Relações Métricas no Triângulo

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OUTUBRO / 2023
Estudante
9º ANO
Semana 1 
Relações métricas no triângulo retângulo
Descritor SAEB: D10 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas 
significativos.
Objetos de conhecimento desenvolvidos:
- Triângulo retângulo; - Teorema de Pitágoras; 
- Relações métricas do triângulo retângulo; - Leitura e interpretação de problemas. 
___________________________________________________________________________________________ ______________________________________
Relembrando Relações métricas no triângulo retângulo
O triângulo retângulo é uma figura geométrica frequentemente utilizada na geometria plana e 
espacial. Por isso, nesta semana, serão estudadas as relações entre as medidas lineares de um 
triângulo retângulo. Essas relações são baseadas no conceito de semelhança entre triângulos 
retângulos. 
Como as relações métricas relacionam as medidas dos elementos do triângulo retângulo, cada um 
desses elementos estão destacados na figura a seguir.
▪ A hipotenusa, representada pela letra 𝐚, é sempre o maior lado do triângulo retângulo. Também 
pode-se dizer que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º.
▪ Os outros dois lados, representados pelas letras 𝐛 e 𝐜, são conhecidos como catetos. Estes lados 
são perpendiculares entre si, por isso pode-se dizer que eles formam o ângulo de 90º.
▪ O segmento perpendicular à hipotenusa apresentado na imagem acima representa a altura 𝐡 do 
triângulo retângulo quando a hipotenusa é considerada a sua base. Por isso é denominada altura 
relativa à hipotenusa. 
▪ As letras 𝐦 e 𝐧 representam as projeções dos catetos 𝐛 e 𝐜 sobre a hipotenusa. Observe que a 
soma das medidas das projeções é igual à medida da hipotenusa (𝒂). 
Conhecendo os elementos que formam um triângulo retângulo, veja as relações entre as medidas 
desses elementos
Relações métricas
𝐚 ∙ 𝐡 = 𝐛 ∙ 𝐜
𝐛𝟐 = 𝐚 ∙ 𝐦
𝐜𝟐 = 𝐚 ∙ 𝐧
𝐡𝟐 = 𝐦 ∙ 𝐧
𝐚 = 𝐦 + 𝐧
𝐚𝟐 = 𝐛𝟐 + 𝐜²
A última relação, que é a mais importante, é conhecida como Teorema de Pitágoras:
“Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao 
quadrado da medida da hipotenusa.”
1. Considere o triângulo retângulo representado a seguir.
Complete as lacunas do texto a seguir com as informações referentes a esse triângulo
O triângulo retângulo é um polígono que possui __________ lados e três __________________, 
sendo um deles um ângulo reto, ou seja, com medida igual a ________. Os outros dois ângulos são 
________________, portanto, menores que 90º. O _____________ lado desse triângulo, que é 
oposto ao ângulo de 90º, é chamado de __________________________ e os outros dois lados são 
chamados de ______________________. 
O triângulo retângulo exemplificado acima, possui ângulo reto localizado no vértice ______ e sua 
hipotenusa é o lado _____, cuja medida está representada por _____. 
O menor cateto é o lado _________ que possui medida representada por ______ e o maior cateto é o 
lado ______ que possui medida representada por ______.
A altura relativa à hipotenusa, é o segmento ______, cuja medida está representada por _____. Essa 
altura divide a hipotenusa em dois segmentos, que são as projeções dos catetos sobre à hipotenusa. 
A projeção do menor cateto é o segmento _____, cuja medida está representada por ____ e a 
projeção do maior cateto é o segmento ______ cuja medida é representada por ____. 
2. Considere o triângulo retângulo representado a seguir.
Indique as medidas de cada elemento a seguir:
a) Hipotenusa: b) Cateto menor: c) Cateto maior: d) Altura relativa à hipotenusa: 
e) Projeção do menor cateto: f) Projeção do maior cateto:
3. Considere o triângulo ABC representado a seguir.
Em relação a esse triângulo, responda:
a) Qual lado é a hipotenusa? 
b) Qual é a medida da hipotenusa?
c) Em qual vértice está localizado o ângulo reto?
d) Quais lados são os catetos?
e) Quais as medidas dos catetos?
f) Qual é o quadrado da medida da hipotenusa?
g) Qual é a soma dos quadrados das medidas dos catetos?
h) Qual a relação entre o quadrado da medida da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos?
4. Utilizando as medidas do triângulo retângulo a seguir, valide cada uma das relações métricas.
5. Calcule o valor de 𝑥 em cada triângulo retângulo a seguir.
a) b) c)
6. Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm.
a) Calcule a medida da altura desse triângulo.
b) Calcule a área da região delimitada por esse triângulo.
7. Considere o triângulo retângulo a seguir.
Calcule as medidas da altura relativa à hipotenusa (ℎ), das projeções dos catetos (𝑚 e 𝑛) e da 
hipotenusa (𝑎).
8. O lampião representado na figura a seguir está suspenso por duas cordas perpendiculares entre si 
presas ao teto. 
A distância do lampião ao teto, em centímetros, é igual a
(A) 7,8.
(B) 8,4.
(C) 9,0.
(D) 9,6.
(E) 10,2.
9. Qual é a área de um triângulo retângulo cujas projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa 
medem 3 cm e 12 cm?
10. (Enem 2014) Diariamente, uma residência consome 20 160 𝑊ℎ. Essa residência possui 100 
células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de 
dimensões 6 𝑐𝑚 𝑥 8 𝑐𝑚. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 𝑊ℎ por centímetro 
de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade 
de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu 
objetivo?
(A) Retirar 16 células
(B) Retirar 40 células
(C) Acrescentar 5 células
(D) Acrescentar 20 células
(E) Acrescentar 40 células
Circunferência
Descritores SAEB: D11 – Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas 
relações.
Objetos de conhecimento desenvolvidos:
• Circunferência e círculo;
• Elementos de uma circunferência;
• Partes de um círculo;
• Posições relativas de retas e circunferências;
• Posições relativas entre duas circunferências;
• Segmentos tangentes;
• Arco de circunferência, ângulo central e ângulo inscrito;
• Arco capaz;
• Relações métricas referentes à circunferência.
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Relembrando Circunferência é o lugar geométrico em que todos os pontos se encontram à mesma 
distância de um dado ponto, que é chamado de centro da circunferência, geralmente 
representado pela letra O. A distância de qualquer ponto da circunferência ao seu centro dá-se 
o nome de raio (𝑟). 
O raio é um segmento que une o centro a qualquer ponto da 
circunferência. Na circunferência a seguir, 𝐎𝐂 é um raio.
A corda é qualquer segmento de reta que une dois pontos da 
circunferência. Na circunferência a seguir, 𝐀𝐁 é uma corda.
O arco é um subconjunto de pontos da circunferência, determinado 
por dois de seus pontos. Na circunferência a seguir, ෢𝑨𝑩 é um arco. 
A flecha é o segmento de reta que une o ponto médio de uma corda 
ao ponto médio de um arco. Na circunferência a seguir, 𝑭𝑴 é uma 
flecha.
Alguns elementos importantes da circunferência:
O diâmetro é qualquer segmento que une dois pontos distintos da circunferência, passando pelo 
centro. Também pode-se definir diâmetro como a corda que passa pelo centro da circunferência. O 
diâmetro mede o dobro do raio e também pode ser definido como a maior corda da circunferência. Na 
circunferência a seguir, 𝑨𝑫 é um diâmetro.
Importante: denotando por 𝒅 a medida do diâmetro de uma circunferência e por 𝒓 a medida do raio 
da mesma circunferência, tem-se que:
𝒅 = 𝟐 ∙ 𝒓 
 
Comprimento da circunferência
Em qualquer circunferência, dividindo o comprimento (contorno) pelo diâmetro,obtém-se o número 
irracional 𝝅, já estudado anteriormente. 
𝝅 =
𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 (𝑪)
𝒅𝒊â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 (𝒅)
 
 
Esse número é aproximadamente igual a 3,14. A partir dessa razão, obtém-se a fórmula para o 
cálculo do comprimento de uma circunferência:
𝝅 =
𝑪
𝒅
→ 𝑪 = 𝝅 ∙ 𝒅 → 𝑪 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 
 
O círculo é o conjunto de pontos de um plano cuja distância 
a um ponto fixo O é menor ou igual a uma distância 𝑟 dada, 
com 𝑟 não nula. O círculo é a reunião da circunferência com o 
conjunto de todos os pontos localizados internamente a ela. 
No estudo do círculo, assim como na circunferência, utiliza-se 
as denominações centro, raio e diâmetro.
Círculo
Partes do círculo
Setor circular é a parte do círculo que se limita por dois raios.
Partes do círculo
Segmento circular é a região do círculo limitada entre uma corda e um arco.
Coroa circular é a região do plano limitada por duas circunferências concêntricas e de raios 
diferentes.
Zona circular é a região do círculo compreendida entre duas cordas paralelas distintas.
Posições relativas de retas e circunferências.
Reta secante é uma reta que corta a circunferência em dois pontos quaisquer.
Posições relativas de retas e circunferências.
Reta tangente é uma reta que toca a circunferência em um único ponto T. Esse ponto é conhecido 
como ponto de tangência ou de contato.
Observação 1: A distância do centro da circunferência ao ponto T, que é de tangência, é igual ao raio 
da circunferência.
Observação 2: Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular a um dos seus raios.
Reta externa é uma a reta que não possui nenhum ponto em comum com a circunferência.
Posições relativas entre duas circunferências.
Circunferências secantes são aquelas circunferências que possuem somente dois pontos em 
comum. A distância entre seus centros é menor do que a soma das medidas de seus raios.
Circunferências tangentes (interiores ou exteriores) são aquelas circunferências que possuem 
apenas um ponto em comum. São interiores quando a distância entre os seus centros é igual à 
diferença entre as medidas de seus raios. São exteriores quando a distância entre seus centros é 
igual à soma das medidas de seus raios. 
Circunferências externas são aquelas circunferências que não possuem ponto em comum. A 
distância entre seus centros é maior do que a soma das medidas de seus raios.
Circunferências internas são aquelas circunferências que não possuem ponto em comum. A 
distância entre seus centros é menor do que a diferença das medidas de seus raios.
Circunferências concêntricas são duas ou mais circunferências que possuem o mesmo centro, 
porém com raios diferentes.
Segmentos tangentes.
Considere um ponto 𝑷 exterior à circunferência contido no mesmo plano. Por esse ponto 𝑷 podem 
ser traçados dois segmentos, 𝑷𝑨 e 𝑷𝑩, cujas extremidades são o ponto 𝑷 dado e os pontos de 
tangência 𝑨 e 𝑩. Esses dois segmentos são congruentes (𝑷𝑨 ≡ 𝑷𝑩). A congruência dos triângulos 
𝑩𝑷𝑶 e 𝑨𝑷𝑶 garantem essa congruência.
Circunferência inscrita no triângulo.
Uma circunferência tangente aos três lados de um triângulo está inscrita no triângulo. O triângulo é 
circunscrito a essa circunferência.
Circunferência inscrita no quadrilátero.
Uma circunferência tangente aos quatro lados de um quadrilátero está inscrita no quadrilátero. O 
quadrilátero é circunscrito a essa circunferência. A condição necessária e suficiente para que um 
quadrilátero convexo seja circunscrito em uma circunferência, é que a soma das medidas de dois 
lados opostos seja igual à soma das medidas dos outros lados. 
Segmentos tangentes
Observe a aplicação dos segmentos tangentes e congruentes nesses casos:
Arco de circunferência e ângulo central
Como já foi definido anteriormente, arco é um subconjunto de pontos da circunferência, determinado 
por dois de seus pontos. O arco também é medido como os ângulos. Um arco de
1
360
 da 
circunferência mede 1 grau (1°).
O ângulo central, em uma circunferência, é aquele cujo vértice coincide com o centro da 
circunferência. Sua medida é igual à medida do arco compreendido entre seus lados
O ângulo 𝑨Ô𝑩 
tem a mesma 
medida que o 
arco ෢𝑨𝑩.
Ângulo inscrito
O ângulo inscrito, em uma circunferência, é aquele cujo vértice pertence à circunferência e os lados 
são secantes a ela.
O ângulo 𝑨Ô𝑩 tem 
a metade da medida 
do arco ෢𝑨𝑩.
Dado um segmento AB e um ângulo 𝛼, define-se como arco capaz, o lugar 
geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos 
ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos 
congruentes ao ângulo 𝛼 . Este lugar geométrico é um arco de 
circunferência, e está destacado na figura ao lado.
Todo ângulo inscrito no arco capaz ෢𝐴𝐵, com lados passando pelos pontos 
A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é 
sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está 
localizado no arco capaz. 
Arco capaz
Disponível em: impa.br / Acesso em: 25 de ago. de 2023
A medida do ângulo 𝜶, inscrito na circunferência, é a 
metade da medida do menor arco ෢𝑨𝑩.
𝜶 =
𝒎( ෢𝑨𝑩)
𝟐
=
𝟏𝟐𝟎
𝟐
= 𝟔𝟎°
Exemplo:
Relações métricas referentes à circunferência.
1. Identifique entre as figuras a seguir, aquela que representa uma circunferência, e aquela que 
representa um círculo.
________________________ ________________________ 
2. Considere a circunferência a seguir, e alguns de seus elementos destacados.
Escreva a seguir o nome de cada um dos elementos destacados:
a) 𝑶:
b) 𝑶𝑨:
c) 𝑬𝑭:
d) 𝑪𝑫:
e) ෢𝑪𝑭:
f) 𝑮𝑯:
3. Responda as questões a seguir:
a) Determine o raio de uma circunferência que possui diâmetro medindo 40 cm.
b) Determine o diâmetro de uma circunferência que possui raio medindo 12,5 cm.
4. Relacione a cada elemento do círculo com o seu respectivo nome:
( ) Coroa circular
( ) Zona circular
( ) Setor circular
( ) Segmento circular
(A) (B) (C) (D)
5. Responda as questões a seguir.
a) Determine o comprimento de uma circunferência que possui diâmetro de 22 cm. Considere 𝜋 =
3,14.
b) Uma circunferência de raio igual a 10 cm, possui quantos centímetros de comprimento? Considere 
𝜋 = 3,1.
6.Em relação às posições relativas entre retas e circunferências:
a) Complete as sentenças a seguir com as palavras do quadro.
dois – tangência – único – externa
Reta secante é uma reta que corta a circunferência em ________ pontos quaisquer.
Reta tangente é uma reta que toca a circunferência em um __________ ponto T. Esse ponto é 
conhecido como ponto de __________________ ou de contato.
Reta _______________ é uma a reta que não possui nenhum ponto em comum com a circunferência.
b) Escreva o nome da posição de cada reta relativa à circunferência, nas figuras a seguir.
Reta ________________ 
 
 
Reta ________________ 
 
 
Reta ________________ 
 
 
 
7. Relacione as duas colunas a seguir.
8. Determine o valor de x em cada figura a seguir. Considere as medidas em centímetros.
a)
 
b) c)
9. Identifique a seguir o ângulo que é inscrito e o ângulo que é central em uma circunferência. Em 
seguida, calcule a medida de cada um deles.
a) 
 
b) 
 
Ângulo ______________________. Ângulo ______________________. 
𝐱 = _______. 𝐱 = _______. 
 
10. Calcule a medida de 𝒙 na figura a seguir.
11. Considerando que cada medida a seguir está em centímetros, calcule o valor de x em cada uma 
das figuras.
a) b) c)
12. Considere a circunferência a seguir.
Nessa circunferência, os segmentos 𝐴𝐸, 𝐴𝐵 e 𝑂𝐵 são, nessa ordem
(A) corda, raio e diâmetro. 
(B) diâmetro, raio e corda. 
(C) raio, corda e diâmetro. 
(D) corda, diâmetro e raio.
13. O raio das rodas de um caminhão mede 40 cm. A medida do diâmetro da roda do caminhão, em 
centímetros, é igual a 
(A) 60. 
(B) 70. 
14. Na figura a seguir o ponto O é o centro da circunferência e o arco ෣𝐴𝐵𝐶 mede 240°.
As medidas dos ângulos 𝛼 e 𝛽 sãorespectivamente
(A) 100° e 50° 
(B) 120° e 60°.
Semana 2
Equação polinomial de 2º grau
Descritor SAEB: 
D17 - Resolver problema, envolvendo equação do 2º grau.
Objetos de conhecimento desenvolvidos:
• Equação polinomial do 2º grau;
• Expressão numérica;
• Expressão algébrica;
• Polinômios;
• Quatro operações numéricas.
 
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
Relembrando 
Definição: Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda equação que assume a forma: 
𝐚𝐱² + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎
Onde:
• x é a incógnita.
• a, b e c são números reais, com 𝑎 ≠ 0.
• a é coeficiente do termo em 𝑥².
• b é coeficiente do termo em 𝑥.
• c é o coeficiente do termo independente de 𝑥.
Para determinar as raízes dessa equação, caso existam, utilizaremos a fórmula resolutiva (Bháskara):
𝒙 =
−𝐛± ∆
𝟐𝐚
, onde ∆= 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
Assim:
• se ∆ > 0 (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais e diferentes: 𝑥’ ≠ 𝑥”.
• se ∆ = 0 (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: 𝑥’ = 𝑥” (Raiz dupla).
• se ∆ < 0 (negativo), a equação não terá raízes reais.
1. Complete as lacunas do texto a seguir.
Conhecendo uma equação
Uma ________ é uma sentença que relaciona duas expressões _________ e / ou __________. As 
expressões ___________ são representadas por ______ e, na maioria dos casos, essa letra é o __. 
Essas letras desconhecidas são chamadas de ___________. Em outras palavras, uma equação é 
uma __________ que contém, pelo menos, uma _________.
A sentença a seguir é uma _______, observe
22𝑥2 = 32
A _________ neste caso é o __, e a definição no dicionário matemático de incógnita é: grandeza que 
deve ser encontrada para a resolução de uma equação ou de um problema. O _____ que deixa essa 
equação _________ é o 4. Então no lugar da _________ 𝑥, deve-se colocado o valor 4. Observe:
2𝑥2 = 32
Para que a sentença (equação) seja verdadeira, se colocado o valor __ no lugar da incógnita 𝑥, o 
primeiro membro deve resultar em ___. Então, tem-se que:
ต2𝑥2
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
2 ∙ 42
2 ∙ 16
32
Observe que o ________________ −4 também deixa essa equação _______________________, 
pois:
2 ∙ −4 2
2 ∙ 16
32
Logo, uma equação do 2º grau possui dois valores que tornam a sentença verdadeira, neste caso 
____________ e ______________.
2. A região retangular a seguir representa um terreno cujas dimensões são descritas em metros.
Interpretando:
a) Identifique como está representado a largura.
b) Identifique como está representado o comprimento.
c) Qual a área dessa figura?
d) Escreva a expressão para calcular a área dessa figura.
e) Escreva a equação para calcular o valor de x.
f) Escreva a equação da letra e) de forma simplificada.
3. Reconheça as incógnitas / variáveis nas equações a seguir:
a) Equação do 2° grau: 2𝑥2 + 10𝑥 − 12 = 0
b) Velocidade média: 𝑣 =
𝑆
10
c) Função horária da posição para o movimento uniforme: 𝑆 = 10 + 2𝑡
d) Equação de Torricelli: 𝑣2 = 25 + 4𝑆
e) Velocidade de propagação das ondas: 𝑣 = 25𝑓
f) Velocidade de propagação das ondas: 𝑣 = 60𝜆
g) 1ª lei de Ohm: 𝑈 = 𝑅 ∙ 𝑖; 𝑈 = 10𝑖
h) Potência elétrica: 𝑃 = 𝑈 ∙ 𝑖; 𝑃 = 5𝑈
4. Observe o seguinte problema:
Qual o número de lados do polígono que tem 20 diagonais?
Sabendo que o número de diagonais 𝒅 de um polígono de 𝒏 lados é dado pela fórmula:
𝒅 =
𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟑
𝟐
Agora, responda as questões a seguir.
a) Qual equação devo utilizar para responder esse problema?
b) Quais são as variáveis desse problema?
c) Substitua na equação (quantidade de diagonais) o número de diagonais do problema, e escreva 
essa equação simplificada.
d) Na equação simplificada escrita, anteriormente, qual é a incógnita?
Para refletir!
Afinal de contas o que significa interpretar um problema matemático? 
Uma boa palavra para definir a interpretação é “tradução”. Interpretar é traduzir a linguagem da 
questão, que nesse caso é matemática, para a natural (português). E vice-versa! Então, vamos lá!
5. Traduza matematicamente as seguintes situações a seguir:
a) O triplo do quadrado da mesada de Carlos é igual a 63 menos 12 vezes o valor da mesada. 
Quantos reais Carlos ganha de mesada?
b) Foi construído um telão retangular com área de 21 600 cm². Sabe-se que o comprimento desse 
telão é uma vez e meia a sua largura. Quais são as dimensões (comprimento e largura) deste telão?
c) O gerente de uma empresa organizou uma confraternização em um departamento. Os 
colaboradores desse departamento deveriam fazer uma troca de chocolates, na qual, cada 
participante deveria dar um chocolate a cada um dos demais colaboradores do departamento. Essa 
troca envolveu, ao todo, ao todo, 156 chocolates.
Quantos colaboradores participaram dessa confraternização?
6. Complete as lacunas do texto a seguir.
7. Observe as equações polinomiais do 2º grau e escreva os coeficientes: 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 e assinale se a 
equação é completa ou incompleta.
a) 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0 
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 
Completa: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c ______0 
Incompleta: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c _____ 0. 
 
b) 2𝑥2 − 18 = 0 
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 
Completa: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c ______0 
Incompleta: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c _____ 0. 
 
 
c) −5𝑥2 − 3𝑥 = 0 
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 
Completa: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c ______0 
Incompleta: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c _____ 0 
d) 2𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 
Completa: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c ______0 
Incompleta: ( ), pois 
𝑎 _____ 0, b _____ 0, 
c _____ 0. 
 
 
8. Substitua os coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 na fórmula: 𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 para cada uma das letras da 
atividade 7.
e) Quais são as raízes das equações das alternativas anteriores?
9. Leia o texto a seguir e depois, em seguida, responda as perguntas referentes a ele.
A equação do 2º tem várias aplicações. Dentre elas, na Física possui um papel importante na análise 
dos movimentos uniformemente variados (MUV), pois em razão da aceleração, os corpos variam a 
velocidade e o espaço em função do tempo. Na Física a expressão que relaciona o espaço em função 
do tempo é dada pela : 𝑆 = 𝑆0 + 𝑉0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
Onde, 𝑎: aceleração, 𝑆: espaço, 𝑆0: espaço inicial, 𝑉0: velocidade inicial e 𝑡: tempo.
Um exemplo um MUV realizado por um móvel, é definido pela função: 𝑆 = 3𝑡2 − 27𝑡 + 54, sendo 𝑆 
medido em metros e 𝑡 em segundos.
a) Reescreva a função: 𝑆 = 3𝑡2 − 27𝑡 + 54 utilizando 𝑦 e 𝑥.
b) Quais as raízes da equação: 3𝑡2 − 27𝑡 + 54 = 0
c) Quais as raízes da equação: 3𝑥2 − 27𝑥 + 54 = 0
d) Qual o significado das raízes da equação da alternativa c?
e) A função reescrita muda de significado?
10. Resolva as seguintes situações problema.
a) O triplo do quadrado da mesada semanal de Carlos é igual a 63 menos 12 vezes o valor da 
mesada. Quantos reais Carlos ganha de mesada semanal?
b) Foi construído um telão retangular com área de 21 600 cm². Sabe-se que o comprimento desse 
telão é uma vez e meia a sua largura. Quais são as dimensões (comprimento e largura) deste telão?
c) O gerente de uma empresa organizou uma confraternização em um departamento. Os 
colaboradores desse departamento deveriam fazer uma troca de chocolates, na qual, cada 
participante deveria dar um chocolate a cada um dos demais colaboradores do departamento. Essa 
troca envolveu, ao todo, ao todo, 156 chocolates.
Quantos colaboradores participaram dessa confraternização?
11. Em um supermercado as caixas de azeite foram organizadas em filas na prateleira. O número 
de caixas por fila corresponde ao quadrado de um número adicionado ao seu quíntuplo, obtendo-se 
o número 36.
Qual a quantidade de caixas desseazeite na prateleira?
(A) 10
(B) 9
(C) 8
(D) 4
1. Uma formiga parte de um ponto H fazendo o seguinte trajeto:
Percorre 3 quadradinhos no sentido leste, virando no sentido norte percorre outros 4 quadradinhos. 
Em seguida, percorre 2 quadradinhos para o oeste. Virando para o norte percorre 1 quadradinho e, 
finalmente, percorre 5 quadradinhos no sentido leste, chegando no ponto B. 
Essa formiga parou em qual ponto?
(A) I
(B) J
2. Considere o hexaedro regular representado a seguir. 
A planificação desse sólido é representada por:
3. Sob a luz de uma lâmpada, uma parede de 12 metros projeta uma sombra no chão que mede 18 
metros. No mesmo instante, e sob a mesma luz, a sombra de um estudante que é projetada no chão 
mede 3 metros, conforme ilustrado na figura a seguir. 
Nessas condições, a altura (𝐻) estimada do estudante, em metros, é igual a
(A) 1,50.
(B) 1,75.
4. Considerando a medida do ângulo externo do losango representado na figura a seguir. 
Os ângulos internos 𝛼 𝑒 𝛽 medem, respectivamente
(A) 60° e 120°.
(B) 40° e 140°.
(C) 30° e 150°.
(D) 20° e 160°.
5. A medida da área do quadrado II é igual a 4 cm².
Qual é a medida, em cm², da área do quadrado I?
(A) 24 
(B) 28 
(C) 32 
(D) 36 
6. A figura a seguir mostra o trajeto feito por um dinossauro. 
Qual ângulo indica uma mudança de direção maior que 90º? 
(A) 𝛾
(B) 𝜁
(C) 𝜇
(D) 𝛽
7. A figura a seguir mostra o triângulo A’B’C’ como sendo uma redução do triângulo ABC.
A razão de homotetia dessa redução é equivalente a
(A)
1
2
∙
(B)
1
4
∙
(C) 4.
(D) 1.
8. A figura a seguir mostra um parafuso que é conhecido como sextavado, pois possui uma cabeça 
com seis lados, cuja face superior é polígono regular. 
A soma de seus ângulos internos, do número de suas diagonais e o valor de cada ângulo interno 
valem, respectivamente
(A) 4800, 8, 800.
(B) 5400, 8, 900.
(C) 6000, 9, 1000.
(D) 7200, 9, 1200.
9. Considere o polígono representado no plano cartesiano a seguir.
As coordenadas que representam os vértices A, B e C são, respectivamente
(A) (5, −4), (− 3, 7) e (3, −1).
(B) (−5, −4), (3, 7) e (3, 1).
(C) (5, 4), (3, 7) e (−3, 1).
(D) (−5, 4), (3, 7) e (3, 1).
10. Uma escada de 13 metros apoiada em uma parede alcança uma altura de 5 metros. 
A distância do pé da escada até a parede é igual a
(A) 11 m.
(B) 12 m.
(C) 13 m.
(D) 14 m.
11. Considere a circunferência a seguir.
Nessa circunferência, os segmentos 𝐴𝐵, 𝑂𝐹 e 𝐶𝐷 são, nessa ordem
(A) corda, raio e diâmetro. 
(B) diâmetro, raio e corda. 
(C) raio, corda e diâmetro. 
(D) corda, diâmetro e raio.
12. Uma circunferência possui diâmetro com medida igual a 18 centímetros. Considere 𝜋 = 3,14.
O comprimento dessa circunferência é 
(A) 56,52 cm.
(B) 57,01 cm.
(C) 58,14 cm.
(D) 59,35 cm.
13. A caixa de papelão a seguir está fechada e possui o formato de um paralelepípedo retangular. 
Qual é a área, em cm², da superfície dessa caixa? 
(A) 800
(B) 900
(C) 1100
(D) 1300
14. Uma xícara de café com formato de cilindro reto possui 10 centímetros de diâmetro e 8 centímetros de 
altura. Qual é o volume dessa xícara? (Adote 𝜋 = 3,14.)
(A) 524 cm³
(B) 628 cm³
(C) 756 cm³
(D) 812 cm³
15. Uma bola de futebol americano ao ser lançada, percorre, durante sua trajetória, uma distância de 90 jardas. 
Sabe-se que 1 jarda corresponde a 91,44 centímetros. 
Qual foi a distância, em metros, percorrida por essa bola?
(A) 82,296 
(B) 87,669 
(C) 89,233 
(D) 91,624 
16. A reta numérica representada na malha quadrilhada a seguir, indica a distância entre as 
cidades A e B. 
A seta indica qual quilômetro? 
(A) 1453
(B) 1503
(C) 1553
(D) 1603
17. Observe a reta real a seguir:
O número racional −
2
5
 está representado na reta real pela letra
(A) U.
(B) W.
(C) X.
(D) Y.
18. Considere a sentença 𝑃 = 62 ∙ 5 ÷ 3² + 81 − 10000. O valor de P é igual a
(A) 22.
(B) 28.
19. Manoel foi às compras mensais de casa e adquiriu os seguintes produtos:
Produto Quantidade Preço do produto
Ovos 2 dúzias R$12,00 a dúzia
Feijão 3 pacotes R$7,00 o pacote
Arroz 2 pacotes R$25,00 o pacote
Quanto Manoel gastou, em reais, nessas compras?
(A) 92,00
(B) 93,00
(C) 94,00
(D) 95,00
20. Observe o extrato bancário de Joaquim durante uma semana. 
Dia da semana Débito/crédito Valor em reais
Segunda-feira Crédito 80 000
Terça-feira Débito 27 000
Quarta-feira Débito 35 000
Quinta-feira Débito 68 000
Sexta-feira Crédito 35 000
No final da sexta feira, ao retirar o extrato, o saldo estava 
(A) R$21 000,00 positivo.
(B) R$21 000,00 negativo.
(C) R$15 000,00 positivo.
(D) R$15 000,00 negativo.
21. Observe o número a seguir
0,25
A representação fracionária desse número é igual a
(A)
3
4
∙
(B)
1
4
∙
(C)
2
3
∙
(D)
1
3
∙
22. Uma turma de 9º ano possui 50 estudantes. Dentre eles 32 são meninas. 
A fração que representa a razão entre o número de meninas e o total de estudantes é igual a
(A)
9
25
(B)
25
9
∙
23. Considere a fração
7
8
∙
Uma fração equivalente a essa é 
(A)
28
32
∙
(B)
14
24
∙
24. Na bomba de combustível de um posto de abastecimento o valor indicado é de 4,987 reais o litro. 
Isso quer dizer que o posto vende o combustível por 4 reais e
(A) 0,987 décimos de real.
(B) 0,987 centésimos de real.
(C) 0,987 milésimos de real.
(D) 987 milésimos de real.
25. Considere a expressão (−5)3 + 4 ∙ (−6)2 −
1
2
−4
O valor numérico dessa expressão é igual a
(A) – 253.
(B) – 3.
(C) 3.
(D) 253.
26. Evandina foi abastecer o seu automóvel flex, gastando R$ 48,57 com gasolina e R$ 79,38 com 
etanol. O valor total a ser pago por Evandina é igual a
(A) R$ 117,95.
(B) R$ 121,95.
(C) R$ 123,76.
(D) R$ 127,95.
27. Considere a expressão a seguir. 𝟐 +
𝟖𝟏
𝟑
− 𝟓 ∙ 𝟏𝟐𝟓
O resultado aproximado dessa expressão é igual a
(A) – 31,47.
(B) – 18,25. 
28. Um sapato que custava R$ 140,00 com pagamento à vista, e tem acréscimo de 15% quando 
comprado no cartão de crédito. Uma pessoa realizou a compra desse sapato utilizando o cartão de 
crédito. Quanto essa pessoa pagou pelo sapato?
(A) R$151,00
(B) R$161,00
(C) R$171,00
(D) R$181,00
29. 5 operários reformam o muro de uma escola em 40 dias. Se a reforma fosse realizada por mais 
3 operários, trabalhando no mesmo ritmo, em quantos dias a obra seria concluída?
(A) 15 dias.
(B) 20 dias.
(C) 25 dias.
(D) 30 dias.
30. Observe a expressão a seguir 
𝟎, 𝟓 ∙ 𝑽
𝒅𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎
em que 𝑉 = 400 000 e 𝑑 = 20.
O valor numérico dessa expressão é igual a 
(A) 1700.
(B) 1800.
31. Em uma loja de sorvetes, o lucro 𝐿(𝑥) é calculado obedecendo a fórmula 𝐿 𝑥 = 𝑥2 + 20𝑥 −
525, onde 𝑥 representa o número de baldes de 10 litros de sorvete. Em um dia chuvoso o lucro 𝐿 𝑥 
foi igual a 0. Nessas condições, qual foi a quantidade de baldes de sorvetes vendidos nesse dia?
(A) 15
(B) 25
32. Considere as sequências numéricas a seguir. 
X 1 2 3 4 5 ...
Y 4 7 12 19 28 ...
A sentença matemática que expressa os valores de Y em relação aos 
valores de X é
(A) 𝑦 = 𝑥2 + 3
(B) 𝑦 = 𝑥3 + 1
(C) 𝑦 = 3𝑥 + 1
(D) 𝑦 = 𝑥2 − 1
33. Em uma firma de entrega de mercadorias, a taxa 𝒕 é cobrada na seguinte condição: um valor 
fixado em sete reais, mais 20 centavos por quilômetro 𝒅 rodado. A equação que melhor representa 
essa condição é
(A) 𝑡 = 7 + 20𝑑.
(B) 𝑡 = 7 + 14𝑑.
(C) 𝑡 = 7 + 1,4𝑑.
(D) 𝑡 = 7 + 0,2𝑑.
34. Mauricio usou apenas notas de R$ 50,00 e de R$ 20,00 para fazer um pagamento de R$ 360,00. 
Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 9 notas?
(A) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 9
50𝑥 + 20𝑦 = 360
(B) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 360
50𝑥 + 20𝑦 = 9
 (C) ቊ
𝑥 − 𝑦 = 9
50𝑥 + 20𝑦 = 360
 (D) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 360
 50𝑥 − 20𝑦 = 9
35. Observe o gráfico a seguir 
O sistema que corresponde a interseção dessas duas retas é
(A) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 − 𝑦 = 5
(B) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 1
(C) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 3
(D) ቊ
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 2
36. O gráfico a seguir mostraas notas por área de conhecimento de uma determinada turma escolar.
O valor médio dessas notas é aproximadamente
(A) 6,00.
(B) 5,71.
(C) 5,33.
(D) 5,11.
37. O gráfico a seguir mostra o resultado de vendas de motocicletas entre os anos de 2019 e 2022 
num determinado país.
O quadro que melhor representa esse gráfico é
 
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