Resolução de Equações Logarítmicas

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2.	Sabendo que loga 25 5 2, calcule o valor de a.
Resolução
Pela definição, o número a procurado deve ser po-
sitivo e diferente de 1 (a > 0 e a = 1).
loga 25 5 2 ~ a2 5 25 ~ a 5 6 25 5 65
Logo, a 5 5 (o valor 25 não deve ser considerado, 
pois, pela definição, a > 0).
Chamamos loga 25 5 2 de equação logarítmica, 
pois a incógnita a aparece na base do logaritmo. 
Quando a incógnita aparece no logaritmando, 
como em log25 a 5 2, também temos uma equação 
logarítmica. Uma das maneiras de resolver esse tipo 
de equação é aplicar a definição de logaritmo de um 
número e obter uma potenciação.
loga 25 5 2 ~ a2 5 25 log25 a 5 2 ~ a 5 252
Sempre que necessário, use essa estratégia nas 
atividades deste capítulo e lembre-se de verificar 
se a solução atende às restrições da definição 
de logaritmo de um número, como feito nesta 
resolução: a base deve ser positiva e diferente de 1 
e o logaritmando deve ser positivo.
Fique atento
	 3.	Sabendo que A 5 log10 0,001 1 log2
1
16
, calcule o 
número real A.
Resolução
log10 0,001 5 x ~ 10x 5 0,001 ~ 10x 5 1023 ~
~ x 5 23
log2
1
16
5 y ~ 2y 5 1
16
~ 2y 5
1
24
~ 2y 5 224 ~
~ y 5 24
Portanto:
A 5 log10 0,001 1 log2
1
16
5 (23) 1 (24) 5 27
Ou, usando uma das consequências da definição de 
logaritmos, loga a
n 5 n, podemos resolver de outra 
maneira.
A5 log10 0,001 1 log2
1
16
5 log10 1023 1 log2 2
24 5 
5 23 1 (24) 5 27
Logo, A 5 27.
	 4.	Considerando log3 x 5 22, calcule o valor de x.
Resolução
O número x deve ser positivo (x > 0). Pela definição 
de logaritmo, temos: x 5 322 5
1
9
Logo, x 5
1
9
.
	 1.	No caderno, calcule o valor de cada potência e depois 
escreva o logaritmo correspondente.
	a) 23 	b) 72 	c) 103 	d) 321 	e) 7
1
2
	 2.	Determine a potenciação equivalente a cada igualdade.
	a) log2 7 5 x
	b) m 5 logp r
	c) log 0,1 5 21
	 3.	Com os três números dados em cada item, escreva no 
caderno uma igualdade usando logaritmo.
	a) 6, 36 e 2.
	b) 5, 21 e 
1
5
.
	c) 8, 8 e 1.
	d) 5, 2 e 32.
	 4.	Usando a definição, calcule o valor de cada logaritmo.
	a) log3 27
	b) log5 125
	c) log 10 000
	d) log 321
2
	e) log10 0,01
	 f) log2 0,5
	g) log 82
	h) log
8
27
2
3
	 i) log2 0,25
	 j) log7 7
	k) log4 1
	 l) log
1
5
1
5
	 5.	Determine o valor da base a em cada igualdade a seguir.
	a) loga 8 5 3
	b) loga 5 5 1
	c) loga 4 5 22
	d) loga 1 5 0
	e) 5alog
1
16
2
	 f) loga 5 5 2
2x 5 7
p
m 5 r
1021 5 0,1
log6 36 5 2 log8 8 5 1
log2 32 5 5
3
3
4
25
22
21
3
2
3
22
1
0
1
a 5 2
a 5 5
5a 
1
2
d) Qualquer a real positivo e diferente de 1.
5a 
1
4
5a 5
	 6.	Como você viu, o pH mede o grau de acidez, neutrali-
dade ou alcalinidade de uma solução. Ele é calculado 
pela expressão pH 5 2log [H1], sendo [H1] a concen-
tração de íons H1, em mol/L, presente na solução. Veja 
o valor do pH de algumas soluções.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Ácido
clorídrico
Abaixo de 7 Igual a 7 Acima de 7
Ácido Neutro Alcalino
Vinagre
Limão
Tomate
Água
da chuva
Água da
torneira
Soda
cáustica
Água
sanitária
Amônia
Leite
Ovo Sabonete
Alvejante2,0
0,1
4,5
6,4
8,5
10,0
12,6
13,0
11,69,0
7,0
5,5
2,4
	a) De acordo com essa escala, qual é a concentração 
de íons H1 do limão, em potência de base 10? E do 
tomate? Qual deles é mais ácido?
	b) Dos exemplos dados, qual tem concentração de 
íons H1 de 1029? E qual tem concentração de 
10213? Qual deles é mais alcalino?
	c) Um químico, ao analisar determinado exemplo da 
escala acima, verificou que a concentração de íons 
H1 era um valor entre 1028 e 1023. Quais dos exem-
plos podem ter sido analisados pelo químico?
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
1022 mol/L. 1024,5 mol/L. O limão.
Soda cáustica. Água sanitária. Água sanitária. 
Água da torneira, leite, água da chuva e tomate.
Atividades Não escreva no livro.
1. a) 23 5 8 ^ log2 8 5 3; b) 72 5 49 ^ log7 49 5 2; c) 103 5 1 000 ^ log10 1 000 5 3; d) 5 ^ 5 223 
1
3
 log 
1
3
 11
3
; e) 5 ^ 57 7 log 7 
1
2
1
2
7
6. Professor, sugira aos estudantes que elaborem mais uma pergunta 
para esta atividade usando os exemplos dados e a respondam.
3. b) Professor, ressalte aos estudantes que há 2 respostas 
possíveis no item b. 5 2 5 2log 
1
5
 1 ou log 5 1
5 1
5
. 73
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Além da sala de aula
Programas de computador e algoritmos
	 1.	Um programa simples de computador foi escrito com o intuito de sempre multipli-
car por 5 o número natural que for digitado pelo usuário e, então, exibir o resultado 
na tela do programa.
Veja um exemplo quando o usuário digita o número 4.
	 Digite um número natural: 4
	 Resultado: 20
Usando esse programa, qual número será exibido como resultado quando o usuá-
rio digitar o número 31? E quando digitar o número 200?
	 2.	No programa citado na atividade 1, há um algoritmo relacionado ao cálculo que o 
programa faz, ou seja, há uma sequência de passos a serem seguidos.
Algoritmo é um dos pilares do pensamento computacional cujo objetivo é estipular 
uma ordem, uma rotina ou uma sequência de passos para resolver um problema.
Algoritmos como o exemplificado nesta atividade são utilizados para programar 
cálculos em computadores, ou seja, para “ensinar” aos computadores os cálculos 
que queremos que sejam feitos. 
Fique atento
Veja um exemplo de algoritmo que podemos escrever para esse programa, usando 
um pseudocódigo (linguagem simples que é escrita sem utilizar uma linguagem de 
programação específica).
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
155. 1 000.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção 
encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
A seta ó indica que uma variável 
do algoritmo vai receber um 
valor (um número explicitado no 
algoritmo, o valor de outra variável 
ou o resultado de um cálculo). Por 
exemplo, em y ó 5 ? n, a variável y 
do algoritmo recebe o valor do 
cálculo 5 ? n.
Início
	 Nomeie de n o número natural dado
	 Crie y
	 Calcule y ó 5 ? n
	 Saída: y
Fim
Sempre que o usuário digitar um número natural no programa, esse algoritmo será 
utilizado e exibirá como saída o resultado desse número multiplicado por 5. 
Acompanhe o passo a passo de execução desse algoritmo quando o usuário digita 
o número 4 e observe como percorremos as linhas do algoritmo de uma em uma, 
de cima para baixo.
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