1 1 2 5
5 1 1 2 5
Aproveitando os resultados das raízes cúbicas no cál-
culo de x, tem-se que as outras soluções são:
5 1
2 1
? 1 1
2 2
? 2 5
5
2 2 1 2
1
2 1 2 2
5 2 2
5 1
2 2
? 1 1
2 1
? 2 5
5
2 2 2 1
1
2 1 1 1
5 2 1
0
1 3
2
(1 )
1 3
2
(1 )
1 3 3
2
1 3 3
2
1 3
0
1 3
2
(1 )
1 3
2
(1 )
1 3 3
2
1 3 3
2
1 3
2
3
x
i
i
i
i
i i i i
x
i
i
i
i
i i i i
Portanto, o conjunto solução da equação é:
5 2 2 2 1{ }S 2, 1 3, 1 3
Fórmula resolutiva de uma equação de 4º grau
As equações polinomiais do º grau podem ser ex-
pressas por:
ax
 1 bx 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, a = 0
Essa equação pode admitir até quatro soluções com-
plexas, mas suas fórmulas resolutivas são tão extensas que
não caberiam em uma única página.
Particularmente quando os coeficientes b e d são nulos,
a equação não apresenta os termos de grau ímpar e, nesse
caso, admitem fórmulas resolutivas relativamente simples.
Assim, considerando b 5 d 5 0, tem-se:
ax
 1 cx2 1 e 5 0, a = 0
Equações como essa são denominadas biquadradas e
as fórmulas para encontrar suas quatro possíveis soluções
são:
5 1
2 2 2 4
2
1
2
x
c c ae
a
5 2
2 2 2 4
2
2
2
x
c c ae
a
5 1
2 1 2 4
2
3
2
x
c c ae
a
5 2
2 1 2 4
2
4
2
x
c c ae
a
No caso, o discriminante é D 5 c2 2 ae.
Veja os exemplos a seguir:
I. x 2 13x2 1 3 5 0
Temos a 5 1, b 5 0, c 5 –13, d 5 0 e e 5 3. Então,
o discriminante da equação é:
D 5 c2 2 ae 5 (213)2 2  ? 1 ? 3 5 19 2 1 5 25
E suas soluções são:
51
2 2 D
51
22 2
?
51
2
51 51x
c
a2
( 13) 25
2 1
13 5
2
4 21
52
2 2 D
52
22 2
?
52
2
52 52x
c
a2
( 13) 25
2 1
13 5
2
4 22
51
2 1 D
51
22 1
?
51
1
51 51x
c
a2
( 13) 25
2 1
13 5
2
9 33
52
2 1 D
52
22 1
?
52
1
52 52x
c
a2
( 13) 25
2 1
13 5
2
9 34
Portanto, o conjunto solução da equação é:
S 5 {12, 22, 13, 23}
II. x 1 2x2 2 8 5 0Temos a 5 1, b 5 0, c 5 2, d 5 0 e e 5 –8. Então, o
discriminante da equação é:
D 5 c2 2 ae 5 22 2  ? 1 ? (28) 5  1 32 5 3
E suas soluções são:
x
c
a
i51
2 2 D
51
2 2
?
51
2 2
51 2 51
2
2 36
2 1
2 6
2
4 2
1
x
c
a
i52
2 2 D
52
2 2
?
52
2 2
52 2 52
2
2 36
2 1
2 6
2
4 2
2
5 1
2 2 D
5 1
2 1
?
5 1
2 1
5 1
2
2 36
2 1
2 6
2
2
3
x
c
a
5 2
2 1 D
5 2
2 1
?
5 2
2 1
5 2
2
2 36
2 1
2 6
2
2
4
x
c
a
Portanto, o conjunto solução da equação é:
{ }5 1 2 1 2S 2 , 2 , 2, 2i i
III. 9x 2 x2 1 1 5 0
Temos a 5 9, b 5 0, c 5 –, d 5 0 e e 5 1. Então, o
discriminante da equação é:
D 5 c2 2 ae 5 (2)2 2  ? 9 ? 1 5 3 2 3 5 0
E suas soluções são:
x
c
a
51
2 2 D
51
22 2
?
51
2
51 51
2
( 6) 0
2 9
6 0
18
1
3
3
31
x
c
a
52
2 2 D
52
22 2
?
52
2
52 52
2
( 6) 0
2 9
6 0
18
1
3
3
32
x
c
a
51
2 1 D
51
22 1
?
51
1
51 51
2
( 6) 0
2 9
6 0
18
1
3
3
33
x
c
a
52
2 1 D
52
22 1
?
52
1
52 52
2
( 6) 0
2 9
6 0
18
1
3
3
34
Portanto, o conjunto solução da equação é:
5 1 2{ }S 3
3
,
3
3
10
F
R
E
N
T
E
 2
Atenção
Raízes de polinômios3 soluções de
equações
Embora ambos os termos (raízes e soluções) sejam
usados para designar os mesmos números, há uma sutil
distinção entre seus significados.
Considere, a equação x 1 30 5 x2 1 x. Sabe-se
que x 5 22 é uma solução da equação pois, substi-
tuindo x por 22, obtém-se uma igualdade verdadeira.
Observe:
(22) 1 30 5  ? (22)2 1 (22)
28 1 30 5 2 2 2
22 5 22 (Verdadeira)
Pode-se afirmar, também, que x 5 3 é outra solução
da equação. Observe:
3 1 30 5  ? 32 1 3
2 1 30 5 5 1 3
5 5 5 (Verdadeira)
Analogamente, x 5 5 também é solução da equação.
5 1 30 5  ? 52 1 5
125 1 30 5 150 1 5
155 5 155 (Verdadeira)
As raízes de um polinômio qualquer P(x),
P(x) 5 a ? (x 2 a) ? (x 2 a2) ? (x 2 a) ? ... ? (x 2 an),
com a = 0, são os números a, a2, a, ..., an que anulam,
respectivamente, seus fatores do 1º grau.
Considere, por exemplo, o polinômio P(x) 5
5 1 ? (x 1 2) ? (x 2 3) ? (x 2 5). Temos que –2, 3 e 5 são
raízes do polinômio P(x) pois anulam, repectivamente, os
fatores (x 1 2), (x 2 3) e (x 2 5).
Não é por acaso que, no exemplo, as soluções da
equação coincidem com as raízes do polinômio apresenta-
do em sua forma fatorada. Observe P(x) em sua forma geral:
P(x) 5 1 ? (x 1 2) ? (x 2 3) ? (x 2 5)
P(x) 5 (x2 2 3x 1 2x 2 ) ? (x 2 5)
P(x) 5 x 2 5x2 2 3x2 1 15x 1 2x2 2 10x 2 x 1 30
P(x) 5 x 2 x2 2 x 1 30
Note que P(x) 5 0 equivale à equação dada no exemplo:
x
 2 x2 2 x 1 30 5 0 ~ x 1 30 5 x2 1 x
A diferença dos conceitos de solução de equação
polinomial e de raiz de polinômio pode ser mais bem ob-
servada em equações cujo número de soluções é menor
do que o número representa o seu grau.
Entre os exemplos dados anteriormente, a equação
x
2 1 x 1 9 5 0 é do 2o grau, mas possui apenas uma
solução: x 5 23. Isso ocorre porque, em sua forma fato-
rada, o polinômio A(x) 5 x2 1 x 1 9 possui dois fatores
do 1º grau idênticos: A(x) 5 (x 1 3) ? (x 1 3). Nesse caso,
diz-se que o polinômio possui duas raízes iguais ou que
x 5 23 é uma raiz dupla.
Também presente entre os exemplos anteriores, a
equação 2x 1 x2 2 18x 2 5 5 0 é do 3º grau, mas
possui apenas duas soluções: x 5 13 ou x 5 23.
Isso ocorre porque, em sua forma fatorada, o po-
linômio B(x) 5 2x 1 x2 2 18x 2 5 também possui
dois fatores do 1º grau idênticos, entre seus três fatores:
B(x) 5 2 ? (x 2 3) ? (x 1 3) ? (x 1 3). Neste caso, diz-se
que duas das três raízes do polinômio são iguais ou ain-
da que x 5 13 é raiz simples de B(x) e x 5 23 é raiz
dupla de B(x).
Para efeito comparativo, considere como exemplo
a equação x 2 3x2 2 9x 1 2 5 0 que também é do
3º grau e possui as mesmas duas soluções da equação
anterior: x 5 13 ou x 5 23.
Isso também ocorre porque o polinômio C(x) 5
5 x 2 3x2 2 9x 1 2, em sua forma fatorada, também
possui fatores do 1º grau idênticos. A diferença em
relação ao exemplo anterior é exatamente o fator que
se repete: C(x) 5 (x 2 3) ? (x 2 3) ? (x 1 3).
Nesse caso, tem-se que x 5 13 é raiz dupla de C(x) e
x 5 23 é raiz simples de C(x).
Assim, embora as equações B(x) 5 0 e C(x) 5 0 tenham
o mesmo conjunto solução, elas não possuem exatamente
as mesmas raízes. Observe:
Equação
Conjunto
solução
Raízes da
equação
Também podemos afirmar que as raízes dessas equa-
ções não possuem a mesma multiplicidade.
106 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Saiba mais
Teorema fundamental da Álgebra (TFA)
No século XVII, na obra La Géométrie, René Descartes
já havia afirmado que as equações de grau n deveriam pos-
suir n raízes, mas que estas podiam não corresponder a
números reais. Somente no início do século XIX a primeira
demonstração rigorosa foi dada pelo francês Jean-Robert
Argand, para o teorema que diz:
Em linguagem matemática, podemos escrever:
Em termos de raízes de polinômios, o mesmo teorema
pode ser enunciado como:
Essa versão mais precisa do teorema fundamental da
Álgebra também é conhecida como teorema da decompo-
sição de polinômios.
Teorema da decomposição
Considere que o número complexo x seja solução da
equação P(x) 5 0, de grau n > 1. Neste caso, tem-se que
o polinômio P(x) é divisível pelo binômio (x 2 x) e, portan-
to, deve existir outro polinômio Q(x) de grau (n 2 1) que
satisfaz a identidade.
P(x) ä (x 2 x) ? Q(x)
Voltando à equação (x 2 x) ? Q(x) 5 0, temos: x 5 x
ou Q(x) 5 0.
De acordo com o teorema fundamental da Álgebra, a
equação Q(x) 5 0 deve possuir uma solução no conjunto
dos números complexos. Considere, então, que o número
complexo a2 seja solução dessa equação.
Se a equação Q(x) 5 0 for do 1º grau, então as raízes
da equação P(x) 5 0 serão x e x2, podendo ou não terem
o mesmo valor. Mas, se o grau da equação Q(x) 5 0 for
maior que 1, o polinômio Q(x) é divisível pelo binômio
(x 2 x2) devendo existir mais um polinômio Q2(x) de grau
n − 2 que satisfaz as identidades:
Q(x) ä (x 2 x2) ? Q2(x)
P(x) ä (x 2 x) ? (x 2 x2) ? Q2(x)
Da equação Q(x) 5 0, da primeira identidade, tem-se:
(x 2 x2) ? Q(x) 5 0, então x 5 x2 ou Q2(x) 5 0.
Já em relação à equação original P(x) 5 0, da segunda
identidade, tem-se: (x 2 x) ? (x 2 x2) ? Q2(x) 5 0.
Pode-se proceder dessa maneira enquanto o grau dos
polinômios QP(x), quocientes das divisões polinômiais, fo-
rem maiores que 1.
P(x) ä (x 2 x) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xP) ? QP(x)
Somente após (n 2 1) divisões polinomiais, como estas,
é que o quociente Qn 2 (x) será um polinômio do 1º grau
e, portanto, da forma ax 1 b com a = 0.
P(x) ä (x 2 x) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xn2 ) ? (ax 1 b)
Então, o número complexo 5
2
x
b
a
n
 será a última raiz
encontrada para a equação P(x) 5 0.
P(x) 5 0 ^ a(x 2 x) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xn2 ) ? (x 2 xn) 5 0
Assim, pode-se observar que, a quantidade de
raízes de uma equação polinomial sempre coinci-
de com o grau da equação. Como a fórmula resoluti-
va das equações do 2º grau é simples, quando com-
parada às fórmulas para as equações do 3º e º graus,
na prática, o teorema da decomposição costuma ser
usado até se obter um quociente do 2º grau, pois assim
as duas últimas raízes da equação podem ser encon-
tradas pela fórmula quadrática.
Dessa forma, ao se resolver uma equação do 3º grau,
por exemplo, a dificuldade está em obter a primeira raiz.
Uma vez conhecida umas das raízes da equação cúbica,
as outras duas podem ser obtidas resolvendo uma equa-
ção do 2º grau cujos coeficientes são determinados pelo
dispositivo de Briot-Ruffini, no quociente de uma divisão
polinomial.
107
F
R
E
N
T
E
 2
Veja os exemplos a seguir:
I. x 1 x2 1 x 1  5 0
Sabe-se que x 5 21 é uma solução, então, aplicando
o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
–1 1 1  
1 0  0
Como o resto da divisão é o polinômio nulo, obtemos
a equação do 2º grau x2 1  5 0.
Como a 5 1, b 5 0 e c 5 , da fórmula resolutiva
têm-se:
D 5 b2 2 ac 5 02 2  ? 1 ?  5 0 2 1 5 21
5
2 2 D
5
2 2 2
?
5
2
5 2
5
2 1 D
5
2 1 2
?
5
1
5 1
2
0 16
2 1
42
2
2
0 16
2 1
4
2
2
2
3
x
b
a
i
i
x
b
a
i
i
Portanto o conjunto solução da equação x 2 x2 1 x 1
1  5 0 é S 5 {21, 22i, 2i }.
II. 2x 1 10x2 1 1x 1  5 0
Sabe-se que x 5 21 é uma solução, então, aplicando
o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
–1 2 10 1 
2 8  0
Como o resto da divisão é um polinômio nulo, obtemos
a equação do 2º grau 2x2 1 8x 1  5 0.
Como a 5 2, b 5 8 e c 5 , da fórmula resolutiva
têm-se:
D 5 b2 2 ac 5 82 2  ? 2 ?  5  2 8 5 1
5
2 2 D
5
2 2
?
5
2 2
5
2
5 2
5
2 1 D
5
2 1
?
5
2 1
5
2
5 2
2
8 16
2 2
8 4
4
12
4
3
2
8 16
2 2
8 4
4
4
4
1
2
3
x
b
a
x
b
a
Neste exemplo, duas das raízes são iguais x 5 x, ou
seja, –1 é raiz dupla. Assim, o conjunto solução da equação
2x 1 10x2 1 1x 1  5 0 é S 5 {21, 23}.
III. x 1 3x2 1 3x 1 1 5 0
Nesta equação, x 5 21 também é raiz. Então:
–1 1 3 3 1
1 2 1 0
Do dispositivo, obtemos x2 1 2x 1 1 5 0.
Como a 5 1, b 5 2 e c 5 1, da fórmula resolutiva
têm-se:
D 5 b2 2 ac 5 22 2  ? 1 ? 1 5  2  5 0
5
2 2 D
5
2 2
5
2 2
5
2
5 2
5
2 1 D
5
2 1
?
5
2 1
5
2
5 2
⋅2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
2
3
x
b
a
x
b
a
Neste exemplo, as três raízes são iguais x 5 x2 5 x,
ou seja, –1 é raiz tripla. Portanto, o conjunto solução da
equação x 1 3x2 1 3x 1 1 5 0 é S 5 {21}.
Em resumo, o processo de resolução de uma equação
do 3º grau é iniciado a partir do valor de uma de suas
raízes e, pelo dispositivo de Briot-Ruffini, obtém-se uma
equação do 2º grau. Resolvendo essa equação, é possível
determinar as demais raízes da equação inicial.
Série de raízes de um polinômio
Como vimos anteriormente, toda equação de grau n
possui exatamente n raízes no universo dos números com-
plexos, podendo ser desde todas com o mesmo valor até
todas de valores diferentes entre si.
Como a indexação das raízes de uma equação depende
da ordem em que elas são encontradas, e essa ordem pode
mudar de acordo com o método usado para resolver a
equação, a série numérica formada pelos valores de x a xn
pode sofrer permutações, sem perda de significado.
Uma equação polinimial de grau n . 2 pode ser asso-
ciada a mais de uma série de raízes, desde que a diferença
entre elas seja apenas o resultado de permutações entre
seus termos. Exemplos:
• a equação x 2 9x2 1 8x 1 0 5 0, cujo conjunto
solução S 5 {22, 5, }, possui três elementos e asso-
ciam-se 3! 5  possíveis séries (x, x2, x) de raízes:
(22, 5, )
(22, , 5)
(5, 22, )
(5, , 22)
(, 22, 5)
(, 5, 22)
• a equação 2x 1 10x2 1 1x 1  5 0, cujo conjunto
solução S 5 {21, 23} possui dois elementos e asso-
ciam-se 5
3!
2!
3 possíveis séries (x, x2, x) de raízes:
(21, 21, 3) (21, 3, 21) (3, 21, 21)
• já a equação x 1 3x2 1 3x 1 1 5 0, cujo conjunto
solução S 5 {21} é unitário e associa-se apenas uma
série (x, x2, x) de raízes:
(21, 21, 21)
Não havendo como prever qual permutação de
(x, x2, x) será encontrada resolvendo-se uma equação cú-
bica, perguntas a respeito das raízes costumam considerar
expressões simétricas, ou seja, expressões cujo resultado
não se altera pela mudança na ordem da série de raízes
considerada. Exemplos:
• a soma das raízes: x 1 x2 1 x;
• o produto das raízes: x ? x2 ? x;
• a soma dos produtos das raízes duas a duas: x ? x2 1
1 x ? x 1 x2 ? x.
Multiplicidade de uma raiz
Considere a série r 5 (x, x2, x, ..., xn), de raízes de
uma equação polinomial de grau n. Quando entre os ele-
mentos da série há valores numéricos repetidos, dizemos
que esses valores possuem multiplicidade. Assim, toda
raiz xp de uma equação polinomial está associada a uma
multiplicidade mp que indica a quantidade de vezes que o
valor xp aparece em alguma série de raízes da equação.
108 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Se alguma raiz xp, com 1 , p , n, for única na série, ou seja, não houver nenhuma outra raiz xq, com p = q, tal que
xp 5 xq então xp é denominada raiz simples da equação e sua multiplicidade é m 5 1.
Por exemplo, o conjunto solução da equação x 2 9x2 1 8x 1 0 5 0 é S 5 {22, 5, }. Então:
• x 5 −2 é raiz simples (m 5 1)
• x2 5 5 é raiz simples (m2 5 1)
• x 5  é raiz simples (m 5 1)
Se tivermos duas raízes xp e xq de mesmo valor com p = q, e esse valor for diferente de todos os demais, então
xp é denominada raiz dupla da equação e sua multiplicidade é m 5 2.
Por exemplo, o conjunto solução da equação 2x 1 10x2 1 1x 1  5 0 é S 5 {21, 23}. Então:
• x 5 −1 é raiz dupla (m 5 2)
• x2 5 −3 é raiz simples (m2 5 1)
O conjunto solução da equação x 1 x2 1 15x 1 9 5 0 é S 5 {21, 23} como o conjunto solução do exemplo an-
terior, mas, nesse caso, temos:
• x 5 −1 é raiz simples (m 5 1)
• x2 5 −3 é raiz dupla (m2 5 2)
Embora o conjunto solução das duas equações seja o mesmo, a soma das raízes não é. Observe:
• Na equação 2x 1 10x2 1 1x 1  5 0 a soma das raízes é x 1 x2 1 x 5 (21) 1 (21) 1 (23) 5 25.
• Já na x 1 x2 1 15x 1 9 5 0 esta soma é x 1 x2 1 x 5 (21) 1 (23) 1 (23) 5 2.
Atenção
Veja, na tabela a seguir, uma lista de equações quárticas (do º grau) com as diferentes possibilidades para as multi-
plicidades de suas raízes.
Equação Conjunto solução Denominações Multiplicidades
Como consequência do teorema fundamental da Álgebra, do teorema da decomposição e do conceito de multiplici-
dade aqui expostos, tem-se que todas as equações polinomiais de grau n podem ser expressas de forma fatorada:
a ? (x 2 x)
m ? (x 2 x2)
m2 ? ... ? (x 2 xk)
mk 5 0, com a = 0 e k , n
Nesta representação, as soluções x, x2, x, ..., xk têm valores diferentes uns dos outros e a série de expoentes (m, m2,
m, ..., mk) é formada pelos números naturais que indicam as respectivas multiplicidades de cada solução da equação. Assim:
• m é a multiplicidade de x;
• m2 é a multiplicidade de x2;
æ
• mk é a multiplicidade de xk.
Não sendo necessário escrever repetidamente as raízes de multiplicidade m > 1, o conjunto solução da equação fica
sendo S 5 {x, x2, x, ..., xk}.
109
F
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 2
Considere, por exemplo, a equação x 1 x2 2 5x 1 3 5 0.
Observando que a soma dos coeficientes do polinômio P(x) 5 x 1 x2 2 5x 1 3 é igual a 0, pode-se concluir que
x 5 1 é uma de suas raízes, ou seja, P(1) 5 0.
P(1) 5 1 1 12 2 5 ? 1 1 3 5 1 1 1 2 5 1 3 5 0
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
1 1 1 –5 3
1 2 –3 0
Como a divisão de P(x) por (x 2 1) gera quociente Q(x) 5 x2 1 2x 2 3 e resto nulo, do teorema de Descartes,
tem-se: P(x) 5 (x 2 1) ? Q(x) 1 0.
Assim, a equação pode ser escrita com dois fatores, um do 1º e outro do 2º grau. Então:
(x 2 1) ? (x2 1 2x 2 3) 5 0
Do segundo fator, temos:
D 5 22 2  ? 1 ? (23) 5  1 12 5 1
5
2 6
?
5
2 6 Í
Ç
5
5 2
2 16
2 1
2 4
2
1
ou
3
2, 3x
x
x
Usando a fórmula quadrática para obter as raízes do fator do 2º grau, tem-se:
Q(x) 5 (x 1 3) ? (x 2 1)
Substituindo a forma fatorada do polinômio Q(x) na equação cúbica original, encontra-se:
(x 2 1) ? (x 1 3) ? (x 2 1) 5 0
Finalmente, usando a potenciação para abreviar a multiplicação dos fatores iguais, a equação pode ser representada
por (x 1 3) ? (x 2 1)2 5 0.
Lendo a equação nesse formato, podemos concluir que 3 é raiz simples e 1 é raiz dupla da equação.
Equações polinomiais com coeficientes reais
Quando todos os coeficientes de uma equação polinomial são números reais, temos importantes relações entre o
grau da equação e a existência de soluções reais.
Sendo n . 1 o grau de uma equação polinomial, temos duas situações distintas:
Como o número 1 é o menor natural ímpar, pode-se concluir que toda equação polinomial de grau ímpar possui pelo
menos uma solução real. O teorema que veremos a seguir é o que garante todas essas afirmações.
Teorema das raízes complexas
Como a igualdade z 5 z só ocorre quando z é um número real (b 5 0), pode-se concluir deste teorema que o número
de raízes não reais de uma equação polinomial de coeficientes reais é sempre par.
110 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Equação Série de coeficientesTrocas de sinal Número de raízes positivas
Saiba mais
Pesquisa de raízes racionais
A pesquisa de raízes racionais tem por objetivo verificar se uma equação polinomial de coeficientes inteiros possui
raiz pertencente ao conjunto dos números racionais, ou seja, se existe uma fração de números inteiros que seja solução
da equação.
Considere o polinômio P(x) de grau n, cujos coeficientes são números inteiros.
P(x) 5 a ? (x 2 x) ? (x 2 x2) ? ... ? (x 2 xn) ä a ? x
n 1 a ? x
n2  1 ... 1 an2  ? x 1 an, a = 0
Calculando P(0), temos:
P(0) 5 a ? (0 2 x) ? (0 2 x2) ? ... ? (0 2 xn) 5 a ? 0
n 1 a ? 0
n2  1 ... 1 an2  ? 0 1 an 5 a ? (2x) ? (2x2) ? ... ? (2xn) 5 an
Como a = 0, pode-se afirmar que o quociente
0
a
a
n é igual ao produto das raízes de um polinômio, com todos os seus
sinais trocados. Portanto, o produto das raízes de um polinômio tem o mesmo valor absoluto do quociente entre seus
coeficientes extremos.
? ? ? 5...
1 2
0
x x x
a
a
n
n
111
F
R
E
N
T
E
 2
Aqui, não há necessidade de se discutir os sinais das
expressões em módulo, pois o que se está procurando
não é o produto das raízes do polinômio, mas sim alguma
dessas raízes. Saber o sinal de um produto não permite
saber o sinal de nenhum dos fatores envolvidos.
Assim, se a equação P(x) 5 0 possuir alguma raiz xp
com 1 , p , n, pertencente ao conjunto dos números
racionais, então deve haver um par de números inteiros N
e D > 0, primos entre si, tais que:
5
N
D
x
p
, sendo N divisor inteiro de an e D divisor po-
sitivo de a.
Então, do teorema fundamental da Aritmética, tem-
-se que o numerador e o denominador da fração xp são,
respectivamente, divisores do termo independente e do
coeficiente principal da equação P(x) 5 0.
Como os divisores de um número inteiro formam um
conjunto finito, é possível determinar se alguma fração N
D
,
formada pelos divisores de an e a é raiz da equação, por
meio de tentativa e erro.
Atenção
Particularmente, quando em uma equação P(x) 5 0 de
coeficientes inteiros, o coeficiente principal do polinômio
P é unitário (a 5 1), se houver alguma raiz racional, então
essa raiz também será um número inteiro.
Considere, por exemplo, a equação x 1 x2 1 x 1  5 0.
O produto das três raízes dessa equação tem módulo
igual a 4
1
. Então, sendo 5
N
D
1
x uma possível raiz racional,
é necessário que:
• N seja divisor inteiro de  _ N é {61, 62, 6}.
• D seja divisor positivo de 1 _ D é {1}.
Como o único denominador possível é D 5 1, se a
equação possuir alguma raiz racional, então essa raiz será
um número inteiro do conjunto {61, 62, 6}.
Por tentativa e erro, podemos substituir esses valores
em P(x) ou aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini. Observe:
P(21)5 (21) 1 (21)2 1  ? (21)1 5211 12 1 5 0,
portanto, 21 é raiz.
Como –1 é raiz, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini,
podemos determinar as demais raízes:
–1 1 1  
1 0  0
Veja outro exemplo.
• Considere a equação x 2 x2 1 x 2 5 5 0. Da pes-
quisa de raízes racionais, temos:
é 6 6 é é 6 6N { 1, 5} e D {1} \
N
D
{ 1, 5}
Se a equação tiver alguma raiz racional, ela pertencerá
ao conjunto {61, 65}.
Então:
• Se x 5 21:
P(21)5 (21) 2  ? (21)2 1  ? (21)2 55212 2 2 55218
_ 21 não é raiz.
• Se x 5 1:
P(1) 5 1 2  ? 12 1  ? 1 2 5 5 1 2  1  2 5 5 2
_ 1 não é raiz.
• Se x 5 25:
P(25) 5 (25) 2  ? (25)2 1  ? (25) 2 5 5
5 2125 2 150 2 30 2 5 5 2310
_ 25 não é raiz.
• Se x 5 5:
P(5) 5 5 2  ? 52 1  ? 5 2 5 5 125 2 150 1 30 2 5 5 0
_ 5 é raiz.
Também podemos testar as possíveis raízes utilizando
o dispositivo de Briot-Ruffini. Como vimos, o conjunto de
candidatos à raiz racional da equação é {6 1, 6 5}. Pelo
dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
1ª tentativa: x 5 1
1 1 –  –5
1 –5 1 – = 0
2ª tentativa: x 5 21
–1 1 –  –5
1 – 13 –18 = 0
3ª tentativa: x 5 25
–5 1 –  –5
1 –11 1 –310 = 0
ª tentativa: x 5 5
5 1 –  –5
1 –1 1 0
Como o resto da divisão é nulo, o número 5 é de fato
raiz racional da equação.
É possível que, na pesquisa das raízes racionais, ne-
nhuma raiz seja obtida. Isso significa que o polinômio em
questão não possui nenhuma raiz racional.
Saiba mais
112 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Pesquisa de raízes reais
Dada uma equação do tipo P(x) 5 0, em que todos os
coeficientes são números reais, e um intervalo real aberto
]xA, xB[, existe uma maneira bem simples de verificar se a
equação possui alguma raiz real pertencente ao intervalo
dado. Para isso, basta verificar o sinal do produto P(xA) ? P(xB).
De acordo com o teorema de Bolzano:
• Se P(xA) ? P(xB) > 0, então P(x) 5 0 tem um número
par de raízes reais no intervalo ] xA, xB[.
• Se P(xA) ? P(xB) < 0, então P(x) 5 0 tem um número
ímpar de raízes reais no intervalo ] xA, xB[.
O menor número par natural é 0 (zero). Por isso, quando
P(xA) ? P(xB) é positivo, não há garantia de que a equação
tenha alguma raiz real no intervalo considerado.
Mas como o menor número natural ímpar é 1, quando
P(xA) ? P(xB) é negativo, a equação certamente possui al-
guma raiz real no intervalo considerado.
Relações entre coeficientes e raízes
No início do século XVII, o matemático francês Albert
Girard descobriu uma maneira de relacionar os coeficientes
de um polinômio aos valores de suas raízes complexas por
meio de um sistema de equações não lineares. Essas equa-
ções permitem obter os resultados de diversas operações
algébricas feitas com as raízes de uma equação polinomial,
mesmo sem que sejam conhecidos os valores dessas raízes.
Para isso, a sucessão de operações aplicadas às raízes da
equação tem que ser comutativa, ou seja, seu resultado deve
permanecer o mesmo quando a ordem das raízes é alterada.
Funções simétricas
Considere uma série de duas variáveis (x, x2). Uma
operação, ou combinação de operações, aplicada(s) a essas
duas variáveis é uma função simétrica, se e somente se:
f (x, x2) 5 f (x2, x)
São exemplos de funções simétricas de duas variáveis
as funções:
• soma: f (x, x2) 5 x 1 x2.
• produto: f (x, x2) 5 x ? x2.
• soma dos quadrados: f (x, x2) 5 x
2 1 x2
2.
• soma dos inversos: 5 1( , )
1 1
1 2
1 2
f x x
x x
.
Entre as funções listadas acima, a soma e o produto são
denominadas funções simétricas elementares e designadas
por s (sigma 1) e s2 (sigma 2). Assim:
s 5 x 1 x2 e s2 5 x ? x2
Note que os demais exemplos dados podem ser ex-
pressos pelas funções elementares:
1 5 s 2 s 1 5
s
s
2 e
1 1
1
2
2
2
1
2
2
1 2
1
2
x x
x x
Considere uma série de três variáveis: (x, x2, x).
Diz-se que f é uma função simétrica dessas variáveis,
se e somente se:
 f (x, x2, x) 5 f (x, x, x2) 5 f (x2, x, x) 5 f (x2, x, x) 5
5 f (x, x, x2) 5 f (x, x2, x)
São exemplos de funções simétricas de três variáveis
as funções:
• soma: f (x, x2, x) 5 x 1 x2 1 x;
• soma dos produtos dois a dois: f (x, x2, x) 5 x ? x2 1
1 x ? x 1 x2 ? x;
• produto: f (x, x2, x) 5 x ? x2 ? x;
• soma dos quadrados: f (x, x2, x) 5 x
2 1 x2
2 1 x
2;
• soma dos inversos: 5 1 1( , , )
1 1 1
1 2 3
1 2 3
f x x x
x x x
.
Neste caso, são denominadas funções simétricas
elementares as funções soma, soma dos produtos dois
a dois e produto e são designadas por s (sigma 1), s2
(sigma 2) e s (sigma 3). Assim:
s 5 x 1 x2 1 x
s2 5 x ? x2 1 x ? x 1 x2 ? x
s 5 x ? x2 ? x
Os demais exemplos também podem ser expressos
pelas funções elementares:
x
2 1 x2
2 1 x
2 5 s
2 2 2s2
1 1 5
s
s
1 1 1
1 2 3
2
3
x x x
Observe que o número de variáveis coincide com o
número de funções simétricas elementares definidas. En-
tão, seguindo o padrão, sobre quatro variáveis complexas
(x, x2, x, x) definem-se também quatro funções simétricas
elementares.
• soma: s 5 x 1 x2 1 x 1 x
• soma dos produtos dois a dois: s2 5 x ? x2 1 x ? x 1
1 x ? x 1 x2 ? x 1 x ? x 1 x ? x
• soma dos produtos três a três: s 5 x ? x2 ? x 1
1 x ? x2 ? x 1 x ? x ? x 1 x2 ? x ? x
• produto: s 5 x ? x2 ? x ? x
De forma genérica, dada uma série r 5 (x, x2, x,
x,..., xn) de números complexos, as n funções simétricas
elementares são definidas por:
s 5 x 1 x2 1 x 1 x 1 ... 1 xn
s2 5 x ? x2 1 x ? x 1 x ? x 1 ... 1 xn2 2 ? xn2  1
1 xn2  ? xn
s 5 x ? x2 ? x 1 x ? x2 ? x 1 x ? x ? x 1 ... 1
1 xn2 2 ? xn2  ? xn
s 5 x ? x2 ? x ? x 1 ... 1 xn2  ? xn2 2 ? xn2  ? xn
æ
sn 5 x ? x2 ? x ? x ? ... ? xn2  ? xn
Relações de Girard
As relações definidas por Albert Girard tratam de igual-
dades estabelecidas entre os coeficientes e as funções
simétricas elementares das raízes de uma equação poli-
nomial. Usando as relações de Girard, toda equação de
grau n . 2 é equivalente a um sistema de n equações
simétricas fundamentais.
Em equações do 2ª grau, as relações de Girard resu-
mem-se às relações para a soma e o produto das raízes,
vistas anteriormente ao falar de função quadrática.
11
F
R
E
N
T
E
 2
Sendo ax2 1 bx 1 c 5 0, com a = 0, as funções simé-
tricas fundamentais s e s2, das raízes x e x2 da equação,
formam o sistema:
1 5 2
? 5
1 2
1 2
x x
b
a
x x
c
a
.
Atenção
Em equações do 3º grau, além da soma e do produto
das raízes, há uma terceira relação que pode ser obtida: a
soma dos produtos dois a dois.
Sendo ax 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, com a = 0, as funções
simétricas fundamentais s, s2 e s das raízes x, x2 e x
da equação formam o sistema:
s 2
s
s 2
5 1 1 5
5 ? 1 ? 1 ? 5
5 ? ? 5
1 1 2 3
2 1 2 1 3 2 3
3 1 2 3
x x x
b
a
x x x x x x
c
a
x x x
d
a
Já nas equações do º grau, há mais duas relações
de Girard, além da soma e do produto, sendo uma para a
soma dos produtos dois a dois e outra para a soma dos
produtos três a três.
Sendo ax 1 bx 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, com a = 0, as
funções simétricas fundamentais s, s2, s e s das raízes
x, x2, x e x da equação formam o sistema:
1 1 2 3 4
2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
4 1 2 3 4
s 2
s
s 2
s
5 1 1 1 5
5 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 5
5 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 5
5 ? ? ? 5
x x x x
b
a
x x x x x x x x x x x x
c
a
x x x x x x x x x x x x
d
a
x x x x
e
a
De um modo geral, considere r 5 (x, x2, x, x, ..., xn)
uma série das raízes complexas da equação P(x) 5 0 de
grau n e coeficiente complexos, em que:
P(x) 5 a ? x
n 1 a ? x
n2  1 a2 ? x
n2 2 1 ... 1 an2 2 ? x
2 1
1 an2  ? x 1 an, a = 0
Para todo k inteiro tal que 1 , k , n, de acordo com
as relações de Girard, a função simétrica fundamental sk
fica definida por s 25 ?( 1)
0
a
a
k
k k .
Saiba mais
Soma e produto
As duas relações extremas de cada sistema formado
pelas relações de Girard têm maior aplicabilidade que as
demais relações, na resolução de questões. Por isso, elas
merecem atenção especial.
Assim, seja r 5 (x, x2, x, ..., xn) uma série das raízes da
equação P(x) 5 0, em que:
P(x) 5 a ? x
n 1 a ? x
n 2  1 a2 ? x
n 2 2 1 ... 1
1 an 2 2 ? x
2 1 an 2  ? x 1 an, a = 0
Nessas condições tem-se que:
• A soma de todas as raízes da equação é dada por
s 5 2
1
1
0
a
a
.
• O produto de todas as raízes da equação é dado por
s 5 2 ?( 1)
0
a
a
n
n n .
1. Considere a equação polinomial e faça o que é pedido em cada item:
(x 2 x)(x 2 x 1 )(x 1 6x 1 ) 5 
a) Reescrever a equação usando apenas fatores do 1o grau.
b) Escrever o conjunto solução da equação.
c) Determinar a multiplicidade de cada uma das raízes da equação.
d) Determinar o grau dessa equação.
Revisando
11 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
2. Resolva a equação x4 2 7x 2  5 .
. Resolva a equação x 2 x 2 6x 2  5  sabendo
que 4 é uma de suas raízes.
. Resolva a equação x 2 6x 2 x 2 x 2  5 ,
sabendo que o número 2 é raiz tripla.
. Ufes 201 Considere o polinômio f (x) 5 x 2 7x 1
1 x 2 .
a) Verifique se f (x) possui raízes inteiras. Justifique.
b) Verifique se f (x) possui raízes racionais não intei-
ras. Justifique.
c) Determine todas as raízes de f (x).
6. A raiz real da equação x 1 x4 1 x 1  5  per-
tence ao intervalo:
a) ]−3, −2[
b) ]−2, −1[
c) ]−1, 0[
d) ]0, 1[
e) [1, 2[
11
F
R
E
N
T
E
 2
9. UFRGS 2020 Se a equação x 1 x 2  5  tem as
raízes a e b, então o valor de
1 1
2
1
a b
 é
a) 1
16
2 . b)
1
4
. c) 1
16
. d) 1
4
. e) 1.
10. EsSA-MG 2021 O valor que deve ser somado ao po-
linômio x 1 x 1 x 1  para que ele admita i
como raiz, sendo i a unidade imaginária é:
a) –12
b) 3
c) 12
d) –3
e) –15
7. Se os números  2 i e  são raízes simples de uma
equação polinomial com coeficientes reais, e o núme-
ro i é raiz dupla da mesma equação, então o menor
grau que essa equação pode ter é:
a) 3
b) 
c) 5
d) 
e) 
8. Sendo r, s e t as três soluções da equação polinomial
x 2 4x 2 x 1 , determine:
a) r 1 s 1 t
b) rs 1 rt 1 st
c) rst
d) 1 1
1 1 1
r s t
e) r2 1 s2 1 t2
1. A diferença entre as duas maiores soluções da equa-
ção x3 2 4x 1 4x 5  é:
a) 10.
b) 8.
c) .
d) .
e) 2.
2. A quantidade de raízes positivas da equação
x
3 1 x 2 x 2  5  é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
. A medida do maior lado do triângulo cujos vértices
são as soluções da equação x3 1 x 1 x 5  é:
a) 1 u. b) 2 u. c) 2 u. d) 3 u. e) 2 u.
. Unig-RJ 2021 O desmatamento da Amazônia é de-
vastador. Em um ano, foram desmatados cerca de
Q mil km, sendo Q o valor numérico do quociente en-
tre os polinômios x 1 7x 1  e x 1 , para x igual a
4, e foi a maior área desmatada na região nas duas
últimas décadas.
De acordo com essa informação, pode-se concluir que a
área, em mil km, desmatada, nesse período, foi igual a
a) 5
b) 2
c) 0
d) 35
e) 30
Exercícios propostos
116 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Considere, então, que uma empresa produz cópias
em gesso, em diferentes tamanhos, da Vênus de Milo.
O tempo t, em horas, que cada cópia leva para se-
car depende da sua altura h, em centímetros. Sabe-se
que a razão entre t e h é igual à raiz positiva do poli-
nômio P(x) 5 x3 2 x 2 x 2 . Considerando a
aproximação 55 2,25, uma cópia da Vênus de Milo,
com altura de  cm, leva para secar
a) 250 horas.
b) 500 horas.
c) 50 horas.
d) 1 000 horas.
e) 2 250 horas.
11. UFPB Uma organização não governamental desen-
volveu um projeto de reciclagem de papel em um
bairro popular de uma cidade, com o objetivo de
contribuir com a política ambiental e gerar renda para
as famílias carentes do bairro. A partir da catação do
papel e utilizando um processo artesanal, as famílias
produzem folhas de papelão em formato retangular
medindo  cm × 4 cm. Um empresário local propôs
comprar toda a produção mensal da comunidade para
produzir caixas de papelão, em formato de paralelepí-
pedo reto-retângulo, com volume igual a  cm3.
Cada caixa é construída recortando-se quadrados em
dois dos vértices da folha e retângulos nos outros dois
vértices. Em seguida, as abas resultantes dos recortes
são dobradas nas linhas tracejadas na folha, obtendo-
-se dessa forma a caixa, conforme representação nas
figuras abaixo.
2 cm
2 cm
Considerando que uma possibilidade para a medida x
do lado do quadrado a ser recortado é  cm, é correto
armar que outro valor possível, em centímetros, para
a medida x, pertence ao intervalo:
a) (1, 3)
b) (3, 5)
c) (5, )
d) (, 9)
e) (9, 11)
. UEG-GO 2020 As raízes do polinômio P(x) 5 x3 2 x 1
1 x 2  são
a) 2, –i e i
b) 2, –1 e 1
c) –2, –i e i
d) –2, 1 – i e 1 1 i
e) 2, 1 – i e 1 1 i
6. Quantas são as raízes racionais da equação polino-
mial x4 2 x3 1 x 2 x 1 6 5 ?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 
7. UFSM-RS 201 Para avaliar as vendas em , o se-
tor de planejamento de uma empresa utilizou a função
polinomial N(t) 5 t3 2 t 1 6t 1 4, em que N
representa o número de tablets vendidos no mês t
com t 5  correspondendo a janeiro, t 5  correspon-
dendo a fevereiro e assim por diante. De acordo com
os dados, o número de tablets vendidos foi igual a
4, nos meses de
a) fevereiro, julho e novembro.
b) fevereiro, agosto e novembro.
c) fevereiro, agosto e dezembro.
d) março, agosto e dezembro.
e) março, setembro e dezembro.
8. UFSM-RS 201 A pesquisa Retratos da Leiturano Brasil
aponta que o porcentual de brasileiros considerados
leitores vem diminuindo nos últimos anos. Suponha
que a função polinomial 5 2 2 1( )
72
17
72 12
56
3 2
f t
t t t
represente o porcentual de leitores de  a ,
com t 5  correspondendo a , t 5  correspon-
dendo a 6 e assim por diante. Qual é o resto da
divisão euclidiana de f (t) por (t 2 6)?
a) ,5
b) 8,5
c) 50
d) 51
e) 5
9. UFSM-RS 201 A função ( )
1
4
4 17 20
3 25 2 1 2f t t t t re-
presenta o lucro de uma empresa de produtos eletrô-
nicos (em milhões de reais), no tempo t (em anos). Se t1,
t e t3, com t1 < t < t3, correspondem aos anos em que
o lucro da empresa é zero, então t3 – t – t1 é igual a
a) 1.
b) 2.
c) .
d) .
e) 10.
10. UFSM-RS 2012 (Adapt.) A figura a seguir mostra a
Vênus de Milo, atualmente exposta no museu do
Louvre em Paris. Cópias dessa famosa estátua são
encontradas em diversos locais.
117
F
R
E
N
T
E
 2
12. Insper-SP 201 A figura, feita fora de escala, repre-
senta a planta de uma sala de aula, que conta com
uma área para armários dos alunos (parte hachurada).
A sala está sendo projetada de modo que o teto
que a uma distância de x metros do chão e, para
que haja uma ventilação adequada, o volume total
da sala mais o hall de entrada, descontando-se o
espaço dos armários (que vão até o teto), deve ser
de  m3. O menor valor de x que atende a todas
essas condições é
a) 5.
b) .
c) .
d) 8.
e) 9.
17. Unesp 201 A equação polinomialx3 2 x 1 4x2 5 
admite  como raiz. Suas outras raízes são:
a) 1 2( ) ( )1 3 e 1 3 .i i
b) (1 1 i ) e (1 2 i ).
c) (2 1 i ) e (2 2 i ).
d) (21 1 i ) e (21 2 i ).
e) 2 1 2 2( ) ( )1 3 e 1 3 .i i
18. UFU-MG 2020 Considere as seguintes afirmações a
respeito do polinômio p(x) 5 (x 1 x3)0.
I. p(x) possui apenas duas raízes distintas.
II. O grau de p(x) é igual a 100.
III. p(x) é divisível por x 1 1.
IV. O coeficiente de x no desenvolvimento de p(x)
é o número binomial
20
2
.
Assinale a alternativa que apresenta a(s) armativa(s)
correta(s).
a) Apenas III.
b) Apenas II e IV.
c) Apenas I, III e IV.
d) Apenas I e III.
19. Ifal 2018 (Adapt.) Sabe-se que ( 2 i ) é uma das raí-
zes complexas de x3 2 4x 1 6x 2 4 5 . Podemos
dizer que essa equação
a) tem apenas 1 como raiz real.
b) tem apenas 2 como raiz real.
c) tem 1 e 2 como raízes reais.
d) tem –1 e –2 como raízes reais.
e) não tem raízes reais.
20. PUC-Rio 2018 A soma das raízes da equação
x
3 2 x 2 6x 5  vale:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 
e) 9
21. FGV-SP 2020 Sendo m e n números reais não nulos,
um dos fatores do polinômio P(x) 5 mx 2 nx 1 m é
(x 2 ). Assim, n : m é igual a
a) 1,5
b) 1,
c) 1,83
d) 2
e) 2,1
22. UEPG-PR 2018 Sabendo que 2, , a e b são as so-
luções da equação x4 2 x3 1 6x 1 4x 2  5 ,
assinale o que for correto.
 A soma das raízes é um número ímpar.
 O produto das raízes é um número negativo.
4 a 1 b é um número real menor que zero.
 a ? b é um número real.
 O módulo de a é três.
Soma:
1. Se o número  é raiz de multiplicidade  da equação
x
5 2 x4 1 6x3 2 44x 1 4x 2 6 5 , então o con-
junto solução da equação, em C, é
a) S 5 {2, 21 2 i, 21 1 i }
b) S 5 {22, 1 2 i, 1 1 i }
c) S 5 {22, 21 2 i, 21 1 i }
d) S 5 {2, 1 2 i, 1 1 i }
e) S 5 {2, 2i, 1i }.
1. FGV-SP 2018 Quantos números inteiros não negati-
vos satisfazem a inequação x3 1 4x 1 x 2 6 , ?
a) 2
b) infinitos
c) 5
d) 3
e) 
1. Unicid-SP 2021 Sabendo-se que o polinômio
P(x) 5 x3 2 x 2 6x 1  tem a soma de suas duas
raízes igual a , pode-se afirmar que o valor absoluto
do produto das duas menores raízes é
a) 
b) 
c) 2
d) 1
e) 0
16. Unicamp-SP 2020 Sabendo que a é um número real,
considere a equação quadrática x 1 ax 1  5 .
Se as soluções dessa equação são números inteiros,
o módulo da soma das soluções é igual a
a) 3.
b) .
c) 5.
d) .
118 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
2. Uece 2020 Se as raízes da equação x3 2 4x 1
1 ax
28
27
02 5 formam uma progressão aritmética,
então, o valor do número real a é
a)
13
3
.
b)
11
3
.
c)
11
4
.
d)
13
4
.
2. Esc. Naval-RJ 2020 Considere a equação
x
3 2 x 2 x 1 k 5 , onde k representa os valores
para os quais a equação admita uma raiz dupla. Assi-
nale a opção que apresenta a soma dos valores de k.
a) 22
b) –2
c) 2
d) –5
e) 32
2. FGV-SP 2018 A equação polinomial na incógnita x,
x
3 2 x 1 kx 2  5  tem suas raízes em progres-
são aritmética.
Podemos concluir que o valor de k é:
a) 12
b) 13
c) 201
d) 15
e) 131
26. EEAR-SP 2021 O número complexo z 5  1 i é uma
raiz do polinômio p(x) 5 x3 2 x 1 7x 2 . Sendo
assim, é correto afirmar que p(x) possui
a) outras duas raízes não reais.
b) apenas 1 raiz não real.
c) 2 raízes reais.
d) 1 raiz real.
27. Efomm-RJ 2021 Sejam x1, x e x3 as raízes do
polinômio p(x) 5 x3 2 x 2 4x 1 4. O valor de
x1² 1 x² 1 x3² é
a) 1
b) 29
c) 38
d) 33
e) 5
28. Uece 201 As medidas das arestas de um parale-
lepípedo reto, em metros, são as raízes da equação
x
3 2 x 1 x 1 t 5 , onde t é um número real. A
medida da diagonal desse paralelepípedo é
a)  m
b) 8 m
c) 3 m
d) 5 m
29. Mackenzie-SP 201 Se a, b, e g são as raízes da
equação x3 1 x 1 px 1 q 5 , onde p e q são
coeficientes reais e a 5  2 i é uma das raízes dessa
equação, então a ? b ? g é igual a:
a) 15
b) 9
c) –15
d) –12
e) –9
0. Fuvest-SP 2017 O polinômio P(x) 5 x3 2 x 1 7x 2 
possui uma raiz complexa cuja parte imaginária é
positiva. A parte real de 3 é igual a
a) −11
b) −
c) 9
d) 10
e) 12
1. Unifesp Considere o polinômio p(x) 5 x3 1 ax 1
1 bx 1 c, sabendo que a, b e c são números reais e
que o número  e o número complexo  1 i são raízes
de p, isto é, que p() 5 p( 1 i ) 5 .
Nestas condições existe um polinômio q(x) para o
qual p(x) 5 ( 2 x) ? q(x). Uma possível conguração
para o gráco de y 5 q(x) é:
a)
b)
c)
d)
e)
119
F
R
E
N
T
E
 2
2. Unicamp-SP 2016 Considere o polinômio cúbico
p(x) 5 x3 1 x 2 ax 2  onde a é um número real.
Sabendo que r e –r são raízes reais de p(x) podemos
afirmar que p() é igual a
a) 3
b) 1
c) –2
d) –
. Os valores de a e b para que a equação x3 2 x 1
1 ax 1 b 5  admita uma raiz de multiplicidade  são,
respectivamente:
a) 2 e 2
b) 2 e 2
c) –2 e 2
d) –2 e –2
. Unicamp-SP 201 Considere o polinômio
p(x) 5 x3 2 x 1 ax 2 a, onde a é um número real.
Se x 5  é a única raiz real de p(x) então podemos
armar que
a) a < 0
b) a < 1
c) a > 0
d) a > 1
. Unesp 201 Sabe-se que, na equação x3 1 4x 1
1 x 2 6 5 , uma das raízes é igual à soma das outras
duas. O conjunto solução (S) desta equação é:
a) S 5 {−3, −2, −1}
b) S 5 {−3, −2, 11}
c) S 5 {11, 12, 13}
d) S 5 {−1, 12, 13}
e) S 5 {−2, 11, 13}
6. Unicamp-SP 2019 Sabendo que a e b são núme-
ros reais, considere o polinômio cúbico p(x) 5 x3 1
1 ax 1 x 1 b. Se a soma e o produto de duas de
suas raízes são iguais a – então p() é igual a
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
7. Fuvest-SP 2018 Considere o polinômio P(x) 5 1
1 an 2 1x
n 2 1 1 ... 1 a1x 1 a0 em que a0, a1, ..., an 2 1 é R.
Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunfe-
rência unitária e que a0 < .
O produto das n raízes de P(x) para qualquer inteiro
n .  é:
a) –1
b) in
c) in1 
d) (21)n
e) (21)n1 
8. Sendo a, b e c números reais diferentes de zero,
considere as parábolas y1 5 ax
 1 bx 1 c e
y 5 cx
 1 1 bx 1 a. Se os zeros da parábola y1 são
os números  e 12 3 então os zeros da parábola y
devem ser os números:
a) 1 e 22 3
b) –1 e 2 22 3
c) –1 e 22 3
d) –1 e 12 3
e) 1 e 12 3
9. A figura a seguir apresenta o gráfico do polinômio
P(x) 5 x4 2 7x3 1 x 2 x 1 , em um sistema
cartesiano cuja unidade do eixo das ordenadas (Oy)
é a décima parte da unidade do eixo abscissas (Ox).
30
y
20
10
–10
–20
0 1 2 3 4 5 x
O módulo das raízes complexas desse polinômio é
igual a:
a) 5
b) 1
c) 2 2
d) 17
e) 5
0. AFASP 2019 Considere a é R e os polinômios
5 2 2P( )
2
26 27
6 3
x
a
x x e A(x) 5 x 1 4x 1 a, tais
que seus gráficos seintersectam em um único ponto
de ordenada nula.
Sabendo também que, gracamente, A(x) tangencia o
eixo Ox, analise as armativas abaixo e escreva V para
verdadeira e F para falsa.
J O gráfico de P(x) corta o eixo Ox em dois pontos.
J Os afixos das raízes de P(x) que possuem menor
módulo formam um triângulo cujo perímetro mede
3 3 unidades de comprimento.
J A soma das raízes imaginárias de P(x) é igual a –.
A sequência correta é
a) V – V – V
b) V – F – F
c) F – V – F
d) F – V – V
120 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
Texto complementar
Equações recíprocas
Considere uma equação polinomial de coeficientes reais:
ax
n 1 ax
n2  1 a2
2 2 1 ... 1 an2 2x
2 1 an2 x1 an 5 0, a = 0
Esta equação é chamada de recíproca em dois casos:
I. Quando a série de seus coeficientes coincide com a mesma série lida na ordem contrária.
(a, a, a2, ... , an − 2, an2 , an) 5 (an, an2 , an 2 2, ... , a2, a, a)
Neste caso, tem-se que ak 5 an2k, para todo k natural tal que k, n.
Equações com essa característica são denominadas recíprocas de 1ª espécie.
II. Quando a série de seus coeficientes e a série contrária são opostas, uma da outra.
(a, a, a2, ... , an2 2, an2 , an) 5 (−an, −an2 , −an2 2, ... , −a2, −a, −a)
Neste caso, tem-se que ak 1 an2k 5 0, para todo k natural tal que k, n.
Equações com essa característica são denominadas recíprocas de 2ª espécie.
Técnicas de resolução de equações recíprocas
Quando o grau de uma equação recíproca é ímpar tem-se que:
• x1 5 2 é raiz da equação se ela for de ª espécie;
• x1 5 1 é raiz da equação se ela for de ª espécie.
Quando o grau de uma equação recíproca é par tem-se que:
• x1 5 1 é raiz da equação se ela for de ª espécie.
Nesses casos, podemos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini para encontrar uma equação de grau menor que possua as demais raízes da equação
original. Sendo assim, só é necessário estudar processos para resolver as equações recíprocas de 1ª espécie cujo grau é par. O processo a seguir
serve para resolver as de 4º grau.
Toda equação de 4º grau, que for recíproca e de 1ª espécie, pode ser representada por:
ax
4 1 bx3 1 cx2 1 bx1 a5 0, a= 0
Como x5 0 não é solução dessa equação, podemos dividir todos os seus termos por x2 obtendo:
1 1 1 1 5 0
4
2
3
2
2
2 2 2
ax
x
bx
x
cx
x
bx
x
a
x
Simplificando os termos da equação, ficamos com: 1 1 1 1 5 02
2
ax bx c
b
x
a
x
.
Reorganizando esses termos, vem: 1 1 1 1 5
a
0
2
2
ax
x
bx
b
x
c .
Colocando os coeficientes a e b em evidência: 1 1 1 1 5
1 1
0
2
2
a x
x
b x
x
c .
A atribuição 1 5
1
x
x
y implica:
1 5 ~ 1 ? ? 1 5 ~ 1 1 5 ~ 1 5 2
1
2
1 1
2
1 1
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
x
x
y x x
x x
y x
x
y x
x
y
Então, fazendo a mudança de variável, temos: a
2 2 2) 1 by1 c5 0.
Na forma geral, essa equação fica expressa por: ay
2 1 by1 (c2 2a) 5 0.
A partir desse ponto, podemos usar a fórmula quadrática para encontrar os valores de y e, depois disso, bastará resolver as equações 1 5
1
1x
x
y
e 1 5
1
2x
x
y .
Observe a resolução do exemplo com a equação 2x
4 1 x3 2 11x2 1 x1 2 5 0.
Dividindo a equação por x
2
, temos: 1 2 1 1 5 ~ 1 2 1 1 5
2 11 2
0 2 11
1 2
0
4
2
3
2
2
2 2 2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
.
Reorganizando os termos: 1 1 1 2 52
1 1
11 0
2
2
x
x
x
x
.
Fazendo 1 5
1
x
x
y
2 2 2) 1 y2 11 5 0 ~ 2y2 1 y2 15 5 0.
121
F
R
E
N
T
E
 2
Então, da fórmula quadrática:
D 5 12 2 4 ? 2 ? (215) 5 1 1 120 5 121 e 5
2 6
?
5
2 6 Í
Ç
5
52
1 121
2 2
1 11
4
5
2
3
1
2
y
y
y
Agora, voltando para variável x, temos duas equações para resolver:
• 1 5 ~
1
5 ~ 1 5 ~ 2 1 5
1 5
2
1 5
2
2 2 5 2 5 2 0
2
2 2
x
x
x
x
x x x x
Assim: D 5 (25)2 2 4 ? 2 ? 2 5 25 2 16 5 9 e 5
22 6
?
5
6 Í
Ç
5
5
( 5) 9
2 2
5 3
4
2
1
2
1
2
x
x
x
.
• 1 52 ~
1
52 ~ 1 52 ~ 1 1 5
1
3
1
3 1 3 3 1 0
2
2 2
x
x
x
x
x x x x
Assim: D 5 32 2 4 ? 1 ? 1 5 9 2 4 5 5 e 5
2 6
?
5
2 6 Í
Ç
5
2 1
5
2 2
3 5
2 1
3 5
2
3 5
2
3 5
2
3
4
x
x
x
.
Portanto, o conjunto solução da equação é 5
2 2 2 1
S
3 5
2
,
3 5
2
,
1
2
, 2 .
Texto elaborado para fins didáticos.
Teorema fundamental da Álgebra (TFA)
Toda equação polinomial de grau n . 1 possui ao menos uma solução no conjunto dos números complexos.
\P(x) | gr(P) . 1 ~ Éa é C | P(a) 5 0
Todo polinômio de grau n . 1 possui exatamente n raízes complexas.
Grau da equação e multiplicidade das raízes
O grau de uma equação polinomial é sempre igual à soma das multiplicidades de suas raízes.
Pesquisa de raízes racionais
Se x é uma raiz racional da equação P(x) 5 0, então 5
N
D
1
x , em que N e D são números inteiros, primos entre si, que satisfaçam:
• N é necessariamente divisor do termo independente de P.
• D é necessariamente divisor do coeficiente principal de P.
Pesquisa de raízes reais
Uma equação P(x) 5 0, de coeficientes reais, possui raiz real em um dado intervalo aberto ]xA, xB[ sempre que P(a) ? P(b) < 0.
Raízes complexas
Se um número complexo z 5 a 1 bi for raiz de uma equação polinomial de coeficientes reais, então o seu conjugado z 5 a 2 bi
também será raiz da equação. Não sendo números reais, as raízes z e z terão a mesma multiplicidade.
Relações de Girard
• o grau:
Se x e x2 são as raízes de ax
2 1 bx 1 c 5 0, com a = 0, então:
1 5 2
? 5
x x
b
a
x x
c
a
1 2
1 2
.
• 3o grau:
Se x, x2 e x são as raízes de ax
 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, com a = 0, então:
1 1 5 2
? 1 ? 1 ? 5
? ? 5 2
x x x
b
a
x x x x x x
c
a
x x x
d
a
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
.
Resumindo
122 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
1. Se P(x) 5 x3 2 4x 2 7x 1 k, com k é R, é divisível
por (x 2 ), determine:
a) O valor de k.
b) O conjunto solução da equação P(x) 5 0.
2. Urca-CE 2021 Determine o termo independente do
polinômio de grau  que tem  e  1 i como raízes, e
assume valor  em –.
a) −1
b)
1
2
c)
1
2
2
d) 2
e) 1
. Uece 2021 Sejam W e V, respectivamente, os conjun-
tos das raízes, no universo dos números complexos,
das equações x – x –  5  e x4 1  1 6 5 .
Se X 5 W í V, então, a soma dos quadrados dos ele-
mentos de X é igual a
Nota: i é o número complexo cujo quadrado é igual
a –.
a) 20.
b) –20.
c) i.
d) –i.
• 4o grau:
Se x, x2, x e x são as raízes de ax
 1 bx 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, com a = 0, então:
1 1 1 5 2
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 5
? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 5 2
? ? ? 5
x x x x
b
a
x x x x x x x x x x x x
c
a
x x x x x x x x x x x x
d
a
x x x x
e
a
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
Quer saber mais?
Livro
GARBI, Gilberto Geraldo. O romance das equações algébricas. São Paulo: Livraria da Física, 27.
O livro aborda as chamadas equações algébricas. Apesar de restringir-se a seus aspectos elementares, trata-se de um rico e
interessante campo, em que se envolveram os maiores cérebros que a Matemática arregimentou ao longo dos séculos.
Sites
FANTIN, Silas. Um passeio histórico pelas resoluções de equações algébricas de graus 2 e . Revista Eletrônica do Vestibular,
Uerj, 29. Disponível em: https://www.revista.vestibular.uerj.br/artigo/artigo.php?seq_artigo58. Acesso em:  mar. 222.
Como o título informa, conheça um pouco mais sobre a evolução dos estudos sobre equações algébricas.
Matemática Multimídia. Otimização de janelas. Unicamp-SP. Disponível em: https://m.ime.unicamp.br/arquivos/software/2/.
Acesso em:  mar. 222.
O software disponível nesse site ilustra um processo de otimização utilizando polinômios do 2º grau. Considera uma situação
hipotética que objetiva encontrar a janela retangular que tem a maior área dentre as que têm um determinado formato e perímetro
fixos. As funções que descrevem essas situações são polinômios do 2º grau com domínio restrito.
Exercícios complementares
. Unicamp-SP 2021 Seja f (x) 5 x3 – x 1  uma função
polinomial real. A reta tangente ao gráfico de y 5 f (x)
no ponto (a, f (a)) é definida pela equação y 5 mx 1
1 f (a) – ma, onde m 5 a − .
a) Encontre os pontos do gráfico de y5 f (x) cuja
reta tangente é paralela à reta definida por
x – y 5 0.
b) Sabendo que a > 0 e que o coeficiente angular
da reta tangente ao gráfico de y 5 f (x) no ponto
(a, f (a)) é 10, determine os pontos de interseção
da reta tangente com o gráfico de y 5 f (x).
. FGV-SP 2020 Se as raízes da equação ax 1 bx 1
1 c 5  (a = ) são p e q, quais são as raízes da
equação cx 2 bx 1 a 5  (c = ), expressas em
termos de p e q? Justifique sua resposta.
6. Uma das raízes da equaçãox42 x32  1 x2 5 
é o número complexo ( 2 i ). As outras raízes da
equação são:
a) 2 2 i, 23 e 2
b) 2 1 i, 3 e 22
c) 23 e 2
d) 2 1 i, 23 e 2
e) 22 e 3
12
F
R
E
N
T
E
 2
7. UEPG-PR 2021 Considerando que m, n e p são núme-
ros reais não nulos, assinale o que for correto.
 Se m, n e p são as raízes da equação
x
 1 x2 – 10x 1 8 5 0, então
1 1 1 5
4
1 1 5
m n p
.
 Se P(x) 5 x 1 mx 1 n for divisível por (x – 1)2,
então m 1 n 5 –1.
4 Se (1 1 mi )(n – i ) 5 5 1 5i, então m e n são raízes
da equação x2 1 5x 1  5 0.
 Se P(x) 5 x2 1 2nx 1 p for idêntico a M(x) 5
5 (x – n)(x 1 p), então n 1 p 5 –.
Soma:
8. FICSAE-SP 2022 Se a, b e c são as três raízes da
equação algébrica x3 – x 1 7 5  em C, então o valor
de (a 1 )(b 1 )(c 1 ) é igual a
a) 2.
b) 29.
c) 25.
d) 5.
e) 210.
9. FGV-SP 201 A editora aplicou o lucro obtido em ,
R$  , em um fundo de renda fixa, a certa
taxa de juro composta. Após  anos, deve receber um
montante de R$ 7 ,.
a) A que taxa de juro anual aplicou seu dinheiro?
Use as informações do gráco abaixo para justi-
car a sua resposta.
0,2
y
f (x) 5 x3 1 3x2 1 3x 2 0,728
x
b) Qual é a soma das duas raízes complexas da
equação x 1 3x2 1 3x – 0,28 5 0 que não são
números reais?
10. Uma empresa produz recipientes em forma de parale-
lepípedos de altura x. Os polinômios a seguir expressam,
em função de x, a área da superfície interna dos reci-
pientes e seus respectivos volumes, para  < x < .
A(x) 5  – 4x
V(x) 5 x – 44x 1 4x3
De acordo com essas funções, determine:
a) A altura e o volume de um recipiente com área
interna igual a 11.
b) Determine a maior altura que um recipiente de vo-
lume igual a 80 pode ter.
c) Qual é a altura do recipiente de menor área entre
os recipientes cujo volume é igual a 80?
Justique suas respostas.
11. Unicamp-SP 2016 Considere o polinômio cúbico
P(x) 5 x3 – x 1 a, onde a é um número real.
a) No caso em que P(1)5 0, determine os valores de x
para os quais a matriz A abaixo não é invertível.
x
x
a x
A
1 0
0 1
3
5
b) Seja b um número real não nulo e i a unidade ima-
ginária, isto é, i2 5 21. Se o número complexo
z 5 2 1 bi é uma raiz de p(x), determine o valor
de |z|.
12. Considere o polinômio P(x) 5 x3 – x 1 x –  e
faça o que se pede em cada item:
a) mostre que a equação P(x) 5 0 admite pelo menos
uma raiz real no intervalo entre os números 2 e 3.
b) decida se essa ou essas raízes são racionais ou
irracionais e justifique sua resposta.
1. Fuvest-SP 2017 Considere uma folha de papel re-
tangular com lados  cm e 6 cm. Após remover um
quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da
folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa
(sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retân-
gulo com altura x cm. As linhas tracejadas na figura
indicam onde as dobras foram feitas.
x
x
20
16
a) Expresse o volume da caixa em função de x.
b) Determine o conjunto dos valores de x para
os quais o volume da caixa é maior ou igual a
38 cm.
1. Sabendo-se que o número complexo  1 i é a raiz
do polinômio x³ 1 px² 1 qx – , em que p e q são
números reais, conclui-se que p 1 q é igual a
a) –2.
b) –12.
c) 12.
d) 13.
e) 2
1. AFA-SP 2022 No universo dos complexos, sobre a
equação x6 2 4x5 2 64x 1  5 , marque a alter-
nativa correta.
a) Apresenta conjunto solução unitário.
b) O produto das raízes imaginárias é igual a 1.
c) Apresenta conjunto solução com seis elementos
distintos.
d) A soma das raízes imaginárias é igual a uma de
suas raízes.
12 MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
16. UFSC 2020
 A equação x 1 2x2 1 3x 2  5 0 possui apenas
uma raiz inteira.
 Maria quer comprar um carro que custa
R$ 2000,00 à vista, mas que pode ser compra-
do a prazo em 8 prestações mensais iguais no
valor de R$ 1200,00 sem entrada. Preocupada
com a taxa de juros que teria que pagar, dado
que não consegue comprar à vista, consultou
um amigo que entende de matemática financeira
para auxiliá-la nos cálculos. Ele orientou Maria a
aplicar as seguintes fórmulas:
PV 5 PMTan, i e
1 (1 )
, 5
2 1 2
a
i
i
n i
n
sendo:
PV – o valor à vista do carro,
PMT – o valor da prestação mensal,
n – o número de meses e
i – a taxa mensal de juros.
Maria efetuou os cálculos e chegou a uma equa-
ção polinomial. O grau desse polinômio é 4.
4 Seja p(x) um polinômio de grau n. Se os coefi-
cientes de p(x) são reais e n é par, então p(x) 5 0
admite uma raiz real.
 Seja p(x) 5 x 2 3x 1 2x2 2 3x 1 1. Se o nú-
mero complexo i é raiz simples da equação
p(x) 5 0, então o domínio da função ( ) ( )1f x p x
é ,
3 5
2
3 5
2
,2ÿ
2
í
1
1ÿ
 Considere o gráfico da função polinomial
p(x) 5 2x 1 bx2 1 cx 1 d apresentado a seguir.
Se a é raiz simples e 2 é raiz dupla da equação
p(x) 5 0, então
21
2
1 1 5 2a b c .
2
12
y
xa
3 Se p(x) 5 anx
n 1 an2 x
n2  1 ... 1 ax 1 a é um
polinômio de grau n e satisfaz a condição que a
soma dos coeficientes é zero, então p(x) é divisí-
vel por x 2 1.
Soma:
17. Ufam 2020 Em relação às raízes de P(x) 5
5 x3 2 x – x – , é CORRETO afirmar que:
a) nenhuma raiz é racional.
b) uma raiz é irracional.
c) apenas uma raiz é racional.
d) duas raízes são imaginárias puras.
e) as três raízes são racionais.
18. ITASP 201 Considere o sistema na variável real x:
2 5 a
2 5 b
2
3
x x
x x
a) Determine os números reais a e b para que o sis-
tema admita somente soluções reais.
b) Para cada valor de b encontrado em (a), determi-
ne todas as soluções da equação x 2 x 5 b.
19. ITASP 201 Considere o polinômio complexo
p(z) 5 z4 1 az3 1 z 2 iz 2 6, em que a é uma cons-
tante complexa. Sabendo que i é uma das raízes de
p(z) 5 , as outras três raízes são
a) 23i, 21, 1.
b) 2i, i, 1.
c) 2i, i, 21.
d) 22i, 21, 1.
e) 22i, 2i, i.
20. ITASP 201 Considere o polinômio p dado por
p(x) 5 x3 1 ax 1 bx 2 6, com a, b é R. Sabendo-se
que p admite raiz dupla e que  é uma raiz de p então
o valor de b – a é igual a
a) 23.
b) 212.
c) .
d) 12.
e) 2.
21. ITASP 201 Considere o polinômio p dado por
p(z) 5 z3 1 bz 2 7z 2 b em que b é um número real.
a) Determine todos os valores de b sabendo-se que
p tem uma raiz de módulo igual a 1 e parte imagi-
nária não nula.
b) Para cada um dos valores de b obtidos no item
anterior, determine todas as raízes do polinômio p.
22. ITASP 2016 Seja p o polinômio dado por p(x) 5 x 1
1 xm − xn, e, que os expoentes , m e n formam, nes-
ta ordem, uma PA cuja soma dos termos é igual a 4.
Considere as seguintes afirmações:
I. x 5 0 é uma raiz dupla de p.
II. x 5 1 é uma raiz dupla de p.
III. p tem  raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) I, II e III
2. ITASP 2018 Considere a matriz
2
2
é R
1
1 2 3 4
1 3 4 5
1 2 1 1
, .
x x x
x
n n
Se o polinômio p(x) é dado por p(x) 5 det A, então o
produto das raízes de p(x) é
a)
1
2
.
b)
1
3
.
c)
1
5
.
d)
1
7
.
e)
1
11
.
12
F
R
E
N
T
E
 2
2. ITASP 2016 Sejam a, b, c números reais com a = .
a) Mostre que a mudança 1 5
1
x
x
z transforma a
equação ax 1 bx 1 cx2 1 bx 1 a 5 0 numa
equação do segundo grau.
b) Determine todas as raízes da equação x 1
1 3x 2 2x2 1 3x 1 1 5 0.
2. ITA-SP 2018 Se o sistema
1 1 5
1 2 5
1 1 2 5
0
2 (2 ) 0
( 1) 0
2 4
3
x y z
a y a a z
x ay a z
admite infinitas soluções, então os possíveis valores
do parâmetro a são:
a) 2
2 2 2 1
0, 1,
1 3
2
,
1 3
2
.
b) 2
2 1
0, 1,
1 3
2
,
1 3
2
.
c) 2
2 1 1
0, 1,1 3
2
,
1 3
2
.
d) 2 2 2 2 10, 1, 1 3, 1 3.
e) 2 2 10, 1, 1 3, 1 3.
26. ITASP 2019 Considere as seguintes afirmações:
I. se x, x2 e x são as raízes da equação x
 2 2x2 1
1 x 1 2 5 0, então y 5 x2x, y2 5 xx e y 5 xx2
são as raízes da equação y 2 2 y 2  5 0.
II. a soma dos cubos de três números inteiros con-
secutivos é divisível por 9.
III.
1
5
13 5
2
1 5
2
.
É(são) VERDADEIRA(S)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) todas.
27. ITASP 2018 Seja p(x) um polinômio não nulo. Se
x
3 2 4x 1 x 2  e x3 2 x 1 x 2 4 são divisores
de p(x), determine o menor grau possível de p(x).
28. ITASP 2019 Determine os valores reais de a e b
para os quais as equações x3 1 ax 1  5  e
x
3 1 bx 1  5  possuam duas raízes em comum
e, a seguir, determine essas raízes.
29. ITA-SP 2020 Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 mx 1
1 x 1  1 n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-
-se que toda raiz z 5 a 1 bi, com a, b é R, da equação
p(z) 5  satisfaz a igualdade a 5 mb 1 nb 2 . Então,
a soma dos quadrados das raízes de p(z) 5  é igual a
a) .
b) .
c) 8.
d) 9.
e) 10.
0. IMERJ Assinale a opção correspondente ao valor da
soma das raízes da equação y
3
2 1 y 1 y
1
2 1  5 .
a) 5
b) 2
c) 21
d) 5
1
2
e) 0,5
1. IME-RJ Considere o sistema
xy x y
x y x y x y xy
1 2 5
2 2 1 5
5
2 2 6
3 2 2 3 2 2
onde x e y são números inteiros. O valor de x31
1 x 1 y é:
a) 1
b) 18
c) 20
d) 32
e) 38
2. IMERJ Seja o polinômio p(x) 5 x3 1 (lna)x 1 eb, onde
a e b são números reais positivos diferentes de zero.
A soma dos cubos das raízes de p(x) depende
a) apenas de a e é positiva.
b) de a e b e é negativa.
c) apenas de b e é positiva.
d) apenas de b e é negativa.
e) de a e b e é positiva.
Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e
Ina a função logaritmo neperiano.
. Sabe-se que r, s e t são raízes da equação 6x3 − x 1
1 x –  5 . Determine um número real w, positivo,
tal que 1 s 1 t 5 w.
a) 1
6
b)
1
3
c)
1
2
d) 2
3
e) 1
. IMERJ 201 Os polinômios P(x) 5 x3 1 ax 1  e
Q(x) 5 x3 1 bx 1  possuem duas raízes comuns. Sa-
bendo que a e b são números reais, pode-se afirmar
que satisfazem a equação
a) a 5 b
b) 2a 5 b
c) a 5 2b
d) 2a 5 3b
e) 3a 5 2b
. IMERJ 201 O polinômio P(x) 5 x5 2 x4 1
1 x3 2 x 1 x 2 4 possui raízes comple-
xas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo
das raízes complexas. Determine todas as raízes do
polinômio.
6. IMERJ 2016 O polinômio x3 1 1 bx 1 c tem
raízes reais a, −a e
a
1 . Portanto, o valor da soma
1 1 12
2
b c ac
b
c
 é:
a) 22
b) 21
c) 0
d) 1
e) 2
BNCC em foco
1.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
a)
b)
c)
d)
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
EM1MAT0
EM1MAT0
EM1MAT02
MATEMÁTICA Capítulo 10 Equações polinomiais
7. IMERJ 2017 Sejam x, y e z complexos que satisfazem
ao sistema de equações abaixo.
1 1 5
1 1 5
1 1 5
7
1 1 1 1
4
25
2 2 2
x y z
x y z
x y z
o valor da soma x 1 y 1 z é:
a) 210 b) 235 c) 250 d) 320 e) 325
8. IMERJ 2018 Resolva a inequação abaixo, onde x é
uma variável real.
|x3| 2 6x 1 |x| 1  < 
9. IMERJ 2019 Seja a inequação 6x4 2 x3 2 x 1
1  2 x < . Seja (a, b) um intervalo contido no conjun-
to solução dessa inequação. O maior valor possível
para b − a é:
a) 2 b)
13
6
c)
1
3
d)
5
2
e)
8
3
0. IMERJ 2019 Sejam x1, x e x3 as raízes da equação
x
3 − ax − 6 5 . Sendo a um número real, o valor de
x³ 1 x³ 1 x³ é igual a:
a) 32 2 a
b) 8 2 2a
c) 8
d) 8 1 2a
e) 32 1 a
Uma das criações modernas que utilizam cilindros em sua estrutura é o amortecedor
hidráulico, ou cilindro hidráulico. Ele é empregado, por exemplo, na suspensão de au-
tomóveis e motocicletas para aumentar o conforto, bem como em elevadores, tratores
e até em máquinas de alta precisão, seja para estabilizá-las, seja para movimentá-las.
Além disso, a forma cilíndrica está presente em uma infinidade de outras aplicações,
por exemplo, embalagens, utensílios domésticos ou técnicos etc.14
FRENTE 3
128 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
Definição
Agora, vamos estudar uma figura geométrica bastante
utilizada em diversas situações, desde aplicações muito sim-
ples como embalagens até algumas mais sofisticadas, como
o parafuso de Arquimedes, que serve para transferir líquidos
e grãos entre pontos de elevações diferentes.
O cilindro é o primeiro sólido geométrico que estudare-
mos que se encaixa na ideia de corpos redondos. Note que
podemos ter uma boa noção desse sólido se pensarmos
em uma pilha de “infinitos” círculos de mesmo diâmetro.
Observe:
Uma maneira formal de visualizá-lo pode ser: “Se-
jam a e b dois planos paralelos distintos, um círculo l
contido em a e uma reta t que intercepta os dois planos.
Denomina-se cilindro de base circular l a união de to-
dos os segmentos paralelos a t que possuem uma das
extremidades em l, no plano a, e outra em algum ponto
de b e suas bases”.
t
e
h
AR
B
l
Observe na figura os principais elementos do cilindro:
• As bases são os dois círculos congruentes contidos
nos planos paralelos a e b.
• O raio das bases é R.
• O eixo do cilindro é e, reta que passa pelos centros
das bases.
• A altura h é a distância entre os planos paralelos a e b.
• A geratriz é AB, segmento de reta cujas extremidades
fazem parte da circunferência das bases. (AB // e)
Cilindro circular reto
ou cilindro de revolução
Quando o eixo e de um cilindro é perpendicular aos
planos das bases, dizemos se tratar de um cilindro de re-
volução, pois ele é gerado por uma rotação completa de
um retângulo em torno de um eixo que contém um dos
seus lados.
Note que, nesse tipo de cilindro, não fazemos distinção
entre geratriz e altura (g 5 h).
Cilindro oblíquo
Quando o eixo e de um cilindro é oblíquo aos planos
das bases, dizemos se tratar de um cilindro oblíquo.
g
e
h
Atenção
S
e
rg
e
y
 M
e
rk
u
lo
k
.c
o
m
129
F
R
E
N
T
E
 3
Seção meridiana
É a interseção de um cilindro com um plano que con-
tém seu eixo. No cilindro reto a seção meridiana será
sempre um retângulo com medida da base igual à medida
do diâmetro da base do cilindro (2R) e altura coincidindo
com a altura do cilindro (h).
A
B
C
DR
Em cilindros oblíquos, as seções meridianas serão pa-
ralelogramos de base igual ao diâmetro da base do cilindro
(2R) e altura igual à do cilindro (h).
A B
2R
CD
h
Portanto, a área da seção meridiana será Aseção5 2Rh.
Cilindro equilátero
Se a seção meridiana em um cilindro reto for um
quadrado, ou seja, se a altura tiver a mesma medida
que o diâmetro da base, dizemos que esse cilindro é
equilátero.
A
B
C
D
2R
h
ABCD é um quadrado (h 5 2R).
Seção não meridiana
Podemos também fazer cortes no cilindro que não con-
tenham o seu eixo. Quando esses cortes são paralelos ao
eixo do cilindro, fazemos uma análise olhando para a base.
Vamos fazer um estudo genérico para um corte a uma dis-
tância d do eixo do cilindro.
x
h
x
x
d
R
x
R
Sendo d a distância da seção ao eixo, temos, por
Pitágoras:
R2 5 d2 1 x2
A área da seção será Aseção 5 2xh, já que é um
retângulo.
Áreas no cilindro de revolução
A área lateral de um cilindro corresponde à área da
superfície cilíndrica. Dessa forma, calculá-la pode ser difícil
se o cilindro for oblíquo. Contudo, se o cilindro for reto, a
tarefa será mais simples.
Para calcular a área lateral, no caso de um cilindro de
revolução, basta planificá-lo e observar que a planificação
da superfície lateral é um retângulo cuja base tem medida
igual ao comprimento da circunferência da base do cilindro
e altura igual à altura do cilindro. Observe:
2pR
h
R
Assim, a área lateral do cilindro é dada por:
Para calcular a área total, devemos observar que a
planificação é formada pela superfície lateral e duas bases
circulares. Logo, a área total será dada por:
130 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
Exercício resolvido
1. Uece 2018 A medida, em m, da área da superfície
total (área lateral e bases) de um cilindro circular reto
tal que a medida da altura e a medida do raio da basesão ambas iguais a  m é
a) 14p. b) 12p. c) 16p. d) 10p.
Resolução:
Sendo h 5 R 5  m, temos:
Atotal 5 pR ? h 1 pR

Atotal 5 p ?  ?  1 p · 

Atotal 5 8p 1 8p
Atotal 5 p
Isto é, a área da superfície total do cilindro em questão
é p m.
Alternativa: C
Volume de um cilindro
Quando estudamos prismas, verificamos que seu vo-
lume não depende da forma da base, e sim da área dessa
base e da altura. Da mesma forma, pelo princípio de Cava-
lieri, verificamos que o volume de um cilindro qualquer é
dado pela expressão:
h
R
Exercícios resolvidos
2. Determine as expressões para as áreas lateral e total e
o volume de um cilindro equilátero de raio da base R.
Resolução:
Lembrando que, em um cilindro equilátero, a seção me-
ridiana é um quadrado e que, portanto, h5 R, temos:
Alateral 5 pR ? h 5 pR ? R 5 pR

Atotal 5 Alateral 1  ? Abase 5
5 pR 1 pR 5 pR
V 5 pR ? h 5 pR ? R 5 pR3
Essas expressões podem ser utilizadas como fórmu-
las para cilindros equiláteros.
3. FMP-RJ 2018 A figura mostra um retângulo ABCD
cujos lados medem 7 cm e 3 cm. Um cilindro será for-
mado girando-se o retângulo ABCD em torno da reta
definida pelo seu lado AB.
A D
B C
3 cm
7 cm
A medida do volume desse cilindro, em centímetros
cúbicos, é mais próxima de
a) 190
b) 6
c) 126
d) 50
e) 441
Resolução:
Ao rotacionar o retângulo em torno da reta que passa
por A e B, obteremos um cilindro com raio da base
igual a 3 cm e altura 7 cm. Como o volume do cilindro
é dado por V 5 Abase ? h, temos:
V 5 pR ? h 5 p ? 3 ? 7 5 3p cm3
Aproximando p 5 3,, encontramos:
V à 3 · 3,~ V à 7,8
Isto é, 7,8 cm3.
Alternativa: A
Tronco de um cilindro reto
Quando seccionamos um cilindro reto por um plano
não paralelo à base nem ao eixo, obtemos o sólido deno-
minado tronco de cilindro.
Na figura, podemos perceber que o tronco de cilin-
dro pode ser tratado como um cilindro com altura igual ao
comprimento do eixo do tronco. Assim, a área lateral e o
volume do tronco serão dados por:
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E
 3
Saiba mais
Exercícios resolvidos
4. FGV-SP 2018 Um telhado retangular ABCD tem área
igual a  m e está conectado a uma calha de es-
coamento de água da chuva. A calha tem a forma de
um semicilindro reto, de diâmetro AF 5 DE 5 , m e
capacidade igual a 7 litros.
Figura fora de escala
B
A
C
G
D
a
E
F
Considerando DG 5  m e adotando p 5 3, a medi-
da do ângulo agudo CDG, indicada na gura por a, é
igual a
a) 5o.
b) 60o.
c) 45o.
d) 0o.
e) 15o.
Resolução:
A calha tem capacidade de 7 litros, o que corres-
ponde a dizer que comporta um volume de 7 dm3,
e a forma de um semicilindro com raio da base  dm.
Assim, podemos escrever:
720
2 AD
2
AD
720
2 3
120 dm 12 m
2
5
p ? ?
~ 5
?
5 5
Como a área do telhado mede  m, temos:
CD ?  5 ~ CD 5  m
Observando que o triângulo CDG é retângulo, obte-
mos cos
DG
CD
5
10
1
2
60
oa 5 5 5 ~ a 5 .
Alternativa: B
5. Uerj 2017 Um cilindro circular reto possui diâmetro AB
de  cm e altura AA’ de  cm. O plano a, perpendicu-
lar à seção meridiana ABB’A’, que passa pelos pontos
B e A’ das bases, divide o cilindro em duas partes,
conforme ilustra a imagem.
A’ B’
a
A B
O volume da parte do cilindro compreendida entre o
plano a e a base inferior, em cm3, é igual a:
a) p b) 12p c) 16p d) 20p
Resolução:
O sólido cujo volume devemos calcular corresponde
a um tronco de cilindro equivalente à metade do cilin-
dro. Logo:
V
R
2
2 10
2
20
2 2
h
5
p ?
5
p ? ?
5 p
Isto é, p cm3.
Alternativa: D
6. Unesp Um tanque subterrâneo, que tem a forma de
um cilindro circular reto na posição vertical, está com-
pletamente cheio com 3 m3 de água e  m3 de
petróleo.
petróleo
12 m
água
Se a altura do tanque é  metros, a altura, em metros,
da camada de petróleo é
a) 2p.
b) .
c)
7
3
p
.
d) .
e)
8
3
p
.
Resolução:
Como a área da base é a mesma, podemos dizer que
o volume de cada líquido é proporcional à altura que
ocupa no cilindro, ou seja:
h h
h
1
5 ~ 5 ~
5
?
5
30 42
42
12 72
42
12
42 12
72
7
petróleo petróleo
petróleo
Isto é, 7 m.
Alternativa: B
132 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
1. IFSC 2017 Diante dos frequentes períodos de estiagem na cidade onde está sediada, a empresa MESOC decidiu
construir um reservatório para armazenar água.
Considerando que esse reservatório deva ser cilíndrico e ter  metros de diâmetro interno e  metros de altura,
assinale a alternativa CORRETA.
A capacidade do reservatório a ser construído, em litros, será:
Dado: Use p 5 ,1.
a)  100 b)  50 c) 155 000 d) 10 000 e) 5 000
2. Unesp 2018 Os menores lados de uma folha de papel retangular de  cm por 7 cm foram unidos com uma fita
adesiva retangular de  cm por  cm, formando um cilindro circular reto vazado. Na união, as partes da fita adesiva
em contato com a folha correspondem a dois retângulos de  cm por , cm, conforme indica a figura.
20 cm
27 cm
5 cm
20 cm
0,5 cm 0,5 cm
Desprezando-se as espessuras da folha e da  ta e adotando p 5 3,, o volume desse cilindro é igual a
a) 1 550 cm. b) 2 540 cm. c) 1 652 cm. d) 4 05 cm. e) 1 922 cm.
Revisando
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3. Enem 2018 Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são  cm de diâmetro e  cm de
altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com
tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas.
No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto retân-
gulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas:
Modelo
Comprimento
(cm)
Largura
(cm)
Altura
(cm)
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa?
a) I b) II c) III d) IV e) V
4. Enem PPL 2018 A figura mostra uma anticlepsidra, que é um sólido geométrico obtido ao se retirar dois cones opos-
tos pelos vértices de um cilindro equilátero, cujas bases coincidam com as bases desse cilindro. A anticlepsidra pode
ser considerada, também, como o sólido resultante da rotação de uma figura plana em torno de um eixo.
Disponível em: www.klickeducacao.com.br.
Acesso em:  dez.  (adaptado).
A gura plana cuja rotação em torno do eixo indicado gera uma anticlepsidra como a da gura acima é
a) b) c) d) e)
134 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
5. UFRGS 2018 Um tanque no formato de um cilindro
circular reto, cujo raio da base mede  m, tem o nível
da água aumentado em  cm após uma forte chuva.
Essa quantidade de água corresponde a % do volu-
me total de água que cabe no tanque.
Assinale a alternativa que melhor aproxima o volume
total de água que cabe no tanque, em m3.
a) 5
b) 60
c) 6
d) 66
e) 69
6. UPF-RS 2017 Um tonel está com 3% da sua capaci-
dade preenchida por um certo combustível. Sabendo
que esse tonel tem diâmetro de  cm e altura de
600
cm
p
, a quantidade de combustível contida nesse
tonel, em litros, é
60 cm
cm
600
p
a) 1,62
b) 16,2
c) 162
d) 10
e) 162 000
7. PUC-RS 2018 Um recipiente cilíndrico tem 3 cm de
raio e  cm de altura. Estando inicialmente cheio
d’água, o recipiente é inclinado até que o plano de
sua base faça ° com o plano horizontal. Nessa
posição, o volume de água que permanecerá no re-
cipiente será igual a __________ do volume inicial.
a) um oitavo
b) um sexto
c) sete oitavos
d) cinco sextos
8. IFBA 2017 Um metalúrgico utilizou num determinado
trabalho uma folha de metal retangular de dimensões
 cm e 3 cm, com o intuito de formar um cilindro,
unindo os lados da folha de metal de mesma dimen-
são, e verificou que existiam duas possibilidades:
A: Utilizar o lado de  cm como altura do cilindro;
B: Utilizar o lado de 3 cm como altura do cilindro.
Considerando p 5 3 e chamando de VA o volume da
possibilidade A, e VB o volume da possibilidade B. Po-
demos armar que:
a) VA 5 VB 5 1 000
b) VA 5 VB 5 1 500
c) VA 5 1 000 e VB 5 1 500
d) VA 5 2 000 e VB 5  000
e) VA 5 1 500 e VB5 1 000
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9. Enem Libras 2017 Com o objetivo de reformar os tambores cilíndricos de uma escola de samba, um alegorista
decidiu colar adereços plásticos na forma de losango, como ilustrado na Figura , nas faces laterais dos tambores.
Nesta colagem, os vértices opostos P e Q do adereço deverão pertencer às circunferências do topo e da base
do tambor cilíndrico, respectivamente, e os vértices opostos R e S deverão coincidir após a colagem do adereço
no tambor, conforme ilustra a Figura . Considere que o diâmetro do cilindro correspondente ao tambor meça
, metro. Utilize 3, como aproximação para p.
Figura  Figura 2
A diagonal RS do adereço a ser confeccionado pelo alegorista deve medir, em metro,
a) 0,124. b) 0,400. c) 0,496. d) 1,240. e) 2,40.
10. EEAR-SP 2016 Um cilindro de 8 cm de altura e raio da base igual a  cm contém água até a metade de sua altura.
Por algum motivo, houve necessidade de despejar essa água em outro cilindro com  cm de altura, cujo raio da
base mede  cm.
40 cm
18 cm
Considerando p 5 3, o valor que mais se aproxima da altura atingida pela água no segundo cilindro é
a) 14 cm b) 16 cm c) 20 cm d) 24 cm
136 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
1. Enem PPL 2020 Um piscicultor cria uma espé cie de
peixe em um tanque cilíndrico. Devido à s caracterís-
ticas dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente,
 metros de profundidade e ser dimensionado de
forma a comportar  peixes para cada metro cú bico
de á gua. Atualmente, o tanque comporta um total de
7 peixes. O piscicultor deseja aumentar a capacida-
de do tanque para que ele comporte  peixes, mas
sem alterar a sua profundidade. Considere 3 como
aproximaç ã o para p.
O aumento da medida do raio do tanque, em metro,
deve ser de
a) 30 52
b)
30 5
2
2
c) 5
d)
5
2
e)
15
2
2. Udesc 2018 Uma coroa cilíndrica é a região espacial
situada entre dois cilindros concêntricos de mesma al-
tura, um com raio R e outro com raio r, sendo r< R. Se a
altura, o volume e a soma das medidas dos raios dessa
coroa cilíndrica são, respectivamente,  cm, ,p cm3
e , cm, então a área total de sua superfície é:
a) 4p cm2
b) 1,0625p cm2
c) 20,125p cm2
d) 1,125p cm2
e) 6,125p cm2
3. Famema-SP 2017 Um cilindro circular reto A, com
raio da base igual a  cm e altura H, possui a mesma
área lateral que um cilindro circular reto B, com raio da
base r e altura h, conforme mostram as figuras.
6 cm
A H
B h
r
fora de escala
Sabendo que
H
1,2
h
5 e que o volume do cilindro B é
p cm3, é correto a rmar que a diferença entre os
volumes dos cilindros é
a) 50p cm.
b) 42p cm.
c) 45p cm.
d) 4p cm.
e) p cm.
4. IFPE 2018 Milena é aluna do curso de Saneamento
no campus Afogados da Ingazeira e convenceu seu
pai a construir um tanque de tratamento da água do
esgoto no quintal de sua casa. Como o espaço dis-
ponível não é tão grande, o tanque tem por base um
setor circular de um quarto de volta com  metro de
raio e , metros de profundidade.
Se o tratamento utilizado por Milena consegue reapro-
veitar 8% da água, estando o tanque completamente
cheio, quantos litros de água poderão ser reaprovei-
tados? (p 5 3,)
a) 6 20 litros.
b)  50 litros.
c) 2 000 litros.
d) 2 512 litros.
e) 1 50 litros.
5. Unesp 2021 Os motores a combustão utilizados em
veículos sã o identi cados pelas numeraç õ es ., .
ou ., entre outras, que representam a capacidade
volumétrica total da câ mara dos pistões, calculada de
acordo com o diâ metro e o curso de cada pistã o e a
quantidade de pistões.
Para o cálculo dessa capacidade, considera-se que
cada câmara tem o formato de um cilindro reto cuja
altura é o curso do pistão. Desse modo, um motor que
possui  cilindros que deslocam 3 cm3 de mistura
gasosa cada totaliza uma capacidade volumé trica de
  cm3, sendo chamado de um motor   cilindra-
das ou, simplesmente, ..
Há alguns anos, muitas montadoras de automó veis
passaram a adotar motores 3 cilindros ao invé s dos
usuais  cilindros. Uma delas desenvolveu motores 3
cilindros cujas cilindradas e curso do pistã o eram os
mesmos do antigo motor  cilindros.
Mantida a altura dos cilindros, o aumento percentual
que o raio de cada cilindro precisou sofrer para que
o motor 3 cilindros tivesse as mesmas cilindradas do
motor  cilindros é um valor
a) entre 15% e 1%.
b) superior a 1%.
c) entre 9% e 12%.
d) entre 12% e 15%.
e) inferior a 9%.
6. UFU-MG 2015 O rendimento teórico de uma tinta é a
quantidade necessária para pintar um metro quadra-
do de área e serve apenas para determinar o custo
por metro quadrado da tinta. O rendimento real de
uma tinta é calculado no final do trabalho executado
que leva em conta o número de demãos (números de
camadas de tintas necessárias para obter o resultado
esperado) e as perdas decorrentes da preparação e
do método de aplicação. Admita que as perdas, usan-
do os diferentes métodos de pintura, são estimadas
em: pincel %, rolo % e pistola pneumática %.
Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de
combustível na forma de um cilindro circular de  m de
altura e raio da base igual a  m. Sabe-se que a tinta a
ser usada tem rendimento teórico de  m por litro e
que são necessárias duas demãos.
Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias
para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática.
 Dado: Use p 5 ,14.
Exercícios propostos
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 3
7. Unesp 2020 O quilate do ouro é a razão entre a massa
de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada
por . Por exemplo, uma amostra com 8 partes em
massa de ouro e  partes em massa de outro metal (ou
liga metálica) é um ouro de 8 quilates.
Assim, um objeto de ouro de 8 quilates tem
3
4
 de
ouro e
1
4
 de outro metal em massa.
O ouro é utilizado na confecção de muitos objetos,
inclusive em premiações esportivas. A taça da copa
do mundo de futebol masculino é um exemplo desses
objetos.
A FIFA declara que a taça da copa do mundo de fu-
tebol masculino é maciça (sem nenhuma parte oca) e
sua massa é de pouco mais de  kg. Acontece que,
se a taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela pesaria
mais do que o informado.
(“O peso da taça”. https://ipemsp.wordpress.com. Adaptado.)
Considere que a taça seja feita apenas com ouro
8 quilates, cuja composição é de ouro com densidade
,3 g/cm3 e uma liga metálica com densidade
, g/cm3, e que o volume da taça é similar ao de um
cilindro reto com  cm de raio e 3 cm de altura.
Utilizando p 5 3, se a taça fosse maciça, sua massa
teria um valor entre
a) 0 kg e 5 kg.
b) 15 kg e 20 kg.
c) 40 kg e 45 kg.
d) 10 kg e 15 kg.
e) 20 kg e25 kg.
8. FCMMG 2018 Em trabalhos de laboratório, é comum
acompanhar o comportamento de líquidos em aque-
cimento. Os líquidos, da mesma forma que os sólidos,
passam por uma dilatação quando são aquecidos. Por
não possuírem forma específica, os líquidos assumem
o formato do recipiente em que foram alojados.
Ao analisar o comportamento térmico de um líquido,
percebe-se que sua dilatação ocorre ao mesmo tem-
po em que ocorre a dilatação do recipiente, ou seja,
quando aquecido, o complexo (líquido 1 recipiente)
se dilata. Na prática, quando somente se considera
que a capacidade do frasco aumentou, a dilatação
observada para o líquido será uma dilatação aparen-
te. A dilatação real sofrida pelo líquido é superior à
dilatação aparente e é idêntica à soma da dilatação
aparente com a dilatação do recipiente.
Durante um experimento prático de aquecimento de
determinado líquido, foi utilizado um tubo de ensaio
graduado que indicava, inicialmente, a marcação de
um volume de 3 cm3.
Após  minutos de aquecimento, o volume no tubo de
ensaio indicava 3 cm3 e também uma elevação de,
aproximadamente, 3 mm na altura do líquido armaze-
nado no tubo de ensaio.
Considerando-se as informações dadas, pode-se
concluir que o diâmetro do tubo de ensaio, após o
aquecimento, era de, aproximadamente:
a) 4 cm
b)  cm
c) 2 cm
d) 1,5 cm
9. UFPR 2012 As duas latas na figura a seguir possuem
internamenteo formato de cilindros circulares retos,
com as alturas e diâmetros da base indicados. Saben-
do que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o
valor aproximado da altura h?
h
12 cm
4 cm
16 cm
a) 5 cm.
b) 6 cm.
c) 6,25 cm.
d) ,11 cm.
e) ,4 cm.
10. Enem 2021 Um povoado com  habitantes está
passando por uma situação de seca prolongada e os
responsáveis pela administração pública local deci-
dem contratar a construção de um reservatório. Ele
deverá ter a forma de um cilindro circular reto, cuja
base tenha  metros de diâmetro interno, e atender
à demanda de água da população por um período
de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia,
o reservatório vazio é completamente reabastecido
por carros-pipa. Considere o consumo médio diário
por habitante é de  litros de água. Use 3 como
aproximação para p. Nas condições apresentadas, o
reservatório deverá ser construído com uma altura in-
terna mínima, em metro, igual a
a) 1,12
b) ,10
c) 4,5
d) 4,4
e) 5,60
11. Unicamp-SP 2021 No início do expediente do dia
 de março de , uma farmácia colocou à dis-
posição dos clientes um frasco cilíndrico de  mL
( cm3) de álcool em gel para higienização das
mãos. No final do expediente, a coluna de álcool ha-
via baixado  cm. Sabendo que a base do cilindro tem
diâmetro de  cm e admitindo o mesmo consumo de
álcool em gel nos dias seguintes, calcula-se que o
frasco ficou vazio no dia
a) 1 março.
b) 1 março.
c) 19 março.
d) 20 março.
138 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
12. UEG-GO 2020 A porta giratória de um banco é com-
posta por dois retângulos perpendiculares entre si,
que se interceptam no eixo do cilindro gerado pela
rotação desses retângulos. O desenho a seguir ilustra
a área do piso ocupada pela porta giratória.
Sabendo-se que o diâmetro dessa área é , m e
que a altura da porta é ,3 m, o volume do cilindro
ocupado pela porta giratória ao girar é igual a
a) ,6p m
b) 1,42p m
c) 1,4p m
d) ,56p m
e) 4,22p m
13. Unesp Considere uma lata cilíndrica de raio r e altu-
ra h completamente cheia de um determinado líquido.
Este líquido deve ser distribuído totalmente em copos
também cilíndricos, cuja altura é um quarto da altura da
lata e cujo raio é dois terços do raio da lata. Determine:
a) os volumes da lata e do copo, em função de r e h;
b) o número de copos necessários, considerando que
os copos serão totalmente cheios com o líquido.
14. PUC-PR 2016 Um medicamento que dilata os vasos
e artérias do corpo humano é ministrado e aumenta
o diâmetro em % de determinada artéria. Conside-
rando que a artéria se assemelha a um cilindro circular
reto, o fluxo sanguíneo nessa artéria aumenta em
a) 10%.
b) 20%.
c) 21%.
d) 40%.
e) 44%.
15. Ifal 2017 Um garoto pega uma folha retangular de
dimensões  cm e 3 cm e une os lados menores
formando um cilindro. Qual o volume do cilindro obti-
do? Considere p 5 3.
a) 60 cm.
b) 1 102,5 cm.
c) 14 15 cm.
d) 1 55 cm.
e) 1 90 cm.
16. UFPR 2017 Na modelagem matemática de um proces-
so de fabricação, é comum supor que não há perda
de material com emendas, sobreposição de partes etc.
h
b
Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com
diâmetro de  cm e capacidade de , m3. Neste
problema, estamos nos referindo a um cilindro circular
reto perfeito. Para fazer a lateral desse cilindro, será
usada uma chapa metálica retangular de comprimen-
to b e altura h. Use p 5 3, e dê suas respostas com
duas casas decimais.
a) Calcule o comprimento b que a chapa deve ter.
b) Calcule a altura h que a chapa deve ter.
17. UEM-PR 2017 Considere um paralelepípedo reto
retângulo de altura  cm, sobre uma superfície hori-
zontal plana. A face sobre o plano (que chamaremos
de base) tem arestas medindo p cm e 8p cm. Uma
superfície cilíndrica com geratriz de comprimento
igual ao de duas das arestas da base (com uma ge-
ratriz colocada sobre uma dessas arestas) gira, sem
derrapar sobre a face paralela à base,  voltas para
percorrer de uma aresta à outra. Considerando esses
dados, assinale o que for correto.
 O volume do paralelepípedo é 12p2 cm.
 Se a geratriz do cilindro mede p cm, então o raio
do cilindro mede 2 cm.
 Se a geratriz do cilindro mede 4p cm, então o raio
do cilindro mede 2 cm.
 Se a geratriz do cilindro mede 4p cm, então o vo-
lume do cilindro é igual a p cm.
 Se a geratriz do cilindro mede p cm, então o vo-
lume do cilindro é igual a 2p2 cm.
Soma:
18. UFU-MG 2016 A densidade (ou densidade volumé-
trica) de um material mede a quantidade de matéria
(massa) que está presente em uma unidade de vo-
lume desse material. Embora todo material seja um
objeto espacial, é comum considerarmos sendo de
“natureza linear”. Por exemplo, um fio de cobre tem
natureza linear e consideramos sua densidade linear
(razão de sua massa pelo seu comprimento).
O vergalhão CA- são barras de aço muito resisten-
tes, utilizadas na construção civil e comercializadas
em barras padrão de  metros. Admitindo que essas
barras sejam cilíndricas, seus diâmetros (bitolas) va-
riam de , a , mm.
De acordo com as especicações da norma NBR 78,
a barra da bitola de , mm tem densidade linear de
, kg/m (quilograma por metro).
Com base nas informações apresentadas, a densida-
de, em kg/m3, de uma barra de bitola  mm é igual a
a)
222
36p
b)
222
9p
c) p
222000
9
d)
p
222000
36
139
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 3
19. Uece 2020 Se o volume de um paralelepípedo
retângulo, cuja medida das arestas distintas são res-
pectivamente  cm, 3 cm e  cm, é igual ao volume de
um cilindro circular reto, cuja medida do raio da base
é igual a  cm, então, é correto afirmar que a medida
da altura do cilindro, em cm, é
a)
6
p
. b) 6p. c)
6
p
. d) p.
20. Acafe-SC 2016 As colunas de sustentação de uma
determinada ponte são formadas por cilindros retos,
sem bases (são cilindros vazados, que posteriormen-
te serão preenchidos com concreto), de 8 metros de
diâmetro e com capacidade de 3  litros. Para a
confecção desses cilindros, a indústria usa chapas
metálicas retangulares de 3,m 3 ,m. As chapas
serão unidas por filetes também metálicos que serão
soldados ao longo das dimensões da chapa (despre-
ze as dimensões dos filetes).
Considere as armações a seguir, assinalando V para
as verdadeiras e F para as falsas.
 Dado: Use p 5 ,14.
J A altura do cilindro é um número entre  metros e
7 metros.
J Quando planificado, o cilindro torna-se um retângu-
lo cujo lado maior mede entre 7 metros e  metros.
J O número de chapas utilizadas na construção de
um cilindro pertence ao intervalo [8, 3].
A sequência correta, de cima para baixo, é:
a) F – F – V.
b) V – V – F.
c) V – V – V.
d) V – F – V.
Texto complementar
O volume da tora de madeira
Num encontro sobre ensino de Matemática realizado certa vez em
Vitória, um aluno da Universidade do Espírito Santo descreveu-me um
processo usado por seu pai, que trabalhava numa serraria, para obter
o volume de uma tora de madeira.
Com um barbante, ele dá uma volta no tronco.
O barbante é então cortado no ponto em que a volta se completa.
A seguir, ele dobra o barbante ao meio, juntando suas pontas. Depois,
dobra-o novamente ao meio. Em seguida, mede o comprimento do
barbante dobrado em quatro.
O valor assim obtido é então multiplicado por ele mesmo e este
resultado é depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Pronto: o
produto final obtido é o volume da tora.
Vamos analisar este processo. Estará correto?
Suponhamos a tora cilíndrica de raio r e comprimento c. Com o
barbante dando uma volta no tronco, ele obtém o perímetro da circun-
ferência de raio r, isto é:
comprimento do barbante esticado: 2pr
Dobrando duas vezes o barbante ao meio temos:
r rcomprimento do barbante esticado
4
2
4 2
5
p
5
p
Este é o valor que ele obtém com o metro. Multiplicando-o por si
mesmo e a seguir pelo comprimento da tora temos:
p
?
p
? 5
p
5
p
? p
2 2 4 4
2 2
2r r
c
r c
r c
O volume do cilindro de raio r e comprimento (ou altura) c é pr2c.
Comop< 4, concluímos que o valorobtido pelo pai do rapaz é menor
que o volume da tora. Uma vez que
4
3
4
75%
p
à 5 , o volume calcula-
do é cerca de 75% do volume real.
Comentei este fato com o estudante e ele me disse que as pessoas
que comercializam a madeira sabem desta diferença e a aceitam, devido
ao seguinte: desdobrando a tora em tábuas, sobram as costaneiras,
tábuas da periferia do tronco que não são vendidas.
Deste modo, justificavam a aproximação por falta, no cálculo do
volume da tora cilíndrica.
É interessante perceber que o processo descrito corresponde
à seguinte ideia: substituímos o cilindro por um prisma de base
 quadrada.
L
Os dois sólidos têm o mesmo comprimento (altura) e suas bases
têm perímetros iguais.
Esta transformação do círculo em quadrado preserva o perímetro,
mas não a área.
De fato:
r
r
2 4
2
p 5 L ~ L5
p
área do círculo5pr2
⇒
r
r rárea do quadrado
4 4
2
2 2
2 2L 5
p
5
p
? p < p
Logo, área do quadrado< área do círculo.
IMENES, Luiz Márcio. “Para que serve”.
Revista do Professor de Matemática, SBM. Rio de Janeiro. . ed.
Disponível em: http://rpm.org.br/cdrpm//3.htm. Acesso em:  mar. .
140 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
1. Enem 2020 Uma loja de materiais de construç ão
vende dois tipos de caixas-d’á gua: tipo A e tipo B.
Ambas tê m formato cilí ndrico e possuem o mesmo
volume, e a altura da caixa-d’á gua do tipo B é igual a
% da altura da caixa-d’á gua do tipo A. Se R denota
o raio da caixa-d’á gua do tipo A, então o raio da caixa-
-d’á gua do tipo B é
a)
R
2
b) 2R
c) 4R
d) 5R
e) 16R
2. UPF-RS 2021 O volume de um cilindro circular reto C
é cm3. O volume, em cm3, de um cilindro circular
reto com o raio duas vezes maior e metade da altura
do cilindro C é :
a) 2C
b) 4C
c) C
d)
C
4
e)
C
2
3. Fuvest-SP Na figura adiante, têm-se um cilindro cir-
cular reto, onde A e B são os centros das bases e C
é um ponto da intersecção da superfície lateral com a
base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento
BC, cujas distâncias a AC e AB são ambas iguais a d,
obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área
total (área lateral somada com as áreas das bases), em
função de d.
B
A C
Resumindo
h
R
Alateral 5 2pR ? h
Atotal 5 2pR ? h 1 2pR
2
V 5 Abase ? altura 5 pR
2 ? h
h
R
V 5 Abase ? altura 5 pR
2 ? h
e
R
Alateral5 2pR ? e
V 5 pR2 ? e
Cilindro reto Cilindro oblíquo Tronco de cilindro reto
Quer saber mais?
Sites
Planificação do cilindro no GeoGebra. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/XzfFNDYV. Acesso em: 2 fev. 2022.
Com a ajuda desse software de geometria dinâmica, é possível modificar elementos do cilindro e observar as alterações na
planificação, possibilitando diversas análises.
PERRONE, Gabriel Cury. Parafuso de Arquimedes,  dez. 209. AMLEF. Disponível em: https://www.ufrgs.br/amlef/209/2/0/
parafuso-de-arquimedes/. Acesso em: 2 fev. 2022.
Na página indicada, há um texto sobre o funcionamento e a história do parafuso de Arquimedes, uma antiga tecnologia utilizada
ainda nos dias atuais.
Exercícios complementares
141
F
R
E
N
T
E
 3
4. IFCE 2016 Dentre todos os retângulos de períme-
tro P 5  cm, iremos rotacionar o de área máxima
em torno de um de seus lados, gerando um cilindro.
Ovolume desse cilindro, em cm3, é
a) 500p.
b) 25p.
c) 50p.
d) 100p.
e) 1 000p.
5. Enem Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira,
precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se
encontram numa reunião na sala. Para fazer o café,
Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copi-
nhos plásticos também cilíndricos.
8 cm
20 cm
4 cm
4 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista de-
seja colocar a quantidade mínima de água na leiteira
para encher os vinte copinhos pela metade. Para que
isso ocorra, Dona Maria deverá
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
6. Unicamp-SP 2013 A embalagem de certo produto
alimentício, em formato de cilindro circular, será alte-
rada para acomodar um novo rótulo com informações
nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo vo-
lume da embalagem, a sua área lateral precisa ser
aumentada. Porém, por restrições de custo do mate-
rial utilizado, este aumento da área lateral não deve
ultrapassar %. Sejam r e h o raio e a altura da emba-
lagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem
alterada. Nessas condições podemos afirmar que:
a) R 3
4
e
H 16
9r h
. , .
b)
R 9
16
e
H 4
3r h
. , .
c) R 4
5
e
H 25
16r h
. , .
d) R 16
25
e
H 5
4r h
. , .
7. Fuvest-SP Uma garrafa de vidro tem a forma de dois
cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura
 cm e raios das bases R e r, respectivamente.
r
x
4 cm
4 cm
Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x
da garrafa se expressa segundo o gráco a seguir,
quais os valores de R e r ?
V(x) (cm3)
x (cm)0 2
18p
44p
4 6 8
8. Enem PPL 2012 Uma prefeitura possui modelos de
lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medin-
do  cm e altura de  cm. Para fazer uma compra
adicional, solicita à empresa fabricante um orçamen-
to de novas lixeiras, com a mesma forma e outras
dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixei-
ras se a capacidade de cada uma for, no mínimo, dez
vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário
não ultrapassar R$ ,. O custo de cada lixeira é
proporcional à sua área total e o preço do material
utilizado na sua fabricação é de R$ , para cada
 cm. A empresa apresenta um orçamento discri-
minando o custo unitário e as dimensões, com o raio
sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em
 cm. (Aproxime p para 3.)
O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefei-
tura, pois
a) o custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60.
b) o custo de cada lixeira ficou em R$ 2,00.
c) o custo de cada lixeira ficou em R$ 2,40.
d) a capacidade de cada lixeira ficou  vezes maior.
e) capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.
142 MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
9. Enem Um fabricante de creme de leite comercializa
seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro
da base medindo  cm e altura 3, cm. O rótulo de
cada uma custa R$ ,. Esse fabricante comercializa-
rá o referido produto em embalagens ainda cilíndricas
de mesma capacidade, mas com a medida do diâme-
tro da base igual à da altura.
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto
com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar
por esse rótulo é de:
a) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 2
3
 na super-
fície da embalagem coberta pelo rótulo.
b) R$ 0,40, pois haverá uma redução de 1
3
 na super-
fície da embalagem coberta pelo rótulo.
c) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade
da embalagem.
d) R$ 0,0, pois haverá um aumento de 1
3
 na superfí-
cie da embalagem coberta pelo rótulo.
e) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 2
3
 na superfí-
cie da embalagem coberta pelo rótulo.
10. Unicamp-SP 2019 Seja um cilindro circular reto com
raio da base de comprimento r 5  cm e altura de
comprimento h. Seja d a maior distância entre dois
pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo.
h
a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um
litro, calcule sua área de superfície total.
b) Determine o valor de d no caso em que (r, h,
seja uma progressão geométrica.
11. PUC-Rio 2018 Considere a parábola de equação
y 5  – x. Para x é [, ], inscrevemos, entre o eixo
horizontal e a parábola, um retângulo de vértices
(x, ), (–x, ), (–x, y) e (x, y). Note que os dois vér-
tices (–x, y) e (x, y) pertencem à parábola.
Giramos o retângulo ao redor do eixo y, obtendo,
assim, um cilindro circular reto.
a) Determine, em funçãode x, o raio da base, a al-
tura e o volume do cilindro.
b) Calcule o volume do cilindro para
2
3
0
x 5 .
c) Encontre o valor de x para o qual o cilindro tem
volume máximo. Determine este volume máximo.
12. UFU-MG 2018 No Brasil, é comercializada, nos
postos de combustível, a mistura do álcool anidro
(etanol) com gasolina pura (gasolina A), conhecida
como gasolina C. A proporção entre esses com-
bustíveis é indicada pela porcentagem de etanol
precedido pela letra E maiúscula. Dessa maneira,
a mistura E é composta de % de etanol e %
de gasolina A. As misturas mais comuns são E,
E, E e E7.
Suponha-se que um tanque de uma distribuidora, na
forma de um cilindro circular reto com  metros de
diâmetro e capacidade de   litros, esteja com
  litros da mistura E. Suponha-se também
que, devido a uma nova regulamentação da ANP
(Agência Nacional do Petróleo), deva ser adicionado
etanol nesse tanque de modo a obter a mistura E,
que passará a ser distribuída para comercialização.
Com base no texto apresentado, elabore e execute
um plano de resolução de maneira a determinar
a) a quantidade de litros de etanol que serão adicio-
nados a esse tanque.
b) o aumento, em metros, no nível de combustível
(altura da coluna) nesse tanque.
Dado: Use p 5 ,125.
13. ITA-SP 2014 Um cilindro reto de altura h 5  cm tem
sua base no plano xy definida por
x
 1 y – x – y 1  , 
Um plano, contendo a reta y – x5  e paralelo ao eixo
do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área
total da superfície do menor sólido.
14. Unesp Na construção de uma estrada retilínea foi ne-
cessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar
um morro. Esse túnel tem seção transversal na forma
de um círculo de raio R seccionado pela corda AB e
altura máxima h, relativa à corda, conforme figura.
Sabendo que a extensão do túnel é de   m, que
AB 4 3 m5 e que 3R
2
6 mh5 5 , determine o volu-
me aproximado de terra, em m3, que foi retirado na
construção do túnel.
Dado:
3
1,05 e 3 1,7
p
à à .
143
F
R
E
N
T
E
 3
15. UEM-PR 2015 A figura a seguir representa um expo-
sitor de salgados que consiste em
1
4
 de um cilindro.
Observe na figura que na metade da altura desse
expositor existe uma prateleira que o divide em
duas partes.
20 cm
20 cm
altura
raio 5 40 cm
largura 5 1 m
Considerando que a parte frontal do expositor corres-
ponde à lateral do cilindro, assinale o que for correto.
Dado: 1 litro5  decímetro cúbico.
 A área da prateleira do meio é
3
5
m
2.
 O volume da parte inferior do expositor (abaixo da
prateleira) é ( )20
3
2 3 3 litrosp 1 .
 O volume do expositor é de 40p litros.
 O volume da parte superior do expositor (acima
da prateleira) é ( )20
3
2 3 3 litrosp 2 .
 A área da região frontal do expositor é
2
5
m
2p .
Soma:
16. ITA-SP 2013 No sistema xOy os pontos A(, ), B(, )
e C(, ) são vértices de um triângulo inscrito na base
de um cilindro circular reto de altura 8. Para este cilin-
dro, a razão
volume
área total da superfície
, em unidade de
comprimento, é igual a
a) 1.
b)
100
105
.
c)
10
11
.
d)
100
115
.
e)
5
6
.
17. ITA-SP Considere um cilindro circular reto, de volu-
me igual a 3p cm3, e uma pirâmide regular cuja
base hexagonal está inscrita na base do cilindro.
Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da al-
tura do cilindro e que a área da base da pirâmide
é de 54 3 cm, então, a área lateral da pirâmide
mede, em cm,
a) 18 427
b) 27 427
c) 36 427
d) 108 3
e) 45 427
18. Unicamp-SP Um cilindro circular reto é cortado por
um plano não paralelo à sua base, resultando no
sólido ilustrado na figura. Calcule o volume desse
sólido em termos do raio da base r, da altura má-
xima AB 5 a e da altura mínima CD 5 b. Justifique
seu raciocínio.
B
A
D
b
C
a
19. ITA-SP Um cilindro circular reto é seccionado por
um plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a cm
do eixo e separa na base um arco de °. Sendo
de 30 3 cm a área da secção plana retangular, en-
tão o volume da parte menor do cilindro seccionado
mede, em cm3:
a) 30 10 3p 2
b) 30 20 3p 2
c) 20 10 3p 2
d) 50 25 3p 2
e) 100 75 3p 2
20. ITA-SP O raio de um cilindro de revolução mede ,m.
Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a
área da secção determinada por um plano que contém
o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em
m, vale
a) 3
4
2p
b) 9 (2 )
4
p 1 p
c) p(2 1 p)
d)
2
2p
e) 3 ( 1)
2
p p 1
BNCC em foco
1.
 Dado: p
3 m
a)
b)
c)
d)
2.
a)
b)
c)
d)
3.
a) p
b) p
c) p
d) p
e) p
EM13MAT201
EM13MAT201
EM13MAT201
MATEMÁTICA Capítulo 14 Cilindros
Cones e esferas
Depois de estudar detalhadamente os cilindros, os próximos corpos redondos a serem
estudados são os cones e as esferas.
Embora existam diversas outras formas geométricas dotadas de superfícies curvas,
essas duas em particular admitem relações métricas mais interessantes para serem
abordadas no Ensino Médio, de modo que a capacidade de avaliar a extensão de suas
superfícies e a grandeza de seus volumes é um assunto bastante cobrado em diver-
sos vestibulares. Afinal, essas formas são muito presentes em nosso cotidiano, sendo
encontradas nas mais diversas situações, desde alimentos até objetos decorativos.
15
CAPÍTULO
FRENTE 3
146 MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas
Cones
Entre os corpos redondos, o próximo sólido geo-
métrico que estudaremos é o cone. Diversos objetos e
utensílios domésticos bastante úteis ao ser humano, como
podemos ver a seguir, lembram o formato de um cone.
Formalmente, podemos definir um cone da seguinte
maneira:
“Sejam a um plano, V um ponto fora de a e l um círculo
de centro O e raio R contido em a. Denomina-se cone de
base circular a união de todos os segmentos de reta com uma
extremidade em V e outra em l.”
V
e
h
Observe na figura os principais elementos dos cones:
ɔ o vértice do cone, que é o ponto V fora do plano a;
ɔ a base do cone, que é o círculo l, de diâmetro AB
contido no plano a;
ɔ o centro dessa base, que é o ponto O;
ɔ a medida R do raio da base;
ɔ o eixo e do cone, que é a reta determinada pelos
pontos V e O;
ɔ a medida h da altura do cone, que é a distância do
ponto V ao plano a;
ɔ a geratriz do cone, qualquer segmento que liga o
vértice a um ponto da circunferência da base, assim
como VA e VB.
Cone reto ou cone de revolução
Quando o eixo do cone é perpendicular ao plano
da base, podemos dizer que trata-se de um cone reto,
ou de revolução. Cones de revolução são obtidos por
rotações completas de triângulos retângulos em torno
de um de seus catetos.
V
O
Eixo
A
R
h
g
V
Eixo
A A'
h
g
Note que, em cones de revolução, todas as geratrizes
têm o mesmo comprimento.
Sendo g o comprimento das geratrizes de um cone
de revolução, uma relação métrica entre esse valor e os
valores do raio da base do cone e sua altura pode ser
enunciada a partir do teorema de Pitágoras aplicado ao
triângulo retângulo cuja revolução dá forma ao cone.
V
g
h
R
O
A A'
g2 5 R2 1 h2
Exercício resolvido
1. Enem Um arquiteto está fazendo um projeto de ilu-
minação de ambiente e necessita saber a altura que
deverá instalar a luminária na figura:
luminária
h
g 5 5 m
147
F
R
E
N
T
E
 3
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área
circular de 28,26 m2, considerando p à 3,14, a altura
h será igual a:
a)  m.
b)  m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e)  m.
Resolução:
Sendo R a medida do raio da área iluminada, temos:
pR2 5 28,26 m2
Considerando a aproximação sugerida, obtemos:
3,14 ? R2 5 28,26 m2 ~ R2 5  m2
Assim, como h > 0, de g2 5 R2 1 h2, encontramos:
2 5  1 h2 ~ h2 5 2 –  5 16 _ h 5 4 m
Alternativa: B
Atenção
Seção meridiana
Da mesma forma que nos cilindros, as seções meri-
dianas de um cone são obtidas pela interseção deste com
algum plano que contenha o seu eixo.
Nos cones de revolução, as seções meridianas são
todas congruentes entre si e têm a forma de triângulos
isósceles cuja base coincide com algum diâmetro da
base do cone (R) e cuja altura coincide com a alturado cone (h).
Atenção
Cone equilátero
Se a seção meridiana de um cone de revolução for um
triângulo equilátero, ou seja, se o diâmetro da base tiver a
mesma medida que as geratrizes do cone, então o cone
também receberá o nome de equilátero.
Em um cone equilátero, todas as geratrizes estão in-
clinadas ° em relação ao plano da base. Além disso, as
medidas das geratrizes e da altura podem ser expressas
em função do raio da base por:
Exercício resolvido
2. Qual é a área da seção meridiana de um cone equilá-
tero cuja altura mede 10 cm?
a) 50 2 cm2.
b) 100 2 cm2.
c)
50 3
3
 cm
2
.
d)
100 3
3
 cm
2.
e)
100
3
 cm
2.
Resolução:
A gura a seguir representa a seção meridiana desse
cone:
10 cm
g 5 2R
60°
R R
No triângulo retângulo, tg (60 )
10
R
R
10 3
3
cm
o 5 ~ 5 .
Assim, a área da seção é:
5
?
5 ? 5 ? 5A
2R
2
R
10 3
3
10
100 3
3
cmseção
2h
h
Alternativa: D
148 MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas
Áreas de um cone de revolução
Como a base de um cone de revolução é um círculo de
raio R, a área da base de um cone é dada pela expressão:
Além disso, o comprimento da circunferência dessa
base é dado pela expressão:
Observe que, ao desenvolver a superfície lateral de um
cone de revolução, a figura obtida é a de um setor circular
cujo raio coincide com a geratriz do cone.
V
u
g
h
A A'
A
A
V
g
g
A'
R
O
A
OR
Sendo u a medida, em radianos, do ângulo central da
planificação da superfície lateral de um cone de revolução
e L o comprimento do arco do setor circular que representa
essa planificação, temos que:
Como o arco desse setor corresponde ao comprimento
de toda a circunferência da base do cone, a sentença L 5 C
implica uma importante relação métrica, própria dos cones
de revolução:
Exercícios resolvidos
3. Qual a medida, em graus, do ângulo central da plani-
ficação da superfície lateral de um cone circular reto
cujo raio da base mede  dm e a altura mede 12 dm?
a) o
b) o
c) 5o
d) o
e) 9o
Resolução:
Para resolver esse problema, podemos, primeiro, des-
cobrir a medida da geratriz do cone.
Então, de g2 5 R2 1 h2, obtemos:
g
2 5 2 1 122 5 81 1 144 5 22 dm2
Como g > 0, vem que 5 1 5225 15 dmg
Agora, de u ? g 5 2p ? R, temos que:
u ? 5 p ? ~ u 5
p
5
p
15 2 9
18
15
6
5
rad
Convertendo a medida angular de radianos para graus,
obtemos u 5
?
5
6 180
5
216
o
o .
Alternativa: B
4. Um pedaço de cartolina em forma de setor circular, com
raio de 20 cm e ângulo central de 144o, foi cortado para
montar a superfície lateral de um cone circular reto.
Quanto esse cone terá de altura depois de montado?
a) 8 2 cm c) 4 7 cm e) 4 21 cm
b) 16 2 cm d) 8 7 cm
Resolução:
Em questões como essa, é importante observar que
o raio do setor circular não é igual ao raio da base do
cone, e sim igual à geratriz do cone. Assim, g 5 20 cm.
Calculando u em radianos, temos:
p
u
~ u 5 p 5
p180 rad
144 rad
144
180
4
5
rad
o
o
o
o
Então, de u ? g 5 2p ? R, obtemos:
p
? 5 p ? ~ 5
4
5
20 2 R R 8 cm
Finalmente, de g2 5 R2 1 h2, vem que:
202 5 82 1 h2, h > 0
h
2 5 400 – 64 5 336 cm2
Portanto, 5 5336 4 21 cmh
Alternativa: E
Atenção
Como o raio do setor circular que corresponde à pla-
nificação da superfície lateral do cone tem o comprimento
da geratriz desse cone, a área lateral dos cones de revo-
lução é expressa por:
Da igualdade L 5 pR, podemos deduzir que:
5
p ? ?
A
2 R
2
lateral
g
Simplificando a fração, concluímos que a área lateral
de um cone de revolução pode ser expressa por:
Então, como os cones de revolução possuem apenas
uma base, sua área total fica expressa por:
Atotal 5 Alateral 1 Abase
149
F
R
E
N
T
E
 3
Exercício resolvido
5. Qual a área lateral de um cone de revolução cujo raio
da base mede 4 cm e a altura mede 3 cm?
a) p cm.
b) 5p cm.
c) p cm.
d) p cm.
e) 5p cm.
Resolução:
Da relação g2 5 R2 1 h2, temos g2 5 42 1 32 5 16 1
1  5 2 cm2.
Como g > 0, então g 5  cm.
Dessa forma, a área lateral do cone mede:
Alateral 5 p ? R ? g 5 p ? 4 ?  5 20p cm
2
Alternativa: D
Saiba mais
Exercício resolvido
6. Se B, L e T são os respectivos valores da área da base
de um cone equilátero, de sua área lateral e de sua
área total, então:
a) 5 5
B
1
L
2
T
3
b) 5 5
B
1
L
4
T
9
c) 5 5
B
2
L
3
T
4
d) 5 5
B
2
L
3
T
5
e) 5 5
B
1
L
4
T
5
Resolução:
A área da base de todo cone de revolução é B 5 p ? R2.
Como, em cones equiláteros, g 5 2R, a área lateral
desse cone é L 5 p ? R ? g 5 p ? R ? 2R 5 2p ? R2.
E a área total é T 5 B 1 L 5 p ? R2 1 2p ? R2 5 3p ? R2.
Portanto 5 5
B
1
L
2
T
3
.
Alternativa: A
Volume de um cone
Vimos, em capítulos anteriores, que o volume de uma
pirâmide não depende do formato de sua base, mas sim do
valor da área dessa base. Assim, pelo princípio de Cavalieri,
o volume de um cone equivale à terça parte do produto da
área de sua base pelo comprimento de sua altura.
h
Na figura, se os planos a e b são paralelos e não coin-
cidentes então a altura h do cone é a distância entre esses
planos e, sendo B o valor da área da região indicada como
base, o volume de sólidos como o representado pela figura
fica expresso por:
5
?
V
B
3
h
Vale lembrar que cones têm base circular. Desse modo,
concluímos que o volume desses cones é expresso por:
Exercício resolvido
7. O volume de um cone cuja circunferência da base tem
18 m de comprimento e a altura mede 2p m é igual a:
a) 7 m3.
b)  m3.
c) 5 m3.
d) 5 m3.
e)  m3.
Resolução:
Do comprimento da base, obtemos 2 R 18 R
9
p 5 ~ 5
p
.
Portanto, o volume desse cone, em m3, é:
5
p ? ?
5
p
?
p
? p 5
p
?
p
5V
R
3 3
9
2
2
3
81
54
2 2 2
2
h
Alternativa: D
150 MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas
Esferas
Os próximos corpos redondos que estudaremos com
maior profundidade são as esferas, cujo formato também é
lembrado nos inúmeros objetos utilizados pela humanidade
além de servirem como modelo para estudos do comporta-
mento físico dos universos microscópico e macroscópico.
u
r
k
p
h
o
to
.c
o
m
S
la
y
S
to
rm
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
m
rt
o
m
-u
k
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
s
u
b
ju
g
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
M
u
tl
u
 K
u
rt
b
a
s
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
B
la
ck
J
a
c
k
3
D
/i
S
to
ck
p
h
o
to
.c
o
m
Formalmente, podemos definir a esfera da seguinte
maneira:
“Sejam O um ponto do espaço e R uma distância defi-
nida. Chamamos de esfera o conjunto formado por todos
os pontos do espaço cujas distâncias até o ponto O sejam
menores ou iguais a R.”
E
F
Na figura da esfera, os elementos em destaque são:
ɔ o centro da esfera, que é o ponto O;
ɔ três eixos da esfera, que são as retas OD, OE e OF,
perpendiculares duas a duas;
ɔ dois círculos máximos da esfera, situados em planos
perpendiculares;
ɔ um ponto D da região interior da esfera;
ɔ um ponto E da superfície da esfera;
ɔ um ponto F da região exterior à esfera.
É importante observar que R não é o representante
de um segmento de reta, mas de um valor numérico, que é
o comprimento definido como distância ao centro da esfera.
Assim, em relação aos pontos destacados na figura:
ɔ Distância (D, O) < R
ɔ Distância (E, O) 5 R
ɔ Distância (F, O) > R
O comprimento R que define a esfera é denominado
raio da esfera. Assim, dizemos que a figura representa uma
esfera de centro O e raio R.
Os círculos máximos de uma esfera também recebem
o nome de meridianos da esfera. Todo círculo máximo de
uma esfera tem o mesmo centro que a esfera.
Chamamos de diâmetro da esfera qualquer segmento
de reta que passa pelo centro e cujas extremidades são
pontos da superfície da esfera. Os diâmetros da esfera
medem R.
A descoberta de Arquimedes
Arquimedes de Siracusa foi um grande pensador da
Antiguidade, e seus experimentos contribuíram muito tanto
para os estudos da Matemática quanto para os da Físi-
ca. Uma das conclusões mais impressionantes que tirou
desses experimentos foi a relação entre volumes e áreas
de duas formas geométricas em particular: a esfera e o
cilindro equilátero.
Suas descobertassobre a métrica desses corpos
redondos só foram demonstradas muito posteriormente,
quando o conhecimento matemático já incorporava o cál-
culo diferencial e integral, de modo que Arquimedes pode
ser considerado um precursor dessa ciência.
h 5 2R
De acordo com os experimentos de Arquimedes, se
um cilindro equilátero e uma esfera têm o mesmo raio R,
então a área da superfície total do cilindro é 5% maior
que a área da superfície esférica. E nessas condições, o
volume do cilindro também é 5% maior que o volume
da esfera.
Superfície esférica
Vamos usar a relação de Arquimedes com o objeti-
vo de deduzir uma expressão para a área da superfície
esférica.
151
F
R
E
N
T
E
 3
A área total de um cilindro de revolução é composta das
áreas de sua superfície lateral e de suas duas bases circu-
lares. Assim, sendo R e h as medidas do raio e da altura do
cilindro, temos:
ɔ Alateral 5 pRh
ɔ Abase 5 pR

ɔ Atotal 5 Alateral 1  ? Abase 5 pRh 1 pR
 5 pR(h 1 R)
Como se trata de um cilindro equilátero, h 5 R. Portanto:
ɔ Atotal 5 pR(R 1 R) 5 pR ? R 5 pR

Então, da relação de Arquimedes para as áreas da su-
perfície esférica e do cilindro equilátero, obtemos:
5
p
5
? 5 p
Área do cilindro equilátero
Área da superfície esférica
1,5
6 R
Área da superfície esférica
3
2
3 (Área da superfície esférica) 12 R
2
2
Exercício resolvido
8. Qual é a área aproximada da superfície de uma esfera
com 80 cm de diâmetro?
a) , m.
b) ,9 m.
c) , m.
d) , m.
e) , m.
Resolução:
Do diâmetro da esfera, obtemos 2R5 80 cm~R5 40 cm.
Assim, o valor exato de sua área é:
A 5 4pR2 5 4p ? 402 5 6 400p cm2
Convertendo a unidade, encontramos:
A 5 6 400p ? (10–2 m)2 5 6 400 ? 10–4p m2 5 0,64p m2
Com p 5 3,14, temos o valor aproximado:
A à 0,64 ? 3,14 à 2,006 m2
Alternativa: C
Volume da esfera
Também vamos utilizar a relação de Arquimedes a fim
de deduzir uma expressão para o volume da esfera.
O volume de um cilindro de revolução de raio R e altura
h é dado por:
Vcilindro 5 pR

h
Como se trata de um cilindro equilátero, h 5 R. Logo:
Vcilindro 5 pR
 ? (R) 5 pR
Então, da relação de Arquimedes para os volumes da
esfera e do cilindro equilátero, temos que:
5
p
5
? 5 p
Volume do cilindro equilátero
Volume da esfera
1,5
2 R
Volume da esfera
3
2
3 (Volume da esfera) 4 R
3
3
Exercícios resolvidos
9. Calcule o volume de uma esfera sabendo que sua su-
perfície tem uma área de 324p cm2.
a) p cm.
b) 97p cm.
c) p cm.
d) 79p cm.
e) 97p cm.
Resolução:
Da área da superfície, obtemos 4pR2 5 324p ~ R2 5 81.
Portanto, como R > 0, R 5  e o volume dessa esfera,
em cm3, é:
5
p
5
p ?
5
p ?
5 p ? 5 pV
4 R
3
4 9
3
4 729
3
4 243 972
3 3
Alternativa: E
10. Qual o número inteiro que mais se aproxima da medi-
da, em centímetros, do raio interno de um recipiente
esférico com capacidade de 1 litro? Utilize p à 3.
a) 
b) 
c) 
d) 5
e) 
Resolução:
Como 1 litro equivale a 1 000 cm3, sendo R a medi-
da, em centímetros, do raio dessa esfera, obtemos
4 R
3
1000
3p
5 .
Com p à 3, temos que, aproximadamente,
à ~ à ~ à4R 1000 R 250 R 2503 3 3
Então, como < <216 250 3433 3 3 , temos que R
satisfaz 6 < R < , sendo 6 o inteiro que mais se apro-
xima da medida do raio.
Alternativa: E
Seção meridiana da esfera
Qualquer reta que passe pelo centro de uma esfera é
também um eixo dela. Dessa forma, qualquer plano que pas-
se pelo centro da esfera promove nela uma seção meridiana.
A circunferência de uma seção meridiana da esfera é
chamada de meridiano da esfera.
E
A área da seção meridiana de uma esfera de raio R é
igual a pR.
Então, o comprimento dos meridianos de uma esfera
de raio R é igual a pR.
152 MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas
Hemisférios
Toda seção meridiana de uma esfera a divide em dois
sólidos congruentes, denominados hemisférios. Assim, o
volume de um hemisfério equivale à metade do volume de
uma esfera de mesmo raio R.
Volume do hemisfério
1
2
(volume da esfera)
Volume do hemisfério
1
2
4 R
3
3
5 ?
5 ?
p
E
Os hemisférios são dotados de duas superfícies. Uma
delas é plana, tem o formato de um círculo e pode ser
considerada a base do hemisfério. A outra é curva e equi-
valente à metade da superfície de uma esfera. Logo, em
um hemisfério de raio R, temos:
Aplana 5 pR

Acurva 5 pR

Exercício resolvido
11. Um pedaço maciço de isopor com a forma de uma
semiesfera tem volume igual a 2,2p dm3 e terá sua
superfície curva pintada para a decoração de uma fes-
ta infantil. Qual o valor da área a ser pintada nessa
peça?
a) ,5p dm.
b) ,5p dm.
c) ,75p dm.
d) 9p dm.
e) ,5p dm.
Resolução:
Como 5 52,25
225
100
9
4
, temos:
5
p
5
p
~ 5 ~ 5V
2 R
3
9
4
R
27
8
R
3
2
dm
3
3
Portanto, a área que será pintada é igual a:
5 p 5 p 5 p 5 pA 2 R 2
3
2
9
2
4,5 dm
2
2
2
Alternativa: B
Calota esférica
Se uma seção plana de uma esfera não passa pelo
seu centro, então essa seção a divide em dois sólidos não
equivalentes, denominados calotas da esfera.
Sendo R o raio da esfera secionada, a base de uma
calota dessa esfera deve ser uma circunferência de raio r,
tal que r , R.
P
Como a projeção ortogonal do centro O da esfera deve
coincidir com o centro O' da base da calota, esses centros
determinam, com qualquer ponto P da circunferência da
base da calota, um triângulo retângulo POO', de hipotenusa
PO 5 R e cateto PO' 5 r. Dessa forma, sendo d 5 OO' a
distância entre os centros da esfera e da base da calota,
do teorema de Pitágoras, obtemos:
O triângulo POO' não existe quando r 5 R, pois, nes-
se caso, O 5 O' e as calotas são também hemisférios.
Exercício resolvido
12. Uma esfera de raio R cm é secionada por um plano
que está a  cm de distância do centro da esfera. Se
a área da base das calotas obtidas é de 144p cm2,
então R é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução:
Da área da base da calota, e como r > 0, obtemos:
pr2 5 144p ~ r 5 12 cm
Da relação R2 5 d2 1 r2, e como R > 0, temos:
R2 5 2 1 122 5 2 1 144 5 16 cm2
Portanto, R 5 13 cm.
Alternativa: D
Cunhas e fusos esféricos
Considere que duas seções meridianas de uma esfera
de raio R determinem um diedro de medida u. Nesse caso,
a esfera ficará dividida em quatro sólidos geométricos de-
nominados cunhas esféricas. Duas delas terão ângulo de
medida u; e as outras duas, o suplemento desse ângulo.
153
F
R
E
N
T
E
 3
O volume de uma cunha esférica é diretamente pro-
porcional à medida u de seu diedro.
Assim, com u em graus, encontramos:
V
V 360
V
360
V
V
360
4 R
3
cunha
esfera
o
cunha o esfera
cunha o
3
5
u
5
u
?
5
u
?
p
Com o ângulo, de medida u, em radianos, temos:
V
V 2
V
2
V
V
2
4 R
3
cunha
esfera
cunha esfera
cunha
3
5
u
p
5
u
p
?
5
u
p
?
p
O
R
R
Cada cunha esférica é dotada de três superfícies:
duas delas planas e equivalentes a semicircunferências
de raio R, e uma curva, que é parte da superfície da
esfera secionada.
A superfície curva de uma cunha esférica é denomina-
da fuso esférico, e sua área é diretamente proporcional à
medida u de seu diedro.
Assim, com u em graus, temos:
5
u
5
u
?
5
u
? p
A
A 360
A
360
A
A
360
4 R
fuso
esfera
o
fuso o esfera
fuso o
2
Com o ângulo, de medida u, em radianos, obtemos:
5
u
p
5
u
p
?
5
u
p
? p
A
A 2
A
2
A
A
2
4 R
fuso
esfera
fuso esfera
fuso
2
O
R
R
A área de toda a superfície de uma cunha esférica
equivale à soma das áreas de suas duas faces planas com
a área de seu fuso esférico:
5 ?
p ?
1 u ?A 2
R
2
2 R
cunha
2
2
Exercícios resolvidos
13. Qual o volume aproximado de uma cunha com 80o de
uma esfera de raio  cm? Use p à 3,14.
a)  cm.
b) 7 cm.
c) 75 cm.
d) 7 cm.
e)  cm.
Resolução:
Solução 1
O volume de toda a esfera é:
5
p
5
p ?
5 pV
4 R
3
4 9
3
972 cm
esfera
3 3
3
Logo:
5 ~ 5 ? p 5 p à
V
V
80
360
V
2
9
972 216 678 cm
cunha
esfera
o
o cunha
3
154 MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas
Solução 2
Determinando o valor de u, em radianos, temos:
p
u
~ u 5
p