IME - ELETROSTÁTICA

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1. (IME - 2013) Uma partícula de carga q e massa m está
sujeita a dois campos elétricos ortogonais Ex(t) e Ey(t),
dados pelas equações:
Ex(t) = 5sen(2t)
Ey(t) = 12cos(2t)
Sabe-se que a trajetória da partícula constitui uma elipse.
A velocidade escalar máxima atingida pela partícula é:
(a) 5
2
∣∣∣ q
m
∣∣∣
(b) 5
∣∣∣ q
m
∣∣∣
(c) 6
∣∣∣ q
m
∣∣∣
(d) 13
2
∣∣∣ q
m
∣∣∣
(e) 13
∣∣∣ q
m
∣∣∣
2. (IME - 2013) Uma partícula de carga +Q e massa m
move-se dentro de um túnel estreito no plano xy, sem
atrito, sujeita à força provocada pelo campo elétrico (E,0),
seguindo a trajetória conforme apresentado na figura
abaixo. Sabe-se que:
A partícula entra no túnel com velocidade (v,0) no ponto
de coordenadas (0,0);
A trajetória da partícula forçada pelo túnel é um quarto
de circunferência de raio R;
Não há influência da força da gravidade.
Ao passar por um ponto genérico dentro do túnel, deter-
mine, em função da abscissa x:
(a) o módulo da velocidade da partícula;
(b) as componentes vx e vy do vetor velocidade da
partícula;
(c) o módulo da aceleração tangencial da partícula;
(d) o módulo da reação normal exercida pela parede do
túnel sobre a partícula;
(e) o raio instantâneo da trajetória da partícula imedi-
atamente após deixar o túnel.
3. (IME - 2013) A figura acima apresenta uma barra ABC
apoiada sem atrito em B. Na extremidade A, um corpo
de massa MA é preso por um fio. Na extremidade C
existe um corpo com carga elétrica negativa Q e massa
desprezível. Abaixo desse corpo se encontram três cargas
elétricas positivas, Q1, Q2 e Q3, em um mesmo plano hor-
izontal, formando um triângulo isósceles, onde o lado for-
mado pelas cargasQ1 eQ3 é igual ao formado pelas cargas
Q2 e Q3. Sabe-se, ainda, que o triângulo formado pelas
cargas Q, Q1 e Q2 é equilátero de lado igual a 2
√
3
3 m.
Determine a distância EF para que o sistema possa ficar
em equilíbrio.
DADOS:
Massa específica linear do segmento AB da barra: 1,0
g/cm;
Massa específica linear do segmento BC da barra: 1,5
g/cm;
Segmento AB barra: 50 cm;
Segmento BC barra: 100 cm;
Segmento DE: 60 cm;
MA = 150 g;
|Q|=|Q1| = |Q2| = 31/4 · 10−6 C;
Aceleração da gravidade: 10 m/s2;
Constante de Coulomb: 9 · 109 N.m2/C2.
Observação: as cargas Q1 e Q2 são fixas e a carga Q3,
após o seu posicionamento, também permanecerá fixa.
4. (IME - 2014) Sobre um trilho sem atrito, uma carga
+Q vem deslizando do infinito na velocidade inicial v,
aproximando-se de duas cargas fixas de valor -Q. Sabendo
que r < < d, pode-se afirmar que
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(a) a carga poderá entrar em oscilação apenas em torno
de um ponto próximo à primeira carga fixa, depen-
dendo do valor de v.
(b) a carga poderá entrar em oscilação apenas em torno
de um ponto próximo à segunda carga fixa, depen-
dendo do valor de v.
(c) a carga poderá entrar em oscilação apenas em torno
de um ponto próximo ao ponto médio do segmento
formado pelas duas cargas, dependendo do valor de
v.
(d) a carga poderá entrar em oscilação em torno de qual-
quer ponto, dependendo do valor de v.
(e) a carga passará por perto das duas cargas fixas e
prosseguirá indefinidamente pelo trilho.
5. (IME - 2014) Uma partícula de carga +Q e massa m
move-se pelo espaço presa a um carrinho. Esse movimento
é regido pelas seguintes equações de posição nos três eixos,
para k, ω1 e ω2 constantes:
x(t) = k
ω1
sen(ω1t)-
k
ω2
sen(ω2t)
y(t) = k
ω1
cos(ω1t)-
k
ω2
cos(ω2t)
z(t) = 4k
ω1 + ω2
sen
(
ω1 + ω2
2 t
)
Durante todo o movimento, um campo elétrico atua na
partícula, o que provoca uma força que tende a arrancá-la
do carrinho.
DADO: coordenadas nos três eixos do campo elétrico:
(0,0,E).
Portanto:
(a) mostre que a partícula se move com velocidade es-
calar constante;
(b) determine os instantes em que a força provocada pelo
campo elétrico na partícula é ortogonal à sua tra-
jetória;
(c) determine as equações dos vetores aceleração tangen-
cial e aceleração normal decompostos nos três eixos;
(d) supondo que em tx=
2π
ω1 + ω2
a partícula se solte do
carrinho, determine as acelerações normal e tangen-
cial da partícula imediatamente após tx
6. (IME - 2015) A figura acima apresenta um pêndulo sim-
ples constituído por um corpo de massa 4 g e carga +
50µC e um fio inextensível de 1 m. Esse sistema se en-
contra sob a ação de um campo elétrico ~E de 128 kN/C,
indicado na figura.
Considerando que o pêndulo oscile com amplitude pe-
quena e que o campo gravitacional seja desprezível, o
período de oscilação, em segundos, é
(a) π
20
(b) π
10
(c) π
5
(d) 2π
5
(e) 4π
5
7. (IME - 2016) Um canhão movimenta-se com velocidade
constante ao longo do eixo Y de um sistema de coorde-
nadas e dispara continuamente um feixe de elétrons com
vetor velocidade inicial constante e paralelo ao eixo X.
Ao deixar o canhão, o feixe de elétrons passa a sofrer ex-
clusivamente a ação do campo elétrico indicado nas duas
situações das figuras abaixo.
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(a) Na situação 1, sabendo que, em t = 0, o canhão está
em y = y0, determine a equação da curva de y em
função de x e t do feixe de elétrons que é observada
momentaneamente no instante t, resultante do dis-
paro contínuo de elétrons.
(b) Na situação 1, determine a máxima coordenada y da
curva observada no instante t.
(c) Repita o item (a) para o campo elétrico em conformi-
dade com a situação 2, determinando a equação da
curva de x em função de y e t.
DADOS:
Módulo do campo elétrico do plano XY: E;
Massa do elétron: m;
Carga do elétron: -q;
Velocidade escalar do canhão e velocidade de saída do
feixe: v.
8. (IME - 2017) Uma partícula A, de carga positiva +Q,
está presa a um veículo em movimento, cujas coorde-
nadas de sua posição XA e YA, em metros, estão descritas
abaixo em função do tempo t, em segundos.
XA(t) = 3
√
2t + 2
√
2
YA(t) = t2 + t - 11
A força elétrica provocada pela interação entre a partícula
A e uma partícula B, de mesma carga, fixada no ponto
de coordenadas (XA,YA),(0,1) será ortogonal à trajetória
do veículo quando o instante t > 0 for igual a:
(a) 1
(b) 1/2
(c) 3/4
(d) 5/8
(e) 1/8
9. (IME - 2019) Um corpo encontra-se com 3/2 de seu
volume submerso. Uma de suas extremidades está presa
por uma corda a um conjunto de roldanas que suspende
uma carga puntiforme submetida a um campo elétrico
uniforme. A outra extremidade está presa a uma mola dis-
tendida que está fixa no fundo do recipiente. Este sistema
se encontra em equilíbrio e sua configuração é mostrada na
figura acima. Desprezando os efeitos de borda no campo
elétrico, a deformação da mola na condição de equilíbrio
é:
DADOS:
A corda e as roldanas são ideais;
Aceleração da gravidade: g;
Massa específica do fluido: ρ;
Massa específica do corpo: 2ρ;
Constante elástica da mola: k;
Volume do corpo: V;
Intensidade do campo elétrico uniforme: E;
Massa da carga elétrica: m;
Carga elétrica: +q
(a) g
k
(
m
2 −
4ρV
3
)
qE
2k
(b) g
k
(
3m
2 −
4ρV
3
)
3qE
2k
(c) g
3k (m-4ρv+qE) qE
k
(d) g
k
(
mg
2 −
4ρV
3
)
qE
2k
(e) mg
k
(
qE
d
− 2ρV
3
)
10. (IME - 2019) A figura abaixo mostra um sistema em
equilíbrio composto por três corpos presos por tirantes de
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comprimento L cada, carregados com cargas iguais a Q.
Os corpos possuem massas m1 e m2, conforme indicados
na figura. Sabendo que o tirante conectado à massa m2
não está tensionado, determine os valores de m1 e m2 em
função de k e Q
DADOS:
Constante dielétrica do meio: k[Nm2/C2];
Carga elétrica dos corpos: Q[C];
Comprimento dos tirantes: L = 2 m;
Altura: h = (2 -
√
3/3) m;
Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2;
α = 30°.
11. (IME - 2020) Duas partículas com cargas elétricas
q1 e q2 movem-se no plano xy e suas posições em
função do tempo t são dadas pelos pares ordenados
p1(t)=[x1(t), y1(t)] e p2(t)=[x2(t), y2(t)] respectivamente.
DADOS:
Constante de Coulomb: k = 9,0 · 109;
Cargas elétricas: q1 = 2,0 · 10−6 e q2 = 2,5 · 10−6
Posições das partículas: p1(t) = ( 5√
t
, 1√
t
-1), p2(t) =
( 1√
t
, 4√
t
-1)
Considerando todas as grandezas dadas no Sistema In-
ternacional de Unidades,o módulo da componente y do
impulso da força que uma partícula exerce sobre a outra
no intervalo de tempo de 1,0 a 6,0 é:
(a) 13,5 · 10−3
(b) 18,9 · 10−3
(c) 25,2 · 10−3
(d) 31,5 · 10−3
(e) 37,8 · 10−3
12. (IME - 2020) A figura abaixo apresenta três esferas de
cargas positivas Q fixas nos vértices de um triângulo equi-
látero ABC de centro O e localizado no plano horizontal.
Um corpo de massa m, posicionado no ponto D em t = 0,
tem a ele grudadas milhares de micropartículas de cargas
positivas e massas desprezíveis. O corpo sofre uma queda
vertical até o ponto O. No intervalo 0 ≤ t < 5/3 s, di-
versas micropartículas vão se soltando gradativamente do
corpo, de modo que sua velocidade permanece constante.
O restante das micropartículas desprende-se totalmente
em t = 5/3 s, exatamente no ponto E, no qual o ângulo
entre os segmentos AO e AE é de 30°. O corpo continua
em movimento até atingir o plano ABC no ponto O em t
= 8/3 s.
Determine:
(a) a velocidade do corpo no intervalo 0 ≤ t < 5/3 s;
(b) a altura inicial do corpo (comprimento DO) em t =
0;
(c) a carga do corpo imediatamente antes do instante t
= 5/3 s, quando o restante das micropartículas se
desprendeu;
(d) a carga inicial do corpo em t = 0.
Observações:
Considere a massa do corpo constante;
Despreze as dimensões do corpo;
Ao se desprenderem, as cargas das micropartículas não
influenciam no movimento do corpo.
DADOS:
Massa do corpo: m = 2,7 kg;
Cargas fixas nos vértices do triângulo: Q = 10−4 C;
Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2;
Constante dielétrica do meio: k = 9 · 109 Nm2/C2;
Comprimentos dos lados do triângulo: L = 24 m.
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13. (TROVOADA) Um modelo clássico de uma molécula
ionizada é constituído por um par de partículas fixas,
ambas de carga +e, separadas por uma distância 2a, com
uma terceira partícula, de carga -e, massa m, descrevendo
a órbita circular de raio ρ, em torno do eixo que liga as
duas outras cargas. obtenha:
a) O campo elétrico que atua sobre a carga -e;
b) a relação entre o raio ρ e a frequência angular de rev-
olução ω
14. (TROVOADA) Seja E a magnitude do campo num
ponto P, situado a uma distância D de um plano uni-
formemente carregado com densidade superficial de carga
σ. A maior contribuição para E provém dos pontos mais
próximos de P sobre o plano. Mostre que a região do plano
situada a uma distância ≤ 2D do ponto P é responsável
pela meta (E/2) do campo P.
15. (TROVOADA) Um fio retilíneo de comprimento l está
uniformemente carregado com densidade linear de carga
λ.
a) calcule o campo elétrico num ponto situado sobre o
prolongamento do fio, a uma distância D de sua extremi-
dade.
b) calcule a magnitude do campo, se l = d = 5cm e a
carga total do fio é de 3µC
16. (TROVOADA) Uma carga q é colocada numa caixa
cúbica de aresta l. Calcule o fluxo do campo elétrico sobre
cada uma das faces (a) se a carga ocupa o centro do cubo;
(b) se é colocada num dos vértices.
17. (TROVOADA) Dois planos paralelos estão uniforme-
mente carregados, com densidades superficiais de carga σ
e -σ, respectivamente. Calcule o campo elétrico em pon-
tos acima de ambos, abaixo de ambos e entre os dois.
Represente as linhas de força nas três regiões.
18. (TROVOADA) Mostre que a razão da atração elet-
rostática para a atração gravitacional entre um elétron
e um próton é independente da distância entre eles, e cal-
cule essa razão.
19. (TROVOADA) Uma esfera de raio R está uniforme-
mente carregada, com carga total q.
a) Determine o potencial V em pontos internos e externos
a esfera e trace um gráfico de V em função da distância
ao centro.
b) Tomando q = -e, com carga puntiforme +e no centro
da esfera, como modelo para o átomo de hidrogênio, qual
é a expressão do potencial nesse caso ?
20. (TROVOADA) Um balão de raio R está carregado com
carga Q, distribuída uniformemente sobre sua superfície.
a) Determine a energia eletrostática total contida no
campo.
b) Calculando a variação dessa energia para uma vari-
ação infinitesimal dR do raio, demonstre que a força elet-
rostática radial por unidade de área, na superfície do
balão, é igual a densidade de energia eletrostática na su-
perfície.
1. C
2. a) V =
√
V 2 + 2EQ
m
x
b) Vx = (
√
1− ( x
R
)2)(V 2+2EQ
m
x) e Vy = V 2+2EQ
m
x x
R
c) at =
EQ
m
√
1− ( x
R
)2
d) N = mV 2
R
+3EQ
m
x
R
e) R’ = mV 2
EQ
+2R
3. x ≈ 8,93 m
4. E
5. a) Demonstração
b) tm =
[
2m+ 1
w1 + ww
]
π
c) ~AN = -k[w1sen(w1t)− w2sen(w2t)]x̂
k[w1cos(w1t) + w2cos(w2t)]ŷ
-k(w1+w2)sen[(w1 + w2
2 )t]ẑ
d) ~AN = ~O e ~At =
QE
m
ẑ
6. A
7. a) y = y0 - vt+v-Eqx
2
2mv2
b) ymáx = y0-vt-
mv2
2Eq
c) x = y-y0+
E.q
2m [t− (y − y0
v
)]2
8. A
9. B
10. m1 ≈ 0,12KQ2 e m2 ≈ 0,075KQ2
11. B
12. a) vE = 3m/s
b) DO = 3m
c) q = 5,12 · 10−3C
d) q’ ≈ 5,28 · 10−3C
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13. a) E = + e
2πε0
ρ
(a2 + ρ2)3/2 ρ̂
b) ω2 = e2
2πε0m(a2 + ρ2)3/2
14. Demonstração
15. a) E = λl
4πε0d(l + d)
b) 5,4 · 106 N/C
16. a) q
6ε0
b) 0 (faces adjacentes); q
24ε0
(faces opostas)
17. 0 acima e abaixo de ambos; -σ/ε0 entre os dois.
18. Demonstração
19. a) V(r) = q
4πε0r
(r ≥ R); V(r) = q
4πε0R
(3
2 -
r2
2R2 )(0 ≥ r ≥
R)
b) V(r) = 0 (r ≥ R); V(r) = e
4πε0
[
1
r
− 1
R
(3
2 −
r2
2R2 )
]
(0
≥ r ≥ R)
20. a) W = Q2
8πε0R
b) f(R) = Q2
32π2ε0R4