Avaliação Final (Objetiva)

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1Para resolver um sistema linear através do método iterativo, podemos usar o método da iteração linear. No entanto, no caso de equações não lineares, nem sempre é possível aplicar o método. Para podermos aplicar o método, precisamos que ele satisfaça três condições, sendo que uma delas é que as derivadas parciais das funções F e G satisfaçam os itens:
A
Somente o item I é satisfeito.
B
Os itens I e II não são satisfeitos.
C
Somente o item II é satisfeito.
D
Os itens I e II são satisfeitos.
2Muitas situações-problema, como consumo de água, produção de uma empresa, entre outras, são resolvidas por meio de funções. Neste processo, com o auxílio da representação gráfica, busca-se um entendimento dos fenômenos dos mais variados. Dependendo de algumas características da função, tem-se métodos distintos de resolução. Um dos métodos de resolução que definem o consumo de água num determinado tempo ou quantas horas a mais os funcionários terão que trabalhar para suprir um funcionário ausente pode ser solucionado pelo método de interpolação linear. Sobre a interpolação polinomial linear, analise as sentenças a seguir:
 
I- Pode ser utilizada desde que f seja uma função monótona, crescente ou decrescente.
II- Depende da restrição do intervalo, a fim de obtermos um polinômio de grau 1.
III- É eficiente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos interpolar duas funções distintas.
IV- É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um ponto x.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I e IV estão corretas.
B
As sentenças I e III estão corretas.
C
As sentenças II e III estão corretas.
D
As sentenças II e IV estão corretas.
3O método dos mínimos quadrados é utilizado quando há uma necessidade específica.
Que necessidade é essa?
A
Identificar as curvas mais comuns.
B
Encontrar o valor da variável.
C
Diminuir a ordem das diferenças finitas.
D
Obter funções que passem o mais próximo possível dos pontos dados.
4A regra dos trapézios faz uso de uma aproximação de uma função f(x) por meio de uma reta. Ao aplicar diversas vezes esta regra em um intervalo [a, b], ela adequa-se melhor ao cálculo da integral, sendo uma técnica mais refinada em relação à simples aproximação da área por um trapézio. O intervalo [a,b] pode ser subdividido em intervalos iguais da forma h = (b - a)/n, sendo n o número de subdivisões do intervalo [a, b]. A integral será representada pela soma das áreas dos trapézios contidos no intervalo [a, b].
Assinale a alternativa CORRETA com o valor númerico da integral a seguir utilizando tal método e considerando n = 4:
 
A
83,81.
B
76,64.
C
78,5.
D
75,78.
5(ENADE, 2008) A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo - contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes - e caráter instrumental - pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento -, mas deve ser vista também como ciência, com suas características estruturais específicas. OCNEM (com adaptações). Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o professor deve observar que:
A
as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.
B
o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações algébricas.
C
o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.
D
a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento populacional.
6(ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo, cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: " A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?". Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é:
A
possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
B
possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
C
possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
D
impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
7Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear e sim um sistema não linear devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, dois deles são: o método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear em geral é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0; - 0,5) usando o método da iteração linear:
A
x = 0 e y = - 0,5
B
x = 0,125 e y = - 0,492
C
x = 0,495 e y = 0,124
D
x = 0,125 e y = - 0,5
8Em análise numérica, a fórmula de Simpson (em nome de Thomas Simpson, um matemático inglês), também conhecida como regra de Simpson, é uma forma de se obter uma aproximação da integral definida. Essa regra é um método de integração numérica que aproxima uma função f por um polinômio de grau dois em um intervalo [a, b]. Com relação a este método, podemos afirmar que:
A
É um refinamento da Regra do Trapézio, uma vez que utiliza três pontos consecutivos previamente conhecidos do intervalo.
B
A dedução da sua fórmula utiliza o método de Newton-Côtes.
C
Consiste em fazer passar uma reta secante pelos dois extremos do intervalo [a, b].
D
Nada mais é do que a Regra do Trapézio Generalizada.
9Uma equação do segundo grau pode apresentar duas raízes reais e diferentes, duas raízes reais e iguais ou não apresentar raízes reais. Para qual valor de k a equação x² - 2x - k = 0 possui duas raízes reais e iguais?
A
k = 1.
B
k = 4.
C
k = -4.
D
k = -1.
10Quando se trabalha com sistemas de equações, é pertinente saber que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes numéricos de cada incógnita, como é representado a seguir:
,
onde, na representação matricial, tem-se:
.
E com essa representação de sistemas na forma de matrizes, é possível utilizar, para a determinação das incógnitas, a Regra de Cramer.
Agora, com base nestas informações, calcule os valores de x, y e z para o seguinte sistema de equações:
 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução:
A
Conjunto solução: x = –1, y = 2 e z = 1.
B
Conjunto solução: x = 1, y = – 2 e z = 1.
C
Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1.
D
Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = 1.
11Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E, ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio:
A
a = 0
B
a = 2
C
a = - 2
D
a = - 1
12Para que uma equação do segundo grau apresente como raízes apenas números complexos, o discriminante deve ser negativo. Dada a equação x² - 6x + 3t = 0, determine o valor de t para que a equação tenha como raízes apenas números complexos:
A
t < -3.
B
t > -3.
C
t < 3.
D
t > 3.