FUNÇÃO LOGARÍTMICA

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 ALUNO(A):___________________ 
 
 
LOGARITMO 
 
Definição: Sejam a e b números reais e 
positivos, com a ≠ 1. Chama-se logaritmo de 
b na base a o expoente real x que se deve dar 
à base a de modo que a potência obtida 
seja igual a b, isto é 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑏 = 𝑎𝑥 
 
com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 0 < 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑏 > 0. 
Em que: 
a= base 
b= logaritmando 
x= logaritmo 
 
Exemplos: 
a) 𝑙𝑜𝑔232 = 𝑥 ⇔ 2𝑥 = 32 ⇔ 2𝑥 = 25 ⇔ 𝑥 = 5 
 
b) 𝑙𝑜𝑔0,2625 = 𝑥 ⇔ (0,2)𝑥 = 625 ⇔ 
 (
1
5
)
𝑥
= 625 ⇔ 5−𝑥 = 54 ⇔ 𝑥 = −4 
 
c) 𝑙𝑜𝑔1632 = 𝑥 ⇔ 16𝑥 = 32 ⇔ 24𝑥 = 25 ⇔ 
 4𝑥 = 5 ⇔ 𝑥 =
5
4
 
 
Observações: 
1. A base de um logaritmo não pode ser 
negativa, não pode ser igual a zero e nem 
igual a 1, pois: 
a) 𝑙𝑜𝑔−327 = 𝑥, não existe nenhum valor para 
x que torne (−3)𝑥 = 27; 
b) 𝑙𝑜𝑔05 = 𝑥, não existe nenhum valor para x 
que torne 0𝑥 = 5; 
c) 𝑙𝑜𝑔17 = 𝑥, não existe nenhum valor para x 
que torne 1𝑥 = 7. 
2. O logaritmando não pode ser negativo e 
nem igual a zero, pois: 
a) 𝑙𝑜𝑔3 − 9 = 𝑥, não existe nenhum valor para 
x que torne 3𝑥 = −9; 
b) 𝑙𝑜𝑔40 = 𝑥, não existe nenhum valor para x 
que torne 4𝑥 = 0. 
 
Em consequência da definição temos que 
dados 𝑎, 𝑏, 𝑘 ∈ ℝ, 0 < 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑏 > 0: 
i) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1, pois 𝑎1 = 𝑎; 
ii) 𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0, pois 𝑎0 = 1; 
iii) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎𝑘 = 𝑘, pois 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘; 
iv) 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏. 
 
Sistema de logaritmos: Chama-se sistema de 
logaritmos de base a o conjunto de todos os 
logaritmos de números reais positivos na base 
a (0 < a ≠ 1). 
 
Exemplo: o sistema de logaritmo de base 3 é 
o conjunto de todos os logaritmos de base 3. 
 
O sistema de logaritmos de base 10, também 
conhecido como sistema de logaritmos 
decimais é um dos sistemas mais trabalhados. 
Nesse sistema, omitimos a base na notação, 
ou seja 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑏 = log 𝑏. 
 
 Outro sistema bastante utilizado ė o sistema 
de logaritmos naturais ou neperianos, que ė o 
sistema de base e (número de Euler), 
número irracional igual a 2,71828..., 
denotado por 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑏 ou ln 𝑏. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
01. Determine o valor de: 
 
a) 𝑙𝑜𝑔5 5√5 c) 𝑙𝑜𝑔0,2 0,04 
b) 𝑙𝑜𝑔4
√2
3
2
 d) 𝑙𝑜𝑔0,04 0,2 
bbe lnlog 
 
 
 
 
2 
 
02. Determine o valor de 𝑥 na igualdade 
𝑙𝑜𝑔9 3√27 = 𝑥. 
 
03. Calcule a soma S nos seguintes casos: 
a) 𝑆 = 𝑙𝑜𝑔100 0,001 + 𝑙𝑜𝑔1,5
4
9
− 𝑙𝑜𝑔1,25 0,64 
b) 𝑆 = 𝑙𝑜𝑔8 √2 + 𝑙𝑜𝑔√2 8 − 𝑙𝑜𝑔√2 √8 
c) 𝑆 = 𝑙𝑜𝑔
√93 √
1
27
− 𝑙𝑜𝑔
√0,5
3 √8 + 𝑙𝑜𝑔
√1003 √0,16
 
 
 Resolver as questões 01 a 06, da parte 
de Exercícios Propostos. 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DO 
LOGARITMO 
 
Sendo a, b e c números reais e positivos, e a 
≠ 1, temos: 
i) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐; 
ii) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑏
𝑐
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐; 
iii) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝛼 = 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏, com 𝛼 ∈ ℝ; 
iv) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝛼𝑏 =
1
𝛼
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏, com 𝛼 ∈ ℝ∗. 
 
MUDANÇA DE BASE 
 
Considere o logaritmo 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏, em que b > 0 e 
0 < a ≠ 1. 
Se desejarmos escrever esse logaritmo em 
uma base c, 
em que 0 < c ≠ 1, utilizaremos a seguinte 
propriedade: 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎
 
 
Exemplos: 
a) Escrever 𝑙𝑜𝑔75 na base 2, 
Solução: 𝑙𝑜𝑔75 =
𝑙𝑜𝑔25
𝑙𝑜𝑔27
 
b) Escrever 𝑙𝑜𝑔34 na base 4, 
Solução: 𝑙𝑜𝑔34 =
1
𝑙𝑜𝑔43
 
(𝑙𝑜𝑔34) ∙ (𝑙𝑜𝑔43) = 1 
Como consequência da mudança de base, 
dados a, b e c tais que 0 < 𝑎 ≠ 1, 0 < 𝑐 ≠
1 𝑒 𝑏 > 0, temos as seguintes propriedades: 
i) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏; 
ii) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =
1
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
, com 𝑏 ≠ 1; 
iii) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝛼𝑏 =
1
𝛼
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏, com 𝛼 ∈ ℝ∗. 
 
COLOGARITMO 
 
O oposto do logaritmo de b na base a também 
ė chamado de cologaritmo de b na base a, 
com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 0 < 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑏 > 0. Ou seja, 
 
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = −𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
04. (UCSAL) A expressão 
𝑙𝑜𝑔
2
3
+ 𝑙𝑜𝑔
3
4
+ 𝑙𝑜𝑔
4
5
− 𝑙𝑜𝑔
14
55
 
é equivalente a: 
a) 𝑙𝑜𝑔 77 c) 𝑙𝑜𝑔 7 e) 𝑙𝑜𝑔
11
7
 
b) 𝑙𝑜𝑔 18 d) 𝑙𝑜𝑔 4 
 
05. Calcule 𝑙𝑜𝑔2
1024
√256
3 . 
 
06. Calcule o valor de: 
a) 3𝑙𝑜𝑔3 2 c) 21+𝑙𝑜𝑔2 5 e) 92−log3 √2 
b) 4𝑙𝑜𝑔2 3 d) 32−𝑙𝑜𝑔3 6 
 
07. Determine o valor de 𝑥, sabendo que 
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔3 4 ∙ 𝑙𝑜𝑔2 3. 
 
08. (UFMG) A intensidade de um terremoto na 
escala Richter é definida por 
𝐼 =
2
3
∙ 𝑙𝑜𝑔 (
𝐸
𝐸0
), 
em que E é a energia liberada pelo terremoto, 
em quilowatt-hora (KWh), e 𝐸0 = 10−3 KWh. 
A cada aumento de uma unidade no valor de 
I, o valor de E fica multiplicado por: 
 
 
 
3 
 
a) 10
1
2 c) 10
3
2 
b) 10 d) 
20
3
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01. (UFBA) Calcule o simétrico do valor de 𝑥, 
sendo 𝑥 =
𝑙𝑜𝑔5 125−𝑙𝑜𝑔4 1
𝑙𝑜𝑔2√2 16+𝑙𝑜𝑔 0,001
. S={9} 
 
02. Em que base o logaritmo de 2√2 é igual a 
3? 𝑆 = {√2} 
 
03. O número 𝑙𝑜𝑔 50 está situado entre quais 
inteiros consecutivos? S= {Entre 1 e 2} 
 
 
 Resolver as questões 07 a 11, da parte 
de Exercícios Propostos. 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
São equações que envolvem logaritmos, em 
que as variáveis podem aparecer no 
logaritmando ou na base. 
Devemos sempre verificar se os valores de x 
encontrados satisfazem a condição de 
existência (logaritmando e base reais 
positivos e a base diferente de 1). 
As equações logarítmicas podem se 
apresentar em três tipos principais: 
 
1º tipo: aquelas em que aplicaremos apenas 
a definição de logaritmo para sua resolução. 
 
Exemplos: 
a) Resolver 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 − 1) = 4, em ℝ. 
 
Solução: Aplicando a definição de logaritmo, 
temos: 
2𝑥 − 1 = 34 ⇔ 2𝑥 = 81 + 1 ⇔ 𝑥 =
82
2
= 41 
Verificando a condição de existência (C.E.) 
2𝑥 − 1 > 0 ⇔ 2𝑥 > 1 ⇔ 𝑥 >
1
2
 
Logo, 𝑆 = {41}. 
 
b) Resolver 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥 + 6) = 2, em ℝ. 
 
Solução: Aplicando a definição de logaritmo, 
temos: 
𝑥 + 6 = 𝑥2 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 
𝑎 = 1, 𝑏 = −1 𝑒 𝑐 = −6 
∆= (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6) = 25 
𝑥 =
1 ± √25
2
⇒ 𝑥′ =
1 + 5
2
= 3 𝑜𝑢 
𝑥′′ =
1 − 5
2
= −2 
 
Verificando a condição de existência (C.E.) 
𝑥 + 6 > 0 ⇔ 𝑥 > −6 𝑒 𝑥 > 0 𝑒 𝑥 ≠ 1 
Logo, 𝑆 = {3}. 
 
c) Resolver 𝑙𝑜𝑔5(𝑙𝑜𝑔2𝑥) = 0, em ℝ. 
 
Solução: Aplicando a definição de logaritmo 
duas vezes, obtemos: 
𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 50 ⇔ 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 21 = 2 
 
C.E. 𝑥 > 0. Logo, 𝑆 = {2}. 
 
2º tipo: aquelas em que apresentam 
igualdade de logaritmos de mesma base. 
Utilizaremos o seguinte resultado para sua 
resolução. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) > 0 
 
Exemplos: 
a) Resolver 𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 − 4) = 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 2), em 
ℝ. 
 
Solução: 5𝑥 − 4 = 3𝑥 − 2 ⇒ 2𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 1 
C. E: 5𝑥 − 4 > 0 𝑒 3𝑥 − 2 > 0 
5𝑥 > 4 ⇒ 𝑥 >
4
5
 𝑒 3𝑥 > 2 ⇒ 𝑥 >
2
3
 
Logo, 𝑆 = {1}. 
 
 
 
4 
 
 
b) Resolver 𝑙𝑜𝑔5(𝑥2 − 4𝑥) = 𝑙𝑜𝑔521, em ℝ. 
 
Solução: 𝑥² − 4𝑥 = 21 ⇒ 𝑥² − 4𝑥 − 21 = 0 
𝑎 = 1, 𝑏 = −4 𝑒 𝑐 = −21 
∆= 16 − 4 ∙ 1 ∙ (−21) = 16 + 84 = 100 
𝑥 =
4 ± √100
2
=
4 ± 10
2
⇒ 𝑥′ = 7 𝑜𝑢 𝑥′′ = −3 
 
Verificando a condição de existência: 
𝑥² − 4𝑥 > 0. Para 𝑥 = 7, temos 
7² − 4 ∙ 7 = 49 − 28 = 21 > 0 (convém) 
Para 𝑥 = −3, temos 
(−3)2 − 4 ∙ (−3) = 9 + 12 = 21 > 0 (convém) 
 
Logo, 𝑆 = {−3, 7}. 
 
3º tipo: aquelas em que aplicaremos algumas 
propriedades de logaritmo, mudança de base 
ou mudança de variável para sua resolução. 
 
Exemplos: 
a) Resolver 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 7) + 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 1) = 2, em 
ℝ. 
 
Solução: Aplicaremos a propriedade 
operatória do produto e em seguida, 
aplicamos a definição de logaritmo e 
resolvemos a equação do 2º grau. 
𝑙𝑜𝑔3[(𝑥 + 7) ∙ (𝑥 − 1)] = 2 
𝑙𝑜𝑔3(𝑥² + 6𝑥 − 7) = 2 ⇒ 𝑥² + 6𝑥 − 7 = 3² 
𝑥² + 6𝑥 − 7 − 9 = 0 ⇒ 𝑥² + 6𝑥 − 16 = 0 
𝑎 = 1, 𝑏 = 6 𝑒 𝑐= −16 
∆= 6² − 4 ∙ 1 ∙ (−16) = 36 + 64 = 100 
𝑥 =
−6 ± √100
2
=
−6 ± 10
2
 
𝑥′ = 2 𝑜𝑢 𝑥′′ = −8 
 
C.E: 𝑥 + 7 > 0 ⇒ 𝑥 > −7 e 𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 > 1 
Logo, 𝑆 = {2}. 
 
b) Resolver 𝑙𝑜𝑔4𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 6, em ℝ. 
 
Solução: Utilizando mudança de base vamos 
deixar os logaritmos na base 2 e em seguida 
fazer uma mudança de variável e resolver a 
equação do 1º grau. 
𝑙𝑜𝑔4𝑥 =
𝑙𝑜𝑔2𝑥
𝑙𝑜𝑔24
=
𝑙𝑜𝑔2𝑥
2
 
𝑙𝑜𝑔4𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 6 ⇒
𝑙𝑜𝑔2𝑥
2
+ 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 6 
Fazendo 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 𝑡, temos 
𝑡
2
+ 𝑡 = 6 ⇒
𝑡 + 2𝑡
2
= 6 ⇒ 3𝑡 = 12 ⇒ 𝑡 = 4 
 
Assim, 𝑙𝑜𝑔2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 24 ⇒ 𝑥 = 16 
 
C.E: 𝑥 > 0. Logo, 𝑆 = {16}. 
 
c) Resolver 𝑙𝑜𝑔2𝑥 − 3𝑙𝑜𝑔𝑥 + 2 = 0, em ℝ. 
 
Solução: Vamos fazer uma mudança de 
variável e em seguida resolver a equação do 
2º grau. 
Fazendo 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑡, temos 
𝑡² − 3𝑡 + 2 = 0, 𝑎 = 1, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = 2 
∆= (−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 9 − 8 = 1 
𝑡 =
3 ± 1
2
⇒ 𝑡′ = 2 𝑜𝑢 𝑡′′ = 1 
Daí, para 𝑡 = 2, temos 
𝑙𝑜𝑔𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 10² ⇒ 𝑥 = 100 
Para 𝑡 = 1 ⇒ 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 101 ⇒ 𝑥 = 10 
 
C.E: 𝑥 > 0. Logo, 𝑆 = {10, 100}. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
12. (UFAL) Resolva, em ℝ, a equação 
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 2) = 1 
 
 
13. (MACK-SP) Se 
2
3
∙ log𝑏 27 + 2 ∙ log𝑏 2 − log𝑏 3 = −1, 
0 < 𝑏 ≠ 1, o valor de b é: 
a) 2 b) 
1
12
 c) 
1
9
 d) 3 e) 
1
8
 
 
 
 
 
5 
 
14. (Furg-RS) Sendo 𝑥 a solução da equação 
2𝑙𝑜𝑔3 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 =
1
2
, o valor de 𝑥³ é: 
a) 
1
2
 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 
 
15. (Unifesp-SP) Uma droga na corrente 
sangüínea é eliminada lentamente pela ação 
dos rins. Admita que, partindo de uma 
quantidade inicial de 𝑄0 miligramas, após 𝑡 
horas a quantidade da droga no sangue fique 
reduzida a 𝑄(𝑡) = 𝑄0 ∙ (0,64)𝑡 miligramas. 
Determine: 
a) a porcentagem da droga que é eliminada 
pelos rins em 1 hora; 
b) o tempo necessário para que a quantidade 
inicial da droga fique reduzida à metade. 
(Utilize 𝑙𝑜𝑔 2 = 0,30.) 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
07. Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔2(𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥 + 2)) = 1. 
𝑆 = {2} 
 
08. (AFA-SP) A raiz da equação 
𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1) −
𝑙𝑜𝑔(𝑥+7)
2
= 𝑙𝑜𝑔 2, é: S={d} 
a) -9 b) -3 c) 3 d) 9 
 
09. (UFU-MG–2010) Existem alguns esportes 
em que a sensação de liberdade e perigo 
convivem lado a lado. Este é o caso do esqui 
na neve. Suponha que um esquiador, ao 
descer uma montanha, seja surpreendido por 
uma avalanche que o soterra totalmente. A 
partir do instante em que ocorreu o 
soterramento, a temperatura de seu corpo 
decresce ao longo do tempo 𝑡 (em horas), 
segundo a função 𝑇(𝑡) dada por: 
𝑇(𝑡) = 3𝑡 +
36
3𝑡 (T em graus Celsius), com 𝑡 ≥
 0. 
Quando a equipe de salvamento o encontra, 
já sem vida, a temperatura de seu corpo é de 
12 graus Celsius. De acordo com as condições 
dadas, pode-se afirmar que ele ficou 
soterrado por, aproximadamente, 
(Considere, se precisar, 𝑙𝑜𝑔3 2 = 0,6.) 
a) 2h e 36 minutos. 
b) 36 minutos. 
c) 1h e 36 minutos. 
d) 3h e 36 minutos. S= {c} 
 
 Resolver as questões 12 a 17, da parte 
de Exercícios Propostos. 
 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
É toda desigualdade em que a variável 
aparece no logaritmando ou na base do 
logaritmo. 
Ao resolvermos uma inequação logarítmica, 
devemos levar em consideração as condições 
de existência dos logaritmos envolvidos. 
Portanto, a solução consiste na interseção dos 
intervalos obtidos da condição de existência 
dos logaritmos e da inequação logarítmica. 
Assim como nas equações, as inequações 
logarítmicas também podem se apresentar 
em três tipos principais: 
 
1º tipo: desigualdade entre um logaritmo e 
um número real. Para resolver, devemos 
observar a base. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) > 𝑘 ⇒ {
𝑓(𝑥) > 𝑎𝑘 , 𝑠𝑒 𝑎 > 1
𝑓(𝑥) < 𝑎𝑘 , 𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1
 ou 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑘 ⇒ {
𝑓(𝑥) > 𝑎𝑘 , 𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1
𝑓(𝑥) < 𝑎𝑘, 𝑠𝑒 𝑎 > 1
 
 
Exemplos: 
a) Resolver 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 2) < 3, em ℝ. 
Solução: Como 𝑎 > 1, conservamos o sinal da 
desigualdade: 
𝑥 + 2 < 23 ⇒ 𝑥 + 2 < 8 ⇒ 𝑥 < 6 ( I ) 
 
C.E: 𝑥 + 2 > 0 ⇒ 𝑥 > −2 ( II ) 
 
 
 
 
6 
 
A solução da inequação é dada pela 
intersecção dos intervalos ( I ) e ( II ). Logo, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 < 𝑥 < 6}. 
 
b) Resolver 𝑙𝑜𝑔1
5
𝑥 < 3, em ℝ. 
 
Solução: Como 0 < 𝑎 < 1, invertemos o sinal 
de desigualdade: 
𝑥 > (
1
5
)
3
⇒ 𝑥 >
1
125
 ( I ) 
 
C.E: 𝑥 > 0 ( II ). 
 
A solução da inequação é dada pela 
intersecção dos intervalos ( I ) e ( II ). Logo, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 >
1
125
}. 
 
2º tipo: desigualdade entre dois logaritmos 
de mesma base. Para resolver, devemos 
observar as bases. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) 
 
{
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) > 0, 𝑠𝑒 𝑎 > 1
0 < 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), 𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1
 
 
Exemplos: 
a) Resolver 𝑙𝑜𝑔7(𝑥 − 2) ≤ 𝑙𝑜𝑔7 5, em ℝ. 
 
Solução: Como a>1, conservamos o sinal da 
desigualdade: 
𝑥 − 2 ≤ 5 ⇒ 𝑥 ≤ 7 ( I ) 
 
C.E: 𝑥 − 2 > 0 ⇒ 𝑥 > 2 ( II ) 
A solução da inequação é dada pela 
intersecção dos intervalos ( I ) e ( I I). Logo, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 < 𝑥 < 6}. 
b) Resolver 𝑙𝑜𝑔1
6
(2𝑥 − 8) > 𝑙𝑜𝑔1
6
𝑥, em ℝ. 
Solução: Como 0 < 𝑎 < 1, invertemos o sinal 
de desigualdade: 
2𝑥 − 8 < 𝑥 ⇒ 𝑥 − 8 < 0 ⇒ 𝑥 < 8 ( I ) 
 
C.E: {
2𝑥 − 8 > 0 ⇒ 2𝑥 > 8 ⇒ 𝑥 > 4 ( II )
𝑥 > 0 ( III)
 
 
A solução da inequação é dada pela 
intersecção dos intervalos ( I ), ( II ) e ( III ). 
Logo, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 4 < 𝑥 < 8}. 
 
3º tipo: aquelas em que aplicaremos algumas 
propriedades de logaritmo, mudança de base 
ou mudança de variável para sua resolução. 
 
Exemplos: 
a) Resolver log2 7 + log1
2
(𝑥 + 1) ≥ −3, em ℝ. 
 
Solução: log2 7 + log1
2
(𝑥 + 1) ≥ −3 
log2 7 + log2−1(𝑥 + 1) ≥ −3 
log2 7 − log2(𝑥 + 1) ≥ −3 
𝑙𝑜𝑔2 (
7
𝑥 + 1
) ≥ −3 
Como 𝑎 > 1, conservamos o sinal da 
desigualdade: 
7
𝑥 + 1
≥ 2−3 ⇒
7
𝑥 + 1
≥
1
8
⇒ 56 ≥ 𝑥 + 1 
𝑥 − 55 ≤ 0 ⇒ 𝑥 ≤ 55 ( I ) 
 
C.E: 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 > −1 ( II ). 
A solução da inequação é dada pela 
intersecção dos intervalos ( I ) e ( II ). Logo, 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 ≤ 55}. 
 
b) Resolver 𝑙𝑜𝑔2𝑥 − 3𝑙𝑜𝑔𝑥 + 2 < 0, em ℝ. 
 
Solução: Vamos fazer uma mudança de 
variável e em seguida resolver a inequação do 
2º grau. 
Fazendo 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑡, temos 
𝑡² − 3𝑡 + 2 < 0, 𝑎 = 1, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = 2 
∆= (−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 9 − 8 = 1 
𝑡 =
3±1
2
⇒ 𝑡′ = 2 𝑜𝑢 𝑡′′ = 1. 
Estudando o sinal desta função do 2º grau, 
temos que a solução da inequação do 2º grau 
é 1 < 𝑡 < 2. 
Daí, para 𝑡 < 2, temos 
 
 
 
7 
 
𝑙𝑜𝑔𝑥 < 2 ⇒ 𝑥 < 10² ⇒ 𝑥 < 100 
Para 𝑡 > 1 ⇒ 𝑙𝑜𝑔𝑥 > 1 ⇒ 𝑥 > 101 ⇒ 𝑥 > 10 
 
C.E: 𝑥 > 0. Logo, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 10 < 𝑥 < 100}. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
16. (Fuvest-SP) O conjunto dos números reais 
𝑥 que satisfazem a inequação 
𝑙𝑜𝑔2(2𝑥 + 5) − 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 1) > 1 
é o intervalo: 
a) ]−∞, −
5
2
[ c) ]−
5
2
, 0[ e) ]0,
1
3
[ 
b) ]
7
4
, +∞[ d) ]
1
3
,
7
4
[ 
 
17. (UFOP-MG) Resolva a inequação 
𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 2) < 1. 
 
18. (UPF-RS) As populações de duas cidades M 
e N, são dadas em milhares de habitantes 
pelas funções: 
𝑀(𝑡) = log8(1 + 𝑡)6 e 𝑁(𝑡) = log2(4𝑡 + 4) 
onde a variável 𝑡 representa o tempo em 
anos. Após certo instante 𝑡, a população de 
uma dessas cidades é sempre maior do que a 
outra. Determine o valor mínimo desse 
instante. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
10. (Mack) Os valores de 𝑥 para os quais 
𝑙𝑜𝑔5 (𝑥² −
3
2
𝑥) < 0 são: 
 
𝑆 = {−
1
2
< 𝑥 < 0 𝑜𝑢 
3
2
< 𝑥 < 2} 
11. Determine o conjunto de todos os 
números inteiros que satisfazem a inequação 
𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 + 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 − 2) > −3. S= {3} 
 
 Resolver as questões 18 a 23, da parte 
de Exercícios Propostos. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICADefinição: Chama-se função logarítmica toda 
função f, de domínio ℝ+
∗ e contradomínio ℝ, 
que associa a cada número real positivo x o 
logaritmo 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, sendo a um número real 
positivo e diferente de 1. 
 
𝑓: ℝ+
∗ → ℝ | 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, 𝑐𝑜𝑚 0 < 𝑎 ≠ 1 
 
Exemplos: 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5𝑥 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔0,4𝑥 
 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 
 
GRÁFICOS 
Quanto ao gráfico da função logarítmica 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, temos dois casos a considerar: 
1º caso: quando 𝑎 > 1; 
2º caso: quando 0 < 𝑎 < 1. 
Vejamos como se comportam os gráficos das 
funções 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 e 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥. 
1º Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥. 
 
2º Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥. 
 
 
 
8 
 
 
 
Observações: 
1. O gráfico da função logarítmica 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 não intercepta o eixo das ordenadas; 
2. O gráfico da função logarítmica 𝑓(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 intercepta o eixo das abscissas no ponto 
(1,0); 
3. Quando 𝑎 > 1 a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 é 
crescente; 
4. Quando 0 < 𝑎 < 1 a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 é 
decrescente; 
5. A função logarítmica é inversa da função 
exponencial; 
6. Os gráficos das funções logarítmica e 
exponencial são simétricos em relação à 
bissetriz dos quadrantes ímpares (reta de 
equação 𝑦 = 𝑥). Como ilustrado nas figuras 
abaixo: 
𝒂 > 𝟏 
 
 
𝟎 < 𝑎 < 1 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
09. Determine o domínio e o conjunto 
imagem das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 5) 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥2 − 5𝑥 + 6) 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑥(𝑥² − 1) 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3
5
√2𝑥 − 1 
 
10. (UFJF-MG) A figura a seguir é um esboço, 
no plano cartesiano, do gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, com alguns pontos destacados. 
Supondo que a abscissa do ponto A é igual a 
9, é incorreto afirmar que: 
 
 
a) A base a é igual a 3. 
b) A abscissa de C é igual a 1. 
c) 𝑓(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ (0, 1). 
d) A abscissa de B é igual a 2. 
e) 𝑓(𝑥) é crescente. 
 
11. (UFG) Suponha que o total de sapatos 
produzidos por uma pequena indústria é 
 
 
 
9 
 
dado, aproximadamente, pela função 𝑆(𝑡) =
1000 ∙ 𝑙𝑜𝑔2(1 + 𝑡), em que t é o número de 
anos e S o número de sapatos produzidos, 
contados a partir do início de atividade da 
indústria. Determine: 
a) o número de sapatos produzidos no 
primeiro ano de atividades da indústria; 
b) o tempo necessário para que a produção 
total seja o triplo da produção do primeiro 
ano. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
04. Estabeleça o domínio de cada função: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 1) 𝑆 = {𝑥 > −1} 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑥(2 − 𝑥) 𝑆 = {0 < 𝑥 < 2, 𝑒 𝑥 ≠ 1} 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑥(4 − 𝑥²) 𝑆 = {0 < 𝑥 < 2, 𝑒 𝑥 ≠
1} 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (
𝑥+1
𝑥−1
) 𝑆 = {𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1} 
 
05. Qual é o domínio de 
 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 2) + 𝑙𝑜𝑔(𝑥² − 1)? 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 < 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1} 
06. (Vunesp-SP) Numa plantação de certa 
espécie de árvore, as medidas aproximadas 
da altura e do diâmetro do tronco, desde o 
instante em que as árvores são plantadas até 
completarem 10 anos, são dadas, 
respectivamente, pelas funções: 
altura: 𝐻(𝑡) = 1 + (0,8) ∙ 𝑙𝑜𝑔2(𝑡 + 1) 
diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) ∙ 2
𝑡
7 
com 𝐻(𝑡) e 𝐷(𝑡) em metros e 𝑡 em anos. 
a) Determine as medidas aproximadas da 
altura, em metros, e do diâmetro do tronco, 
em centímetros, das árvores no momento em 
que são plantadas. 
b) A altura de uma árvore é 3,4 𝑚. Determine 
o diâmetro aproximado do tronco dessa 
árvore, em centímetros. 
 
S= {a) 10 cm, b) 20 cm} 
 
 Resolver as questões 24 a 29, da parte 
de Exercícios Propostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
10 
 
01. Utilize a definição para calcular os 
seguintes logaritmos: 
a) 𝑙𝑜𝑔2
1
8
 e) 𝑙𝑜𝑔
√73 49 
b) 𝑙𝑜𝑔8 4 f) 𝑙𝑜𝑔1
9
√27 
c) 𝑙𝑜𝑔0,25 32 g) 𝑙𝑜𝑔
√5
3 √5
4
 
d) 𝑙𝑜𝑔25 0,008 h) 𝑙𝑜𝑔 1
√3
√27 
 
02. Calcule a soma S nos seguintes casos: 
a) 𝑆 = 𝑙𝑜𝑔2 8 + 𝑙𝑜𝑔3
1
9
+ 𝑙𝑜𝑔5 √5 
b) 𝑆 = 𝑙𝑜𝑔100 0,1 + 𝑙𝑜𝑔25 √5
3
− 𝑙𝑜𝑔√2 2 
c) 𝑆 = 𝑙𝑜𝑔3
5
0,6 − 𝑙𝑜𝑔√10 0,001 + 𝑙𝑜𝑔1
8
√2 
 
03. (IME-RJ) Calcule o logaritmo de 625 na 
base 5√5
3
. 
 
04. O valor de 𝑙𝑜𝑔4 (
2
𝑙𝑜𝑔16 4
) é: 
 
a) 4 b) 
1
2
 c) 10 d) 1 e) 16 
 
05. Determine o valor de 𝑥 na equação 𝑦 =
2𝑙𝑜𝑔3(𝑥+4) para que 𝑦 seja igual a 8. 
 
06. Determine o valor de 𝐴 tal que 
4𝑙𝑜𝑔2 𝐴 + 2𝐴 − 2 = 0. 
 
07. Considerando 𝑙𝑜𝑔 2 = 0,30 e 𝑙𝑜𝑔 3 = 0,47 
determine: 
a) 𝑙𝑜𝑔 8 f) 𝑙𝑜𝑔 20 
b) 𝑙𝑜𝑔 12 g) 𝑙𝑜𝑔 5 
c) 𝑙𝑜𝑔 72 h) 𝑙𝑜𝑔 √1,24
 
d) 𝑙𝑜𝑔 √2 i) 𝑙𝑜𝑔 0,0001 
e) 𝑙𝑜𝑔 √108 j) 𝑙𝑜𝑔(0,54)0,5 
 
08. (EEM-SP) Sendo 𝑙𝑜𝑔 3 = 𝑎, calcule 
𝑙𝑜𝑔 18 + 𝑙𝑜𝑔
3
20
. 
 
09. Considerando 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 1, determine 
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎 ∙ 𝑏). 
 
10. (Unifor-CE–2009) Em 1987, uma indústria 
farmacêutica iniciou a fabricação de 
certo tipo de medicamento e, desde 
então, sua produção tem crescido à taxa 
de 8% ao ano. Assim, em que ano a 
produção de tal medicamento 
quadruplicou a quantidade fabricada em 
1987? (São dadas as aproximações: 
𝑙𝑜𝑔 2 = 0,30 e 𝑙𝑜𝑔 3 = 0,48) 
a) 2002 c) 2004 e) 2006 
b) 2003 d) 2005 
 
11. (UFES) Um pesquisador constata que, em 
um dado instante, existem 400 
tartarugas da espécie A e 200 tartarugas 
da espécie B em uma reserva marinha. 
Nessa reserva, a população de tartarugas 
da espécie A diminui a uma taxa de 20% 
a.a., enquanto a população da espécie B 
aumenta a uma taxa de 10% a.a. 
Determine, usando duas casas decimais, 
quanto tempo é necessário, a partir 
desse instante, para que as populações 
sejam iguais. (Considere: 𝑙𝑜𝑔 11 = 1,04 e 
𝑙𝑜𝑔 2 = 0,30.) 
 
12. (FGV-SP) A equação 𝑙𝑜𝑔𝑥(2𝑥 + 3) = 2 
apresenta o seguinte conjunto solução: 
a) {−1,3} c) {3} e) 𝑁. 𝑑. 𝑎 
b) {−1} d) {1, 3} 
 
13. Determine o conjunto solução das 
seguintes equações logarítmicas: 
a) 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 = 3 
b) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔4(𝑥 + 1) =
9
2
 
c) 𝑙𝑜𝑔2(5𝑥² − 14𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔2(4𝑥² − 4𝑥 − 20) 
d) 𝑙𝑜𝑔1
3
(2𝑥² − 9𝑥 + 4) = −2 
e) 𝑙𝑜𝑔 𝑥 ∙ [𝑙𝑜𝑔(𝑥) − 1 = 12] 
f) 𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 − 2) − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 1) = 2 
 
14. Para que valor real de 𝑥 temos 
𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 + 5) + 𝑙𝑜𝑔1
3
(𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1)? 
 
 
 
11 
 
 
15. (ENEM-2016) Uma liga metálica sai do 
forno a uma temperatura de 3000℃ e 
diminui 1% de sua temperatura a cada 30 
min. Determine o tempo decorrido, em 
hora, até que a liga atinja 30℃. Use 
0,477 como aproximação para 𝑙𝑜𝑔 3 e 
1,041 como aproximação para 𝑙𝑜𝑔 11. 
 
16. (ENEM-2019) Charles Richter e Beno 
Gutenberg desenvolveram a escala 
Richter, que mede a magnitude de um 
terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 
10, com possibilidades de valores 
maiores. O quadro mostra a escala de 
magnitude local (𝑀𝑠), de um terremoto, 
que é utilizada para descrevê-lo. 
 
Para se calcular a magnitude local, 
usa-se a fórmula 
𝑀𝑠 = 3,30 + 𝑙𝑜𝑔(𝐴 ∙ 𝑓), 
em que 𝐴 representa a amplitude 
máxima da onda registrada por um 
sismógrafo em micrômetro (𝜇𝑚) e 𝑓 
representa a frequência da onda,em 
hertz (𝐻𝑧). Ocorreu um terremoto com 
amplitude máxima de 2000 𝜇𝑚 e 
frequência de 0,2 𝐻𝑧 (utilize 0,3 como 
aproximação para 𝑙𝑜𝑔 2). 
De acordo com os dados fornecidos, o 
terremoto ocorrido pode ser descrito 
como: 
a) Pequeno c) Moderado e) Extremo 
b) Ligeiro d) Grande 
 
17. (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de 
Newton, a temperatura 𝑇 de um corpo 
colocado num ambiente cuja 
temperatura é 𝑇0 obedeceà seguinte 
relação: 
𝑇 = 𝑇0 + 𝑘 ∙ 𝑒−𝑐𝑡 
Nessa relação, 𝑇 é medida na escala 
Celsius, 𝑡 é o tempo medido em horas, a 
partir do instante em que o corpo foi 
colocado no ambiente, e 𝑘 e 𝑐 são 
constantes a serem determinadas. 
Considere uma xícara contendo café, 
inicialmente a 100℃, colocada numa sala 
de temperatura 20℃. Vinte minutos 
depois, a temperatura do café passa a ser 
de 40℃. 
a) Calcule a temperatura do café 50 
minutos após a xícara ter sido colocada 
na sala. 
b) Considerando 𝑙𝑛 2 = 0,7 e 𝑙𝑛 3 = 1,1, 
estabeleça o tempo aproximado em que, 
depois de a xícara ter sido colocada na 
sala, a temperatura do café se reduziu à 
metade. 
 
18. Determine o conjunto solução das 
seguintes inequações: 
a) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥² + 𝑥 − 2) ≤ 2 
b) 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥² − 1) > 𝑙𝑜𝑔1
2
(3𝑥 + 9) 
c) 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥² + 4𝑥 − 5) > −4 
d) 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) < 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 + 6) 
 
19. (Mauá-SP) Resolva a inequação 
𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 − 1) − 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 + 1) < 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 − 2) + 1. 
 
20. (Osec-SP) A solução da inequação 
𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 + 1) > 𝑙𝑜𝑔3(𝑥² − 2) é: 
a) ℝ c) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 3} 
b) ∅ d) {𝑥 ∈ ℝ | √2 < 𝑥 < 3} 
 
21. (UENF-RJ) Um grupo de 20 ovelhas é 
libertado para reprodução numa área de 
preservação ambiental. Submetidas a um 
tratamento especial, o número 𝑁 de 
 
 
 
12 
 
ovelhas existentes após 𝑡 anos pode ser 
estimado pela seguinte fórmula: 
𝑁 =
220
1 + 10 ∙ (0,81)𝑡
 
Admita que a população de ovelhas seja 
capaz de se manter estável, sem esse 
tratamento especial, depois de atingido 
o número de 88 ovelhas. 
a) Calcule o número de ovelhas existentes 
após 6 meses. 
b) Considerando 𝑙𝑛 2 = 0,7, 𝑙𝑛 3 = 1,1 e 𝑙𝑛 5 =
1,6, calcule a partir de quantos anos não 
haverá mais a necessidade de tratamento 
especial do rebanho. 
 
22. (Unicamp-SP) Um capital de 𝑅$ 12 000,00 
é aplicado a uma taxa anual de 8%, com 
juros capitalizados anualmente. 
Considerando que não foram feitas novas 
aplicações ou retiradas, encontre: 
a) o capital acumulado após 2 anos; 
b) o número inteiro mínimo de anos 
necessários para que o capital acumulado 
seja maior que o dobro do capital inicial. (Se 
necessário, use 𝑙𝑜𝑔 2 = 0,301 e 𝑙𝑜𝑔 3 =
0,477.) 
 
23. (FGV-SP) O anúncio de certo produto 
aparece diariamente num certo horário 
na televisão. Após 𝑡 dias do início da 
exposição (𝑡 exposições diárias), o 
número de pessoas (𝑦) que ficam 
conhecendo o produto é dado por 
𝑦 = 3 − 3 ∙ (0,95)𝑡 , 
em que 𝑦 é dado em milhões de pessoas. 
Para que valores de 𝑡 teremos pelo 
menos 1,2 milhão de pessoas conhecendo 
o produto? 
 
24. Determine o domínio de validade das 
seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥−2) 𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥−9)(𝑥² − 16) 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥+1)(2 − 𝑥) 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥−1)(−𝑥² + 4𝑥 − 3) 
 
25. (Fuvest-SP) A figura abaixo mostra o 
gráfico da função logaritmo na base b. O 
valor de b é: 
 
a) 
1
4
 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 
 
26. (UFSM-RS) O domínio da função 
𝑓(𝑥) = √
𝑥−1
𝑥+1
+ log(𝑥² − 5𝑥 + 6), em ℝ é o 
subconjunto: 
a) ]−∞, −1[ ∪ [1,2[ ∪ ]3, +∞[ 
b) ]−∞, +∞[ 
c) ]−∞, 1] ∪ [2, +∞[ 
d) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1} 
e) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
 
27. (UFMA) A função 𝑓(𝑥) =
2𝑥
√𝑙𝑜𝑔3(2𝑥−5)
 possui 
como domínio, em ℝ, o intervalo: 
a) ]−3, +∞[ c) ]3, +∞[ e) ]−2, +∞[ 
b) ]
5
2
, +∞[ d) ]−
7
2
, +∞[ 
 
28. (ENEM-2013) Em setembro de 1987, 
Goiânia foi palco do maior acidente 
radioativo ocorrido no Brasil, quando 
uma amostra de césio-137, removida de 
um aparelho de radioterapia 
abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da 
população. A meia-vida de um material 
radioativo é o tempo necessário para que 
a massa desse material se reduza à 
metade. A meia-vida do césio-137 é 30 
 
 
 
13 
 
anos e a quantidade restante de massa de 
um material radioativo, após t anos, é 
calculada pela expressão 
𝑀(𝑡) = 𝐴 ∙ (2,7)𝑘𝑡, 
onde 𝐴 é a massa inicial e 𝑘 é uma 
constante negativa. 
Qual o tempo necessário, em anos, para 
que uma quantidade de massa do césio-
137 se reduza a 10% da quantidade 
inicial? (Considere 0,3 como aproximação 
para 𝑙𝑜𝑔 2.) 
a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 
 
29. (ENEM-2018) Com o avanço em ciência da 
computação, estamos próximos do 
momento em que o número de 
transistores no processador de um 
computador pessoal será da mesma 
ordem de grandeza que o número de 
neurônios em um cérebro humano, que é 
da ordem de 100 bilhões. Uma das 
grandezas determinantes para o 
desempenho de um processador é a 
densidade de transistores, que é o 
número de transistores por centímetro 
quadrado. Em 1986, uma empresa 
fabricava um processador contendo 
100.000 transistores distribuídos em 
0,25 𝑐𝑚² de área. Desde então, o número 
de transistores por centímetro quadrado 
que se pode colocar em um processador 
dobra a cada dois anos (Lei de Moore). 
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá 
a densidade de 100 bilhões de 
transistores? (Considere 0,30 como 
aproximação para 𝑙𝑜𝑔 2.) 
a) 1999 c) 2022 e) 2146 
b)2002 d) 2026 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
O1. a) −3 b) 
2
3
 c) −
5
2
 d) −
3
2
 
 e) 6 f) −
3
4
 g) 
3
4
 h) −3 
 
02. a) 
3
2
 b) −
7
3
 c) 
41
6
 
03. 3 
04. d 
05. 23 
06. 𝐴 = √3 − 1 
07. a) 0,9 b) 1,07 c) 1,84 d) 0,15 
 e) 1,005 f) 1,3 g) 0,7 h) 0,0175 
 i) -4 j) -0,145 
08. 3𝑎 − 1 
09. 2 
10. a 
11. 2 anos, 1 mês e 21 dias 
12. c 
13. a) 𝑆 = {9} b) 𝑆 = {7} 
c) 𝑆 = {3, 7} d) 𝑆 = {−
1
2
, 5} 
e) 𝑆 = {10−3, 104} f) 𝑆 = {2} 
14. 𝑆 = {2} 
15. 𝑡 = 200 
16. c 
17. a) 22,5℃ b) 𝑡 ≈ 15 𝑚𝑖𝑛 
18. a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 < 𝑥 < 2 𝑒 𝑥 ≠ 1} 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 < 5 𝑒 𝑥 ≠ −2, 𝑥 ≠ ±1} 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 7 < 𝑥 < −5 𝑜𝑢 1 < 𝑥 < 3} 
d) S= {𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 3} 
19. 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 2 < 𝑥 < 3} 
20. d 
21. a) N= 22 ovelhas b) 𝑡 ≥ 9,5 anos 
22. a) 13 996,80 b) 10 anos 
23. 𝑡 > 11 dias 
24. a) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 2 𝑒 𝑥 ≠ 3} 
b) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 9 𝑒 𝑥 ≠ 10} 
c) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 < 2 𝑒 𝑥 ≠ 0} 
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 < 𝑥 < 3 𝑒 𝑥 ≠ 2} 
25. d 
 
 
 
14 
 
26. a 
27. c 
28. c 
29. c 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
FILHO, Benigno Barreto; DA SILVA, Cláudio 
Xavier. Matemática aula por aula. Volume 
Único. Editora FTD, 2005. 
 
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática 
Temas e Metas. Conjuntos Numéricos e 
Funções. Vol 1. 2ª Ed. Atual Editora, São 
Paulo, 1988. 
 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José 
Roberto. Matemática: uma nova abordagem. 
Vol 1. São Paulo: FTD, 2000. 
 
Caderno de Atividades. Matemática, módulo 
2. Editora FTD. 
 
Matemática. Volume 6. Editora Bernoulli. 
 
Listas do Enem por assunto. Portal 
Professores de Matemática. Disponível em: < 
http://www.professoresdematematica.com.br/lista-
enem-matematica.html>. Acesso em: 14 de Maio 
de 2020 às 00:08. 
 
http://www.professoresdematematica.com.br/lista-enem-matematica.html
http://www.professoresdematematica.com.br/lista-enem-matematica.html