Geometria Analítica - Retas

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
GEOMETRIA ANALÍTICA – RETAS 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
 
Posições relativas entre retas 
Se considerarmos os coeficientes angulares das retas 
r e s como mr e ms, temos: 
 
Retas paralelas: não possuem nenhum ponto de 
interseção. 
 
Retas coincidentes: possuem infinitos pontos de 
interseção e devem possuir equações idênticas. 
 
Retas concorrentes: possuem um único ponto de 
interseção. 
 
 
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que 
formam um ângulo de 90° entre si. 
 
 
Observação 
Para encontrar o ponto de interseção das retas basta 
montar um sistema com as equações das retas. Visto 
que só será possível no caso das concorrentes. 
 
 
 
Ângulo entre retas 
Usando a propriedade trigonométrica da tangente 
temos a dedução que a tangente do ângulo agudo e o 
resultado positivo da expressão abaixo. 
 
 
Área do Triângulo 
A área do triângulo é calculada usando as coordenadas 
(x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2) dos vértices e calculando a 
metade do módulo do determinante da matriz abaixo: 
 
Á𝐫𝐞𝐚 =
𝟏
𝟐
 . ‖
𝒙𝟎 𝒚𝟎 𝟏
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏
‖ 
 
𝒐𝒖 
 
Á𝐫𝐞𝐚 =
𝟏
𝟐
 . ‖
𝒙𝟎 𝒚𝟎
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
𝒙𝟎 𝒚𝟎
‖ 
 
Área de um Polígono 
Para se calcular a área de um polígono convexo de N 
lados e N vértices cujas coordenadas são conhecidas, 
deve-se proceder da seguinte forma. 
 
1º Escolher um sentido de rotação (horário ou anti-
horário) para escrever as coordenadas dos vértices no 
algoritmo. 
2º Escolher um ponto de partida (Vértice). 
3º Passar por todos os vértices seguindo o sentido 
escolhido. 
4º Fechar o polígono, voltando ao ponto de partida. 
Daí, pode-se efetuar o cálculo da área fazendo-se: 
 
Á𝐫𝐞𝐚 =
𝟏
𝟐
 .
‖
‖
𝒙𝟎 𝒚𝟎
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
𝒙𝟑 𝒚𝟑
… …
𝒙𝒏 𝒚𝒏
𝒙𝟎 𝒙𝟎
‖
‖
 
𝐭𝐠 𝜽 = |
𝒎𝒔 − 𝒎𝒓
𝟏 + 𝒎𝒔 . 𝒎𝒓
| 
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Distância entre ponto e reta 
A distância de um ponto P(x0, y0) à uma reta 
ax + by + c = 0 é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Equação das bissetrizes 
Vamos obter as equações das bissetrizes dos ângulos 
definidos pelas retas concorrentes (r) a1x + b1y + c1 = 0 
e (s) a2x + b2y + c2 = 0. 
 
 
 
 
 
 
Observação: Ponto simétrico em relação à reta 
Exemplo: O simétrico do ponto M = (3, 4) em relação à 
reta que une os pontos A = (-1, 3) e B = (4, -2) pertence 
à curva cuja equação é 
a) x² + 2y² = 5 
b) y = x² + 1 
c) x² /4 + y² = 2 
d) x²/2 – y²/4 = 1 
e) x² - y² = 4 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
A = (-1,2) e B = (3,6) é: 
a) -1 b) 1/2 c)2/3 d) 3 e) 1 
 
2) A equação da reta que passa pelo ponto (-1,-2) e tem 
coeficiente angular -1 é: 
a) x + y -1 = 0 
b) x + y +1 = 0 
c) x + y -3 = 0 
d) x + y +3 = 0 
e) x – y + 3 = 0 
 
3) A equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e 
(8, 1) é: 
a) 2x – 3y – 13 = 0 
b) -2x – 3y + 13 = 0 
c) 3x – 2y + 13 = 0 
d) 2x – 3y + 13 = 0 
e) 2x + 3y – 13 = 0 
 
4) O ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 
2x + 3y – 5 = 0 é: 
a) (1,-1) 
b) (1,1) 
c) (1,2) 
d) (-1,1) 
e) (2,1) 
 
5) Dadas as retas r: 3x + 2y - 15 = 0; s: 9x + 6y - 45 = 0 
e t: 12x + 8y - 60 = 0, podemos afirmar: 
a) elas são paralelas 
b) elas são concorrentes 
c) r ∩ t ∩ s = R 
d) r ∩ s ∩ t = R2 
e) as três equações representam uma mesma reta . 
 
6) Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da 
reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e 
Q o simétrico, em relação ao eixo y, do ponto 
Q' = (1, 2) são, respectivamente: 
a) 1/3; x - 3y - 5 = 0. 
b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0. 
c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0. 
d) 1/3; x + 3y - 5 = 0. 
e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0. 
 
7) As intersecções de y = x, y = - x e y = 6 são vértices 
de um triângulo de área 
a) 36. 
b) 24√2. 
c) 24. 
d) 12√2. 
e) 12. 
 
8) Seja um triângulo equilátero ABC, de vértice A(1, 2), 
cujo lado BC está sobre a reta de equação 
3x − 4y − 2 = 0. 
A altura desse triângulo é 
a) 1,5 
b) 1,4 
c) 1,3 
d) 1,2 
 
9) Sejam os pontos A e B e as retas r: y = x + 3 e 
s: y = − x + 5. Se A pertence à r e tem abscissa −2, e 
se B pertence à s e tem ordenada 5, então o coeficiente 
angular da reta que passa por A e B é _______. 
a) −3 
b) −2 
c) 2 
d) 3 
 
 
 
𝒂𝟏𝒙+ 𝒃𝟏𝒚+ 𝒄𝟏
√𝒂𝟏
𝟐+ 𝒃𝟏
𝟐
= ±
𝒂𝟐𝒙+ 𝒃𝟐𝒚+ 𝒄𝟐
√𝒂𝟐
𝟐+ 𝒃𝟐
𝟐
 
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10) Na figura, os lados do triângulo AOB estão contidos 
no eixo x, na reta (s) y = x e na reta (r) y = 3x − 8. A 
área desse triângulo é _______ unidades de área. 
a) 5 
b) 6 
c) 11/2 
d) 16/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) A área do triângulo de vértices A(1;2), B(-1;-2) e 
C(-2;-1) é: 
a) 3 
b) 6 
c) 20 
d) 2/3 
 
12) As retas de equações y = - x - 1 e y = 
a 1
x 12
a 2
− + 
+ 
− 
são perpendiculares. 
O valor de a é: 
a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2 
 
13) (ITA - 2007) Considere no plano cartesiano xy o 
triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e 
x = - 2y + 10. A área desse triângulo mede 
a) 15/2. 
b) 13/4. 
c) 11/6. 
d) 9/4. 
e) 7/2. 
 
14) A distância do ponto (2; m) à reta x – y = 0 é √8. O 
valor de m é: 
a) -12 ou 6 
b) -6 
c) 2 
d) -2 ou 6 
e) 2 ou -6 
 
15) Considere P um ponto pertencente à reta (r) de 
equação 3x + 5y - 10 = 0 e equidistante dos eixos 
coordenados. A equação da reta que passa por P e é 
perpendicular a (r) é 
a) 10x - 6y - 5 = 0. 
b) 6x - 10y + 5 = 0. 
c) 15x - 9y - 16 = 0. 
d) 5x + 3y - 10 = 0. 
e) 15x - 3y - 4 = 0. 
 
16) A distância do ponto (2,-1) à reta r, de equação 
2x - 3y + 19 = 0 é: 
a) 22 b) 2 13 c) 30 5 d) 
7 3
5
 
 
 
 
17) O ponto A pertence ao semieixo positivo das 
ordenadas; dados os pontos B(2, 3) e C(-4 ,1), sabe-se 
que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo 
reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto 
A é: 
a) (3,0) b) (0, -1) c) (0,4) d) (0,5) e) (0, 3) 
 
18) Considere o triângulo ABC de vértices nos pontos 
A(1, 2), B(9, 6) e C(3, 8). Sabendo que o ponto I(a, b) 
pertence ao lado AB e IC é o segmento correspondente 
à altura do triângulo ABC relativa ao lado AB, o valor de 
a + b é igual a 
a) 5. 
b) 7. 
c) 9. 
d) 11. 
e) 13. 
 
19) As retas de equações y + x – 4 = 0 e 2y = 2x – 6 
são, entre si, 
a) paralelas 
b) coincidentes 
c) concorrentes e perpendiculares 
d) concorrentes e não perpendiculares 
 
20) Dada a reta (s) 2x – y + 3 = 0, a equação da reta r, 
perpendicular à s, que intercepta o eixo y no ponto de 
ordenada 2, é 
a) 2y + x – 4 = 0 c) 2x + y + 4 = 0 
b) 2y + x – 2 = 0 d) 2x + y + 2 = 0 
 
21) Se (r) x + 6y – 2 = 0 e (s) 8x + (t – 1)y -2 = 0 são 
duas retas paralelas, então t é múltiplo de 
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 
 
22) Considere o segmento que une os pontos (-1, -3) e 
(5,5) e uma reta perpendicular a ele. O coeficiente 
angular dessa reta é 
a) 
5
2
− b) 
4
3
− c) 
2
1
 d) 
3
2
 
 
22) As retas y = kx + 2 e y = -x + m interceptam-se no 
ponto (1,4). Assim, o valor de k + m é 
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 
 
23) Sejam as retas r e s de equações y = 2x – 3 e y = -
3x + 2. A tangente do ângulo agudo formado pelas retas 
r e s é 
a) 0 b) 1 c) 3 d) 
3
3
 
 
24) Se as retas r e s são perpendiculares, e a equação 
de s é 2y + x – 2 = 0, o coeficiente angular mr da reta r 
é 
a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 
 
25) A distância do ponto (3,1) à reta cuja equação geral 
é 2x – 2y + 2 = 0 é 
a) 
2
25
 b) 
2
23
 c) 22 d) 2 
 
 
 
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26) Dada a reta r: 2x – 3y + 5 = 0 e o ponto P(5, 6), a 
distância de P à reta r é 
a) 91 b) 1330 c)
91
913
 d) 
13
133
 
 
27) A reta s que passa por P(1, 6) e é perpendicular a 
3x
3
2
y:r += é:a) x
2
3
y = 
b) y = x + 5 
c) 
3
20
x
3
2
y +−= 
d) 
2
15
x
2
3
y +−= 
 
28) A reta 3x – 2y – 5 = 0 é perpendicular à reta 
a) 2x – 3y = 5. 
b) 4x + 6y = 1. 
c) 3x + 2y = 0. 
d) 6x – 4y = 10. 
 
29) A equação da reta (r), que é perpendicular à reta 
(s): 2x + 3y – 6 = 0 no ponto onde a reta (s) corta o eixo 
das abscissas, é 
a) 3x + 2y – 9 = 0. 
b) 2x – 3y +6 = 0. 
c) 2x + 3y – 6 = 0. 
d) 3x – 2y – 9 = 0. 
 
30) Uma reta r passa pelo ponto A (– 1, 4) e é 
perpendicular à reta s de equação 3x + 5y – 2 = 0. 
Nessas condições, a equação da reta r é 
a) 3x + 5y – 23 = 0. 
b) 5x + 3y – 17 = 0. 
c) 3x + 5y – 17 = 0. 
d) 5x – 3y + 17 = 0. 
 
31) O valor de k modo que a reta kx + 2y + k – 8 = 0 
passe pela interseção das retas x + y = 0 e x – 3y = 8 
é: 
a) 4 b) 3 c) 4 d) -4 
 
 32) As retas 2x – y = 3 e 2x + ay = 5 são paralelas. 
Então, o valor de a é: 
a) -1 b) 1 c) -4 d) 4 
 
33) (AFA - 97) A reta (s), simétrica de (r) x - y + 1 = 0 
em relação à reta (t) 2x + y + 4 = 0, 
a) passa pela origem. 
b) forma um ângulo de 60O com (r). 
c) tem 
5
1
− como coeficiente angular. 
d) é paralela à reta de equação 7y - x + 3 = 0. 
 
34) A reta t intercepta as retas r e s nos pontos (0,3) e 
(0,5) respectivamente. A reta u intercepta r e s nos 
pontos (4,-1) e (4,1), respectivamente. Então podemos 
dizer que: 
a) t e u são paralelas 
b) t e u coincidem 
c) t e u se interceptam 
d) r e s se interceptam 
e) nra. 
35) (AFA - 2009) Sobre as retas 
(r) (1 – k)x + 10y + 3k = 0 e 



−+−=
−=
t)k1(1y
t2x
)s( onde 
k, t  R, pode-se afirmar que 
a) poderão ser paralelas coincidentes para algum valor 
de k 
b) nunca serão perpendiculares entre si. 
c) se forem paralelas, não terão equação na forma 
reduzida. 
d) sempre poderão ser representadas na forma 
segmentária. 
 
36) (AFA - 2010) Considere a reta r simétrica da reta 
(s) 2x + y - 2 = 0 em relação à reta (t) x - 3y - 2 = 0. 
Com base nisso, marque a alternativa verdadeira. 
a) Se 0y
3
10
− então r  t =  
b)  )y,x(P r tal que x < 0 e y > 0 
c) Na reta r, se 
7
8
x  então 
7
2
y − 
d)  )y,x(P r tal que x > 0 e 
3
10
y − 
 
37) (AFA - 2013) Sejam a e b dois números reais e 
positivos. 
As retas r e s se interceptam no ponto (a, b). Se 
r0,
2
a






e s
2
b
,0 





, então uma equação para a reta t, 
que passa por (0,0) e tem a tangente do ângulo agudo 
formado entre r e s como coeficiente angular, é 
a) 3abx - 2(a2 + b2)y = 0 
b) 3bx - b(a2 + b2)y = 0 
c) 3ax - a(a2 + b2)y = 0 
d) 3abx - (2a2 - b2)y = 0 
 
38) (AFA – 98) A distância entre o ponto de interseção 
das retas r: 2x - 3y + 4 = 0 e s:
x t 2
y 2t 1
= −

= +
, t R e a reta 
q: y = 
1 1
x
2 8
+ é 
a) 4 5 . b) 
3 7
20
. c) 
3 5
10
. d) 
5 7
4
. 
 
39) (AFA – 98) O eixo das ordenadas, a reta 
r: y = 2x -1 e s, que é perpendicular a r e passa pela 
origem, determinam um polígono cujo valor da área é 
a) 
1
5
 b)
2
5
 c) 
5
5
 d) 
2 5
5
. 
 
40) (AFA – 99) No plano cartesiano, a distância da 
origem à reta que passa pelos pontos A(0,4) e B(6,0) é 
a) 
9 13
13
 
b) 
10 13
13
 
c) 
11 13
13
 
d) 
12 13
13
 
 
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41) (AFA – 2001) As diagonais de um losango estão 
contidas nas retas (r) (3m – 1)x + (m –2)y = 0 e 
(t) x + (m + 1)y + m + 2 = 0. É correto afirmar que os 
possíveis valores de m 
a) têm soma igual a 2 
b) têm produto igual a 3 
c) pertencem ao intervalo ]–3, 3] 
d) têm sinais opostos. 
 
42) (AFA – 2003 - Feminino) A reta r intercepta os 
eixos coordenados nos pontos P e Q. Sabendo-se que 
M(-1, 3) é ponto médio de PQ, é FALSO afirmar que 
a) a distância PQ = 2 10 
b) a equação reduzida de r é y = 3x + 6 
c) r contém pontos do 4º quadrante 
d) a área do triângulo que a reta r forma com os eixos 
coordenados é igual a 6 
 
43) (AFA – 2003 - Feminino) A reta (r) de equação y = 
k determina com as bissetrizes dos quadrantes um 
triângulo de área 1/8. Sabendo-se que o interior desse 
triângulo não contém pontos do 3º, nem do 4º 
quadrantes, é correto afirmar que 
a) k = 
2
4
 
b) seu perímetro é igual a 
2
1
2
+ 
c) a altura desse triângulo é 
2
2
 
d) seu baricentro é o ponto 
2
G 0,
2
 
  
 
 
 
44) (AFA – 2003) Na figura abaixo, as retas r e s são 
paralelas. Se P(x,y) ∈ s, então x + y é igual a 
 
a) 3 b) 3− c) 6− d) 6 
 
45) (AFA – 2006) Considerando no plano cartesiano 
ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) 
x 2v 3
y 3v 2
= +

= −
, 
(s) mx + y + m = 0 e (t) x = 0, analise as proposições 
abaixo, classificando-as em (V) verdadeira(s) ou (F) 
falsa(s). 
( ) m  IR|r = s 
( ) m  IR|s ⊥ t 
( ) se m = 0, as retas r, s e t determinam um triângulo 
retângulo. 
( ) As retas r e s poderão ser retas suportes de lados 
opostos de um paralelogramo se m = -1,5 
A sequência correta é 
a) F – V – F – F 
b) V – V – V – F 
c) V – F – F – V 
d) F – V – V – V 
46) (AFA – 2011) Um quadrado de 9 cm2 de área tem 
vértices consecutivos sobre a bissetriz dos quadrantes 
pares do plano cartesiano, se os demais vértices estão 
sobre a reta r, que não possui pontos do 3º quadrante, 
é INCORRETO afirmar que a reta r 
a) possui o ponto ( )P 2,2 2− 
b) pode ser escrita na forma segmentária 
c) tem coeficiente linear igual 3 2 
d) é perpendicular à reta de equação 2x – 2y = 0 
 
47) (AFA – 2012) Considere no plano cartesiano as 
retas 
x 2t
r : 1
y 3t
2
=


= +

 e 
k
s;(k 1)x y 0
2
+ − − = , onde K  R. 
Sobre as retas r e s é correto afirmar que NUNCA serão 
a) concorrentes perpendiculares. 
b) concorrentes oblíquas. 
c) paralelas distintas. 
d) paralelas coincidentes. 
 
48) (AFA - 2016) Considere a região E do plano 
cartesiano dada por 










+
+
=
0y
0x
1xy
1
3
x
3
y
E . O volume do sólido 
gerado, se E efetuar uma rotação de 270° em torno do 
eixo Ox em unidades de volume, é igual a 
a) 
3
26
 b) 26 c) 
2
13
 d) 
3
13
 
 
49) (AFA – 2018) Considere no plano cartesiano as 
retas r e s dadas pelas equações: r: 3x + 3py + p = 0 e 
s: px + 9y - 3 = 0, onde p  R. Baseado nessas 
informações, marque a alternativa incorreta. 
a) r e s são retas concorrentes se | p | ≠ 3. 
b) Existe um valor de p para o qual r é equação do eixo 
das ordenadas e s é perpendicular a r. 
c) r e s são paralelas distintas para dois valores reais 
de p. 
d) r e s são retas coincidentes para algum valor de p. 
 
50) (EN - 2005) O simétrico do ponto M = (3, 4) em 
relação à reta que une os pontos A = (-1, 3) e 
B = (4, -2) pertence à curva cuja equação é 
a) x² + 2y² = 5 
b) y = x² + 1 
c) x² /4 + y² = 2 
d) x²/2 – y²/4 = 1 
e) x² - y² = 4 
 
51) (IME – 2016) O lugar geométrico dos pontos em R2 
equidistantes às retas de equações 4x + 3y – 2 = 0 e 
12x – 16y + 5 = 0 é: 
a) 4x + 28y + 13 = 0 
b) 8x – 7y – 13 = 0 
c) 28x – 4y – 3 = 0 
d) 56x2 + 388xy – 184x – 56y2 – 16y + 19 = 0 
e) 112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 = 0 
 
 
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52) (ITA – 2017) Considere a reta r: y = 2x. Seja 
A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja 
diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado 
é 
a) 
9
5
 b) 
12
5
 c) 
18
5
 d) 
21
5
 e) 
24
5
 
 
53) (EN – 2016) As retas r1: 2x – y + 1 = 0; r2: x + y + 3 
= 0 e r3: αx + y – 5 = 0 concorrem em um mesmo ponto 
P para determinado valor de α  R. Sendo assim, pode-
se afirmar que o valor da expressão 
( )3 3 5 3
cos 3sen tg
3 8 2 6
 − −     
− − −    
    
 é 
a) 
2
3 1
4
 
+  
 
 
b) 
3 2
2
4
− 
c) 
2
2
8
+ 
d) 
2
3
4
+ 
e) 
2
3 1
4
 
−  
 
 
 
 
GABARITOA) 3, 7, 13, 15, 20, 32, 34, 37, 39, 46 
B) 4, 8, 16, 22, 23, 24, 26, 28, 35, 36*, 43 
C) 6, 9, 19, 21, 25, 29, 31, 42, 44, 48, 50, 52 
D) 2, 14, 17, 27, 30, 33, 38, 40, 41, 45, 47, 49 
E) 1, 5, 12, 51, 53 
* Pode ser a letra C também.