Para determinar se os vetores \( \mathbf{v_1} = (0, 1, 1) \), \( \mathbf{v_2} = (1, 0, 1) \) e \( \mathbf{v_3} = (1, 1, 0) \) são linearmente independentes, precisamos verificar se a única solução para a combinação linear \( c_1 \mathbf{v_1} + c_2 \mathbf{v_2} + c_3 \mathbf{v_3} = \mathbf{0} \) é \( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \). Podemos montar a seguinte equação: \[ c_1(0, 1, 1) + c_2(1, 0, 1) + c_3(1, 1, 0) = (0, 0, 0) \] Isso resulta no seguinte sistema de equações: 1. \( c_2 + c_3 = 0 \) (para a primeira coordenada) 2. \( c_1 + c_3 = 0 \) (para a segunda coordenada) 3. \( c_1 + c_2 = 0 \) (para a terceira coordenada) Resolvendo esse sistema, podemos expressar \( c_3 \) em termos de \( c_2 \): Da equação 1: \( c_3 = -c_2 \) Substituindo na equação 2: \( c_1 - c_2 = 0 \) → \( c_1 = c_2 \) Substituindo na equação 3: \( c_1 + c_2 = 0 \) → \( c_2 + c_2 = 0 \) → \( 2c_2 = 0 \) → \( c_2 = 0 \) Assim, \( c_1 = 0 \) e \( c_3 = 0 \). Como a única solução é \( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \), os vetores \( \mathbf{v_1} \), \( \mathbf{v_2} \) e \( \mathbf{v_3} \) são linearmente independentes.