Matemática em Contexto Trigonometria e Sistemas Lineares (57)

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Para saber se dois triângulos são semelhantes, não precisamos verificar sempre os 
três pares de ângulos homólogos e os três pares de lados homólogos. Podemos veri-
ficar apenas alguns dos elementos, escolhidos convenientemente, conforme os casos 
de semelhança de triângulos.
1º caso: AA (ângulo, ângulo) 2º caso: LLL (lado, lado, lado)
Se dois triângulos têm dois ângulos homólogos 
respectivamente congruentes, então eles são 
semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados 
homólogos com medidas de comprimento 
proporcionais, então eles são semelhantes.
B C
A
B 8 C 8
A 8
$
µ
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
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
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à 8
A A
B B
 ~ nABC á nA8B8C8
B C
A
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a B8 C8
c8 b8
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A8
8
5
8
5
8
a
a
b
b
c
c
 ~ nABC á nA8B8C8
3º caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Se dois triângulos têm dois lados homólogos com medidas de comprimento proporcionais, e os ângulos 
compreendidos entre esses pares de lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
B C
A
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b
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B8 C8
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

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B B
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c
a
a
 ~ nABC á nA8B8C8
Um pouco da história da Trigonometria 
No estudo da Trigonometria (do grego trigónos 1 métron, que significa “medida 
dos triângulos”), o conceito de proporcionalidade é central e foi um dos conhecimen-
tos geométricos mais úteis ao longo dos séculos. 
Usando semelhança de triângulos, o astrônomo e matemático grego Aristarco de 
Samos (310 a.C.-230 a.C.) comparou as medidas de distância entre a Terra e o Sol e 
entre a Terra e a Lua (veja mais sobre isso na página 25). Com esse mesmo conheci-
mento, matemáticos árabes estabeleceram as razões trigonométricas.
O filósofo, matemático, engenheiro e astrônomo grego Tales de Mileto (624 a.C.- 
-547 a.C.), considerado um dos mais versáteis gênios da Antiguidade, levou para a Gré-
cia os conhecimentos geométricos desenvolvidos pelos egípcios e começou a aplicar a 
eles os procedimentos da Filosofia grega. Com o método de comparar sombras, atual-
mente conhecido como teorema de Tales, realizou muitos cálculos até então inéditos. 
O mais famoso deles foi o método para obter a medida de distâncias inacessíveis. 
Uma das aplicações mais conhecidas do método que Tales desenvolveu é a deter-
minação da medida de comprimento da altura de uma pirâmide pela sombra que ela 
projeta no solo. 
Fontes de consulta: BOYER, Carl C. História da Matemática. São Paulo: 
Blucher, 2012. ROSA, Carlos Augusto de Proença. História da ciência: 
da Antiguidade ao Renascimento científico. 2. ed. Brasília-DF: Funag, 2012.
Você já estudou 
os casos de 
semelhança de 
triângulos no Ensino 
Fundamental. 
Relembre-os 
e pesquise a 
demonstração de 
cada um deles.
Fique atento
As demonstrações dos 
casos de semelhança 
encontram-se nas 
Orientações específicas 
deste Manual. 
Busto de Tales de 
Mileto no museu 
Nacional Romano 
(Itália).
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	 1.	Junte-se a três colegas e pesquisem o método que Ta-
les utilizou, de acordo com o historiador e filósofo gre-
go Plutarco (c. séc. I), para calcular a medida de compri-
mento da altura de uma pirâmide utilizando a sombra 
que ela projeta. 
	 2.	Considere os triângulos isósceles ABC e DEF, de bases 
BC EFe , tal que $ $
àB E. Com um colega, verifiquem 
que esses triângulos são semelhantes.
	 3.	A figura ao lado 
mostra um qua-
drado PQSR ins-
crito em um triân-
gulo ABC. Sendo 
BC5 24 cm e a al-
tura relativa a essa 
base com medida 
de comprimento 
de 16 cm, calcule 
a medida de comprimento do lado desse quadrado.
	 4.	Retome as situações 1 e 2 da página 12.
	a) Na situação 1, as regiões planas são limitadas por 
triângulos. Observe as respostas que você deu ao 
item b e responda: Os triângulos que determinam 
uma região triangular preta e uma região triangular 
pequena branca são semelhantes? Se sim, qual é a 
razão de semelhança deles, nessa ordem?
	b) E os triângulos que determinam uma região trian-
gular preta e uma região triangular grande branca 
são semelhantes? Se sim, qual é a razão de seme-
lhança deles, nessa ordem?
	c) Na situação 2, a tesoura do telhado tem o formato 
de triângulo. Quais seriam as medidas das dimen-
sões do desenho no croqui, em centímetros, se a ra-
zão de semelhança com as medidas reais fosse 
3
50
?
	 5.	A semelhança de triângulos pode ser usada para deter-
minar medidas de comprimento inacessíveis, como a da 
altura em que se encontra uma cesta de basquete oficial, 
em relação ao piso da quadra. 
Observe o esboço 
da situação e, con-
siderando o uso 
de um modelo de 
triângulo retângulo 
isósceles DGF, fei-
to de papel, com 
o lado DG paralelo 
ao chão, determine 
a medida de com-
primento da altura 
dessa cesta.
A resposta encontra-se nas Orientações 
específicas deste Manual.
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
x 5 9,6 cm
Sim. k 5 1 (ou seja, são também congruentes).
Sim. k 5
1
3
.
4. c) 36 cm de medida de comprimento 
da largura e 4,5 cm de medida de 
comprimento da altura.
305 cm ou 3,05 m.
	 6.	Considerando o 
método usado na 
atividade anterior, 
usando um modelo 
de triângulo retân-
gulo isósceles de 
papel, determine a 
medida de compri-
mento da altura do 
mastro da bandeira 
do esboço ao lado. 
480 cm ou 4,8 m.
Atividades
4. Professor, amplie a proposta desta atividade e pergunte aos estudantes qual é a 
razão de semelhança dos triângulos que determinam uma região triangular grande 
branca e uma região triangular preta. Nessa ordem, a razão é k 5 3.
7. Professor, para realizar esta atividade, os estudantes precisam sair da sala de aula. Organize o melhor momento e espaço da 
escola para essa experimentação.
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16 2 x
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130 cm
175 cm
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300 cm
180 cm
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
0,3 m
1,2 m
4 m
	 7.	Junte-se a três colegas para realizar esta atividade.
	a) Usem o método da atividade 5 e determinem as 
medidas de comprimento de algumas alturas (casa, 
edifício, poste, árvore, etc.). Organizem em uma ta-
bela o nome do objeto, as medidas obtidas experi-
mentalmente e a medida calculada. 
	b) Agora, escolham um dos objetos e elaborem um 
problema para que outro grupo calcule a medida de 
comprimento da altura do objeto. Fiquem atentos 
a todos os dados que vocês precisam informar no 
enunciado e, se julgarem necessário, façam no ca-
derno um esboço da situação. Resposta pessoal.
	 8.	A medida de comprimento da altura de uma árvore é de 
10 m, a medida de distância entre ela e o observador é 
de 50 m, e a medida de distância entre a árvore e uma 
torre é de 70 m. Considerando que o olho do observa-
dor, o topo da árvore e o topo da torre estão alinhados, 
qual é a medida de comprimento da altura da torre?
70 m
10 m
50 mO A
M
9.	Outra maneira de calcular medidas de comprimento 
inacessíveis é usando a sombra de objetos, pois, como 
os raios solares incidem paralelamente entre si, eles 
geram sombras com medidas de comprimento propor-
cionais às dos objetos.
Por exemplo, 
veja nas imagens 
uma vareta finca-
da no chão e as 
sombras geradas 
pelos raios sola-
res na vareta e 
no prédio e cal-
cule a medida de 
comprimento da 
altura do prédio. 
16m
Respostas pessoais.
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Não escreva no livro.
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