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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA E ESTUDO DA RETA 
Prof. Wellington Nishio 
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA 
A geometria Elementar, também chamada Geometria 
Euclidiana, fundamenta-se em três conceitos primitivos 
(entes matemáticos), ou seja, conceitos não definidos. 
As proposições primitivas(conceitos primitivos) são 
afirmações aceitas como verdadeiras sem 
demonstrações. 
As proposições primitivas são também chamadas de 
axiomas que na geometria recebem o nome de 
postulados. 
Com isso em mente, veremos os postulados de ponto, 
reta e plano. 
 
Esses postulados formarão a nossa base para o estudo 
da Geometria Plana. 
 
Notação de ponto, reta e plano 
Representações e notações: 
Ponto – letras maiúscula latinas: A, B, C,... 
Reta – letras minúscula latinas: a, b, c, ... 
Plano – letras gregas minúscula: β, θ, γ, ... 
 
Notações gráficas 
 
 
Existência 
- Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. 
- Num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos e 
infinitas retas. 
- Por um ponto passam infinitas retas. 
- Se dois pontos distintos pertencem a um plano a reta 
que passa por esses pontos pertence ao plano. 
- Uma reta que tem um só ponto comum com o plano 
ela "fura" o plano. Uma reta que tem pelo menos dois 
pontos comuns ao plano está contida no plano. 
 
Observação 
A expressão “infinitos pontos” e “infinitas retas” tem o 
significado de “tantos pontos quanto quisermos” e 
“tantas retas quanto quisermos”. 
 
Posição de dois pontos e de ponto e reta: 
 
Dados dois pontos A e B, de duas uma: 
- ou A e B são coincidentes (é o mesmo ponto, um 
ponto só, com dois nomes: A e B) 
 
- ou A e B são distintos. 
 
 
Dados um ponto P e uma reta r, de duas uma: 
- ou o ponto P está na reta r (a reta r passa por P) – P 
 r 
 
- ou o ponto P não está na reta r (a reta r não passa por 
P) – P  r 
 
A figura abaixo indica uma reta r e os pontos A, B, P, R, 
S e M, sendo que: 
 
- A, B, e P estão em r ou a reta r passa por A, B, P, ou 
ainda A, B, P pertencem () à reta r. 
 - R, S, M não estão em r ou r não passa por R, S e M, 
ou ainda R, S, M não pertencem () à reta r. 
 
Determinação da reta 
Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e 
uma só) reta que passa por eles. 
Os pontos A e B distintos determinam a reta indicamos 
por 
 
Pontos colineares 
São pontos que pertencem a uma mesma reta. 
 
 
Posições relativas entre duas retas 
 
Paralelas: duas retas distintas no mesmo plano que 
não possuem pontos em comum. 
 
Coincidentes: se r e s são a mesma reta, dizemos que 
elas são coincidentes. Essas retas coincidentes 
possuem, no mínimo 2 pontos em comum. Pois, se 
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tiverem 2 pontos em comum, todos os outros serão 
comuns também. 
 
Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se, 
e somente se, eles têm um único ponto comum. 
 
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que 
formam ângulos de 90º graus. Usamos a notação a ⊥ b 
para indicar que as retas a e b são perpendiculares. 
 
 
 
Determinação do plano 
Três pontos não colineares determinam um único plano 
que passa por eles. 
Os pontos A, B e C não colineares determinam um 
plano  que indicamos por (A, B, C). 
O plano  é único plano que passar por A, B e C. 
Plano sempre dará a ideia de infinito, ou seja, sem início 
e sem final. 
 
Observação: Outras formas de obtenção de um 
plano 
- Duas retas paralelas distintas. 
- Duas retas concorrentes. 
- Uma reta e um ponto fora da reta. 
 
Relação de Inclusão 
- Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, 
então a reta está contida() nesse mesmo plano. 
 
Dados dois pontos distintos A e B de um plano, a reta r 
tem todos os pontos no plano. 
 
Observação: 
- Pontos coplanares são pontos que pertencem ao 
mesmo plano; 
- Retas coplanares são retas que estão contidas no 
mesmo plano; 
- Figura é qualquer conjunto de pontos. 
- Figura plana é uma figura que tem todos os seus 
pontos num mesmo plano 
- A Geometria Plana estuda as figuras planas. 
 
Posições relativas entre reta e plano 
 
Reta Contida no Plano: todos os pontos da reta 
pertencem ao plano. 
 
Reta Secante ao Plano: a reta o plano possuem apenas 
um ponto em comum. 
 
Reta paralela ao Plano: a reta e o plano não possuem 
ponto em comum. 
 
 
Posições relativas entre dois planos 
 
Planos Secantes: são planos distintos que se 
interceptam e possuem infinitos pontos em comum. 
 
Planos Paralelos: são planos que não se interceptam, 
portanto não possuem pontos em comum. 
 
Planos Coincidentes: são planos idênticos, ou seja, 
formado pela mesma reunião de pontos. Com isso, 
possuem infinitos pontos em comum. 
 
 
 
ESTUDO DA RETA NA GEOMETRIA PLANA 
 
Determinação da reta 
Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma 
só) reta que passa por eles. 
Os pontos A e B distintos determinam a reta indicamos 
por 
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Semirreta 
Uma semirreta pode ser compreendida como um 
“pedaço de reta” que tem um início(origem), mas não tem 
extremidade(é algo infinito). 
 
Semirreta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ com origem no ponto A e passa pelo ponto 
B. 
Segmento de reta 
Segmento de reta dá a ideia de um “pedaço de reta” que 
tem início e final. 
 
Segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de extremidades A e B (segmento 
de reta tem origem e tem extremidade). 
 
Segmentos consecutivos 
Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente 
se, uma extremidade de um deles é também extremidade 
do outro (uma extremidade de um coincide com uma 
extremidade do outro). 
 
Segmentos colineares 
Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, 
estão numa mesma reta. 
 
Segmentos adjacentes 
Dois segmentos consecutivos e colineares são 
adjacentes se, e somente se, possuem em comum 
apenas uma extremidade (não tem pontos internos 
comuns). 
 
 
Congruência de segmentos 
A congruência (símbolo: ≡) de segmentos é uma noção 
primitiva que satisfaz os seguintes postulados: 
a) Reflexiva: Todo segmento é congruente a si mesmo. 
b) Simétrica: Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , então 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
c) Transitiva: Se 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≡ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , então 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ . 
 
Adição de segmentos 
Dados dois segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , tornando-se uma 
semirreta qualquer de origem R os segmentos 
adjacentes 𝑅𝑃̅̅ ̅̅ e 𝑃𝑇̅̅ ̅̅ tais que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝑅𝑃̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≡
𝑃𝑇̅̅ ̅̅ dizemos que o segmento 𝑅𝑇̅̅ ̅̅ é a soma de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ com 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . 
 
 
Divisão Interna de Segmentos 
Um ponto divide um segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ internamente na razão 
k > 0, quando M pertence ao segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 
 
 
Ponto médio de um segmento 
Um ponto M é o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ se, e 
somente se, M está entre A e B e 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≡ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅. 
 
 
 
 
 
Divisão Externa de Segmentos 
Um ponto N divide um segmento AB externamente na 
razão 0 < k ≠ 1, quando N pertence à reta suporte do 
segmento AB, mas não ao próprio segmento, e 
 
 
Divisão Harmônica de Segmentos 
Os pontos M e N dividem um segmento AB 
harmonicamente na razão 0 < k ≠ 1, quando os pontos M 
e N dividem o segmento AB, respectivamente, 
internamente e externamente na mesma razão k, ou seja, 
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EXERCÍCIOS 
 
1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Por um ponto passam infinitas retas. 
b) Por dois pontos distintos passa uma reta. 
c) Uma reta contém dois pontos distintos. 
d) Dois pontos distintos determinam uma reta e uma só 
reta. 
e) Por três pontos dados passa uma só reta. 
 
 2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Três pontos distintos são sempre colineares. 
b) Três pontos não colineares são sempre coplanares. 
c) Quatro pontos todos distintos determinam duas 
retas. 
d) Por quatro pontostodos distintos pode passar uma 
só reta. 
e) Três pontos pertencentes a um plano são sempre 
colineares. 
 
3. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto 
de B, então existe uma reta a tal que A a e B a . 
b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e 
s, se P é distinto de Q, e P e Q pertencem às retas r e 
s, então r = s. 
c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A 
e B tais que A é distinto de B, com A r e B r. 
d) Se A = B, existe uma reta r tal que A,B r. 
 
4. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três 
deles colineares, quantas retas podemos construir? 
 
5. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) Duas retas distintas que têm um ponto comum são 
concorrentes. 
b) Duas retas concorrentes têm um ponto comum 
c) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então 
elas possuem um único ponto comum. 
 
6. Considere a sentença: 
“Num plano, se duas retas são ... , então toda reta ... a 
uma delas é ... à outra. 
A alternativa que preenche corretamente as lacunas é: 
a) paralelas – perpendiculares – paralela 
b) perpendiculares – paralela – paralela 
c) perpendiculares – perpendicular – perpendicular 
d) paralelas – paralela – perpendicular 
e) perpendicular – paralela - perpendicular 
 
7. 
 
 
Coloque (F) falso ou (V) verdadeiro nas afirmativas 
abaixo, em relação à figura acima, assinalando a seguir 
a alternativa correta. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )B r; A ; r; C S; r       
a) (V) (V) (V) (F) (F) 
b) (V) (F) (V) (V) (F) 
c) (F) (V) (F) (V) (V) 
d) (V) (F) (F) (V) (V) 
e) (F) (F) (F) (V) (V) 
 
8. Se o segmento AB mede 17 cm, determine o valor 
de x nos casos: 
 
 9. Determine x, sendo M ponto médio de 
____
AB : 
 
 
 
10. Determine PQ, sendo AB = 31: 
 
 
 
 
 
11. Determine AB, sendo M ponto médio de 
____
AB : 
 
12. Quantas semi-retas há numa reta, com origem nos 
quatro pontos A, B, C e D da reta? 
 
13. Três pontos distintos de uma reta, quantos 
segmentos distintos podem determinar? 
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14. P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se 
____
PQ é o triplo de 
____
QR e PR = 32 cm, determine as 
medidas do segmentos 
____
PQ e 
____
QR ? 
15. Os segmentos 
____
AB e 
____
BC , 
____
BC e 
____
CD são 
adjacentes, de tal maneira que 
____
AB é o triplo de 
____
BC , 
____
BC é o dobro de 
____
CD , e AD = 36 cm. Determine as 
medidas dos segmentos 
____
AB , 
____
BC e 
____
CD . 
 
16. Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, 
sendo AB = 20 cm e BC = 12 cm. 
 
17.
____
AB e 
____
BC são dois segmentos adjacentes. Se 
____
AB é 
o quíntuplo de 
____
BC e AC = 42 cm, determine AB e BC. 
 
18. Sendo 
____
AB e 
____
BC segmentos colineares 
consecutivos, 
____
AB o quádruplo de 
____
BC e AC = 45 cm, 
determine AB e BC. 
 
19. Se AB = 30 e P divide internamente o segmento AB 
na razão 2/3, sendo o segmento AP < PB, calcule as 
medidas do segmento PA e PB: 
 
 
 
a) PA = 12 e PB = 18 
b) PA = 18 e PB = 12 
c) PA = 20 e PB = 10 
d) PA = 15 e PB = 15 
e) PA = 14 e PB = 16 
 
20. Considere os pontos colineares A, B, O e C na 
ordem OABC. Se OA = 3 cm, OB = 5 cm e 
4AB + AC – 2BC = 6cm, então a distância, em cm, 
entre os pontos O e C é igual a: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
21. Determinar x de modo que, na figura a seguir, Q e 
S dividam harmonicamente PR̅̅̅̅ . 
 
 
a) 
2
3
 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
22. Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma 
divisão harmônica de razão 
MA 7
3MB
= . Se AB 40,= MN
mede: 
a) 24 
b) 38 
c) 40 
d) 42 
 
23. Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma 
divisão harmônica. Se AB̅̅ ̅̅ = 7 e MN̅̅̅̅̅ = 24, a razão 
MA̅̅ ̅̅ ̅
MB̅̅ ̅̅ ̅
 é 
igual a: 
a) 2 
b) 3/2 
c) 4/3 
d) 5/3 
 
24. Qual deve ser o valor de l, na figura, de modo que 
M e N dividam XY̅̅̅̅ harmonicamente? 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 8 
 
25. Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma 
divisão harmônica de razão 
MA̅̅ ̅̅ ̅
MB̅̅ ̅̅ ̅
= 
NA̅̅̅̅̅
NB̅̅̅̅̅
= k. Se J é o ponto 
médio de MN̅̅̅̅̅, a razão 
JA̅̅ ̅
JB̅̅ ̅
 vale: 
a) k 
b) 2k 
c) k² 
d) k² − 1 
 
GABARITO 
1) a) V; b) V; c) V; d) V; e) F 2) a) F; b) V; c) F; d) V; 
e) F 
3) a) V; b) V; c) V; d) V 4) quatro retas 
 
5) a) V; b) V; c) V 06) e 07) b 
8) a) 10 cm; b) 4 cm; c) 7 cm; d) 14 cm 
9) a) 7; b) 6 10) a) 11; b) 32 11) a) 42; b) 24 
12) 8 13) 3 
14) PQ = 24 cm e QR = 8 cm ou PQ = 48 cm ou QR = 
16 cm 
15) AB = 24 cm; BC = 8 cm; CD = 4 cm 
16) 8 cm ou 32 cm 17) AB = 35 cm e BC = 7 cm 
18) 36 cm e 9 cm ou 60 cm e 15 cm 
A) 19, 24 
B) 21 
C) 23, 25 
D) 22 
E) 20