Soma dos Ângulos Internos

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ATIVIDADE 19: OS POLÍGONOS. 
 
OBJETIVOS: Verificar, experimentalmente, o teorema relativo à soma dos 
ângulos internos de um polígono. 
 
 
PARTE 1: DESCOBRINDO REGULARIDADES. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Palitos de sorvete ou ripinha de madeiras, 
tachinhas. Folha-tipo I-19. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Peça a cada grupo de alunos que construa, com ripinhas de madeiras 
ou palitos de sorvete, todos do mesmo tamanho, os seguintes polígonos: 
 
 Eles poderão observar inicialmente, que essas figuras não são 
rígidas. Mas podem ser “arrumadas” de modo que todos os ângulos internos tenham a 
mesma medida. Quando isso acontece, dizemos que o polígono formado é 
REGULAR. 
 Entregue a cada grupo a folha-tipo I-19. Peça que verifiquem, 
fazendo medições, se todos os polígonos desenhados são regulares. Depois questione: 
 Que fórmula eles proporiam para calcular o perímetro de polígonos regulares? 
Por quê? 
 Um pentágono ( penta = cinco) 
 Um hexágono ( hexa = seis ) 
 Um heptágono ( hepta = sete ) 
 Um octógono ( octo = oito ) 
 
 E possível construir pentágonos regulares aumentando-se ou diminuindo-se as 
medidas dos lados de um dado pentágono regular? Como? 
 E as medidas dos ângulos internos de um pentágono regular podem ser 
alteradas? 
 No caso das figuras E e F, que são pentágonos regulares, o que verificaram a 
respeito das medidas dos ângulos internos de ambas? 
 O que observaram com relação à medida dos ângulos internos: aumenta ou 
diminui conforme o número de lados do polígono? 
 Fazendo as medidas e completando a tabela abaixo, o que é possível perceber 
em relação à soma dos ângulos internos quando aumenta um lado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Peça que dividam os polígonos, da folha-tipo I-22, traçando diagonais que 
partem de um único vértice do polígono. Pergunte em quantos triângulos cada 
polígono ficou divido e peça que anotem as conclusões numa tabela. 
 
 
 
 
FIGURA SOMA DOS ÃNGULOS INTERNOS 
Triângulo 
Quadrado 
Pentágono 
Hexágono 
Heptágono 
Octógono 
180º 
360º 
540º 
? 
? 
? 
 
 
 
Nº de lados da 
figura 
Nº de diagonais 
que partem de 
um vértice 
Nº de triângulos em 
que a figura ficou 
dividida 
4 
5 
6 
7 
8 
1 
2 
? 
? 
? 
2 
3 
? 
? 
? 
 
 A observação da tabela mostra um modo de calcular a soma dos 
ângulos internos de um polígono. Por exemplo: 
 Se o polígono tem 6 lados, ele pode ser dividido em 4 triângulos. 
Como a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180º, no caso do hexágono, 
teremos: 
 S6 = 180º x 4 = 720º. 
 
 Peça para calcularem a soma dos ângulos internos de outros 
polígonos. 
 A seguir, solicite aos alunos que: 
 Construam polígonos NÃO regulares e verifiquem se para eles também é válida 
a propriedade da soma dos ângulos internos, verificada para polígonos regulares. 
 Recortem os “bicos” e juntem os vértices de diferentes polígonos com 5 cm ou 
mais lados, para verificar, experimentalmente, em quanto ultrapassam 360 graus. 
Peças aos alunos que recortem em folha de revistas, polígonos 
regulares, usando os moldes da folha-tipo I-19. Proponha que, usando peças do 
mesmo tipo, façam um painel e descubram em que casos os polígonos se encaixam 
perfeitamente, produzindo um bom ladrilhamento. Discuta também, porque isso 
acontece. 
 
 
 
 Destaque que o fato de o pentágono não ser uma boa forma para 
ladrilhamento, isso não impede de ser uma boa forma para construir o dodecaedro 
regular. Incentive-os a montar um. 
 
 
 
 
PARTE 2: CONSTRUINDO POLÍGONOS REGULARES. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Transferidor e régua. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 Peça a cada aluno que, usando o resultado obtido na parte anterior a 
respeito da soma dos ângulos internos de um polígono, complete no caderno, a 
seguinte tabela, para polígonos regulares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Completada a tabela pelos alunos, confira os dados obtidos e proponha que, usando 
régua e transferidor, desenhem esses polígonos regulares todos eles com 2 cm de lado. 
 Desenhados os polígonos, observe com a classe os ângulos externos. 
Junto com cada interno, eles somam 180 graus. 
 
 
 Peça então que completem a seguinte tabela, observando que as 
duas primeira colunas são simples transcrições de colunas da tabela anteriormente 
feita: 
 
 
 
Nº de lados do 
polígono 
Soma dos ângulos 
Internos ( graus ) 
Medida de cada ângulo 
Interno ( graus ) 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
12 
180º 
360º 
540º 
60º 
90º 
108º 
 
Nº de lados 
do polígono 
Medida do 
ângulo interno 
Medida do 
ângulo externo 
Soma dos ângulos 
externos 
3 
4 
5 
6 
8 
9 
10 
12 
60º 
90º 
108º 
120º 
135º 
140º 
144º 
150º 
120º 
90º 
72º 
? 
? 
? 
? 
? 
120º x 3 = 360º 
90º x 4 = 360º 
75º x 2 = 360º 
? 
? 
? 
? 
? 
 
 Pergunte que conclusão é possível tirar dos dados dessa tabela. 
 Complete com a classe que um outro modo de obter polígonos 
regulares é aproveitar os processos de divisão da circunferência em parte iguais. 
Proponha então, a divisão de uma circunferência de 3 cm de raio em quatro partes 
iguais: 
 
 
 
 
 Isso será feito a partir do traçado 
de dois diâmetros perpendiculares e 
possibilitará a construção do 
quadrado. Pergunte: de que modo 
poderíamos obter, nessa mesma 
construção, um octógono. Uma vez 
obtido o octógono, pela classe, peça 
a eles que meçam um dos ângulos 
internos e confiram o resultado com 
da tabela ( l35 graus ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peça agora a divisão da circunferência 
em 6 partes iguais. Isso será obtido a 
partir da demarcação do raio sobre ela. 
A construção possibilita a obtenção do 
hexágono regular e também do polígono 
regular de 12 lados. Estimule a medição 
dos ângulos internos desses polígonos. 
FOLHA-TIPO I-19 
DESCOBRINDO REGULARIDADES 
 
 
ATIVIDADE 20: POLÍGONOS E PROBLEMAS 
 
OBJETIVOS: Resolver situações-problemas que envolvam conhecimentos sobre 
polígonos. 
 
PARTE 1: POLÍGONOS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Divida a classe em 7 grupos e proponha a cada um deles a resolução 
dos seguintes problemas. Esclareça que para resolvê-los eles podem fazer desenhos, 
usar varetas, recortes, enfim usar os recursos que julgarem necessários. 
 
 GRUPO 1: 
Analisar as seguintes afirmações e dizer se são sempre verdadeiras 
ou, em que situações particulares seriam verdadeiras: 
 As diagonais de qualquer paralelogramo são iguais. 
 As diagonais de qualquer losango são iguais. 
 As diagonais de qualquer trapézio são iguais 
 
GRUPO 2: 
Analisar as seguintes afirmações e dizer se são sempre verdadeiras 
ou, em que situações particulares seriam verdadeiras: 
 As diagonais de qualquer trapézio, nunca são perpendiculares. 
 As diagonais de qualquer paralelogramo são perpendiculares. 
 
 
 As diagonais de qualquer losango são perpendiculares. 
 
GRUPO 3: 
Construir figuras que satisfaçam às condições dadas em cada caso 
e discutir se a solução é única ou não: 
 É um paralelogramo com 3 cm de base e 2 cm de altura. 
 É um retângulo, cuja base é o triplo da altura e tem perímetro igual a 24 cm. 
 É um triângulo isósceles cuja base tem 8 cm a menos que um dos lados e o 
perímetro é 32 cm. 
 
GRUPO 4: 
Construir figuras que satisfaçam às condições dadas em cada caso 
e discutir se a solução é única ou não: 
 É um losango em que a soma das diagonais é 12 cm e a diagonal maior é o triplo 
da menor. 
 É um triângulo que tem 24 cm de perímetro e um dos lados mede 9 cm. 
 
GRUPO 5: 
Resolver os seguintes problemas: 
 Determinar a medida do ângulo A de um triângulo ABC, conhecendo-se asmedidas dos ângulos B e C, nos seguintes casos: 
med. ( B ) med. ( C ) med. ( A ) 
42º 30’ 8” 58º 20’ 10” ? 
120º 40’ 22º 10” ? 
110º 48º 2’ ? 
 
 Um ângulo externo de um triângulo do qual sabemos que pelo menos dois lados 
são iguais, mede 120 graus. Como é esse triângulo? 
 
GRUPO 6: 
Resolver os seguintes problemas: 
 Construir um triângulo ABC cuja base mede 5 cm e os ângulos nela apoiado 
medem 60º, 80º. Conferir a medida do 3º ângulo. 
Prolongar os lados do triângulo e medir cada ângulo externo, assim 
obtido. Comparar essa medida com a dos ângulos internos que não 
são adjacentes a eles. 
 Calcular a medida de todos os ângulos internos da figura seguinte: 
 
 
 
 GRUPO 7: 
 Recorte uma tira de papel do tamanho que desejar. Dê um nó, na tira. Que 
polígono você obteve? 
 
 
 
 
 
 
 Pegue um retângulo de papel do tamanho que desejar. Ache o ponto médio do 
lado menor e dobre a folha de modo a obter a perpendicular a esse lado, que passa 
pelo seu ponto médio. 
Chame os extremos desse lado do retângulo de A e B, dobre o 
papel fazendo com que a dobra passe no ponto A e de modo que o ponto B fique sobre 
a perpendicular já obtida. Esse ponto, sobre a perpendicular será chamado de C. 
Desenhe o triângulo ABC. Que tipo de triângulo é ele? Por quê? 
 Desenhe um quadrado qualquer e seus eixos de simetria. Faça o mesmo para as 
figuras nomeadas na tabela abaixo e complete com o número de eixos de simetria que 
você julga que elas tenham: 
 
Triângulos Isósceles Triângulos Eqüilátero Paralelogramo 
Pentágono regular Retângulo ( não quadrado) Quadrado 
Trapézio retângulo Trapézio Isósceles Hexágono 
 
 Faça um rodízio das questões de modo que cada conjunto de 
problemas seja resolvido por dois grupos. Depois, os grupos irão apresentar à 
classe, as situações que lhes foram propostas e debater suas soluções com os 
colegas. 
 
 
 
PARTE 2: UMA TAREFA PARA SER FEITA EM CASA. 
 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Pedaços de madeira, pregos, elásticos, papel com 
malhas pontilhadas impressas. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Divida a classe em grupos de 3 alunos e proponha a construção de 
três geoplanos. Explique que os geoplanos são feitos de pedaços de madeira, de forma 
quadrada, na qual serão pregados pregos de aproximadamente 2,5 cm de 
comprimento. Para pregá-los nos lugares adequados, um esquema deve ser feito 
anteriormente numa folha de papel, que vai ser posta sobre a tábua. Eis os modelos 
que serão fornecidos aos grupos para que fabriquem seus Geoplanos em casa; 
 
 30 cm 30 cm 30 cm 
 
 G 1 – 25 pregos G 2 – 13 pregos G 3 – 33 pregos 
 
 Depois de feitos os Geoplanos, os alunos serão convidados a propor 
situações-problema envolvendo a construção de polígonos, utilizando as diferentes 
malhas dos Geoplanos.