Matemática - Livro 1-286-288

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MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana286
c) Supondo agora que 30° < θ < 60°, encontre uma
expressão, em função de θ, para a medida α do
ângulo agudo formado pela reta que contém P e
Q e pela reta que contém a trajetória da bola após
a primeira reflexão na borda.
30 UEM 2016 Um espelho tem a forma de uma circun-
ferência de centro O. A partir de um ponto A1 na
circunferência é emitido um feixe de luz na direção de
um ponto A2, também na circunferência, como mostra a
figura adiante. O feixe de luz é então refletido para um
ponto A3 e segue refletindo até tocar novamente em A1,
de modo que sua trajetória forme um polígono regular.
Sabendo que a medida do ângulo α, em graus, entre
o raio OA1 da circunferência e o feixe de luz A1A2, é um
número inteiro, assinale o que for correto.
A
3
A
1
A
2
O
01 Se α = 60°, então os feixes de luz refletidos forma-
rão um hexágono.
02 É impossível que os feixes de luz tenham formado um
octógono regular
04 Há exatamente 16 possibilidades para o valor do
ângulo α nas condições consideradas
08 O menor valor possível para a medida do ângulo
α, em graus, é 30°
16 O polígono com a maior quantidade de lados que
pode ser formado nessas condições é um dode-
cágono (12 lados)
Soma:
31 A imagem a seguir é de uma calçada da Avenida
Paulista, na cidade de São Paulo O mosaico presen-
te nessa calçada, que imita o formato do estado de
São Paulo, pode ser obtido usando-se peças de cerâ-
mica quadradas que são completamente brancas ou
completamente pretas ou, ainda, metade brancas e
metade pretas
a) Como pode ser classificado o polígono que re-
presenta o formato do estado de São Paulo na
calçada?
b) Qual é o valor do maior ângulo interno desse po
lígono?
c) Quanto vale a soma das medidas de todos os ân-
gulos internos desse polígono?
d) Sabendo que os lados das peças quadradas de
cerâmica que compõem esse mosaico medem
20 cm cada, determine o perímetro aproximado
desse polígono que representa o formato do es
tado de São Paulo.
32 Unifesp A soma de n – 1 ângulos internos de um
polígono convexo de n lados é 1 900° O ângulo re-
manescente mede
A 120°
 105°
C 95°
 80°
E 60°
33 A figura a seguir mostra um piso de cerâmica com-
posto de peças em forma de polígonos regulares de
dois tipos diferentes, em que as peças menores são
quadradas e as maiores são octogonais.
Um segundo piso também é composto de peças de
dois tipos diferentes de polígonos regulares e segue o
mesmo princípio de distribuição, porém as peças me-
nores desse segundo piso têm a forma de triângulos
equiláteros, como mostra o detalhe a seguir.
De acordo com os princípios geométricos formadores
desses pisos, as peças maiores do segundo piso têm
a forma de:
A hexágonos regulares.
 heptágonos regulares
C eneágonos regulares.
 decágonos regulares.
E dodecágonos regulares
F
R
E
N
T
E
 3
287
34 IFCE 2014 Um robô, caminhando em linha reta, parte
de um ponto A em direção a um ponto B, que dis-
tam entre si cinco metros Ao chegar ao ponto B, gira
novamente 60° à esquerda e caminha mais cinco me-
tros, repetindo o movimento e o giro até retornar ao
ponto de origem. O percurso do robô formará um po-
lígono regular de:
A 10 lados.
 9 lados.
C 8 lados
 7 lados.
E 6 lados.
35 Considere a figura de um pentágono regular ABCDE
e um ponto P em seu interior, de modo que PA e
PB tenham o mesmo comprimento e o ângulo A ˆPB
tenha 40°. Considere também que, pelo ponto P, pas-
sa uma reta paralela ao lado AB desse pentágono,
interceptando os lados DE e CD nos pontos Q e R,
respectivamente
Nessas condições, encontre as medidas de todos os
ângulos internos do quadrilátero EAPQ determinado
por essa gura.
36 Dados n pontos que dividem uma circunferência em
partes iguais, podemos obter formas geométricas po-
ligonais e regulares ligando esses pontos por meio
de segmentos de diversas maneiras Cada uma des-
sas maneiras é designada por um número p, chamado
de passo de ligação. As figuras a seguir apresen-
tam circunferências divididas em partes iguais por
9 pontos ligados com passos 1, 2, 3 e 4.
p = 1 p = 2 p = 3 p = 4
Calcule as medidas dos ângulos determinados nos
vértices de cada uma dessas guras.
37 Um pedaço de papel na forma de um paralelogramo
é tal que pode ser dobrado formando um pentágono
regular Para isso, basta fazer coincidirem as extre-
midades da sua diagonal maior, como mostram as
figuras a seguir.
Figura 1
Vinco da
dobradura
Figura 2
Sabendo que, para isso acontecer, o vinco da
dobradura deve ser perpendicular à diagonal maior
do paralelogramo, determine a medida, em graus, do
ângulo formado entre o lado menor e a diagonal maior
desse paralelogramo.
38 A teoria dos grafos é uma estrutura matemática usa-
da para representar mapas rodoviários, sistemas de
distribuição de água, hierarquia de cargos em uma
empresa ou mesmo para estudar o relacionamento
social entre pessoas etc. Ela tem muita relação com
a Geometria. Por exemplo, o número máximo de liga-
ções que podem existir entre dois dos n elementos
de determinado conjunto G pode ser observado geo-
metricamente, de modo que cada ligação entre os
elementos de G seja representada por um lado ou por
uma diagonal de um polígono convexo P com n lados.
Sendo y = f(n) a função que expressa esse número má-
ximo de ligações entre os n vértices de um polígono
regular e sabendo que existem coecientes reais a, b e
c tais que f(n) = a · n2 + b · n + c, determine:
a) os valores dos coeficientes a, b e c.
b) o conjunto domínio da função f.
c) os valores de n para y = 28 e para y = 32.
39 Uma das etapas da produção do copo americano
tradicional consiste na determinação de um tetrade
cágono regular (14 lados)
a) Quantas diagonais de um tetradecágono regular
não passam pelo centro do polígono?
b) Nomeando, em ordem alfabética, os vértices con-
secutivos de um tetradecágono regular de centro
O com as letras A, B, C, ..., qual será a medida
aproximada, em graus, dos ângulos AÔF e FÂC?
MATEMÁTICA Capítulo 2 Princípios de Geometria Plana288
40 Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das seguintes afirmações:
 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é igual a 360°
 A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°.
 A soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono é 720°.
 O hexágono regular tem exatamente 9 diagonais.
 O pentadecágono regular tem 50 lados.
 Todo hexágono convexo que pode ser inscrito em uma circunferência é regular.
 O ângulo externo do octógono regular mede 45°.
 Todo quadrilátero equilátero é quadrado.
 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular pode ser igual a 14π radianos.
 Existe polígono convexo com exatamente 40 diagonais