Matemática em Contexto Trigonometria e Sistemas Lineares (59)

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14.	Durante um treinamento, dois atletas partem de uma 
mesma cidade em direção reta: um em sentido leste 
e o outro em sentido norte. Determine a medida de 
distância entre eles depois de 2 horas sabendo que 
correm com medida de velocidade constante de
20 km/h e 25 km/h, respectivamente.
	15.	(Enem) A unidade de medida utilizada para anunciar o 
tamanho das telas de televisores no Brasil é a polega-
da, que corresponde a 2,54 cm. [...] Dizer que a tela de 
uma TV tem x polegadas significa que a diagonal do 
retângulo que representa sua tela mede x polegadas, 
conforme ilustração.
O administrador de um museu recebeu uma TV con-
vencional de 20 polegadas, que tem como razão do 
comprimento (C ) pela altura (A) a proporção 4 : 3, e 
precisa calcular o comprimento (C ) dessa TV a fim de 
colocá-la em uma estante para exposição.
A tela dessa TV tem medida do comprimento C, em 
centímetro, igual a: Alternativa d.
	a) 12,00. 
	b) 16,00. 
	c) 30,48. 
	d) 40,64. 
	e) 50,80. 
	16.	O hexafluoreto de enxofre é um gás sintético formado 
por 6 átomos de flúor e um átomo de enxofre e é um 
ótimo isolante elétrico. Também é um gás 5 vezes mais 
denso do que o ar e, por isso, ao ser inalado, gera o 
efeito de tornar a voz mais grave (efeito contrário ao 
do gás hélio, que deixa a voz mais fina). A geometria 
molecular dessa substância é octaédrica, com o átomo 
de enxofre localizado no centro da estrutura e ângulos 
de ligação com medida de abertura de 90¡.
Supondo que a medida de 
distância entre o átomo de 
enxofre e qualquer átomo 
de flúor seja de 150 pm, 
qual é a medida de distân-
cia entre quaisquer 2 áto-
mos de flúor que não sejam 
opostos ao átomo de enxo-
fre? Use 2 â 1,41.
O picômetro (pm) é uma unidade de medida de 
comprimento que equivale à bilionésima parte do 
milímetro (1 pm 5 1029 mm 5 10212 m), muito usada 
para medir dimensões atômicas.
Fique atento
10 41 km ou aproximadamente 64 km.
Aproximadamente 211,5 pm.
	17.	(Enem) Para decorar uma mesa de festa infantil, um 
chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro 
medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espe-
tar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do 
melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a esta-
bilidade deste suporte, dificultando que o melão role 
sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio 
r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. 
Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área 
possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá 
cortar a calota do melão numa altura h, em centíme-
tro, igual a: Alternativa c.
	a) 25
91
2
.
	b) 210 91.
	c) 1. 
	d) 4. 
	e) 5. 
	18.	(UFGD-MS) O esquadrejamento ou ato de colocar no 
esquadro, na construção civil, é a verificação das me-
didas dos alicerces, paredes ou de qualquer parte em 
que seja necessário obter um ângulo reto, com o obje-
tivo de garantir a perpendicularidade e o paralelismo 
da obra, evitando uma edificação defeituosa. Muitos 
construtores realizam esse procedimento com o uso 
de marcações e medidas utilizando as relações do tri-
ângulo retângulo, na parte da obra em que se deseja 
verificar o esquadro. 
Considerando isso e que as sequências das medições 
dadas nas alternativas são todas referentes a lados de 
um triângulo, [indique no caderno] a alternativa com 
as medidas que indicam o esquadrejamento correto 
na construção de um alicerce. Alternativa e.
	a) 20 cm, 30 cm e 40 cm.
	b) 20 cm, 40 cm e 50 cm.
	c) 35 cm, 45 cm e 70 cm.
	d) 60 cm, 80 cm e 120 cm.
	e) 90 cm, 120 cm e 150 cm.
	19.	Escolha uma situação real que possa ser representada 
por um triângulo retângulo e elabore um problema que 
possa ser resolvido usando uma ou mais relações métri-
cas estudadas. Em seguida, peça a um colega que o re-
solva enquanto você soluciona o problema que ele criou.
Resposta pessoal.
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Não escreva no livro.
Estrutura idealizada do 
hexafluoreto de enxofre.
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Explorando as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo
Já estudamos como a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados homólogos de triângu-
los semelhantes possibilita a obtenção de medidas de comprimento inacessíveis. 
No exemplo dado com a cesta de basquete, na atividade 5, usamos um modelo de triângulo retângulo 
isósceles feito de papel. Veremos a seguir que é possível usar qualquer triângulo retângulo para determinar 
a altura da cesta sem precisar construir um modelo de papel. Para isso, basta saber a medida de abertura de 
um dos ângulos agudos do triângulo retângulo e, então, usar as razões trigonométricas adequadas.
As razões que você calculou na atividade 2 do Explore para descobrir são razões trigonométricas, que 
definiremos a seguir. 
Formalizando algumas razões trigonométricas 
no triângulo retângulo
Definição de seno, cosseno e tangente usando semelhança 
de triângulos
Considere um ângulo agudo µAOB com µ( )AOBm 5 u (0° < u < 90°). 
A partir dos pontos C, E, G, » da semirreta 
u ruu
OA , traçamos os segmen-
tos de reta CD EF GH, , , », perpendiculares à semirreta 
u ruu
OB .
Pelo caso AA de semelhança de triângulos, temos que os triângulos 
OCD, OEF, OGH, » formados são semelhantes. Então, podemos escrever:
5 5
CD
OC
EF
OE
GH
OG
 5 » (constante)
Essas razões dependem apenas do ângulo (ou seja, não depen-
dem do triângulo retângulo considerado). Elas são chamadas de 
seno do ângulo µAOB, ou seno de u. 
Considere os quatro triângulos retângulos representados ao 
lado.
1. Esses triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.
2. Considere as medidas de comprimento dos lados desses 
triângulos retângulos.
	a) Calcule a medida de comprimento da hipotenusa de 
cada triângulo. 5 m, 2 5 m, 4 5 m e 6 5 m.
	b) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da hipotenusa
 
em cada triângulo.
	c) Calcule a razão 
medida de comprimento da base
medida de comprimento da hipotenusa
 em cada triângulo.
	d) Calcule a razão 
medida de comprimento da altura
medida de comprimento da base
 em cada triângulo.
3. O que você percebeu nas razões que calculou?
2 5
5
 em todos os triângulos.
1
2
 em todos os triângulos.
Exemplo de resposta: Cada razão é igual para 
todos os quatro triângulos dados.
Não escreva no livro.
Quando necessário, 
indique as respostas 
usando raízes 
quadradas.
Fique atento
Explore para descobrir
2 m 2 m
2 m
1 m
4 m 4 m
4 m
6 m
Sim, pois têm um ângulo comum e um ângulo reto; então, pelo caso AA, são semelhantes.
5
5
 em todos os triângulos.
D
C
F
E
H
G
B
A
O
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Para representar a medida de abertura de um 
ângulo, é comum o uso de letras minúsculas 
do alfabeto grego, como u, a, b, etc.
Fique atento
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