1 ANO - MÓDULO 2

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Curitiba, 2022Curitiba, 2022
MATEMÁTICA
MATEMÁMÁTICACACACACACA E SUAAAAAASSSSSS TETETETTT CNNNNNNOLOGOGOGOGOGOGIASSSSSS
T
MÓ
DU
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Fuunções I I , gFFu I , trigonommeetttriiaaI trigonommeeeetttrriiaa
unções I IFF ççFFFFFFFFuuFuFuunnuFuuFuunuunuuunF nF nnuunnçF nF nFuuunçF nçõFuFFFFu çF nçõõççuF n õõunu eFuFu õu õF nçununçõunções I ,unçõeu ssunçõu õessçõeõunçõununFunçõeuunçõenF nçõenunçõõeseF õunnuuuFu IIInçuunçõeeõunn õõ ,,Fu eennçõuuu ggguuFunçõõun eençn IIee IIõõuu ççuu ggFF çõFunçõF n õun guu õ I ,FunçFF sF õeunções Iunções I IF nções I I , gF õuunções I I ,ões I I ,uFFu ões I Inções I Ies I I , tr gF nções I I , gnções IFunções I I ,uunçõeFunções I I ,nF çõeunções I IFuunções I , tnç essun õFF n õenções I I , trsnç es IFF nçFunções I I , trigF n sF õF ões I I , tF õeçõ snções I I , trigões I I trigF nções I I trigFF es I I trigF ões I I trigF ões I I trigF ões I I trigF es I I trigFF ões I I triggões I I trigF riggoI gF e I I trigo
F I t igone I I trigon
F s o
F II trigonI I trigono
F ões I I trigonommII trigonommeeII trigonommeeeetrriiI I t igonommeeeetriaaI I t igonometriaaigonometriaamettriia
etria petria petria ptria pee gggeometria plaometria plannaa
geomet ia pla a
ge ggee ge gggge ge gee gggge gee gee ee gee eoeee eoe e me geomge omoe eomee eoee oeeee geome eome ome me geome momeome eomgeoe me eome eomgeoe geomgeomme moee geomgeomee mgeome ee geome e mgeome eoeee omomgeome eome geomeome geome eomgeometria plageometria planaam i lanalana
Taís Ribeiro Drabik de Almeida
Carolina de Almeida Santos Pinotti
LI VRO DO PROFESSOR
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SUMÁRIO
 1 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E 
 LOGARÍTMICAS ..................................... 5
Potenciação....................................................... 6
Função exponencial ....................................... 12
Equações exponenciais ................................. 28
Inequações exponenciais ............................. 35
Definição de logaritmo ................................. 39
Função logarítmica ........................................ 50
Equações logarítmicas .................................. 61
Inequações logarítmicas .............................. 65
 6 FUNÇÃO MODULAR ............................. 77
Função definida por várias sentenças .... 78
Função modular .............................................. 82
Equações modulares ...................................... 92
Inequações modulares .................................. 93
 7 SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA .. 99
Semelhança de triângulos ........................... 100
Relações métricas no triângulo 
retângulo ........................................................... 109
Razões trigonométricas no triângulo 
retângulo ........................................................... 118
Lei dos senos .................................................... 128
Lei dos cossenos ............................................. 133
Área de um triângulo..................................... 139
 8 GEOMETRIA PLANA ............................. 151
Polígonos ........................................................... 152
Área de figuras planas .................................. 163
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Angela Giordani / CRB 9-1262 / Curitiba, PR, Brasil)
2022 
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Taís Ribeiro Drabik de Almeida. Reformulação dos originais de 
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2022
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A447 Almeida, Taís Ribeiro Drabik de.
 Conquista : Solução Educacional : ensino médio : formação 
geral básica : módulo 2 : matemática e suas tecnologias : 
matemática : funções II, trigonometria e geometria plana / Taís 
Ribeiro Drabik de Almeida e Carolina de Almeida Santos Pinotti. 
– Curitiba : Cia Bras. de Educação e Sistemas de Ensino, 2022.
 256 p. : il.
 ISBN 978-65-5984-177-6 (Livro do professor)
 1. Educação. 2. Ensino médio. 3. Matemática – Estudo e 
ensino. I. Pinotti, Carolina de Almeida Santos. II. Título.
CDD 370
Anotações Calendário de provas
C l dá i
Datas
Importantes
Para
Lembrar
S ES EE
LOLOGARÍÍTMICASLOG Í
©Shutterstock/Marco Zamperini
5
 Utilizar as potências na 
representação numérica, 
inclusive em notação 
científica.
 Reconhecer funções 
exponenciais por sua 
expressão algébrica ou por 
seu gráfico.
 Usar funções exponenciais 
para interpretar e resolver 
problemas.
 Reconhecer uma função 
logarítmica expressa por sua 
lei de formação ou por seu 
gráfico.
 Interpretar e construir gráficos 
de funções logarítmicas.
 Resolver equações 
logarítmicas e usá-las para 
resolver problemas. 
 Utilizar tecnologias 
digitais para representar e 
analisar gráficos de funções 
exponenciais e logarítmicas.
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
DOBRE NA LINHA PONTILHADA
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/P
au
lis
ta
6 MATEMÁTICA• •
POTENCIAÇÃO
As bactérias são seres vivos, 
portanto podem se reproduzir. 
Isso significa que uma bactéria 
pode gerar outros indivíduos 
semelhantes a si mesmas. Uma 
das maneiras de essa reprodução 
acontecer é por meio da 
bipartição ou fissão. Nesse tipo 
de reprodução, uma bactéria se 
divide em duas partes e forma 
duas outras bactérias. 
Depois de algum tempo, 
as duas novas bactérias 
também estão prontas para se 
reproduzirem. Com uma nova 
divisão, temos, então, a partir 
da bactéria original, quatro 
bactérias.Com a repetição desse 
ciclo, o número de bactérias 
dobra constantemente.
5
EM13MAT313
#fissão
b
acterian
a
Note que, a cada nova divisão, o número de bactérias da divisão anterior é multiplicado por 2. 
Número de divisões Número de bactérias Potência
1 2 21
2 4 2 ⋅ 2 = 22
3 8 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23
4 16 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24
5 32 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25
Por exemplo, se a partir de uma única bactéria, tivermos cinco fissões, resultarão:
2 2 2 2 2 32⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = bactérias
Podemos escrever essa multiplicação com uma potência de base 2:
2 2 2 2 2 2 325⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =
Note que o número de divisões, registrado na primeira coluna, corresponde ao expoente da 
potência na última coluna.
Sabendo disso, podemos calcular a quantidade de bactérias após certo número de divisões. 
Generalizando, o número de bactérias após n 2n .
Vamos relembrar as principais definições e propriedades da potenciação.
ú
©
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rs
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ck
/A
nd
re
a 
Da
nt
i
Fl
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io
 S
m
ile
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 7• •
M
A
T
Observe agora o seguinte produto de potências: 23 ⋅ 25. 
Vamos utilizar a definição para cada uma delas:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 5
3 5
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
fatores fatores
��� � �� �� 22 2 2 2
8
8 3 5⋅ = = +
fatores
� ���� ����
Portanto, para quaisquer números inteiros positivos m e n, temos: a a am n m n⋅ = + .
Sejam a um número real e 
n 2 um número inteiro. 
a 
n o produto de 
n a.
a a a a an
fatores
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅…� �� ��
n
Para n = 1, não existe produto 
e definimos que a1 = a.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
 • 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243
 • (–3)3 = (–3) ⋅ (–3) ⋅ (–3) = –27
 • 2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
16
625
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ =
 • 17 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
 • a a am n m n⋅ = +
 •
a
a
a
m
n
m n= −
 • ( )a am n m n= ⋅ (potência de potência) 
 • ( )a b a bn n n⋅ = ⋅
 • a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
Veja a explicação sobre essa restrição no Manual digital.
 • 5 5 5 5
2( ) = ( ) ⋅ ( ) =
 • −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
4
3
4
3
1
Desde que sejam satisfeitas as condições de existência de cada 
uma das potências, usando a definição, podemos demonstrar outras 
propriedades.
Vamos dar um significado para as potências de expoente 
zero e também de expoentes inteiros negativos, de modo que a 
propriedade a a am n m n⋅ = + seja mantida para quaisquer números 
inteiros.
 • De acordo com a propriedade a a am n m n⋅ = + , a igualdade 
a a a1 0 1 0⋅ = + deve ser válida. Assim, temos a a a1 0 1⋅ = ou, 
ainda, a a a⋅ =0 . 
Se a 0, para que a a a⋅ =0 , necessariamente a0 1. 
a ser zero.
Potência de expoente racional
Podemos ampliar o conceito de potência para expoentes racionais. Considere, por exemplo, a potência 2
1
3 
e os passos a seguir.
x 2
1
3
Elevando ao cubo os dois membros da igualdade, temos:
x x3
1
3
3
3
1
3
1
3
1
32 2 2 2=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⇒ = ⋅ ⋅
Fazendo valer a propriedade a a am n m n⋅ = + para m e n racionais, temos:
x x x3
1
3
1
3
1
3 3 32 2 2= ⇒ = ⇒ =
+ +
 
8 MATEMÁTICA• •
Assim, 2 2
1
3 3 . Podemos generalizar esse resultado:
Observações
 • Quando 
m
n
 é um número racional maior do que zero, 0 0
m
n .
 • Quando a é negativo, nem sempre a potência a
m
n tem sentido. Por exemplo:
( )− = − = −8 8 2
1
3 3 (–8 elevado a 
1
3
 é igual a –2) 
( )− = − ∉4 4
1
2 (–4 elevado a 
1
2
 não é um número real)
Lembre-se de que 
corresponde ao conjunto dos números naturais excluindo o zero.
Assim, de acordo com esses resultados, 5 2 está compreendido entre 9,738305174 e 9,73987262. 
À medida que o expoente se aproxima de 2, por falta ou por excesso, 5 2 se aproxima de um mesmo valor.
A aproximação mostrada no visor da calculadora, que tem nove casas decimais, é 9,738517742. 
Observações
 • Quando α é um número irracional maior do que zero, 0α = 0.
 • Todas as propriedades válidas para expoentes inteiros continuam válidas para os números reais, desde 
que satisfeitas as condições de existência de cada potência. 
Aproximações por falta Aproximações por excesso
1 4 5 9 518269694
5 9 672699729
5 9 7
1 41
1 414
1 4
1 414
1 41
, ,
,
,
,
,
,
,
,
335171039
5 9 7383051741 4142 1 4142, ,,
1 5
1 4145
5 11 18033989
5 9 829635328
5 9
1 42
1 5
1 415
1 42
,
,
,
,
,
,
,
,
,
7750851808
5 9 739872621 4143 1 4143, ,,
A
Potência de expoente irracional
Observe ao lado o valor aproximado de 5 2, obtido em uma 
calculadora científica.
O expoente 2 é um número irracional. Para calcular 5 2, são 
utilizadas aproximações racionais, por falta ou por excesso, do número 2. 
Assim são obtidos valores próximos de 5 2. Nesse cálculo, utilizamos 
uma calculadora científica. 
Sejam a um número real positivo e 
m
n
 um número racional, com m e 
n∈ ∗. Então:
a a
m
n mn
Lembre-se de que
2 1 41421356, ... 
Observações
Observações
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/B
ar
bo
S
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 9• •
M
A
T
Notação científica
Um dos mais importantes usos 
das potências é na representação de 
números em notação científica, na 
qual utilizamos potências de 10 para 
indicar a grandeza do número.
Quando fazemos uma medição, existe um limite para a 
precisão que podemos ter, conforme o instrumento de medida que 
está sendo usado. Assim, toda medida está sujeita a certo grau de 
erro. Ao registrar que o Sol tem 4 5 109, anos, os cientistas que 
fizeram a medição indicam que têm certeza sobre o 4 e 5, mas o 
próximo algarismo dessa medida é incerto.
Os algarismos significativos são aqueles que dão exatidão 
a um número. Quando representamos um número em notação 
científica, usamos apenas algarismos significativos para expressar 
a.
Exemplos: 
Na notação científica, um número 
é representado como uma 
multiplicação de dois fatores, 
sendo um deles um número 
e menor do que 10 e o outro 
uma potência de base 10 com 
expoente inteiro, ou seja:
a
a
a e b
b⋅
≤ <
∈ ∈
⎧
⎨
⎩
10
1 10
� �
9000000000000 9 10
0 345 3 45 10
0 0000127 1 27 10
12
1
5
= ⋅
= ⋅
= ⋅
−
−
, ,
, ,
A notação científica é bastante usada para representar números 
muito grandes ou muito pequenos. A idade do Sol, por exemplo, foi 
notação científica, escrevemos esse número como 4 5 109, , 
com a = 4,5 e b = 9.
Note que a tem apenas dois algarismos. Em um número 
escrito em notação científica, esses algarismos são chamados de 
algarismos significativos.
Número em notação 
decimal
Número em notação 
científica
Algarismos 
significativos
3
0,0000015 2
424,003 6
0,10004 5
305 3
1 25 108,
1 5 10 6, ⋅ −
4 24003 102,
1 0004 10 1, ⋅ −
3 05 102,
EXEMPLOS RESOLVIDOS
©
Sh
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te
rs
to
ck
/L
uk
as
z 
Pa
w
el
 S
zc
ze
pa
ns
ki
• Os zeros à esquerda de 
um número não são 
algarismos significativos.
• Zeros à direita de um 
número inteiro e zeros 
que aparecem entre 
outros algarismos são 
algarismos significativos.
10 MATEMÁTICA• •
 1. Calcule o valor das seguintes potências: 
a) ( )− =7 2 (–7) · (–7) = 49 
b) − =72 –7 · 7 = –49 
c) ( )− =−7 2 
d) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
1
4
2 
e) ( )− =3 3 (–3) · (–3) · (–3) = –27 
f) 33 –3 · 3 · 3 = –27 
g) ( )− =−3 3 
h) 3
3
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = 
i) 23
2( ) = 
j) 232 
k) −( ) =11
0 1 
l) 222 
 2. Utilizando as propriedades das potências, calcule o resultado das operações em cada item. 
a) 10 1011 6⋅ −
b) ( ) :( )8 813 11 
c) 1
2
1
2
19 15
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟: 
 3. Simplifique as expressões e indique o resultado. 
a) 169 1690 9 0 6, ,: 
b) 0 5 0 5 0 58 7 2, , : ,⋅ − − 
ATIVIDADES
EM13MAT313
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
7
1
7
1
7
1
49
2
( ) ( ) ( )− = − ⋅ − =4 4 4 162
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
1
3
1
3
1
3
1
3
1
27
3
3
3
3
9
1
3
2
2
2 2 2
2 2 2⋅
= =
c) 2
2 2
19
17 20
 
d) 13 28
7
−
−( ) 
e) 2 2
1
3
6
1
8
8
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
 
f) 
( )− − − ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+ +−
4 2 3
3
5
2
1
2
3
8
2 2
0
2
 
 4. Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.a) ( V ) 3x + 3 x – 3 = 9x
b) ( V ) ( ) ( )− = − −5 56 5 30
c) ( F ) 3x + 3x = 6x
d) ( V ) x = 2x + 1
e) ( F ) 3 22 000 3 000
f) ( F ) 3 3 3 3200 199 198 198− − =
g) ( V ) A metade de 218 é 217.
h) ( V ) Sendo n um número natural, o valor da seguinte expressão é 2.(–1)2n – (–1)2n + 1 + (–1)2n + 2 + (–1)2n + 5
 5. Escreva os números a seguir em ordem crescente: 810, 2436, 8116, 2714, 165.
8 2 2
243 3 3
81 3 3
27 3 3
10 3 10 30
6 5 6 30
16 4 16 64
14 3 14 42
( )
( )
( )
( )
116 2 25 4 5 20( )
Como 2 330 30 , então 2 2 3 3 320 30 30 42 64. 
Portanto, 16 8 243 27 815 10 6 14 16 . 
Oriente os alunos a escrever os números em potências de 
mesma base sempre que possível para facilitar a comparação. 
Igualmente, é fácil comparar potências de bases diferentes 
com expoentes iguais. 
23 · 2 = 26 = 64
29 = 512
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 11• •
M
A
T
 6. Simplifique a expressão 
3 2 3 3
3 3
1 1
2 3
n n n
n n
+ −
− −
− ⋅ +
+
. 
 7. Escreva as medidas a seguir em notação 
científica (valores aproximados).
a) Massa do Sol: 
1990000000000000000000000000000 kg
1,99 · 1030 kg
b) Velocidade da luz: 300 000 km/s
3 · 105 km/s
c) Massa de um elétron: 
0,000000000000000000000000000911 g 
9,11 · 10–28 g
d) Idade da Terra: 4 550 000 000 anos
4,55 · 109 anos
e) Espessura média de um fio de cabelo: 
0,00007 m
7 · 10–5 m
f) Distância da Terra à Lua: 384 400 000 m
3,844 · 108 m
3 2 3 3
3 3
3 3 2 3 3
3
3
3
3
3
3 3 2 1
31 1
2 3
2 3
n n n
n n
n n
n
n n
n
+ −
− −
− ⋅ +
+
=
⋅ − ⋅ +
+
=
⋅ − +⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⋅ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= = ⋅ =
3 1
9
1
27
4
3
4
27
4
3
27
4
9
n
 9. (UFRGS – RS) Observe a 
tabela abaixo, usada em 
informática.
1 byte = 8 bits
1 kilobyte = 1 024 bytes
1 megabyte = 1 024 kilobytes
1 gigabyte = 1 024 megabytes
1 terabyte = 1 024 gigabytes
A medida, em gigabytes, de um arquivo de 
2 000 bytes é
a) 2–3 
b) 53 ⋅ 2–30 
c) 103 ⋅ 2–30
X d) 53 ⋅ 2–26
e) 103 ⋅ 2–26
4 5 2 5
4 5 2 5
4 5 2 5 5
4 5 10 5
6 8 2 3 8
6 8 6 8
6 8 6 6 2
6 8 6 2
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = ⋅
( )
Portanto, o produto 4 56 8 é igual ao número 25 seguido de 
seis zeros, ou seja, tem oito algarismos. 
Leve os alunos a notar que a quantidade de algarismos de um 
número tem relação com a maior ordem do sistema de nume-
ração decimal que o número ocupa e que isso, por sua vez, 
está relacionado com o expoente da potência de 10 da escrita 
científica desse número.
 10. (FUVEST – SP) Se 
416 25 = α ⋅ 10n, com 
1 10≤ <α , então n é igual a: 
a) 24
b) 25
c) 26
X d) 27
e) 28 
4 5 10
2 5 10
2 5 10
2 2 5 10
16 25
2 16 25
32 25
7 25 25
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
⋅ ⋅ = ⋅
α
α
α
α
n
n
n
n
( )
1128 2 5 1025⋅ ⋅ = ⋅( ) α n
128 10 1025⋅ = ⋅α n
Como 1 10≤ <α , temos:
128 10 1027, ⋅ = ⋅α n
Portanto, α = 128, e n = 27.
 8. Qual é a quantidade de algarismos do produto 
4 56 8 ? 
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
12 MATEMÁTICA• •
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Na abertura deste capítulo, você viu a imagem 
de um fractal. Os fractais são estruturas geométricas 
complexas e interessantes: eles têm propriedades 
que se repetem em diferentes escalas de 
observação.
Isso significa que podemos dividir um fractal 
em partes menores, por exemplo, e cada uma dessas 
partes será semelhante ao todo.
O termo fractal se refere justamente a essa 
característica. A palavra vem do latim fractus, que 
significa fracionar, quebrar. 
Acompanhe a seguir a construção de um 
exemplo de fractal que é conhecido como curva de 
Koch. Ele foi criado pelo matemático sueco Niels 
Fabian Helge von Koch (1870-1924). 
 1. Iniciamos a construção do fractal com um 
segmento de reta AB de comprimento unitário.
 2. Dividimos esse segmento em três partes 
congruentes. Em seguida, construímos um 
triângulo equilátero cuja base é o segmento do 
meio. Finalmente, apagamos o segmento do meio.
 3. Em cada nível, repetimos o procedimento para 
cada um dos segmentos do nível anterior.
EM13MAT304
Nível Número de 
segmentos
Comprimento 
de cada 
segmento
Comprimento 
total da 
curva
0 1 1 1
1 4
2 16
3 64
4 256
Observe a seguir os níveis 3 e 4.
Na tabela a seguir, registramos o número de 
segmentos em cada nível e os cálculos para o 
comprimento da curva. 
1
3
1
9
1
27
1
81
4
1
3
4
3
⋅ =
16
1
9
16
9
⋅ =
64
1
27
64
27
⋅ =
256
1
81
256
81
⋅ =
Assim, podemos escrever as fórmulas que 
determinam o comprimento de cada segmento e 
o comprimento total da curva em função do nível 
correspondente. Chamando de S o comprimento de 
cada segmento, de C o comprimento da curva e de x 
o nível correspondente, temos: 
potências podem ser escritos como: 
1 = 
1
3
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
1
3
1
3
1
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
1
9
1
3
2
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
1
27
1
3
3
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
1
81
1
3
4
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
E os comprimentos totais da curva podem ser 
indicados assim: 
1
4
3
0
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
4
3
4
3
1
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
16
9
4
3
2
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
64
27
4
3
3
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
256
81
4
3
4
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
S
x
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
3
 e C
x
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
3
81
6
Nível 2
A B
Nível 0
A B
Nível 1
BA
Nível 3
A B
Nível 4
A B
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 13• •
M
A
T
Note que, na fórmula que relaciona o 
comprimento de cada segmento e o correspondente 
nível, a variável independente x encontra-se no 
expoente. O mesmo acontece na fórmula que 
relaciona o comprimento total da curva e o nível 
correspondente. 
Esses são exemplos de funções exponenciais.
Acompanhe mais um exemplo.
Uma das preocupações das autoridades em 
relação à pandemia do novo coronavírus era a de 
ter disponível o número necessário de leitos nos 
hospitais para o tratamento dos doentes. Como a 
doença é bastante contagiosa, cada pessoa infectada 
pode passar para outras duas ou três se não forem 
tomados os cuidados necessários. 
Nessa situação, considerando t como o número de semanas, note 
que o número de pacientes p é multiplicado por 3 a cada período 
t. O número de pacientes é dado por uma função em que a variável 
independente se encontra no expoente: p t t( ) 3 . 
Veja agora a definição de função exponencial.
Exemplos:
 • f x x( ) 4 • y x( , )0 3 • y
x
= ( )7 • g x
x
( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
4
Existem funções que, embora não se encaixem na definição que 
apresentamos acima, têm comportamento semelhante ao de funções 
exponenciais. Por exemplo:
 • f x x( ) = −5 2
 • g x
x
( ) = ( ) +
6
1
 • h x
x
( ) = ⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2
3
5
 
Suponha que em uma cidade havia cem leitos reservados para o tratamento dos pacientes de Covid-19. 
As autoridades perceberam que, a cada semana, o número de pessoas que precisavam de internação 
triplicava. Foi feita uma projeção para descobrir em quanto tempo, aproximadamente, os leitos disponíveis 
seriam insuficientes, caso nenhuma providência fosse tomada para diminuir o contágio.
Situação inicial: 1 paciente
Após 1 semana: 3 1 3⋅ = pacientes = 31 pacientes
Após 2 semanas: 3 3 9⋅ = pacientes = 32 pacientes
Após 3 semanas: 3 9 27⋅ = pacientes = 33 pacientes
Após 4 semanas: 3 27 81⋅ = pacientes = 34 pacientes
Após 5 semanas: 3 81 243⋅ = pacientes = 35 pacientes
Toda função f: → +
∗ 
é denominada função 
exponencial quando puder ser 
escrita na forma f x ax( ) , com a 
real, a 0 e a 1.
+
∗ é o conjunto dos 
números reais positivos.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/H
al
fp
oi
nt
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
yl
fid
a
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
of
ia
v
14 MATEMÁTICA• •
Na definição de função exponencial, foram impostas restrições para a base a. Veja por 
que a base deve ser positiva e diferente de 1.
 • a 1
Nesse caso, teríamos f x x( ) 1 1, ou seja, uma função constante.
 • a 0
Quando a base é nula, f x x( ) 0 , precisamos considerar três casos. 
Se x é positivo, então f x( ) 0, ou seja, a função é constante.
Se x é negativo, então não existe f(x). Por exemplo, f( )− = = =−2 0
1
0
1
0
2
2
. Como não 
faz sentido dividir 1 por 0, não existe f(–2).
Se xé igual a 0, então f( )0 00. Nesse caso, trata-se de uma expressão indeterminada.
 • a 0
Considere, por exemplo, que a = −4. Dessa forma, f x x( ) ( )= −4 . Substituindo x por 
1
2
, 
temos: f
1
2
4 4
1
2⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − = −( ) .
Como a raiz quadrada de –4 não é um número real, não existe f
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ em . 
Assim, quando a base é negativa, não existe o valor de f(x) para qualquer x real.
EXEMPLO RESOLVIDO
Em momentos de emergência, muitas pessoas fazem empréstimos em bancos ou financeiras 
sem avaliar corretamente os altos juros normalmente praticados. Considere que uma pessoa fez um 
a) 
b) 
c) t
d) Qual é a taxa anual Veja outra forma de resolver esse item no Manual digital.
Solução 
10 000 ⋅ 2 = 10 000 ⋅ 2
Solução 
10 000 ⋅ 12 = 10 000 ⋅ 12 ≅
Solução 
t y da dívida, em reais, é dado por:
y = 10 000 ⋅ t
y = 10 000 ⋅ t
Solução 
12 
de juros).
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/L
ov
Ar
t
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 15• •
M
A
T
 11. Identifique as funções exponenciais e justifique sua resposta indicando a base quando for o caso. 
a) f x x( ) 6 A função é exponencial de base 6. 
b) f x x( ) 24 
c) f t
t
( )= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
3
5 
d) f y y( ) ( )= −3 
e) f b b( ) 1 
f) f x xx( ) 
ATIVIDADES
EM13MAT304
A função é exponencial de base 16, pois 2 2 164 4x x x= ( ) = .
A função é exponencial de base 
1
243
, pois 
1
3
1
243
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = .
Como f(y) não existe para todo y real, não temos uma função (considerando como domínio o conjunto dos números 
reais). Por exemplo, não existe f(y) para y
1
2
. 
Como f b( ) 1 para todo x real, a função é constante.
Como f(x) não existe para todo x real, não temos uma função (considerando como domínio o conjunto dos números reais). 
Mesmo considerando como domínio apenas o conjunto dos valores de x para os quais xx é real, não teríamos uma função 
exponencial, pois a base é variável.
 12. A lei de formação de uma função exponencial é f x x( ) 2 . Calcule o valor da expressão f x f x f x
f x f x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
3 4
. 
f x f x f x
f x f x
x x x
x x
x( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + + +
+ + +
=
+ +
+
=
++ +
+ +
1 2
3 4
2 2 2
2 2
2 21 2
3 4
xx x
x x
x
x
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
=
=
⋅ + +
⋅ +
=
+ +
+
=
2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 2
2 2 2
1 2 4
8 16
7
24
2
3 4
2
3 4
( )
( )
 14. (UEG – GO) A bula de certo medicamento informa que, a cada seis horas após sua ingestão, metade dele é absorvida pelo organismo. Se uma pessoa tomar 200 mg desse medicamento, quanto ainda restará a ser absorvido pelo organismo imediatamente após 18 horas de sua ingestão? E após t horas? 
Para t = 0, temos y = 500.
Para t = 4, temos y = 100.
500 500
100 500 100
1
5
1
5
500
1
5
0
4 4 4 4 4
= ⋅ ⇒ =
= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅
⎛
⎝
⎜
p q p
p q q q q y ⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
t
Portanto, para t = 8, temos y = ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =500
1
5
500
1
5
204
8 2
. 
Após 6 horas: 100 mg
Após 12 horas: 50 mg
Após 18 horas: 25 mg
Após t horas, a quantidade inicial é 
multiplicada por 
1
2
6⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
t
, ou seja, a 
quantidade restante após t horas é 
dada pela função f t
t
( ) = ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟200
1
2
6
.
TEMA 
QUENTE
 13. (MACKENZIE – SP) Um aparelho celular tem seu preço “y” desvalorizado exponencialmente em função do tempo (em meses) “t”, representado pela equação y p qt= ⋅ , com p e q constantes positivas. Se, na compra, o celular custou R$ 500,00 e, após 4 meses, o seu valor é 1/5 do preço pago, 8 meses após a compra, o seu valor será 
a) R$ 25,00
b) R$ 24,00
c) R$ 22,00
d) R$ 28,00
X e) R$ 20,00
TEMA 
QUENTE
16 MATEMÁTICA• •
 15. (UCB – DF) Em um tanque, a 
população de peixes cresce 
de acordo com a expressão 
N t a eb t( ) = ⋅ ⋅ , em que a e b 
são constantes positivas, a letra e é a base do 
sistema de logaritmos naturais e t é dado em 
dias. Se, em determinado dia, a população era 
de 100 indivíduos e, 10 dias depois, era de 
200, determine a população 30 dias depois da 
primeira contagem.
 17. (UERJ) Em 1772, o 
astrônomo Johann Elert 
Bode, considerando os 
planetas então conhecidos, 
tabelou as medidas das distâncias desses 
planetas até o Sol.
n PLANETA
DISTÂNCIA ATÉ O SOL
(unidades 
astronômicas)
1 Mercúrio 0,4
2 Vênus 0,7
3 Terra 1,0
4 Marte 1,5
5 * –
6 Júpiter 5,2
7 Saturno 9,2
*asteroides
A partir dos dados da tabela, Bode estabeleceu 
a expressão abaixo, com a qual se poderia 
calcular, em unidades astronômicas, o valor 
aproximado dessas distâncias:
3 2 4
10
2⋅ +−n
Atualmente, Netuno é o planeta para o qual 
n = 9, e a medida de sua distância até o Sol é 
igual a 30 unidades astronômicas. A diferença 
entre este valor e aquele calculado pela 
expressão de Bode é igual a d.
O valor percentual de |d|, em relação a 
30 unidades astronômicas, é aproximadamente 
igual a: 
X a) 29%
b) 32%
c) 35%
d) 38%
Agora, você pode fazer as questões 92 
a 95 da seção Conquista Enem.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Veja comentários no Manual digital.
 16. (UFS – SE) Para iniciar um 
experimento, foram usadas 
apenas duas bactérias, 
colocadas simultaneamente 
em recipientes distintos, 
I e II. Observou-se que as bactérias de I e II 
dividiram-se em duas outras, uma ao fim de 
20 minutos e a outra ao fim de 30 minutos, 
respectivamente. Considere que esse padrão 
foi mantido pelas novas bactérias geradas, para 
analisar as afirmações abaixo. 
0 0 ( F ) Ao completar 20 horas do 
experimento, a população de I apresentava 
menos do que 1015 indivíduos.
1 1 ( V ) A população de II ultrapassou o total 
de 2 000 indivíduos ao fim de 5 horas e 
meia.
2 2 ( F ) Ao fim de 30 horas, a razão entre as 
populações de I e II, nesta ordem, era igual 
a 8.
3 3 ( F ) A população de I se tornou o dobro da 
população de II ao fim de 2 horas.
4 4 ( V ) Se t representa o número de 
horas transcorridas a partir do início 
do experimento, a população p(t), de 
bactérias do recipiente I, é dada por 
p t t( ) 8 .
N t a e
N
N
a e
a e
b t
b
b
( ) = ⋅
( ) =
( ) =
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⇒
= ⋅
= ⋅
⎧
⎨
⋅
⋅
0 100
10 200
100
200
0
10
⎪⎪
⎩⎪
⇒
=
= ⋅
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = =
a
e
a e eb
b100
200 100
100 210
10 
Portanto: 
N t a e
t
a
e
N e N
b t
b
b
( ) = ⋅
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ ( ) = ⋅ ⇒ ( ) =
⋅
30
100
2
30 100 30 100
10
30 ⋅⋅ ( ) ⇒ ( ) =e Nb10 3
30 800
Após 30 dias da primeira contagem, a população será de 800 
indivíduos.
Segundo a expressão de Bode, para n = 9, temos:
n
d
= ⇒
⋅ +
=
⋅ +
= =
= − =
−
9
3 2 4
10
3 128 4
10
388
10
38 8
38 8 30 8 8
9 2
,
, ,
Como 8 8
30
0 29333
,
, ... , o valor percentual de |d|, em relação a 30 
unidades astronômicas, é aproximadamente igual a 29%.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 17• •
M
A
T
Você já deve ter percebido que algumas calculadoras têm a tecla “e” 
ou a função “ex e, assim como o π, é irracional, ou seja, tem 
um número infinito de casas decimais. Ele é usado na modelagem de 
alguns fenômenos naturais, portanto é útil que uma aproximação dele 
seja facilmente acessada por uma tecla na calculadora.
M C i C Ct= ⋅ + = ⋅ + =( ) ( )1 1 1 21
t, assim como a correspondente fração 
da taxa de juros. 
M C an= ⋅ , com a
nn
n
= +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
, em que n∈ ∗.
Observe alguns valores de an:
a a a1
1
2
2
3
3
1
1
1
2 1
1
2
2 25 1
1
3
2 370370= +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =, , 337
a
a
10
10
100
100
1
1
10
2 5937424601
1
1
100
2 70481
= +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
,
, 338294
1
1
1 000
2 71692393221 000
1000
a = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ,
Embora todos os números dessa sequência sejam racionais, pois podem ser escritos na forma 
p
q
, 
em que p e q *, é possível demonstrar que, ao atribuirmos valores cada vez maiores para n, nos 
aproximaremos do número irracional 2,7182818284…
Esse número é denominado número de Euler, em alusão ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-
e. 
ANÁLISE DO ERRO
Ao resolver a seguinte questão, um estudante marcou como correta a alternativa b. 
FIQUE POR DENTRO
ENEM
t
exponencialN(t) = N0ekt, em que N0 é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) 
e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.
cultura, foi
a) N0 b) N0 c) N0 d) N0 e) 729N0
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/V
er
a 
Ak
si
on
av
a
18 MATEMÁTICA• •
Observe como esse aluno raciocinou. 
N1 N N1 03= ⋅ .
N5
5 3.
N N N5 0 05 3 15= ⋅ = .
Qual foi o erro que o estudante cometeu?
N N e N ek k( )1 0
1
0= =⋅
Mas o enunciado também indica que N N1 03= ⋅ . 
3 30 0⋅ = ⇒ =N N e ek k 
0ekt
0ek · 5
N N e N ek k( ) ( )5 0
5
0
5= ⋅ = ⋅⋅
Já sabemos que ek 3
N N N( ) ( )5 3 2430
5
0= ⋅ = ⋅
0 c é a correta.
M C i t= ⋅ +( )1
c i t 
M = ⋅ +200 000 1 0 02 12( , )
FIQUE POR DENTRO
QuQ al foi o erro quqqq e o estudante cometeu?
N( ))
c é a correta.
©Shutterstock/Vikivector
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 19• •
M
A
T
esses cálculos são facilmente refeitos sempre que algum dado mudar.
Inicialmente, devem ser registrados na planilha
 • o valor do empréstimo;
 • as instituições que foram pesquisadas;
 • a taxa de juros cobrada em cada uma.
Uma coluna ficou reservada para indicar o número de parcelas do financiamento. 
Optou-se pelo cálculo mês a mês para enxergar o quanto a dívida aumenta de acordo com 
o número de meses do financiamento.
M C i t= ⋅ +( )1 foi reescrita, 
alterado e os cálculos serão refeitos automaticamente com base no conteúdo das células.
Analisando a planilha, é possível decidir, por exemplo, em qual banco fazer o 
financiamento nesse caso.
Empréstimo
=$A$4*(1+$D$2)^C3x
Valor do empréstimo
Taxa de juros mensal
R$ 200.000,00
Banco A
3,50%
R$ 207.000,00
Parcela
1
2
Banco B
2,70%
Banco C
3,10%
�
�
�
�
Empréstimo
Valor do empréstimo
Taxa de juros mensal
R$ 200.000,00
Banco A
3,50%
R$ 207.000,00 R$ 205.400,00 R$ 206.200,00
R$ 214.245,00 R$ 210.945,80 R$ 212.592,20
Parcela
1
2
Banco B
2,70%
Banco C
3,10%
�
�
�
�
R$ 221.743,58 R$ 216.641,34 R$ 219.182,56
R$ 229.504,60 R$ 222.490,65 R$ 225.977,22
3
4
�
�
R$ 237.573,26 R$ 228.497,90 R$ 232.982,51
R$ 245.851,07 R$ 234.667,34 R$ 240.204,97
5
6
�
	
R$ 254.455,85 R$ 241.003,36 R$ 247.651,32
R$ 263.361,81 R$ 247.510,45 R$ 255.328,51
7
8
��
R$ 272.579,47 R$ 254.193,23 R$ 263.243,70
R$ 282.119,75 R$ 261.056,45 R$ 271.404,25
9
10
��
��
R$ 291.993,94 R$ 268.104,98 R$ 279.817,78
R$ 302.213,73 R$ 275.343,81 R$ 288.492,14
11
12
��
��
20 MATEMÁTICA• •
EMOÇÕES EM PAUTA E
O texto a seguir fala sobre o descontrole 
financeiro, que ocorre quando as decisões sobre 
compra não são feitas apenas com base na 
capacidade financeira da pessoa.
Depois da leitura, reúna-se com os colegas e 
discuta as questões apresentadas ao final.
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
 • De acordo com o texto, quais soluções Ana Vilela 
buscou para equilibrar sua vida financeira?
 • Em sua opinião, o empréstimo oferecido no caixa 
eletrônico resolveria o problema dela? 
 • Você acha que a raiz dos problemas financeiros 
enfrentados por Ana é a falta de dinheiro? 
Justifique sua resposta.
 • Troque ideias com um colega e proponha uma 
solução para enfrentar um problema como esse.
O PREÇO das compras compulsivas. Disponível em: https://financasfemininas.com.br/compras-compulsivas/. Acesso em: 19 mar. 2021.
O preço das compras 
compulsivas
Com seu gato, Veludo, sofrendo com uma pedra 
nos rins e o dinheiro já em falta, a professora e 
poeta mineira Ana Vilela foi ao banco para ver o que podia fazer. Bastaram alguns cliques para encontrar 
a solução. Na tela do caixa eletrônico aparecia chamativa a opção: peça um empréstimo agora. Não foi 
preciso passar a porta giratória. Não foi preciso conversar com o gerente. Naquela manhã de sábado de 
outubro de 2011, ela havia descoberto mais uma forma de financiar o seu consumo – que já desestruturava 
há tempos sua vida financeira.
Mesmo com dois empregos e um bom salário, vivia faltando dinheiro. Tudo por uma necessidade de 
comprar que ela não conseguia entender. Comprar aquilo que não precisava, que não podia pagar, que 
sequer iria usar. O número de CDs, bolsas, roupas e livros acumulados só crescia conforme aumentava o 
seu estresse: com o trabalho excessivo, com as dívidas somadas, com a incapacidade de parar de gastar – 
mesmo consciente de que era disso que precisava.
O descontrole tirava o sono, preocupava e constrangia. Foram dez anos enrolada em cartões 
estourados e empréstimos, lutando para não ficar no vermelho e tentando esconder as dificuldades da 
família, até que Ana percebeu que não se tratava de mero descontrole ou consumismo. Tampouco o 
problema era falta de educação financeira: ela vinha de uma família poupadora, que sabia administrar 
a sua renda. Em 2012, a professora descobriu as compras compulsivas, um transtorno do controle do 
impulso que afetava não só a sua, mas a vida de muita gente no mundo todo.
Um estudo norte-americano, liderado pelo pesquisador Lorrin Koran, estimou que cerca de 5% 
da população seja atingida pelo transtorno. Apesar de já bastante significativa, acredita-se que essa 
porcentagem possa ser muito maior, já que muitas pessoas convivem com a oniomania – como é 
chamado o transtorno – por décadas, sem identificá-la.
©Shutterstock/Sebra
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 21• •
M
A
T
x (x, y)
–3
–2
–1
0
1
2
3
Gráfico da função 
exponencial
A radioatividade é um 
fenômeno pelo qual, de forma 
natural ou artificial, uma 
substância é capaz de emitir 
radiações. As substâncias 
radioativas são instáveis e 
estão constantemente perdendo 
partículas. Com o passar do 
tempo, essa capacidade vai 
diminuindo. O tempo necessário 
para que a radioatividade de uma 
substância se reduza à metade é 
chamado de meia-vida.
Essa forma de energia 
tem várias aplicações em 
nossa sociedade e entre elas 
podemos destacar a cintilografia. 
Esse método tradicional de 
medicina nuclear é realizado 
para examinar os diferentes 
isso, são utilizados elementos 
radioativos que apresentem 
avaliados. Um exemplo de 
no tratamento de câncer de 
tireoide. Ao se acumularem na 
gama provenientes desse 
destroem as células cancerígenas.
sua atividade será reduzida à 
metade em relação ao valor 
inicial. 
radioisótopo: isótopo de um 
elemento químico que emite 
radiação.
isótopo: átomo de um elemento 
químico que tem o mesmo número 
de prótons (número atômico).
 •
tabela que mostra como a atividade se reduz com o passar dos dias. 
Podemos representar essa relação por pares ordenados e marcá-los 
em um plano cartesiano, como mostra a figura, gerando um gráfico 
do decaimento radioativo da substância.
dias decorridos depois de ser administrado é: 
p t
t
( ) = ⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟100
1
2
8
Essa é uma função exponencial. Observe que a curva gerada não 
é uma reta nem uma parábola. Vamos construir os gráficos de duas 
funções exponenciais e analisar algumas de suas características.
 • f x x( ) 2
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟3
1
8
,f( )− = =−3 2
1
8
3
f( )− = =−2 2
1
4
2 −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2
1
4
,
f( )− = =−1 2
1
2
1
f( )0 2 10
f( )1 2 21
f( )2 2 42
f( )3 2 83 3 8,( )
2 4,( )
1 2,( )
0 1,( )
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
2
,
Tempo 
(em dias)
Porcentagem 
(%)
Par 
ordenado
0 100 (0, 100)
8 50 (8, 50)
16 25 (16, 25)
24 12,5 (24; 12,5)
32 6,25 (32; 6,25)6,25)
f(x) = 2x
0 8
x
6,25
12,5
25
50
100
16 24 32 40 Tempo (dias)
Porcentagem (%)
− 3
1
2
4
8
− 2 − 1 0 1 2 3 x
y
1
2
1
4
1
8
22 MATEMÁTICA• •
Como o domínio da função é o conjunto dos números reais, o gráfico não é formado apenas por pontos 
isolados, e sim por uma linha contínua. Assim, podemos seguir a tendência dos pontos já marcados e 
construir o gráfico da função.
Podemos observar no gráfico ao lado que a 
função é crescente, ou seja, se aumentarmos os 
valores de x, os correspondentes valores de y 
também aumentam.
Note também que os valores de y são sempre 
maiores do que zero, embora quanto menor for ovalor de x
y. Nesse caso, dizemos que “y tende a 0”. Portanto, 
o conjunto-imagem da função é formado pelos 
números reais positivos, ou seja, Im( )f = +
∗ . 
 • g x
x
( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
A função é decrescente, ou seja, se aumentarmos 
os valores de x, os correspondentes valores de y 
diminuem. Além disso, Im( )g = +
∗ .
x (x, y)
–3
–2
–1
0
1
2
3
g(x) = 1
2
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
g( )− = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
3
1
2
8
3
g( )− = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
2
1
2
4
2
g( )− = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
1
1
2
2
1
g( )0
1
2
1
0
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
g( )1
1
2
1
2
1
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
g( )2
1
2
1
4
2
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
g( )3
1
2
1
8
3
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 3
1
8
,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
1
4
,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
1
2
,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0 1,( )
−( )1 2,
−( )2 4,
−( )3 8,
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
− 3
1
2
4
8
− 2 – 1 0 1 2 3 x
y
1
2
1
4
1
8
−3
1
2
4
8
−2 −1 0 1 2 3 x
y
1
2
1
4
1
8
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 23• •
M
A
T
Conforme estudado anteriormente, a base de uma função exponencial é um número maior do que zero e 
diferente de 1, ou seja, a 0 e a 1 .
 • Quando a base é maior do que 1, a função é
crescente.
a 1>
x x y y2 1 2 1> ⇔ >
A função é crescente.
 • Quando a base é um número entre 0 e 1, a
função é decrescente.
0 a 1< <
x x y y2 1 2 1> ⇔ <
A função é decrescente.
Como uma função exponencial é crescente ou decrescente, podemos concluir que ela é injetora, pois, em 
qualquer caso, elementos distintos do domínio têm imagens distintas.
A construção de gráficos de funções exponenciais com lápis e papel é uma tarefa 
um pouco trabalhosa. Como a função cresce muito rapidamente, é difícil escolher a 
escala adequada que possibilite a representação de muitos pares ordenados. 
Observe a tabela com alguns valores que a função f x x( ) 5 assume e sua 
representação no plano cartesiano ao lado.
x f(x)
0 1
1 5
2 25
3 125
Note que foi necessário usar uma escala diferente para os eixos x e y e, 
x 
Nesse caso, os recursos digitais têm grande utilidade. Além de representarem 
os pontos com precisão, podemos ajustar a escala do gráfico para melhor 
visualização. É possível aproximar o gráfico para observar um ou dois pontos com 
maior precisão e depois afastá-lo para ter uma visão do todo.
FIQUE POR DENTRO
tesiano ao l
125
diferente
y2
y1
0 x1 x2 x
y
y1
y2
0x1 x2 x
y
24 MATEMÁTICA• •
Veja a seguir diferentes visualizações da função g x
x
( )
1
3
.
Na primeira imagem, aproximamos a função para enxergar em detalhes o que acontece na proximidade 
dos pontos 0 1 1
1
3
2
1
9
, , , ,( ) ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟e .
Na segunda imagem, visualizamos a função “de longe” e assim temos uma ideia melhor de sua 
configuração geral.
O uso de softwares para o estudo das funções possibilita uma comparação rápida de diferentes tipos 
de funções. Assim, podemos entender algumas propriedades relacionadas a seus gráficos, por exemplo.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 25• •
M
A
T
A imagem a seguir mostra a função exponencial da forma f x b acx( ) = ⋅ . Inserimos 
controles deslizantes, que possibilitam alterar os valores de a, b e c, para observarmos 
o que ocorre com o gráfico da função quando esses valores são alterados.
Nessa primeira imagem, temos a = 2, b = 1 e c = 1, ou seja, a função representada é
f x x( ) 2 , que é crescente. 
Na segunda imagem, o valor de b foi alterado para –1, portanto a função representada 
é f x x( ) = −2 x, e a função, 
agora, é decrescente.
Na terceira imagem, alteramos apenas o valor de c em relação à primeira. Com c = –1, 
temos um expoente negativo, que transforma a função em f x x
x
( ) = =−2
1
2
. Com 0 1a , 
já vimos que a função se torna decrescente, que é o que mostra o gráfico.
Esses são apenas alguns exemplos das análises que podemos fazer usando um 
software no estudo das funções exponenciais. Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
26 MATEMÁTICA• •
18. Classifique cada uma das funções exponenciais em crescente ou decrescente e justifique sua resposta.
a) f x x( ) 7 A função é crescente, pois a base (7) é maior do que 1.
b) g x x( ) ( , )0 6 A função é decrescente, pois a base (0,6) está entre 0 e 1.
c) h t t( )= π A função é crescente, pois a base (π) é maior do que 1.
d y
x
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
11
13
e) y
x
5 
f) y e x= −
ATIVIDADES
EM13MAT304
A função é decrescente, pois a base 
11
13
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ está entre 0 e 1.
A função é crescente, pois a base ( )5 é maior do que 1.
Como y e
e
x
x
= = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− 1
, a função é decrescente, pois a base 
1
e
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ está entre 0 e 1.
 19. Dada a função y k x= −( )3 8 , determine os valores de k para os quais: 
a) a função é crescente.
3 8 1
3 9 3
k
k k
− >
> ⇒ >
b) a função é decrescente.
0 3 8 1
0 8 3 1 8
8 3 9
8
3
3
< − <
+ < < +
< < ⇒ < <
k
k
k k
20. Construa o gráfico de cada uma das funções aseguir.
a) f x
x
( )= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
2
b) g x
x
( )= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
5
c) h x x( )= −3 1
d) i x x( ) 22
21. O gráfico da função f x kx( ) está representado abaixo. Calcule o valor de k. 
O ponto 4
625
81
,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 pertence ao 
gráfico da função. Portanto, f( )4
625
81
.
f k k( )4
625
81
625
81
5
3
4 4= = ⇒ = =
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 27• •
M
A
T
 23. O gráfico da função f x x( ) 2 está representado a seguir. Calcule, em função de m e n, a ordenada do ponto P cuja abscissa é igual à média aritmética de a e b.
 24. Na figura, está representado o gráfico da função f x
x
( )= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
2
. Calcule a área do trapézio ABCD, em que C e D pertencem ao gráfico de 
f e A e B são respectivamente os pontos (1, 0) e (3, 0).
 22. No plano cartesiano ao lado, faça o esboço dos gráficos das funções 
f x x( )= ⋅2 3 e g x x( )= ⋅3 2 . Em seguida, indique as coordenadas do ponto de intersecção dos gráficos dessas duas funções.
Podemos obter o ponto de intersecção resolvendo a equação formada ao igualar as funções, ou 
seja, resolvendo o sistema composto de suas leis de formação.
2 3 3 2
3
2
3
2
1
2 3 2 3 61
⋅ = ⋅ ⇒ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ =
= ⋅ ⇒ = ⋅ =
x x
x
x
x
y y
Alguns alunos podem obter o ponto dessa maneira ou mesmo por comparação das expressões 
2 ∙ 3x e 3 ∙ 2x.
Como os pontos (a, m) e (b, n) pertencem ao gráfico da função f, temos:
f a ma( ) 2
f b nb( ) 2
Assim: f
a b
m n
a b
a b a b+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = = ⋅ = ⋅
+
+
2
2 2 2 22
Portanto, a ordenada do ponto P é m n, ou seja, igual à média geométrica de m e n.
 25. Na bula de um medicamento, há a informação de que a meia-vida é igual a aproximadamente 4 horas. Se uma pessoa ingerir 500 miligramas desse medicamento, qual será a quantidade presente no organismo após 8 horas? E após t horas? 
Como f( )1
3
2
3
2
1
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = e f( )3
3
2
27
8
3
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = , a área do trapézio é igual a 
S =
+⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟⎟
⋅ − =
27
8
3
2
2
3 1
39
8
( ) .
Agora, você pode fazer a questão 96 
da seção Conquista Enem.
Tempo (em horas) Massa (em mg)
0 500
4 250
8 125
12 62,5
16 31,25
Se a meia-vida do medicamento é de 4 horas, isso significa que, a cada 
4 horas, a quantidade de medicamento no organismo se reduz à metade. 
Em 8 horas, passam-se duas meias-vidas. Assim, a quantidade ainda 
presente no organismo será igual a 125 miligramas. Se a cada 4 horas a 
quantidade de medicamento se reduz pela metade, após t horas a quantidade 
de medicamento no organismo é igual a y
t
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟500
1
2
4
· . Observe a tabela ao 
lado.
3
2
1
6
f g
0 x
y
0 a b
P
x
y
n
m
0 A B
D
C
x
y
28 MATEMÁTICA• •
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
EM13MAT304EM
FIQUE POR DENTRO
Como é determinada a 
idade de um fóssil?
O método usado é chamado de datação 
radioativa, se baseia no fenômeno da radioatividade 
e foi descoberto no final do século XIX. A 
radioatividade faz os átomos perderem partículas 
(prótons ou nêutrons) na forma de radiação, 
causando variação no seu número de massa ou 
em seu número atômico. No caso de fósseis de 
seresvivos, costuma-se usar carbono 14 (com seis 
prótons e oito nêutrons) para fazer a datação. O 
carbono 14 emite radiação, perdendo dois nêutrons 
e se transformando em carbono 12. Em 5 730 anos, 
uma certa quantidade de carbono 14 ficará reduzida 
à metade, sendo a outra metade transformada em 
carbono 12. Por isso, esse tempo é chamado de 
meia-vida. A meia-vida do carbono 14 é tão curta 
que ele apenas pode ser usado para medir restos de 
organismos que viveram até 70 000 anos atrás. Para 
organismos mais antigos usa-se o mesmo processo 
– mas torna-se necessário recorrer a outro elemento 
radioativo, de meia-vida mais longa, como referência. 
Além do carbono 14, pode-se usar o potássio 40 
– com meia-vida de 1,25 bilhão de anos – ou o 
urânio 238 – com 4,47 bilhões de anos –, além de 
muitos outros elementos radioativos. Para medir, 
nos fósseis, a quantidade desses elementos e 
dos que eles originam por radiação, os cientistas 
utilizam um aparelho chamado espectrômetro 
de massa, que permite descobrir a massa atômica 
dos elementos químicos presentes. Essa técnica, 
porém, não deverá funcionar corretamente no 
futuro, dentro de alguns milhões de anos – isso 
porque, a partir da década de 1940, a explosão de 
bombas atômicas, a realização de testes nucleares 
e os acidentes em usinas atômicas causaram 
modificações na radioatividade do planeta 
que farão esse método de datação perder sua 
referência-base. 
COMO é determinada a idade de um fóssil? Disponível em: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/como-e-determinada-a-idade-de-um-fossil/. 
Acesso em: 19 mar. 2021.
A quantidade de carbono-14 remanescente em 
um fóssil é dada por:
Q t Q
t
( ) = ⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟0
5 7301
2
Na fórmula anterior, Q0 é a quantidade inicial 
e t é o tempo em anos. O gráfico ao lado mostra a 
quantidade remanescente de carbono-14 ao longo 
do tempo.
massa inicial de carbono-14 se reduz pela metade e, 
0 5 730 11 460 Tempo (anos)
Massa de
carbono-14
Q0
Q0
2
Q0
4
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/J
oa
qu
in
 c
or
ba
la
n 
p
©
Ab
ril
 C
om
un
ic
aç
õe
s 
S.
A.
/M
un
do
 E
st
ra
nh
o
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/B
ud
im
ir 
Je
vt
ic
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 29• •
M
A
T
 • E se quisermos determinar após quantos anos a massa inicial Q0 se 
reduz a 
Q0
64
? 
Para responder a essa pergunta, observe a seguinte equação:
Q t
Q
Q
Q
t
( ) =
⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
0
0
0
64
1
2 64
5 730
 
1
2
1
64
5 730⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
t
Note que a equação obtida apresenta a incógnita no expoente. Por 
isso, é denominada equação exponencial.
Para resolver a equação anterior, podemos escrever 
1
64
 como 
1
2
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . 
Assim: 
1
2
1
2
5730
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
t
Como a função exponencial é injetora, sendo as bases iguais, os 
expoentes devem ser iguais para que a igualdade seja verdadeira.
1
2
1
2 5 730
6 34 380
5 730
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ = ⇒ =
t
t
t
Portanto, a massa se reduz a 
Q0
64
 • E após quantos anos restará apenas a centésima parte da massa inicial?
Analogamente, para respondermos a essa pergunta, podemos 
escrever a seguinte equação:
Q t
Q
Q
Q
t
t
( ) =
⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
0
0
5 730 0
5 730
100
1
2 100
1
2
1
100
Nesse caso, não é possível escrever 
1
100
 como uma potência de 
base 
1
2
 e expoente inteiro.
Como 
1
100
 está compreendido entre 
1
128
1
2
7
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ e 
1
64
1
2
6
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , 
podemos concluir que 
t
5730
que t
Como Q0 é diferente 
de zero, pois 
corresponde à massa 
inicial, dividimos os 
dois membros da 
equação por Q0.
Ainda neste capítulo, 
quando estudarmos os 
logaritmos, poderemos 
calcular o valor de t 
com precisão.
Toda equação que apresenta 
a incógnita no expoente 
é chamada de equação 
exponencial.
30 MATEMÁTICA• •
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Note que não existe um método único para resolvermos uma equação exponencial. Em algumas vezes, 
não será difícil escrever os dois membros da igualdade como potências de mesma base. Em outras, será 
necessário utilizar um ou mais artifícios. 
a) Resolva a equação 3 243x .
Solução
Podemos escrever o segundo membro da 
3 35x
Como as bases são iguais, os expoentes 
também devem ser, a fim de tornar a 
igualdade verdadeira.
3 3 55x x= ⇒ =
O conjunto-solução é S = {5}.
c) Resolva a equação 4 323 1x − = .
Solução 
Nesse caso, escrevemos os dois membros 
da equação como potências de base 2.
( )2 22 3 1 5x − =
Portanto:
( )2 2
2 2 6 2 5 6 7
7
6
2 3 1 5
6 2 5
x
x x x x
−
−
=
= ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
O conjunto-solução é S = ⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
7
6
.b) Resolva a equação 
5 5 5 38751 1x x x− ++ + = .
Solução 
 Nessa equação, não é possível escrever 
diretamente uma igualdade de potências 
de mesma base. Vamos utilizar duas 
propriedades de potências e, em seguida, 
fazer uma mudança de variável.
5 5 5 3875
5
5
5 5 5 3875
1 1x x x
x
x x
− ++ + =
+ + ⋅ =
Mudança de variável: 5x y
y
y y
y y y y
y
5
5 3875
5 25 19375 31 19375
625
+ + ⋅ =
+ + = ⇒ = ⇒
⇒ =
Como 5x y , temos:
5 625 5 5 44x x x= ⇒ = ⇒ = 
O conjunto-solução é S = {4}.
d) Resolva a equação 9 12 3 27 0x x− ⋅ + = .
Solução 
Como 9 32, escrevemos a equação da 
seguinte maneira:
( )
( )
3 12 3 27 0
3 12 3 27 0
2
2
x x
x x
− ⋅ + =
− ⋅ + =
Fazemos uma mudança de variável:
3
12 27 0 3 92
x y
y y y ou y
=
− + = ⇒ = =
Como 3x y, temos
para y x
para y x
x x
x x
= = ⇒ = ⇒ =
= = ⇒ = ⇒ =
3 3 3 3 3 1
9 3 9 3 3 2
1
2
:
:
O conjunto-solução é S = {1, 2}.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 31• •
M
A
T
 26. Resolva as equações exponenciais. 
a) 5 1252 1x − = 
ATIVIDADES
EM13MAT304
e) 2 2 2 2 1401 2 3 4x x x x+ − − −+ − + = 
5 5
2 1 3 2
2 1 3x
x x
− =
− = ⇒ =
S = {2}
b) 2 128
x
2 2
2 2
2
7 14
1
2 7
2 7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
=
= ⇒ =
x
x
x
x
S = {14}
c) ( , )0 1 1004 5− + =x
( )10 10
10 10
4 5 2
7
4
1 4 5 2
4 5 2
− − +
−
=
=
− = ⇒ =
x
x
x x
S = 
7
4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
d) 7
1
49
3 − =x
7
1
7
7 7
3 2 5
3
2
3 2
−
− −
=
=
− = − ⇒ =
x
x
x x
S = {5}
2 2
2
2
2
2
2
2
1401
2 3 4
x
x x x
⋅ + − + =
Mudança de variável: 2x y
2
4 8 16
140
32 4 2 140 16
35 140 16
140 16
35
4
1
y
y y y
y y y y
y
y y
+ − + =
+ − + = ⋅
= ⋅
=
⋅
⇒ == 64
2
2 64
2 2 66
x
x
x
y
x
=
=
= ⇒ =
S = {6}
( )
( )
2 4 2 32 0
2 4 2 32 0
2
2
x x
x x
+ ⋅ − =
+ ⋅ − =
Mudança de variável: 2x y
12
2
y 4
y 4y 32 0
y 8 (não convém)
2
2 4
2 2 22
x
x
x
y
x
=
=
= ⇒ =
S = {2}
f) 4 4 2 32 0x x+ ⋅ − = 
 27. Uma massa m0 de carbono-14 sofre desintegração radioativa e após t anos reduz-se a uma massa dada por m t m
t
( ) = ⋅
−
0 25730. 
a) Após quanto tempo 10 g de carbono-14 serão reduzidos a 1,25 g? 
m t m
t
t
t
t
( )
,
,
= ⋅
= ⋅
=
=
−
−
−
−
0 2
125 10 2
0 125 2
125
1000
2
5730
5730
5730
5730
1
8
2
2 2
5 730
3 17 190
5 730
3 5 730
=
= ⇒
−
= − ⇒ =
−
−
−
t
t
t
t
Após 17 190 anos, a massa de carbono-14 será 1,25 g.
m t m
m
t
( )
( )
= ⋅
= ⋅ = ⋅ =
−
−
−
0
10
10
2
57300 10 2 10 2
10
2
10
100
5730
57 300
5730
00
0 01= ,
A massa de carbono-14 será de aproximadamente 0,01 g.
b) Usando a aproximação 2 100010 , 10 g de carbono-14 se reduzirão a qual massa após 57 300 anos?
32 MATEMÁTICA• •
 28. Resolva os sistemas de equações exponenciais.
a) 5
1
5
3 9
3 2x y
x y
+
−
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 30. (UNP – RN) A vigilância sanitária do Rio Grande do Norte, em certo dia, constatou que, na cidade de Caicó, 56 pessoas estavam infectadas por uma doença contagiosa. Estudos mostram que, pelas condições sanitárias e ambientais dessa cidade, a quantidade (Q) de pessoas infectadas por essa doença pode ser estimada pela função Q t
t
( )
/
=
+ × −
56000
1 999 3 360
, onde t é o tempo, em horas, contado a partir da hora da constatação da doença na cidade. Nesse contexto, é correto afirmar que, depois de constatada a doença, o número de horas transcorridas para que haja, nessa cidade, 500 pessoas infectadaspela doença é de: 
a) 180
b) 220
c) 360
X d) 720
5
1
5
3 9
5 5
3 3
3 2 1
2
3 2 3 2 1
2
x y
x y
x y
x y
x y
x y
+
−
+ −
−
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
+ = −
− =
⎧
⎨⎨
⎩
+ = −
− =
⎧
⎨
⎩
⇒ = = −
3 2 1
2
3
5
7
5
x y
x y
x e y
O conjunto-solução é S = −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
3
5
7
5
, .
b) 7 1
2 2
2
2
4
9 2
x y
y x
−
−
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
7 1
2 2
7 7
2 2
4 0
9
2
2
2
2
4
9 2
4 0
9 2 1
2x y
y x
x y
y x
x y
y
−
−
−
−
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
− =
− 22 1
4 0
9 2 1
2 8 0
2 9 1
2
2
2
2
2
x
x y
y x
x y I
x y II
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
− =
− + =
⎧
⎨
( )
( )
⎪⎪
⎩⎪
+ =
= ⇒ − ⋅ = ⇒ = ⇒ = = −
( ) ( )I II y
y x x x ou x
: 1
1 4 1 0 4 2 22 2
O conjunto-solução é S = {(2, 1), (–2, 1)}.
 29. (CEDERJ) Se 320 5 20 03= ⋅ , t, então o valor de t é igual a:
X a) 2 102
b) 2 10 2⋅ −
c) 2 103
d) 2 10 3⋅ −
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
320 5 2
64 2
2 2
6 0 03 200 2 10
0 03
0 03
6 0 03
2
= ⋅
=
=
= ⇒ = = ⋅
,
,
,
,
t
t
t
t t
Q t
t
t
( )
/
/
=
+ ⋅
=
+ ⋅ =
+ ⋅
−
−
500
56000
1 999 3
500
1 999 3
56000
500
1 999
360
360
33 112
999 3 111
3
1
9
3 3
360
360
360
360 360 2
−
−
− −
=
⋅ =
= ⇒ = ⇒
⇒ − = −
−
t
t
t t
t
/
/
/ /
22 720⇒ =t
Portanto, depois de 720 horas, 500 pessoas estarão infectadas 
pela doença.
 31. (UEL – PR) Um barco parte de um porto A com 2k passageiros e passa pelos portos B e C, deixando em cada um metade dos passageiros presentes no momento de chegada, e recebendo, em cada um, 22
k novos passageiros. 
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 33• •
M
A
T
De acordo com o enunciado, o barco parte dos portos B e C com 
a metade de passageiros que partiram do porto anterior mais 22
k
passageiros. 
A: partiu com 2k passageiros.
B: partiu com 
1
2
2 22⋅ +k
k
 passageiros.
C: partiu com 
1
2
1
2
2 2 22 2⋅ ⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+k
k k
 passageiros.
Assim:
1
2
1
2
2 2 2 28
2
4
2
2
2 28 2 6 2 1122 2
2
2 2⋅ ⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+ = ⇒ + + = ⇒ + ⋅ =k
k k k
k
k
k
k
Mudança de variável: 2 22 2
k
ky y= ⇒ =
12 2
2
y 8
y 6 y 112 y 6y 112 0
y 14 (não convém)
Portanto, N yk2 8 642 2 , ou seja, um divisor de 128.
 32. (PUCRS) Os gráficos das funções definidas por 
f x x( )= −2 1 e g x x( ) 4 se encontram no ponto de coordenadas: 
X a) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
4
,
b) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
2
,
c) (–1, 2)
d) (0, 1)
e) (2, 4)
Para determinar o ponto de intersecção dos gráficos das duas 
funções, resolvemos o sistema formado por suas equações:
f x y
g x y
x x
x
x
x x
x x
x x
( )
( )
( )
= =
= =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
=
=
= ⇒ − = ⇒
−
−
−
−
2
4
2 4
2 2
2 2 1 2
1
1
1
1 2
2
xx = −1
Substituímos o valor de x encontrado em qualquer uma das 
equações e determinamos o valor de y:
y = =−4
1
4
1
Portanto, os gráficos das funções se intersectam no ponto 
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
4
, .
 33. Existem algumas equações que não podem ser resolvidas por simples procedimentos algébricos. Nesses casos, para determinar todas as soluções, precisaríamos recorrer a um software ou à matemática estudada no Ensino Superior. Entretanto, muitas vezes, é possível descobrir quantas são as soluções utilizando um procedimento gráfico. Acompanhe um exemplo.Quantas são as soluções da equação 2 2x x ?
Agora, você pode fazer as questões 
97 a 100 da seção Conquista Enem.
Se o barco parte do porto C com 28 passageiros e se N representa o número de passageiros que partiram de A, é correto afirmar que: 
a) N é múltiplo de 7
b) N é múltiplo de 13
c) N é divisor de 50
X d) N é divisor de 128
e) N é primo 
Inicialmente, vamos construir os gráficos das funções f x x( ) 2 (verde) e g x x( ) 2 (vermelho). Como os gráficos se intersectam em três pontos, a equação 2 2x x tem três soluções. Duas delas são inteiras (x = 2 e x = 4) e a outra é um número negativo entre –1 e 0, que pode ser obtida computacionalmente.Agora é sua vez! Determine quantas (e quais, se possível) são as soluções das equações a seguir. 
a) 2 2 2x x= +
b) − + = −2 3 3 1x x
33 E i t l õ ã d l id i l di t l éb i
33s e 
4
16
0- 1 2 4 x
y
TEMA 
QUENTE
©
Shutterstock/Vizabiz
34 MATEMÁTICA• •
Modelos de crescimento populacional
Provavelmente, você já deve ter ouvido falar no modelo de 
crescimento populacional de Malthus. 
Em 1798, o economista britânico Thomas Robert Malthus 
(1766-1834) publicou a obra An essay on the principle of 
population (Um ensaio sobre o princípio da população), 
na qual afirma que o crescimento da população se dá 
exponencialmente em função do tempo, enquanto a produção 
de alimentos ocorre linearmente.
De acordo com essa previsão, em algum momento faltariam 
alimentos para a humanidade, a menos que grandes guerras ou 
epidemias agissem como fatores controladores do crescimento 
populacional. No modelo de Malthus, a taxa de crescimento da 
população é constante.
Em outras palavras, quanto mais pessoas existirem, mais 
rapidamente a população vai aumentar.
A população cresce de acordo com a fórmula
P t P k t( ) = ⋅ ⋅
0 e ,
em que P0 corresponde à população inicial, k é uma constante que 
depende das características da população, t é o tempo decorrido 
e e 2 718, é o número de Euler. O gráfico ao lado representa a 
população no tempo de acordo com o modelo malthusiano.
O modelo de Malthus foi analisado não somente em relação 
à população humana, mas também ao crescimento de várias 
espécies. Segundo esse modelo de crescimento, por exemplo, em 
bactérias suficientes para cobrir a Terra com uma camada de cerca 
 
-se, assim, que essa fórmula de crescimento não se aplica a todas 
as populações e surgiu a necessidade de propor outros modelos de 
crescimento.
PARA SABER MAIS
O matemático belga Pierre François Verhulst (1804-1849) propôs, em 1838, uma equação para descrever 
o crescimento de uma população considerando seu tamanho e a capacidade que o ambiente tem de 
acomodar todos os seus integrantes. A própria quantidade de indivíduos serve de regulador do crescimento 
da população conforme a disponibilidade de alguns recursos, tais como espaço físico, alimento e oferta de 
emprego. À medida que esses recursos se tornassem escassos, a população aumentaria em uma velocidade 
cada vez menor até o momento em que parasse de crescer. No modelo de Verhulst, a taxa de crescimento da 
população é decrescente.
A população cresce de acordo com a fórmula
P t
A
B k t( ) =
+ ⋅ − ⋅1 e
,
em que A, B e k são constantes positivas, t é o tempo decorrido e e 2,718 é o número de Euler. A função P 
é denominada função logística de crescimento. 
P0
0 Tempo
População
P(t) = P0 ⋅ ek.t
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 35• •
M
A
T
Observe o gráfico desse tipo de 
função.
No gráfico, podemos observar que, 
para pequenos valores de t, a curva, 
chamada de curva logística ou sigmoide 
(em razão do formato de um “S”), se 
assemelha àquela de crescimento 
exponencial. No entanto, a taxa de 
crescimento diminui rapidamente à 
medida que t aumenta e a população se 
aproxima de um valor-limite A.
As curvas logísticas são usadas 
para descrever diversos fenômenos da 
natureza. Por exemplo, se alguns casais 
de coelhos fossem levados para uma 
pequena ilha, no início essa população cresceria rapidamente, mas a grande quantidade de indivíduos, aliada 
à limitação de comida e outros fatores ambientais, faria com que a população se estabilizasse em um nível 
compatível com o qual o ambiente é capaz de proporcionar.
No Brasil, a população continua crescendo, mas a taxa anual de crescimento está diminuindo. Assim, o 
modelo de Verhulst representa melhor o nosso crescimento populacional. 
As curvas logísticas têm outras aplicações, como a propagação de boatos e a disseminação de epidemias. 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS EM13MAT304
Observe acima a tabela com a evolução do número de 
pessoas contaminadas nos dois casos. 
Agora, suponha que o número de doentes que precisa de 
hospitalização seja de 15% dos infectadose que uma cidade 
tenha 153 leitos hospitalares disponíveis para o tratamento da 
Covid-19. É necessário calcular quantos dias se passarão até 
que a capacidade dos hospitais seja superada. Chamando de P a 
população infectada, temos:
0 15 153 0 15 1530, , ( )⋅ ≤ ⋅ ⋅ ≤P ou P dt
No início da epidemia da Covid-19, 
a disseminação da doença parecia estar 
ocorrendo de forma exponencial. Isso 
alarmou os especialistas e governantes 
ao redor do mundo, que precisavam estar 
preparados para atender à população 
infectada.
Por ser uma doença nova e 
desconhecida, foi necessário imaginar 
os piores cenários, por exemplo, 
um crescimento exponencial e 
descontrolado, e preparar-se para ele. 
Usando o modelo exponencial e 
os dados conhecidos no momento, o 
crescimento da população infectada se 
daria pela fórmula P t P dt( ) = ⋅0 , em que d 
é o fator de disseminação do vírus e t é o 
tempo em dias.
Vamos simular duas situações em 
que não há cuidado nenhum para evitar 
o contágio: uma em que d = 2, isto é, 
uma pessoa consegue infectar outras 
duas, e outra em que d = 3.
Número de dias d = 2 d = 3
1 2 3
2 4 9
3 8 27
4 16 81
5 32 243
6 64 729
7 128 2 187
ú
o de
0 Tempo
P(t) = A
População
Q
1 + B
P(t) = A
 1 + B ⋅ e-k.t
36 MATEMÁTICA• •
Considerando P0 1, temos duas possibilidades, de acordo com o valor de d:
0 15 2 153, ⋅ ≤t ou 0 15 3 153, ⋅ ≤t 
 
e d = 3 é, respectivamente: 
0 15 2 153
2
153
0 15
2 1020 2
10
10
,
,
⋅ ≤
≤
≤ <
<
t
t
t
t 
0 15 3 153
3
153
0 15
3 1020 3
7
7
,
,
⋅ ≤
≤
≤ <
<
t
t
t
t
Assim, se cada infectado transmitir a doença a duas pessoas, o sistema atingirá seu limite 
Para determinar o valor t em cada situação, resolvemos duas inequações exponenciais, 
ou seja, inequações que apresentam a incógnita no expoente.
Veja alguns exemplos de inequações exponenciais:
 • 5 625x • 1
2
64
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤
+x
 • ( , ) ,0 4 0 162x • 4 4 5 2x x+ < ⋅
A resolução de uma inequação exponencial baseia-se no fato de a função exponencial 
associada ser crescente ou decrescente.
Função crescente
a > 1
x x y y
2 1 2 1> ⇔ > 
Função decrescente
0 < a < 1
x x y y
2 1 2 1> ⇔ <
Portanto, dada uma função exponencial f x ax( ) , temos:
y f x a e y f x ax x
1 1 2 2
1 2( ) ( )
Para a
a a x xx x
O sentido da
desigualdade
foi mantido
>
> ⇔ >
↑ ↑
1
2 1
2 1
:
� 	
 
Para a
a a x xx x
0 1
2 1
2 1
< <
> ⇔ <
↑ ↑
:
O sentido da
desigualdade
foi invertidoo
� 	
EXEMPLOS RESOLVIDOS
b) Resolva a inequação 
1
7
1
343
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ <
−x
.
Solução
1
7
1
343
1
7
1
7
2
2 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ <
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ < ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−
x
x
Como a base é maior do que 0 e menor do 
que 1, temos:
x x− > ⇒ >2 3 5
O conjunto-solução é: 
S x x= ∈ >{ | }5
©
Shutterstock/Cka
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
a) Resolva a inequação 5 3125x . 
Solução
5 3125
5 55
x
x
Como a base é maior do que 1, temos:
x 5
O conjunto-solução é: 
S x x= ∈ ≤{ | }5
Soluçãçç o
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 37• •
M
A
T
c) Resolva a inequação 9 2434 1x x+ −≤ . 
e) (ITA – SP) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). 
O número de pessoas que soube do acontecimento t
f
B
C kt(t) =
+ ⋅ −1 e
,
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente 
a) 4 horas.
b) 5 horas.
c) 6 horas. 
d) 5 horas e 24 min.
e) 5 horas e 30 min. 
d) Resolva a inequação 0 25 0 53 4 2 4, ,( ) > ( )+ −x x .
Solução
De acordo com os dados do enunciado, 
temos f
B
( )0
65
 e f
B
( )3
9
.
f
B
C
B
B
C
B
C C
k( )0
1 65
1 65
1 65 64
0
0
=
+ ⋅
=
+ ⋅
=
+ = ⇒ =
− ⋅e
e
f
B
C
B
B B
k
k
k
k
k
( )3
1 9
1 64 9
1 64 9
64 8
3
3
3
3
3
=
+ ⋅
=
+ ⋅
=
+ ⋅ =
⋅ =
( ) =
− ⋅
−
−
−
−
e
e
e
e
e 11
8
1
2
⇒ =−e k
Dessa forma, podemos escrever a função f da 
seguinte maneira:
Queremos saber o tempo t necessário para 
que f t
B
( )
5
. Portanto: 
B B
B B
t
t
t t t
t
1 64 2 5
1 64 2 5
1 64 2 5 64 2 4 2
1
16
2 2
+ ⋅
=
+ ⋅
=
+ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒
⇒ =
−
−
− − −
− −− ⇒ =4 4t
correta é a letra a. 
=
+ ⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
+ ⋅ −
B B
t t
1 64
1
2
1 64 2
f
B
C
B
C
kt k t(t) =
+ ⋅
=
+ ⋅ ( )
=− −1 1e e
Solução 
9 243
3 3
3 3
4 1
2 4 5 1
2 8 5 5
x x
x x
x x
+ −
+ −
+ −
≤
( ) ≤ ( )
≤
Como a base é maior do que 1, temos:
2 8 5 5 3 13
13
3
x x x x+ ≤ − ⇒ − ≤ − ⇒ ≥
O conjunto-solução é: 
S x x= ∈ ≥{ | }
13
3
Solução 
0 25 0 5
0 5 0 5
0 5 0 5
3 4 2 4
2 3 4 2 4
6 8 2
, ,
, ,
, ,
( ) > ( )
( ) > ( )
( ) > ( )
+ −
+ −
+ −
x x
x x
x x 44
Como a base é maior do que 0 e menor do que 
1, temos:
6 8 2 4 4 12 3x x x x+ < − ⇒ < − ⇒ < −
 
O conjunto-solução é: 
S x x= ∈ < −{ }| 3
c) Reso
e) (ITA
O nú
Soluçãççç o
9 2
3
4
4
2 8
x
x
+ 44 2
+ 44
88
≤
( )32
Como a 
2 88 ≤88
O conjun
S x{x ∈x
4
2
1
8
f g
– 1– 2 1 2 3 4 x
y
0
38 MATEMÁTICA• •
 34. Resolva as seguintes inequações exponenciais. 
a) 5 53 4 8x x+ +>
ATIVIDADES
EM13MAT304
b) 1
16
0 25
4
1
3⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤
−
−
x
x,
3 4 8
2 4 2
x x
x x
+ > +
> ⇒ >
c) 4 256
2x
1
16
1
2
0 25
1
2
1
2
1
2
4
4
4 2 6
2
4 2
4 2
4
1 3
= =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− ≥ −
− ≥ −
− −
e
x
x
x
x
x x
,
≤≤ 2
4 4
4
4 0
2 2
2 4
2
2
x
x
x
x
<
<
− <
− < <
 35. Qual é o domínio de cada uma das funções a seguir? 
a) y
x
=
−
1
3 243
b) y
x
x
=
−
−
2 1
4
c) y
x
x
=
+
−
2
3
1
5 125
TEMA 
QUENTE
 36. (UEG – GO) Suponha que o número de casos de uma doença é reduzido no decorrer do tempo conforme a função f t k q t( )= ⋅ ⋅2 , sendo 
k e q constantes e o tempo t dado em anos. Determine: 
a) as constantes k e q, sabendo que no instante t = 0 existiam 2 048 casos, e que após 4 anos o número de casos era a quarta parte do valor inicial. 
b) o número de anos necessários para que o número de casos seja menor que 1, significando a eliminação total da doença. 
 37. Sejam f e g duas funções de em definidas por f x x( ) 2 e g x x( ) 2 . Construa, no plano cartesiano abaixo, os gráficos das funções f e g.
a) Para quais valores de x as funções têm o mesmo valor?
Para x = 1 ou x = 2.
b) Para quais valores de x temos f(x) < g(x)?
Para 1 < x < 2.
c) Qual valor é maior: 2 3 ou 2 3?
Como 3 173, , ou seja, é um número compreendido entre 
1 e 2, então 2 2 33 .
Agora, você pode fazer as 
questões 101 a 103 da seção 
Conquista Enem.
qq estões 101 a 10
Conqquista EnemCo q i t E .
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 39• •
M
A
T
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
No exemplo da página 29, nos deparamos com 
uma situação cuja resolução deixamos em aberto. 
Vamos retomá-la.
A quantidade de carbono-14 remanescente após 
t anos é dada por:
Q t Q
t
( ) = ⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟0
1
2
5730
, em que Q0 é a quantidade 
inicial.
Após quantos anos restará apenas a centésima 
parte da massa inicial?
Podemos escrever a seguinte equação:
Q t
Q
Q
Q
t
t
t
( ) =
⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
0
0
0
100
1
2 100
1
2
1
100
2 1
5730
5730
5730 000
Para determinar o valor de t, precisamos saber 
inicialmente o expoente ao qual se deve elevar o 
número 2 para obter 100. Como 26 = 64 e 27 = 128, 
podemos concluir que, para obter o número 100, 
devemos elevar 2 a um número entre 6 e 7.
Chamamos esse número de “logaritmo de 100 
na base 2”.
2 100
5730
1005730
2
t
t
= ⇔ = log
Nas próximas páginas, você aprenderá a 
calcular o valor de t na equação anterior, que é 
EM13MAT305
Assim como já aconteceu com a função 
exponencial, existem restrições na definição de 
logaritmos. 
Dados os números reais positivos a e b, com a 1 , 
denomina-se logaritmo de b na base a o número x 
tal que a bx , ou seja:
loga
xb x a b= ⇔ =
O número a é a base do logaritmo, b é o logaritmando 
e x é o logaritmo.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
 • log2 16 4 , pois 24 = 16
 • log5
1
25
2⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − , pois 5
1
5
1
25
2
2
− = =
 • log3 243 5, pois 35 = 243
 • log7 1 0, pois 70 = 1Veja, logaritmos são 
expoentes! Assim, o 
logaritmo de 8 na base 2 é 
o expoente ao qual se deve 
elevar o número 2 para 
obter 8, ou seja, 3.
1) O logaritmando deve ser um número positivo.
Vamos considerar, por exemplo, os seguintes 
logaritmos, nos quais o logaritmando não é positivo:
 • log ( )2 8 (o logaritmando é –8)
 • log3 0 (o logaritmando é 0)
Utilizando a definição para calcular seus valores, 
temos:
log ( )2 8 2 8− = ⇒ = −x x
log3 0 3 0= ⇒ =x x
Observe que não existem valores reais de x para 
os quais 2 8x = − ou 3 0x , pois uma potência de 
base positiva é igualmente positiva. Assim, apenas 
números positivos têm logaritmo real.
11
40 MATEMÁTICA• •
2) A base deve ser um número positivo e diferente 
de 1.
) A base deve ser um número pop sitivo e diferente
de 1.
2)22 e ee
Considere agora os seguintes logaritmos:
 • log 2 8 (a base é –2)
 • log0 7 (a base é 0)
 • log1 5 (a base é 1)
Mais uma vez, utilizamos a definição de 
logaritmos:
log ( )− = ⇒ − =2 8 2 8x x
log0 7 0 7= ⇒ =x x
log1 5 1 5= ⇒ =x x
Não existe valor de x tal de ( )− =2 8x , 
pois ( )− = −2 83 . As igualdades 0 7x e 1 5x 
também não são verificadas, pois uma potência 
de base zero ou é igual a zero (se x for positivo), 
ou é indeterminada (se x = 0) ou não existe (se x 
for negativo), enquanto uma potência de base 1 é 
sempre igual a 1.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
d) Calcule log
53 25 .
Solução
log
5
3
1
3 2
3 2
3 25 5 25 5 5
5 5
3
2 6
= ⇒ ( ) = ⇒
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
= ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ =
x
x
x
x
x
x
Assim, log
53 25 6 .e) Calcule log
3
1 . 
Solução
log
3
0
1 3 1
3 3 0
= ⇒ ( ) = ⇒
⇒ ( ) = ( ) ⇒ =
x
x
x
x
Assim, log
3
1 0 .f) Calcule log8 16 . 
Solução
log8
3 4
3 4
16 8 16 2 2
2 2 3 4
4
3
= ⇒ = ⇒ ( ) = ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ =
x
x x
x x
x
Assim, log8 16
4
3
.
OBSERVAÇÕES
 • Os logaritmos cuja base é 10 são denominados 
logaritmos decimais. Por ser a base mais utilizada, 
pode-se omitir sua escrita. Assim, o logaritmo de b na 
base 10 é representado por log b10 ou log b.
 • Os logaritmos cuja base é o número de Euler, 
e � …2 718, , são denominados logaritmos naturais. 
O logaritmo natural de b é representado por:
log be ou nb
 • Existem algumas consequências imediatas da 
definição. Sendo a, b e c números positivos e 
a 1 , temos:
log
log
a
a
a 1
1 0
log
log log
a
n
a a
a n
b c b c
=
= ⇔ =
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
Soluçãççç o
Soluçãçç o
Soluçãç o
a) Calcule log2 128 . 
Solução
l x xx xog2
7128 2 128 2 2 7= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Assim, log2 128 7.
b) Calcule log1
9
27 .
Solução
l x
x x
x
x
x
og ( )1
9
2 3
2 3
27
1
9
27 3 3
3 3 2 3
3
2
= ⇒ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ − = ⇒ = −
−
−
Assim, log1
9
27
3
2
= − . c) Calcule log7 7 .
Solução
log7 7 7 7 1= ⇒ = ⇒ =x xx
Assim, log7 7 1.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 41• •
M
A
T
Uma propriedade curiosa
Os logaritmos apresentam uma propriedade que 
inicialmente pode parecer intrigante.
a ba blog
Entretanto, podemos chegar a esse resultado 
apenas aplicando a definição de logaritmo:
Se loga b x , então a bx .
Portanto:
a a ba b xlog
EXEMPLOS RESOLVIDOSa)
b)
2 72 7log
3 3 5 252 5 5 2 23 3log log= ( ) = =
 38. Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa. 
a) ( F ) log5 625 5
b) ( V ) n e 1
c) ( V ) log1 0
d) ( V ) log (log )2 3 9 1
e) ( F ) log −( ) = −1000 3
 39. Calcule os logaritmos a seguir.
a) log5 5
b) log1
2
128
c) log ,,0 36 0 6
d) log9 3 3
e) log ,0 0001
f) log16 32
 40. Calcule o valor das seguintes expressões:
a) log , log log ,
log log
,2 3 0 1
4 3
0 5 2 3 3 0 001
4 8 5 275
+ ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅
 
b) 7 2 277 2 33 1 5 2log log log− ++
ATIVIDADES
EM13MAT305
 41. Para quais valores de x existe cada um dos logaritmos a seguir? 
a) log ( )3 5x
x x− > ⇒ >5 0 5
c) log ( )x x+ −1 4
7 2 0 2 7 3 5− > ⇒ − > − ⇒ <x x x ,
 42. Para quais valores de x cada uma das igualdades a seguir é verdadeira?
a) log ( )5
2 6 9 0x x− + =
4 0
1 0
1 1
4
1
0
− >
+ >
+ ≠
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⇒
<
> −
≠
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x
x
x
x
x
x
Portanto, − < <1 4x e x 0 .
b) log ( )2
2 8 1x x − =
log ( )5
2
0 2
2
6 9 0
5 6 9
6 8 0 2 4
x x
x x
x x x ou x
− + =
= − +
− + = ⇒ = =
log ( )2
2
2
2
8 1
8 2
2 8 0 4 2
x x
x x
x x x ou x
− =
− =
− − = ⇒ = = −
Para x = –2, a base e o logaritmando são negativos. Portanto, x = 4. 
b) log ( ),1 2 7 2x
42 MATEMÁTICA• •
 43. (UNIRIO – RJ) O Índice de 
Desenvolvimento Humano 
(IDH) é uma medida 
comparativa de riqueza, 
alfabetização, educação, esperança de vida, 
natalidade e outros fatores para diversos 
países do mundo. É uma maneira padronizada 
de avaliação e medida do bem-estar de uma 
população, especialmente bem-estar infantil. 
Todo ano, os países da ONU são classificados 
de acordo com essas medidas. Para se calcular 
o Índice de Desenvolvimento Humano-Renda 
(IDH-R), determina-se o PIB per capita do 
país em dólares (P), e, em seguida, aplica-se a 
fórmula: 
IDH-R =
−(log )
,
10 2
2 6
P
Se um determinado país possui IDH-R
10
13
, 
pode-se afirmar que seu PIB per capita (P) é: 
a) US$ 8.500,00
b) US$ 9.000,00
c) US$ 9.500,00
X d) US$ 10.000,00
e) US$ 10.500,00
 45. (UNESP – SP) Numa 
plantação de certa espécie 
de árvore, as medidas 
aproximadas da altura e 
do diâmetro do tronco, desde o instante em 
que as árvores são plantadas até completarem 
10 anos, são dadas respectivamente pelas 
funções: 
altura: H t t( ) , log ( )= + ⋅ +1 0 8 12 , diâmetro do 
tronco: D t
t
( ) ( , )= ⋅0 1 27 com H(t) e D(t) em 
metros e t
a) Determine as medidas aproximadas 
da altura, em metros, e do diâmetro do 
tronco, em centímetros, das árvores no 
momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine 
o diâmetro aproximado do tronco dessa 
árvore, em centímetros.
 46. (UNIFOR – CE) 
Pressionando a tecla Log de 
uma calculadora, aparece 
no visor o logaritmo 
decimal do número que estava antes no visor. 
Digita-se inicialmente o número 999 999 999 
(nove noves). Quantas vezes a tecla Log 
precisa ser pressionada para que apareça, pela 
primeira vez, uma mensagem de erro?
X a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
 47. Prove que os números 3 57log e 7 53log são 
iguais.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
10
13
2
2 6
2 2
4 10 10 000
10
10
10
4
=
( ) −
( ) − =
= ⇒ = ⇒ =
log
,
log
log
P
P
P P P
 44. (UFPR) Para se calcular a intensidade luminosa 
L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:
log ,
L
x
15
0 08
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
1
L
log 0,08 12,5
15
L
log 1
15
L
10 L 1,5 lúmen
15
Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm? 
a) 150 lumens.
b) 15 lumens.
c) 10 lumens.
X d) 1,5 lumens.
e) 1 lúmen.
©
Shutterstock/Lorna Roberts
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 43• •
M
A
T
1.ª propriedade: logaritmo de um produto
A primeira expressão que vamos obter está relacionada com 
o logaritmo do produto de dois números em certa base, ou seja, 
log (b c)a .
Sendo loga b x e loga c y, temos:
log
log
a
a
b x a b
c y a c
x
y
= ⇒ =
= ⇒ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 (definição de logaritmo)
log ( ) log ( ) log log loga a
x y
a
x y
a ab c a a a x y b c⋅ = ⋅ = = + = ++
2.ª propriedade: logaritmo de um quociente
Analogamente, existe uma expressão relacionada com o logaritmo 
do quociente de dois números em certa base, ou seja, loga
b
c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟.
Sendo loga b x e loga c y, temos:
log
log
a
x
a
y
b x a b
c y a c
= ⇒ =
= ⇒ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 ( definição de logaritmo)
log log log log loga a
x
y a
x y
a a
b
c
a
a
a x y b c⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = = − = −−
3.ª propriedade: logaritmo de uma potência
Vamos obter agora uma expressão para loga b , ou seja, 
logaritmo de uma potência.
Sendo loga b x, temos:
loga b x a bx= ⇒ = (definição de logaritmo)
log log log loga a a
x
ab a a x bxα α
α αα= ( ) = = ⋅ = ⋅⋅
Propriedades operatórias dos logaritmos
Os logaritmos têm algumas propriedadesque são extremamente 
úteis, pois ao utilizá-las diminuímos significativamente os cálculos. Essas 
propriedades decorrem das seguintes propriedades da potenciação:
 • a a ax y x y⋅ = +
 •
a
a
a
x
y
x y= − 
 • ( )a ax y x y= +
Em cada uma das propriedades a seguir, considere que a 0, a 1, 
b 0 e c 0.
O logaritmo do produto de dois 
números positivos em certa base 
é igual à soma dos logaritmos 
de cada um desses números na 
mesma base. 
log ( ) log loga a ab c b c⋅ = +
O logaritmo do quociente de dois 
números positivos em certa base 
é igual à diferença dos logaritmos 
de cada um desses números na 
mesma base. 
log log loga a a
b
c
b c⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
O logaritmo de uma potência de 
base positiva é igual ao produto 
do expoente pelo logaritmo da 
base dessa potência. As bases 
do logaritmo da potência e do 
logaritmo da base dessa potência 
são iguais. 
log logab ba
α α= ⋅
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/L
or
na
 R
ob
er
ts
44 MATEMÁTICA• •
4.ª propriedade
Podemos ainda obter uma expressão para loga b , em que 
a base está elevada a um número não nulo.
Sendo logab x , temos:
logab x a bx= ⇒ = (definição de logaritmo)
log log loga a ab a x ax
β β β= = ⋅
 
Vamos calcular o valor de loga a .
log ( )a
y ya y a a a a y yβ
β β β
β
= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ =⋅ 1
1
Assim, log loga ab x bβ β β
= ⋅ = ⋅
1 1
Sendo β ≠ 0 , temos: 
log loga b baβ
β
= ⋅
1
Mudança de base
Em geral, as calculadoras científicas têm duas 
teclas que nos permitem calcular logaritmos. A 
tecla log nos fornece o logaritmo decimal de um 
número, ou seja, o logaritmo na base 10, enquanto 
a tecla n nos traz o logaritmo natural (na base 
e 2 718, ). 
As calculadoras não dispõem de teclas que 
forneçam o logaritmo de um número em outras 
bases. Então, como calcular, por exemplo, log2 3 ?
Sendo a, b e c números positivos, a 1 e c 1 , 
o logaritmo de b na base a é igual à razão entre o 
logaritmo de b na base c e o logaritmo de a na base c.
log
log
loga
c
c
b
b
a
Demonstração dessa fórmula no Manual digital.
4 MATEMÁTICA•
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/ B
ar
bo
S
Podemos fazer isso realizando uma mudança de 
base.
Vamos chamar de x o resultado de log2 3 . Assim: 
log2 3 x . Usando a definição de logaritmo, 2 3x .
Calculamos o logaritmo decimal (poderia ser 
em qualquer base) dos dois membros da igualdade 
anterior: log log10 102 3x
Usando a propriedade do logaritmo de uma 
potência: x ⋅ =log log10 102 3.
Isolamos a incógnita x: x
log
log
10
10
3
2
Portanto: log
log
log2
10
10
3
3
2
Como log ,2 0 301 e log ,3 0 477, o valor 
aproximado de log2 3 é:
log
,
,
,2 3
0 477
0 301
1 585
Nesse exemplo, mudamos da base 2 para a base 
10. O mesmo procedimento pode ser utilizado para 
escrever um logaritmo em uma base qualquer como 
um quociente entre dois outros em uma nova base.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 45• •
M
A
T
 48. Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa. 
a) ( F ) log log log10 10 105 2 3= +
b) ( V ) log log log3 3 35 10 2= −
c) ( V ) log log11
1
3
113 = ⋅
d) ( F ) log ( ) log logb c b c+ = + , em que b 0 e c 0.
e) ( F ) log ( ) log logb c b c+ = ⋅ , em que b 0 e 
c 0.
f) ( V ) log log2 1 5= −
g) ( V ) log log
1
3
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
h) ( F ) (log ) log5 57 2 72 = ⋅
i) ( V ) log log5 54 2 2= ⋅
j) ( V ) log( ) log( ) log( )x y x y x y2 2− = + + − , em que x y+ > 0 e x y− > 0.
 49. Utilizando as aproximações log ,2 0 301 e 
log ,3 0 477, calcule os seguintes logaritmos: 
a) log 12 
b) log 5 
c) log 20 
d) log 36
e) log 0,6
f) log 25
g) log 2 
h) log 4
27
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 50. Calcule o valor da expressão 
log log log log
1
2
2
3
3
4
99
100
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟. 
 51. Resolva cada um dos sistemas de equações. 
a) x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
68
82 2log log
ATIVIDADES
EM13MAT305
b) x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
2 25
3log log log
log log log ( )2 2 28 8
2 256
68
256
8
x y x y
x y x y
x y
x y
+ = ⇒ ⋅ = ⇒
⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ =
+ =
⋅ =
⎧
⎨
⎩
Resolvendo o sistema anterior, temos: 
x = 64 e y = 4 ou x = 4 e y = 64.
Portanto, S = {(64, 4); (4, 64)}.
 52. Resolva cada uma das equações exponenciais a seguir. Para isso, utilize as aproximações 
log ,2 0 301 e log ,3 0 477 . A equação do item d é aquela que apresentamos no início deste capítulo e que foi retomada na sequência.
a) 2 12x
b) 5 60x
c) 1 5 61, x− =
d) 2 1005730
t
log log log log logx y
x
y
x
y
x y
x y
x y
x
− = ⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒
⇒ = ⇒ =
+ =
=
⎧
⎨
⎩
⇒
3 3
3 3
2 25
3
== =15 5e y
Portanto, S = {(15, 5)}.
2 12
2 12
2 2 3
2 3
2
2 0 301 0
2
2
x
x
x
x
=
=
⋅ = ⋅
=
+
=
⋅ +
log log
log log( )
log log
log
, ,,
,
,
,
,
477
0 301
1079
0 301
3 585=
5 60
5 60
10
2
2 3 10
2 3 1
x
x
x
x
=
=
⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ ⋅
=
+ +
log log
log log( )
log log log 00
10 2
0 301 0 477 1
1 0 301
1778
0 699
2 544
log log
, ,
,
,
,
,
−
=
+ +
−
=
15 6
15 6
1
3
2
2 3
1
2
1
1
,
log , log
( ) log log( )
log l
x
x
x
x
−
−
=
=
− ⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅
− =
+ oog
log log
, ,
, ,
,
,
,
3
3 2
1
0 301 0 477
0 477 0 301
1
0 778
0 176
5 420
−
= +
+
−
= +x
2 100
2 100
5730
2 2
2 5730
2
11 460
0
5730
5730
t
t
t
t
=
=
⋅ =
=
⋅
=
log log
log
log ,3301
38073 09,
Anteriormente, comentamos 
que o valor de t é de 
aproximadamente 37 870 
anos. A diferença se deu 
pelo fato de também 
considerarmos uma 
aproximação no valor do 
logaritmo de 2.
46 MATEMÁTICA• •
 53. Calcule cada um dos logaritmos a seguir. Ao proceder à mudança de base, você poderá fazer a divisão dos logaritmos e aproximar o resultado final ou aproximar os logaritmos, fazer a divisão e aproximar também o resultado. Em qualquer caso, use quatro casas decimais. 
log
log
log log
log
,
,
5
5
10
10
5
1
5
10
1
0 6989
1 4308
a) log5 10
b) log2 45
c) log3 65
d) log30 15
log
log
log
log
,
,
,
2
2
45
45
2
45
16532
0 3010
5 4923
log
log
log
log
,
,
,
3
3
65
65
3
65
18129
0 4771
3 7998
log
log
log
log
,
,
,
30
30
15
15
30
15
11760
1 4771
0 7961
 54. Utilizando a propriedade de mudança de base, prove cada uma das relações a seguir. • log
log
a
b
b
a
1 , em que a e b são números positivos e diferentes de 1.
 • log log
a ab bβ β
= ⋅
1 , em que a e b são números positivos, a 1 e 0. 
log
log
log loga
b
b
b
b
a ab
1
log
log
log
log
loga
a
a
a
ab
b
a
b
bβ β β β
= = = ⋅
1
 55. Calcule os seguintes produtos: 
a) log log log2 9 493 7 8
Podemos mudar todos os logaritmos para uma base qualquer. Escolhendo a base 10, temos:
log log log
log
log
log
log
log
log
log
log
l
2 9 493 7 8
3
2
7
9
8
49
3
2
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅
oog
log
log
log
log
log
log
log
log
log
7
3
2
7
3
2
7
2 3
3 2
2 7
3
42
3
2⋅ = ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
b) log log log log log log log log2 3 4 5 6 7 8 93 4 5 6 7 8 9 10
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log
log3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
99
8
10
9
10
2
1
2log
log
log
log
log log
⋅ = = 
Outra resposta possível é log2 10 .
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 47• •
M
A
T
 58. (UFPR) Uma quantia inicial 
de R$ 1.000,00 foi investida 
em uma aplicação financeira 
que rende juros de 6%, 
compostos anualmente. Qual 
é, aproximadamente, o tempo necessário para 
que essa quantia dobre? 
(Use log ( , ) ,2 1 06 0 084.) 
O montante após t meses, em reais, é dado 
por M t t( ) ( , )= ⋅1000 106 . Para que o montante dobre, devemos ter:
M t
t
t
t
t
( )
( , )
( , )
log ( , ) log
log
=
⋅ =
=
=
⋅
2 000
1000 106 2 000
106 2
106 22 2
2 (( , )
log ( , ) ,
,106 1
1
106
1
0 084
119
2
= ⇒ = =t
Como os juros são compostos anualmente, são necessários 12 
anos.
Veja o comentário no Manual digital.
 57. (UNIOESTE – PR) Sejam x, y e z 
números reais positivos. 
A expressão 
5
1
3
2log log logx y z+ − é igual a: 
a) 
log log
log
x y
z
3 3
2
b) log
5
6
xy
z
c) log
x y
z
5
2
X d) log
x y
z
5
2
3
e) log 5
3
2x
y
+ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE5
1
3
2
5
1
3
2
5
1
3 2log log log log log log
log log log lo
x y z x y z
x y z
+ − = + −
+ − = gg log log
log log log log
x y z
x y z
x y
z
5 3 2
5 3
25
1
3
2
+ −
+ − =
⋅⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
 56. Se log3 5 x e log5 7 y , escreva em função de 
x e y o valor de log9 49 .
log
log
log
log
log
log
log
log
log9
5
5
5
2
5
2
5
5
5
5
49
49
9
7
3
2 7
2 3
7
3
= = =
⋅
⋅
=
Usando as propriedades da atividade 54, como log3 5 x , 
temos log5 3
1
x
. 
Assim: log
log
log9
5
5
49
7
3 1
y
x
xy
 59. (UFLA – MG) O logaritmo de 
um número e a potenciação 
satisfazem várias 
identidades, entre elas as 
seguintes: 
log log log
log log log
10 10 10
10 10 10
ab a b
a
b
a b
( ) = ( ) + ( )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ( ) − ( )
110 10 10a b a b+ = ⋅
As demais identidades apresentadas nas 
alternativas estão corretas, EXCETO:
a) 10 10 10 10
2
2 2 2a b c a b c+ +( ) = ⋅ ⋅
X b) log log log
log
10 10 1010 10 ab
a b
( )( ) = ( )⋅ ( )
c) log log log log10 10 10 10abc a b c( ) = ( ) + ( ) + ( )
d) log log log log10 10 10 10
a
bc
a b c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ( ) − ( ) − ( )
48 MATEMÁTICA• •
 62. (UEM – PR) Considerando
log3 2 a e log3 5 b, é correto afirmar que
X(01) log3 162 4= +a .
(02) log3 75
2
b .
(04) log15 12
1
1
=
+
+
a
b
.
X(08) o valor de x na equação 5 10x é 
a
b
1 .
(16) log 72
3
=
+
a
a b
.
Somatório: 09 (01 + 08) 
 63. (UESPI) Se x log10 12 e 
y log2 12, qual o valor de
log6 10 em termos de x e y?
a) y
x y +( )1
b) y
xy
1
c) xy
y 1
d) x
y y +( )1
X e) y
x y −( )1
log
log
log log ( ) log log
log
6
10
10 10 10 10
10
10
1
6
12 6 2 6 2
6
=
= = ⋅ = + ⇒
⇒ =
x
x −−
= = = ⇒ =
log
log
log
log log
log
10
2
10
10 10
10
2
12
12
2 2
2y
x x
y
Assim:
log log
log
log
log
10 10
10
6
10
6 2
6
1
10
1
6
1
= −
= − =
−
=
−( )
= =
x
x
x
y
xy x
y
x y
y
x y −−( ) =
−( )1 1
y
y
x y
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
N log N1,99 0,32,51 0,43,16 0,53,98 0,65,01 0,7
Agora, você pode fazer as questões 
104 e 105 da seção Conquista Enem.
 60. (UFPR) Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10x N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log ,2 0 30 e log ,3 0 47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de 
N = ⋅2 3120 30.
a) 1045
X b) 1050
c) 1055
d) 1060
e) 1065
 61. (UFRGS – RS) A tabela adiante possibilita calcular aproximadamente o valor de 10005 .
De acordo com os dados da tabela, esse valor aproximado é
a) 1,99.
b) 2,51.
c) 3,16.
X d) 3,98.
e) 5,01.
Seja N 10005 . Calculando o logaritmo dos dois membros da 
igualdade anterior, temos:
log log
log log
log , ,
N
N
N N
=
=
= ⋅ = ⇒ =
1000
1000
1
5
3 0 6 3 98
5
1
5
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 49• •
M
A
T
ANÁLISE DO ERRO
Considere a seguinte questão:
ENEM Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número 
de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o 
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de 
transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava 
2 de área. Desde então, 
o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a 
cada dois anos (Lei de Moore). 
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).
Considere 0,30 como aproximação para log10 2. 
a) 1999 b) 2002 c) 2022 d) 2026 e) 2146
Um aluno resolveu a questão da seguinte maneira:
Densidade: 
100 000
0 25
100 000
25
100
100 000
100
25
400 000
4
1,
: /= = ⋅ = transistores ccm2 
n 
diante. Logo: 
D n
n
( ) = ⋅400 000 22
centímetro quadrado, temos:
100 000 000 000 400 000 22= ⋅
n
Para encontrar n, é conveniente aplicar o 
logaritmo aos dois lados da igualdade:
log log ( )
log log log
log log
10 4 10 2
11 4 10 2
11 4 5 10
11 5
5
2
2
= ⋅ ⋅
= + +
= + +
n
n
nn
n
n n
2
2
11 4 5 1
2
0 3
11 9 0 15
2
0 15
13
log
,
,
,
= + ⋅ + ⋅
= + ⋅ ⇒ =
Portanto, a empresa atinge a densidade em 
1986 + 13 = 1999.
O estudante marcou como correta a alternativa 
a. Entretanto, a resposta estava ERRADA.
Qual foi o erro que o estudante cometeu?
O estudante percebeu que, se o número de 
transistores está dobrando a cada ano, então 
se trata de um crescimento exponencial. Outro 
detalhe importante no enunciado é que a 
densidade de transistores é pedida em centímetro 
2 por 
dessa análise, o aluno construiu corretamente 
a equação descrita na situação e, ao aplicar o 
logaritmo, cometeu um erro no cálculo do log 4:
11 5 10
2
2
11 5 1
2
0 3
4
4
= + +
= + ⋅ + ⋅
↓
log log log
,
n
n
O correto é log log log4 2 2 22= = ⋅ . 
No enunciado, é dado o valor aproximado do 
log 2 = 0,3. Corrigindo o cálculo, ficaria assim:
11 2 0 3 5 0 15
11 5 6 0 15
5 4
0 15
36
= ⋅ + + ⋅
= + ⋅
= =
, ,
, ,
,
,
n
n
n
Assim, a empresa atinge a densidade em 
1986 + 36 = 2022, ou seja, a resposta correta é 
a alternativa c.
a
t
s
d
d
d
a
1
a
Qual foi o erro que o estudante cometeu?
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
ac
ro
ve
ct
or
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/N
an
do
 M
ac
ha
do
50 MATEMÁTICA• •
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/N
an
do
 M
ac
ha
do
©
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
FIQUE POR DENTRO
Músicos são mais sujeitos à surdez e 
outros problemas auditivos
Eric Clapton, Chris Martin, Phil Collins, Ozzy Osbourne e Bono Vox estão entre os 
famosos que assumiram perdas auditivas
Difícil imaginar um mundo sem música, certo? Com um microfone nas mãos ou 
tocando um instrumento musical, os músicos levam alegria e descontração às pessoas. 
Exercem seu dom nos palcos, na maioria das vezes em meio a altos volumes de som.
Eric Clapton, considerado um dos melhores guitarristas da história do rock, anunciou 
que está perdendo a audição. Em entrevista para um documentário sobre a carreira, ele 
falou sobre as sequelas – reflexo dos mais de 50 anos que passou em cima dos palcos. 
Além de Clapton, outros famosos já admitiram perda auditiva. Chris Martin, vocalista da 
banda britânica Coldplay, foi diagnosticado com Tinnitus (zumbido) há mais de dez anos. 
Phil Collins, Ozzy Osbourne, Bono Vox e, até mesmo, Ludwing van Beethoven tiveram que 
realizar mudanças ou rupturas em suas carreiras após perda de audição significativa.
“É importante que os músicos atentem para a importância de se prevenir usando 
tampões durante os shows. E para quem já foi ao médico e detectou perda auditiva, é 
recomendada uma avaliação para identificar o melhor aparelho auditivo. Além de não 
ouvir direito, a perda auditiva em músicos pode causar também problemas emocionais. 
Por isso, é importante usar a prótese auditiva, que traz de volta não somente a audição, 
mas também a sensibilidade por meio da música e da criatividade”, explica Marcella Vidal, 
fonoaudióloga [...].
MÚSICOS são mais sujeitos à surdez e outros problemas auditivos. Disponível em: https://www.metropoles.com/saude/musicos-sao-
mais-sujeitos-a-surdez-e-outros-problemas-auditivos. Acesso em: 25 mar. 2021.
O nível máximo de ruído que a orelha humana suporta, sem dano algum, é de 
causar problemas que vão desde estresse até a perda irreversível da audição.
2 (watts por metro 
2 de intensidade (limiar da dor). 
Portanto, a razão entre as intensidades máxima e mínima é igual a:
1
0 000000000001
1 000 000 000 000 1012
,
O nível sonoro β, comumente medido em decibels (dB), é definido por:
β = ⋅10
0
log
I
I
Nessa equação, I é uma intensidade de som qualquer e I0 é a intensidade mínima que 
a audição humana percebe, igual a 10 12 2.
EM13MAT305, EM13MAT403
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/W
ay
ho
m
e 
St
ud
io
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 51• •
M
A
T
Note que, no Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade do nível sonoro é o bel(B), em 
homenagem a Alexander Graham Bell (1847-1922), que é considerado o inventor do telefone. No entanto, 
utilizamos na prática um submúltiplo dele, o decibel, que corresponde à décima parte do bel, ou seja, 
Da relação que indica o nível sonoro, β = ⋅10
0
log
I
I
, podemos obter as medidas, em decibels, da menor e 
da maior intensidades sonoras percebidas pela orelha humana. Basta substituir I por I0 = 10–12 e I por 1:
• I I dB= ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
−
−0
12
12
10
10
10
10 1 10 0 0β log log
• I
I
I
dB= ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
−
1 10 10
1
10
10 10 10 12 120
0
12
12β log log log
I (I, β)
I0 (I0, 0)
10 · I0 (10 · I0, 10)
102 · I0 (102 · I0, 20)
103 · I0 (103 · I0, 30)
Se localizarmos outros pontos entre esses e 
traçarmos a curva que passa por todos eles, teremos:
Vamos agora representar 
graficamente a relação β = ⋅10
0
log
I
I
.
Para isso, calculamos inicialmente 
alguns valores de β. Para facilitar os 
cálculos, atribuímos valores para I tais que 
a razão 
I
I0
 seja uma potência de base 10.
Note que os valores de I são muito 
pequenos, pois I0 = 10–12. Considerando na 
I0
vertical, temos os três primeiros pontos da 
tabela ao lado representados no sistema 
de coordenadas cartesianas a seguir.
β = ⋅10
0
log I
I
β = ⋅ = ⋅ = ⋅ =10 10 1 10 0 00
0
log log
I
I
β = ⋅
⋅
= ⋅ = ⋅ =10
10
10 10 10 1 100
0
log log
I
I
β = ⋅
⋅
= ⋅ = ⋅ =10
10
10 10 10 2 20
2
0
0
2log log
I
I
β = ⋅
⋅
= ⋅ = ⋅ =10
10
10 10 10 3 30
3
0
0
3log log
I
I
)
20
10
0
I0 10 ∙ I0 102 ∙ I0 I
20
10
0
I0 10 ∙ I0 102 ∙ I0 I
52 MATEMÁTICA• •
Observe que, ao multiplicarmos o valor de I por 10, o valor de 
ponto ( , )10 303
0I
Isso nos mostra que o crescimento de β = ⋅10
0
log
I
I
 é lento, ao contrário de uma função exponencial 
crescente. 
No exemplo que acabamos de acompanhar, a variável independente I está localizada no logaritmando. 
Vamos definir agora um novo tipo de função.
Comente com os alunos 
que o próximo ponto da 
curva estará 9 metros à 
direita do ponto anterior 
na horizontal e apenas 
1 centímetro acima dele na 
vertical. Enfatize que isso 
mostra que o crescimento 
da função é muito lento.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
(UFF – RJ) Segundo Resnick e Halliday, no livro Física
R de uma onda sonora, medida em decibel 
(dB), é definida por:
IR = 10 log10
I
I0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
sendo I 2 e I0 a intensidade sonora de 
2.
Apresentam-se, a seguir, os valores em dB das intensidades relativas (IR) das 
ondas sonoras correspondentes a algumas situações particulares.
Situação particular IR (dB)
Limiar da audição humana 0
Sussurro médio 20
Conversa normal 65
Limiar da dor 120
2, pode-se afirmar que:
a) a intensidade sonora do sussurro médio é menor que 10 vezes a intensidade 
sonora do limiar da audição humana.
b) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a intensidade sonora do 
limiar da audição humana.
c) a intensidade sonora do limiar da dor é igual a 1010 vezes a intensidade 
sonora de um sussurro médio.
d) a intensidade sonora do limiar da dor é, aproximadamente, o dobro da 
intensidade sonora de uma conversa normal.
e) a intensidade sonora de uma conversa normal é menor que 104 vezes a 
intensidade sonora de um sussurro médio.
TEMA 
QUENTE
Toda função f: + →∗ , definida por f x xa( ) log
Exemplos:
 • f x x( ) log2 • g x x( ) log 1
10
 • h x x( ) n
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 53• •
M
A
T
 64. Sobre a função definida por f x x x( ) log( )= + −2 20 , assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa. 
a) ( V ) f(5) = 1 
b) ( F ) f( ) log7 6 2= ⋅
c) ( V ) f(–6) + f(6) = f(15) 
d) ( F ) O domínio é o intervalo ] , [4 + ∞ .
e) ( F ) f(19) – f(10) = f(9) 
 65. (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:
f x x( ) log ( )
5 5
4
3Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a: 
a) 3 b) 4 X c) 300 d) 400
ATIVIDADES
EM13MAT305, EM13MAT403
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Podemos obter o valor de f(5) de duas maneiras:
1) log ( ) ( ) ( )
5 5
4 3 4
1
3 4
4
3 4
3 5 5 5 5 5 5 5 5 5
4
3
4 3= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =y
y
yy y
y
2) f( ) log ( ) log log log5 5 5 5
3
4
4 5 3
5 5
4
5 5
4
5
4
53 1
3
4
3
= = = = ⋅ ⋅ =
⋅
Assim, o número de indivíduos corresponde a 3 centenas, ou seja, 300.
 66. (UERN) O número de peças produzidas por uma indústria é dado pela função 
N t t( ) log ( )= ⋅ +300 13
, sendo N(t) o número de peças produzidas em t meses. Considerando-se que, em n meses, a produção é o dobro da de 2 meses, pode-se afirmar que o valor de n é 
a) 6 X b) 8 c) 9 d) 11
Produção de 2 meses:
N( ) log ( )2 300 1 2 300 1 3003= ⋅ + = ⋅ =
Produção de n meses:
N n n
n n n n
( ) log ( )
log ( )
= ⋅ + =
+ = ⇒ = + ⇒ + = ⇒ =
300 1 600
1 2 3 1 1 9 8
3
3
2
©Shutterstock/Aanbetta
Solução
Aplicando os valores da tabela à fórmula, temos:
Limiar da audição humana: 0 10 0 1010
0
10
0 0
0
0=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = ⇒ =log log
I
I
I
I
I
I
I I
Sussurro médio: 20 10 2 10 1010
0
10
0 0
2 2
0=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = ⇒ = ⋅log log
I
I
I
I
I
I
I I
Conversa normal: 65 10 6 5 10 1010
0
10
0 0
6 5 6 5=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = ⇒ = ⋅log log , , ,I
I
I
I
I
I
I I00
Limiar da dor: 120 10 12 10 1010
0
10
0 0
12 12
0=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = ⇒ = ⋅log log
I
I
I
I
I
I
I I
Portanto, a afirmação verdadeira é a da alternativa c. Como 
10
10
10
12
0
2
0
10⋅
⋅
=
I
I
, a intensidade sonora do limiar 
nora de um sussurro médio.
54 MATEMÁTICA• •
 67. (IFMG) Um forte terremoto foi registrado na madrugada do dia 24 de agosto de 2016 no centro da Itália, provocando danos severos em algumas regiões e vários mortos. O serviço geológico dos Estados Unidos informou que o tremor teve magnitude 6,2 na escala Richter. O epicentro do terremoto foi situado entre as cidades de Perugia e Rieti, a pouco mais de 150 km a nordeste de Roma. 
Disponível em: http://noticias.uol.com.br/internacional/ultimas-
noticias/2016/08/23/terremoto-de-magnitude-62-atinge-regiao-no-centro-
da-italia.htm. Acesso em: 12/10/2016 A escala Richter mede a magnitude M de um terremoto pela fórmula matemática
M
E
E
= ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
3 0
log
na qual E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E KWh0
37 10= ⋅ − . A energia liberada no terremoto ocorrido na Itália foi de: 
a) 0 7 106 3, ,
X b) 7 106 3,
c) 7 1012 3,
d) 21 1012 3,
do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão:
S t= − ⋅ + +18 1 86log( ) .
a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado?
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Como a magnitude do terremoto foi de 6,2 na escala Richter e 
E kWh0
37 10= ⋅ − , temos:
M
E
E
E
E
= ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
−
−
2
3
6 2
2
3 7 10
9 3
7 10
0
3
3
log
, log
, log
⎠⎠
⎟
=
⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
−
−
10
7 10
7 10 10
7 10
9 3
3
3 9 3
6 3
,
,
,
E
E
E kWh
S
t
S
= − ⋅ + +
=
⎧
⎨
⎩
= − ⋅ + + = − ⋅ + =
18 1 86
9
18 9 1 86 18 10 86 68
log(t )
log( ) log
Após 9 minutos, eram lembrados 68% da informação inicial.
S
S
t
= − ⋅ + +
=
⎧
⎨
⎩
= − ⋅ + + ⇒ + = ⇒
⇒ +
18 1 86
50
50 18 1 86 1 2
1
log(t )
log(t ) log(t )
== ⇒ + = ⇒ =10 1 100 992 t t
Depois de 99 minutos, o percentual S alcançou 50%.
b) Depois de quanto tempo o percentual S 
alcançou 50%?
 69. (FUVEST – SP) Considere 
as funções f x x( )= +2 4 e 
g x x( ) log= +1 1
2
, em que o 
domínio de f é o conjunto 
dos números reais e o domínio de g é o 
conjunto dos números reais maiores do que 0. 
Seja
h x f g x g f x( ) ( ( )) ( ( ))= +3 2 ,
em que x 0. Então, h( )2 é igual a 
a) 4
X b) 8
c) 12
d) 16
e) 20
h x f g x g f x
h f g g f
g
( ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ( )) ( ( ))
( ) log
= +
= +
= + =
3 2
2 3 2 2 2
2 1 21
2
11 1 0
2 0 0 4 4
2 2 4 8
2 8 1
2
2
1
+ − =
= = + =
= + =
= = +
( )
( ( )) ( )
()
( ( )) ( ) log
f g f
f
g f g
22
8 1 3 2
2 3 4 2 2 8
= + − = −
= ⋅ + ⋅ − =
( )
( ) ( )h
Agora, você pode fazer as questões 
106 a 108 da seção Conquista Enem.
 68. (UFPR) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função 
84210
–1
–2
–3
1
2
3
x
y
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 55• •
M
A
T
Gráfico da função logarítmica
Vamos construir o gráfico da seguinte função logarítmica: f x x( ) log2 .
x (x, y)
1 (1, 0)
2 (2, 1)
4 (4, 2)
8 (8, 3)
x (x, y)
1 (1, 0)
2 (2, –1)
4 (4, –2)
8 (8, –3)
a) Inicialmente, atribuímos 
alguns valores para x e 
calculamos os valores 
correspondentes de y. 
f x x( ) log2
1
8
1
4
1
2
1
8
3, −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟f
1
8
1
8
2 32 2
3⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = −−log log
f
1
4
1
4
2 22 2
2⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = −−log log
1
4
2, −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
f
1
2
1
2
2 12 2
1⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = −−log log
1
2
1, −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
f( ) log1 1 02
f( ) log2 2 12
f( ) log log4 4 2 22 2
2
f( ) log log8 8 2 32 2
3
b) Marcamos no plano 
cartesiano os pontos 
obtidos e esboçamos o 
gráfico da função.
A função representada nesse 
gráfico é crescente e o conjunto- 
-imagem é formado por todos os 
números reais, ou seja, Im( )f . 
Agora, vamos fazer o 
mesmo para a função dada por 
f x x( ) log1
2
. Atribuímos alguns 
valores para x e calculamos os 
valores correspondentes de y.
f x x( ) log1
2
1
8
1
4
1
2
f
1
8
1
8
1
2
31
2
1
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =log log
f
1
4
1
4
1
2
21
2
1
2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =log log
f
1
2
1
2
11
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =log
f( ) log1 1 01
2
f l( ) log og2 2
1
2
11
2
1
2
1
= = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
−
f l( ) log og4 4
1
2
21
2
1
2
2
= = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
−
f l( ) log og8 8
1
2
31
2
1
2
3
= = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
−
1
8
3,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
4
2,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
1,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
56 MATEMÁTICA• •
Marcamos os pontos no plano cartesiano e 
esboçamos o gráfico da função.
A função representada nesse gráfico é 
decrescente e o conjunto-imagem é formado por 
todos os números reais, ou seja, Im( )f .
Nos gráficos construídos, podemos observar 
algumas características comuns e outras que 
dependem da base considerada.
 • Quando a base é um número entre 0 e 1.
a > 1
x2 > x1 ⇒ y2 > y1
A função é crescente.
Para valores de x entre 0 e 1, loga x é negativo.
Para x = 1, loga x 0.
Para valores de x maiores do que 1, loga x é 
positivo.
O gráfico da função não intersecta o eixo das 
ordenadas.
 • Quando a base é um número maior do que 1.
0 < a < 1
x2 > x1 ⇒ y2 < y1
A função é decrescente.
Para valores de x entre 0 e 1, loga x é positivo.
Para x = 1, loga x 0 .
Para valores de x maiores que 1, loga x é 
negativo.
O gráfico da função não intersecta o eixo das 
ordenadas.
xx2x110
y1
y2
y
xx2x1
10
y1
y2
y
84210
–1
–2
–3
1
2
3
x
y
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 57• •
M
A
T
Função exponencial e função logarítmica
 70. Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. 
a) ( V ) A função logarítmica f x x( ) log
3
 é crescente. 
b) ( F ) Se g x x( ) log2
5
, então g g( )5 2> ( ) . 
c) ( V ) O gráfico da função y x= +log ( )2 1 intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 0). 
d) ( V ) O gráfico da função y x= +log2 1 intersecta o eixo das abscissas no ponto 1
2
0,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟.
e) ( F ) Os gráficos das funções f x x( ) log1
4
 e g x
x
( )= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
4
 não se intersectam.
A função logarítmica f: + →∗ , definida por 
f x xa( ) log , é bijetora, pois:
 • como a função é crescente ou decrescente, 
então é injetora, já que elementos distintos do 
domínio têm imagens distintas;
 • dado um número real y tal que y xalog , 
pela definição de logaritmo, concluímos que 
x ay
. Assim, para todo y real, existe um x 
real e positivo associado, ou seja, a função é 
sobrejetora.
Portanto, como a função logarítmica é bijetora, 
admite uma função inversa.
Você lembra como obter a lei de formação da 
inversa de uma função? Basta trocar entre si as 
variáveis x e y e, em seguida, escrever y em função 
de x.
y xalog
Trocamos as variáveis x e y entre si: x yalog .
Escrevemos y em função de x. Para isso, basta 
utilizar a definição de logaritmo: x y a ya
x= ⇒ =log .
A função inversa de f x xa( ) log é definida por 
f x ax− =1( ) . 
Além disso, o domínio dessa função é e o 
contradomínio é +
∗ .
A função que acabamos de determinar, inversa 
da função f, é justamente a função exponencial, ou 
seja, as funções exponencial e logarítmica, em uma 
mesma base, são inversas uma da outra.
Já estudamos que os gráficos de uma função e 
ATIVIDADES
EM13MAT305
x876543
3
4
5
6
7
8
y
2
2
1
1
0–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
y = 2x y = x
y = log 2x
3
4
5
6
7
8
y
2
1
–1
–1
–2
–3
x876543210–2–3–4
y = x
xlog1
2
y
y
x1
2
de sua inversa são simétricos em relação à bissetriz 
dos quadrantes ímpares, ou seja, em relação à reta 
de equação y = x.
Observe a seguir os gráficos das funções 
inversas f x x( ) log2 e f x x− =1 2( ) e, depois, das 
funções inversas g x x( ) log1
2
 e g x
x
− = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 1
2
( ) .
x9
f(x) = log2 x
87654321
y
x876543
3
4
5
6
7
8
y
2
2
1
1
0–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
y = ex y = x
y = ℓnx
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEU ATÉ AQUI.
TOME NOTA!
y
x
(4,−1)
(1,0)
f
58 MATEMÁTICA• •
 71. Observe abaixo o gráfico da função f x xb( ) log . 
b) Calcule o valor de f(16).
O ponto (4, –1) pertence ao gráfico da função.
f
b bb
( )
log
4 1
4 1 4
1
4
1
= −
= − ⇒ = ⇒ =−
 
 72. Na figura a seguir, está esboçado o gráfico da função f x ex( ) , em que e 2 718, é o número de Euler.Esboce nesse mesmo plano cartesiano o gráfico da função g x nx( ) .
f
y
y y
y
y
( ) log
log
16 16
16 4 4
4 4 2 2
1
4
1
4
1 2
2
=
= ⇒ ( ) = ⇒
⇒ = ⇒ − = ⇒ = −
−
−
 73. (UECE) Na figura abaixo estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da função f x x( ) log2 , 
x 0. 
TEMA 
QUENTE
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a
X a) 2 unidades de área.
b) 3 unidades de área.
c) 4 unidades de área.
d) 5 unidades de área.
A medida da base de cada retângulo é 1 unidade de comprimento 
e a altura é igual à diferença entre dois logaritmos.
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a:
S = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − +
+ ⋅
1 3 2 1 4 3 1 5 4
1
2 2 2 2 2 2
2
(log log ) (log log ) (log log )
(log 66 5 1 7 6 1 8 7
2 8 1
2 2 2 2 2
2 2
− + ⋅ − + ⋅ −
= − + = −
log ) (log log ) (log log )
log logS ++ =3 2
a) Determine o valor da base b.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 59• •
M
A
T
 74. Considere as funções f e g definidas por 
f x x( ) log ( )= +2 1 e g(x) = x2 – 4x. 
a) Qual é o domínio da função f? E da função 
g? 
b) Complete as tabelas e, em seguida, esboce os gráficos das funções f e g no plano cartesiano.
TEMA 
QUENTE
Na função f, o logaritmando deve ser positivo: x + 1 > 0 ⇒ x > –1
Como g é uma função quadrática, seu domínio é .
x
7
3
1
0
–0,5
–0,75
–0,875
x g(x) = x2 – 4x
–1 g(–1) = (–1)2 – 4 · (–1) = 5
0 g(0) = 02 – 4 · 0 = 0
1 g(1) = 12 – 4 · 1 = –3
2 g(2) = 22 – 4 · 2 = –4
3 g(3) = 32 – 4 · 3 = –3
4 g(4) = 42 – 4 · 4 = 0
5 g(5) = 52 – 4 · 5 = 5
c) Para quantos valores de x as funções f e g são iguais?
Dois valores. Um deles é 0, e o outro, um número compreendido 
entre 4 e 5.
 75. (UDESC) Considere os valores de x pertencentes ao conjunto S x= ∈ > −{ |x }4 . Associe cada uma das funções f(x) com x S, exibidas na coluna A da tabela 1 com as suas respectivas inversas, exibidas na coluna B.
TABELA 1: FUNÇÕES E SUAS INVERSAS
A B
(1) ( ) 
(2) ( ) 
(3) ( )Assinale a alternativa que contém a sequência correta de classificação, de cima para baixo.
a) 3 – 1 – 2
b) 2 – 1 – 3
c) 1 – 3 – 2
d) 3 – 2 – 1
X e) 2 – 3 – 1
f x x( ) log ( )= +2 1
f( ) log7 8 32
f( ) log3 4 22
f( ) log1 2 12
f( ) log0 1 02
f( , ) log ,− = = −0 5 0 5 12
f( , ) log ,− = = −0 75 0 25 22
f( , ) log ,− = = −0 875 0 125 32
f x x( ) log= +2
4 4
f x
x
( ) log=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2
4
4
2
f x( ) log ( x )= +4 2 8
f x
x− +
= ( ) −1
4
2 4( )
f x x− −= −1 2 12 4( )
f x x− = −1 42 4( )
• 59•XPONENCIAIS E LOGARÍTMMICAÍ AS E A
x876543
3
4
5
6
y
2
2
1
1
0–1–2
–2
–1
–3
–3
–4
–4
g(x) = x2 – 4x
f(x) = log2 (x + 1)
60 MATEMÁTICA• •
Já vimos anteriormente que podemos usar recursos digitais para 
estudar funções e seus gráficos. Não é diferente no caso das funções 
logarítmicas. 
Para representar o gráfico de uma função logarítmica, basta digitar sua 
expressão algébrica. Os softwares de representação de funções ajudam 
nessa tarefa, mostrando a sintaxe para a digitação da função.
y = log
log( <b>, <x> )
log( <x> )
log10( <x> )
log2( <x> )
PARA SABER MAIS
sintaxe (informática): conjunto de 
regras que regem a escrita de uma 
linguagem de programação. 
SINTAXE. In: DICIONÁRIO Priberam da 
língua portuguesa. Disponível em: https://
dicionario.priberam.org/sintaxe. 
Acesso em: 25 mar. 2021. 
Observe que, ao digitar “y = log”, o programa mostra a opção de 
digitar a base b (<b>) ou escolher entre funções de base 2 e 10.
Os programas também reconhecem que a função tem base 
e quando se digita “y = ln x”. Aliás, a maneira mais precisa de se 
representar o gráfico da função logarítmica de base e é a digital, já 
que estamos trabalhando com um número irracional. Observe que o 
programa trabalha com uma aproximação de duas casas decimais.
Com o auxílio 
de um software, fica 
mais fácil analisar as 
funções logarítmicas 
e compreender o que 
acontece quando 
alteramos o valor 
da base e outros 
parâmetros da função.
Que tal resolver um desafio? Encontre valores para a, b, c e d tais que o ponto (3, 0) pertença à função 
logarítmica. 
Você pode resolver o desafio pensando nas propriedades que conhece da função ou usar um software 
para explorar as possibilidades!
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 61• •
M
A
T
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Os terremotos são fenômenos naturais gerados por movimentações 
na crosta terrestre, normalmente pelo choque entre placas tectônicas. 
A magnitude de um terremoto pode ser medida pela escala Richter, 
criada em 1935 pelo sismólogo estadunidense Charles Francis 
Richter (1900-1985), junto com o sismólogo alemão Beno Gutenberg 
(1889-1960). Trata-se de uma escala logarítmica. A magnitude de um 
terremoto é dada por:
M
E
= ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
2
3 7 10 3
log
Nessa equação, E é a energia liberada, em quilowatts-horas (kWh).
na escala Richter. Podemos calcular a energia liberada nesse terremoto. 
M
E
E E
= ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
−
− −
2
3 7 10
9
2
3 7 10 7 10
3
3 3
log
log log ⎟⎟ = ⇒
⋅
= ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅
−
−
13 5
7 10
10
7 10 10 7 10
3
13 5
3 13 5 10 5
, ,
, ,
E
E kWh
Em setembro de 2020, o norte do Chile foi atingido por um 
terremoto de magnitude 7,0. Nesse caso, a energia liberada foi de:
7
2
3 7 10 7 10
10 5
7 10
10
3 3 3
10 5= ⋅
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒
⋅
=
− − −
log log , ,E E E
⇒⇒
⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅−E kWh7 10 10 7 103 10 5 7 5, ,
Quantas vezes a energia liberada no terremoto do Japão foi maior 
do que a liberada no terremoto do Chile? Para saber isso, calculamos a 
razão entre as energias calculadas nas duas situações.
7 10
7 10
10 1 000
10 5
7 5
3⋅
⋅
= =
,
,
kWh
kWh
Chile!
Para calcular a energia liberada em cada um dos terremotos, você 
resolveu equações logarítmicas.
Exemplos de equações logarítmicas:
 • log ( )3 1 1x − =
 • log ( )x x− + =1 4 8 2
 • (log ) log5
2
5 6x x+ =
 • log log log2 4 8 11x x x+ + =
 • log log ( )2 2 3 2x x+ − =
Quando resolvemos uma equação logarítmica, devemos verificar 
se são satisfeitas as condições para que o logaritmo exista. Acompanhe 
um exemplo. 
log ( )x x− + =1 4 8 2
 EM13MAT305
Uma equação que 
apresenta a incógnita no 
logaritmando ou na base 
é denominada equação 
logarítmica.
1 2
1 2
–2
(I)
(II)
(I) (II)
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
gs
an
dr
ew
62 MATEMÁTICA• •
Inicialmente, determinamos as condições de 
existência. 
Base: 
x
x
x
x
I
− >
− ≠
⎧
⎨
⎩
⇒
>
≠
⎧
⎨
⎩
1 0
1 1
1
2
( )
Logaritmando: 4 8 0 2x x II+ > ⇒ > − ( )
Portanto, x deve ser maior do que 1 e diferente 
de 2.
Agora, vamos resolver a equação.
log ( )x x− + =1 4 8 2
Usando a definição de logaritmo:
( )x x
x x x
x x x ou x
− = +
− + = +
− − = ⇒ = = −
1 4 8
2 1 4 8
6 7 0 7 1
2
2
2
Assim, como apenas x = 7 satisfaz as condições 
de existência, o conjunto-solução da equação é 
S = {7}.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Resolva as seguintes equações 
logarítmicas.a) log ( )3 1 1x − = 
Solução
Condição de existência:
x x− > ⇒ >1 0 1
log ( )3
1
1 1
3 1 4
x
x x
− =
= − ⇒ =
O conjunto-solução da equação é S = {4}.
b) log log log2 4 8 11x x x+ + = 
Solução
Condição de existência:
x 0
Mudança de base:
log
log
log
log
log
log
log log
log
2
2
2
2
2
2
2 2
2
4 8
11
2 3
11
6
x
x x
x
x x
x
+ + =
+ + =
++ + =
= ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
3 2 66
11 66 6
2 64
2 2
2 2
6
log log
log log
x x
x x
x x 
O conjunto-solução da equação é S = {64}. 
c) (log ) log5
2
5 6x x+ =
Solução
Condição de existência: x 0
Substituímos log5 x por y:
y y
y y y ou y
2
2
6
6 0 2 3
+ =
+ − = ⇒ = = −
Calculamos os respectivos valores de x:
log
log
5
5
2 25
3
1
125
x x
x x
= ⇒ =
= − ⇒ =
O conjunto-solução da equação é S = ⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
125
25,
.d) log log ( )2 2 3 2x x+ − =
Solução
Condições de existência:
x
x x
>
− > ⇒ >
0
3 0 3
Portanto, x deve ser maior do que 3.
log log ( )
log ( )
( )
2 2
2
2
2
3 2
3 2
2 3
3 4 0 4
x x
x x
x x
x x x ou x
+ − =
⋅ − =
= ⋅ −
− − = ⇒ = = −11
Como apenas x = 4 satisfaz as condições de 
existência, o conjunto-solução da equação é S = {4}.
Solução
Soluçãççç o
Soluçãçççç o
Soluçãççç o
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 63• •
M
A
T
 76. Determine para quais valores de x existem os logaritmos de cada uma das equações a seguir. 
a) log1
2
2 5 0x −( ) =
 77. Resolva as equações da atividade anterior.
 78. Qual é o conjunto-solução da equação 
log log log2 4 82 4
17
2
x x x+ + = ?
ATIVIDADES
EM13MAT305
b) logx x− = −3 1
2 5 0 2 5
5
2
x x x− > ⇒ > ⇒ >
x x
x x
x
− > ⇒ >
− ≠ ⇒ ≠
>
3 0 3
3 1 4
0
Assim, x deve ser maior do que 3 e diferente de 4. 
c) log log16 165 5
1
4
x x+( ) − −( ) =
d) log log4 2
2 1x( ) =
x x
x x
+ > ⇒ > −
− > ⇒ >
5 0 5
5 0 5
Assim, x deve ser maior do que 5.
e) n nx x2 2 3 4−( ) = −( )
x2 0. Como o quadrado de qualquer número real não nulo é 
positivo, x deve ser diferente de zero.
f) log log3 3
1
3
x x+ =
x x ou x
x x x
2 2 0 2 2
3 4 0 3 4
4
3
− > ⇒ < − >
− > ⇒ > ⇒ >
Assim, x deve ser maior do que 2 .
x
x
>
≠
0
1
Assim, x deve ser maior do que 0 e diferente de 1.
Condição de existência: x > 0
log
log
log
log
log
log
log log log
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
4
4
8
17
2
2
2
4
x
x x
x
x
+ + =
+
+
+
+ llog
log
2
2
3
17
2
1
2
2
3
17
2
6 3 3 4 2 51 11 44
x
x y y
y y
y y y y
=
= ⇒ +
+
+
+
= ⇒
⇒ + + + + = ⇒ = ⇒⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
y
x y x x x
4
4 2 162 2
4log log
Assim, o conjunto-solução é S = {16}.
 79. (UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções: A t t( ) log ( )= +4
52 e B t t( ) log ( )= +2
22 4 , nas quais a variável t representa o tempo em anos. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a 
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
X e) 14
TEMA 
QUENTE
log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
( ) (
2
5
2
2
2
5
2
4
5
2 2 2 4
2 2 4
2 2 4
+ = ⋅ +
+ = +
+ = +
t t
t t
t t ))
( ) ( )( )
( )
4
5 4 4
5
4
2 2 2
2
2
16 2 16 14
+ = ⋅ +
+
+
= ⇒ + = ⇒ =
t t
t
t
t t
A t B t
t t
t
t
( ) ( )
log ( ) log ( )
log ( )
log
log ( )
=
+ = +
+
= +
4
5
2
2
2
5
2
2
2
2 2 4
2
4
2 4
llog ( )
log ( )2
5
2
22
2
2 4
+
= +
t
t
64 MATEMÁTICA• •
 80. Resolva os seguintes sistemas de equações: 
a) 
log log
log log
3 9
3 9
2
1
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
 81. (UCPEL – RS) Seja a função real 
f x x x
x
( ) log= − +( )+( )2
22 5 2 .A função f(x) dada está definida no conjunto dos números reais x, tais que
a) − ≤ <2
1
2
x ou x 2 e x = −1
Condições de existência:
x 0 e y 0
Adicionamos as duas equações, membro a membro:
2 1
1
2
3 33 3
1
2log logx x x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Substituímos log3
1
2
x em uma das equações:
log log log
log ( )
3 9 9
9
3
2 2
3
2 3
2
1
2
2
3
2
9 3 3 27
x y y
y y y
+ = ⇒ + = ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ = = =
Assim, o conjunto-solução é S {( , )}3 27 .
b) log log
log
2 2
2
5
2
x y
x y
+ =
−( ) =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Condições de existência:
x 0 , y 0 e x y x y− > ⇒ >0
log log log
log
2 2 2
5
2
2
5 5 2
32
2 2
x y xy xy
xy
x y x y x y
+ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ =
−( ) = ⇒ = − ⇒ − = 44
Da equação x y− = 4, temos y x= − 4.
xy x x x x
x ou x
= ⇒ ⋅ − = ⇒ − − = ⇒
⇒ = = −
32 4 32 4 32 0
8 4
2( )
Como x deve ser positivo, então x 8.
y x y= − ⇒ = − =4 8 4 4
Assim, o conjunto-solução é S = {(8, 4)}.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
b) − < <2
1
2
x ou x 2 e x = −1
c) − < ≤2
1
2
x ou x 2 e x ≠ −1
X d) − < <2
1
2
x ou x 2 e x ≠ −1
e) − ≤ ≤2
1
2
x ou x 2 e x ≠ −1
Para que a função esteja definida, as seguintes condições devem 
ser satisfeitas:
• O logaritmando é maior do que zero.
2 5 2 02x x− + >
Raízes da equação 2 5 2 02x x− + = :
2 5 2 0 2
1
2
2x x x ou x− + = ⇒ = =
Assim:
2 5 2 0
1
2
22x x x ou x I− + > ⇒ < > ( )
• A base é maior do que zero e diferente de 1.
x x II
x x III
+ > ⇒ > −
+ ≠ ⇒ ≠ −
2 0 2
2 1 1
( )
( )
A intersecção de (I), (II) e (III) é:
− < < > ≠ −2
1
2
2 1x ou x e x
 82. (FGV – SP) O número de soluções da equação
2 4 42
x x− = +( )log é:
a) zero
b) 1
X c) 2
d) 3
e) 4
Vamos esboçar os gráficos das funções 
y = 2x – 4 e y = log2(x + 4).
Como os gráficos das duas funções se intersectam em dois 
pontos, a equação tem duas soluções.
1
-1
0-1-2-3-4-5 1 2 3 4
y = 2x – 4
y = log2 (x + 4)
5
-2
-3
-4
2
3
4
5
y
Agora, você pode fazer as questões 
109 e 110 da seção Conquista Enem.
1
5
5
9
(I)
(II)
(III)
(I) (II) (III)
9
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 65• •
M
A
T
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
EM13MAT305
Para quais valores de x temos 
log( ) log( )x x− > −1 9 ?
Provavelmente, se tivessem 
que responder à pergunta 
rapidamente, muitos diriam que:
x x
x
x
− > −
>
>
1 9
2 10
5
No entanto, substituindo x 
por 10, temos log log( )9 1> − .
A desigualdade anterior não 
faz sentido, pois o logaritmo de 
9 na base 10 existe no conjunto 
dos números reais, mas o 
logaritmo de –1, não.
Na verdade, o logaritmo de 
–1 é um número imaginário 
e pertence a um conjunto de 
números que não será estudado 
no momento.
Portanto, não é verdade que, 
para todo número maior do que 
5, a desigualdade é verdadeira.
Observe agora a 
desigualdade log log1
2
1
2
2x .
Novamente, uma provável 
conclusão seria de que x 2 . 
Entretanto, para x
1
2
, 
log log1
2
1
2
1
2
1x = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = , 
evidentemente maior do que 
log1
2
2 , que é igual a –1. Mais 
uma vez, a conclusão de que a 
desigualdade é verdadeira para 
todo x < 2 é equivocada. 
Vamos agora resolver as inequações logarítmicas apresentadas 
anteriormente. Para evitar conclusões equivocadas, precisamos levar 
algumas coisas em conta. Acompanhe.
 • log( ) log( )x x− > −1 9
Inicialmente, determinamos as condições de existência de todos os 
logaritmos.
x x I− > ⇒ >1 0 1 ( )
9 0 9− > ⇒ <x x II( )
A função y xlog10 é crescente, pois a base é 10, um número 
maior do que 1.
Assim, se x x2 1 , então log log10 2 10 1x x .
O sentido da desigualdade
é mantido.
log(9 x) x 1 (III)log(x 1) 9 x 2x 10 x 5
Agora, vamos obter a intersecção de (I), (II) e (III). 
Portanto, o conjunto-solução da inequação é S x x= ∈ < <{ | }5 9 . 
As desigualdades anteriores são denominadas inequações logarítmicas. 
Inequações logarítmicas são aquelas que apresentam a incógnita no 
logaritmando ou na base.
2
0
(I)
(II)
(I) (II)
2
66 MATEMÁTICA• •
 • log log1
2
1
2
2x
Condição de existência: x I0 ( )
A função y xlog1
2
 é decrescente, pois a base é 
1
2
, um número entre 0 e 1.
Assim, se x x2 1 , então log log1
2
2 1
2
1x x .
O sentido da
desigualdade
é inver
1
tido
1 1
2 2
1
2 2
.
(II)
log x log 2
log x log 2 x 2
Intersecção de (I) e (II):
O conjunto-solução da inequação é S x x= ∈ >{ | }2 .
Generalizando, temos:
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Qual é o domínio da função definida por y xlog 2 ? 
Solução
Para que y seja real, devemos ter logx2 0 . Antes de resolvermos essa 
inequação, observamos que a condição de existência de log x2 é x2 > 0. Como o 
quadrado de qualquer número real não nulo é positivo, então, para que x2 > 0, 
(I).
log
log log
x
x x x
2
2 2 2
0
1 1 1 0
≥
≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥
A solução dessa última inequação é x ≤ −1 ou x 1 (II). Portanto, de (I) e (II), 
temos que o domínio da função é D x x ou x= ∈ ≤ − ≥{ | }1 1 . 
Solução
a 1>
> ⇔ >
:
log loga ax x x
O sentido da
desigualdade
Èmantido
2 1 2� 	
x1
0 a 1< <
> ⇔ <
:
log loga ax x x
O sentido da
desigualdade
Èinvertido
2 1 2� 	
x1
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 67• •
M
A
T
 83. Resolva as seguintes inequações logarítmicas:
a) log ( )2 6 1x − >
ATIVIDADES
EM13MAT305
b) log ( )1
2
5 10 0x + ≥
Condição de existência: x – 6 > 0 ⇒ x > 6 (I)
A função y xlog2 é crescente.
log ( ) log ( )2 26 2 6 2 8x x x II− > ⇒ − > ⇒ >
De (I) e (II), temos S x x= ∈ >{ | }8 .
c) log ( ) log5 53 4 8x − ≤
Condição de existência: 5x + 10 > 0 ⇒ x > –2 (I)
A função y xlog1
2
 é decrescente. 
log ( ) log ( )1
2
1
2
5 10 1 5 10 1 5 9
9
5
x x x x II+ ≥ ⇒ + ≤ ⇒ ≤ − ⇒ ≤ −
De (I) e (II), temos S x= ∈ − < ≤ −⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
| x2
9
5
.
d) log ( )3
2 16 2x − <
Condição de existência: 3 4 0
4
3
x x I− > ⇒ > ( )
A função y xlog5 é crescente.
log ( ) log ( )5 53 4 8 3 4 8 3 12 4x x x x II− ≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤
De (I) e (II), temos S x= ∈ < ≤⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
| x
4
3
4 .
Condição de existência: x2 – 16 > 0 ⇒ x < –4 ou x > 4 (I)
A função y xlog3 é crescente.
log ( ) log
( )
3
2
3
2 2 216 3 16 9 25 0
5 5
x x x
x II
− < ⇒ − < ⇒ − < ⇒
⇒ − < <
De (I) e (II), temos S x x ou x= ∈ − < < − < <{ | }5 4 4 5
e) log ( ) log ( )1
3
2
1
3
4 5 2 2x x x− − > +
log ( ) log ( )1
3
2
1
3
4 5 2 2x x x− − > +
Condições de existência:
x2 – 4x – 5 > 0 ⇒ x < –1 ou x > 5 (I) 
2x + 2 > 0 ⇒ x > –1 (II)
A função y xlog1
3
 é decrescente.
log ( ) log ( )
(
1
3
2
1
3
2
2
4 5 2 2 4 5 2 2
6 7 0 1 7
x x x x x x
x x x
− − > + ⇒ − − < + ⇒
⇒ − − < ⇒ − < < IIII)
De (I), (II) e (III), temos S x x= ∈ < <{ | }5 7 .
f) (log ) log4
2
42 3 0x x− ⋅ − <
Condição de existência: x > 0 (I)
log4
2 2 3 0 1 3
x y
y y y
=
− − < ⇒ − < <
A função y xlog4 é crescente.
− < < ⇒ < < ⇒ < <−1 3 4 4
1
4
644
1 3log ( )x x x II
De (I) e (II), temos S x x= ∈ < <⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
1
4
64 .
68 MATEMÁTICA• •
 84. Associe cada inequação a seu conjunto-solução.
A. log5 2x
B. log ( ),0 2 1 1x + ≥ −
C. n( ) n( )x x2 210 9+ > +
D. log ( ) log ( )2 21 2 2x x+ + − <
E. log( ) log( )x x x2 6 8 3 2− + ≤ −
( D ) S x x= ∈ < <{ | }2 3
( A ) S x x= ∈ < <{ | }0 25
( E ) S = ∅
( C ) S 
( B ) S x x= ∈ − < ≤{ | }1 4
 85. Resolva a inequação 0 5 0 51 25 1 2510
, ,
log log, ,x . 
Condição de existência de log ,125 x : x > 0 (I) 
0 5 0 5125 125 10, ,log log, ,x
Em uma inequação exponencial em que a base é um número 
entre 0 e 1, o sentido da desigualdade é invertido. 
log log, ,125 125 10x
Em uma inequação logarítmica em que a base é um número 
maior do que 1, o sentido da desigualdade é mantido.
x 10 (II) 
De (I) e (II), temosque o conjunto-solução da inequação é 
S x x= ∈ < ≤{ | }0 10 .
 86. (UEPB) A solução da inequação logarítmica 
log log ( )1
2
1
2
2 3x x+ − > − é
a) S x x= ∈ >{ | }0
b) S x x= ∈ >{ | }4
c) S x x= ∈ < <{ | }0 4
X d) S x x= ∈ < <{ | }2 4
e) S x x= ∈ < <{ | }0 2
Condições de existência:
x > 0 (I)
x – 2 > 0 x > 2 (II)
log ( ) log
(
1
2
1
2
3
2 22
1
2
2 8 2 8 0
2 4
x x x x x x
x III
⋅ − > ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ − < ⇒ − − < ⇒
⇒ − < <
−
))
De (I), (II) e (III), temos S x= ∈ < <{ | x }2 4 .
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
 87. (UFAM) Resolvendo em a inequação 
log ( ) log ( )25
2
25 2 10x x x− > + deve-se obter como solução (S):
X a) S x x ou x= ∈ − < < − >{ | }5 2 5 
b) S x x ou x= ∈ − < < >{ | }5 0 1 
c) S x x ou x= ∈ < − >{ | }2 5 
d) S x x= ∈ − < <{ | }5 5
e) S = ∅
 88. (FUVEST – SP) Seja
f x x x( ) log ( ) log ( )= + − −3 33 4 2 1 . 
Os valores de x, para os quais 
f está definida e satisfaz 
f x( ) 1 , são: 
a) x
7
3
b) 
1
2
x
X c) 
1
2
7
3
x
d) − <
4
3
x
e) − < <
4
3
1
2
x
f(x) > 1
log ( ) log ( )3 33 4 2 1 1x x+ − − >
Condições de existência:
3x + 4 > 0 x > −
4
3
 (I)
2x – 1 > 0 x
1
2
 (II)
A função y xlog3 é crescente.
log ( ) log ( ) log log3 3 3 33 4 2 1 1
3 4
2 1
3
3 4
2 1
x x
x
x
x
x
+ − − > ⇒
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ > ⇒
+
−
> 33
Como 3x + 4 e 2x – 1 devem ser positivos, temos:
3 4
2 1
3 3 4 6 3 3 7 3 7
7
3
x
x
x x x x x III
+
−
> ⇒ + > − ⇒ − > − ⇒ < ⇒ < ( )
De (I), (II) e (III), temos S x x= ∈ < <⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
|
1
2
7
3
.
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 69• •
M
A
T
 89. (PUCPR) Sabendo que a desigualdade 
log , log ,( ) ( )3 5 3 50 6 0 7− −>x x é verdadeira, então: 
a) x 1
b) x 1
X c) 0 4 0 6, ,x
d) 0 6 0 7, ,x
e) 0 7 1, x
 90. (UNICAMP – SP) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções 
A t t( ) log ( )= +8
61 e B t t( ) log ( )= +2 4 4 , onde a variável t representa o tempo em anos.
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7?
TEMA 
QUENTE
Como 0 6 0 7, , e a desigualdade é verdadeira, a função 
associada deve ser decrescente, ou seja, a base deve estar 
entre 0 e 1.
0 3 5 1< − <x
Subtraímos 3 unidades de todos os membros:
0 3 5 1 3
3 5 2
− < − < −
− < − < −
x
x
Dividimos todos os membros por –5. Nesse caso, os sentidos 
das desigualdades se invertem.
−
−
>
−
−
>
−
−
⇒ > >
3
5
5
5
2
5
0 6 0 4
x
x, ,
Reescrevendo em ordem crescente, temos:
0 4 0 6, ,x
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.
A
A
( ) log ( ) log log
( ) log ( ) log
1 1 1 2 64 2
7 1 7 8 6
8
6
8
6
8
8
6
8
6
= + = = =
= + = =
B
B
( ) log ( ) log
( ) log ( ) log
1 4 1 4 8 3
7 4 7 4 32 5
2 2
2 2
= ⋅ + = =
= ⋅ + = =
Assim, as populações da cidade A nos instantes t = 1 e t = 7 
são, respectivamente, 2 000 e 6 000 habitantes, e da cidade B, 
3 000 e 5 000 habitantes.
TEMA 
QUENTE
Vamos determinar o instante em que A(t) = B(t).
log ( ) log ( )
log ( )
log
log ( )
log (t
8
6
2
2
6
2
2
2
1 4 4
1
8
4 1
6 1
+ = +
+
= ⋅ +
⋅ +
t t
t
t
))
log (t )
log (t ) log (t )
log (t )
3
2 1
2 1 2 1
1 2 2 1
2
2 2
2
2
= + +
⋅ + = + +
+ = ⇒ = + ⇒t t == 3
Do item anterior, observemos que, para t = 1, a população 
de A é menor do que a de B, enquanto, para t = 7, ocorre o 
oposto. Portanto, após o instante t = 3, a população de A é 
sempre maior do que a população de B.
 91. Determine os valores de x que tornam verdadeira a desigualdade a seguir. 
log (log )1
4
4 1x
Condição de existência de log4 x:
x > 0 (I)
Condição de existência de log (log )1
4
4 x :
log log log ( )4 4 40 1 1x x x II> ⇒ > ⇒ >
A função y xlog4 é crescente e a função y xlog1
4
 é 
decrescente.
log (log ) log (log ) log log
log log
1
4
4 1
4
4 1
4
4
4 4
1
1
1
4
1
4
4
x x x
x
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒
⇒ ≤ 44
1
4 44 4 2⇒ ≤ ⇒ ≤ =x x III( )
De (I), (II) e (III), temos S x x= ∈ < ≤{ }|1 2 .
70 MATEMÁTICA• •
ANÁLISE DO ERRO
Considere a questão a seguir.
ENEM A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do 
solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo 
alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada 
comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se 
que pH = –log10x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H+).
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo 
que x assuma
a) qualquer valor acima de 10–8.
b) qualquer valor positivo inferior a 10–7.
c) valores maiores que 7 e menores que 8.
d) valores maiores que 70 e menores que 80.
e) valores maiores que 10–8 e menores que 10–7.
Um estudante resolveu a questão da seguinte maneira:
A flor de maior valor comercial é produzida quando a cor é rosa e o pH é inferior a 8. 
A cor é rosa para pH > 7.
Portanto: 7 < pH < 8.
A resposta correta é a alternativa c. 
Qual foi o erro que o estudante cometeu?
A resposta do estudante não é a correta! Ele confundiu o que o enunciado pede, que é o valor de x, 
com o valor do pH do solo.
Note que o estudante não usou a definição de pH indicada no enunciado, que é pH = –log10x.
Ele concluiu corretamente que: 7 < pH < 8
No entanto, em seguida, deve-se aplicar a definição de pH:
7 < –log10x < 8
Como o logaritmo tem um sinal negativo, multiplicamos toda a expressão por –1 e invertemos o 
sentido da desigualdade:
–7 > log10x > –8
Como a base do logaritmo é maior do que 1, a função é crescente, então temos a seguinte 
propriedade para a desigualdade: 
log10y > 5 y > 105
Assim, podemos escrever que: 
–7 > log10x > –8 10–7 > x > 10–8
Conclusão: para que a flor tenha o maior valor comercial, x deve assumir valores maiores do que 
10–8 e menores do que 10–7. 
e.
Qual foi o erro quqq e o estudante cometeu?
v
©Shutterstock/PurpleBird
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Sh
ut
te
rs
to
ck
/Ig
or
 S
ho
sh
in
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 71• •
M
A
T
Os logaritmos podem nos fornecer importantes 
informações sobre os números muito grandes. 
Quantos algarismos tem o número 2100?
Antes de respondermos a essa pergunta, observe 
os seguintes logaritmos:
log ,
log , ,
log , ,
log ,
2 0 3010
28 75 1 4586
350 2 2 5443
6174 3 7905
O número 2 tem um algarismo, e a parte inteira 
de log ,2 0 3010 é 0.
A parte inteira de 28,75 tem dois algarismos, e a 
parte inteira de log , ,28 75 1 4586 é 1.
A parte inteira de 350,2 tem três algarismos, e a 
parte inteira de log , ,350 2 2 5443 é 2.
parte inteira de log ,6 174 3 7905 é 3.
Nesses exemplos, a quantidade de algarismos 
da parte inteira de um número é uma unidade maior 
do que a parte inteira de seu logaritmo. Podemos 
generalizar esse fato para qualquer número real 
igual ou superior a 1.
FIQUE POR DENTRO
Se a parte inteira de um número N 1 tem x + 1 
algarismos, então:
10 10 1x xN≤ < +
Calculando o logaritmo na base 10 de cada um 
dos termos:
log log log
log
10 10
1
1x xN
x N x
≤ <
≤ < +
+
Assim, a parte inteira de log N é x.
Vamos voltar ao número 2100. Inicialmente, 
calculamos seu logaritmo: log log2 100 2100 = ⋅
Como o logaritmo de 2 é aproximadamente 
igual a 0,3010, temos:
log , ,2 100 0 3010 30 1100 ⋅ =
Portanto, como a parte inteira de log2100 é 30, 
podemos afirmar que 2100 é um número com 31 
algarismos.
Se dispusermos de uma calculadora científica, 
o procedimento descrito será desnecessário, pois 
podemos obter diretamente o resultado de uma 
potência qualquer em notação científica. Por exemplo, 
obtemos a aproximação 2 1 2676506 10100 30= ⋅, , que 
nos possibilita concluir diretamente que se trata de 
um número com 31 algarismos.
CURIOSIDADE
Antigamente, quando as calculadoras científicas não eram acessíveis à maioria das pessoas, utilizavam-se réguas 
de cálculoque, entre outras funcionalidades, possibilitavam obter valores aproximados para os logaritmos dos 
números. Assim, em vez de multiplicar dois números grandes, bastava encontrar seus logaritmos, somá-los e depois 
verificar o número correspondente a essa soma. Para fazer esse tipo de operação, era necessário que a pessoa 
dominasse muito bem as propriedades dos logaritmos.
72 MATEMÁTICA• •
ORGANIZE AS IDEIAS
Neste capítulo, estudamos as funções exponencial e logarítmica. 
Com base no que aprendeu, complete as tabelas a seguir com as informações corretas.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
 • Em uma função exponencial, a variável independente aparece sempre no expoente . 
 • Em uma função exponencial , é necessário estabelecer restrições para a base. A base a deve ser maior do que zero 
e diferente de 1 .
 • Se , a função exponencial é crescente . 
 • Se , a função exponencial é decrescente.
 • Na igualdade , com e , podemos concluir que , pelo fato de a função exponencial 
ser injetora . 
 • Em uma inequação exponencial, o sentido da desigualdade é mantido se , ou seja, implica 
 , da mesma forma que implica .
 • Em uma inequação exponencial, o sentido da desigualdade é invertido se , ou seja, implica 
 , da mesma forma que implica .
LOGARITMOS
Definição
 
Consequências da definição
 1 
 0 
 n 
Logaritmo de um produto
 
Logaritmo de um quociente
 
Logaritmo de uma potência
 
Mudança de base
 
0 1a
x x1 2
x x2 1 x x2 1
x x2 1 x x2 1
loga
xb x a b= ⇔ = (a > 0, b > 0 e a ≠ 1)
loga a
loga 1
loga
na
y ax
log ( ) log loga a ab c b c⋅ = +
log log loga a a
b
c
b c⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
log loga ab bα α= ⋅
log
log
loga
c
c
b
b
a
a 1 y ax
y ax
a ax x1 2 a 0 a 1 y ax
a 1 a ax x2 1
a ax x2 1
0 1a a ax x2 1
a ax x2 1
 b = c 
 b a a blog
log loga ab c= ⇔
M
A
T
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 73• •
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 92. (FPS – PE) Foram 
injetadas 20 gramas de 
medicamento em uma 
pessoa. É sabido que, a cada 
período de 6 horas, metade da quantidade do 
medicamento é eliminada naturalmente pelo 
organismo. Qual a quantidade de medicamento 
presente no organismo, 3 horas depois da 
aplicação? Dado: use a aproximação 2 1 4, .
a) 12 gramas
b) 13 gramas
X c) 14 gramas
d) 15 gramas
e) 16 gramas
 93. ENEM Suponha que o modelo exponencial 
y x363 0 03e , , em que x = 0 corresponde ao 
ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e 
assim sucessivamente, e que y é a população 
em milhões de habitantes no ano x, seja usado 
para estimar essa população com 60 anos ou 
mais de idade nos países em desenvolvimento 
entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando 
e0 3 1 35, , , estima-se que a população com 
60 anos ou mais estará, em 2030, entre
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
X e) 870 e 910 milhões.
 94. (UNIOESTE – PR) Uma 
colônia de bactérias A 
cresce segundo a função 
A t t( )= ⋅2 4 e uma colônia 
B cresce segundo a função 
B t t( )= ⋅32 2 , sendo t o tempo em horas. De 
acordo com estas funções, imediatamente após 
um instante t’, o número de bactérias da colônia 
A é maior que o número de bactérias da colônia 
B. Pode-se afirmar então que
a) t’ é um número ímpar.
b) t’ é divisível por 3.
X c) o dobro de t’ é maior que 7.
CONQUISTA ENEM
EM13MAT304, EM13MAT305
d) t’ é maior que 15.
e) t’ é múltiplo de 5.
 95. (UCS – RS) Ao estudar o 
processo de reprodução em 
uma cultura de bactérias, um 
grupo de biólogos, a partir 
de dados experimentais 
coletados em um determinado período de 
tempo, concluiu que o número aproximado de 
indivíduos, N, em função do tempo t em horas, 
é dado por N t t( ) ,= ⋅50 20 3 .Dessa forma, a cultura terá 3 200 indivíduos depois de
a) 12 horas.
X b) 20 horas.
c) 15 horas.
d) 23 horas.
e) 18 horas.
 96. (UFSCAR – SP) Para estimar a área da figura ABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB é parte da representação gráfica da função f x x( ) 2 , João demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que “plota” pontos aleatoriamente no interior desse retângulo.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Sabendo que dos 1 000 pontos “plotados”, apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a
X a) 4,32
b) 4,26
c) 3,92
d) 3,84
e) 3,52
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
O D=2 x
y
C B
A
74 MATEMÁTICA• •
 97. (FUVEST – SP) Uma 
substância radioativa sofre 
desintegração ao longo do 
tempo, de acordo com a 
relação m t ca kt( )= − , em que a é um número 
real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa 
da substância em gramas e c, k são constantes 
positivas. 
Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram 
reduzidos a 20% em 10 anos.
A que porcentagem de m0 ficará reduzida a 
massa da substância em 20 anos?
a) 10%
b) 5%
X c) 4%
d) 3%
e) 2%
 98. ENEM Dentre outros objetos de pesquisa, a 
Alometria estuda a relação entre medidas 
de diferentes partes do corpo humano. Por 
exemplo, segundo a Alometria, a área A da 
superfície corporal de uma pessoa relaciona-se 
com a sua massa m pela fórmula A k= ⋅m
2
3 , em 
que k é uma constante positiva. 
Se no período que vai da infância até a 
maioridade de um indivíduo sua massa 
é multiplicada por 8, por quanto será 
multiplicada a área da superfície corporal?
a) 163
X b) 4
c) 24
d) 8
e) 64
 99. ENEM Uma equipe de cientistas decidiu 
iniciar uma cultura com exemplares de uma 
bactéria, em uma lâmina, a fim de determinar o 
comportamento dessa população. Após alguns 
dias, os cientistas verificaram os seguintes 
fatos:
 • a cultura cresceu e ocupou uma área com o 
formato de um círculo;
 • o raio do círculo formado pela cultura de 
bactérias aumentou 10% a cada dia;
 • a concentração na cultura era de 1 000 
bactérias por milímetro quadrado e não 
mudou significativamente com o tempo. 
Considere que r representa o raio do círculo no 
primeiro dia, Q a quantidade de bactérias nessa 
cultura no decorrer do tempo e d o número de 
dias transcorridos.
Qual é a expressão que representa Q em função 
de r e d?
a) Q r= −( ( , ) )10 1 13 1 2d π 
X b) Q r= ( )−10 1 13 1
2
( , )d π
c) Q r= −( )10 1 1 13 2
, ( )d π
d) Q r= × −2 10 1 13 1( , )d π
e) Q r= × −2 10 1 1 13( , ( ) )d π
 100. (UFAM) O valor (em reais) de 
um veículo varia, após x anos, 
segundo a lei definida por 
d x v x( ) ,= ⋅ −
0
0 22 , onde v0
 é 
uma constante real. Sabendo 
que após 5 anos esse veículo estará valendo 
R$ 30.000,00, então o valor desse veículo após 
15 anos deve ser:
a) R$ 4.000,00
b) R$ 5.000,00
c) R$ 6.000,00
X d) R$ 7.500,00
e) R$ 10.000,00
 101. (UFPB) O total de indivíduos, 
na n-ésima geração, de 
duas populações P e Q, é 
dado, respectivamente, por 
P n n( ) 4 e Q n n( ) 2 . Sabe-
-se que, quando 
P n
Q n
( )
( )
1024, a população Q 
estará ameaçada de extinção. Com base nessas 
informações, essa ameaça de extinção ocorrerá 
a partir da
X a) décima geração.
b) nona geração.
c) oitava geração.
d) sétima geração.
e) sexta geração.
 102. (UNICATÓLICA – TO) Um reservatório de 
água possui um vazamento, através de um 
orifício. Um estudo indicou que o modelo 
para descrever o vazamento é dado por 
f x x( )= −512 2 , onde f é o volume de água 
existente no reservatório, em m3, após x horas 
de vazamento. Assinale a alternativa correta:
a) x pode assumir qualquer valor real.
b) x pode assumir qualquer valor maior ou 
igual a zero.
X c) O reservatório ficará vazio após 9 horas de 
vazamento.
d) O reservatório ficará vazio após 6 horas de 
vazamento.
e) Antes de começar a vazar, o reservatório 
possuía 512 m3 de água.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
M
A
T
5. FUNÇÕES EXPONENCIAIS ELOGARÍTMICAS 75• •
 103. (UEFS – BA) Considerando--se que, sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, pode ser dado pela função 
N t t t( )= − ⋅ +9 2 3 3, t 0, pode-se estimar que o tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 678 colônias é de
a) 2 horas.
X b) 3 horas.
c) 4 horas.
d) 5 horas.
e) 6 horas.
 104. ENEM Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidade de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (MS) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.
Para calcular a magnitude local, usa-se a fórmula MS = 3,30 + log (A ⋅ f), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (μm) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 000 μm e frequência de 0,2 Hz.
Disponível em http://cejarj.cejarj.edu.br. 
Acesso em: 1 fev 2015 (adaptado).Utilize 0,3 como aproximação para log 2.De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como
a) Pequeno.
b) Ligeiro.
X c) Moderado.
d) Grande.
e) Extremo.
 105. ENEM A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, 
neutra, alcalina ou muito alcalina, dependendo de seu pH, dado pela expressão
pH
H
log10
1 ,em que H é a concentração de íons de hidrogênio, em mol por decímetro cúbico. A classificação da água de acordo com seu pH é mostrada no quadro.
Para o cálculo da concentração H, uma distribuidora mede dois parâmetros A e B, em cada fonte, e adota H como sendo o quociente de A por B. Em análise realizada em uma fonte, obteve A = −10 7 e a água dessa fonte foi classificada como neutra.O parâmetro B, então, encontrava-se no intervalo
a) − −( ⎤
⎦10 1014 5 13, , 
b) 10 10
6
7 1, −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎞
⎠
⎟
⎟ 
X c) 10 101
1
2−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎞
⎠
⎟
⎟
, 
d) 10 1013 14 5, , ⎡
⎣ ) 
e) 10 106 10 7 5 107 7× ×⎡
⎣ ), , 
 106. (UCB – DF) Durante o desenvolvimento de determinado fármaco, testes laboratoriais indicam que a quantidade desse fármaco presente na corrente sanguínea decai exponencialmente à taxa de 20% por hora. Nessas condições, e considerando log ,10 2 0 301, qual é a melhor aproximação para a meia-vida do fármaco?
a) 2 h 54 min
b) 3 h 00 min
X c) 3 h 06 min
d) 3 h 12 min
e) 3 h 18 min
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
76 MATEMÁTICA• •
 107. ENEM Em setembro de 1987, Goiânia foi palco 
do maior acidente radioativo ocorrido no 
Brasil, quando uma amostra de césio-137, 
removida de um aparelho de radioterapia 
abandonado, foi manipulada inadvertidamente 
por parte da população. A meia-vida de um 
material radioativo é o tempo necessário 
para que a massa desse material se reduza à 
metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a 
quantidade restante de massa de um material 
radioativo, após t anos, é calculada pela 
expressão M t A( ) ( , )= ⋅ 2 7 kt , onde A é a massa 
inicial e k é uma constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que 
uma quantidade de massa do césio-137 se 
reduza a 10% da quantidade inicial?
a) 27
b) 36
c) 50
d) 54
X e) 100
 108. ENEM Um jardineiro cultiva plantas ornamen- 
tais e as coloca à venda quando estas atingem 
30 centímetros de altura. Esse jardineiro 
estudou o crescimento de suas plantas, em 
função do tempo, e deduziu uma fórmula 
que calcula a altura em função do tempo, a 
partir do momento em que a planta brota do 
solo até o momento em que ela atinge sua 
altura máxima de 40 centímetros. A fórmula 
é h t = +( )5 12∑log , em que t é o tempo 
contado em dia e h, a altura da planta em 
centímetro.
A partir do momento em que uma dessas 
plantas é colocada à venda, em quanto tempo, 
em dia, ela alcançará sua altura máxima?
a) 63
b) 96
c) 128
X d) 192
e) 255
 109. ENEM Um contrato de empréstimo prevê 
que quando uma parcela é paga de forma 
antecipada, conceder-se-á uma redução de 
juros de acordo com o período de antecipação. 
Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o 
valor, naquele momento, de uma quantia que 
deveria ser paga em uma data futura. Um valor 
presente P submetido a juros compostos com 
taxa i, por um período de tempo n, produz um 
valor futuro V determinado pela fórmula
V P= ⋅ +( )1 i n
Em um contrato de empréstimo com sessenta 
parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma 
taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a 
trigésima parcela será paga antecipadamente 
uma outra parcela, desde que o desconto seja 
superior a 25% do valor da parcela. 
Utilize 0,2877 como aproximação para ln
4
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
e 0,0131 como aproximação para In(1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser 
antecipada junto com a 30.ª é a
a) 56 . a
b) 55. . a
X c) 52. . a
d) 51. a
e) 45. . a
 110. ENEM A Escala de Magnitude de Momento 
(abreviada como MMS e denotada como MW), 
introduzida em 1979 por Thomas Haks e 
Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter 
para medir a magnitude dos terremotos em 
termos de energia liberada. Menos conhecida 
pelo público, a MMS é, no entanto, a escala 
usada para estimar as magnitudes de todos 
os grandes terremotos da atualidade. Assim 
como a escala Richter, a MMS é uma escala 
logarítmica. MW e M0 se relacionam pela 
fórmula:
M MW 0= − +10 7
2
3
10, log ( )
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente 
estimado a partir dos registros de movimento 
da superfície, através dos sismogramas), cuja 
unidade é o dina · cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 
de janeiro de 1995, foi um dos terremotos 
que causaram maior impacto no Japão e na 
comunidade científica internacional. Teve 
magnitude MW 7 3, . 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://
earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível 
em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Mostrando que é possível determinar a medida 
por meio de conhecimentos matemáticos, qual 
foi o momento sísmico M0 do terremoto de 
Kobe (em dina · cm)?
a) 10 5 10,
b) 10 0 73,
c) 1012 00,
d) 1021 65,
X e) 1027 00,
6
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/D
oe
rs
DOBRE NA LINHA PONTILHADA
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/D
oe
rs
 Identificar funções 
definidas por mais de uma 
sentença e relacionar suas 
representações algébrica e 
gráfica. 
 Reconhecer intervalos de 
crescimento e decrescimento 
em funções representadas por 
mais de uma sentença. 
 Compreender o significado do 
módulo de um número real. 
 Interpretar o significado 
de expressões algébricas 
envolvendo o uso de módulos 
na representação de funções, 
equações e inequações.
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
FUNÇÃO Ã
M RRR
78 MATEMÁTICA• •8
FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS 
EM13MAT404
FUNÇ
EM13MAT404
6
Base de cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir (R$)
Até 1.903,98 — —
De 1.903,99 até 2.826,65 7,5 142,80
De 2.826,66 até 3.751,05 15 354,80
De 3.751,06 até 4.664,68 22,5 636,13
Acima de 4.664,68 27,5 869,36
O dinheiro que o governo de um país utiliza para pagar 
funcionários e realizar obras vem, em geral, dos impostos. No Brasil, 
entre outros tributos, os cidadãos pagam um imposto sobre os 
rendimentos do seu trabalho, o chamado imposto de renda.
Esse imposto é pago apenas por quem recebe acima de 
determinado valor, mas a cobrança já é feita na própria folha mensal 
de pagamento, seguindo uma tabela que é atualizada periodicamente.
Em 2020, a tabela do imposto de renda retido na fonte (IRRF) 
apresentava os seguintes valores:
B
Podemos representar os valores discriminados 
na tabela do IRRF em uma função que relaciona o 
valor do rendimento ao imposto a ser pago.
Por exemplo, uma pessoa cujo salário é de 
R$ 1.830,00 não paga imposto:
f(1 830) = 0
Uma pessoa que recebe R$ 2.000,00 paga 7,5% 
de imposto:
7 5 2 000 0 075 2 000 150, % ,de = ⋅ =
A coluna da direita mostra o valor que deve ser 
subtraídodo imposto calculado. O resultado é o 
imposto a pagar.
150,00 – 142,80 = 7,20
Assim, f(2 000) = 7,20
O valor a deduzir faz com que não haja “saltos” 
na cobrança do imposto quando você passa de uma 
faixa de salário para a outra.
Assim, o valor do IRRF a ser pago (valor 
representado por f) em função dos rendimentos 
(valor representado por x) é um exemplo de função 
que é definida por várias sentenças.
f x
x
x
se x
se x
( )
,
, , ,
,
,
, ,
=
−
−
≤
< ≤
0
0 075 142 8
0 15 35
1 903 98
1 903 98 2 826 65
44 8
0 225 636 13
0
2 826 65 3 751 05
3 751 05 4 664 68
, ,
, , ,
, ,
, ,
se x
se xx
< ≤
< ≤−
,, , , ,275 869 36 4 664 68x se x−
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪ >
Observe o gráfico dessa função (as escalas 
foram alteradas para facilitar a visualização). 
f
y
x
0
100
500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000
200
300
400
500
600
©
Sh
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ck
/M
ar
ce
lo
 R
ic
ar
do
 D
ar
os
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 79• •
EXEMPLO RESOLVIDO
O gráfico da função é formado por segmentos de gráficos de 
funções afim, cada um correspondendo a um intervalo de valores de x.
Observe mais um exemplo de função definida por mais de uma 
sentença. 
Seja g : tal que: g x
x se x
x se x
( )
,
,
=
− − ≤
− >
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
4 0
4 02
O gráfico de g(x) é mostrado a seguir. 
x
y
10–1
–1
1
2
3
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5 2 3 4 5
g
Considerando a função f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
+ ≤
>
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1 1
2 12 , calcule os valores 
de f(–2) e f(2) e esboce o gráfico de f(x).
Solução
Para x = –2, usamos a primeira sentença:
f( ) ( )− = − + = −2 2 1 1 
Para x = 2, usamos a segunda sentença:
f( )2 2 2 2 4 82= ⋅ = ⋅ = 
O gráfico da função é apresentado ao lado.
y
x
5 10–5 0
5
–5
10
15
f
O domínio dessa função é o conjunto dos números reais.
O conjunto-imagem é Im( ) { | }f y y= ∈ ≥ −4 .
A função é decrescente em ] , ]− ∞ 0 . 
A função é crescente em [ , [0 + ∞ . 
Uma função é definida 
por mais de uma sentença 
quando cada uma delas está 
associada a um subdomínio 
D1, D2, ... Dn e a união desses 
n subconjuntos forma o 
domínio da função original.
Soluçãççç o
M
A
T
ule os valores 
ais.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
on
g_
Ab
ou
t_
Su
m
m
er
80 MATEMÁTICA• •
 1. Observe o gráfico da função f : e responda às questões a seguir. 
f x
x se x
x se x
se x
( )
,
,
,
=
+ ≤ −
− + − < ≤
>
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1 2
3 2 1
2 1
2
a) g(0)
ATIVIDADES
EM13MAT404
1
y
x
0
1
–1
–2
–3
–4
2
3
4
–1–2–3–4 2 3 4
(1, 2)
(–2, –1)
f
a) Qual é o domínio dessa função?
b) Qual é o conjunto-imagem de f?
c) Quantos e quais são os zeros dessa função?
D(f) = 
Im( ) ,f = −∞] ] 3 
Apenas um zero em ( , )3 0 . É o único ponto em que o gráfico 
corta o eixo das abscissas, ou seja, em que –x2 + 3 = 0.
d) Em que intervalo do domínio a função é positiva?
− + ∞⎡
⎣
⎡
⎣3,
g( )0
0
2
1 0 1 1= − + = + =
g( ) ( ) ( )− = − + − − = − − =4 4 4 2 16 4 2 102
g( ) ( ) ( )− = − + − − = − − =2 2 2 2 4 2 2 02
g( )
,
, ,0
0 5
2
1 0 25 1 0 75= − + = − + =
1–1
–1
1
2
3
4
5
x
y
–2
–3
–4
–5
0–2–3–4–5 2 3 4 5
g
1–1
–1
1
2
3
4
5
x
y
–2
–3
–4
–5
0–2–3–4–5 2 3 4 5
f
b) g(–4)
c) g(–2)
d) g(0,5)
b) g x
x se x
x se x
se x
( )
,
,
,
=
− ≤
− < ≤
− >
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2 0
0 2
2 2
 
 2. Dada a função a seguir, calcule o valor de g(x) em cada caso.
g x
x x se x
x
se x
( )=
+ − ≤ −
− + > −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2 2
2
1 2
 
 3. Construa os gráficos das funções a seguir.
a) f x
se x
x se x
se x
( )
,
,
,
=
− ≤ −
− < ≤
− >
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3 1
1 3
1 3
 
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 81• •
 4. (UNICAMP – SP) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. Para um consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água. 
a) Esboce o gráfico da função c(x) no plano cartesiano para x entre 0 e 30. 
 5. (FGV – SP) A evolução mensal do número de sócios de uma revista de Matemática durante o ano de 2015 está expressa pela função: 
f x
x x x
x
x x x
( )
( )
( ) ( )
=
− − ≤ ≤
< ≤
+ − ⋅ − < ≤
⎧
⎨
100 4 1 4
100 4 9
100 9 12 9 12
se
se
se
⎪⎪
⎩
⎪
 
em que x = 1 representa janeiro de 2015, x = 2 representa fevereiro de 2015, e assim por diante. 
a) Faça um esboço do gráfico da função. Qual foi o maior número de sócios nesse período? 
De acordo com o gráfico, o maior número de sócios foi 104, e 
ocorreu em fevereiro de 2015.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
x
c
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5 10 15 20 25 300
c
b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico? E para um consumo mensal de 25 metros cúbicos?
O preço unitário por metro cúbico é igual ao preço cobrado 
dividido pela quantidade em metros cúbicos:
c
reais por m
( )4
4
20
4
5 3
 
c
reais por m
( )
,
25
25
80
25
3 20 3
Agora, você pode fazer as questões 
35 e 36 da seção Conquista Enem.
x0
98
100
103
104
1 2 3 4 9 10 11 12
y
f
b) Qual foi a média aritmética do número de sócios nos doze meses de 2015?
A média aritmética durante o ano de 2015 foi: 
2 103 104 6 100 2 98 100
12
100 5
⋅ + + ⋅ + ⋅ +
= ,
 6. Represente graficamente no plano cartesiano a função: 
P( )t t t t
t t
= − + ≤
− >
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 4 10 4
12 4
se
se
 
a) Se a função P(t), em centenas de reais, com 
0 8t , expressa o preço de um produto depois de estar t anos no mercado, qual foi o preço máximo alcançado pelo produto? 
b) Qual foi o menor preço alcançado pelo produto nesse período de 8 anos?
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/D
an
ie
l P
ru
de
k
82 MATEMÁTICA• •
400
200
0
–200
–400
Altitude
negativa
Altitude
positiva
Nível médio das
águas do mar
Dado um número real x, o 
módulo ou valor absoluto de x é 
representado por x e definido 
como:
x
x se x
x se x
=
≥
− <
⎧
⎨
⎩
,
,
0
0
FUNÇÃO MODULAR 
Módulo de um número real 
O ponto mais alto do nosso planeta é o Monte 
Everest, com altitude de 8 848 m. Nos oceanos, o 
ponto mais profundo é a fossa das Marianas, que 
chega a 10 984 metros abaixo do nível do mar. E, 
curiosamente, o Mar Morto, que fica na Ásia, está 
localizado a cerca de 400 m abaixo do nível do mar.
Essas medidas se referem à altitude desses 
pontos em relação ao nível médio das águas do 
mar. A altitude de um ponto pode ser positiva ou 
negativa.
Assim, as altitudes dos lugares citados acima são:
 • pico do Monte Everest: +8 848 m
 • fossa das Marianas: –10 984 m
 • Mar Morto: –400 m
A representação da altitude sem o sinal é a mais 
comum. Em geral, apenas indicamos o valor absoluto 
da medida, e o contexto mostra se ela está acima ou 
abaixo do nível do mar.
O valor absoluto de um número real é também 
chamado de módulo desse número.
Isso quer dizer que o módulo de um número real 
positivo é igual ao próprio número, ao passo que 
o módulo de um número real negativo é o oposto 
desse número. O módulo de zero é o próprio zero. 
A propósito, ao contrário do que algumas pessoas 
podem pensar, quando escrevemos que x x= − , 
para x menor do que zero, não estamos dizendo 
que o módulo de x é negativo, pois isso seria um 
absurdo. O sinal de menos antes de x indica seu 
oposto, que, nesse caso, é um número positivo. 
Exemplos:
 • 200 200
 • − = − −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
3
4
3
4
3
4
 • 0 0
 • 0 15 0 15, ,
 • − = − − =6 6 6( )
 • − = − −( ) =2 2 2
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 83• •
Na reta real, o módulo de um número real qualquer corresponde à distância entre o 
ponto associado a esse número e a origem. 
Assim, temos:
− =3 5 3 5, , (A distância entre o ponto associado a –3,5 e a origem é 3,5)
5 5 (A distância entre o ponto associado a 5 e a origem é 5)
3,5 unidades
–3,5 0 √5
√5 unidades
EXEMPLOS RESOLVIDOS
a) Para quais valores de x temos x 6 ?Solução
Como o módulo de um número corresponde à distância entre o ponto 
da reta a ele associado e a origem, existem dois números que distam 6 
unidades da origem: 6 e –6. Portanto, x 6 para x = 6 ou x = –6. b) Existe algum valor de x tal que x = −3 ? Justifique sua resposta.
Solução
Como não faz sentido que uma distância seja negativa, não existe valor de x 
tal que seu módulo seja igual a –3.
c) Observe as seguintes igualdades:
4 16 4
8 64 8
2
2
= =
− = =( )
 • Para quais valores de x é verdadeira a igualdade x x2 ? 
Solução 
A igualdade é verdadeira para todo x 0.
 • Para quais valores de x é verdadeira a igualdade x x2 = − ? 
Solução
A igualdade é verdadeira para todo x 0 . 
 • É possível escrever uma única igualdade com x2 que seja verdadeira 
para todo x real? 
Solução
Sim, x x2 .
d) Calcule o valor de − − + − − −0 8 0 2 0 2 0 8, , , , .
Solução
Mais informações sobre esses 
exemplos no Manual digital.
− − + − − − =
= − + − − − =
0, , , ,
, , , ,
8 0 2 0 2 0 8
0 8 0 2 0 2 0 8
= + − − − =
= +
, , ,
,
0 6 0 2 0 8
0 6 00 2 0 8 0, ,− =
Soluçãççç o
Soluçãçç o
Solução
Soluçãçç o
Soluçãçç o
Solução
84 MATEMÁTICA• •
Utilizando a definição de módulo de um número real, podemos escrever expressões como x 3 ou 
x x+ + −1 4 de maneira explícita. Observe:
 • x 3
Inicialmente, tomamos a função definida por y x= − 3 e analisamos seu sinal.
PARA SABER MAIS
y = x – 3
3
+++++++++++
– – – – – – – – –
A função y x= − 3 assume valores negativos para x 3 , é nula para x = 3 e assume valores positivos para 
x 3.
De acordo com o sinal de y x= −3, temos:
x
x se x
x se x
− =
− ≥
− + <
⎧
⎨
⎩
3
3 3
3 3
,
,
 • x x+ + −1 4
Da mesma forma, escrevemos as funções y x= + 1 e y x= − 4 e analisamos os sinais dessas funções.
y = x + 1
y = x – 4
–1
4
+++++
– – – – – – – – – – –
+++++++++++++
– – – – –
Os zeros das duas funções delimitam três 
intervalos distintos.
 • x x e x
x x x e x x x
x x x
< − ⇒ + < − <
+ = − + = − − − = − − = − +
+ + − = − −
1 1 0 4 0
1 1 1 4 4 4
1 4
( ) ( )
11 4 2 3+ − + = − +( )x x
 • − ≤ < ⇒ + ≥ − <
+ = + − = − − = − +
+ + − = + + − +
1 4 1 0 4 0
1 1 4 4 4
1 4 1 4
x x e x
x x e x x x
x x x x
( )
( )) = 5
 • x x e x
x x e x x
x x x x x
≥ ⇒ + > − ≥
+ = + − = −
+ + − = + + − = −
4 1 0 4 0
1 1 4 4
1 4 1 4 2 3
Portanto:
x x
se x
se x
se x
+ + − =
− + < −
− ≤ <
− ≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1 4
2 3 1
5 1 4
2 3 4
x ,
,
x ,
Observe que, como para x 4 a expressão é 
igual a 2 4 3 5⋅ − = , a soma dos módulos é constante 
e igual a 5 no intervalo − ≤ ≤1 4x .
Escrever uma expressão modular de maneira 
explícita torna mais simples a construção do gráfico 
de funções modulares, que estudaremos em seguida.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
nd
re
w
 K
ra
so
vi
tc
ki
i
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 85• •
 13. (UFRN) Um posto de gasolina encontra-se localizado no quilômetro 100 de uma estrada retilínea. Um automóvel parte do quilômetro 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindo-se a uma cidade a 250 km do ponto de partida. Num dado instante, x denota a distância (em quilômetros) do automóvel ao quilômetro 0. Nesse instante, a distância (em quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é
 7. Calcule o valor de cada expressão. 
a) 8 7 3+ − − −
 11. Na reta real representada a seguir, calcule o valor de x z y z− + − . 
 9. Escreva cada uma das expressões algébricas a seguir utilizando a definição de módulo.
a) − +3 12x
b) x2 81
c) − − +x x2 2
 10. Calcule o valor das seguintes expressões: 
a) 1 8 2 5− + −
b) − − − + − −
1
5
3
10
1
1
10
2
c) 6 2 2 6− − + −
d) z = − + −4 7 2 7
ATIVIDADES
EM13MAT305
TEMA 
QUENTE
8 7 3 8 7 3 12+ − − − = + − =
b) 6 2
6 2 6 2 4 4− − = − = =
c) 1
2
2
3
2
1
3
1
2
4
3
1
3
1
2
4
3
1
3
1
2
3
3
1
2
1
1
2
1
2
− − − = − − = − =
= − = − =
 8. Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa.
a) ( V ) |5| = |−5|
b) ( F ) 5 3 10 2+ − =
c) ( F ) 2 1 2 1− = + 
d) ( V ) 1 5 5 1− = − 
e) ( V ) ( )− =3 32 
5 3 10 5 7 5 7 12 12+ − = + − = + = =
2 1 2 1 2 1 0− = − − >, pois
1 5 1 5 5 1 1 5 0− = − − = − − <( ) , pois
( )− = − =3 3 32
5 5 5 5 5= − = − − =e ( )
y
–13,5 0 10,2
z x
 12. A expressão x x x x2 28 16 8 16+ + + − + , para 
− ≤ <4 4x , é equivalente a 
a) 2x.
b) –2x. 
c) 2x + 8.
X d) 8.
e) –2x + 8. 
Veja a resolução nas orientações didáticas.
Utilizando a relação x x2 , temos: 
x x x x
x x x x
2 2
2 2
8 16 4 4
8 16 4 4
+ + = + = +
− + = − = −
( )
( )
Se − ≤ <4 4x , então x + ≥4 0 e x − <4 0 . Portanto:
x x x x
x x x x
2 28 16 8 16
4 4 4 4 8
+ + + − + =
= + + − = + + − + =( )
Agora, você pode fazer as questões 
37 e 38 da seção Conquista Enem.
a) 100 x
b) x – 100 c) 100 – x
X d) x 100
86 MATEMÁTICA• •
Definição de função modular
Para todo número x real, o módulo de x existe e é único. Assim, 
podemos definir uma função que associa cada número real ao seu módulo.
Vamos construir o gráfico da função modular. Para isso, consideramos 
inicialmente cada uma das partes que a compõem. 
y
x
1–1
1
2
3
4
5
0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
f
y
x
1–1
1
2
3
4
5
0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
f
y
x
1–1
1
2
3
4
5
0–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6
f
EXEMPLO RESOLVIDO
 • Tomando como referência o gráfico da função f x x( ) , construa em um mesmo plano cartesiano 
os gráficos das funções g x x( ) = + 2 e h x x( ) = − 2 e, em outro plano cartesiano, os gráficos das 
funções i x x( ) = + 2 e j x x( ) = − 2 . Veja comentários no Manual digital.
Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
Representando as duas partes no mesmo plano cartesiano, obtemos o gráfico da função modular f x x( ) .
x f x x≥ ⇒ =0 ( ) x f x x< ⇒ = −0 ( )
O domínio da função é o conjunto dos números reais, ou seja, D f( ) .
O conjunto-imagem é o conjunto dos números reais não negativos, ou seja, Im( )f = +.
y
x
0
–2
2
f
g
h
y
x
0–2 2
fi j
Denominamos função 
modular a função f: 
definida por f x x( ) , 
ou seja:
f x
x se x
x se x
( )
,
,
=
≥
− <
⎧
⎨
⎩
0
0
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 87• •
Gráficos de funções envolvendo módulos
Acompanhe a construção do gráfico da função g: definida por 
g x x x( ) = − +2 8 15 .
 • Inicialmente, construímos o gráfico de f x x x( ) = − +2 8 15 . Para isso, vamos determinar 
os zeros, o vértice da parábola e seu ponto de intersecção com o eixo y.
Veja comentários no Manual digital.
10
–1
1
2
3
4
5
6
7
–2
–3
–1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
f
10
–1
1
2
3
4
5
6
7
–2
–3
–1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
g
 • Observe que, para 3 5x , a função 
f é negativa. Assim, o gráfico de 
g x x x( ) = − +2 8 15 é obtido a partir do 
gráfico de f x x x( ) = − +2 8 15, refletindo 
a parte negativa em relação ao eixo x.
Note que, para x 3 ou x 5, a função 
f é positiva ou nula. Desse modo, nesses 
intervalos, os gráficos de f e g coincidem.
Para 3 5x , os gráficos de f e g são 
simétricos em relação ao eixo das abscissas.
y x x
x
x
= ⇒ − + = ⇒
=
=
⎧
⎨
⎩
0 8 15 0
3
5
2 1
2
Os zeros da função são 3 e 5.
x
b
a
y
a
V
V
=
−
=
− −
⋅
=
=
−Δ
=
− − − ⋅ ⋅
⋅
=
−
= −
2
8
2 1
4
4
8 4 1 15
4 1
4
4
1
2
( )
[( ) ]
O vértice da parábola é o ponto V(4, –1).
x y= ⇒ = − ⋅ + =0 0 8 0 15 152
A parábola intersecta o eixo y no 
ponto (0, 15).
©
Shutterstock/Aurielaki
88 MATEMÁTICA• •
Em determinadas situações, a notação de 
módulo costuma ser conveniente para apresentar 
uma função definida por várias sentenças de 
maneira compacta. Para darmos um exemplo, 
considere que o nível h de água (em cm) de um 
recipiente varia com o tempo t (em minutos), com 
0 6t , segundo a regra:
h t t t' * , - . -2 4
Como a função h é dada por uma soma de 
módulos, vamos estudar o sinal de cada termo 
inserido em um módulo, ou seja, os sinais das 
funções definidas por h t1 2, - e h t2 4, - .
PARA SABER MAIS
Agora, construímos separadamente o gráfico 
referente a cada intervalo.
t h(t) = –2t + 6
0 6
2 2
t h(t) = 2
2 2
4 2
t h(t) = 2t – 6
4 2
6 6
Representando 
as três partes juntas, 
obtemoso gráfico da 
função.
O domínio é 0 6,/0 12 .
D h( ) ,, /0 120 6
O conjunto-imagem 
é 2 6,/0 12 .
h t1 2, - (função crescente)
Zero da função: t t- , 3 ,2 0 2
h t2 4, - (função crescente)
Zero da função: t t- , 3 ,4 0 4
Assim, analisamos a regra da função h em três 
intervalos diferentes. 
 • Se 0 24 5t , então t - 52 0 e t - 54 0 . 
Portanto:
h t t t
t h t t t t
' * , - . -
4 5 3 ' * , - . . - .' * , - .
2 4
0 2 2 4 2 6
 • Se 2 44 5t , então t - 62 0 e t - 54 0.
h t t t
t h t t t
' * , - . -
4 5 3 ' * , - . - .' * ,
2 4
2 4 2 4 2
 • Se 4 6t , então t - 72 0 e t - 64 0.
h t t t
t h t t t t
' * , - . -
4 4 3 ' * , - . - , -
2 4
4 6 2 4 2 6
Assim, a função h pode ser escrita de outra 
forma, como uma função definida por mais de uma 
sentença.
h t
t se t
se t
t se t
( )
,
,
,
,
- . 4 5
4 5
- 4 4
8
9
:
;
:
2 6 0 2
2 2 4
2 6 4 6
h1 = t – 2
h2 = t – 4
2
4 t
t
+++++
– – – – – – – – – – – –
+++++++++++++
– – – – – –
t6543
3
4
5
6
7
8
9
10
h
2
2
1
1
0 t6543
3
4
5
6
7
8
9
10
h
2
2
1
1
0
t6543
3
4
5
6
7
8
9
10
h
2
2
1
1
0
t6543
3
4
5
6
7
8
9
10
h
h
2
2
1
1
0
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 89• •
 14. (FUNIVERSA – AP) Dada a 
função f(x) = |3x + 7| – |x – 36|, 
qual é o valor da imagem de 
18 nessa função?
a) 79
b) 71
X c) 43
d) 35
e) 25
 17. (EEAR – SP) Seja 
f(x) = |x – 3| uma função. A 
soma dos valores de x para 
os quais a função assume o 
valor 2 é 
a) 3
b) 4
X c) 6
d) 7
ATIVIDADES
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
 15. (ETAM – RJ) Se 
f(x) = |x – 3| – |4 – x|, x real, 
então f(–3) é igual a:
a) –2
X b) –1
c) 5
d) 7
f x x x
f
f
f
( )
( )
( )
( )
, . - -
, ? . - -
, . - -
, - -
3 7 36
18 3 18 7 18 36
18 54 7 18
18 61 18 ,, - ,61 18 43
f x x x
f
f
f
( )
( ) ( )
( )
( )
, - - -
- , - - - - -
- , - - .
- , - - , - , -
3 4
3 3 3 4 3
3 6 4 3
3 6 7 6 7 1
 16. (EEAR – SP) A função 
modular f(x) = |x – 2| é 
decrescente para todo x real 
tal que 
a) 0 < x < 4.
b) x > 0.
c) x > 4.
X d)
TEMA 
QUENTE
O gráfico da função é:
y
x
1
1
–1
2
3
4
5
6
–1 0–2 2 3 4 5 6
f
TEMA 
QUENTE
f x x
x
x x
ou
x x
( ) , -
- , 3
- , 3 ,
- , - 3 ,
8
9
:
;
:
. ,
3
3 2
3 2 5
3 2 1
5 1 6
 18. (ESPCEX – SP) Observando 
o gráfico abaixo, que 
representa a função real 
f(x) = |x – k| – p, pode-se 
concluir que os valores de k 
e p são, respectivamente,
TEMA 
QUENTE
f(x)
1
x
–1
–1–2
–3
a) 2 e 3
b) –3 e –1
c) –1 e 1
d) 1 e –2
X e) –2 e 1
O vértice do gráfico é x = –2, então esse é o valor de k.
f p
f p p p
( ) ( )
( )
0 0 2 1
0 2 1 2 1 1
, - - - ,
, - , 3 - , 3 ,
 
Portanto, k = –2 e p = 1.
90 MATEMÁTICA• •
 19. Faça o esboço dos gráficos das funções a seguir.
a) f x x( ), -3
b) g x x( ), -2 4
c) h x x x( ), - . -2 3 2
d) i x x( ), - .3 3
 20. Considere a função f: * definida por 
f x
x
x
( ) .
a) Quais são os valores de f( )1 , f( )2 , f( )2 
e f( )3 ?
 21. (UFAL) Tendo por base a 
função f, de em , dada 
por f x x( ), - .1 3, analise 
as afirmativas seguintes. 
(0 0) Uma outra forma de expressar a lei que 
define f é f x
x se x
x se x
( ),
. 6
- . 5
8
9
;
2 0
4 0
.
X(1 1) O conjunto-imagem de f é o intervalo 
3, .@A A.
(2 2) f é crescente no intervalo -@B A, 1 .
X(3 3) Se f x( ) 6 , então - 5 52 4x .
(4 4) O gráfico de f intersecta o eixo das 
abscissas no ponto (1; 0).
 22. (UEFS – BA) Considerando-se 
a equação x x x2 5 6 3- . , - , 
tem-se que a soma de suas 
raízes é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
X e) 4
Temos x x x- , - .3 5 62 . 
Condição de existência:
x x x ou x2 5 6 0 2 3- . 6 3 4 6
Assim:
x x x
x x x x x x
ou
x x x
- , - .
C - , - . 3 - . , 3 ,
C - , - - . 3 -
3 5 6
3 5 6 6 9 0 3
3 5 6
2
2 2
2 2( ) x 44 3 0 1 3x x ou x. , 3 , ,
Tanto x = 1 como x = 3 satisfazem as condições de existência.
Portanto, a soma das raízes é igual a 1 + 3 = 4.
 23. (EEAR – SP) Seja f(x) = |3x – 4| 
= f(b) = 6, então o valor 
de a + b é igual a
a) 5/3
X b) 8/3
c) 5
d) 3
 24. (ESPCEX – SP) Os gráficos de 
f(x) = 2 e g(x) = x x2 têm 
dois pontos em comum. O 
valor da soma das abscissas 
dos pontos em comum é igual a 
X a) 0
b) 4
c) 8
d) 10
e) 15
f
f
( )
( )
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
f
f
( )
( )
- ,
-
-
,
-
, -
- ,
-
-
,
-
, -
2
2
2
2
2
1
3
3
3
3
3
1
b) Escreva a lei da função sem utilizar 
módulo. 
Como x x se x 0 e x x, - se x 0 , temos:
f x
se x
se x
( )
,
,
,
7
- 5
8
9
;
1 0
1 0
c) Esboce o gráfico da função.
x
y
0
1
–1
d) Essa função é injetora? E sobrejetora? 
Justifique suas respostas. 
A função não é injetora, pois existem valores distintos de x com a 
mesma imagem.
A função também não é sobrejetora, pois o conjunto-imagem é 
Im( ) { , }f , -1 1 , diferente do contradomínio .
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
x x x x ou x inexistente
x x x x ou x inex
7 3 - , 3 , , -
5 3 . , 3 , - ,
0 2 2 1
0 2 2 1
2
2
( )
( iistente)
A soma das abscissas é 2 + (–2) = 0.
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 91• •
c) 
 25. (UFRGS – RS) Considere 
a função y f x( ) 
representada no sistema de 
coordenadas cartesianas 
abaixo.
TEMA 
QUENTE
y
x
1
1
–1
2
3
4
–1 0–2 2
–2
O gráfico que pode representar a função 
y f x, . .( )2 1 é
a) y
x
1
–1
2
3
4
–1 0 1–2–3–4
y
x
1
–1
2
3
4
–1 0 1–2–3–4
y
x
1
–1
2
3
4
–1 0 1 2 3 4
y
x
1
–1
2
3
4
–1 0 1 2 3 4
y
x
1
–1
2
3
4
5
6
7
–1 0 1 2 3 4
X b) 
d) 
e) 
 26. (UDESC) Considerando a 
função f x(x), -2 1 e os 
conjuntos A x x, D 5{ }/ 0 
e B , -[ , ]1 2EE , é correto afirmar que:
a) f A B f A f B( ) ( ) ( )F , F
b) f A B f A f B( ) ( ) ( )- , -
c) f B A f B f A( ) ( ) ( )- G -
d) f BC C( ) (f(B))
X e) f A B f A f B( ) ( ) ( )H , H
Vamos construir o gráfico da função f.
TEMA 
QUENTE
x
y
0
1
3
1 2−1−2
f x(x) 2 1
f A f
f B f
A B A B
( ) (] , [) [ , [
( ) ([ , ]) [ , ]
[ , [ f( )
, - @ , . @
, - ,
F , - 3 F
0 0
1 2 0 3
1 0 ,, - ,
H , - @ 3 H , - @ , . @
- , - @
f
A B A B f
A B
([ , [) [ , [
] , ] f( ) (] , ]) [ , [
]
1 0 0 1
2 2 0
,, [ f( ) f(] , [) ] , [
[ , ] f( ) f([ , ]) [
- 3 - , - @ - , . @
- , 3 - , ,
1 1 0
0 2 0 2 0
A B
B A B A ,, ]3
C H , . @ H , . @ , H
C F , . @ F
f A f B f A B
f A f B
( ) ( ) [ , [ [ , ] [ , [ ( )
( ) ( ) [ , [ [ ,
0 0 3 0
0 0 33 0 3
0 0 3 3
] [ , ] ( )
f(A) f(B) [ , [ [ , ] ] , [ ( )
f( )
, I F
C - , . @ - , . @ I -
C
f A B
f A B
B -- , - . @ , J G -f( ) [ , ] [ , [ ( )A f B A0 3 0
Analisando o gráfico, temos:
Portanto:
92 MATEMÁTICA• •
EQUAÇÕES MODULARES Veja a sugestão de encaminhamento no Manual digital.
y
x
B (5,3)
A1 (3,0)
C (–3,–1)
A2 (–5,0)
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Resolva as equações a seguir.
 • x x2 8 11 4- . ,
Solução
Existem dois números cujo módulo é 
igual a 4: o 4 e o –4. Considerando cada 
uma dessas possibilidades, temos: 
x x
x x
x
x
2
2 1
2
8 11 4
8 7 0
1
7
- . ,
- . , 3
,
,
8
9
;
x x
x x
x
x
2
2 1
2
8 11 4
8 15 0
3
5
- . , -
- . , 3
,
,
8
9
;
O conjunto-solução da equação é 
S { , , , }1 3 5 7 .
Quando são conhecidas em um plano cartesiano as coordenadas de três pontos A x yA A,' * , B x yB B,' * e 
C x yC C,' * não alinhados, podemos calcular a área S do triângulo de vértices A, B e C utilizando a seguinte fórmula:
S x y y x y y x y yA B C B C A C A B, ? ? - . ? - . ? -
1
2
( ) ( ) ( )
Considere um triângulo em que dois vértices são os pontos B(5, 3) e C(–3, –1). Quais devem ser as coordenadas 
do terceiro vértice A, que pertence ao eixo das abscissas, de modo que a área do triângulo seja igual a 8?
Como o terceiro vértice pertence ao eixo das abscissas, sua ordenada é igual a 0. Assim, sendo A(x, 0), 
B(5, 3) e C(–3, –1), temos:
A B C B C A C A B
A B C
B C C A A B
1
S x (y y ) x (y y ) x (y y )
2
x x x 5 x 3
y y 3 ( 1) 4 y y 1 0 1 y y 0 3 3
1
8 x 4 5 ( 1) ( 3) ( 3)
2
4x 4 16
Veja comentários no Manual digital.
A equação 4 4 16x . , tem a incógnita em um 
módulo. Por esse motivo, ela é chamada de equação 
modular.Veja como resolver essa equação. 
Os números cujos módulos são iguais a 16 
são o próprio 16 e –16. Assim, temos as seguintes 
possibilidades:
4 4 16
4 12
3
x
x
x
. ,
,
,
 
4 4 16
4 20
5
x
x
x
. , -
, -
, -
Assim, a equação tem duas soluções, ou seja, 
existem dois triângulos de vértices B e C com área 
8 nos quais o terceiro vértice pertence ao eixo das 
abscissas. Os pontos são A1 3 0,' * e A2 5 0-' *, .
Os triângulos A1BC e A2BC têm área 8. As 
abscissas dos vértices A1 e A2 correspondem às 
soluções da equação modular 4 4 16x . , .
Toda equação que apresenta a incógnita em 
um módulo é uma equação modular. Não existe um 
procedimento padrão para resolvê-la. 
Soluçãçççç o
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 93• •
INEQUAÇÕES MODULARES
Em uma pesquisa realizada poucos dias antes 
do segundo turno das eleições para a prefeitura de 
uma cidade, os candidatos A e B apresentavam os 
percentuais de intenções de votos válidos conforme 
o gráfico ao lado. 
A pesquisa foi realizada com apenas uma amostra 
de eleitores e, por isso, existe uma margem de erro de 
3 pontos percentuais.
Considerando a margem de erro da pesquisa, os 
percentuais mínimo e máximo dos dois candidatos são 
dados por:
 • 2 6 3 4x x- , -
Veja comentários no Manual digital.Solução 
Atente para o fato de que o módulo de um número real nunca é negativo. 
Portanto:
3 4 0
4
3
x x- 6 3 6
Com base na definição de módulo, temos:
2 6 3 4
2 6 3 4 2 6 3 4
2 3 4 6 2 6 3 4
2
x x
x x ou x x
x x x x
x
- , -
C - , - C - , - -
- , - . - , - .
- ,
( )
22 3 4 6
2 5 10 2
x x
x x x
. , .
, - , 3 ,
Como x deve ser um número maior do que ou igual a 
4
3
, então não convém 
que x seja igual a –2, pois - 52
4
3
. Como 2
4
3
, o conjunto-solução da 
equação é S { }2 .
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
Candidato A Candidato B
52%
48%
 • candidato A: 52% – 3% = 49% a 52% + 3% = 55%
 • candidato B: 48% – 3% = 45% a 48% + 3% = 51%
A margem de erro é um número positivo, indicando que um candidato pode ter 
um percentual de votos maior ou menor daquele que a pesquisa indica, tomado como 
referência.
Vamos analisar o intervalo do percentual de votos do candidato A: como 49% e 55% 
são os percentuais mínimo e máximo respectivamente, de acordo com a margem de erro, 
podemos dizer que a diferença d entre o percentual verdadeiro de votos e o percentual de 
votos estimado pela pesquisa deve estar no intervalo - 4 43 3d , pois:
49% – 52% = –3% e 55% – 52% = 3%
Podemos representar esse intervalo por meio de uma inequação modular. Sendo x o 
percentual verdadeiro obtido pelo candidato A, temos:
x - 452 3
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/J
am
es
te
oh
ar
t
94 MATEMÁTICA• •
A igualdade anterior pode ser descrita da seguinte maneira: “O 
módulo da diferença entre o percentual verdadeiro e o percentual 
estimado deve ser no máximo igual a 3 pontos percentuais”. 
Lembre-se de que o módulo de um número pode ser interpretado 
geometricamente como a distância entre o ponto que representa esse 
número na reta real e a origem.
Observe os pontos da reta que estão a uma distância da origem 
não superior a 3. 
Veja a sugestão de encaminhamento 
no Manual digital.
0–3 3
Assim, o valor de x – 52 é um dos pontos pertencentes a esse 
intervalo. Portanto:
x x
x x
- 4 3 - 4 - 4
- 4 - 4 3 4 4. . .
52 3 3 52 3
3 52 3 49 5552 52 52
Considere a inequação x 5 .
Na reta abaixo, representamos os pontos que estão a uma distância 
menor do que 5 unidades da origem.
Temos x 5 para os valores de x tais que - 5 55 5x .
Considere agora a inequação x 4 . Observe na reta abaixo os 
pontos que estão a uma distância da origem igual ou superior a 4. 
0–5 5
Temos x 4 para os valores de x tais que x ou x4 - 64 4 .
0–4 4
EXEMPLO RESOLVIDO
Encontre a solução da inequação 3 7 2x . 7 .
Solução
3 7 2
3 7 2
3 7 2
3 7 2 3 9 3
3 7 2 3 5
x
x
ou
x
x x x
x x
. 7 K
. 5 -
. 7
8
9
:
;
:
. 5 - K 5 - K 5 -
. 7 K 7 - K xx 7 -
5
3
S x x ou x, 5 - 7 -8
9
;
L
M
N
| 3
5
3
 
Sendo a 0 um número real, 
as seguintes generalizações 
são válidas:
x a a x a
x a x a ou x a
x a a x a
x a x a ou x a
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 95• •
 27. Resolva as seguintes 
equações modulares. 
Nos itens f e g, faça uma 
substituição de variável.
a) x - ,7 3
b) x . ,4 8
c) 2 3 2- , .x x
d) x x. , -4 4 1
e) x x- , -6 2 2
f) x x
2
5 4 0- ? . ,
g) x x- . - - ,5 5 2 0
2
h) x x x2 3 1 6- . , .
 28. (UERJ) O volume de água 
em um tanque varia com 
o tempo de acordo com a 
seguinte equação:
V t t t, - - - - D .10 4 2 2 6 ,
Nela, V é o volume medido em m3 após 
t horas, contadas a partir de 8 h de uma manhã. 
Determine os horários inicial e final dessa 
manhã em que o volume permanece constante.
 29. Resolva cada uma das inequações modulares.
a) x - 42 5
b) 2 1 3x . 7
c) 3 5 9x x. 6 -
d) x2 10 6- 5
 30. Quais são os pontos de intersecção dos gráficos 
das funções f e g de em definidas por 
f x x x( ), - .2 5 6 e g x x( ), -3 ?
 31. (PUC Minas – MG) As alturas das mulheres 
adultas que habitam certa ilha do Pacífico 
satisfazem a desigualdade 
h -
4
153
22
1, em que 
a altura h é medida em centímetros. Então, a 
altura máxima de uma mulher dessa ilha, em 
metros, é igual a:
a) 1,60
b) 1,65
c) 1,70
X d) 1,75
 32. (EEAR – SP) Dada a equação x x2 2 4 4- - , , a 
soma dos elementos do conjunto-solução é
X a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
ATIVIDADES
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
V t t
t t e t
V t t t
t
, - - - -
4 3 - 6 - 5
, - - - - . ,
5 5
10 4 2 2 6
2 4 2 0 2 6 0
10 4 2 2 6 4
2 3
( ) ( )
33 - 5 - 5
, - - . - - . ,
6 3 - 5 - 6
,
4 2 0 2 6 0
10 4 2 2 6 8
3 4 2 0 2 6 0
10
t e t
V t t
t t e t
V
( ) ( )
-- - . - - , -( ) ( )4 2 2 6 20 4t t t
4 – 2t
2
3
t
t
2t – 6
– – – – – – – – – – – – –
– – – – – – – – – – – – –
++++++++++
++++++++++
Como para t = 2 o volume é igual a 8 m3 e para t = 3 o 
volume também é igual a 8 m3, o volume permaneceu 
constante para 2 3t . Como t = 0 corresponde às 
8 h da manhã, os horários inicial e final dessa manhã em 
que o volume permanece constante são respectivamente 
10 h e 11 h.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
 33. (ESPCEX – SP) O conjunto-solução da 
inequação x - . 44 1 2 é um 
intervalo do tipo [a, b]. O valor 
de a + b é igual a
a) –8.
b) –2.
c) 0.
d) 2.
X e) 8.
 34. A equação x x- . - ,3 2 7 tem duas raízes x1 
e x2, com x x1 2. Calcule x x1 2. 
Agora, você pode fazer a questão 39 
da seção Conquista Enem.
Agora, você pode fazer a questão 39 
da seção Conquista Enem.
ggggg ppppppppp qqq
d i
96 MATEMÁTICA• •
ORGANIZE AS IDEIAS
Neste capítulo, estudamos a função modular. No quadro a seguir, complete as frases com as informações 
adequadas.
 • O módulo de um número real é igual ao próprio número se ele for positivo ou zero .
 • O módulo de um número real é o oposto do número se ele for negativo. 
 • O módulo de um número nunca é negativo . 
 • Na reta real, o módulo de um número real corresponde à distância entre o ponto associado a esse número e a origem .
 • Qualquer que seja o número real x, a seguinte igualdade é verdadeira: x2 .
 • O gráfico da função modular f: definida por f x x( ) é formado por duas semirretas de mesma origem. 
 • O conjunto-imagem da função modular f: definida por f x x( ) é dado por Im( )f .
 • Dado um número positivo k, se x k, então x k ou x –k .
 • Dado um número positivo k, se x k, então .
 • Dado um número positivo k, se x k, então ou . 
x
- 5 5k x k
x kx k5 -
M
A
T
6. FUNÇÃO MODULAR 97• •
EM13MAT404
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 35. ENEM A base de cálculo do imposto de renda 
é a parte dos rendimentos recebidos pelo 
contribuinte sobre a qual incide o imposto. 
Ela é obtida após serem descontadas, dos 
rendimentos, as deduções legais. 
No ano de 2008, se a base de cálculo de um 
contribuinte teve um valor de até R$ 16.473,72, 
o contribuinte foi isento doimposto de renda. 
Se a base de cálculo ficou entre R$ 16.473,72 
e R$ 32.919,00, o imposto devido foi de 15% 
sobre o que excedeu R$ 16.473,72. Por fim, se 
a base de cálculo ultrapassou R$ 32.919,00, o 
imposto devido é dado pela soma de 
R$ 2.466,79 (correspondendo a 15% da 
diferença 32.919,00 – 16.473,72) mais 27,5% 
do que excedeu R$ 32.919,00. 
O gerente de um escritório de contabilidade 
pediu a um estagiário que identificasse o gráfico 
que descrevia o valor imposto devido, para o 
ano de 2008, como função da base de cálculo, 
apresentando-lhe cinco gráficos, sem qualquer 
outra informação ou valores numéricos. 
Admitindo que um desses gráficos corresponda 
ao pedido do gerente, qual é esse gráfico? 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
X e) V 
 36. ENEM Uma empresa farmacêutica fez um 
estudo da eficácia (em porcentagem) de um 
medicamento durante 12 h de tratamento em 
um paciente. O medicamento foi administrado 
em duas doses, com espaçamento de 6 h entre 
elas. Assim que foi administrada a primeira 
dose, a eficácia do remédio cresceu linearmente 
durante 1 h, até atingir a máxima eficácia 
(100%), e permaneceu em máxima eficácia 
durante 2 h. Após essas 2 h em que a eficácia 
foi máxima, ela passou a diminuir linearmente, 
atingindo 20% de eficácia ao completar as 
6 h iniciais de análise. Nesse momento, foi 
administrada a segunda dose, que passou a 
aumentar linearmente, atingindo a máxima 
eficácia após 0,5 h e permanecendo em 100% 
por 3,5 h. Nas horas restantes da análise, a 
eficácia decresceu linearmente, atingindo ao 
final do tratamento 50% de eficácia. 
Considerando as grandezas tempo (em hora), no 
eixo das abscissas; e eficácia do medicamento 
(em porcentagem), no eixo das ordenadas, qual 
é o gráfico que representa tal estudo? 
Im
po
st
o 
de
vi
do
Base de cálculo
Im
po
st
o 
de
vi
do
Base de cálculo
Im
po
st
o 
de
vi
do
Base de cálculo
Im
po
st
o 
de
vi
do
Base de cálculo
Im
po
st
o 
de
vi
do
Base de cálculo
CONQUISTA ENEM
98 MATEMÁTICA• •
a) 
b) 
X c) 
d) 
e) 
 37. (UFRR) Um professor do departamento de biologia da UFRR estimou em 0,012 mm o comprimento de uma bactéria usada no seu laboratório para experiência com seus alunos. O mesmo afirma que esta estimativa poderá ter um erro máximo de 5% para mais ou para menos. Indicando por 
x a medida, em mm, desse erro máximo, quais os possíveis valores de x?
a) 0 0005,
X b) 0 0006,
c) 0 0004,
d) 0 0003,
e) 0 0002,
 38. A movimentação de um drone é controlada em um mapa de coordenadas cartesianas, em que cada unidade do sistema representa 100 m de deslocamento do drone. A estação de controle fica na origem desse sistema de coordenadas. Em uma missão de reconhecimento, o drone partiu da posição (0, 4), moveu-se até a posição (–4, 2) e depois voou para a posição (–1, –2).Sabendo que os deslocamentos ocorreram em linha reta e que no último deslocamento o drone retornou ao ponto de partida, a área do triângulo determinado pelos deslocamentos do drone é de
X a) 0,11 km2
b) 0,22 km2
c) 1,1 km2
d) 11 km2
e) 22 km2
 39. Em uma estação de controle climático localizada na Antártica, a temperatura média é de –15 °C. Um sistema digital de alarme registra qualquer variação de temperatura superior a 120% da temperatura média. Portanto, o alarme é acionado sempre que 
t − − ≥ + ⋅ −( ) ( , ) ( )15 1 1 2 15 , ou seja, se 
a) − ≤ ≤48 18t 
b) − < <48 18t
X c) t ou t≤ − ≥48 18 
d) t ou t≤ − ≥18 48
e) t ou t< − >18 48
TEMA 
QUENTE
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
Tempo (h)
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tempo (h)
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
10
10
20
30
40
50
60
70
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tempo (h)
Ef
ic
ác
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 (%
)
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Tempo (h)
Ef
ic
ác
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 (%
)
10
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40
50
60
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80
90
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110
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tempo (h)
Ef
ic
ác
ia
 (%
)
7
 Identificar figuras 
semelhantes e aplicar o 
conceito de semelhança na 
resolução de problemas do 
cotidiano.
 Resolver problemas 
envolvendo medidas em um 
triângulo retângulo.
 Identificar e aplicar razões 
trigonométricas na resolução 
de problemas.
 Obter medidas de ângulos 
e calcular a área de um 
triângulo qualquer.
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
©Shutterstock/Leonid Andronov
©Shutterstock/Vchal
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
st
ro
St
ar
DOBRE NA LINHA PONTILHADASEMELHANÇAL
TRIGONOMETRIAO AA
100 MATEMÁTICA• •
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS SEMELH
7
EM13MAT308
SEMELHANÇA. In: FERREIRA, Aurélio B. de H. Dicionário Aurélio da língua portuguesa. 5. ed. Curitiba: Positivo, 2010. Versão digital. 
De acordo com essas definições, podemos dizer que as imagens a seguir mostram objetos semelhantes.
No entanto, em Matemática, a noção de semelhança é mais rigorosa do que as utilizadas no cotidiano e 
que foram apresentadas acima. Para concluirmos algo a respeito de semelhança no âmbito da Matemática, é 
necessário averiguar condições bastante específicas.
Bárbara é muito parecida com a sua mãe, Márcia. 
Algumas pessoas até dizem que a filha é uma cópia da 
mãe em tamanho menor.
De fato, o que as pessoas notam é que há uma 
semelhança entre Bárbara e Márcia.
Observe o que há em um dicionário sobre o significado dessa palavra:
semelhança:
[De semelhar + -ança.]
Substantivo feminino
01. Qualidade de semelhante. 
02. Relação entre seres, coisas ou ideias que apresentam entre si elementos conformes, além daqueles comuns à espécie; 
parecença, analogia.
03. Aspecto, aparência.
04. Confronto, comparação, paralelo.
[Sin. ger.: similitude.]
 EM13MMAT308
sa palavra:
©Shutterstock/Roman Samborskyi
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
.S
ta
sy
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/N
at
a 
St
ud
io
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 101• •
M
A
T
Semelhança de polígonos
Suponha que em uma loja os clientes possam escolher entre dois 
tamanhos de caixas de presente, no formato de blocos retangulares. 
Observe as medidas do tampo de cada uma delas:
A razão entre as medidas da caixa maior e as medidas correspondentes da caixa 
menor é igual a 1,4. Sendo M e m as larguras e cM e cm os comprimentos das caixas 
maior e menor, respectivamente, temos:
M
m
M
m
cm
cm
c
c
cm
cm
42
30
1 4
28
20
1 4, ,
O quociente 1,4 é chamado de razão de semelhança.
Assim, podemos dizer que essas faces retangulares são semelhantes, pois atendem às 
duas condições, que você já conhece, exigidas para a semelhança entre polígonos: 
 • ângulos correspondentes congruentes;
 • lados correspondentes proporcionais. 
Estas são as vistas da face frontal de cada uma das caixas:
Veja esclarecimentos sobre o termo 
“correspondente” no Manual digital.
Nesse caso, temos:
M
m
M
m
cm
cm
c
c
cm
cm
8
5
1 6
42
30
1 4, ,
Essas faces não são semelhantes, pois a razão entre as medidas das larguras 
não é igual à razão entre as medidas dos comprimentos.
Da mesma forma, se representarmos a face lateral de cada uma das caixas, 
concluiremos que não são semelhantes.
M
m
M
m
cm
cm
c
c
cm
cm
8
5
1 6
28
20
1 4, ,
20 cm
30 cm
42 cm
28 cm
30 cm 42 cm
5 cm 8 cm
20 cm 28 cm
8 cm5 cm
©Shutterstock/Elnur
102 MATEMÁTICA• •
Estendendo as condições de semelhança para figuras espaciais, podemos dizer que 
as caixas não são objetos semelhantes, pois, embora todos os ângulos correspondentes – 
entre as arestas e entre as faces – sejam congruentes (todos retos), apenas a face superior 
de cada uma das caixas tem a mesma razão entre as medidas das larguras e as medidas 
dos comprimentos; as outras não têm.
Vamos refletir sobre a situação a seguir. Observe os quadriláteros:
A B
D
C
A’ B’
D’
C’
P A C
B D
Q
S
R
A A C C D D� � 
 � 
 �' ' '
O que é possível afirmar a respeito da relação entre os ângulos B e B' ? 
Como a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é 
360°, se três deles são iguais nos dois quadriláteros, o outro obrigatoriamente também é. 
Mesmo que todos os ânguloscorrespondentes dos polígonos sejam congruentes, isso 
não quer dizer que eles são semelhantes. Acompanhe:
Sendo os segmentos AB e CD paralelos ao lado 
SP, os ângulos formados por esses segmentos com o 
lado PQ são congruentes entre si e congruentes ao 
ângulo P. Raciocínio análogo pode ser feito para os 
ângulos formados com o lado RS.
Isso quer dizer que os quadriláteros PQRS, AQRB e CQRD têm seus ângulos 
correspondentes congruentes, entretanto três lados correspondentes têm medidas 
diferentes em cada quadrilátero enquanto o lado QR é comum aos três. Assim, os lados 
homólogos não são proporcionais e os quadriláteros não são semelhantes. 
Veja comentários e sugestão de encaminhamento no Manual digital.
EM13MAT105, EM13MAT308ATIVIDADES
 1. Identifique com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. 
a) ( V ) Todos os quadrados são semelhantes entre si.
b) ( F ) Dois pentágonos regulares com medidas de lados diferentes não são 
semelhantes.
c) ( F ) Todos os losangos são semelhantes entre si.
d) ( V ) As circunferências são semelhantes entre si, independentemente da 
medida do raio.
e) ( V ) Os cubos, com qualquer medida de aresta, são sólidos geométricos 
semelhantes entre si.
f) ( F ) Todos os triângulos são semelhantes entre si.
g) ( V ) Todos os triângulos equiláteros são semelhantes entre si.
–– 
oor 
 
éé. 
oo 
oo 
o 
oo 
ss 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
op
hi
e 
M
cA
ul
ay
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 103• •
M
A
T
 2. Estas são as planificações de duas caixas na forma de prismas retangulares retos:
a) Na figura anterior, considere que os lados AD e BC medem 1 unidade de comprimento. Qual deve ser a medida dos lados AB e CD, de modo que o retângulo ABCD seja áureo?
24 cm
36 cm
24 cm
12 cm
12 cm 12 cm
18 cm
18 cm
18 cm
27 cm
9 cm9 cm
D F C
A E B
a) Qual é a altura, o comprimento e a largura de cada caixa?
Caixa maior: altura – 12 cm, largura – 24 cm, comprimento – 36 cm.
Caixa menor: altura – 9 cm, largura – 18 cm, comprimento – 27 cm.
b) Mostre que as duas caixas são semelhantes.
Sendo dois prismas retangulares retos, todos os ângulos dos 
polígonos que formam as faces são ângulos retos.
As razões entre as medidas são iguais:
altura
cm
cm
:
12
9
4
3
 
l ura
cm
cm
arg :
24
18
4
3
 
comprimento
cm
cm
:
36
27
4
3
 
Portanto, os prismas são semelhantes.
 3. Denominamos retângulo áureo qualquer retângulo que tem a propriedade descrita a seguir.
Retirando do retângulo 
ABCD o quadrado AEFD, 
obtemos o retângulo 
BCFE, semelhante ao 
retângulo ABCD.g
O retângulo áureo é considerado o mais agradável aos nossos olhos, traduzindo harmonia.
b) Observe alguns termos da sequência de Fibonacci. Você se lembra dela, não é mesmo?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 
233, 377, 610, 987, ...Calcule as razões entre cada termo dessa sequência e seu antecessor. Já começamos a sequência para você.1 11
2
1
2
3
2
1 5,
5
3
1 666, ...
Sendo x a medida dos lados AB e CD, temos:
AB
BC
BC
CF
x
x
x x x x
x
x
=
=
−
⇒ − = ⇒ − − =
=
+
=
−
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
1
1
1
1 1 0
1 5
2
1 5
2
2 2
Como x é uma medida, então x =
+
=
1 5
2
16180339, ...
Com o auxílio de uma calculadora, obtemos para x o valor 
aproximado 1,618. Esse número irracional é conhecido como 
número de ouro e corresponde, aproximadamente, à razão 
entre a maior e a menor medida de um retângulo áureo.
104 MATEMÁTICA• •
 4. No trapézio ABCD da figura a seguir, P e Q são os pontos médios dos lados AD e BC.
a) As fotocopiadoras expressam a razão de semelhança como uma porcentagem. Qual é, em porcentagem, a razão de semelhança entre a ampliação e a foto original? 
A
D
P Q
C
B
TEMA 
QUENTE
a) Explique por que os trapézios ABQP e PQCD não são semelhantes.
Os dois trapézios apresentam os ângulos internos ordenadamente 
congruentes. Entretanto, os lados não são proporcionais. De fato, os 
lados AP e PD são congruentes, assim como BQ e QC, mas o lado 
AB não é congruente ao lado PQ, nem este é congruente ao lado CD.
b) Algum dos trapézios do item anterior é semelhante ao trapézio ABCD?
Não, pois, mais uma vez, os ângulos internos são ordenadamente 
congruentes, mas os lados não são proporcionais.
 5. (FGV – SP) Podemos dizer que duas figuras geométricas são semelhantes, se uma delas, ampliada ou reduzida, for um modelo exato da outra, isto é, se a razão entre segmentos correspondentes for sempre a mesma. A razão de semelhança entre essa ampliação e a foto original do cervo-do-pantanal é igual a 13 5
6
9
4
, .
b) A foto original de um uacari-branco mede 3,2 cm por 4 cm. Foi feita uma ampliação da foto original. A razão de semelhança na ampliação foi de 125%. Expresse, em porcentagem, o aumento da área da ampliação em relação à foto original do uacari-branco.
Como 
13 5
6
9
4
2 25
,
, e 2 25
225
100
225, %, a razão de 
semelhança, em porcentagem, entre a ampliação e a foto 
original é 225%. É importante observar que a razão de 
semelhança não representa o percentual de aumento. 
A ampliação corresponde a 225% da foto original, ou seja, 
ocorreu um aumento de 125% no tamanho da foto 
(225% – 100%). 
Como a razão de semelhança, em porcentagem, entre 
a ampliação e a foto original é 125%, então a razão de 
semelhança é 125
125
100
125% , . Dessa forma, a razão 
entre as áreas da ampliação e da foto original é igual a 
125 156252, ,( ) = . Como 15625
156 25
100
156 25,
, , %, a razão 
entre as áreas da ampliação e da foto original é 156,25%, ou 
seja, ocorreu um aumento de 56,25% na área da ampliação.
9 cm
13,5 cm
4 cm
4 cm
3,2 cm
6 cm
8
5
16
13
8
1625
21
13
16153846
34
21
16190476
55
34
161
,
,
, ..
, ..
,
.
.
776470...
 
89
55
16181818
144
89
16179775
233
144
16180555
377
2
, ..
, ..
, ..
.
.
.
333
16180257
610
377
16180371
987
610
16180327
, ..
, ..
, ..
.
.
.
 
É possível notar que a sequência se aproxima cada vez mais 
do número de ouro.
Depois de calcular mais algumas razões, o que você observa na sequência formada pelos resultados? 
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 105• •
M
A
T
Triângulos semelhantes
Vamos relembrar um importante teorema sobre a 
proporcionalidade de segmentos.
Agora, vamos tratar de um tipo particular de semelhança: a 
semelhança de triângulos. Vamos iniciar o assunto estudando seu 
teorema fundamental.
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, 
então os segmentos determinados sobre a primeira transversal e os 
segmentos correspondentes determinados sobre a segunda transversal são 
proporcionais.
Portanto, para um feixe de três retas a, b e c que determinam pela 
transversal r os pontos A, B e C, e pela transversal s os pontos A’, B’ e C’, 
temos:
AB
BC
A B
B C
' '
' '
Essa relação é conhecida como teorema de Tales.
r s
A
B B’
A’
b
a
c C C’
NO
P Q r
M
NRO
P Q r
s
M
Se traçarmos uma reta paralela a um dos 
lados de um triângulo, intersectando os 
outros dois lados em pontos distintos, 
então o triângulo determinado por ela é 
semelhante ao primeiro.
No exemplo a seguir, a reta r é paralela ao lado NO do triângulo 
MNO, determinando o triângulo MQP.
Podemos afirmar que:
 • Q N� 
 (ângulos correspondentes)
 • P O
 � (ângulos correspondentes) 
 • M (ângulo comum)
Assim, os dois triângulos têm os ângulos correspondentes 
congruentes. 
Usando o teorema de Tales e as propriedades das proporções, 
podemos concluir que as medidas dos lados homólogos dos dois 
triângulos são proporcionais:
MO
MP
MN
MQ
Traçando pelo ponto Q uma paralela ao lado MO, marcamos R 
sobre NO e usamos novamente o teorema de Tales: 
MN
MQ
ON
OR
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
ar
ia
n 
Fi
l
106 MATEMÁTICA• •
Como PQRO é um paralelogramo, temos que OR PQ . Assim, 
MN
MQ
ON
PQ
.
Podemos escrever que 
MN
MQ
MO
MP
ON
PQ
. Portanto, como os lados correspondentes são 
proporcionais, concluímos que MNO ~ MQP.
Em triângulos semelhantes, lados correspondentes, também chamados de ladoshomólogos (homo = mesmo e logos = lugar), são aqueles que se opõem a ângulos 
congruentes. 
Casos de semelhança de triângulos 
Podemos dizer que a semelhança de triângulos é um caso particular da semelhança 
entre polígonos, pois a ocorrência de uma das condições garante a ocorrência da 
outra. Existem situações em que é possível determinar se dois triângulos são ou não 
semelhantes sem que seja necessário conhecer todos os seus elementos. São três os casos 
de semelhança de triângulos. 
1.º caso: ângulo-ângulo (AA) 
A
C
B E
D
F
A D
B E
ABC DEF
� 

 
 ∼� �≡
≡
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
Se dois triângulos 
apresentam 
dois ângulos 
correspondentes 
congruentes, então eles 
são semelhantes.
A
b
a
C
B
F
D
e
d
E
a
d
b
e
C F
ABC DEF
=
≡
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⇒

 
∼� �
Se dois triângulos 
apresentam dois pares 
de lados proporcionais e 
se os ângulos formados 
por esses lados são 
congruentes, então eles 
são semelhantes.
Se dois triângulos 
apresentam os 
três pares de lados 
proporcionais, então 
eles são semelhantes.
A
C
Bc
a d
f
b e
DE
F
a
d
b
e
c
f
ABC DEF= = ⇒� �∼
2.º caso: lado-ângulo-lado (LAL) 
3.º caso: lado-lado-lado (LLL) 
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 107• •
M
A
T
 6. Use seus conhecimentos a respeito de semelhança de triângulos para resolver as próximas questões.
a) Na figura ao lado, ABCD é um trapézio cujas diagonais se intersectam no ponto O. Justifique a semelhança entre os triângulos AOB e COD. 
São semelhantes pelo caso AA – o ângulo O do triângulo AOB é oposto pelo vértice ao ângulo O do triângulo COD e, portanto, esses ângulos são 
congruentes. O ângulo B é congruente ao ângulo D, pois são alternos internos (por esse mesmo motivo, os ângulos A e C são congruentes).
b) Um triângulo ABC cujos lados medem 18 cm, 27 cm e 30 cm é semelhante ao triângulo DEF cujo perímetro mede 25 cm. Quais são as medidas dos lados do triângulo DEF?
ATIVIDADES
EM13MAT308
B
CD
A
OO
6 cm
A
C B
15 cm
2 + y
E
4 cm 8 cm
G F
2 cm
x
3 cm
6 cm
A
B C
E
12
C
D
E
6
8
BA
18
Perímetro do triângulo ABC = 18 cm + 27 cm + 30 cm = 75 cm
Sendo x, y e z as medidas, em cm, dos lados do triângulo DEF, temos:
x y z
x y z
18 27 30
25
75
1
3
6 9 10= = = = ⇒ = = =; ;
Assim, as medidas dos lados do triângulo DEF são 6 cm, 9 cm e 10 cm.
Sendo x a medida da sombra do edifício, temos:
36
45
64
80= ⇒ =
x
x
A sombra do edifício mede 80 m. 
c) A sombra de uma torre de 36 m de altura mede 45 m. Nesse mesmo instante, quanto mede a sombra de um edifício de 64 m de altura?
 7. Determine o perímetro do triângulo ABC em cada item.
a) 
b) 
 8. Observe a figura ao lado e responda às questões.
a) Justifique a semelhança entre os triângulos ABC e DEC.
b) Calcule o perímetro do quadrilátero ABDE.
108 MATEMÁTICA• •
 9. Em um triângulo ABC, é inscrito um quadrado 
DEFG, com o lado GF contido no lado AB, como 
mostra a figura abaixo.
Determine a menor distância (d) em que o 
carro deverá manter-se do ônibus, a fim de que 
o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.
a) 14,5 m 
b) 15,5 m 
c) 16,0 m 
X d) 17,0 m 
e) 17,5 m 
 12. (FGV – SP) No triângulo 
ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 
e o lado BC foi prolongado, 
como mostra a figura, até 
o ponto P, formando-se o 
triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.
5,4 cm
10,8 cm
C
D E
GA BF
14 – xx
C
A P B
D
Qual é a medida dos lados do quadrado DEFG?
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes. Sendo x a medida 
dos lados do quadrado, temos:
10 8 5 4
5 4
, ,
,x x
=
−
5,4x = 58,32 – 10,8x
16,2x = 58,32 x = 3,6 cm
Portanto, os lados do quadrado medem 3,6 cm.
 10. Na figura a seguir, P é um ponto do segmento 
AB e os ângulos CAP , DBP e CPD são retos. 
Sabe-se também que AB = 14, AC = 8 e BD = 5. 
Calcule a medida dos segmentos AP e BP.
 11. (IFMT) Em uma avenida, 
um ônibus com 14 m de 
comprimento e 3 m de 
altura está parado a 5 m de 
distância da base de um semáforo, o qual está 
a 5 m do chão. Atrás do ônibus para um carro, 
cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 
2 m da parte frontal do carro, conforme indica 
a figura a seguir:
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
C
7
8
6
P
A B
O comprimento do segmento PC é
a) 7
b) 8
X c) 9
d) 10
e) 11
Agora, você pode fazer as questões 
67 a 70 da seção Conquista Enem.
1m
2 md14 m5 m
5 
m
Seja x a medida de AP. Como o ângulo CPD é reto, os 
triângulos APC e BDP são semelhantes. Assim:
AP
BD
AC
BP
x
x
=
=
−5
8
14
x2 – 14 x + 40 = 0 x = 4 ou x = 10
Existem duas possibilidades:
Se x = 4, então AP = 4 e BP = 10.
Se x = 10, então AP = 10 e BP = 4. 
Seja x a medida do segmento PC. Como os triângulos PAB e 
PCA são semelhantes, temos:
PA
PC
PB
PA
AB
CA
PA
PC
PC
PA
PA
PC
PC
PA
PC
PA
PC
PA
= =
=
+
=
= ⇒ =
+
= ⇒ +
7 8
6
8
6
3
4
7 8
6
77 4
3
3
4
7 4
3
7 7
12
12
3
4 12
3
4
9
PA PA
PA
PA
PC
PA
PC
PC
= ⇒ + = ⇒
⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 109• •
M
A
T
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
B C
A
c
H
b
n m
h
a
EM13MAT308
C
A
H
b
m
h
B
A
c
Hn
h
B C
A
c b
a
B
A
c
Hn
h
C
A
B
b
a
c
C
A
H
b
m
h
C
A
B
b
a
c
Algumas relações métricas entre os lados de um triângulo 
retângulo são obtidas com base na ideia de semelhança de 
triângulos. No triângulo retângulo da figura ao lado, destacamos os 
seguintes elementos:
 • o lado BC, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa do triângulo 
retângulo;
 • os lados AB e AC são os catetos;
 • o segmento AH é a altura relativa à hipotenusa;
A altura relativa à hipotenusa divide o triângulo ABC em dois outros triângulos retângulos.
Podemos mostrar que os três triângulos são semelhantes dois a dois.
 • Os triângulos ABC e HBA são semelhantes pelo 
caso AA.
A H
ABC ~ HBA
B (ângulo comum)
AB
HB
AC
HA
BC
BA
c
n
b
h
a
c
c
n
b
h
ch bn
c
n
a
c
c an
b
h
a
c
bc ah
= = ⇒ = =
= ⇒ = = ⇒ =
= ⇒ =
2
 • Os triângulos ABC e HAC são semelhantes pelo 
caso AA.
A H
ABC ~ HAC
C (ângulo comum)
AB
HA
AC
HC
BC
AC
c
h
b
m
a
b
c
h
b
m
bh cm
c
h
a
b
bc ah
b
m
a
b
b am
= = ⇒ = =
= ⇒ = = ⇒ =
= ⇒ =2
 • o segmento BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa;
 • o segmento CH é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa.
110 MATEMÁTICA• •
 • Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes ao 
triângulo ABC, então eles são semelhantes entre si, ou 
seja, HBA HAC~ .
B
A
c
Hn
h
C
A
H
b
m
h
HB
HA
HA
HC
BA
AC
n
h
h
m
c
b
n
h
h
m
h mn
n
h
c
b
ch bn
h
m
c
b
bh cm
= = ⇒ = =
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =2
Algumas dessas relações são mais valorizadas do 
que outras e compõem um conjunto de relações métricas 
bastante usadas para os triângulos retângulos.
 • Em um triângulo retângulo, o quadrado da 
medida de um cateto é igual ao produto 
da medida da hipotenusa pela medida da 
projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
b am2 e c an2
 • Em um triângulo retângulo, o quadrado 
da medida da altura relativa à hipotenusa 
é igual ao produto das medidas das 
projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h mn2
 • Em um triângulo retângulo, o produto das 
medidas dos catetos é igual ao produto 
da medida da hipotenusa pela medida da 
altura relativa à hipotenusa.
bc ah
Veja a relação entre média geométrica e essas relações métricas no Manual digital.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Nas figuras a seguir, determine as medidas x, y e z.
a)
D
x
y
B
CA
12
9
Dx y
A
BC
912
z
b)
Solução
Observando a figura, temos:
h
n
m x
b y
12
9
h mn
x x
a m n
b am
y y
2
2
2
2
12 9
144
9
16
16 9 25
25 16 25 16 5
=
= ⇒ = =
= + = + =
=
= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ 44 20=
Portanto, x = 16 e y = 20.
Solução
Observando a figura, temos:
b
c
m x
12
9
 
n y
h z
 
b am ax x
a
c an ay y
a
a m n x y
a a
2 2
2 2
12
144
9
81
144 81 225
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
= + = + = + =
aa
a a2 225 225 15= ⇒ = = 
x
y
bc ah z z
= =
= =
= ⇒ ⋅ = ⇒ = =
144
15
9 6
81
15
5 4
12 9 15
108
15
7 2
,
,
,
Portanto, x = 9,6, y = 5,4 e z = 7,2.
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 111• •M
A
T
 13. Calcule o valor de x em cada figura.
a) 14. Calcule os valores de a, h, c e n no triângulo retângulo abaixo.
ATIVIDADES
EM13MAT308
h mn
x
x x
2
2
2
8 2
16 16 4
=
= ⋅
= ⇒ = =
b am
x
x
2
29 20
81
20
4 05,
b am
x
x
x x
2
212 8 8
144 64 8
8 80 10
=
= + ⋅
= +
= ⇒ =
( )
bc ah
x
x x
=
⋅ = ⋅
= ⇒ =
5 4 2 7
7 20 2
20 2
7
b) 
c) 
d) 
 15. Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, escreveu vários livros, entre eles Liber Abaci, em 1202. Nele, encontra-se o problema a seguir.
b am a a
a m n n n
h mn h
2 2
2 2
30 18
900
18
50
50 18 32
18 32
= ⇒ = ⋅ ⇒ = =
= + ⇒ = + ⇒ =
= ⇒ = ⋅ ⇒ hh h
bc ah c c
2 576 576 24
30 50 24
1200
30
40
= ⇒ = =
= ⇒ = ⋅ ⇒ = =
Duas torres, uma com 
30 passos e a outra com 
40 passos de altura, estão 
à distância de 50 passos 
uma da outra.
Entre ambas se 
acha uma fonte, para 
a qual dois pássaros 
descem no mesmo 
momento do alto das 
torres com a mesma 
velocidade e chegam 
ao mesmo tempo. 
Quais as distâncias 
horizontais da fonte 
às duas torres?
m 
e 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/K
uc
o
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/B
ilh
a 
Go
la
n
112 MATEMÁTICA• •
Teorema de Pitágoras 
Com base nas relações métricas do triângulo 
retângulo, que obtivemos usando a semelhança de 
triângulos, podemos obter outra relação que é muito 
importante para a Matemática.
Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras, 
matemático e filósofo grego que viveu entre 
os séculos VI e V a.C. O teorema recebeu essa 
denominação por ter sido estudado na escola 
fundada por Pitágoras.
Podemos demonstrar esse teorema de muitas 
maneiras, além da que utiliza a semelhança 
de triângulos. Observe uma delas, baseada em 
comparação de áreas.
De um quadrado em que os lados medem b + c, 
retiramos quatro triângulos retângulos congruentes 
cujos catetos medem b e c.
Se isso for feito como mostra a primeira figura, 
obtemos um quadrado em que os lados medem a.Usando a para indicar a medida da hipotenusa, 
b e c para as medidas dos catetos e m e n para as 
projeções dos catetos sobre a hipotenusa, podemos 
mostrar a validade do teorema de Pitágoras:
b am I2 ( )
c an II2 ( )
Somando as equações (I) e (II), membro a 
membro, temos:
b c am an
b c a m n
b c a a
2 2
2 2
2 2
+ = +
+ = ⋅ +
+ = ⋅
( )
Portanto, a b c2 2 2= + . Se o mesmo procedimento for realizado 
de acordo com a segunda figura, obtemos dois 
quadrados, um com lados de medida b e outro com 
lados de medida c.
Portanto, a área do quadrado de lado a é igual à 
soma das áreas dos quadrados de lados b e c, ou seja:
a b c2 2 2= +
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado 
da medida da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos.
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 113• •
M
A
T
 16. Utilize o teorema de Pitágoras para resolver cada um dos itens.
a) Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujas dimensões são x e y?
d) Qual é a medida de cada diagonal de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são a, b e c?
ATIVIDADES
EM13MAT308
x
y
d
d x y
d x y
2 2 2
2 2
= +
= +
d
d
d
2 2 2
22 2
= +
= =
ℓ ℓ
h
ℓ
2 2
2
2 2
2
2
2
2
4
3
4
3
2
= +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= −
= ⇒ =
h
h
h h
a
b
d
D
c
• = +
• = +
= + +
= + +
d a b
D d c
D a b c
D a b c
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
D
d
a
a
a
D a a a a a= + + = =2 2 2 23 3
Sejam b e c = 2b as medidas dos catetos do triângulo. Assim:
b m a
b n a
b m a I
b n a II
2
2
2
22 4
= ⋅
= ⋅
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
= ⋅
= ⋅
⎧
⎨
⎪
⎩⎪( )
( )
( )
Substituindo (I) em (II), temos:
4 4 4⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =m a n a m n
n
m
b) Qual é a medida da diagonal de um quadrado de lado ?
c) Determine uma fórmula para a altura de um triângulo equilátero em função da medida dos lados.
e) Determine uma fórmula para a medida de cada diagonal de um cubo cujas arestas medem a. 
 17. Em um triângulo retângulo, a medida de um dos catetos é o dobro da medida do outro. Qual é a razão entre a maior e a menor projeção dos catetos sobre a hipotenusa?
114 MATEMÁTICA• •
 18. Apenas um dos triângulos abaixo é realmente retângulo. Use o teorema de Pitágoras e a calculadora 
para descobrir qual é. Em seguida, justifique sua decisão.
A
B
E
D
C
A
7
y
x
B
C
D
11
O único triângulo retângulo é GHI, pois 8 15 64 225 289 17 2892 2 2+ = + = =e . No triângulo ABC, temos 
10 15 100 225 325 18 3242 2 2+ = + = =e . Como 325 324 , ABC não é um triângulo retângulo. No triângulo DEF, temos 
19 9 361 81 442 21 4412 2 2+ = + = =e . Como 442 441 , DEF também não é um triângulo retângulo.
Sejam x e y, em metros, as dimensões do retângulo. 
x y
x y
x y
x y
⋅ =
= +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
⋅ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
40
10
40
1002 2 2 2 2
( )
( )
( )
( )
x y x xy y
x y x y xy
x y
x y
+ = + +
+ = + +
+ = + ⋅
+ = ⇒
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
100 2 40
180 xx y+ = 6 5
Portanto, o perímetro do retângulo é igual a 
2 2 2 6 5 12 5x y+ = ⋅ =  m.
 20. (UFG – GO) O Teorema 
de Pitágoras é um dos 
mais importantes de 
toda a Geometria. O seu 
conhecimento é a chave da resolução desta 
questão.
Seja ABCDE um polígono de 5 lados, como 
mostra a figura abaixo:
TEMA 
QUENTE
AB = BC = CD = AE = 1
a) Determine o comprimento das diagonais 
BE e CE.
b) Qual o perímetro do polígono ABCDE?
 21. No quadrilátero ABCD da figura, determine os 
possíveis valores inteiros de x e y.
 19. A área de um retângulo é igual a 40 m2 e cada 
uma de suas diagonais mede 10 m. O perímetro 
desse retângulo é igual a: 
a) 12 m
b) 28 m
c) 6 5 m
X d) 12 5 m
e) 60 m
A
F
D
G H
I
EC
B
10
18
15 19
21 9 8
15
17
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 115• •
M
A
T
 23. (UFPR) Em um triângulo 
retângulo, o maior e 
o menor lado medem, 
respectivamente, 12 cm e 
4 cm. Qual é a área desse triângulo?
a) 4 2 2cm .
b) 16 2cm .
 24. (UPE) No triângulo SRT, 
representado a seguir, os 
lados RT e RS têm medidas 
iguais. Sabendo que o 
segmento RU mede 6 cm e o 
segmento ST mede 8 2 cm, a área do 
triângulo SRU é quantos por cento da área 
do triângulo SRT?
a) 60% 
b) 70% 
X c) 75% 
d) 80% 
e) 85% 
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Em um triângulo retângulo, o maior lado é a hipotenusa e o 
menor lado é um dos catetos. 
a cm
b cm
12
4
a b c
c
c
c
c
c cm
2 2 2
2 2 2
2
2
12 4
144 16
128
128 64 2
8 2
= +
= +
= −
=
= = ⋅
=
A área de um triângulo retângulo pode ser calculada como a 
metade do produto das medidas dos catetos. Assim:
A
b c
A
A cm
=
⋅
=
⋅
=
2
4 8 2
2
16 2 2
 22. (UFLA – MG) A figura ABCDEA é formada por dois triângulos retângulos. Os segmentos AB, BC, e BE têm o mesmo tamanho a. Sabendo também que o segmento BD tem o mesmo tamanho que o segmento DE, e que o perímetro da figura ABCDEA vale 8, o valor de a é: 
a) a 8 5
b) a 8 2
X c) a =
+ +
16
5 2 2 5
d) a =
+ +
8
5 2 2 5
E
A
D
B Ca
No triângulo retângulo ABE, temos:
AB a BE a
AE AB BE
AE a a
AE a AE a
= =
= +
= +
= ⇒ =
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 22 2
No triângulo retângulo BCD, temos:
BD
a
BC a
CD BD BC
CD
a
a
CD
a
CD
= =
= +
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
= ⇒ =
2
2
5
4
2 2 2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( )
( )
aa 5
2
Como o perímetro da figura ABCDEA é 8, temos:
AB BC CD DE AE
a a
a a
a
a a a a a
a a a
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + =
8
5
2 2
2 8
2 2 5 2 2 16
5 5 2 2 116
5 5 2 2 16
16
5 5 2 2
a
a
⋅ + + =
=
+ +
( )
R S
T
U
c) 8 2 2cm .
X d) 16 2 2cm .
e) 24 2cm .
 25. (ITA – SP) Seja ABC um triângulo cujos lados 
AB , AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, 
respectivamente. Considere os pontos M e N 
sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa 
a BC e N é o ponto médio de BC. A área do 
triângulo AMN, em cm2, é
X a) 3,36.
b) 3,60.
c) 4,20.
d) 4,48.
e) 6,72.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
116 MATEMÁTICA• •
ENEM Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos 
retângulos isósceles, como ilustra a figura.
Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo que a 
menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem2 cm. 
O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do 
lado, em centímetro, é
a) 14 b) 12 c) 7 2 d) 6 4 2 e) 6 2 2 
Observe o raciocínio de um estudante ao resolver a questão a seguir.
ANÁLISE DO ERRO
3x
2x
x
O estudante considerou o cateto do menor triângulo como uma 
unidade e, a partir dessa medida, estimou as medidas dos catetos 
dos outros dois triângulos que formam o lado do quadrado.
Como o cateto do menor triângulo mede 2 cm, o lado do quadrado 
maior foi calculado assim:
1 2 2 2 3 2 6 2 12⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ =cm cm cm cm cm 
Dessa maneira, o estudante marcou a resposta b.
Contudo, essa não é a resposta correta. O estudante fez uma estimativa visual da medida dos catetos 
dos triângulos, mas podia ter obtido uma medida exata aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos 
da figura, ou a fórmula da medida da diagonal, que é uma consequência do teorema.
Os triângulos ABC, CAD, DCE, EDF e FEG são retângulos isósceles, de 
acordo com o enunciado.
Então, a hipotenusa de cada um é igual à diagonal do quadrado: 2 . 
Temos que AB = BC = 2 cm.
Como ABC é isósceles, então AC = 2 2 cm.
Temos que AD = AC = 2 2.
Como CAD é isósceles, então DC = 2 2 2 = 4 cm. 
Portanto, CD = CE = 4 cm.
Como DCE é isósceles, então DE = 4 2cm.
Temos que DF = DE = 4 2 cm.
Como EDF é isósceles, então FE = 4 2 2 = 8 cm.
Temos que EF = EG = 8 cm.
O lado do quadrado é igual a BC + CE + EG = 2 + 4 + 8 = 14 cm.
Portanto, a alternativa correta é a.
3x
2x
x
Contudo, essa não é a respoppppp sta correta. O
A B
C
E
D
F
G
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7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 117• •
M
A
T
Ternas pitagóricas
A figura ao lado é uma representação do teorema de Pitágoras. 
Note que o triângulo formado pelos lados dos quadrados é 
retângulo e tem catetos medindo 3 e 4 unidades, e hipotenusa, 
5 unidades. As áreas dos quadrados são 32, 42 e 52. Portanto, temos 
3 4 52 2 2+ = .
Agora, observe a segunda figura. Podemos usar o que sabemos para 
calcular a medida x do lado do quadrado.
x x x2 2 2 210 26 676 100 576 24+ = ⇒ = − = ⇒ =
Vimos aqui dois exemplos de conjuntos de três números que são 
medidas dos lados de um triângulo retângulo: 3 – 4 – 5 e 10 – 24 – 26.
Conjuntos de números inteiros que têm essa propriedade são 
chamados de ternas pitagóricas.
Veja mais alguns exemplos:
9 12 15 9 12 81 144 225 152 2 2− − + = + = =, pois 
5 12 13 5 12 25 144 169 132 2 2− − + = + = =, pois
8 15 17 8 15 64 225 289 172 2 2− − + = + = =, pois
FIQUE POR DENTRO
3
4
5
10
26
x
1) ESCOLHA DOIS NÚMEROS 
INTEIROS, QUE VAMOS 
CHAMAR DE a E b.
Ao investigar as ternas pitagóricas, 
os estudiosos da Matemática 
descobriram que, multiplicando ou 
dividindo os números de uma terna 
por um mesmo valor inteiro, obtinham 
outra terna pitagórica. Já vimos isso 
aqui em dois exemplos: 3 – 4 – 5 e 
9 – 12 – 15. A segunda terna é obtida 
quando multiplicamos os termos da 
primeira por 3.
Os estudiosos também 
descobriram como obter uma terna a 
partir de dois inteiros quaisquer.
Os resultados 2ab, a b2 2 e 
a b2 2 formam uma terna pitagórica.
2) CALCULE O DOBRO DO 
SEU PRODUTO, 2ab.
3) ENCONTRE A DIFERENÇA 
ENTRE SEUS QUADRADOS: 
a b2 2 .
4) CALCULE A SOMA DOS SEUS 
QUADRADOS: a b2 2 .
118 MATEMÁTICA• •
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Com o auxílio da trigonometria, podemos estabelecer mais algumas 
relações bastante úteis envolvendo segmentos e ângulos dos triângulos.
Você já deve ter percebido que as construções apresentam telhados 
com diferentes inclinações. Não são só o estilo da construção e o clima do 
lugar que definem a inclinação, mas também o tipo de telha que é usado. 
EM13MAT201
Telha ondulada
Telha plana
Observando essa construção, notamos que há triângulos retângulos, 
nos quais o telhado forma as hipotenusas, e a largura e a altura dele, os 
catetos. Por meio da figura, percebemos que um telhado mais inclinado 
resulta em um ângulo maior desse telhado com a horizontal.
Os fabricantes de telhas costumam indicar a inclinação mínima 
adequada ao produto que fabricam. Em geral, essa informação é 
dada na forma de porcentagem, indicando a razão entre o cateto que 
representa a altura e o cateto que representa o comprimento.
Observe, no gráfico abaixo, as inclinações indicadas para diferentes 
tipos de telha.
Vamos calcular a inclinação, em porcentagem, que deve ser usada 
para a telha colonial:
altura
l ura
m
marg
,
%
2 7
10
27
100
27
Agora, para a telha ondulada:
altura
l ura
m
marg
,
%
1 7
10
17
100
17
Os resultados encontrados para cada triângulo são as porcentagens 
de inclinação dos telhados. Assim, no primeiro caso, a inclinação é de 
27%, que é o indicado para a telha colonial, e, no segundo, a inclinação 
é de 17%, que é o indicado no gráfico para a telha ondulada. 
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 119• •
M
A
T
Essa razão entre a medida do cateto oposto a um 
ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo é 
conhecida como tangente do ângulo.
C
B
A
tg
medida do cateto oposto a
medida do cateto adjacente a
AB
AC
α
α
α
= =
sen
medida do cateto oposto a
medida da hipotenusa
AB
BC
α
α
= =
cosα
α
= =
medida do cateto adjacente a
medida da hipotenusa
AC
BC
A tangente é uma razão trigonométrica. Podemos estabelecer outras.
O seno de um ângulo é definido como a razão entre a medida do cateto oposto ao 
ângulo e a medida da hipotenusa.
O cosseno de um ângulo é dado pela razão entre a medida do cateto adjacente ao 
ângulo e a medida da hipotenusa.
Essas razões possibilitam a obtenção de todos os elementos de um triângulo 
retângulo, desde que sejam conhecidos um ângulo, além do reto, e um de seus lados. 
Você encontra os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos menores do que 90° 
em uma tabela na página 150. As calculadoras científicas também fornecem esses valores. Para 
facilitar os cálculos, você pode usar aproximações para duas ou três casas decimais.
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Situação 1
Um retângulo tem um dos lados medindo 
a diagonal mede 35°. Calcule a medida da 
diagonal e do outro lado do retângulo.
x
30 cm
d
35°
Solução
tg ,
cos , ,
35
30
0 70
30
21
35
30
0 82
30
36 6
° = ⇒ = ⇒ =
° = ⇒ = ⇒
x x
x
d d
d
As medidas aproximadas da diagonal 
e do outro lado do retângulo são, 
Situação 2 
Um menino empina uma pipa que está a 
35 metros de altura do solo no momento em que 
a linha que a controla forma um ângulo de 30° 
com a horizontal. Se nesse momento a linha se 
partisse justamente na mão do menino, quantos 
metros de linha seriam perdidos?
Solução
A razão trigonométrica que permite o 
cálculo direto da medida da linha 
perdida é a do seno.
sen 30
35 1
0 5
34
68° =
−
⇒ = ⇒ =,
30°
35 m
1 m
Soluçãççç o
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
ax
x-
St
ud
io
120 MATEMÁTICA• •
 26. Usando a tabela da página 150 e as razões trigonométricas, determine as medidas aproximadas dos ângulos B e C do triângulo retângulo abaixo.
 29. Com base na figura abaixo, determine a medida aproximada do ângulo α.
ATIVIDADES EM13MAT201
24
30
18
B
A C
Podemos começar por qualquer um dos ângulos e usar 
qualquer das razões, uma vez que temos as medidas dos três 
lados. Por exemplo:
sen B
24
30
0 8,
Consultando a tabela, constatamos que o valor mais próximo 
a 0,8 é do seno de 53°. Assim, podemos dizer que a medida 
aproximada do ângulo B é 53°.
Por conseguinte, o ângulo C mede aproximadamente 37°. 
Essa resposta pode ser confirmada com o uso de qualquer 
uma das razões trigonométricas.
 27. Explique o fato de o seno e o cosseno de um ângulo agudo serem sempre menores do que 1.
Pessoal. Nesse momento, a explicação deve referir-se ao fato de 
o seno e o cosseno serem determinados a partir de divisões em 
que o divisor (medida da hipotenusa) é um número maior do que 
o dividendo (medida de um cateto). 
 28. O projeto de uma casa determina que o “caimento” do telhado deve ser de 35%. Qual é a medida aproximada do ângulo que o telhado forma com a horizontal?
TEMA 
QUENTETEMA 
QUENTE
100 cm
35 cm
tg ,θ = =
35
100
0 35
Consultando a tabela, verificamos que o valor mais próximo a 
0,35 é da tangente de 19°. Assim, a medida do ângulo que o 
telhado forma com a horizontal é de aproximadamente 19°.
A 40 B
13
C
D
15
 30. Em uma loja, está sendo construída uma rampa para cadeirantes. Para vencer um desnível vertical de 50 cm, essa rampa terá inclinação de 5°. Qual será o comprimento total da rampa depois de pronta? 
tg β = =
13
40
0 325,
Na tabela, o valor aproximado de β é 18°. 
tg ( ) ,α β+ =
+
= =
13 15
40
28
40
0 7
Na tabela, o valor aproximado de α + β é 35°. Assim:
α β α α+ = ° ⇒ + ° = ° ⇒ = °35 18 35 17
0,5 m
x
5°
sen
x x
x5
0 5
0 09
0 5 0 5
0 09
5 6° = ⇒ = ⇒ =
,
,
, ,
,
,
 
O comprimento da rampa será de 5,6 m.
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 121• •
M
A
T
O texto a seguir serve de base para resolução da 
questão 31.
 31. Um engenheiro está realizando as medições necessárias para a construção de uma ponte. Ele observa duas pedras que estão na outra margem, uma exatamente à sua frente. Usando um teodolito, ele verifica que o ângulo para que aviste a outra pedra é de 55°. O engenheiro se desloca por 35 m, acompanhando a margem do rio, até que a segunda pedra esteja exatamente à sua frente. Com essas informações, ele pode calcular a largura aproximada do rio, que equivale a:
a) 4 m
X b) 25 m
c) 43 m
d) 50 m
e) 61 m 
Um teodolito é um aparelho que mede 
ângulos e é utilizado na demarcação de terras. 
O funcionamento é semelhante ao processo 
utilizado pelos astrônomos para calcular as 
distâncias da Terra às estrelas e a outros astros. 
Com uma trena e um teodolito, é possível 
medir a distância entre um ponto qualquer 
localizado de um lado de um rio e uma árvore 
localizada no lado oposto. Acompanhe o 
procedimento.
1.º) Fixa-se o teodolito no ponto desejado 
e aponta-se para um referencial na outra 
margem, nesse caso, a árvore.
2.º) Afasta-se o teodolito desse ponto 
alguns metros, formando 90° com a direção 
que aponta para a árvore, e fixa-se o teodolito 
novamente. Mede-se essa distância.
3.º) Aponta-se o teodolito para a árvore 
e mede-se o ângulo agudo formado entre a 
direção do afastamento e a direção que aponta 
para a árvore.
Para obter a distância desejada, é 
necessário, no mínimo, realizar duas medidas 
angulares e uma medida linear.
Pedra Pedra
Rio
x
55°
35 m
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
 32. (UNCISAL) De um ponto do chão situado a 150 m de distância de um edifício, vê-se o topo do prédio sob um ângulo de 60°, como mostra a figura, desenhada sem escala.
h
AB 150,0 m
60°
Se for adotado 3 1 7, , o ponto do chão a partir do qual se vê o topo sob um ângulo de 45° ficará a uma distância do edifício igual a
a) 75,0 m.
b) 105,0 m.
c) 127,5 m.
X d) 255,0 m.
e) 355,0 m.
De acordo com os dados do enunciado, temos: 
tg
x
x
x
55
35
1 43
35
24 5
° =
= ⇒, ,
Portanto, a largura aproximada do rio é de 25 metros.
Dica: use
 tg 60° = 3 .
122 MATEMÁTICA• •
Ângulos notáveis 
Os ângulos de 30°, 45° e 60° são conhecidos 
como ângulos notáveis por aparecerem em polígonos 
regulares, como o quadrado e o triângulo equilátero, 
que são muito utilizados nas construções humanas. 
Por conseguinte, seus valores de seno, cosseno e 
tangente frequentemente são solicitados em cálculos. 
Os valores das razões trigonométricas 
apresentados na tabela da página 150 são 
aproximados. Vamos obter os valores exatos de seno, 
cosseno e tangente dos ângulos notáveis. Acompanhe.
B
C
A
D
x
x B
CD
45°
45°
ℓd d
ℓ
ℓ
ℓ
ℓℓ
ℓ
2
ℓ
2
60°
30°30°
60°
h
B C
A
ℓ
ℓ
2
30°
60°
h
C
A
HH
30° 45° 60°
Seno
1
2
2
2
3
2
Cosseno 3
2
2
2
1
2
Tangente 3
3
1 3
Em um quadrado, destacamos um triângulo 
retângulo e isósceles, que apresenta os dois ângulos 
agudos de medida 45°.
Utilizando o teorema de Pitágoras, obtemos d 
em função de .
d d d2 2 2 2 2 22 2= + ⇒ = ⇒ = ⇒ d 2
Vamos calcular as razões trigonométricas para o 
ângulo de 45° em função de .
i
i
i
� �
�
� �
�
sen
d
d
45
2
1
2
1
2
2
2
2
2
45
2
1
2
1
2
2
2
2
2
45
° = = = = ⋅ =
° = = = = ⋅ =
°
cos
tg == =
�
� 1
Sem extrair as raízes quadradas, obtivemos os 
valores exatos para o seno, o cosseno e a tangente 
de 45°.
Agora, em um triângulo equilátero, destacamos 
um triângulo retângulo, que apresenta um ângulo 
de 30° e um ângulo de 60°.
Utilizando o teorema de Pitágoras, obtemos 
h em função de .
2 2
2
2 2
2
2
2
2 4
3
4
= + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ = − ⇒ = ⇒h h h
⇒ =h
3
2
Vamos calcular as razões trigonométricas para 
os ângulos de 30° e 60° em função de .
i
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
sen
h
h
30 2
2
1 1
2
30
3
2 3
2
1 3
2
30 2 2
° = = ⋅ =
° = = = ⋅ =
° = =
cos
tg
��
�
�3
2
2
2
3
1
3
3
3
3
3
= ⋅ = ⋅ =
i
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
sen
h
h
60
3
2 3
2
1 3
2
60 2
2
1 1
2
60
2
3
° = = = ⋅ =
° = = ⋅ =
° = =
cos
tg 22
2
3
2
2
3�
�
�= ⋅ =
Organizando os dados, temos:
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 123• •
M
A
T
Construindo e explorando triângulos retângulos
Utilizando softwares de geometria dinâmica, podemos desenhar figuras 
geométricas e analisar suas propriedades. Neste capítulo, estudamos os 
triângulos retângulos, que são polígonos especialmente interessantes. As 
propriedades que conhecemos serão muito úteis em nossos estudos daqui 
para a frente, tanto na geometria plana como em outros temas.
Uma das funcionalidades mais importantes em um software de 
desenho é a de desenhar ângulos retos. Em geral, existe mais de uma 
maneira de fazer isso, então vamos conhecer duas delas.
Retas perpendiculares
Ao desenhar duas retas perpendiculares, obtemos um ângulo reto, 
que pode depois fazer parte de um polígono. As retas perpendiculares 
também são usadas em muitas construções geométricas mais complexas.
Começamos construindo uma reta qualquer com a ferramenta 
“Retas”. Em seguida, definimos um ponto por onde queremos que a 
perpendicular passe. Na figura, colocamos dois exemplos: um ponto 
sobre a reta (C) e outro fora dela (D).
Clicamos no botão da ferramenta “Reta perpendicular” 
Reta
Perpendicular
 
e, em seguida, na reta e depois no ponto por onde queremos que a 
perpendicular passe (ou vice-versa). Pronto! A tela exibe imediatamente 
a reta que criamos.
Cada par de retas perpendiculares dá origem a quatro ângulos 
retos. Criando um ponto sobre cada uma das retas, podemos construir 
um triângulo retângulo. Para melhor visualizar essa construção, basta 
usar a ferramenta “Polígono” 
Polígono
 e clicar nos três vértices do 
triângulo.
Construção de um ângulo com a medida desejada
Outra maneira de construir um ângulo reto em um software é 
usando uma ferramenta de construção de ângulos. 
Para começar a construção, precisamos de dois pontos, que podem 
estar sobre uma reta ou um segmento.
Em seguida, selecionamos a ferramenta “Ângulo com amplitude 
fixa” Ângulo com
Amplitude Fixa
. Com essa ferramenta, vamos escolher a posição do 
ângulo e digitar sua medida.
Em nosso exemplo, vamos criar um ângulo de 90° com vértice em A 
e com o segmento AB como um dos lados.
FIQUE POR DENTRO
D
C
D
C
C
E
F
A B
©Shutterstock/Yana Tomashova
124 MATEMÁTICA• •
Clicamos, então, no ponto B e, em seguida, no vértice A. O programa 
vai exibir uma caixa de digitação na qual colocaremos a medida 90°. 
Depois de apertar Enter, um terceiro ponto é criado (na figura, B’), e ele 
pertence ao segundo lado do ângulo.
Para completar a figura, criamos um segmento passando por A e B’.
Ferramentas de medidas
Os softwares de geometria contam com ferramentas que permitem 
a medição. Neste momento, nos interessa saber como medir ângulos e 
como obter a medida de lados de um polígono.
Para medir ângulos, usamos a ferramenta “Ângulo” 
Ângulo
. Ela 
funciona da mesma forma que a ferramenta que faz a construção de um 
ângulo. Assim, basta clicar em um ponto do primeiro lado, em seguida 
no vértice e, por último, em um ponto do terceiro lado. O ângulo será 
marcado,e sua medida, exibida.
Para medir o lado de um polígono ou a distância entre dois 
pontos, há a ferramenta “Distância” 
Distância
Comprimento
cm
. Depois de selecioná-la, 
clicamos sobre o segmento a ser medido, ou nos seus dois extremos, 
em sequência.
Explorando conhecimentos
Conhecendo as ferramentas dos softwares de geometria, podemos 
explorar e descobrir propriedades geométricas das figuras. Solucione 
alguns dos desafios usando o que você aprendeu.
 • Desenhe um triângulo retângulo usando dois métodos diferentes.
 • Obtenha as medidas de todos os ângulos e lados dos triângulos 
que você criou. Usando uma calculadora, verifique se é válida a 
relação a b c2 2 2= + para seu triângulo.
 • Transforme esses triângulos em triângulos 
retângulos isósceles.
 • Crie um triângulo com ângulos de 90°, 
40° e 50°. Usando o que você sabe sobre as 
razões trigonométricas e com a ajuda de uma 
calculadora, encontre o seno, o cosseno e a 
tangente do ângulo de 40°.
 • Desenhe um triângulo retângulo 
qualquer e trace a altura relativa 
ao ângulo reto. Encontre as medidas 
dos lados e da altura. Verifique 
se é válida a relação 
ah = bc.
B
A
B’
90°
B
A
C
44°
A
BA = 6 CB = 4
AC = 9
B
C
AS MEDIDAS DE ÂNGULOS E DE 
COMPRIMENTO PODEM TER O NÚMERO 
DE CASAS DECIMAIS AJUSTADAS NO 
 DE GEOMETRIA.
QUANTO MAIS CASAS, MAIS 
PRECISO SERÁ O RESULTADO DAS 
VERIFICAÇÕES QUE VOCÊ FIZER.
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 125• •
M
A
T
 33. Calcule as medidas x e y dos triângulos retângulos a seguir.
a) 34. O tronco de uma árvore media 14 metros e era perfeitamente vertical. Durante um temporal, um raio atingiu o tronco e o partiu, de modo que a parte superior passou a formar um ângulo de aproximadamente 34° com o solo. A que distância do solo o raio atingiu o tronco da árvore? 
ATIVIDADES
EM13MAT308
60°x y
12√3
sen
x x
x
tg
y y
y
60
12 3 3
2
12 3
24
60
12 3
3
12 3
12
° = ⇒ = ⇒ =
° = ⇒ = ⇒ =
45°
x
13y
cos 45
13 2
2
13
2 26 13 2
45
13
1
13
13
° = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
° = ⇒ = ⇒ =
x x
x x
tg
y y
y
30°
60°
x
24 y
tg
x
y
x
y
x y
tg
x
y
x
y
y
y
y y
60 3 3
30
24
3
3 24
3
3
3
24
3 24
° = ⇒ = ⇒ =
° =
+
⇒ =
+
⇒
⇒ =
+
⇒ = + ⇒ yy
x y x
=
= ⇒ =
12
3 12 3
14 - x
34°
x
sen
x
x
x
x
x x x x
34
14
0 56
14
7 84 0 56 156 7 84 5
° =
−
=
−
⇒ − = ⇒ = ⇒, , , , ,
Portanto, o raio atingiu o tronco em um ponto que dista 
aproximadamente 5 metros do solo.
b) 
c) 
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
 35. Uma câmera de segurança fixada a 3 m de altura mostra o topo de um edifício segundo um ângulo de 35° com o plano horizontal. Outra câmera, situada a 40 metros da primeira, fixada na mesma altura, e mais próxima do edifício, mostra o topo segundo um ângulo de 45° com o plano horizontal. Calcule a altura aproximada do edifício.
45°35°
40 m x
x
3 m
A
D
B C
Seja x a distância entre o edifício e a segunda câmera, que está 
mais próxima, o triângulo retângulo BCD é isósceles e, portanto, 
BC = CD = x. No triângulo retângulo ACD, temos:
tg
x
x
x
x
x x x x
35
40
0 7
40
28 0 7 0 3 28 93 3
° =
+
=
+
⇒ + = ⇒ = ⇒, , , ,
Altura do prédio: 93,3 + 3 = 96,3
Portanto, a altura aproximada do edifício é de 96,3 m.
126 MATEMÁTICA• •
 36. Determine o valor de x na figura. Se o ângulo BÂC do instrumento mede 12°, a distância d, em milímetros, do ponto A ao ponto de tangência P é igual a: 
a) 2
12cos
b) 6
12sen
c) 6
6cos
X d) 2
6tg
yx
A
B CD45° 60° 30°
E z
100
y y
tg 60 3 y z 3
z z
y 3 z 3
tg 30
z 100 3 z 100
3z z 100 z 50
y z 3 y 50 3
y 2 50 3
sen 45 x 50 6
x 2 x
6 5 4 3 2 1 0
B
C
A
6 5 4 3 2 1
6°
2
0
d
P
Observando a figura, podemos escrever que:
tg
d
d
tg
6
2 2
6
° = ⇒ =
°
60º
Sítio
Anápolis Santa Rita
30
km
 37. (UERJ) A ilustração abaixo mostra um instrumento, em forma de V, usado para medir o diâmetro de fios elétricos.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Para efetuar a medida, basta inserir um fio na parte interna do V e observar o ponto da escala que indica a tangência entre esse fio e o instrumento. Nesse ponto, lê-se o diâmetro do fio, em milímetros.Considere, agora, a ilustração a seguir, que mostra a seção reta de um fio de 4 mm de diâmetro inserido no instrumento.
 38. (UNIEVANGÉLICA – GO) Suponha que um sítio esteja situado no mapa, conforme a figura a seguir.
Sabendo-se que a reta que liga o povoado de Santa Rita a Anápolis é perpendicular à reta que liga Anápolis ao sítio, qual a distância, em quilômetros, do sítio ao povoado de Santa Rita? 
a) 30
X b) 60
c) 20 3
d) 15
Agora, você pode fazer as questões 
71 a 73 da seção Conquista Enem.
Seja x a distância do sítio ao povoado de Santa Rita. Então: 
cos60
30 1
2
30
60° = ⇒ = ⇒ =
x x
x 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/P
ch
.V
ec
to
r
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 127• •
M
A
T
Chamamos de trigonometria a parte da 
Matemática que estuda as relações entre as medidas 
dos ângulos e dos lados dos triângulos. A palavra 
“trigonometria” tem origem grega, e é a junção de 
, que significa triângulo, e metron, que 
significa medida. 
As aplicações da trigonometria são muitas e 
atingem áreas como música, astronomia, química, 
biologia e geografia. Contudo, acredita-se que ela 
tenha surgido no estudo dos astros e tenha sido 
aperfeiçoada na aplicação desses conhecimentos 
nas técnicas de navegação.
Até agora, estudamos as razões trigonométricas 
em um triângulo retângulo. No entanto, em 
inúmeras situações, nos deparamos com triângulos 
que não são retângulos. Para isso, veremos dois 
importantes teoremas, válidos para qualquer 
triângulo.
Antes disso, precisamos conhecer algumas 
relações para o seno e para o cosseno de um ângulo 
obtuso, cuja medida é maior do que 90° e menor do 
que 180°, e também de um ângulo reto. 
 • Dado um ângulo obtuso de medida 
( 90 180° < < °α ), temos:
Como os astrônomos medem 
a distância em anos-luz 
entre as estrelas e a Terra?
É simples, juram os especialistas. “Primeiro 
observamos o astro com um telescópio. A luz 
que ele emite é como uma reta e o próprio 
instrumento mede o ângulo entre essa linha 
e a Terra”, diz o astrônomo Thyrso Villela, 
do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais 
(Inpe), em São José dos Campos, São Paulo. 
Seis meses depois, repete-se a operação. Aí, 
a Terra vai estar do outro lado do Sol, ou seja, 
no extremo oposto de sua órbita, e, por isso, o 
ângulo será diferente. Juntando as duas retas e 
a linha que representa o deslocamento da Terra 
entre os dois momentos, é possível desenhar 
um triângulo. Como o diâmetro da órbita 
terrestre é conhecido, o astrônomo pode 
usá-lo para deduzir o tamanho dos outros 
lados da figura geométrica e, assim, descobrir 
a distância entre a estrela e o nosso planeta. 
A medida é feita em anos-luz – o espaço 
percorrido pela luz, no vácuo, durante um 
ano. Como a luz corre a 300 000 quilômetros 
por segundo, 1 ano-luz dá 9,5 trilhões de 
quilômetros. Usado desde 1838, o método tem 
margem de erro de 10%, o que é considerado 
muito pouco pelos astrônomos. 
ASTRÔNOMOS desenham triângulos no céu. Disponível em: https://super.
abril.com.br/tecnologia/astronomos-desenham-triangulos-no-ceu/. Acesso 
em: 26 mar. 2021.
180° – 
• sen senα α= ° −( )180
• cos cos ( )α α= − ° −180
Exemplos:
sen sen sen120 180 120 60° = ° − ° = °( )
cos ( ) cos150 180 150 30° = − ° − ° = − °cos
sen sen sen135 180 135 45° = ° − ° = °( )
cos cos ( ) cos175 180 175 5° = − ° − ° = − °
 • Dado um ângulo reto, temos:
Posteriormente, quando 
for estudado o círculo 
trigonométrico, essas relações 
podem ser verificadas 
sen90 1° =
cos90 0° =
FIQUE POR DENTRO
novamente e com mais profundidade..
©
Ab
ril
 C
om
un
ic
aç
õe
s/
S.
A.
Su
pe
rin
te
re
ss
an
te
128 MATEMÁTICA• •
LEI DOS SENOS 
Para calcular a distância de um ponto situado em uma praia até um farol em uma 
ilha, uma pessoa utilizou o procedimento descrito a seguir.
A partir de um ponto P (onde a pessoa estava inicialmente), ela caminhou até um 
PQF e QPF, obtendo respectivamente110° e 50°. 
Qual é a distância aproximada entre o ponto P e o farol F? 
Uma das maneiras de resolver esse problema é dividir o triângulo PQF em 
dois triângulos retângulos e utilizar as razões trigonométricas que estudamos 
anteriormente. Entretanto, existe uma relação conhecida como lei dos senos (ou 
teorema dos senos) que permite resolver o problema mais facilmente.
P
110°
50°
Q
F
1 km
EM13MAT308
A
C
c
a
b
B
BC
A
HA
CB
A
bc ha
a
CB
CB
A
b
c
hc
HC
a
B
A
Em um triângulo ABC qualquer, as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos respectivos ângulos opostos.
a
sen A
b
senB
c
senC� 
 
Vamos demonstrar a lei dos senos. Considere um 
triângulo acutângulo ABC.
Traçando a altura relativa ao vértice A, de 
medida ha, temos:
� 
 
ABH sen B
h
c
h c sen BA
a
a: = ⇒ = ⋅ ( )1
� 
 
ACH sen C
h
b
h b sen CA
a
a: = ⇒ = ⋅ ( )2
Comparando (1) e (2):
c sen B b sen C
c
sen C
b
sen B
I⋅ = ⋅ ⇒ = ( )
Traçando a altura relativa ao vértice C, de 
medida hc, temos:
� � �CAH sen A
h
b
h b sen AC
c
c: = ⇒ = ⋅ ( )3
� 
 
CBH sen B
h
a
h a sen BC
c
c: = ⇒ = ⋅ ( )4
Comparando (3) e (4):
b sen A a sen B
b
sen B
a
sen A
II⋅ = ⋅ ⇒ =� 

 � ( )
Finalmente, das igualdades (I) e (II), temos:
c
sen C
b
sen B
a
sen A
 
 �
As demonstrações para um triângulo obtusângulo e para um triângulo retângulo são análogas à anterior, 
considerando que sen sen( )180° − =α α e sen 90 1° = .
m 
m
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 129• •
M
A
T
Agora, podemos resolver o problema apresentado na página anterior.
Para determinar a distância aproximada entre o ponto P e o farol F, utilizamos as 
aproximações sen 20 0 34° = , e sen 70 0 94° = , . 
Sendo α a medida do ângulo PFQ , temos:
α = ° − ° − ° = °180 50 110 20
Utilizamos a lei dos senos:
d
sen sen
sen sen sen
d
sen sen
110
1
20
110 180 110 70
70
1
2
°
=
°
° = ° − ° = °
°
=
( )
00
0 94
1
0 34
0 94
0 34
2 76
°
= ⇒ =
d
d
, ,
,
,
,
d
Q
P
F
20˚
110˚
50˚
1 km
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Calcule os valores de x e y nos triângulos a seguir.
58˚
C
A B
14
y
x
36˚
20
CA
B
x
y
35˚
40˚
50˚
C
A B
x
y
229
y
x
sen sen
sen sen
= ° − ° − ° = °
°
=
°
° = ° − °
180 40 35 105
35
20
105
105 180 105( ) == °sen 75
=
=
⋅
x
x
0 57
20
0 97
20 0 57
0 97
11 8
, ,
,
,
,
22
50
9
22
50
9 22
0 77
9
sen sen B
y
sen x
sen sen B sen B
°
= =
°
= ⇒ =

 

 
,
9
sen B =
 ⋅⋅
⇒ °
= ° − ° − ° = °
° = ° −
0 77
22
0 32 19
180 50 19 111
111 180 1
,
,
(
� 
 �
B
x
sen sen 111 69
9
69
9
0 32 0 93
9 0 93
0 32
26 2
° = °
=
°
⇒ =
=
⋅
)
, ,
,
,
,
sen
sen B
y
sen
y
y
�
b) 
c) 
x
sen sen
y
sen
x
sen sen
x
58
14
36 180 58 36
58
14
36 0 85
°
=
°
=
° − ° − °
°
=
°
⇒ =
( )
,
114
0 59,
14 0 85
0 59
20 2
14
36 86
14
0 59 1
14
0 5
,
,
,
,
,
x
sen
y
sen
y
y
=
⋅
°
=
°
⇒ =
=
99
23 7,
a) 
SoluçãoSoluçãçç o
Solução
Solução
)°
x
s
y
130 MATEMÁTICA• •
 39. Determine os valores a seguir, com duas casas decimais, usando a tabela de razões trigonométricas ou a calculadora. 
a) sen 100 = sen sen( ) ,180 100 80 0 98° − ° = ° = 
b) cos 100 = − ° − ° = − ° = −cos ( ) cos ,180 100 80 0 17
c) sen 140 = sen sen( ) ,180 140 40 0 64° − ° = ° =
d) cos 140 = − ° − ° = − ° = −cos ( ) cos ,180 140 40 0 77
e) sen 125 = sen sen( ) ,180 125 55 0 82° − ° = ° =
f) cos 125 = − ° − ° = − ° = −cos ( ) cos ,180 125 55 0 57
 40. Nas figuras a seguir, determine a medida x.
a) ABC é um triângulo acutângulo.
c) ABCD é um trapézio isósceles.
ATIVIDADES
EM13MAT308
60˚ 45˚
C
A B
x2√2
60
55 100
60
55 80
60
0 82 0 98
60 0 98
0 82
sen
x
sen
sen
x
sen
x
x
°
=
°
°
=
°
=
=
⋅
, ,
,
,
⇒⇒ x 717,
A B
CD
55˚
25˚
60
x 55˚
100˚
18
28 130
18
28 50
18
0 47 0 77
18 0 77
0 47
sen
x
sen
sen
x
sen
x
x
°
=
°
°
=
°
=
=
⋅
, ,
,
,
⇒⇒ x 29 5,
A B
CD
50˚
102˚ 130˚ 18
22˚
28˚
x
Utilizando a lei dos senos, temos:
x
sen sen
x sen sen
x x
60
2 2
45
45 2 2 60
2
2
2 2
3
2
2 3
°
=
°
⋅ ° = ⋅ °
⋅ = ⋅ ⇒ =
 41. Um barco navega em linha reta e passa pelos pontos A, C e D. Quando o barco está em A, observa uma ilha em B e mede o ângulo 
BAD = °30 . Navega mais 6 km até um ponto C e mede o ângulo BCD = °75 . Observe o desenho:
Determine a distância aproximada que separa o ponto C da ilha (ponto B). Você pode deixar indicado ou utilizar a aproximação 2 1 41, . 
TEMA 
QUENTE
45°
105°
d
75°
D
B
A C
6 km
30°
b) ABCD é um paralelogramo. 
Utilizando a lei dos senos no triângulo ABC, temos:
d
sen sen
d d km
30
6
45
2
2
6
1
2
3 2
°
=
°
⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =
Optando por substituir 2 por 1,41, obtemos d km4 23, ou 
4 230 metros.
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 131• •
M
A
T
 42. A maior diagonal de um losango mede 48 cm, e seus ângulos obtusos medem 140°. Calcule: 
 44. Em uma corrida, dois participantes partem simultaneamente dos pontos B e C. O participante que sai de B nada em um lago em linha reta até o ponto A com velocidade de 2 km/h e chega ao destino após 36 minutos. O participante que sai de C corre por uma estrada de terra também em linha reta até o ponto A. Observe a figura:
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
A
B
C
D
20˚ 140˚
48 cm
BC
sen
AC
sen
BC
sen
AC
sen
BC
BC
20 140 20 40
0 34
48
0 64
48 0
°
=
°
⇒
°
=
°
⇒
⋅
, ,
,334
0 64
25 5
,
, cm
A
B
C
D
70˚
25,5 cm
40˚
DC
sen
BD
sen
BD
BD cm
70 40
25 5
0 94 0 64
25 5 0 64
0 94
17 4
°
=
°
⇒
⋅,
, ,
, ,
,
,
P
Q
NM
DESENHE A FIGURA 
E INDIQUE OS DADOS 
NELA.
a) a medida do lado do losango. 
b) a medida da menor diagonal.
O lado do losango mede aproximadamente 25,5 cm.
A menor diagonal do losango mede aproximadamente 
17,4 cm.
 43. (UFBA) Na figura, os triângulos MNP e MNQ são retângulos com hipotenusa comum MN, o triângulo MNP é isósceles, e seus catetos medem cinco unidades de comprimento.
Triângulo MNP:
MN MN2 2 25 5 5 2= + ⇒ =
Triângulo MNQ: 
tg
NQ
MQ
MQ NQα = ⇒ = ⇒ = ⋅
1
3
1
3
3
MN MQ NQ
NQ NQ
NQ NQ MQ
2 2 2
2 2 2
2
5 2 3
50 10 5 3 5
= +
= ⋅ +
= ⋅ ⇒ = ⇒ =
( ) ( )
 
Portanto, x x=
⋅
= ⇒ =
5 3 5
2
15
2
4 30.
A
B
70° 9° C
Distância entre os pontos B e A:
36
36
60
0 6
2 0 6 12 1200
min ,
, ,
= =
⋅ = =
h h
km h h km m/
Lei dos senos:
CA
sen sen
CA
CA m
70
1200
9 0 94
1200
0 156
7231
°
=
°
⇒ = ⇒
, ,
Portanto, esse participante deverá correr com uma velocidade 
aproximada de 7 230
0 6
12
,
,
km
h
km h/ para que os dois cheguem 
juntos ao ponto A.
Com qual velocidade esse participante deve correr para que os dois cheguem juntos ao ponto A? Utilize sen 70 0 94° = , e 
sen 9 0 156° = , . 
Considerando tgα =
1
3
 e a área de MNQ igual a x unidades de área, determine o valor de 4x.
132 MATEMÁTICA• •
 45. (UFRN) Ao se tentar fixar as 
extremidades de um pedaço 
de arame reto, de 
30 m de comprimento, 
entre os pontos M e P de um plano, o arame, 
por ser maior do que o esperado, entortou, 
como mostra a figura abaixo.
 46. (UNESP – SP) Para calcular 
a distância entre duas 
árvores situadas nas 
margens opostas de um 
rio, nos pontos A e B, um observador que se 
encontra junto a A afasta-se 20 m da margem, 
na direção da reta AB, até o ponto C e depois 
caminha em linha reta até o ponto D, a 40 m de 
C, do qual ainda pode ver as árvores.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
P
T
SR
30°
60°
M
N
10
20
A partir desses dados, calcule, em metros,
a) o comprimento dos segmentos MS e SP;
sen
RN
RN m
MR
MR m
sen
TP
TP
30
10
5
30
10
5 3
60
20
1
° = ⇒ =
° = ⇒ =
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
° = ⇒ =
cos
00 3
60
20
10
m
NT
NT mcos ° = ⇒ =
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
Assim:
MS MR NT m
SP RN TP m
= + = +
= + = +
5 3 10
5 10 3
b) quanto o arame deveria medir para que 
tivesse o mesmo tamanho do segmento 
MP.
MP
MP
MP
2 2 2
2
2
5 3 10 5 10 3
75 100 3 100 25 100 3 300
500 20
= + + +
= + + + + +
= +
( ) ( )
00 3 100 5 2 3
10 5 2 3
= ⋅ +
= +
( )
MP m 
Nessa solução, aplicamos o teorema de Pitágoras. Outra 
possível solução é utilizar a lei dos cossenos, queos alunos 
estudarão na sequência. Retome esta atividade depois de 
explicar esse conteúdo e proponha à turma que resolva os 
itens por meio da lei dos cossenos.
A
C
D
B
Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC 
medem, respectivamente, cerca de 15° e 120°, 
que valor ele encontrou para a distância entre 
as árvores, se usou a aproximação 6 2 4, ? 
A medida do ângulo CBD é 180° – 15° – 120° = 45°. 
BC
sen sen
BC
sen sen
BC
BC
120
40
45 60
40
45
2
2
40
3
2
40 3
2
40 3
°
=
°
⇒
°
=
°
⋅ = ⋅
= =
22
2
2
20 6 20 2 4 48⋅ = = ⋅ =,
d AB d AB m( ) ( )+ = ⇒ =20 48 28
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
ta
ni
sl
av
 S
am
oy
lik
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 133• •
M
A
T
LEI DOS COSSENOS 
Dois barcos partem simultaneamente de um 
mesmo porto. Um deles viaja a uma velocidade 
EM13MAT308
60°
P
A
B
d
30 km
48 km
60°
P
H
A
B
d
30 km
48 km
Se representarmos o porto pelo ponto P e as 
calcular a distância d
BPH
sen
BH
BH km
PH
PH km
60
30
15 3
60
30
15
° = ⇒ =
° = ⇒ =cos
BAH AH km km km
AB AH BH
d
d
d
: = − =
= +
= +
= +
48 15 33
33 15 3
1 089 675
2 2 2
2 2 2
2
( )
22 1 764 1 764 42= ⇒ = ⇒ =d d km
Esse problema também pode ser resolvido por meio da lei dos 
cossenos (ou teorema dos cossenos).
Em um triângulo ABC qualquer, o quadrado da 
medida de um lado qualquer é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados, 
menos o dobro do produto das medidas desses 
dois lados multiplicado pelo cosseno do ângulo 
formado por eles.
a b c bc A2 2 2 2= + − ⋅cos
b a c ac B2 2 2 2= + − ⋅cos
c a b ab C2 2 2 2= + − ⋅cos
A
B
C
b
c
a
B
C
A
134 MATEMÁTICA• •
�
�
� ��� ���
�
�
BAH
A
x
c
x c A
c x h h
A
cos ( ) cos ( )
cos
180 1
2 2 2 2
° − = ⇒ = − ⋅
= + ⇒ =
−
cc x2 2 2− ( )
BCH
a b x h
a b x bx h
2 2 2
2 2 2 22 3
= + +
= + + +
( )
( )
Substituindo (2) em (3):
a b x bx c x a b c bx2 2 2 2 2 2 2 22 2 4= + + + − ⇒ = + + ( )
Substituindo em :
a b c b c A2 2 2 2= + + ⋅ − ⋅( cos )
a b c bc A2 2 2 2= + − ⋅cos
b a c ac B2 2 2 2= + − ⋅cos e c a b ab C2 2 2 2= + − ⋅cos
cos 90 0° = .
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2bc cos 90
a b c 2bc 0
cossenos.
d
d
d
d
d
2 2 2
2
2
48 30 2 48 30 60
2 304 900 2 880
1
2
1 764
1 764
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅
=
=
cos
== 42 km
C
AH x b
h
B
ac
A
B
C180° - A
A C
c
a
b
B
60°
A
d
BP 30 km
48 km
©Shutterstock/Yanya
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 135• •
M
A
T
Aplicações da trigonometria na Engenharia e na Física
FIQUE POR DENTRO
Uma estrada [...] está sendo construída 
em um plano horizontal e será formada 
pelos trechos retos XP, PQ e QY como mostra 
a Figura 34. No trecho PQ será construído 
um túnel para atravessar a montanha. 
Os engenheiros devem saber tanto em P 
quanto em Q, que direção devem tomar 
para construir o túnel AB de forma que o 
trecho PABQ seja reto. Eles então fixaram um 
ponto C do plano horizontal, visível tanto de P quanto de Q e determinaram as seguintes 
medidas: CP = 1,2 km, CQ = 1,8 km e PCQ = 27°. Calcule os ângulos CPQ e CQP.
A
C
B
P
Q
x
y
LIMA, Elon L. et al. Temas e problemas elementares. Rio de Janeiro: SBM, 2005. p. 71. (Professor de Matemática).
Podemos obter a distância PQ aplicando a lei 
dos cossenos:
PQ CP CQ CP CQ PCQ
PQ
PQ
2 2 2
2 2 2
2
1 2 1 8 2 1 2 1 8 0 89
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
=
cos
, , , , ,
00 8352 0 91, ,� 
PQ
sen
CQ
sen CPQ sen CPQ
sen CPQ
27
0 91
0 45
1 8
1 8 0 45
0 91
°
= ⇒ =
=
⋅

 
,
,
,
, ,
,
�� 
 �
� �
0 89 63
180 27 63 90
, ⇒ °
= ° − ° − ° ⇒ = °
CPQ
CQP CQP 
 e F2 aplicadas 
α.
R
R
 
F2
F2
α
F1F1
FR
F2 F2
F1
FR
180o – α
F F F F FR
2
1
2
2
2
1 22 180= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° −cos ( )α
Como cos ( ) cos180° − = −α α
F F F F F
F F F F F
R
R
2
1
2
2
2
1 2
2
1
2
2
2
1 2
2
2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ −
= + ⋅ ⋅ ⋅
↓
( cos )
cos
α
α+
α 180° − α
α. 
 
136 MATEMÁTICA• •
 47. Nas figuras a seguir, determine as medidas x e y.
a) c) 
ATIVIDADES
EM13MAT308
60°
A
C
Bx
8
6
60°
A
CD
B
x
y
30
30
20
30°
A
CB
x
8
4√3
Utilizando a lei dos cossenos, temos:
x
x
x
x
2 2 2
2
2
6 8 2 6 8 60
36 64 96
1
2
52
2 13
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅
=
=
cos
Aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo BCD:
x
x x x
2 2 2
2 2
20 30
400 900 1300 1300 10 13
= +
= + ⇒ = ⇒ = =
Utilizamos a lei dos cossenos no triângulo ABD:
x y y
y y
y y y
2 2 2
2
2
30 2 30 60
1300 900 2 30
1
2
30 400 0
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
− − = ⇒
cos
== = −40 10ou y
Como y é uma medida, então y = 40.
Vamos utilizar a lei dos cossenos:
x
x
x
x
2 2 2
2
2
4 3 8 2 4 3 8 30
48 64 64 3
3
2
16
4
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅
=
=
( ) cos
b) 
Aplicamos a lei dos cossenos no triângulo OAC:
AC
AC
AC AC m
2 2 2
2
2
1 1 2 1 1 45
1 1 2 1 1
2
2
2 2 2 2
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= − ⇒ = −
cos
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 
ABC, temos:
AB
AB AB m
2 2
2
2 2 2
6 2 6 2
= + −
= − ⇒ = −
 48. Uma porta com 2 metros de comprimento e 1 metro de largura está entreaberta, de modo que o ângulo de abertura seja de 45°, como mostra a figura.
2 m
1 m
1 m
C
O
A
B
45°
Calcule a distância entre os pontos A e B. 
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 137• •
M
A
T
 49. Calcule o cosseno do maior ângulo interno de um triângulo cujos lados medem 25 cm, 30 cm e 35 cm. 51. (UPE) João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente, 10 m e 6 m e formam entre si um ângulo de 120°. O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do arame?
Dados sen de
de
: 120
3
2
120
1
2
° =
° = −cos
a) R$ 300,00 
b) R$ 420,00 
X c) R$ 450,00 
d) R$ 500,00 
e) R$ 520,00 120°
10 km6 km
A
B
C
O maior ângulo do triângulo se opõe ao lado de medida 35 cm.
Utilizando a lei dos cossenos, temos:
35 25 30 2 25 30
1225 625 900 1500
1500 30
2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅
⋅ =
cos
cos
cos
α
α
α 00
300
1500
1
5
⇒ = =cosα
 50. (UNIME – BA) 
TEMA 
QUENTE
A figura representa a trajetória de um helicóptero que partiu de um heliporto A e percorreu 6 km até B e, depois, 10 km até C, quando posou em outro heliporto. Com base nas informações, é correto afirmar que a distância, em linha reta, entre os heliportos A e C é igual, em km, a
a) 4
b) 10
X c) 14
d) 16
e) 37
Usando a lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:
( ) ( ) ( ) cos( )
( ) cos
AC AB BC AB BC B
AC
2 2 2
2 2 2
2
6 10 2 6 10 12
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅ 00
36 100 2 6 10 60
136 2 6 10
1
2
2
2
°
= + − ⋅ ⋅ ⋅ − °
= − ⋅ ⋅ ⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
( ) ( cos )
( )
AC
AC
(( )
( )
AC
AC
AC km
2
2
136 60
196
14
= +
=
=
TEMA 
QUENTE
120°
10 m
6 m
x
x
x
x
x
2 2 2
2
2
10 6 2 10 6 120
100 36 2 10 6
1
2
196
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
=
cos
114 m
Perímetro do terreno: 6 10 14 30m m m m+ + = . 
Quantidade de arame: 3 30 90⋅ =m m.
Valor gasto: 90 5 00 450 00⋅ =R R$ , $ , .
138 MATEMÁTICA• •
 52. Na molécula do metano (CH4), o átomo de carbono central está ligado a átomos de hidrogênio posicionados nos quatro vértices de um tetraedro regular, por isso sua geometria é tetraédrica. Com base na figura abaixo, é possível determinar o ângulo (α) entre as ligações covalentes. No entanto, para esse cálculo, seguem algumas informações.
H
H
H
H
3h
4
3h
4
a
a
a
C
H
H
H
H
C
 • A distância entre o centro do tetraedro e cada um dos vértices corresponde a 3
4
 da medida de sua altura. • A medida da altura é igual a h
a 6
3
, em que a é a medida de cada aresta.Com base nessas informações e nas dicas a seguir, calcule esse ângulo. 
1.o) Utilize a lei dos cossenos no triângulo em destaque. 
2.o) Em algum momento (não necessariamente no início), você precisará substituir h por a 6
3
 para obter o cosseno do ângulo 
α. Calcule a medida aproximada do ângulo α. Para obter a medida em graus, minutos e segundos, lembre-se de que 1 grau 
a
hh h h
a
h h
2
2 2
2
2 2
3
4
3
4
2
3
4
3
4
9
8
9
8
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅
cos
cos
α
α
Substituindo h por a 6
3
, temos:
h
a
a
a a
a
a a
2
2
2
2 2
2
2 2
2
3
9
8
2
3
9
8
2
3
3
4
3
4
1
3
=
= ⋅ − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⇒ = −
cos
cos cos
α
α α
cos ,α α= − ⇒ °
1
3
109 47
Como 0 47 0 47 60 28 2, , , ’° = ⋅ =’ , α 109 28 2° , ’.
Como 0 2 0 2 60 12, ’ ,= ⋅ =’’ ’’, α 109 28 12° ’ ’’.
Portanto, todos os ângulos de ligação H – C – H são congruentes 
(mesma medida) e medem aproximadamente 109°28’.
No terceiro item, será necessário verificar a sequência de teclas 
da calculadora que permite a utilização correta da função inversa 
para poder calcular o arco cujo cosseno é 
1
3
. Cada modelo 
de calculadora tem uma programação específica, e a sequência 
pode variar bastante de um para outro. Em algumas, indicamos a 
função inversa apenas pressionando uma tecla Shift e o restante 
pode ser digitado na ordem de leitura da expressão: cos ( 1
3
). 
Pressionando Shift cos, a calculadora fará o arco cos. Em outros 
modelos, como as embutidas em programas operacionais de 
computadores, é necessário pressionar uma tecla Inv, que inverte 
todas as funções do teclado virtual, em seguida o valor do 
cosseno ( 1
3
) e o sinal de igual. Por último, a tecla cos–1. Há 
ainda outras programações possíveis.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/V
ch
al
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/P
ro
50
0
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 139• •
M
A
T
ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
Provavelmente, você sabe que a área de um 
triângulo pode ser obtida utilizando a relação 
A
b h
=
⋅
2
, em que b é a medida da base (qualquer um 
dos lados) e h é a altura relativa a essa base.
No entanto, nem sempre as medidas que temos 
são essas. Veja dois exemplos.
 1. Um octógono regular é inscrito em uma 
é formado por oito triângulos congruentes, dos 
quais sabemos a medida de dois dos lados e o 
ângulo entre eles.
45°
15 cm
15 cm
25 m 30 m
35 m
A C
h
H
B
ac
b
CA
EM13MAT201, EM13MAT307
Vamos conhecer dois métodos alternativos 
para calcular a área de um triângulo, de acordo com 
as informações dadas.
Dois lados e ângulo 
formado por eles 
Considere o triângulo ABC da figura. Traçando a 
altura relativa ao vértice B, temos que a área S do 
triângulo ABC é dada por:
S
b h
=
⋅
2
1( )
No triângulo ABH, temos: 
sen A
h
c
h c senA= ⇒ = ⋅ ( )2 .
Substituindo (2) em (1): S
b c senA
=
⋅ ⋅
2
.
Analogamente, podemos mostrar que 
S
a b senC
=
⋅ ⋅
2
 e S
a c senB
=
⋅ ⋅
2
. 
Além disso, essas relações são válidas em 
triângulos retângulos e obtusângulos. 
 2. Uma praça tem o formato triangular e 
conhecemos as medidas de seus lados.
Em um triângulo ABC qualquer, a área é igual à 
metade do produto das medidas de dois lados 
quaisquer e do seno do ângulo formado por eles.
S
b c senA
=
⋅ ⋅
2
S
a c senB
=
⋅ ⋅
2
S
a b senC
=
⋅ ⋅
2
A
C
B
a
c
b
B
C
A
Nesses dois casos, as informações que temos são 
suficientes para calcular a área dos triângulos, desde 
que se escolha o método adequado. g g gque se escolha o método adequado.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
er
ge
y 
m
er
ku
lo
v
140 MATEMÁTICA• •
FIQUE POR DENTRO
Heron de Alexandria foi um matemático e 
mecânico grego que viveu entre 10 d.C. e 
80 d.C. 
Além de ser lembrado pela fórmula que 
leva seu nome e se aplica ao cálculo da área 
do triângulo, ficou conhecido por inventar 
um mecanismo chamado eolípila, que seria o 
primeiro motor a vapor documentado, no qual 
a água aquecida circula pelos tubos e faz a 
esfera girar.
Com essa fórmula, podemos calcular a área do 
octógono.
O octógono regular é formado por oito 
triângulos isósceles. Assim, calculamos a área de 
cada triângulo, que é dada por:
45°
15 cm
15 cm
25 m 30 m
35 m
triângulo
2
triângulo
15 15 sen45
S
2
225 2 225 2
S cm
2 2 4
Portanto:
S cmoctaedro = ⋅ =8
225 2
4
450 2 2
Utilizando uma calculadora, obtemos a área do 
octógono, que é aproximadamente 636 cm2.
Três lados
Essa fórmula nos permite calcular a área da 
praça triangular.
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um 
triângulo qualquer ABC e p o semiperímetro. A 
área do triângulo ABC é dada por:
S p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )
Sendo:
p
a b c
=
+ +
2
B
A C
b
ac
A RELAÇÃO 
ANTERIOR É 
CONHECIDA COMO 
FÓRMULA DE 
HERON.
Veja a dedução 
da fórmula de 
Heron no Manual 
digital.
p m
S
S
S
=
+ +
=
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅
=
25 30 35
2
45
45 45 25 45 30 45 35
45 20 15 10
( ) ( ) ( )
99 5 5 4 5 3 5 2
3 2 5 6
150 6
2
2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
S
S m
Utilizando uma calculadora, obtemos a área da 
praça, que é aproximadamente 367 m2.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Iv
ec
to
r
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 141• •
M
A
T
 53. Determine a área de cada um dos triângulos a seguir. 
a) 
 54. Prove que a área de um triângulo equilátero cujos lados medem pode ser calculada pela fórmula S
2 3
4
. 
ATIVIDADES
EM13MAT307
48 cm
36 cm
C
A B30 o
15 cm
13 cm
14 cm
S sen
S
S cm
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅
=
1
2
48 36 30
1
2
1728
1
2
432 2
p
S
S
S
=
+ +
=
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
13 14 15
2
21
21 21 13 21 14 21 15
21 8 7 6
3 7
( ) ( ) ( )
22 7 2 3
2 3 7 2 3 7
84
3
4 2 2 2
2
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
=
S
S cm
b) 
 55. Calcule a área de um paralelogramo cujas diagonais medem 10 cm e 20 cm, formando entre si um ângulo de 45°. 
A
CD
P
B
10 cm
10 cm
5 cm
5 cm
45°
As diagonais de um paralelogramo se intersectam nos 
respectivos pontos médios, portanto a área desse polígono é 
dada pela soma das áreas de quatro triângulos:
S S S S S
S sen sen
ABCD ADP ABP BCP CDP
ABCD
= + + +
= ⋅ ⋅ ⋅ ° + ⋅ ⋅ ⋅
1
2
5 10 45
1
2
5 10 1335
1
2
5 10 45
1
2
5 10 135
135 45
2
2
° +
+ ⋅ ⋅ ⋅ ° + ⋅ ⋅ ⋅ °
° = ° =
sen sen
sen sen
SABCD == ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
4
1
2
5 10
2
2
50 2 2S cmABCD
Veja orientações no Manual digital.
16 m
8 m d
60°
 56. No paralelogramo da figura abaixo, os lados medem 8 m e 16 m e formam um ângulo de 60°.
d
d
d
d
d m
2 2 2
2
2
8 16 2 8 16 60
64 256 2 8 16
1
2
192
192
8 3
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
cos
S sen
S
parale ramo
parale ramo
log
log
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
1
2
16 8 60
2
1
2
16 8
3
2
SS mparale ramolog = 64 3 2
a) Calcule a medida da menor diagonal do paralelogramo.
b) Calcule a área do paralelogramo.
A área do paralelogramo é duas vezes a área do triângulo 
determinado pelos lados que formam 60° e a menor diagonal.
142 MATEMÁTICA• •
 57. O quadrilátero ABCD é formado por dois triângulos equiláteros, ADE e BCE, cujos lados medem 2 cm e 4 cm, e pelo triângulo escaleno CDE. 
 58. A área do triângulo ABD, em centímetros quadrados, é igual a
a) 480
b) 576
c) 640
X d) 768
e) 824
A
D
E
C
B
A
D
E
C
B
60˚ 60˚
60˚
2
4
42
C
62
53
D40A
48
53O
B
a) Calcule a área do quadrilátero ABCD.
Como os ângulos dos triângulos equiláteros medem 60°, a 
medida do ângulo DEC é 180° – 60° – 60° = 60°. 
S S S S
S
S
ABCD ADE BCE CDE
ABCD
ABCD
= + +
=
⋅
+
⋅
+
⋅ ⋅
= + + =
2 3
4
4 3
4
2 4 3
4
3 4 3 2 3
2 2
77 3 2cm
b) Calcule o perímetro do quadrilátero ABCD. Você pode utilizar a aproximação
3 1 73, .
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo 
DCE, temos:
CD
CD
CD CD cm
2 2 2
2
2
2 4 2 2 4 60
4 16 16
1
2
12 2 3
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅
= ⇒ =
cos
O perímetro de ABCD é 
2 2 2 4 2 3 12 2 3 15 46⋅ + ⋅ + = + , cm.
TEMA 
QUENTE
(PUC-Campinas – SP) Para responder às questões de números 58 e 59, considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros.
 59. O perímetro do triângulo BCD, em centímetros, é igual a
a) 148
b) 152
X c) 155
d) 160
e) 172
S sen
S
S cm
ABD
ABD
ABD
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
48 40 53
1
2
48 40 0 8
768 2
,
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABD, temos:
BD
BD
BD
2 2 2
2 2 2
2
48 40 2 48 40 53
48 40 2 48 40 0 6
2 304
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= +
cos
,
11600 2304
1600 402
−
= ⇒ =BD BD cm
Portanto, o perímetro do triângulo BCDé igual a 
53 cm + 62 cm + 40 cm = 155 cm.
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 143• •
M
A
T
 60. (UEPA) Preocupado com a falta de área verde em sua cidade, um prefeito resolveu aproveitar um terreno triangular, localizado no cruzamento de duas ruas, para construir uma praça, conforme representado na figura abaixo:
 62. (CESUPA) Um terreno tem a forma de um triângulo com dois de seus lados medindo 60 m e 80 m e formando entre si um ângulo de 30°. A área desse terreno, em m2, é igual a 
a) 2400
b) 1200 3
X c) 1200
d) 900 3
40 m30 m
150° Praça
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
A
5 6
CB
7
r
r
r 0
A área da praça a ser construída, em m2, é: 
a) 250
b) 250 3
X c) 300
d) 300 3
e) 500
S sen
S sen
S m
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
30 40 150
1
2
30 40 30
1
2
30 40
1
2
300 2
 61. Qual é a medida do raio da circunferência inscrita em um triângulo cujos lados medem 5, 6 e 7? 
Área do triângulo:
p
S
=
+ +
=
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − =
5 6 7
2
9
9 9 5 9 6 9 7 6 6( ) ( ) ( )
A área do triângulo ABC pode ser calculada pela soma das 
áreas dos triângulos ABO, ACO e BCO, em que O é o centro da 
circunferência. Assim:
S S S S
r r r
r r
ABC ABO ACO BCO= + +
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⇒ = ⇒ =6 6
5
2
6
2
7
2
12 6 18
2 6
3
A sen
A
A m
= ⋅ ⋅ ⋅ °
= ⋅ ⋅ ⋅
=
1
2
60 80 30
1
2
60 80
1
2
1 200 2
A a b sen
a m
b m
= ⋅ ⋅ ⋅
=
=
= °
1
2
60
80
30
α
α
 63. (UFPR) Um triângulo possui lados de comprimento 2 cm e 6 cm e área de 6 cm2. Qual é a medida do terceiro lado desse triângulo? TEMA 
QUENTE
A a b senC
A cm
a cm
b cm
senC sen
= ⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
1
2
6
2
6
6
1
2
2 62
ˆ
ˆ ˆ̂C = 1
Ĉ = ° ⇒90 O triângulo é retângulo e o terceiro lado é a hipotenusa. 
c a b
a
b
c c c cm
2 2 2
2 2 2 22
6
2 6 40 2 10
= +
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⇒ = + ⇒ = ⇒ =
a) 2 6 cm.
X b) 2 10 cm. c) 5 cm.
d) 5 2 cm.
e) 7 cm.
144 MATEMÁTICA• •
 65. Em um triângulo isósceles, um dos lados mede 12 cm, e os lados congruentes, 10 cm. Qual é a medida do terceiro lado de outro triângulo isósceles cujos lados congruentes também medem 10 cm e que tem a mesma área do primeiro triângulo?
 66. Determine a expressão algébrica que fornece a área de um triângulo equilátero em função do raio R circunscrito ao triângulo. 
A
B
C
E
D
F
G H
45°
85°
 64. (UEG – GO) Na figura a seguir tem-se que ABC DBE e ABE
 
 �= = ° 130 .
TEMA 
QUENTEA área do triângulo DGH destacado pode ser dada pela expressão: 
a) GD HD
2
b) GD HD 2
2
X c) GD HD 2
4
d) GD HD 3
2
ABE
ABE DBE
DBE
= °
= + °
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = °
130
45
85 
 
ABC DBE
DBE
ABC

 
�

=
= °
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = °
85
85 
ABC
ABC DBF
DBF
= °
= + °
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = °
85
45
40 
 
BFD BFE
BFE
BFD
+ = °
= °
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = °
180
85
95 
Então:
GDH BFD DBF GDH GDH+ + = ° ⇒ + ° + ° = ° ⇒180 95 40 180 == °45
Portanto: 
A GD HD A
GD HD
DGH DGH= ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ =
⋅ ⋅1
2
45
2
4
sen 
Agora, você pode fazer as questões 74 
a 80 da seção Conquista Enem.
A área do triângulo equilátero é a soma das áreas de três 
triângulos isósceles congruentes, dos quais conhecemos a 
medida de dois lados e o ângulo entre eles, como mostra a figura
R
R
120O
A área de cada triângulo isósceles é dada por:
S
R R sen R sen R R
=
⋅ ⋅ °
=
⋅ °
= ⋅ =
120
2
60
2 2
3
2
3
4
2 2 2
Então, a área do triângulo equilátero é 3 3
4
2R .
ORGANIZE AS IDEIAS
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 145• •
M
A
T
Complete o esquema a seguir com as principais ideias deste capítulo. 
Casos de semelhança de triângulos:
Relações métricas no triângulo retângulo: 
Relações trigonométricas:
Lei dos senos : 
Lei dos cossenos: 
Área do triângulo:
EM13MAT307, EM13MAT308
B C
A
c b
a
mn
h
B
CA
c
b
a
Hipotenusa Cateto
oposto a 
Cateto adjacente a 
AA (ângulo-ângulo)
LAL (lado-ângulo-lado)
LLL (lado-lado-lado)
Teorema de Pitágoras: a b c2 2 2= + 
ah = bc
h m n2 = ⋅
b a m2 = ⋅
c a n2 = ⋅
sen
cateto oposto
hipotenusa
α =
 
cos α =
cateto adjacente
hipotenusa 
tg
cateto oposto
cateto adjacente
α =
a
sen A
b
sen B
c
sen C
a b c b c A2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅cos
A
b h
=
⋅
2 
A b c sen= ⋅ ⋅ ⋅
1
2
α
A p p a p b p c= − − −( )( )( )
146 MATEMÁTICA• •
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 67. ENEM A rampa de um hospital tem na sua parte 
mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um 
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe 
que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma 
altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda 
deve caminhar para atingir o ponto mais alto 
da rampa é
a) 1,16 metro.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
X d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
 68. ENEM A fotografia mostra uma turista 
aparentemente beijando a esfinge de Gizé, 
no Egito. A figura a seguir mostra como, 
na verdade, foram posicionadas a câmera 
fotográfica, a turista e a esfinge.
Medindo-se com uma régua diretamente na 
fotografia, verifica-se que a medida do queixo 
até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 
da medida do queixo da esfinge até o alto 
da sua cabeça. Considere que essas medidas 
na realidade são representadas por d e , 
respectivamente, que a distância da esfinge à 
lente da câmera fotográfica, localizada no plano 
horizontal do queixo da turista e da esfinge, é 
representada por b, e que a distância da turista 
à mesma lente, por a. A razão entre b e a será 
dada por
a) 
b
a c
d'
b) 
b
a c
2d
3
c) 
b
a c
3d'
2
X d) 
b
a c
2d'
3
e) 
b
a c
2d'
 69. ENEM O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
CONQUISTA ENEM EM13MAT201, EM13MAT307, EM13MAT308
C
4
E
A F
6
B
D
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m
b) 2 m
X c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 6 m
posição da
turista
posição da
câmera
a b
c
d
d’
posição da
esfinge
Fotografia obtida da internet.
M
A
T
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 147• •
 70. ENEM Um vaso decorativo quebrou e os donos vão encomendar outro para ser pintado com as mesmas características. Eles enviam uma foto do vaso na escala 1 : 5 (em relação ao objeto original) para um artista. Para ver melhor os detalhes do vaso o artista solicita uma cópia impressa da foto com dimensões triplicadas em relação às dimensões da foto original. Na cópia impressa, o vaso quebrado tem uma altura de 30 centímetros. Qual é a altura real, em centímetros, do vaso quebrado?
a) 2
b) 18
X c) 50
d) 60
e) 90
 71. ENEM Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.A nova estação deve ser localizada:
a) no centro do quadrado.
b) na perpendicular à estrada que liga C e D, passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.
X c) na perpendicular à estrada que liga C e D, passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
 72. ENEM Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.
Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente,24 m e 6 2 m e o lado da base da plataforma mede 19 2 m, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a
a) 288
b) 313
c) 328
X d) 400
e) 505
 73. ENEM A inclinação de um telhado depende do tipo e da marca das telhas escolhidas. A figura é o esboço do telhado da casa de um específico proprietário. As telhas serão apoiadas sobre a superfície quadrada plana ABCD, sendo BOC um triângulo retângulo em O. Sabe-se que h é a altura do telhado em relação ao forro da casa (a figura plana ABOE), b = 10 é o comprimento do segmento OB, e d é a largura do telhado (segmento AB), todas as medidas dadas em metro.
Torre Central
Base da Plataforma
D
E
C
OA
B
d b
h
Sabe-se que, em função do tipo de telha escolhida pelo proprietário, a porcentagem i de inclinação ideal do telhado, descrita por meio da relação i h
b
=
×100 é de 40%, e que a expressão que determina o número N de 
148 MATEMÁTICA• •
P
Trajetória do barco
BA
telhas necessárias na cobertura é dada por 
N d= ×2 10 5, . Além disso, essas telhas são vendidas somente em milheiros.O proprietário avalia ser fundamental respeitar a inclinação ideal informada pelo fabricante, por isso argumenta ser necessário adquirir a quantidade mínima de telhas correspondente a
a) um milheiro.
X b) dois milheiros.
c) três milheiros.
d) seis milheiros.
e) oito milheiros.
 74. ENEM Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km × 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
1 km
3 km
1 km
Pedro
José
2 km
João
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere 3
3
0 58, )
a) 50%.
b) 43%.
c) 37%.
d) 33%.
X e) 19%.
 75. ENEM A inclinação de uma rampa é calculada da seguinte maneira: para cada metro medido na horizontal, mede-se x centímetros na vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem inclinação de x%, como no exemplo da figura:
20 cm
1 m
Inclinação 20%
Garagem2 m
8 m
Portão
Rampa
Nível 
da rua
Nível da
base da garagem
Depois de projetada a rampa, o responsável pela obra foi informado de que as normas técnicas do município onde ela está localizada exigem que a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial seja de 20%.Se a rampa projetada tiver inclinação superior a 20%, o nível da garagem deverá ser alterado para diminuir o percentual de inclinação, mantendo o comprimento da base da rampa.Para atender às normas técnicas do município, o nível da garagem deverá ser
X a) elevado em 40 cm.
b) elevado em 50 cm.
c) mantido no mesmo nível.
d) rebaixado em 40 cm.
e) rebaixado em 50 cm.
 76. ENEM Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:
A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada a 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento.
M
A
T
7. SEMELHANÇA E TRIGONOMETRIA 149• •
 77. ENEM Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura. Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por l(x) = k · sen(x) sendo k uma constante, e supondo-se que x está entre 0° e 90°. 
x
Quando x = 30°, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?
a) 33%
X b) 50%
c) 57%
d) 70%
e) 86%
 78. (UCPEL – RS) Considerando um triângulo ABC e sabendo-se que as medidas dos ângulos A e B são, respectivamente, 30° e 45° e que a medida do lado BC é igual a 4 cm; então, o lado AC vale 
a) 2 3
b) 2 2
c) 4 3
d) 2 6
X e) 4 2
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = °30 e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
a) 1 000 m.
X b) 1 000 3 m.
c) 2000
3
3
 m.
d) 2 000 m.
79. (IFSP) Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica em uma fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passagem da fiação. Com isso, surgiu um pequeno problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do lago impedia a medição direta dessa distância. 
Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles. Com um aparelho apropriado, ele mediu o ângulo entre a linha de visão dele e os postes, obtendo 120°. Um auxiliar mediu a distância do poste mais afastado do engenheiro e obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes, obtendo 45°. Com essas informações, o engenheiro sorriu. Ele já conseguiria calcular a distância aproximada entre os postes. Assinale a alternativa que a apresenta.
a) 300 m.
b) 150 m.
X c) 122,47 m.
d) 112,17 m.
e) 95,26 m.
 80. (UECE) Se a medida de um dos ângulos internos de um paralelogramo é 120° e se as medidas de dois de seus lados são respectivamente 6 m e 8 m, então a medida, em metros, da diagonal de maior comprimento deste paralelogramo é 
X a) 2 37 .
b) 3 37 .
c) 2 48 .
d) 3 48 .
100 m
120°
45°
150 MATEMÁTICA• •
TABEL A TRIGONOMÉTRICA
Ângulo Seno Cosseno Tangente Ângulo Seno Cosseno Tangente
1 0,017452 0,999848 0,017455 46 0,71934 0,694658 1,03553
2 0,034899 0,999391 0,034921 47 0,731354 0,681998 1,072369
3 0,052336 0,99863 0,052408 48 0,743145 0,669131 1,110613
4 0,069756 0,997564 0,069927 49 0,75471 0,656059 1,150368
5 0,087156 0,996195 0,087489 50 0,766044 0,642788 1,191754
6 0,104528 0,994522 0,105104 51 0,777146 0,62932 1,234897
7 0,121869 0,992546 0,122785 52 0,788011 0,615661 1,279942
8 0,139173 0,990268 0,140541 53 0,798636 0,601815 1,327045
9 0,156434 0,987688 0,158384 54 0,809017 0,587785 1,376382
10 0,173648 0,984808 0,176327 55 0,819152 0,573576 1,428148
11 0,190809 0,981627 0,19438 56 0,829038 0,559193 1,482561
12 0,207912 0,978148 0,212557 57 0,838671 0,544639 1,539865
13 0,224951 0,97437 0,230868 58 0,848048 0,529919 1,600335
14 0,241922 0,970296 0,249328 59 0,857167 0,515038 1,664279
15 0,258819 0,965926 0,267949 60 0,866025 0,5 1,732051
16 0,275637 0,961262 0,286745 61 0,87462 0,48481 1,804048
17 0,292372 0,956305 0,305731 62 0,882948 0,469472 1,880726
18 0,309017 0,951057 0,32492 63 0,891007 0,45399 1,962611
19 0,325568 0,945519 0,344328 64 0,898794 0,438371 2,050304
20 0,34202 0,939693 0,36397 65 0,906308 0,422618 2,144507
21 0,358368 0,93358 0,383864 66 0,913545 0,406737 2,246037
22 0,374607 0,927184 0,404026 67 0,920505 0,390731 2,355852
23 0,390731 0,920505 0,424475 68 0,927184 0,374607 2,475087
24 0,406737 0,913545 0,445229 69 0,93358 0,358368 2,605089
25 0,422618 0,906308 0,466308 70 0,939693 0,34202 2,747477
26 0,438371 0,898794 0,487733 71 0,945519 0,325568 2,904211
27 0,45399 0,891007 0,509525 72 0,951057 0,309017 3,077684
28 0,469472 0,882948 0,531709 73 0,956305 0,292372 3,270853
29 0,48481 0,87462 0,554309 74 0,961262 0,275637 3,487414
30 0,5 0,866025 0,57735 75 0,965926 0,258819 3,732051
31 0,515038 0,857167 0,600861 76 0,970296 0,241922 4,010781
32 0,529919 0,848048 0,624869 77 0,97437 0,224951 4,331476
33 0,544639 0,838671 0,649408 78 0,978148 0,207912 4,70463
34 0,559193 0,829038 0,674509 79 0,981627 0,190809 5,144554
35 0,573576 0,819152 0,700208 80 0,9848080,173648 5,671282
36 0,587785 0,809017 0,726543 81 0,987688 0,156434 6,313752
37 0,601815 0,798636 0,753554 82 0,990268 0,139173 7,11537
38 0,615661 0,788011 0,781286 83 0,992546 0,121869 8,144346
39 0,62932 0,777146 0,809784 84 0,994522 0,104528 9,514364
40 0,642788 0,766044 0,8391 85 0,996195 0,087156 11,43005
41 0,656059 0,75471 0,869287 86 0,997564 0,069756 14,30067
42 0,669131 0,743145 0,900404 87 0,99863 0,052336 19,08114
43 0,681998 0,731354 0,932515 88 0,999391 0,034899 28,63625
44 0,694658 0,71934 0,965689 89 0,999848 0,017452 57,28996
45 0,707107 0,707107 1
8996
8
 Identificar as relações 
métricas entre polígonos 
regulares e aplicá-las na 
resolução de problemas.
 Calcular a área de polígonos, 
círculos e figuras compostas 
por essas formas geométricas 
ou partes delas.
 Aplicar diferentes estratégias 
para resolver problemas 
envolvendo a área de 
triângulos.
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
©
Shutterstock/Artur Balytskyi
©Shutterstock/Kossarev56
DOBRE NA LINHA PONTILHADAGEOMEM
PLANAAAAA
©
Sh
ut
te
rs
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ck
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o
152 MATEMÁTICA• •
POLÍGONOS
A imagem de abertura deste capítulo mostra um dos 
ambientes da Alhambra, um conjunto de construções localizado 
na cidade de Granada, na Espanha. A Alhambra engloba fortalezas e 
palácios, estes ricamente decorados com elementos da arte islâmica. 
As paredes, os pisos e as colunas das construções são compostos 
principalmente de padrões geométricos, formando mosaicos coloridos 
que impressionam os visitantes pela sua variedade e complexidade.
POLÍG
A imagem de
ambientes da Alham
na cidade de Granada,
palácios, estes ricame
As paredes, os pisos e
8
EM13MAT505
A figura acima mostra um dos mosaicos da Alhambra. 
Podemos reconhecer nele alguns quadriláteros, como os ilustrados 
a seguir. 
Também identificamos hexágonos, como estes:
Algumas figuras têm a forma estrelada, como as abaixo.
Todas as figuras destacadas acima são polígonos. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
to
ck
ph
ot
oV
id
eo
8. GEOMETRIA PLANA 153• •
M
A
T
Polígonos convexos e não convexos 
Se traçarmos um segmento de reta unindo dois pontos quaisquer 
internos ao polígono e o segmento ficar completamente contido 
no polígono, esse é um polígono convexo. Caso contrário, se uma 
parte desse segmento ficar na região externa ao polígono, temos um 
polígono não convexo. No mosaico que vimos no início do capítulo, os 
quadriláteros e os hexágonos são polígonos convexos, e as estrelas de 
8 e 16 pontas são polígonos não convexos.
 Polígonos convexos Polígonos não convexos 
Polígono é uma figura plana fechada, formada apenas por segmentos 
de reta que não se cruzam. Exemplos: 
O contorno e sua região interna formam uma superfície ou região 
poligonal. Veja a orientação metodológica no Manual digital.
Neste capítulo, nosso objeto de estudo serão os polígonos convexos 
e nos referiremos a eles apenas como polígonos.
Polígonos regulares 
Um polígono é considerado regular se for equilátero e seus ângulos 
forem todos congruentes. 
O triângulo equilátero e o quadrado são exemplos de polígonos 
regulares.
Polígonos desse tipo podem ser inscritos em circunferências, e esse 
procedimento possibilita a obtenção de importantes relações métricas. 
Um polígono estará inscrito em uma circunferência sempre que 
todos os seus vértices estiverem sobre ela. Nesse caso, dizemos que a 
circunferência é circunscrita ao polígono.
Triângulo equilátero Quadrado
154 MATEMÁTICA• •
Relembrando:
Triângulo equilátero Pentágono regular Decágono regular
Ângulo interno: 60°
Ângulo externo: 120°
Ângulo interno: 108°
Ângulo externo: 72°
Ângulo interno: 144°
Ângulo externo: 36°
Para inscrever um polígono 
regular em uma circunferência, 
precisamos dividi-la em partes 
iguais, localizando todos os 
vértices do polígono sobre a 
circunferência. Podemos fazer 
isso dividindo os 360° da 
circunferência pelo número de 
vértices do polígono. Assim, 
descobrimos o ângulo central 
compreendido entre dois vértices 
consecutivos. 
Circunferência é a figura plana 
formada por todos os pontos 
localizados a uma mesma 
distância de um único ponto 
(O) denominado centro da 
circunferência. A essa distância 
constante (r) denominamos raio 
da circunferência.
O
r
A medida desse ângulo central é igual à do ângulo externo 
do polígono.
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados é 
dada pela expressão:
A
ni = ° −
°
180
360
120°60°
â
Aproveite a ocasião 
para retomar a ideia de 
ângulos complementares e 
suplementares.
EXEMPLO RESOLVIDO
Sendo ABCDE um pentágono regular e ABP um triângulo 
equilátero, mostrados na figura a seguir, calcule a medida x do 
ângulo EPA . 
Solução
O triângulo APB é equilátero. Assim:
APB BAP PBA
 � 
= = = ° −
°
= °180
360
3
60
 
O pentágono ABCDE é regular. Assim:
BAE = ° −
°
= °180
360
5
108
Portanto, 
PAE BAE BAP= − = ° − ° = °108 60 48 .
O triângulo PAE é um triângulo 
isósceles de base PE. Temos, então:
AP AE APE AEP x≡ ⇒ = =
 
Portanto, x x x x+ + ° = ° ⇒ = ° ⇒ = °48 180 2 132 66 .
Soluçãçççç o
A B
C
x
PE
D
72°
108°
36°144°
36˚
72˚
90˚120˚
8. GEOMETRIA PLANA 155• •
M
A
T
 1. Marque as figuras que são polígonos e explique por que as outras não são.
 5. Que polígono regular tem seus ângulos externos iguais a 120°? 
ATIVIDADES
EM13MAT505
A B C D E F
A B
C
x
PE
D
Não são polígonos as figuras B, E e F. A figura B apresenta segmentos que se cruzam, a figura E não é formada apenas por segmentos e a figura F 
não é fechada. 
Use a figura F para retomar com os alunos a noção de linha poligonal – linha constituída exclusivamente de segmentos de reta consecutivos.
 2. Entre os polígonos da atividade anterior, quais deles são convexos? Justifique sua resposta.
São polígonos convexos as figuras C e D. Nas duas figuras, ao traçarmos um segmento de reta unindo dois pontos quaisquer internos ao polígono, 
tal segmento estará contido inteiramente no polígono.
 3. Utilizando instrumentos de desenho ou um software de geometria dinâmica, desenhe as figuras a seguir. 
a) Linha poligonal aberta formada por cinco segmentos.
b) Polígono não convexo com oito lados.
c) Polígono convexo com cinco ângulos.
d) Quadrilátero com ângulos internos medindo 90°, 90°, 30° e 150°. 
 4. Que polígono regular tem seus ângulos internos medindo 144°? 
A
n n n
ni = ° −
°
⇒ ° = ° −
°
⇒ ° =
°
⇒ =180
360
144 180
360
36
360
10
 
O polígono tem 10 lados, portanto é um decágono regular.
360
120
3
°
°
=
O triângulo equilátero.
 6. Quanto medem os ângulos internos e externos de um polígono regular com 9 lados? 
360
9
40
°
= °
O ângulo externo mede 40°. Assim, o ângulo interno mede 180° – 40° = 140°. 
 7. Calcule x sabendo que os polígonos ABCDE e APB são regulares.
X XX
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Il
lu
s_
M
an
156 MATEMÁTICA• •
Relações métricas em polígonos regulares 
Vamos estabelecer algumas relações métricas para o triângulo 
equilátero, para o quadrado e para o hexágono regular. Acompanhe.
Triângulo equilátero
Podemos obter as medidas do lado e do apótema desse triângulo 
em função do raio da circunferência circunscrita. Observe: 
h
a3
a3
r
Traçando um segmento de reta do 
centro da circunferência até o ponto 
médio de um dos lados, obtemos o 
apótema (a3) do triângulo. Um triângulo 
equilátero tem três apótemas, um para 
cada lado.
Note que a medida do 
apótema é parte da medida 
da altura do triângulo 
equilátero. A outra parte é 
o raio da circunferência, ou 
seja, h = r + a3.
Vamos justificar essas duas relações. 
Na figura abaixo, os triângulos OPC e BPC 
são semelhantes. 
Os dois triângulos são retângulos, pois o 
lado BP é a altura do triângulo equilátero ABC. 
O triângulo OBC é isósceles de base BC e o 
ângulo BOC mede 120°, portanto os outros 
dois ângulos (B e C ) medem 30° cada um.
Assim, o triângulo BPC tem ângulos de 30°, 60° e 90°. O ângulo 
COP é suplementar ao ângulo BOC e, portanto, mede 60°. Portanto, osângulos do triângulo OPC também medem 30°, 60° e 90°, ou seja, os 
triângulos BPC e OPC são semelhantes.
As medidas do lado e do apótema de um triângulo equilátero podem 
ser calculadas em função da medida do raio da circunferência 
circunscrita:
3 3r e a
r
3 2
a3
ℓ3
r
r
O
h
B
A P C
Apótema (a ) de um polígono 
regular de n lados é a distância 
do centro da circunferência 
circunscrita a ele até o ponto 
médio do seu lado.
n
8. GEOMETRIA PLANA 157• •
M
A
T
Como os triângulos BPC e OPC são semelhantes, 
podemos escrever uma proporção envolvendo o 
apótema e o lado do triângulo ABC e o raio da 
circunferência:
a
r
a
r3
3
3
3
2
2
= ⇒ =
Aplicando a relação de Pitágoras no triângulo 
BPC, temos:
3
2 3
2
2
3
2 3
2
3
2
2 2
=
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ + ⇒ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ + + ⇒h a r( )
3
2 3
2
3
2
4
⇒ = + +a 22 3
2a r r+
Substituindo a3 por 
r
2
 na expressão acima, 
temos:
3
2 3
2 2 2
2 3
2 2
34 4
2
2
3
4
9
4
3= + + ⋅ + ⇒
⋅
= ⇒ =
r r
r
r
r
Circunferência inscrita: uma circunferência é inscrita 
em um polígono regular quando todos os lados dele 
são tangentes a ela. O apótema desse polígono é o 
raio dessa circunferência. Nesse caso, dizemos que o 
polígono é circunscrito à circunferência.
Em um quadrado inscrito em uma circunferência de 
raio r, temos as seguintes relações:
4 2r e a
r
4
2
2
a3
Quadrado 
O quadrilátero regular é o quadrado, que é 
equilátero e tem todos os ângulos retos.
Inscrevendo um quadrado ABCD em uma 
circunferência de raio r, marcamos o apótema a4. 
Comente com os alunos que a figura inscrita é sempre a que está 
dentro da outra e circunscrita é a que está fora.
a4
ℓ4
r
O
M
A B
D C
Para demonstrá-las, observe que o apótema 
mede a metade do lado do quadrado. Assim, 
a4
4
2
.
O triângulo OMC é retângulo em M e é isósceles 
de base OC, pois ambos os catetos medem 4
2
. 
Usando a relação de Pitágoras no triângulo OMC, 
temos:
r a r
r
2
4
2 4
2
2 4
2
4
2
2 4
2
2 2 2
2
= +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ⇒ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ⇒
⇒ = ⋅
44
24⇒ = r
Por outro lado, do fato de o triângulo OMC ser 
isósceles, temos:
r a a a
r2
4
2
4
2
4
2
2
= + ⇒ =
158 MATEMÁTICA• •
A figura abaixo mostra as circunferências 
inscrita e circunscrita a um quadrado. Note que a 
medida do raio da circunferência inscrita é igual à 
do apótema.
O triângulo ODE, ilustrado acima, é equilátero. 
Assim, seus ângulos internos medem 60°. O ponto M 
é o pé da altura OM, assim OM é perpendicular a ED. 
Então, os ângulos de OMD medem 30°, 60° e 90°.
Os catetos do triângulo OMD medem a6 e 6
2
. A 
hipotenusa mede r.
Assim, podemos escrever as relações entre 6 e 
r e entre a6 e r. 
A B
D C
a4
r
O
A B
D
M
E
F C
a6
ℓ6
r
O
ME D
rr
O
60°
Hexágono regular
Veja como desenhar um hexágono regular 
usando régua e compasso. 
 1. Desenhamos uma circunferência de centro O e 
raio qualquer.
 2. Usando o compasso, marcamos sobre ela, 
sequencialmente, seis vezes a medida desse raio.
 3. Com o auxílio de uma régua, traçamos os 
lados do hexágono unindo os pontos sobre 
a circunferência na sequência em que foram 
marcados. 
Após esse procedimento, obtemos um hexágono 
regular inscrito em uma circunferência. Indicamos 
com letras maiúsculas de A até F os vértices desse 
hexágono.
Traçando um apótema desse hexágono e um 
raio da circunferência, obtemos um triângulo 
retângulo com um dos vértices em O, outro em um 
vértice do hexágono e o terceiro, correspondente ao 
ângulo reto, no ponto médio (M) de um dos lados. 
As medidas do lado e do apótema de um hexágono 
regular inscritos em circunferência de raio r são 
calculadas como:
6 r e a
r
6
3
2
Justificativa:
Do triângulo equilátero ODE, segue que as 
medidas do raio da circunferência e do lado do 
hexágono são iguais. Assim, 6 r.
O apótema é a altura do triângulo equilátero 
ODE. Portanto, pelo teorema de Pitágoras:
r a r
r
a a
r2 6
2
6
2 2
2
6
2
62 2
3
2
=
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ + ⇒ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⇒ =
 
Reunindo as relações obtidas, temos:
Triângulo 
equilátero
Quadrado Hexágono
3 3r 4 2r 6 r
a3 = 
r
2 a4 = 
r 2
2
a6 = 
r 3
2
Essas relações facilitam a obtenção de outras e 
possibilitam, por exemplo, calcular o perímetro de 
um polígono regular conhecendo apenas o raio da 
circunferência em que ele está inscrito.
Reuni
T iâ
EXEMPLOS RESOLVIDOS
8. GEOMETRIA PLANA 159• •
M
A
T
De modo geral, o perímetro Pn de um polígono regular pode ser 
calculado multiplicando a medida n do lado pelo número n de lados.
P nn n= ⋅ 
Assim, podemos, por exemplo, dizer que o perímetro de um 
quadrado inscrito em uma circunferência de raio r é: 
P4 = 4 ⋅ r 2
O perímetro de uma circunferência é, em geral, denominado 
comprimento da circunferência e é dado pela fórmula C r= 2π , sendo 
r a medida do raio da circunferência. Lembre-se de que o número é 
irracional e é comum usar em cálculos a aproximação com duas casas 
decimais: 3 14, . Essa aproximação também pode ser usada para 
outros números irracionais, como 2 1,41 e 3 1,73.
 1. Dado um triângulo equilátero de 12 cm de 
altura, calcule:
 2. O lado de um hexágono regular ABCDEF 
mede 10 cm. Calcule:a) a medida do lado desse triângulo.
Solução
a) a medida do apótema de ABCDEF.
SSSoSSSSSSSSSS lução
a3
ℓ3ℓ3
h
ℓ3
2
ℓ3
2
b) a medida do raio da circunferência 
circunscrita a esse triângulo.
Solução
3 3 8 3 3
8 3
3
8= ⇒ = ⇒ = =r r r cm
c) a medida do apótema desse triângulo 
equilátero.
Solução
a
r
a cm3 32
8
2
4= ⇒ = =
A altura divide o 
triângulo equilátero 
em dois triângulos 
retângulos. Assim, 
pelo teorema de 
Pitágoras:
3
2 3
2
2
3
2 3
2
3
2
3
2
3
2 4
144
3 576 192
192
=
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ + ⇒ = + ⇒
= ⇒ = ⇒
⇒ = =
h
88 3 cm 
A
F
E
B
D
C
O
Solução 
No hexágono, o raio 
da circunferência 
circunscrita é igual 
à medida do lado. 
Assim:
6 10r cm
a6 = 
r
cm
3
2
10 3
2
5 3b) o raio do círculo inscrito ao polígono 
ABCDEF.
Solução
O raio do círculo inscrito é igual à medida 
do apótema, portanto é igual a 5 3 cm. 
c) a medida da diagonal AC.
Solução
A diagonal AC corresponde ao dobro da 
altura do triângulo equilátero ABO, que por 
sua vez tem a mesma medida do apótema 
do hexágono regular. Assim, temos:
AC a cm= ⋅ = ⋅ =2 2 5 3 10 36 
a C rC π
160 MATEMÁTICA• •
 8. Complete a tabela escrevendo o raio e o apótema em função do lado para o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular.
ATIVIDADES
EM13MAT505
Triângulo equilátero Quadrado Hexágono regular
Raio
Apótema
r3
3 3
3
r4
4 2
2
r6 6
a3
3 3
6
a4
4
2
a6
6 3
2
 9. O lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio R mede 8 cm. Quanto mede aproximadamente o raio R dessa circunferência? Use 2 1 41, .
 11. Qual é o perímetro do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência cujo comprimento é de 45 cm? Considere π = 3 14, e 
3 1 73, . 
4 8 cm
4 2 8 2 4 2= ⇒ = ⇒ =R R R
 
O raio mede 4 2 cm, ou seja, aproximadamente 5,64 cm.
 10. Calcule a medida aproximada do apótema de um hexágono inscrito em uma circunferência de raio igual a 20 cm. Use 3 1 73, .
a
r
a cm6 6
3
2
20 3
2
10 3= ⇒ = =
 
O apótema mede 10 3 cm, ou seja, aproximadamente 17,3 cm.
 12. A pista de dança de um salão de eventos tem o formato circular, com 4 m de raio. Em uma festa de casamento, será aplicado um adesivo escolhido pelos noivos, de formato quadrado, e que ficará disposto como mostra a figura. Qual deve ser a medida aproximada do lado desse quadrado? Use 2 1 41, . 
r = 4 m
4 2 4 2r m
O lado do quadrado deve medir 4 2 m, ou seja, 
aproximadamente 5,64 m.
 13. O painel ao lado é formado por um quadrado e um triângulo equilátero inscritos em uma circunferência de raio 2,8 m. Em toda a extensão do retângulo cor-de-rosa será aplicada uma placa metálica descritiva. Quais serão as dimensões dessa placa? Use 2 1 41, . 
 14. O apótema de um quadrado circunscrito a uma circunferência mede 15 2 cm. Calcule o comprimentodessa circunferência e o apótema do hexágono regular inscrito nela. Considere 
π = 3 1, , 2 1 4, e 3 1 7, . 
C cm
C r r r cm
P r P P cm
=
= ⇒ = ⇒
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
45
2 45 2 7 2
3 3 3 7 2 173 37 373 3 3
π π ,
, , ,
e 
8. GEOMETRIA PLANA 161• •
M
A
T
 17. (UNEMAT – MT) O 
hexágono regular ABCDEF 
tem lados medindo 
2 metros e o ponto “O” é o 
ponto central dos dois hexágonos.
A área do triângulo “GIO” é:
X a) 
3
3
2m
b) 3 2m
c) 2 3 2m
d) 
2 3
3
2m
e) 6 3 2m
O apótema do quadrado é igual ao raio da circunferência 
inscrita a ele. Assim:
a r cm
C r
a
r
4
6
15 2
2 2 15 2 2 3 1 15 14 130 2
3
2
15 2 3
2
15
= =
= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= =
⋅
=
⋅
π π , , ,
114 17
2
17 9
, ,
,
⋅
cm
 
 15. O apótema de um hexágono inscrito em uma 
circunferência mede 8 3 cm. Determine: 
a) o apótema do quadrado inscrito nessa 
mesma circunferência. 
 16. (UECE) Considere, no plano, 
um triângulo equilátero 
cujos vértices são também 
vértices de um hexágono 
regular. Se a medida do lado do hexágono é 2 m, 
a área da região interior ao hexágono e exterior 
ao triângulo é 
a) 3 2m
b) 2 3 2m
X c) 3 3 2m
d) 4 3 2m
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
A
B C
D
EF
G
L J
K
H
O
I
A área a ser calculada é a que está pintada e corresponde à diferença 
entre a área do hexágono e a área do triângulo.
A A AS = −6 3 
Supondo que esses polígonos estejam inscritos em uma 
circunferência, podemos escrever:
6
6
3
3
2
3
2 3
1
r m
a m
m
a m 
A A A A
m
S S= − ⇒ =
⋅
⋅ −
⋅
⋅ =
= − =
6 3
2
6 2
2
3
3 2 3
2
1
6 3 3 3 3 3 
r
8 3
r
r r
r cm2 2
2 2
8 3
2
3
4
192 256 16= + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ = ⇒ = =( )
r a4
4a3
2
a
r
a cm4 4
2
2
16 2
2
8 2= ⇒ = =
O apótema do quadrado é 8 2 cm.
b) o apótema do triângulo equilátero inscrito nessa mesma circunferência. 
a
r
a cm3 32
8= ⇒ =
c) Com base no enunciado e nos dois resultados anteriores, escreva uma frase relacionando o número de lados e a medida do apótema dos polígonos.
O apótema do triângulo é 8 cm.
Quanto maior o número de lados do polígono, maior a medida 
do apótema.
Considerando 2 1 41, e 3 173, , temos: 
a a a6 4 38 3 13 84 8 2 1128 8
8 3 8 2 8
= = =
> >
, ; , ;
 
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEU ATÉ AQUI.
TOME NOTA!
162 MATEMÁTICA• •
 18. (IFMG) Uma praça foi construída no formato circular. A região destinada para a arborização é no formato hexagonal, conforme a figura a seguir.
 19. (UEG – GO) Na figura a seguir tem-se um círculo inscrito em um hexágono, que está inscrito em outro círculo.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
DESCRIÇÃO DA FIGURA:
A figura consiste em uma 
circunferência com um 
hexágono em seu interior 
cujos vértices distam 
2 metros da extremidade 
da circunferência.
Sabendo que todos os vértices do hexágono distam 2 m da extremidade da praça e a região de arborização possui 24 3 2m , o raio da praça, em metros, vale:
a) 4
b) 4 3
c) 6 3
X d) 6
Considerando que o hexágono é 
regular e sendo L a medida dos 
lados do hexágono, temos a figura 
ao lado.
A área do hexágono regular é dada 
por 6
3
4
2L .
L
L
LLLL
LL
O
2 m2 m
Assim:
6
3
4
24 3
16 4
2
2
⋅ =
= ⇒ =
L
L L m
Portanto, como a distância do centro do hexágono a 
qualquer um de seus vértices é L, o raio da praça é 
L m m m m+ = + =2 4 2 6 .
R
r
O raio do círculo maior R em função do raio do círculo menor r pode ser representado pela função 
a) R
r 3
2
b) R
r3
2
c) R
r 2
3
X d) R
r2 3
3
e) R
r 2
2
RR
R
R
r
60°
Na figura abaixo, o raio do 
círculo menor é a altura de um 
triângulo equilátero cuja medida 
dos lados é o raio do círculo 
maior.
Assim:
sen
r
R
r
R
R
r r r
60
3
2
2
3
2
3
3
3
2 3
3
° =
=
= = ⋅ =
8. GEOMETRIA PLANA 163• •
M
A
T
ÁREA DE FIGURAS PLANAS 
Você já estudou como calcular áreas de diversas figuras planas. 
Vamos retomar resumidamente esse tema para, em seguida, nos deter 
nas áreas de polígonos regulares.
Áreas de quadriláteros
O cálculo de áreas de figuras planas é baseado no espaço ocupado 
pela figura. Isso é sempre feito usando uma unidade de medida de área 
como parâmetro de comparação.
As unidades de medida de área, em geral, são quadrados com 
lado unitário – 1 cm, 1 m e 1 km, por exemplo. Para descobrir a 
área de outras figuras, vamos preenchendo-as com essas unidades. 
Provavelmente, você já conhece alguns modos (fórmulas) para calcular 
a quantidade de unidades de medida que cabem em cada figura. 
Antes de tratar das áreas, vamos apresentar em um diagrama a 
classificação de quadriláteros que estamos adotando. 
EM13MAT201, EM13MAT307 Área de retângulos 
O retângulo abaixo tem base 
igual a 7 cm e altura de 4 cm. 
1 cm
1 cm
Ao longo da base desse 
retângulo, é possível justapor 
sete quadrados de 1 cm de lado.
Para preencher todo o 
retângulo, são necessárias quatro 
linhas de quadrados de 1 cm2, ou 
seja, 4 · 7 = 28 cm2. 
MM
A
T
M
©
Shutterstock/M
acrovector
Quadriláteros
Trapézios
Outros
Paralelogramos
Retângulos Quadrados Losangos
Al
es
sa
nd
ro
 T
ol
oc
zk
o.
 2
02
1.
 D
ig
ita
l.
164 MATEMÁTICA• •
De modo geral, dizemos que a área do retângulo AR pode ser 
calculada multiplicando a medida da base b pela medida da altura 
h. Ambas as medidas devem estar expressas na mesma unidade de 
comprimento.
AR = b ⋅ h
Sendo o quadrado um retângulo particular 
que tem base e altura de mesma medida , 
podemos escrever sua área AQ desta forma: 
AQ
2
Para o cálculo das áreas de outros quadriláteros, como 
paralelogramos não retângulos e trapézios, podemos escrever fórmulas 
com base na área do retângulo.
Área de paralelogramos
Se dividirmos um paralelogramo em duas partes fazendo um corte 
no sentido da altura, podemos reorganizar as partes para compor um 
retângulo. 
ℓ
ℓ
b b
h h
Veja a orientação didática no Manual digital.
Assim, a área AP de um paralelogramo pode ser calculada com a 
mesma fórmula usada para o cálculo da área do retângulo.
AP = b ⋅ h
No caso de o paralelogramo ser losango, 
podemos encaixá-lo em um retângulo cujas 
dimensões são as medidas das diagonais maior (D) 
e menor (d) do losango. 
A área do losango é a metade da área do 
retângulo. Assim, podemos escrever que: 
AL = 
D d
2
Área de trapézios 
Para obter uma fórmula para a área de trapézios, vamos também 
recortá-los para compor retângulos com as partes obtidas.
O trapézio da figura é isósceles. Dividindo-o em duas partes no 
sentido da altura, é possível compor um retângulo, rearranjando com 
essas partes. 
D
d
8. GEOMETRIA PLANA 165• •
M
A
T
A base do retângulo mede a metade da base maior mais a metade 
da base menor 
B b
2 2
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟.
Assim, a expressão que permite calcular a área AT do trapézio, que é 
igual à área do retângulo, é:
AT = 
B b
h
2 2
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ = 
B b
h
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
2
 = 
( )B b h
2
Para um trapézio retângulo, podemos proceder assim: 
Incentive os 
alunos a escrever 
diferentes expressões 
equivalentes para 
essa fórmula.
b
bB B
h
2
b
a(B – a)
h
B
A base do retângulo é B + b e a altura é 
h
2
, portanto a área do 
retângulo que é igual à do trapézio é dada por AT = (B + b) · 
h
2
.
Essa fórmula é equivalente à que escrevemos para o trapézio 
isósceles.
E se o trapézio não for nem isósceles nem retângulo? Note que 
podemos dividir qualquer trapézio em duas partes, no sentido da altura. 
Se dividirmos a figura obtendo um trapézio retângulo e um triângulo 
retângulo, temos:
A área é a soma das áreas do trapézio retângulo, de bases b e 
(B – a), e da metade de um retângulo de dimensões a e h. 
Área do trapézio retângulo: A b B a
h
TR = + − ⋅( )
2
 
Área do retângulo: A a hR = ⋅
Área total: 
A
A
b B a
h a h h
b B a a
h
b BTR
R+ = + − ⋅ +
⋅
= ⋅ + − + = ⋅ +
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
Portanto, para qualquer configuração de trapézio, a área é dada por:
A (B b) h
2T =
+ ⋅
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/B
an
kr
x
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
iin
ts
19
2
166 MATEMÁTICA• •
Investigando as propriedades dos quadriláteros 
Para esta atividade, vocêpode utilizar régua e compasso 
ou um software de geometria dinâmica. Siga a orientação do 
professor.
Primeira investigação
 1. Construa uma reta AB.
 2. Marque um ponto C não pertencente a essa reta.
 3. Construa uma reta que passe por C e seja perpendicular a AB
� ��
.
 4. Marque o ponto D onde as duas retas se intersectam.
 5. Crie os pontos E sobre AB
� ��
 e G sobre CD
� ��
.
 6. Trace uma reta perpendicular a CD
� ��
 passando por G e outra 
reta perpendicular a AB
� ��
 passando por E. Marque o ponto F 
onde as duas retas se intersectam.
 7. Trace os lados do polígono DEFG.
 8. Encontre a medida dos quatro ângulos internos do polígono.
 9. Encontre as medidas dos lados do polígono.
Agora, responda às questões. 
a) Que tipo de polígono é DEFG?
b) Se o ponto E estiver em outra posição da reta AB
� ��
, 
ocorrerá alguma mudança no polígono que você criou? 
c) Qual é a área do polígono que você desenhou?
d) Como obter um polígono com a metade da área que você 
indicou acima?
Segunda investigação
 1. Construa uma reta AB.
 2. Marque um ponto C não pertencente a essa reta.
 3. Construa uma reta s que passe por C e seja paralela a AB
� ��
.
 4. Crie a reta BC.
 5. Trace uma reta r paralela a BC
� ��
, passando pelo ponto A.
 6. Crie o ponto D na intersecção das retas r e s. 
PARA SABER MAIS
Veja orientações sobre a atividade no Manual digital.
A
C
G
D
B
E
F
DG = 4,1
FG = 4,2
EF = 4,1
ED = 4,2
Área de
DEFG = 17,22
8. GEOMETRIA PLANA 167• •
M
A
T
 7. Desenhe o polígono ABCD.
 8. Obtenha as medidas dos quatro ângulos internos do 
polígono.
 9. Obtenha as medidas dos lados do polígono.
Agora, resolva os itens a seguir. 
a) Que tipo de polígono é ABCD?
b) O que mudaria no polígono se você tivesse marcado o 
ponto C em qualquer outro lugar fora da reta AB? 
c) Como você pode obter a área do polígono que você 
criou?
d) Trace a altura do polígono e encontre sua medida. 
Mostre a relação entre a área do polígono e a sua altura.
e) Use a mesma estratégia para desenhar um losango. Trace 
suas diagonais e calcule a sua área. 
ATIVIDADES
EM13MAT307
20 m
20 m
10 m
10 m
 20. O proprietário de um terreno em forma de paralelogramo deseja anunciá--lo para a venda. Ele enviou as medidas do contorno do terreno para que o corretor calculasse a área e definisse o preço de venda. O corretor respondeu dizendo que essas medidas não eram suficientes para calcular a área. 
a) Explique por que não é possível calcular a área do terreno apenas tendo as medidas do seu contorno.
b) Desenhe no caderno dois paralelogramos diferentes que tenham as mesmas medidas do contorno.
c) Quais informações adicionais podem ajudar o corretor a calcular a área do terreno?
A
B
DA = 5,9
AB = 5,6
BC = 5,9
CD = 5,6
r
s
C
D
144,8°
144,8°
35,2°
35,2°
168 MATEMÁTICA• •
 21. Considere que o trapézio ilustrado a seguir 
é isósceles de área 40 cm2 e que o retângulo 
destacado tem área 24 cm2. Calcule a razão 
entre a base maior e a base menor desse 
trapézio.
 24. (OBM) Traçando 
segmentos, podemos dividir 
um quadrado em dois 
quadradinhos congruentes, 
quatro trapézios congruentes e dois triângulos 
congruentes, conforme indica o desenho 
abaixo, à esquerda. Eliminando algumas 
dessas partes, podemos montar o octógono 
representado à direita. 
b
B
h
(B + b) ∙ h
2
 = 40
(b ∙ h) = 24 ⇒ h = 24
b
(B + b) ∙ 24
2b
 = 40 ⇒ 3B + 3b = 10b ⇒ B
b
7
3
 
Sejam AR a área do tecido retangular, AL a área do 
losango, AC a área do círculo, AV a área verde da 
bandeira e AA a área amarela da bandeira, temos:
AR = 7 ∙ 10 = 70 m2
AL = ( , )( , )10 17 7 17
2
 22 m2
AC = 0,14 ∙ 70 9,8 m2
AV = 70 – 22 = 48 m2
AA = 22 – 9,8 = 12,2 m2
 22. Calcule as áreas aproximadas verde e amarela 
em uma Bandeira do Brasil construída sobre 
um pedaço de tecido verde retangular de 
7 metros por 10 metros. Admita que a distância 
entre os lados do retângulo e os vértices do 
losango são todas iguais a 85 cm. Considere 
que o círculo central da bandeira tem área igual 
a aproximadamente 14% da área total.
 23. (FGV – RJ) A área de um 
2. 
A altura desse trapézio 
mede 50 cm. Considere o 
problema de determinar as medidas das bases 
desse trapézio, sabendo que essas medidas, em 
centímetros, são números inteiros divisíveis 
por 8.
O número de soluções desse problema é:
a) 3.
b) 2.
c) 1.
X d) 4.
e) 5.
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
A
B b h
B b
B b
T =
+ ⋅
=
+ ⋅
+ =
( )
( )
2
1800
50
2
72
Como B e h devem ser números múltiplos de 8, temos as 
seguintes possibilidades:
B e b
B e b
B e b
B e b
64 8
56 16
48 24
40 32
O número de soluções do problema é 4.
Que fração da área do quadrado foi eliminada?
a) 
1
9
X b) 
2
9
c) 
1
4
d) 
1
3
e) 
3
8
Agora, você pode fazer as questões 
45 a 47 da seção Conquista Enem.
8. GEOMETRIA PLANA 169• •
M
A
T
ENEM Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por 
quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. 
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem 
analisadas pelos demais herdeiros. 
Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos 
iguais, o único em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a 
mesma área é:
a)
b)
c)
d)
e)
Esse participante considerou que nas alternativas a e d todos os lotes têm o formato de 
paralelogramos de mesma base e mesma altura, portanto suas áreas são iguais.
Na alternativa c, os lotes são triângulos com bases iguais e alturas de mesma medida, assim 
resultando em áreas iguais.
Ele considerou que na alternativa e a divisão é equivalente à da alternativa a, apenas os lotes do 
meio foram divididos em um sentido diferente. 
Observando os triângulos formados na divisão indicada na alternativa b, considerou que eles 
têm bases e alturas diferentes, então devem ter áreas diferentes. Assim, ele marcou a alternativa b. 
Entretanto, essa não é a resposta correta da questão!
No item b, os lotes são formados pelas diagonais de um paralelogramo, que se cruzam em seus 
pontos médios. Os triângulos 1 e 2 têm áreas iguais, assim A A1 2, ou seja, os dois juntos preenchem 
metade da área do paralelogramo. Como os outros dois triângulos têm lados congruentes, são 
congruentes. Assim, cada um deles ocupa um quarto da área do terreno.
Por outro lado, na alternativa e, a indicação das medidas não significa que os paralelogramos 
das laterais tenham as mesmas áreas dos paralelogramos da alternativa a. Basta comparar com as 
indicações feitas na alternativa d, que também não correspondem às de a.
Portanto, o estudante deveria ter marcado a alternativa e.
Observe o raciocínio que um participante do Enem utilizou para resolver a questão a seguir.
ANÁLISE DO ERRO
EM13MAT307
Rua A
Rua B
As ruas A e B são paralelas.
As ruas C e D são paralelas.
Rua C Rua D
Terreno
1
2
,
Entretanto, ,, essa não é a respopppp sta correta da qqqquestão!
170 MATEMÁTICA• •
Área de triângulos 
Assim como fizemos com os quadriláteros, 
podemos usar recortes de retângulos para obter a 
medida da área de triângulos. 
Triângulos retângulos podem ser obtidos 
recortando retângulos sobre uma das diagonais.
b b
b
h h h
b
h h
b
2
b
h
A área de cada um dos triângulos formados é a 
metade da área do retângulo.
No caso de o triângulo ser isósceles, podemos 
recortá-lo sobre a altura e remontar as partes para 
obter um retângulo. 
A base do retângulo é a metade da base do 
triângulo.
Triângulos escalenos podem ser encaixados 
em retângulos fazendo coincidir o maior lado do 
triângulo com um dos lados do retângulo. O outro 
vértice do triângulo deve estar sobre o lado oposto 
do retângulo. 
O retângulo formado tem o dobro da área do 
triângulo.
Em todas essas situações, fica expresso que a 
área At de um triângulo é igual à metade da área de 
um retângulo de mesma base b e mesma altura h do 
triângulo, portanto podemos escrever que: 
A b h
2t =
⋅
EXEMPLO RESOLVIDO
(OBMEP) O retângulo da figura possui área igual a 640 cm2.Os pontos 
B e F são pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente. Qual é a área 
do triângulo BDF?
a) 100 cm2
b) 120 cm2
c) 160 cm2
d) 220 cm2
e) 240 cm2
Solução
Fazendo AC = x e AE = y, temos:
xy
A
x y xy
cm
A
x
y
xy
ABF
BCD
=
= ⋅ ⋅ = = =
= ⋅ ⋅ = = =
640
2 2
1
2 8
640
8
80
2
1
2 4
640
4
16
2
00
2
1
2 4
640
4
160
64
2
2
cm
A x
y xy
cm
A xy A A A
DEF
BDF ABF BCD DEF
= ⋅ ⋅ = = =
= − − − = 00 80 160 160 240 2− − − = cm
A resposta correta é a alternativa e.
A B C
DE
F
Soluçãççççç o
8. GEOMETRIA PLANA 171• •
M
A
T
 25. Anteriormente, dissemos que “triângulos escalenos podem ser encaixados em retângulos fazendo coincidir o maior lado do triângulo com um dos lados do retângulo”. E se o lado coincidente com o do retângulo for o menor, como na figura abaixo, a área do triângulo ABE é a metade da área do retângulo ABCD? Mostre que sim. 
 27. Um triângulo isósceles tem seu lado maior igual ao dobro da sua altura relativa a esse lado. Calcule a área e o perímetro desse triângulo em função da altura relativa ao maior lado. 
ATIVIDADES
EM13MAT307
D C E
A B
h
D C E
A b aB F
h
At = (b + a)h – a h
2
 – ( )b a h
2
At = bh + ah – ah
2
 – bh ah
2 2
At = bh + ah – ah
2
 – bh ah
2 2
⇒ At =
bh
2
b h
b h
h h h
⋅
= ⇒ ⋅ =
= +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ⇒ = ⇒ =
2
210 420
2
3
4
3
2
2 2
2
2
2
 
Usando as dimensões do triângulo em função da medida do lado, 
temos:
� � �
� �
⋅ = ⇒ = = = ⇒
⇒
3
2
420
840
3
280 3 484 4
22
2 ,
cm 
Portanto, o perímetro do triângulo é de aproximadamente 66 cm.
 26. Um triângulo equilátero tem área 210 cm2. Calcule seu perímetro. (Considere 3 1 73, .) 
ℓ
ℓ
ℓ h
ℓ
2
ℓ2 ℓ2
ℓ1 = 2h
h
h
y
x
 28. Um terreno retangular de lados x e y foi dividido em cinco partes: quatro triângulos iguais e um retângulo, conforme mostra a figura abaixo. Qual relação deve haver entre as dimensões de cada uma das partes para que todas tenham áreas iguais? 
A área do triângulo isósceles é:
A
h h
A h=
⋅
⇒ =
2
2
2
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:
2
2 2 2
2
2 2
22 2= + ⇒ = ⇒ =h h h h
 
Cálculo do perímetro em função da altura:
P h h P h3 32 2 2 2 2 1= ⋅ + ⇒ = +( )
 
Da figura, obtemos: A
b x
e A B xt R=
⋅
= ⋅
2
.
Como as áreas das figuras devem ser iguais, 
b x
B x b B
⋅
= ⋅ ⇒ =
2
2 . 
Concluímos que os triângulos devem ter a mesma altura x 
do retângulo e a sua base deve medir o dobro da base do 
retângulo do meio.
x x x
bb
x
B
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/L
uc
hs
ch
en
f
172 MATEMÁTICA• •
ENEM Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos 
de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do 
quadrado e os segmentos AP e QC medem 
1
4
 da medida do lado do quadrado. 
Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a 
parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais 
clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na 
fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00
Essa aluna considerou que a parte clara é formada por quatro triângulos congruentes, cada um com 
0,25 de base e 0,50 de altura. Portanto, a área total da parte clara é: 
A mclara = ⋅ ⋅ =4 0 25 0 50 0 50 2, , , 
O custo da parte clara em reais é, portanto, Cclara = ⋅ =0 50 50 25, .
A parte escura corresponde à área total menos a área clara:
A m m mescura = − =1 0 50 0 502 2 2, , 
E o custo da parte escura em reais é, portanto, Cescura = ⋅ =0 50 30 15, .
O custo total é, então, R$ 25,00 + R$ 15,00 = R$ 40,00. A aluna marcou a alternativa c. Entretanto, 
essa não é a resposta correta!
Ao calcular a área dos triângulos que compõem a parte clara, ela utilizou o cálculo da área de um 
paralelogramo em vez da área de um triângulo. O cálculo correto é:
A mclara = ⋅
⋅
=4
0 25 0 50
2
0 25 2, ,
,
 
Assim, o custo da parte clara é, em reais, Cclara = ⋅ =0 25 50 12 50, , .
A área da parte escura é: A m m mescura = − =1 0 25 0 752 2 2, , .
E o custo da parte escura, em reais, é de: Cescura = ⋅ =0 75 30 22 50, , .
O custo total é R$ 12,50 + R$ 22,50 = R$ 35,00, o que indica que a alternativa correta é a b.
Veja como uma aluna do primeiro ano resolveu a questão a seguir.
ANÁLISE DO ERRO
EM13MAT307
D
A C
B
P Q
. EEEEnEEEEEE tretanto, O custo total é, então, ,, R$ 25,0
essa não é a respoppppp sta correta!
8. GEOMETRIA PLANA 173• •
M
A
T
Áreas de polígonos regulares 
Um modo usual de calcular a área de um polígono regular é decompô-lo em triângulos congruentes, calcular a 
área de um dos triângulos e multiplicá-la pelo número de lados do polígono. Observe estes exemplos:
Área do triângulo equilátero Área do quadrado Área do hexágono regular
AABC = 3 ⋅ AAOC AMNPQ = 4 ⋅ AMOQ AABCDEF = 6 ⋅ AFOE
Área do pentágono 
regular
Área do octógono 
regular
A C
B
O
a3
ℓ3
AABC = 3 ⋅ 3 3
2
a
AMNPQ = 4 ⋅ 4 4
2
a
AABCDEF = 6 ⋅ 6 6
2
a
Reescrevendo essas fórmulas, podemos evidenciar o perímetro do polígono em cada uma delas.
AABC = 
3
2
3
3a AMNPQ = 
4
2
4
4a AABCDEF = 
6
2
6
6a
Note que a expressão que representa a metade do perímetro aparece em cada uma das igualdades.
Do mesmo modo, podemos escrever, por exemplo:
a5 a8
 29. A área de um quadrado inscrito em uma circunferência é 400 cm2. Quanto vale o comprimento dessa 
2 1 41, . 
ATIVIDADES
EM13MAT307
�
� �
�2
2 2 2 2
2
400 400 20
2 4 2 400
200 200 10 2
= ⇒ = =
= + ⇒ = ⋅ ⇒
⇒ = ⇒ = =
=
( )r r
r r cm
C 22 2 3 14 10 2 88 55⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒π r C cm, ,�
r
r
área de um
Á d
A5 = 
5
2
5
5a A8 = 
8
2
8
8a
Estendendo essa regularidade para 
polígonos com outras quantidades de 
lados, afirmamos que a área An de um 
polígono regular pode ser expressa como 
o produto do seu semiperímetro p pelo seu 
apótema an.
An = p ⋅ an
N P
M Q
O
a4
ℓ4
O
A D
CB
F E
a6
ℓ6
174 MATEMÁTICA• •
 30. Um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência tem área igual a 108 3 cm2. Qual é a área do triângulo equilátero circunscrito a essa circunferência?
 32. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência que, por sua vez, está inscrita em um quadrado cujo lado mede 18 cm. Qual é a área do hexágono? Considere 3 1 73, . 
A3i → área do triângulo equilátero inscrito
A3c→ área do triângulo equilátero circunscrito
A3i = 3
2
3 3i ia 
Escrevendo o lado e o apótema em função de r, obtemos 
A3i = 3 3
4
2r . 
108 3 = 3 3
4
2r ⇒ 144 = r2 ⇒ r = 12 cm
O raio da circunferência é igual ao apótema do triângulo 
equilátero circunscrito a ela. Então:
a3c = 12 cm 
3 3 3 32 3 2 3 2 12 3 24 3= ⇒ = = ⋅ =a a cmc c
Assim, podemos escrever que A3c = 3
2
3 3c ca ⇒ 
⇒ A3c =
3 24 3 12
2
 = 432 3 cm2.
ℓ3h
ℓ3
2
 31. Um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r tem apótema de inscrito em uma circunferência cujo raio mede r
2
? Use 3 1 73, .
Usando a mm6 346 , temos:
a
r r
r mm6
6 6
6
3
2
346
173
2
400= ⇒ =
⋅
⇒ =
,
 
Assim: r
r
r r mm3
6
3 32
400
2
200= ⇒ = ⇒ = 
3 3 3 33 200 173 346= ⇒ = ⋅ ⇒ =r mm,
 
Observando o triângulo inscrito, podemos aplicar o teorema de 
Pitágoras para obter a altura:
3
2
3
2 3
2
2
= +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟h
 
346 173 119 716 29 929
89 787 300
2
3
2 2
3
2
3
2
3
= + ⇒ = − ⇒
⇒ = ⇒
h h
h h mm
 
18
Da figura, temos:
4 6 418 2 9cm e cm:
 
A área do hexágono é dada por:
A p A A cm6 6 6 6
26 9
2
9 3
2
210 195= ⇒ =
⋅
⋅ ⇒ = ,
 
8. GEOMETRIA PLANA 175• •
M
A
T
 33. Calcule a área aproximada de um pentágono 
regular de lado 8 cm. 
 
 35. (IFRS) Considere as 
afirmações abaixo.
 I. A área de um quadrado 
inscrito em uma 
BGA
E C
D
F
54°
C
A
B
O
Agora, você pode fazer as questões 
48 a 54 da seção Conquista Enem.
ABC é o ângulo interno do pentágono regular, portanto mede 108°.
A reta BF é a bissetriz desse ângulo, então GBF = °54 . 
tg
a
a a cmA p a A A c
54
4
13764 4 5 5
8 5
2
5 5 110
5
5 5
5 5 5 5 5
° = ⇒ ⋅ = ⇒
= ⋅ ⇒ =
⋅
⋅ ⇒ =
, ,
, mm2
 
 34. (UNEMAT – MT) Os 
diâmetros do círculo da 
figura abaixo medem 4 cm 
e são perpendiculares entre 
si. O segmento AB é paralelo 
ao segmento OC, e o segmento CB é paralelo ao 
segmento OA.
Qual a medida do segmento AC nesta figura?
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Como os diâmetros da figura são perpendiculares entre si e os 
segmentos AB e CB são paralelos aos dois diâmetros, então 
OABC é um retângulo, cujas diagonais são AC e OB. Como as 
diagonais de um retângulo são congruentes, ou seja, têm a 
mesma medida, e OB cm2 , pois é raio da circunferência de 
diâmetro 4 cm, então AC cm2 .
a) 5
b) 2 5
c) 2 2cm
X d) 2 cm e) 4 cm
I. Incorreta. Sendo L a medida dos lados do quadrado 
inscrito em uma circunferência de raio π e r o raio da 
circunferência inscrita em um quadrado cujos lados medem 
1, temos:
2 2 2
L 2 2 L 2
2 2 2
1
2r 1 r
2
Portanto, a área do quadrado é igual a L2 2 22 2= =( )π π e 
a área do círculo é igual a π
π
⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
2 4
2
. 
II. Correta. Um hexágono regular com lados que medem m 
pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros cujos 
lados também medem m. Portanto, a razão entre a área do 
triângulo equilátero e a área do hexágono regular é:
triângulo triângulo
hexágono triângulo
A A 1
A 6 A 6
III. Correta. Considerando L a medida dos lados do 
quadrado inicial, temos:
Área do quadrado inicial: L2
Área do novo quadrado: (L + 1)2
Assim:
( )
( ) ( ) ( )
L L L L L
L L
L
L
+ = ⋅ ⇒ + + =
− − =
=
− − ± − − ⋅ ⋅ −
⋅
1 2 2 1 2
2 1 0
2 2 4 1 1
2 1
2 2 2 2
2
2
==
±
=
±
= ±
2 8
2
2 2 2
2
1 2
Portanto, a medida dos lados do quadrado inicial é 
L = +1 2
circunferência de raio é igual à área de uma circunferência inscrita em um quadrado de lado 1.
 II. A razão entre as áreas de um triângulo equilátero de lado m e um hexágono regular de lado m é igual a 1
6
.
 III. Aumentando o lado de um quadrado em uma unidade, obtém-se um novo quadrado com área igual ao dobro do primeiro. Então, o lado do quadrado inicial mede 1 2.Considerando as afirmações, quais são corretas?
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
X d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
176 MATEMÁTICA• •
ENEM As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – mixed 
martial arts, são realizadas num octógono regular. De acordo com a 
figura, em certo momento os dois lutadores estão respectivamente nas 
posições G e F, e o juiz está na posição I. O triângulo IGH é equilátero 
e GI F é o ângulo formado pelas semirretas com origem na posição 
do juiz, respectivamente passando pelas posições de cada um dos 
lutadores.
A medida do ângulo GÎF é
a) 120° b) 75° c) 67,5° d) 60° e) 52,5
Esse estudante imaginou que o ponto I fosse o centro do círculo circunscrito ao octógono. Assim, o 
ângulo GIF seria congruente ao ângulo GIH .
Como GIH pertence a um triângulo equilátero, sua medida seria 60°. Então, GIF mede 60° e, assim, 
o estudante marcou a alternativa d. No entanto, essa não é a resposta correta, pois o ponto I não é o 
centro da circunferência circunscrita ao octógono.
O enunciado indica que o triângulo GHI é equilátero. Isso significa que GIH mede 60°.
No entanto, o ângulo central do octógono regular mede 
360
8
45
°
= °.
Portanto, GFI não é um triângulo equilátero, assim GIF não tem a mesma medida que GIH .
Para resolver a questão, procedemos conforme a seguir. 
Calculamos a medida ai do ângulo interno do octógono regular:
a
n
n
ai i=
− ⋅ °
⇒ =
− ⋅ °
= °
( ) ( )2 180 8 2 180
8
135
 
A medida de IGH é 60°, pois o triângulo GIH é equilátero. Portanto, GH = GI = FG.
Assim, o triângulo FGI é isósceles de base FI. Temos, então, GIF GFI x≡ = 
m FGI a m FGIi( ) = − ° ⇒ ( ) = ° − ° = °60 135 60 75
No triângulo FGI, temos:
m FGI m GFI m GIF
m FGI x x
x x
( ) + ( ) + ( ) = °
( ) + + = °
° + = ° ⇒ =
180
180
75 2 180 552 5, °
Portanto, a resposta correta é a alternativa e.
Observe a solução que um estudante apresentou para a questão a seguir.
ANÁLISE DO ERRO
EM13MAT307
E
F
G
H
A
I
B
C
D
.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Ir
w
an
 D
oy
o ©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/N
ei
l L
oc
kh
ar
t
g q , ,
NNNNoNNNNNNNNNNN entanto, essa não é a resposta correta, pppois o popppp nto
centro da circunferência circunscrita ao octógono.
,
o I não é o o III
8. GEOMETRIA PLANA 177• •
M
A
T
A Matemática na agricultura: métodos de irrigação
A agricultura depende de água. Para fazer com que esse recurso chegue até as plantas na frequência e 
quantidade adequadas, foram desenvolvidos diferentes métodos de irrigação.
O método escolhido em cada situação depende do clima da região, do tipo de solo, da cultura que será 
irrigada e da topografia do terreno, além da disponibilidade financeira e tecnológica.
Basicamente, existem quatro métodos de irrigação. 
Irrigação por superfície: a distribuição da água ocorre por gravidade, sendo lançada na parte mais alta do 
terreno e se espalhando até as partes mais baixas.
Irrigação por aspersão: imita a chuva, pois a água é lançada sobre as plantas.
Irrigação localizada: leva a água diretamente até a planta por meio de gotejadores, tubos ou 
microaspersores.
Subirrigação: a água é aplicada abaixo da superfície do solo, diretamente nas raízes.
No Brasil e no mundo, o método mais utilizado é a irrigação por superfície, que é relativamente simples 
em relação às outras três e tem um custo menor.
PARA SABER MAIS
EM13MAT201, EM13MAT307
No Brasil, felizmente, boa parte do país possui acesso em abundância à água. Esse status garante que 
o país seja um dos principais polos agropecuários do planeta. Mas em países que estão localizados em 
ambientes áridos e que as chuvas nunca foram regulares?
Esse é o caso de Israel, um país relativamente jovem, mas com um povo de história milenar. Por 
estar situado em uma região árida e com grande escassez de água, o Estado de Israel precisou recorrer 
à tecnologia também na área do campo. Dessa forma, o país se tornou referência em agricultura de 
precisão e líder mundial em agricultura em condições áridas graças ao uso dessa inovação criada a partir da 
necessidade.
Para entender o tamanho da escassez de água, 
em Israel, são consumidos 45% mais de água do que 
precipita de chuva. Dessa maneira, por não ser possível 
depender exclusivamente da água que vem dos céus, os 
israelenses desenvolveram uma avançada tecnologia de 
dessalinização da água para consumo da população. E, 
para a agricultura, é destinada apenas água reutilizada: 91% 
do esgoto é coletado e tratado, sendo 75% recuperado 
para a irrigação.
Uma famosa invenção israelense, a irrigação por 
gotejamento, traz grande economia de água. A tecnologia 
utiliza a quantidade precisa de água, pois irriga a planta 
e não o solo, e otimiza as suas condições de umidade e 
aeração. Além disso, ela reduz a liberação de gases na 
atmosfera e aumenta o rendimento e a produtividade.
dessalinização: técnica empregada para 
retirar o sal da água do mar para que seja 
usada para consumo humano, dos animais 
ou na agricultura. 
DIA da Água: no deserto, Israel virou exemplo de agricultura sustentável. Disponível em: 
https://www.canalrural.com.br/noticias/dia-da-agua-no-deserto-israel-virou-exemplo-de-
agricultura-sustentavel/. Acesso em: 5 abr. 2021.
©Shutterstock/Fotosr52
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Sh
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 P
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od
ym
yr
 R
oz
um
ii
178 MATEMÁTICA• •
A irrigação por aspersão vem sendo cada vez mais adotada no Brasil, principalmente 
nas culturas de grãos e nas pastagens. É um método mais eficiente do que a irrigação por 
superfície e possibilita um melhor controle da quantidade de água utilizada em grandes áreas. 
Além disso, ele pode ser automatizado.
Veja três sistemas diferentes de irrigação por aspersão.
 Pivô central Pivô rebocável Irrigação linear
No sistema de pivô central, a água é levada por meio de uma tubulação até o centro de 
uma área circular, noqual fica o pivô. Uma estrutura com rodas, que corresponde ao raio do 
círculo, gira em torno do pivô e vai aspergindo a água em toda a área plantada.
O sistema de pivô rebocável é 
semelhante ao de pivô central, mas os 
equipamentos não são fixos e podem ser 
levados para diferentes áreas. Para facilitar 
o deslocamento, eles têm tamanho menor 
e por isso irrigam uma área também menor 
a cada vez.
No sistema de irrigação linear, 
o sistema de aspersão se desloca 
transversalmente à área a ser irrigada, 
apoiado em trilhos.
Cada sistema permite irrigar certa área 
em um espaço de tempo definido. A escolha 
por um deles depende, entre outros fatores, 
do tamanho do terreno a ser irrigado. 
Fábio Nienow
8. GEOMETRIA PLANA 179• •
M
A
T
Área do círculo 
O sistema de irrigação por pivô central ou 
rebocável distribui a água em áreas circulares. 
Assim, é fundamental saber como calcular a área de 
um círculo para definir o espaço que será irrigado a 
cada vez.
Vimos anteriormente que, para encontrar a 
área de uma figura, verificamos quantas vezes 
uma unidade de área cabe dentro dela. Vamos usar 
esse raciocínio para obter a medida da área de um 
círculo.
Considere que o círculo abaixo tem raio de 
8 cm. Vamos recobri-lo com quadrados de 1 cm2 
para determinar sua área. Portanto, a unidade 
de medida que vamos adotar inicialmente é o 
centímetro quadrado.
4 × 98 = 392 mm2
2 × 88 = 176 mm2
2 × 59 = 118 mm2
2 × 17 = 34 mm2
2 × 62 = 124 mm2
2 × 3 = 6 mm2 
1 × 75 = 75 mm2
Somando essas áreas, obtemos 925 mm2 e, 
multiplicando por 4, totalizamos 3 700 mm2. 
Os 164 cm2 obtidos anteriormente correspondem a 
16 400 mm2; portanto, a área obtida para o círculo é 
de 20 100 mm2 ou 201,00 cm2. Esse valor é bastante 
próximo do que resulta ao calcular a área do círculo 
pela fórmula que você já conhece: A rC = ⋅π 2 .
AC = 3,14 ⋅ 82 AC = 200,96 cm2
Os quadradinhos que conseguimos recobrir 
completamente estão pintados e são:
1 × 10 × 10 = 100 quadradinhos
4 × 2 × 6 = 48 quadradinhos 
8 × 1 × 2 = 16 quadradinhos
A parte do círculo que não pode ser recoberta 
com centímetros quadrados é bastante considerável. 
Portanto, a parte pintada, no total 164 centímetros 
quadrados, está longe de ser a área do círculo. 
Podemos calcular a área que falta usando uma 
unidade de medida menor. Destacando e ampliando 
uma quarta parte do círculo, recobrimos a parte em 
branco com milímetros quadrados. Um milímetro 
quadrado é a centésima parte de um centímetro 
quadrado.
Assim, podemos contar os milímetros quadrados 
que ficarem inteiramente dentro do círculo e obter 
uma aproximação melhor para a área do círculo. 
Estamos observando a quarta parte da figura 
anterior, portanto será necessário multiplicar por 4 
a área encontrada aqui. Observe. 
180 MATEMÁTICA• •
Existem alguns modos de obter essa fórmula da área do círculo. Acompanhe uma delas.
Esta é uma sequência de polígonos regulares inscritos em circunferências de mesmo raio: 
6 lados 7 lados 8 lados 11 lados
A20
É possível notar que, à medida que o número de lados aumenta, seu perímetro se 
aproxima do comprimento da circunferência.
A figura ao lado é um polígono regular de 20 lados inscrito em 
uma circunferência.
Note que, à medida que aumenta o número de lados do 
polígono, a medida do apótema se aproxima da medida do raio da 
circunferência.
A fórmula para a área dos polígonos regulares 
envolve o semiperímetro e a medida do apótema. 
Assim, se estendermos essa ideia para a área do 
círculo, obteremos a fórmula já conhecida: 
An = p ⋅ an
AC = 22
r ⋅ r ⇒ AC = πr2
Área de um setor circular 
Setor circular é a parte de um círculo delimitada por dois raios e um arco desse círculo.
Com relação à área de um setor circular, podemos afirmar que a área do setor circular 
é proporcional à medida do arco que o define. Portanto, temos a seguinte relação:
Ѕrea do setor circular
¬ngulo do setor
Ѕrea do cнrculo
=
°360
Exemplos: 
Setor de 180°
A r180
2
180 360
°
°
=
°
π
Setor de 90°
A r90
2
90 360
°
°
=
°
π
Setor de 30°
A r30
2
30 360
°
°
=
°
π
30°
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
hv
id
eo
st
ud
io
8. GEOMETRIA PLANA 181• •
M
A
T
EXEMPLOS RESOLVIDOS
 A figura ao lado usa uma composição de dois semicírculos. O raio do 
círculo maior mede 10 cm. 
a) Qual é o perímetro da figura? 
1.
2.
 Em um jardim, foi planejada uma região em que serão plantadas rosas 
conforme a figura ao lado. 
 As circunferências que limitam as regiões têm raios de 6 m. As cores no 
desenho indicam a das rosas em cada região. Qual é a área da região 
em que serão plantadas rosas cor-de-rosa?
Solução
 O perímetro da figura é a metade do comprimento de uma circunferência com 10 cm 
de raio, mais 10 cm correspondentes ao raio e mais a metade do comprimento de uma 
circunferência de 5 cm de raio.
 P = 10 + Cm + CM = 10 + 
6 28 5
2
,
 + 
6 28 10
2
,
= 10 + 15,7 + 31,4 = 57,1 cm
b) Quanto mede a área da parte colorida? 
 
Solução
 A parte colorida é a diferença entre metade da área de um círculo de 10 cm de raio e a 
metade da área de um círculo de 5 cm de raio.
 Ac = 
A AM m 
2
 ⇒ Ac = 
3 14 100 3 14 25
2
, ,⋅ − ⋅
 = 117,75 cm2
Solução
Os dois triângulos destacados na figura são equiláteros, pois seus 
lados têm a medida do raio r da circunferência. 
Assim, para calcular a área da região em que serão plantadas rosas 
cor-de-rosa, que indicaremos por ARR, podemos encontrar a área de um 
setor circular de 120° e acrescentar a ela a diferença entre a área desse 
setor e a área dos dois triângulos equiláteros.
= +
A
r r r
RR = + − ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
π π2 2 2
3 3
2
3
4
= − =
−
=
2
3
3
2
4 3 3
6
2 2 2 2π πr r r r
 
=
− ⋅
=
⋅ − ⋅ ⋅
=
( ) ( , , )
,
4 3 3
6
4 3 14 3 1 73 36
6
44 22
2
2π r
m
Essa área representa aproximadamente 39% da área do círculo e, conhecendo a medida do 
raio do círculo, podemos calculá-la facilmente fazendo 1 23 2, r .
Soluçãçççç o
Soluçãç o
Soluçãçç o
r2
3
πr r2 2
3
2
3
4
− ⋅
ARR
182 MATEMÁTICA• •
3.
Algumas vezes, um raciocínio ou outro pode ser indiferente, mas há situações em 
que um deles é claramente mais econômico do que o outro.
 Em um projeto de jardim, na área A1 serão 
plantadas margaridas, e na área A2, tulipas. As 
áreas são limitadas por arcos de circunferência e 
o contorno externo é um quadrado de lado 4 m. 
Qual é a razão entre as áreas A1 e A2? 
A1
A2
Solução 
As áreas são limitadas por arcos de circunferência e o contorno externo é 
um quadrado de lado 4. Vamos considerar dois modos de obter a resposta da 
atividade. 
Modo 1
Subtraindo, de 
1
4
 do círculo de raio 4, dois quartos de círculo de raio 2 e 
um quadrado de lado 2, temos a área A1:
A1
2 2 2
24
4
2
4
2
4
2=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
π π π
 
A1
16
4
4
4
4
4
4=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
π π π
A1 4 4= − − −π π π 
A1 2 4= −π 
A área A2 é a soma das áreas de dois quartos de círculo de raio 2, subtraídos 
de meio quadrado de lado 2.
A2
2 2 2 22
4
2
2
2
4
2
2
=
⋅
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ +
⋅
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
π π
 ⇒ A2
4
4
4
2
2=
⋅
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
π
A2 2 2 2 4= − ⋅ = −( )π π
Portanto:
A
A
1
2
2 4
2 4
1=
−
−
=
π
π 
Modo 2 
A A
A A
A A
A A
1
2 2
2
2
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2
4
4
2
4
2
16
4
4 4
4
+
⋅
+
⋅
− =
⋅
+ ⋅ − =
+ − =
− =
π π π
π π
π π
π −−
− = ⇒ = ⇒
⇒ =
4
0
1
1 2 1 2
1
2
π
A A A A
A
A
A1
A2
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/H
al
il 
Ka
ra
ku
s
Soluçãçç o 
TOME NOTA!
USE ESTE ESPAÇO 
PARA ANOTAR O QUE 
APRENDEU ATÉ AQUI.
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTOOOOOOOOOOOOOOOMMMMMMMMMMMMMEEEEEEETTTTTTTTTTTTTTTTOOOOOOOOOOOOOMMMMMMMMMMMMMMMMEEEEEEEEEE NNNNNNOOOOOTTTTTAAAAA!!!!!
8. GEOMETRIA PLANA 183• •
M
A
T
 36. Qual é a área do círculo cuja circunferência 
 38. (UNIFENAS – MG) Qual é a área de uma coroa circular de raios 5 cm e 7 cm? 
a) 24π m2;
b) 24 cm2;
c) 24 m2
d) 144π cm2;
X e) 24π cm2.
ATIVIDADES
EM13MAT307
C = 2πr = 47,1 ⇒ r r cm=
⋅
⇒ =
47 1
2 3 14
7 5
,
,
, 
AC = πr2 = 3,14 ∙ 7,52 = 176,625 cm2
 37. Uma coroa circular é a figura formada entre doiscírculos concêntricos de raios diferentes.
Explique um modo de calcular a área de uma coroa circular. Considere que o raio da circunferência menor mede r, e da maior, R. 
A explicação deve se referir à ideia de subtrair a área da 
circunferência menor da área da circunferência maior.
Pode conter também uma expressão algébrica como:
A A A R r A R rcoroa M m C= = − ⇒ = − ⋅– ( ) π π π2 2 2 2
TEMA 
QUENTE
A R r
A
C
C
= − ⋅
= − ⋅ = − ⋅ =
( )
( ) ( )
2 2
2 27 5 49 25 24
π
π π π
A área da coroa é de 24π cm2.
 39. Uma peça com formato de um cilindro vazado, conforme a figura abaixo, será fabricada com um material que custa R$ 25,00 cada grama. O raio do círculo maior mede o dobro do menor, que é igual à altura de 5 cm. Use a ideia de coroa circular para calcular o volume dessa peça e, depois, descobrir quantos reais custará o material utilizado sabendo que são gastos 4,3 gramas para cada centímetro cúbico 
O volume da peça corresponde ao volume de um sólido reto cuja 
base é uma coroa circular, portanto podemos indicar seu volume 
como V = Acoroa ∙ h.
V = (102 – 52) · π · 5
V = 75 · 3,14 · 5
V = 1 177,5 cm3
1 177,5 ∙ 4,3 = 5 063,25
5 063,25 · 25 = 126 581,25
Serão gastos R$ 126.581,25.
184 MATEMÁTICA• •
 40. Em qual das figuras abaixo a área colorida é 
maior? Justifique sua resposta. 
 42. (UNIRG – TO) A figura que 
segue apresenta um círculo 
inscrito em um quadrado 
que, por sua vez, está 
inscrito em um semicírculo de raio 
R cm10 . Nesse caso, a área do quadrado, em 
cm2, é igual a 
a) 10
b) 20
c) 40
X d) 80
A B C D
R
R
h
45° 
A R AC C= ⇒ =π 2 3,14 ∙ 122 = 452,16 m2
A
A m45
45
2
452 16
45
360
56 52°
°=
°
°
⇒ =
,
,
Devemos determinar a altura h do triângulo isósceles. Para 
isso, usamos uma razão trigonométrica:
sen sen45 45
2
2
° = ⇒ = ⋅ ° ⇒ = ⋅
h
R
h R h R
Assim, a área do triângulo isósceles é:
A
R h
R R
cmt =
⋅
=
⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
=
⋅
⋅ =
2
2
2
2
12 12
2
2
2
36 2 2
Portanto, a área do segmento circular é:
A mSC = − = − =56 52 36 2 56 52 50 76 5 76 2, , , ,
Todas essas figuras são formadas por arcos de circunferência dentro 
de um quadrado. Em todas elas, a parte pintada corresponde à 
área de um círculo de raio igual à metade do lado do quadrado. A 
diferença consiste na posição que os setores de 90° ocupam dentro do 
quadrado.
 41. Na figura abaixo, temos um setor circular 
de 45°. Unindo os extremos do arco 
correspondente a esse ângulo, formamos um 
triângulo isósceles. A diferença entre a área 
do setor e a do triângulo recebe o nome de 
segmento circular; no caso, é a área pintada 
de verde.
Qual é a área aproximada desse segmento 
circular se o raio da circunferência é 12 m? 
2 1 41, .
TEMA 
QUENTE
Chamando de L a medida dos lados do quadrado e de O o 
centro do semicírculo, usamos o teorema de Pitágoras no 
triângulo retângulo em destaque. 
10
2
100
4
400 4
5 400 80
2 2
2
2
2
2 2
2 2
= + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +
= +
= ⇒ =
L
L
L
L
L L
L L
Portanto, a área do quadrado é igual a 80 cm2.
L
L/2 O
10 cm
8. GEOMETRIA PLANA 185• •
M
A
T
 43. (OBMEP) Na figura ao lado os pontos destacados sobre a reta estão igualmente espaçados. Os arcos que ligam esses pontos são circunferências e a região preta tem área igual a 1. Qual é a área da região cinza? 
a) 15
b) 18
c) 25
d) 30
X e) 36
TEMA 
QUENTE
TEMA 
QUENTE
Chamando de r o raio do semicírculo preto, a distância entre dois pontos consecutivos é igual a 2r. 
Sabemos que a área da região preta é igual a 1, então:
π
π
r
r I
2
2
2
1 2= ⇒ = ( )
 
A área da região cinza é a soma de duas metades de coroas circulares. A metade maior tem raios iguais a 6r e 4r. 
A
R r r r r
rmaior =
− ⋅
=
− ⋅
= =
( ) ( )2 2 2 2 2
2
2
36 16
2
20
2
10
π π π
π
A metade menor tem raios de 5r e 3r.
A
R r r r r
rmenor =
− ⋅
=
− ⋅
= =
( ) ( )2 2 2 2 2
2
2
25 9
2
16
2
8
π π π
π
Portanto:
A A r r rmaior menor+ = + =10 8 182 2 2π π π
 
De (I), temos:
A A rmaior menor+ = = ⋅ =18 18 2 362π
 44. (UFRGS – RS) Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r com centros nos outros dois vértices do quadrado e tangentes aos círculos de raio R, como ilustra a figura abaixo.A área da região sombreada é
a) 2
2
1+
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟π. 
b) ( )2 1− π. 
c) 1 2
1
2
+ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟π . 
d) 1 2 1+ −( )π. 
X e) 1
2
2
1+ −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟π . 
Agora, você pode fazer as questões 
55 a 63 da seção Conquista Enem.
186 MATEMÁTICA• •
ENEM A Ecofont possui design baseado na velha fonte Vera Sans. Porém, ela tem um diferencial: 
pequenos buraquinhos circulares congruentes, e em todo o seu corpo, presentes em cada símbolo. Esses 
furos proporcionam um gasto de tinta menor na hora da impressão.
Suponha que a palavra ECO esteja escrita nessa fonte, com tamanho 192, e que seja composta 
por letras formadas por quadrados de lados x com furos circulares de raio r
x
3
. Para que a área a ser 
pintada seja reduzida a 
1
16
 da área inicial, pretende-se reduzir o tamanho da fonte. Sabe-se que, ao 
alterar o tamanho da fonte, o tamanho da letra é alterado na mesma proporção.
Nessas condições, o tamanho adequado da fonte será
a) 64. b) 48. c) 24. d) 21. e) 12.
Esse estudante considerou que, se a fonte tem tamanho 192, para que a área seja reduzida a 
1
16
, 
então a fonte deve ser:
1
16
192
1
16
192 12de = ⋅ =
Assim, a resposta certa seria a alternativa e. Entretanto, essa resposta não é a correta! Veja o porquê. 
Supondo que nessa fonte de tamanho 192 o lado de cada quadrado meça x, então a área de cada 
quadrado será x2.
Se diminuirmos a fonte para outro tamanho, de forma que se reduza a área para 
1
16
 da área inicial, 
cada quadrado terá um novo lado medindo:
y x y x x2 2 21
16
1
16
1
4
= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ 
Se eles reduzem na mesma proporção, o tamanho da fonte será um quarto do tamanho original.
192
1
4
48⋅ =
O tamanho adequado da fonte deve ser 48, o que indica que a resposta correta é a alternativa b.
Veja como um estudante resolveu a questão a seguir. 
ANÁLISE DO ERRO
EM13MAT307
Disponível em: www.goo.gl. Acesso em: 2 dez. 2017 (adaptado)
e.... ..... . Entretanto, essa respoppp sta não é a correta! Vejja o popppp rqqqqquê. ooooooorrrrrrrr
8. GEOMETRIA PLANA 187• •
M
A
T
ORGANIZE AS IDEIAS
Complete as tabelas com as relações que você aprendeu neste capítulo. 
EM13MAT307
POLÍGONOS INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA DE R AIO r
Triângulo equilátero Quadrado Hexágono regular
Medida do lado
Medida do apótema
ÁREAS DE QUADRIL ÁTEROS
Quadrado Retângulo Paralelogramo Losango Trapézio
AR = b ⋅ h AP = b ⋅ h
Área do triângulo 
equilátero
Área do quadrado
Área do 
pentágono 
regular
Área do 
hexágono regular
Área do octógono 
regular
Área de um polígono regular em função do semiperímetro p
An = p ⋅ an
ÁREA DAS PARTES DE UM CÍRCULO
Círculo Setor Coroa circular
AC = πr2
3 3r 4 2r 6 r
a3 = r
2
a4 = r 2
2
a6 = r 3
2
Á
AQ
2 AL = D d
2
A
B b h
T =
+( )
2
a3
ℓ3
O
A
B
C M
N
Q
P
a4
ℓ4
O
a5
a6
ℓ6
A
B C
D
O
EF
a8
A3 = 3 ⋅ 3 3
2
a
A
a
4
4 44
2
= ⋅
⋅
A
a
5
5 55
2
= ⋅
⋅
A
a
6
6 66
2
= ⋅
⋅
A
a
8
8 88
2
= ⋅
⋅
Área do setor circular Área do círculo
360Ângulo do setor
A R rcoroa = − ⋅( )2 2 π
188 MATEMÁTICA• •
Todas as atividades desta seção devem ser 
resolvidas no caderno.
 45. ENEM Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
X c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a áreado quadrado em 4%.
 47. ENEM Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para π. O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é 
X a) 100.
b) 140.
c) 200.
d) 800.
e) 1 000.
CONQUISTA ENEM
Árerr a 100%
cultivt ada
(filho)
Fazendn a da o
pai
ÁreÁrerea ddee
resrese erver a
lege al (filhoo)
EM13MAT201, EM13MAT307
De acordo com a figura, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa é
a) 10%(a + b)2
b) 10%(a · b)2
c) a b a b+ − +( )
X d) ( ) ( )a b ab a b+ + − +2
e) ( ) ( )a b ab a b2
 46. ENEM O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB
BC
2
, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE
AB
5
 é lado do quadrado.
A
E
CB
D
 48. ENEM Uma pessoa possui um terreno em forma de um pentágono, como ilustrado na figura.Sabe-se que a diagonal AD mede 50 m e é paralela ao lado BC, que mede 29 m. A distância do ponto B a AD é de 8 m e a distância do ponto E a AD é de 20 m.A área, em metro quadrado, deste terreno é igual a
a) 658.
b) 700.
X c) 816.
d) 1 132.
e) 1 632.
M
A
T
8. GEOMETRIA PLANA 189• •
 49. ENEM Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. 
 51. (UPE) Rafael decidiu colocar cerâmicas com a forma de hexágonos regulares no piso da sala de seu escritório. Sabendo que a área do piso do escritório mede 25,5 m2, que a cerâmica mede 10 cm de lado, desconsiderando a área ocupada pelos rejuntes, quantas pedras de cerâmica serão necessárias para cobrir todo o piso dessa sala? 
A
P
B
C
M
N
TEMA 
QUENTE
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
X e) ao triplo da área do triângulo MNC. 
 50. (UFJF – MG) Marcos comprou a quantidade mínima de piso para colocar em toda a sua sala que tem o formato abaixo e pagou R$ 48,00 o metro quadrado. Quanto ele gastou comprando o piso para essa sala?
EEEE
C C CCC CBBAAA
FFFFF
bbbbbb 2m2m2m2m
2m2m2m2m2m226m6m6m6mmmm
4m4m4m4m4
a) R$ 288,00
b) R$ 672,00
c) R$ 1.152,00
X d) R$ 1.440,00
e) R$ 2.304,00
TEMA 
QUENTE
Considere 3 1 7, . 
a) 225 
b) 425 
c) 765 
X d)
e)
 52. ENEM O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados. 
4%
outros
jornais
96%
Pessoas que consultam
nossos classificados
400 mm
x mm
26 mm
260 mmPara que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4% deve ser de aproximadamente
a) 1 mm.
b) 10 mm.
c) 17 mm.
X d) 160 mm.
e) 167 mm.
190 MATEMÁTICA• •
 56. (FGV – SP) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a
TEMA 
QUENTE
A
B
Q
C
D
EF
 53. ENEM Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m × 100 m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08 g. Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente,
A
B
CD
E
a) 800.
b) 10 000.
c) 320 000.
d) 400 000.
X e) 5 000 000.
 54. ENEM Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, conforme mostra a figura. Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que faltava e, para isso, anotou as medidas dos ângulos x = EÂD, y = EDA e z = AÊD, do triângulo ADE.As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, respectivamente, 
 55. (UFRGS – RS) Uma pessoa desenhou uma flor construindo semicírculos sobre os lados de um hexágono regular de lado 1, como na figura abaixo.A área dessa flor é
a) 18, 18 e 108.
b) 24, 48 e 108.
X c) 36, 36 e 108.
d) 54, 54 e 72.
e) 60, 60 e 60. 
X a) 3
2
3
2
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
π . 
b) 3
2
3( )+ π . 
c) 3
4
3
2
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
π .
d) 3
4
3( )+ π .
e) 3
2
3 2( )+ π .
a) 4 2 
X b) 4 3
c) 6
d) 4 5
e) 2 2 2( )
M
A
T
8. GEOMETRIA PLANA 191• •
 57. ENEM Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.
 59. (PUCRS) Uma pracinha com formato circular ocupa uma área de 100π m2. No terreno dessa área, foram colocados 3 canteiros em forma de setor circular, cada um formado por um ângulo central de 30°, como na figura. A área total ocupada pelos canteiros é, em m2,A B
L
O
r
Se a área do círculo inscrito no hexágono é 3π metros quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é
a) 9
X b) 6 3
c) 9 2
d) 12
e) 12 3
 58. ENEM Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
TEMA 
QUENTE
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a
a) 12 cm.
b) 12 2 cm.
c) 24 2 cm.
X d) 6 1 2( ) cm.
e) 12 1 2( ) cm.
d
hE
PROIBIDO
ESTACIONAR
a) π
b) 3π
X c) 25π
d) 50π
e) 75π
 60. ENEM Uma administração municipal encomendou a pintura de dez placas de sinalização para colocar em seu pátio de estacionamento.O profissional contratado para o serviço inicial pintará o fundo de dez placas e cobrará um valor de acordo com a área total dessas placas. O formato de cada placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60 cm, conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para π.
Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, das dez placas?
a)
X b)
c)
d)
e)
192 MATEMÁTICA• •
 61. ENEM Em um condomínio, uma área 
pavimentada, que tem a forma de um círculo 
com diâmetro medindo 6 m, é cercada por 
grama. A administração do condomínio deseja 
ampliar essa área, mantendo seu formato 
circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro 
dessa região, mantendo o revestimento da 
parte já existente. O condomínio dispõe, em 
estoque, de material suficiente para pavimentar 
mais 100 m2 de área. O síndico do condomínio 
irá avaliar se esse material disponível será 
suficiente para pavimentar a região a ser 
ampliada.Utilize 3 como aproximação para π.
A conclusão correta a que o síndico deverá 
chegar, considerando a nova área a ser 
pavimentada, é a de que o material disponível 
em estoque
a) será suficiente, pois a área da nova região 
a ser pavimentada mede 21 m2.
b) será suficiente, pois a área da nova região 
a ser pavimentada mede 24 m2.
c) será suficiente, pois a área da nova região 
a ser pavimentada mede 48 m2.
d) não será suficiente, pois a área da nova 
região a ser pavimentada mede 108 m2.
X e) não será suficiente, pois a área da nova 
região a ser pavimentada mede 120 m2.
 62. ENEM Uma empresa produz tampas circulares 
de alumínio para tanques cilíndricos a partir 
de chapas quadradas de 2 metros de lado, 
conforme a figura. Para 1 tampa grande, a 
empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas 
pequenas.
c) a entidade II recebe o dobro de material 
do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos 
material do que a entidade III.
X e) as três entidades recebem iguais 
quantidades de material. 
63. (ITA – SP) Seis circunferências de raio 5 cm são 
tangentes entre si duas a duas e seus centros 
são vértices de um hexágono regular, conforme 
a figura abaixo. O comprimento de uma correia 
tensionada que envolve externamente as seis 
circunferências mede, em cm, 
MÉDIAGRANDE
 2 m 
 2 m 
PEQUENA
Área do círculo:
r2
As sobras de material da produção diária das 
tampas grandes, médias e pequenas dessa 
empresa são doadas, respectivamente, a três 
entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem 
do material. A partir dessas informações, pode- 
-se concluir que
a) a entidade I recebe mais material do que a 
entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do 
que a entidade III.
a) 18 3+ π. 
b) 30 10+ π. 
 c) 18 6+ π . 
X d) 60 10+ π. 
e) 36 6+ π.
MAMAMAMAAM TETETETETET MÁMÁMÁMÁÁMÁTITITITICACACACACACA EEE SSSSUAUAUAU S S S S TETETETT CNCNCNCNOLOLOLOLOGOGOGGIAIAIAASSS
LIVRO DE
MATEMÁTICA
DOBRE NA LINHA PONTILHADA5
CAPÍTULO
 LIVRO DE ATIVIDADES 1• •
M
A
T
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E 
LOGARÍTMICAS
POTENCIAÇÃOPOTENCIAÇÃO
Propriedades
Para a, b, m e n, tais que as condições de existência 
das potências sejam satisfeitas, temos:
 • a a am n m n⋅ = + (multiplicação de potências)
 • a
a
a
m
n
m n= − (divisão de potências)
 • a am n m n( ) = ⋅
 (potência de uma potência)
 • a b a b
n n n⋅( ) = ⋅ (potência de um produto)
 • a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = (potência de um quociente)
Expoente racional
Sejam a∈ +
∗ e 
m
n
 um número racional, com 
m ∈ e n∈ ∗. O expoente racional pode ser 
transformado em um radical da seguinte forma:
a a
m
n mn
Notação científica é um número representado por 
um valor a multiplicado por uma potência b de 
base 10, com as condições 1 10≤ <a , a ∈ e 
b ∈ , escrito na forma a b10 . 
Exemplo: 3 4 10 15, ⋅ − .
Potências são multiplicações sucessivas de 
determinado valor. Definimos a potência de base a, 
com a ∈ , e expoente n, com n ≥ 2, como:
 a a a a an
fatores
= ⋅ ⋅ ⋅…⋅
n
� 	
Para n = 1, temos a a1 .
Para n = 0, temos a0 1.
+
∗ representa o 
conjunto dos números 
reais positivos, e , 
o conjunto dos 
números naturais 
excluindo o zero.
2 MATEMÁTICA• •
M
A
T
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
y2
y1
0 x1 x2 x
y
y1
y2
0x1 x2 x
y
A função exponencial é aquela em que a variável está no expoente da potência, ou seja, é toda 
função f : → +
∗ escrita na forma f x ax( ) , com a ∈ , a > 0 e a ≠ 1.
Exemplos: f x x( ) 2 , g x
x
( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
10
3
.
De acordo com o valor da base a, a função exponencial pode ser crescente ou decrescente. 
a > 1
x x y y2 1 2 1> ⇔ >
A função é crescente.
0 < a < 1
x x y y2 1 2 1> ⇔ <
A função é decrescente. 
EQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS
Assim como as funções exponenciais 
apresentam a variável no expoente, as equações 
exponenciais apresentam a incógnita no expoente.
Exemplos: 2 512x , 
2
3
81
16
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
+x
.
INEQUAÇÕES 
EXPONENCIAIS
As inequações exponenciais são as relações 
que têm um sinal de desigualdade e apresentam a 
incógnita no expoente.
Exemplos: 2 512x , 
2
3
81
16
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤
+x
.
FUNÇ
A função expo
função f : →
Exemplos: : f(x
MATEMÁTICA
 LIVRO DE ATIVIDADES 3• •
M
A
T
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
Logaritmo de b na base a é o número x que resolve a equação exponencial ax = b. Escrevemos: 
loga
xb x a b= ⇔ =
Nessa expressão, a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Para que o logaritmo exista, são necessárias as seguintes condições:
 • b deve ser positivo.
 • a deve ser positivo e diferente de 1.
Os logaritmos com base 10, 
chamados de logaritmos 
decimais, são representados 
por log10 b ou logb. 
Os logaritmos com base e 
(e 2 718, … é o número de 
Euler), denominados logaritmos 
naturais, são representados por 
loge b ou n b.
Consequências da definição:
 • loga a 1
 • loga 1 0
 • loga
na n
 • loga ab log c b c= ⇔ =
 • a ba blog
Propriedades
 • log loga a ab c b log c⋅ +( ) = (logaritmo do produto)
 • log loga a a
b
c
b log c⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − (logaritmo do quociente)
 • loga ab log bα α= ⋅ (logaritmo de uma potência)
 • Para β ≠ 0 : log log
a ab bβ β
= ⋅
1
 Para a ≠ 1 e c ≠ 1, a mudança de base pode ser realizada:
log
log
loga
c
c
b
b
a
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função logarítmica pode ser definida pela 
função f : +
∗ → tal que f x xa( ) log , sendo 
a∈ +
∗ e a ≠ 1.
Exemplo: f x x( ) log5 . 
4 MATEMÁTICA• •
M
A
T
Gráfico da função logarítmica
xx2x110
y1
y2
y
xx2x1
10
y1
y2
y
Para a 1 , a função é crescente. Para 0 1x , 
temos loga x 0; para x 1, temos loga x 0; para 
x 1, temos loga x 0. 
Para 0 < a < 1 , a função é decrescente. Para 
0 1x , temos loga x 0; para x 1, temos 
loga x 0; para x 1, temos loga x 0. 
A função logarítmica, definida por f : +
∗ → tal que f x xa( ) log , 
é bijetora (injetora e sobrejetora). Sua inversa é a função exponencial 
f x ax− =1 ( ) , com f− +
∗→1 : .
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
As equações que apresentam uma incógnita no logaritmando ou na base são 
chamadas de equações logarítmicas. 
Exemplos: log log2 3 5x x+ = , logx x+ ( ) =1 3 1. 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Inequações logarítmicas são aquelas relações que apresentam uma desigualdade e a 
incógnita no logaritmando ou na base.
Exemplos: log log2 3 5x x+ ≤ , logx x+ ( ) >1 3 1. 
 • Quando a 1, temos log loga ax x xx2 1 2 1> ⇔ > (o sentido da desigualdade é 
mantido).
 • Quando 0 1a , temos log loga ax x xx2 1 12> ⇔ < (o sentido da desigualdade é 
invertido).
LIVRO DE ATIVIDADES 5• •
M
A
T
POTENCIAÇÃO
 1. A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar em nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões.O vírus influenza é uma partícula esférica que 
Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é
a) 1 1 10 1, × −
b) 1 1 10 2, × −
c) 1 1 10 3, × −
Xd) 1 1 10 4, × −
e) 1 1 10 5, × −
ATIVIDADES
C1 H1 Reconhecer, no contexto social, 
diferentes significados e representações 
dos números e operações – naturais, 
inteiros, racionais ou reais.
Transformando 0,00011 em notação científica, temos:
0 00011 0 00011
10
10
11 10
4
4
4, , ,= ⋅ = × −
 2. A volemia (V) de um indivíduo é a quantidade total de sangue em seu sistema circulatório (coração, artérias, veias e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total (N) de hemácias de uma pessoa, a qual é obtida multiplicando-se a volemia (V) pela concentração (C) de hemácias no sangue, isto é, N V C= × . Num adulto normal mL de sangue, conduzindo a grandes valores de N. Uma maneira adequada de informar essas grandes quantidades é utilizar a notação científica, que consiste em expressar N na forma N Q n= ×10 , sendo 1 10≤ <Q e n um número inteiro.Considere um adulto normal, com volemia de 
http://perfline.com. Acesso em: 23 fev. 2013(adaptado)
T f d 0 00011 t ã i tífi t
C1 H3 Resolver situação-problema 
envolvendo conhecimentos numéricos. 
Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em notação científica?
a) 2 6 10 10, × −
b) 2 6 10 9, × −
c) 2 6 109,
Xd) 2 6 1010,
e) 2 6 1011,
A volemia é de 5 000 mL, e a concentração de hemácias, de 
5 200 000 por mL, ou seja: 
N V C= ⋅ = ⋅ = = ×5 000 5 200 000 26 000 000 000 2 6 1010,
 3. Computadores utilizam, por padrão, dados em formato binário, em que cada dígito, denominado de bit, pode assumir dois valores (0 ou 1). Para representação de caracteres e outras informações, é necessário fazer uso de uma sequência de bits, o byte. No passado, um byte era composto de 6 bits em alguns computadores, mas atualmente tem-se a padronização que o byte é um octeto, ou seja, uma sequência de 8 bits. Esse padrão permite representar apenas 28 informações distintas.Se um novo padrão for proposto, de modo que um byte seja capaz de representar pelo menos bits em um byte deve passar de 8 para
a) 10.
Xb)
c) 13.
d) 18. e)
C1 H3 Resolver situação-problema 
envolvendo conhecimentos numéricos. 
Vamos encontrar a potência de 2 que está imediatamente 
acima de 2 560. Temos:
2 2048
2 4096
2048 2560 4096
11
12
=
=
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
< <
Dessa forma, deve passar de 8 para 12 bits em um byte.
6 MATEMÁTICA• •
M
A
T
FUNÇÃO EXPONENCIAL
 4. Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, modelado pela função y t = at 1( ) − , na qual y representa a altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O gráfico representa a função y.
 5. O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
p t t( ) = ⋅40 23em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias.Em relação à quantidade inicial de bactérias, 
a) reduzida a um terço.
b) reduzida à metade.
c) reduzida a dois terços.
Xd) duplicada.
e) triplicada.
C3 H10 Identificar relações entre grandezas e 
unidades de medida.
y (metro)
32
0,5
60 t (ano)Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os após o plantio.O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a 
a) 3.
Xb) 4.
c) 6.
d) log2 7.
e) log2 15.
Temos, pelo gráfico, que y 0 0 5( ) = , . Assim, podemos 
substituir os valores na equação y t at( ) = −1:
0 5 0 5
1 1
0 5
20 1 1, ,
,
= = ⇒ = ⇒ = =− −a a
a
a
O corte deve ocorrer depois que as mudas crescerem 7,5 m, 
o que acontecerá quando tiverem 0,5 + 7,5 = 8 metros de 
altura. Dessa forma: 
8 2 2 2 3 1 41 3 1= ⇒ = ⇒ = − ⇒ =− −t t t t
c) 6.
T l áfi 0( )0 A i d
e) triplicada.
C4 H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como 
recurso para a construção de argumentação. 
Vamos encontrar a população para 20 minutos. Temos que 
20 minutos é correspondente a 
1
3
 de hora, ou seja, t
1
3
. 
Assim, p t( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅
40 2 40 2 40 2 80
3
1
3 1 . Logo, a 
população será duplicada após 20 minutos.
 6. (FMP – RJ) Considere a função exponencial 
f : , definida por f x x( ) = 27 . Quanto vale 
f 0 666, …( )?
Xa) 9
b) 16 c) 6
d) 18 e) 3
Como 0 666
2
3
, … = , então
 f f0 666
2
3
27 27 27 3 9
2
3 23 3 2 2, …( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = = = ( ) = = .
LIVRO DE ATIVIDADES 7• •
M
A
T
 7. (FICSAE – SP) Considere o gráfico da função f x x( ) = 5 para os cálculos desta questão.A cafeína é eliminada da corrente sanguínea de um adulto a uma taxa de, aproximadamente, 15% por hora. Cinco horas após o consumo de um café expresso, ainda terá em sua corrente sanguínea a quantidade aproximada de cafeína de
a) 100 mg.
b) 45 mg.
Xc) 88 mg.
d) 95 mg.
e) 68 mg.
Podemos escrever a função que determina a quantidade de cafeína na corrente sanguínea da seguinte forma:
C t t( ) = ⋅ −( )200 1 0 15,
Assim, após 5 horas, temos: 
C 5 200 0 85 5( ) = ⋅ ( ),
Com base no gráfico, temos 0 85 0 445, , , então C mg5 200 0 44 88( ) ⋅ =, .
 8. (EEAR – RJ) Considere que o número de células de um embrião, contadas diariamente desde o dia da número de células, conforme o número de dias x, é f x x: ;∈ ≤ ≤{ } → 1 30 ; f x( ) =
Xa) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) x2 1
A sequência é 1, 2, 4, 8, 16, ..., ou seja, é formada pelas potências de 2, mais especificamente 20, 21, 22, 23, 24, ...
Dessa forma, a função f(x) que mostra o número de células é 2 1x para 1 ≤ x ≤ 30 e x .
 9. (UFJF – MG) Durante o início de um experimento um pesquisador analisou uma população com 101 indivíduos. Após t anos a população passou a ser de 181 indivíduos, e depois de t2 anos da 
y b cx= + , com b 1, determina o 
a) 103 b) 104 Xc) 109 d) 110 e) 111
Para x = 0, há 101 indivíduos. Substituindo esse valor na função, 
temos:
101 101 1 1000= + ⇒ = + ⇒ =b c c c
Assim, y bx= + 100 é a função, e precisamos encontrar b.
Sabemos que, depois de t anos, temos 181 indivíduos e, depois 
de t2 anos, temos 6 661 indivíduos. Portanto: 
181 100
6661 100
81
6561
2 2
= +
= +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
b
b
b
b
t
t
t
t
Sabemos que b bt t t2
= ( ) , então 6561 81= ( ) = ( )bt t t, ou seja, 
81 6561 81 81 22t t t= ⇒ = ⇒ = . Portanto, b b2 81 9= ⇒ = , já 
que b > 1. 
Assim, a soma de b com c é 100 + 9 = 109.
8 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 10. (UEL – PR) Os vírus dependem de uma célula hospedeira susceptível para se multiplicarem. Seja e >uma constante real. Suponha que P : + → represente a quantidade de partículas virais no interior de uma célula hospedeira no instante t ≥ 0, de forma que P(t) = 5 10
1 200
4
1
10
⋅
+
−
e
tO gráfico de P no intervalo 0 ≤ t ≤ 100 é dado a seguir. Com base no texto, na equação e no gráfico, atribua (V) verdadeiro ou (F) falso às afirmativas a seguir.
( V ) De acordo com a função, o número de partículas virais nunca atinge 5 104.
( F ) No instante inicial t 
( F ) P é uma função decrescente.
( V ) O número de partículas virais atinge t
( F ) A função P : + → é sobrejetora.20
P
t 
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
40 60 80 100
Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.
a) V, V, F, V, F.
Xb) V, F, F, V, F. c) V, F, F, V, V.
d) F, V, V, F, F. e) F, F, V, F, V.
Vamos analisar cada uma das afirmativas. 
1ª.) Verdadeira. O número de partículas virais nunca atinge 
5 104, pois 200 0
1
10e
t
−
> para qualquer t > 0, o que faz com que 
1 200 1
1
10+ >
−
e
t
, de forma que o resultado de P(t) é um valor menor 
do que o numerador da fração (já que o denominador é maior do 
que 1).
2ª.) Falsa. Para t = 0, temos:
P
e
e
0
5 10
1 200
5 10
1 200
5 10
201
249
4
1
10
0
4
0
4
( ) =
⋅
+
=
⋅
+
=
⋅
−
⋅
Portanto, são aproximadamente 250 partículas virais, e não 25.
3ª.) Falsa. Observando o gráfico, podemos concluir que a função P é 
crescente.
4ª.) Verdadeira. De acordo com o gráfico, o número de partículas 
atinge 10 000 unidades próximo ao instante 40, que é antes do 
instante t = 60.
5ª.) Falsa. A função não é sobrejetora, pois não existe um valor de 
t para P t( ) ≥ ⋅5 104, como já foi discutido na primeira afirmativa. 
Assim, o contradomínio é diferente do conjunto-imagem: o 
contradomínio é , e o conjunto-imagem, 0 50 000, .
 11. (ESPCEX – SP/AMAN – RJ) A figura mostra um esboço do gráfico da função f x a bx( ) = + , com a e b reais, 
a 0, a ≠ 1 e b ≠ 0. Então, o valor de f f2 2( ) − −( ) é igual a
a) 3
4
.
Xb) 15
4
.
c) 1
4
.
d) 7
6
.
e) 35
6
. 
) , , , , ) , , , ,
Vamos analisar cada uma das afirmativas Portanto são aproximadamente 250 partículas virais e não 25
e
e
1 200
1 200 201
10
0
+
+⋅
V
1
5
1
d
q
2
P
V
Vamos encontrar a e b para ter a função definida pelo gráfico. Temos 
f(0) = 3 e f(–2) = 6. Assim: 
f a b b b0 3 1 3 20( ) = + = ⇒ + = ⇒ =
f a a
a
a a a−( ) = + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = >( )− −22 6 4
1
4
1
4
1
2
02 2
2
2 
Portanto: 
f x
x
( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
2
2
Substituindo x por 2 e –2, temos:
f f2 2
1
2
2
1
2
2
1
4
4
2 2
( ) − −( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
− ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= − = −
− 115
4
Desenho Ilustrativo Fora de Escala
6
3
0-2 x
y
LIVRO DE ATIVIDADES 9• •
M
A
T
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
 12. (MACKENZIE – SP) A soma das raízes da equação 4 64
2 1
x
x( ) =
− é igual a 
a) 1
2
b) –1 Xc) 1
2
d) 1 e) 5
22 2 2
 13. (MACKENZIE – SP) Se 3m a e 3n b , a > 0 e b > 0, então o valor de 3 2
2
m n é igual a
a) a b b) a
b
2
c) a
b
2
Xd) a
b
e) a b
2
Vamos colocar 64 na base 4: 
4 4 4 4 2 1 3
2 1 3 2 1 3x x x x x x( ) = ⇒ = ⇒ ⋅ −( ) =
− ⋅ −( ) . Temos: 
2 3 2 3 02 2x x x x− = ⇒ − − =
Encontrando as raízes da equação de 2.° grau:
Δ = −( ) − ⋅ ⋅ −( ) = + =1 4 2 3 1 24 252
x
x
x
=
− −( ) ±
⋅
=
±
=
=
+
= =
=
−
=
−
= −
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
1 25
2 2
1 5
4
1 5
4
6
4
3
2
1 5
4
4
4
1
1
2
A soma das raízes é, portanto, 
3
2
1
3
2
2
2
1
2
+ −( ) = + −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = .
Utilizando as propriedades de potências, vamos encontrar o valor de 3
2
2
m n
 em função de a e b:
3 3 3
3
3
3
3
2
2 2
2
2 2
2m n m n m
n
m
n
m
n
a
b
−
− −
= = = = =
 14. (UECE) Se f : é a função definida por f x
x x
( ) =
+ −2 2
2
, então, o número de elementos do conjunto 
x xf∈ ( ) ={ }, tais que 1 é igual a
a) 0. b) Xc) 1. d) 3.
Fazendo f(x) = 1, temos: 
f x
x x
x
x
x x x x( ) = ⇒
+
= ⇒ + = ⇒ ( ) + = ⋅ ⇒ ( ) − ⋅ + =
−
1
2 2
2
1 2
1
2
2 2 1 2 2 2 2 2 1 0
2 2
Substituindo y x2 , encontramos: y y
y
y
2 1
2
2 1 0
1
1
− + = ⇒
=
=
⎧
⎨
⎩
 
Dessa forma, voltando a y x2 , temos 1 2 2 2 00= ⇒ = ⇒ =x x x . Portanto, o número de elementos do conjunto é 1, já que tem apenas 
uma solução.
10 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 15. (UNESP – SP) Observe, no plano cartesiano de eixos ortogonais, o gráfico de duas funções exponenciais de em . A intersecção desses gráficos ocorrerá em 
a) infinitos pontos, localizados no 
b) um único ponto, localizado no 
c) um único ponto, localizado no 
Xd) um único ponto, localizado no 
e) um único ponto, localizado no 
Para encontrar o ponto de intersecção desses gráficos, vamos igualar as 
equações:
3
5
81
45
3
1
5
81
3
1
5
3 3 3 3 3
64
64
2
64 4 2 1 64 4
x x
x
x
x x x
+
+ + − += ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ( ) ⋅ ( ) ⇒ = xx −2
Assim, x x x x+ = − ⇒ = ⇒ =64 4 2 3 66 22 . Dessa forma, existe um único 
ponto em que os gráficos se encontram, e ele tem abscissa 22. Vamos 
encontrar sua ordenada:
 16. (USF – SP) Em um experimento, o número de bactérias presentes nas culturas A e B, no instante t, em horas, é dado, respectivamente, por: A t t( ) = ⋅ +−10 2 2381 e B t t( ) = ++2 7502 . De acordo com essas informações, o tempo decorrido, desde o início desse experimento, necessário para que o número de bactérias presentes na cultura A seja igual ao da cultura B é
a) b) c) 7 horas. Xd) 9 horas. e)
y
x
= = = >
+ +3
5
3
5
3
5
0
64 22 64 86
Como a ordenada e a abscissa são positivas, o ponto está 
localizado no 1º. quadrante.
Vamos igualar as duas funções:
10 2 238 2 750 10 2 2 750 238 2 10 2 511 2 1 2 2 1⋅ + = + ⇒ ⋅ − = − ⇒ − + ⋅ =− + − + + −t t t t t t 22
Transformando 2 2t em um produto de 2 1t por outro valor, obtemos 2 2 2 8 22 3 1 1t t t+ − −= ⋅ = ⋅ . Assim, temos a seguinte equação: 
− ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =− − −8 2 10 2 512 2 2 512 2 512 2 2 91 1 1 9t t t t t t
 17. (UECE) Se o número real k é a solução da equação 9 8 3 9 0x x− ⋅ − = , então, o número k cumpre a seguinte condição:
a) < k < b) < k < c) < k < Xd) < k <
Temos 3 92 , então 
3 8 3 9 0 3 8 3 9 02
2
( ) − ⋅ − = ⇒ ( ) − ⋅ − =
x x x x . Substituindo 
y x3 , encontramos a equação y y2 8 9 0− − = , de onde 
y1 9 e y2 1= − . Assim: 
9 3 3 3 2 42= ⇒ = ⇒ = ⇒ =x x x x 
ou − =1 3 x , cuja solução não existe nos números reais.
Dessa forma, k = 4 e, portanto, 3,5 < k < 5,5.
LIVRO DE ATIVIDADES 11• •
M
A
T
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
 18. (UNICAMP – SP) Sabendo que 10 2 100 3 0 31, , e que x é tal que 10 203 52021 x + = , então
a) 855 870≤ <x .
Xb) 870 885≤ <x . c) 885 900≤ <x .
d) 900 1 005≤ <x .
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
 20. (UFRGS – RS) Se log2 x e log3 y , então 
log288 é
a) 2 5x y.
Xb) 5 2x y. c) 10xy.
d) x y2 2. e) x y2 2.
Temos:
10 20 10 20 2 10 10 2 103 52021
3 5
2021
3 5
2021
1
3 2016
2x
x x x
+
+ +
−
−
= ⇔ = = ⋅ ⇔ = ⇔ 0021 2=
De acordo com o enunciado, 10 2 100 3 0 31, , , então: 
10 10 100 3
3 2016
2021 0 31, ,< <
−x
Dessa forma: 
0 3
3 2016
2021
0 31 606 3 3 2016 626 51
2622 3 3 2642 5
, , , ,
, ,
<
−
< ⇒ < − <
⇒ < <
x
x
x 11 874 1 880 836⇒ < <, ,x
Assim, a alternativa que engloba esses valores para x é a b.
 19. O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo 
X , o terceiro X 1
3, o quarto X e o últimoX3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.Qual desses países obteve o maior IDH?
a) O primeiro.
b) O segundo.
Xc) O terceiro.
d) O quarto.
e) O quinto.
emos:Te
20
De
10
De
0,
⇒
As
Te
2=
Xc) O terceiro.
C5 H21 Resolver situação-problema cuja 
modelagem envolva conhecimentos algébricos. 
Segundo o enunciado, o menor valor do índice é 0 e o maior é 1. 
Como nenhum dos países zerou ou atingiu o índice máximo, temos 
0 < X < 1. Além disso, sabemos que, quanto menor a potência de 
X, maior o valor, ou seja, X X X X X3 2
1
2
1
3 , lembrando que 
X X
1
2 . Dessa forma, o maior IDH foi o do terceiro país. 
Temos 288 2 35 2= ⋅ , então 
log log log288 2 3 2 3 5 2 2 3 5 25 2 5 2= ⋅( ) = + = ⋅ + ⋅ = +log log log x y.
 21. (EEAR – RJ) Sejam m, n e b números reais positivos, com b ≠ 1. Se logb m x e se 
logb n y, então log logb bm n
n
m
⋅( ) + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ é igual a
a) x
Xb)
c)
d)
Utilizando as propriedades de logaritmos, temos: 
log logb b bm n m log n x y⋅( ) = + = +
log logb b b
n
m
n log m y x⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − = −
Então: 
log logb bm n
n
m
x y y x y⋅( ) + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = + + − = 2
 22. (MACKENZIE – SP) Se a, b e c são números reais positivos e diferentes de 1, e logb c k, então log
log
b a
c
a log c
b
 é igual a
a) 1
b) 1
k
c) k
d)
Xe) k2
Aplicando a mudança de base de todos os logaritmos para 
base b, temos: 
log
log
log
log
log
og
log
log
log
lob a
c
b
b
b
b
b
b
b
a log c
b
a
c
a
l b
c
c
c
⋅
=
⋅
= =
1
ggb c k( ) =2 2
12 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 23. (UFRGS – RS) O valor de 
E = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +…+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟log log log
1
2
2
3
999
1000
 é
Xa) –3.
b)
c) –1.
d) 0. e) 1.
As ordenadas dos pontos A e B são iguais, então podemos 
igualar as duas funções e substituir 2 na abscissa de A para 
encontrar a abscissa de B:
f m g m m
m m
( ) = ( ) ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = =
2 4 3 2
3
4
2
2 2 2
3
4
3
4 0 75
log log log log
log log ,
O valor de m, indicado na figura, é igual a
a) log12
Xb) 20 75,
c) log7
d) 20 25,
e) 21 25,
b) d) 0.
As ordenadas dos pontos A e B são iguais então podemos
) )
A
i
e
A
Vamos calcular o valor do logaritmo:
E
E
= ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +…+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= − +
log log log
log log lo
1
2
2
3
999
1000
1 2 gg log log log
log log log log
log l
2 3 3 4
998 999 999 1000
1
− + − +
+…+ − + −
= −E oog1000 0 3 3= − = −
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
 24. (UNICAMP – SP) Se f x x( ) = log10 e x > 0, então 
f
x
f x
1
100
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ( ) é igual a
a) 1. Xb) c) 3. d) 4.
Temos: 
f
x
f x
x
x
x
x
1
100
1
100
1
10010 10 10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ( ) = ⋅⎛
⎝
log log log ⎜⎜
⎞
⎠
⎟
Como x > 0, é possível simplificar o x na expressão, encontrando 
log10 10100 2 10 2( ) = ⋅ =log .
 25. (UEG – GO) Sendo f x xx( ) = +( )−log 1
2 1 , então
a) x <−1 e x ≠ −2
b) x 1
c) − ≤ <1 1x
d) x 1
Xe) x 1 e x ≠
A função logarítmica está definida para logaritmando maior 
do que zero e para base maior do que zero e diferente de 1, 
ou seja, x2 1 0+ > , o que é sempre verdadeiro para qualquer 
x, e x − >1 0 e x − ≠1 1, de onde temos x 1 e x ≠ 2.
 26. (FAMERP – SP) A figura indica os gráficos das funções f e g, definidas de +
∗ em , cujas leis são, respectivamente, f x x( ) = 4log e 
g x x( ) = 3log .
 27. (UPF – RS) Na figura, está representada parte do gráfico da função f definida por 
f x ax( ) = +( ) −log 2 1, com a ≠ 0 e o ponto 
A 1 1, −( ) pertencente ao gráfico da função f.
O valor de a é:
a) 1
b)
Xc) –1
d)
e) 8
A
1
1-1-2-3 2 30
-1
-2
-3
x
y
Sabemos que A pertence à função, portanto: 
− = ⋅ +( ) − ⇒ − + = +( ) ⇒
⇒ +( ) = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
1 1 2 1 1 1 2
2 0 10 2 1 20
log log
log
a a
a a a a −−1
LIVRO DE ATIVIDADES 13• •
M
A
T
 28. A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por
f = A
rBO ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r A e B são constantes positivas. 
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).Com base nos valores de X r= ( )log e Y f= ( )log , é possível estimar valores para A e B.No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é
Xa) Y A B X= ( ) − ⋅log
b) Y A
X B
=
( )
+ ( )
log
log
c) Y A
B
X=
( )
−
log
d) Y A
B X
=
( )
⋅
log
e) Y A
XB
=
( )log
q ç
C5 H19 Identificar representações algébricas 
que expressem a relação entre grandezas. 
Na equação que relaciona a frequência com o ranking, vamos aplicar logaritmo para 
substituir as variáveis por X e Y:
f
A
r
f
A
r
Y A r A B rB B
B= ⇒ ( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ = ( ) − ( ) = ( ) − ( ) =log log log log log log llog A B X( ) − ⋅
 29. matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é R A
A
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟log
0
, em que A é a amplitude do movimento vertical 
do solo, informado em um sismógrafo, A0 é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo 
na base 10.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado).
A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é
a)
b)
c) 10
9
7
Xd) 100
e) 10 109 7
 30. (FUVEST – SP) Se log log2 2
1
2
2
3
y x= − +
Xa) y
x23
2
b) y
x3
2
c) y x= − +
1
2
23 d) y x= ⋅2 23 e) y x2 3
C5 H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. 
Sabemos que 
2
3 2 2
2
3
2
23log log logx x x , ou seja, log log2 2
231
2
y x= − + . Além disso, 
1
2
 pode ser escrito como log2
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . Assim, 
aplicando as propriedades dos logaritmos, temos: 
log log log log log2 2 2
23
2 2
23
231
2
1
2 2
y x y x y
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⇒ = ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ = 
No Japão, a magnitude foi de 9,0 graus, e na Argentina, de 
7,0 graus, ou seja: 
R
A
A
A
A
A A
A A
A A
R R J
A
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒
= ⋅
= ⋅
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
log
0 0
0
0
9
0
7
10 10
10
10
Assim, a razão entre as amplitudes dos 
movimentos verticais dos terremotos é:
A
A
A
A
J
A
=
⋅
⋅
= =0
9
0
7
210
10
10 100
14 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 31. Nas informações veiculadas nos órgãos de comunicação quando da ocorrência de um terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se como parâmetros as medidas da amplitude sísmica (A), em micrômetro, e da frequência (f), em hertz. Esses parâmetros são medidos por aparelhos especiais chamados sismógrafos, e relacionam-se segundo a função M A f= ×( ) +log ,3 3. Pela magnitude do terremoto na escala Richter, pode-se estimar seus efeitos de acordo com o quadro, onde não estão considerados terremotos de magnitudes superiores a 7,9.
Magnitude (Grau) Efeitos do terremoto segundo a escala RichterRegistrado (pelos aparelhos), mas não perceptível pelas pessoas.Percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.Destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.Destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.Destrutivo, retiram os edifícios de suas fundações, causam fendas no solo e danificam as tubulações contidas no subsolo.Um terremoto teve sua amplitude e frequências medidas e obteve-se A 1 000 micrômetros e 
f 0 2, hertz. Use –0,7 como aproximação para log ,0 2( ).
Disponível em: www.mundoeducacao.com.br. Acesso em: 11 jul. 2012 (adaptado).Considerando o quadro apresentado, e analisando o resultado da expressão que fornece a magnitude desse terremoto, conclui-se que ele foi
a) registrado, mas não percebido pelas pessoas.
b) percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.
Xc) destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.
d) destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.
e) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.
C6 H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
M
3 5 5 4, ,< ≤M
5 4 6 0, ,< ≤M
6 0 6 9, ,< ≤M
6 9 7 9, ,< ≤M
Vamos encontrar o valor de M para A = 1 000 μm e f = 0,2 Hz:
M = ×( ) + = + + = + −( ) + =log , , log log , , , , ,1000 0 2 3 3 1000 0 2 3 3 3 0 7 3 3 5 6
Dessa forma, a resposta correta é a que se encaixa para M = 5,6, ou seja, a alternativa c.
 32. (UECE) No país das comunicações, cuja população é x (em milhões de habitantes), uma notícia de interesse nacional foi divulgada e, t horas após a divulgação, o número de pessoas que tomaram conhecimento da notícia é dado por f t
x
x
t
( ) =
+ ⋅
−
1 5 2 2
.
Sabendo que, uma hora após a divulgação, a metade da população já tinha conhecimento da notícia, é correto afirmar que a população desse país, em milhões de habitantes, é, aproximadamente,
e) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.
Vamos encontrar o valor de M para A =1000 μm e f= 0 2 Hz:
Considere o logaritmo de cinco na base dois, aproximadamente, igual a 2,32.
Xa)
b)
c)
d)
Sabemos que, uma hora após a divulgação, metade da população já sabia da notícia, ou seja: 
f
x x x
x
x
x
x
1
2
1 5 2
2
1
1 5 2
1
2
1 5 2 2
2
1
0
2
2( ) = ⇒
+ ⋅
= ⎯ →⎯⎯
+ ⋅
= ⇒ + ⋅ =−
⋅
≠
−
−
Assim: 
5 2 1 2
1
5
2 2⋅ = ⇒ =
− −x x
Aplicando logaritmo nos dois lados da 
equação, temos:
l
x x
x
x
og log log , ,2
1
2
2
25 2 5
2
2 32
2
4 64−
−
= ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =
LIVRO DE ATIVIDADES 15• •
M
A
T
 33. (UEL – PR) Leia o texto e observe a imagem ao lado.
No Brasil, a preservação natural de um cadáver é rara devido ao clima 
tropical e ao solo ácido, que aceleram a sua decomposição. Por isso, a múmia 
encontrada em Goianá, Minas Gerais, no século XIX é tão incomum. 
Adaptado de: www.museunacional.ufrj.brPassados t anos após a morte deste ser humano, suponha que a massa m(t) de seu cadáver, medida em quilogramas, seja dada por 
m t e C t( ) = − ⋅40relacionado às características morfoclimáticas da região onde 
corretamente, o valor do parâmetro C.
a) C e
1
200
50log
b) C e
1
300
20log
c) C e
1
400
30log
d) C e
1
500
40log
Xe) C e
1
600
10log
Uma múmia encontrada em 
território brasileiro. Museu 
Nacional do Rio de Janeiro
Temos m(t) = 4 para t = 600, ou seja: 
m t e e e eCt C C C( ) = ⇒ = ⇒ = ⇒ =− − − −40 4 40 10 10600 1 600 600
Aplicando logaritmos dos dois lados da equação, temos: 
log log loge e
C
e ee C C log10 10 600
1
600
10600= ( ) ⇒ = ⇒ = ⋅
 34. (EPCAR – MG/AFA – SP) O domíniomais amplo da função real f definida por f x xa( ) = −( )log 2 3 , em que a∈] [0 1, , é
a) −[ ]2 2, 
b) −] [2 2, 
c) −] ]∞ − ∪ + ∞[ [, , 2 2
Xd) − −⎡
⎣
⎡
⎣ ∪ ⎤
⎦
⎤
⎦2 3 3 2, , 
300 500
( )
T
⎣ ⎣ ⎦ ⎦
Uma raiz quadrada, definida no conjunto dos números reais, 
sempre deve ser positiva. Além disso, a base de um logaritmo é 
sempre positiva e diferente de 1, enquanto o logaritmando sempre 
deve ser positivo. Portanto: 
 I. loga x2 3 0−( ) ≥
 II. a 0 e a ≠ 1 : já é satisfeito, pois a∈] [0 1, . 
 III. x2 3 0− >
Como 0 < a < 1, temos loga x2 3 0−( ) ≥ para 
x x x2 23 1 4 2 2− ≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ ≤ . Por outro lado,
x x x ou x2 23 0 3 3 3− > ⇒ > ⇒ < − > . Dessa forma, o 
conjunto mais amplo para o domínio é − −⎡
⎣
⎡
⎣ ∪ ⎤
⎦
⎤
⎦2 3 3 2, , .
 35. (UFPR) Um tanque contém uma solução de água e sal cuja concentração está diminuindo devido à adição de mais água. Suponha que a concentração Q(t) de sal no tanque, em gramas por litro (g/L), decorridas t horas após o início da diluição, seja dada por
Q t t( ) = × −100 5 0 3,Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessário para que a concentração de sal 
a)
b)
c)
Xd)
e)
Precisamos encontrar o valor de t para Q(t) = 50:
50 100 5
5
10
5
5
10
5 5 100 3 0 3 0 3= × ⇒ = ⇒ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ −− − −, , ,log log log logt t t == − ⋅
⇒ − = − ⋅ ⇒ − = − ⋅ ⇒ =
0 3 5
0 7 1 0 3 0 7 0 3 0 3 0 7
1
0 7
1 43
,
, , , , , ,
,
,
t log
t t t
b) Xd)
Precisamos encontrar o valor de t para Q(t) = 50:
0 7
, , , , , ,
,
,
Como 0,43 de hora é igual a aproximadamente 
26 minutos, então 1,43 h está mais próximo de 
1 hora e 25 minutos. 
16 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 36. (UFRGS – RS) Leia o texto abaixo, sobre terremotos.
Magnitude é uma medida quantitativa do tamanho do terremoto. Ela está relacionada com a energia sísmica 
liberada no foco e também com a amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos. Para cobrir todos os 
tamanhos de terremotos, desde os microtremores de magnitudes negativas até os grandes terremotos com 
magnitudes superiores a 8,0, foi idealizada uma escala logarítmica, sem limites. No entanto, a própria natureza 
impõe um limite superior a esta escala, já que ela está condicionada ao próprio limite de resistência das rochas da 
crosta terrestre. Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 
1935: log , ,E M( ) = +118 15 onde E = energia liberada em Erg; M = magnitude do terremoto.
Disponível em: <http://www.iag.usp.br/siae98/terremoto/terremotos.htm>. Acesso em: 20 set. 2017.Sabendo que o terremoto que atingiu o México em setembro de 2017 teve magnitude 8,2, assinale a alternativa que representa a melhor aproximação para a energia liberada por esse terremoto, em Erg.
a) 13,3 b) 20 c) 24 Xd) 1024 e) 1028
Vamos substituir 8,2 em M na equação fornecida no texto:
log , , , , , ,E( ) = + ⋅ = + =118 15 8 2 118 12 3 24 1
Assim, E 10 1024 1 24, .
APROFUNDAMENTO
 37. ENEM Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de empréstimo, o valor da prestação (P n) segundo a fórmula
P =
× ×
−( )
5000 1 013 0 013
1 013 1
, ,
,
n
n
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
a) 12. b) 14. c) Xd) e) 17.
C5 H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. 
O limite definido pela pessoa foi de 400 reais, portanto devemos substituir P por 400:
400
5000 1013 0 013
1013 1
400 1013 1 65 1013 4=
× ×
−( )
⇒ ⋅ −( ) = ⋅ ⇒
, ,
,
, ,
n
n
n n 000 1013 400 65 1013⋅ − = ⋅, ,n n
Assim: 
400 65 1013 400 335 1013 400 1013
400
335
−( ) ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =, , ,n n n
Aplicando o logaritmo em ambos os lados da igualdade, temos: 
log , log ,1013
400
335
1013 400 335n n log log log( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ ⋅ = −
Substituindo as aproximações fornecidas dos logaritmos, obtemos:
n n n⋅ = − ⇒ = ⇒ = =0 005 2 602 2 525 0 005 0 077
0 077
0 005
15 4, , , , ,
,
,
,
Dessa forma, o número mínimo de parcelas que não compromete o limite definido pela pessoa é 16.
LIVRO DE ATIVIDADES 17• •
M
A
T
 38. ENEM Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por 
M E
E
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
3 0
log ,sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).Qual a relação entre E1 e E2?
a) E E1 2 2= +
b) E E1
2
210= ⋅
Xc) E E1
3
210= ⋅
d) E E1 2
9
710= ⋅
e) E E1 2
9
7
= ⋅
) 1 2 )
1 2
C5 H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. 
As magnitudes dos dois terremotos são 9,0 e 7,0, de modo que 
podemos reescrever a equação substituindo M por esses valores:
9 0
2
3
27
2
10 101
0
1
0
1
0
27
2
1
27
2, log log=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = ⇒ = ⋅
E
E
E
E
E
E
E EE0
7 0
2
3
21
2
10 102
0
2
0
2
0
21
2
2
21
2, log log=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = ⇒ = ⋅
E
E
E
E
E
E
E EE0
Dessa forma, podemos reescrever E1 da seguinte maneira:
E E E E E1
27
2
0
21
2
3
0
21
2 3
0 2
310 10 10 10 10= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
+
C6 H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. 
 39. ENEM
quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: Q t Q
t
( ) = ⋅
−
0
57302 em que t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante t e Q0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente. mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas.
Fóssil Q0 Q(t)1 128 322 834 128
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi
a) 1.
Xb) 2.
c) 3.
d) 4.
e)
Vamos utilizar a equação que relaciona Q0 e Q t( ):
Q t Q
Q t
Q
Q
Q t
Q
Q t
t t t
( ) = ⋅ ⇒
( )
= ⇒
( )
= ⇒
( )
⎛
⎝
⎜
− −
0
5 730
0
5 730 0 5 730
2
02 2 2 log ⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ = ⇒ = ⋅
( )
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
t
t log
Q
Q t5730
5730 2
0
Dessa forma, como log(x) é uma função crescente, quanto maior a razão entre Q0 e Q t( ), maior o valor de t:
r1
128
32
4 , r2
256
8
32 , r3
512
64
8 , r4
1024
512
2 e r5
2048
128
16
Portanto, o fóssil mais antigo é o 2, cuja razão entre Q0 e Q t( ) é a maior (32). 
18 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 40. (ESPCEX – SP/AMAN – RJ) A figura ao lado mostra um 
horas após começar o seu preenchimento, é dada por 
h t log a b c( ) = + +( )2
2t t , com t ∈[ ]0 7, , onde a, b e c são constantes reais. Desenho Ilustrativo – Fora de Escala
 + bt + c)(at2 2h(t) = log
a) 3 horas e 30 minutos
Xb) 3 horas c) 2 horas e 30 minutos
d) 2 horas e) 1 hora e 30 minutos
Precisamos encontrar os valores de a, b e c com as informações do enunciado. 
1) Inicialmente, o reservatório se encontra vazio, ou seja: 
h a b c c c0 0 0 0 0 0 12
2
2( ) = ⇒ ⋅ + ⋅ +( ) = ⇒ = ⇒ =log log
2) Após 1 hora, a altura da água no reservatório é igual a 2 metros:
h a b a b a b a b1 2 1 1 1 2 1 2 1 4 32
2
2( ) = ⇒ ⋅ + ⋅ +( ) = ⇒ + +( ) = ⇒ + + = ⇒ + =log log
3) O reservatório ficará cheio quando a altura da água for igual a 6 metros, ao fim de 7 horas:
h a b a b a b a7 6 7 7 1 6 49 7 1 6 49 7 1 64 492
2
2( ) = ⇒ ⋅ + ⋅ +( ) = ⇒ + +( ) = ⇒ + + = ⇒log log ++ =7 63b
Juntando as duas equações, temos: 
a b
a b
a b
a b
b a a a a a+ =
+ =
⇒ + =
+ =
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ = − ⇒ + −( ) = ⇒ = ⇒3
49 7 63
3
7 9
3 7 3 9 6 6 == 1
) )
P
1
2
3
J
b a= − = − =3 3 1 2
Portanto, a função h(t) é dada por 
h t t t( ) = + +( )log2
2 2 1 . 
Queremos que a altura da água no 
reservatórioseja igual a 4 metros. Dessa 
forma, vamos substituir h(t) por 4 para 
encontrar o valor de t:
4 2 1 2 2 1
2 15 0
3
5
2
2 4 2
2 1
2
= + +( ) ⇒ = + + ⇒
⇒ + − = ⇒
=
= −
⎧
⎨
⎩
log t t t t
t t
t
t
Como se trata de tempo, t não pode ser 
negativo, de modo que a solução correta 
é t = 3.
 41.
f x
ax b
( ) =
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟log2
1
O valor de f − −( )1 1 é
a) –1
b) 0
c) –2
d) 2
Xe) 1 –1
–1
–0,5 0,5 1,51
1
2
3
4
y
x
Primeiro, precisamos encontrar o valor de a e b. Sabemos que f(0) = 0 e f(–0,5) = 1, ou seja:
f
a b b b
b0
1
0
1
0
1
2 1 12 2
0( ) =
⋅ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒ = = ⇒ =log log
f
a a
a−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
− +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟⎟
= ⇒
− +
= = ⇒ − +⎛
⎝
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2 2
1
2
12
1log ⎜⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ = ⇒ − + = ⇒ =2 1 2 1 1a a
Assim, a função é: 
f x
x
x x( ) =
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +( ) = − +( )−log log log2 2
1
2
1
1
1 1
Para encontrar f− −( )1 1 , podemos 
substituir f x( ) = −1, já que 
f x f x− −( ) = ⇔ ( ) = −1 1 1:
− = − +( ) ⇒ = + ⇒ =1 1 2 1 12
1log x x x
LIVRO DE ATIVIDADES 19• •
M
A
T
 42. são dadas por f x x( ) = +10 log , g x x( ) = 10log , 
h x x( ) = ( )log 10 e p x x( ) = +( )log 10 . Observe 
a) h, f, g, p.
b) g, h, f, p.
Xc) g, f, h, p.
d) g, f, p, h.
e) p, f, h, g.
O gráfico I corresponde à função g, já que g(1) = 0 e g(10) = 10.
O gráfico II corresponde à função f, já que f(1) = 10 e f(10) = 11.
O gráfico III corresponde à função h, já que h(1) = 1 e h(10) = 2.
O gráfico IV corresponde à função p, já que p(0) = 1 e p(–10) não existe (a função nunca chega a p(–10)).
 43. (UEL – PR) Um pesquisador estuda uma população e determina que a equação N t= −9 1510 descreve a incidência de câncer, representada por N, em função do tempo t. Ele observa que N cresce rapidamente, N e t x × y. Para esse fim, suponha que o pesquisador escolha uma base b, positiva e distinta de 1, e que ele considere as N > 0 e t > 0:
x t
y N
b
b
= ( )
= ( )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
log
logSupondo que y x= +9 1 seja a equação que descreve a semirreta que o pesquisador obteve no plano cartesiano x × y, e recordando que 1 = ( )logb b , assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a escolha da base b feita pelo pesquisador.
a) 1 b) 9 c) 915 d) 10 9 Xe) 10 15
Substituindo os valores de x e y na equação, temos: 
x t
y N
N t tb
b
b b b
= ( )
= ( )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ ( ) = ( ) + ⇒ ( ) =−log
log
log log log9 1 10 99 15 llogb t( ) + 1
Assim: 
l t t t t b tb b b b b bog log log log log log9 15 9 15 9 910 9 1 10− −( ) = ( ) + ⇒ ( ) = + = ⋅⋅( )b
 
t t b bt9 15 9 0 1510 10− ≠ −= ⎯ →⎯⎯ =
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
 44. (UFRGS – RS) Se log3 9 1x log x+ = , então o valor de x é
a) 23 . b) 2 . c) 3 3. d) 3 . Xe) 93 .
Fazendo a mudança da base 9 para 3, temos:
log log
log
log
log
log
3 9 3
3
3
3
3
31
9
1
2
1
3
2
1x log x x
x
x
x
log x+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ ⋅ = ⇒⇒ =log3
2
3
x
Assim, x 3 3 9
2
3 23 3 .
20 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 45.
Evento (E) Risco de morte
(1 em n mortes) log n Índice de risco de 
E (10 – log n)Atingido por relâmpago 3,7Afogamento 4,2Acidente de motocicleta 3,9Doenças provocadas pelo cigarro 1 em 800 2,9 7,1BASE jumping é igual a 8.
 46. (ESPCEX – SP/AMAN – RJ) A equação log log3 1 12 32x
x
= +
a) 0. b) 1
3
. c) 3
2
. Xd) 3. e) 9.
Praticante de BASE jumping (https://pt.wikipedia.org)
O risco de morte para praticantes desse esporte, segundo a avaliação do banco, é de
a)
b)
Xc)
d)
e)
O índice de risco de morte é igual a 8, ou seja: 
E n n n n= − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =10 8 2 10 1002log log
Assim, o risco de morte é de 1 em 100, ou seja, de 1%.
b) d)
Vamos fazer a mudança de base de logx2 3 para base 3:
log
log
log log logx x x x
2 3
3 1 1
2
3
3
2
3
2
3
Assim, aplicando as propriedades de logaritmos, temos:
log
log
log
log
log log log3
3
3
3
3
2
3 31 12
1
2
1
6
6x
x
x
x
x x x= + ⋅ ⇒ = + ⇒ ( ) = + ⇒ ( )22
3 6 0− − =log x
Substituindo log3 x y, temos a equação y y2 6 0− − = . Resolvendo essa equação quadrática, obtemos: 
y =
− −( ) ± −( ) − ⋅ ⋅ −( )
⋅
=
±
=
+
= =
−
=
−
= −
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
1 1 4 1 6
2 1
1 25
2
1 5
2
6
2
3
1 5
2
4
2
2
2
⎪⎪
Logo: 
log3 1
33 3 27x x= ⇒ = =
log3 2
22 3
1
9
x x= − ⇒ = =−
O produto das raízes, portanto, é 27
1
9
3⋅ = .
3 2
V
l
A
l
S
y
L
l
l
O
LIVRO DE ATIVIDADES 21• •
M
A
T
 47. (UDESC) Considerando ln ,10 2 3, então o valor da expressão ln log ln
log
a a a
a
3 2− + é igual a:
a) 4
Xb)
c) 4a
d) 2,3a2
e) 1,3
 48. da equação x
xlog x5
4
125
, então o valor de 
1
2
b a−( ) é
a)
b) 120
Xc)
d) 3
e) 1
c) 4a
Xc)
Vamos mudar todas as bases para e, encontrar ln 10 e substituí-lo 
por 2,3:
ln log ln
log
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln ln
a a a
a
a
a
a
a
ln a a
3
3
3
2 10
2
10
10 2
− +
=
− +
=
⋅ +(( ) −
=
+( ) −
=
( ) −
=
ln
ln
ln
ln
, ln ln ln
ln
, ln ln
ln
a
a
a a a
a
a a
a
10
10
2 3 3 2 2 3 5 1115 10 5
10 5
, ln ln
ln
, ln
ln
,
a a
a
a
a
−
= =
Vamos encontrar as soluções da equação x
xlog x5
4
125
. 
Aplicando logaritmo dos dois lados da equação e as 
propriedades de log, temos:
x
x
x
x
x log x
log x log x5 5
4
5 5
4
5 5
125 125
= ⇒ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ ⇒
⇒ ⋅ =
log log
log log55
4
5 125x − log
Assim:
log log log log5
2
5 5
2
54 3 4 3 0x x x x( ) = − ⇒ ( ) − + =
Fazendo y xlog5 , encontramos a equação y y2 4 3 0− + = . 
Por soma e produto, podemos verificar que as soluções dessa 
equação são 1 e 3. Dessa forma: 
log5 1
11 5 5x x= ⇒ = =
log5
33 5 125x x= ⇒ = =
Como a < b, então a = 5 e b = 125. Portanto: 
1
2
1
2
125 5
1
2
120 60b a−( ) = −( ) = ⋅ =
 49. (FGV – SP) O valor do número real b para o qual a igualdade 11 1
2
3 1
2 25 8log log log logx x x xb
+ − = 
> ≠ 1 é
Xa) 20.
b)
c) 100.
d)
e) 400.
Vamos mudar todas as bases para x:
11 11
2
11
2
11 2
2log log
log
log
log
log
x x xx
x
x
x
x=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ =
1
2
1
2
25
1
2
25 1
2
2
25log log
log
log
log
log
x x xx
x
x
x
x=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ 55
3 3
8
3
8
3 8
8log log
log
log
log
log
x x xx
x
x
x
x=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ =
1 1
log log
log
log
log
log
b x
x
x
x
xx x
b
b
x
b=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= =
Então: 
11 2
1
2
25 3 8log logx x x xlog log b+ ⋅ − =
Aplicando as propriedades de logaritmos, temos: 
log log log log
log log log log
x x x x
x x x x
b2 25 8
2048 5 512
11
1
2 3+ − = ⇒
⇒ + − = bb
b b bx x
⇒
⇒
⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⇒
⋅
= ⇒ =log log
2048 5
512
2048 5
512
20
22 MATEMÁTICA• •
M
A
T
 50. (ESPM – SP) Se x ≠ y são reais não negativos e 
log x x yy log2 2 2+ ⋅( ) = +( ), o valor de x yy x é igual a:
a) 2 Xb) 1 c) 4 d) 0 e) 3
Vamos resolver a equação em x e y:
log
og log
x y log x y
l x y x y x y x y
2 2
2 2 2 2 2 2
2+( ) = ⋅ +( ) ⇒
⇒ +( ) = +( ) ⇒ + = +( )
Assim, resolvendo o termo ao quadrado:
x y x xy y xy2 2 2 22 2 0+ = + + ⇒ =
Se 2xy = 0, então x = 0 ou y = 0. Dessa forma, temos:
x y yy x y+ = + = + =0 0 1 10 ou x y xy x x+ = + = + =0 0 1 0 1 
 51. S x y z= + + , onde x, y e 
x
y
y e
xy log z
ln x
x
=
=
+( )
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪ + =
( )
2
2
3
2
2
2
3
logO valor de S é:
Xa) 84
b)
c) 234
d)
e)
Da primeira equação, temos: 
x
y
x y x y x y x y= ⇒ = ⇒ ( ) = ⇒ = ⇒ =
2
2
2 2 2 2 8 2 4
23
23 3 2 3 2 3 2
Da segunda, temos: 
y e e xx x2 22ln ln
Elevando ao quadrado a segunda expressão, obtemos 
y x y x= ⇒ =2 2 4. Como y x2 34 , então: 
x x x x x x4 3 4 3 34 4 0 4 0= ⇒ − = ⇒ ⋅ −( ) =
Desse produto, como x não é nulo (por ser base do logaritmo), 
x = 4.
Assim, y x2 16.
Substituindo os valores na terceira equação, temos:
log log log2 4 4 4
316 4 3 4 7 3 4 64+ = + ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =log z z z z z
Logo, a soma dos três valores é: S x y z= + + = + + =4 16 64 84
) ) ) ) )
Va
lo
⇒
As
x
Se
x
b) d)
a primeira equação temos:Da
x
Da
y
Ele
y
x4
De
x =
As
Su
lo
Lo
Da
4
 52. x1, x2 , x3 , x4, x5 e x6 números reais tais que 2 41x
3 52x
4 63x 
5 74x
6 85x e 7 96x . Então, o produto 
x x x x x x1 2 3 4 5 6 é igual a
Xa)
b) 8. c) 10.
d) 12. e) 14.
Se 2 41x , então x1 2. 
De 3 52x ,