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Lista de Exercícios (Complementar) – Geometria Plana - Módulo 5 
(POLÍGONOS) 
 
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1. A figura a seguir mostra uma circunferência e dois polígonos. Um dos polígonos é inscrito nessa circunferência e 
outro, circunscrito a ela. 
 
Se M é o número de diagonais do polígono inscrito e N é o número de diagonais 
do polígono circunscrito, a razão entre M e N é igual a 
a) 
7
.
5
 
b) 
5
.
7
 
c) 
14
.
5
 
d) 
5
.
14
 
 
 
 
 
2. (CFTMG 2018) 
Considere um hexágono regular ABCDEF. A partir dos pontos médios dos lados traça-se um novo hexágono 
A'B'C'D'E'F'. 
 
A medida do ângulo ˆBA'B', em graus, é 
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 60. 
 
 
 
 
 
 
 
3. (Enem PPL 2018) 
As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – mixed martial arts são realizadas num octógono regular. De acordo 
com a figura, em certo momento os dois lutadores estão respectivamente nas posições G e F, e o juiz está na posição 
I. O triângulo IGH é equilátero e ˆGIF é o ângulo formado pelas semirretas com origem na posição do juiz, 
respectivamente passando pelas posições de cada um dos lutadores. 
 
A medida do ângulo ˆGIF é 
a) 120 
b) 75 
c) 67,5 
d) 60 
e) 52,5 
 
 
 
 
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4. (UEG 2018) 
A melhor maneira de alocarmos pontos igualmente espaçados em um círculo é escrevê-los nos vértices de polígonos 
regulares, conforme a figura a seguir exemplifica com 6 pontos. 
 
Para alocarmos 36 pontos igualmente espaçados em um círculo de raio 1, a distância 
mínima entre eles deve ser aproximadamente 
 
Use sen (5 ) 0,08 = 
a) 0,12 
b) 0,11 
c) 0,16 
d) 0,14 
e) 0,19 
 
 
5. Alguns polígonos regulares, quando postos juntos, preenchem o plano, isto é, não deixam folga, espaço entre si. 
Por outro lado, outras combinações de polígonos não preenchem o plano. 
A seguir, exemplos desse fato: a Figura 1, formada por hexágonos regulares, preenche o plano; a Figura 2, formada 
por pentágonos e hexágonos regulares, não preenche o plano. 
 
Na Figura 2, a medida do ângulo é igual a x 
 
a) 14 . 
b) 12 . 
c) 10 . 
d) 8 . 
 
 
 
6. O mosaico a seguir é formado por pentágonos regulares e losangos. 
 
 
 
A soma das medidas dos ângulos x, y e z é igual a 
a) 252 . 
b) 288 . 
c) 324 . 
d) 360 . 
 
 
7. (UFRGS 2017) 
Considere um pentágono regular ABCDE de lado 1. Tomando os pontos médios de 
seus lados, constrói-se um pentágono FGHIJ, como na figura abaixo. 
 
A medida do lado do pentágono FGHIJ é 
a) sen 36 . b) cos 36 . c) 
sen 36
.
2

 d) 
cos 36
.
2

 e) 2 cos 36 . 
 
 
 
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8. (FGVRJ 2017) 
A figura abaixo mostra dois quadrados e um triângulo equilátero entre eles. 
 
 
 
Determine os ângulos internos do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (IFSUL) 
Um objeto de decoração tem a forma de um pentágono regular, apresentando todas as suas diagonais. Sabe-se que 
cada diagonal foi pintada de uma cor diferente das demais. Então, qual é o número de cores diferentes que foram 
utilizadas na pintura de tais diagonais? 
 
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 
 
 
10. (UTFPR) 
O valor de x no pentágono abaixo é igual a: 
 
 
a) 25 . 
b) 40 . 
c) 250 . 
d) 540 . 
e) 1.000 . 
 
 
 
11. A figura a seguir mostra um polígono regular de 14 lados e todas as suas diagonais: 
 
 
 
O número de diagonais traçadas é de 
a) 77. 
b) 79. 
c) 80. 
d) 98. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12. (FGV) 
As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 
10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e BC se intersectam no ponto P, 
conforme indica a figura a seguir. 
 
A medida do ângulo BPD, indicado na figura por , é igual a 
a) 120 . 
b) 124 . 
c) 128 . 
d) 130 . 
e) 132 . 
 
 
 
13. (UFRGS) 
Um desenhista foi interrompido durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na figura abaixo. 
 
Se o desenho estivesse completo, ele seria um 
polígono regular composto por triângulos equiláteros 
não sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um 
círculo, e formando um ângulo de 40 , como indicado 
na figura. 
 
Quando a figura estiver completa, o número de 
triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre 
o círculo é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 14. 
d) 16. 
e) 18. 
 
 
14. (Enem PPL 2016) 
Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular 
quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, conforme mostra a figura. 
 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que faltava e, para 
isso, anotou as medidas dos ângulos ˆ ˆx EAD, y EDA= = e ˆz AED= do triângulo 
ADE. 
 
As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, respectivamente, 
a) 18,18 e 108. 
b) 24, 48 e 108. 
c) 36, 36 e 108. 
d) 54, 54 e 72. 
e) 60, 60 e 60. 
 
 
 
 
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15. (CFTMG) 
Na figura a seguir, o pentágono regular está inscrito numa circunferência de centro O e as semirretas PA e PB são 
tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente. 
 
A medida do ângulo ˆAPB, em graus, é igual a 
a) 36. 
b) 72. 
c) 108. 
d) 154. 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. (IFSP) 
Ana estava participando de uma gincana na escola em que estuda e uma das questões que ela tinha de responder era 
“quanto vale a soma das medidas dos ângulos internos do polígono regular da figura?” 
 
Para responder a essa pergunta, ela lembrou que seu professor ensinou que a soma das 
medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, e que todo polígono pode 
ser decomposto em um número mínimo de triângulos. Sendo assim, Ana respondeu 
corretamente à pergunta dizendo: 
a) 720 
b) 900 
c) 540 
d) 1.080 
e) 630 
 
 
 
 
 
17. (Enem PPL 2016) 
Um artista utilizou uma caixa cúbica transparente para a confecção de sua obra, que consistiu em construir um polígono 
IMNKPQ, no formato de um hexágono regular, disposto no interior da caixa. Os vértices desse polígono estão situados 
em pontos médios de arestas da caixa. Um esboço da sua obra pode ser visto na figura. 
 
 
Considerando as diagonais do hexágono, distintas de IK, quantas têm o mesmo 
comprimento de IK ? 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 8 
e) 9 
 
 
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18. (IFAL) 
Um pai possui um terreno no formato de um hexágono regular com lado 12 m. Ele pretende construir um muro dividindo 
o terreno em dois trapézios de mesma área, um com frente para uma rua e outro para a outra, que serão dados para 
seus dois filhos. Qual o comprimento do muro? 
a) 12 m. b) 18 m. c) 24 m. d) 30 m. e) 36 m. 
 
19. (UTFPR) 
O número de diagonais de um polígono regular cujo ângulo externo mede 18 é: 
a) 5. b) 170. c) 14. d) 135. e) 275. 
 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
Para responder à(s) questão(ões), leia o seguinte texto: 
 
A palavra polígono tem origem no grego e significa ter muitos lados ou ângulos. Eles foram estudados pelo grande 
Geômetra Euclides de Alexandria em sua obra Os elementos. 
 
20. (IFSUL) 
Quantos lados têm um polígono cujo número total de diagonais é igualao quádruplo do seu número de vértices? 
a) 10 b) 11 c) 13 d) 9 
 
21. (IFSUL) 
Quantos lados têm um polígono cuja soma dos ângulos internos e externos é 1980 ? 
a) 8 b) 11 c) 13 d) 17 
 
22. O total de anagramas da palavra LÓGICA é exatamente igual à medida, em graus, da soma dos ângulos internos 
de um polígono regular. Considerando que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão 
S (n 2).= − 180 , onde n corresponde ao número de lados, pode-se afirmar que esse polígono é um: 
a) Triângulo. 
b) Quadrado. 
c) Pentágono. 
d) Hexágono. 
e) Heptágono. 
 
23. A arte e a arquitetura islâmica apresentam os mais variados e complexos padrões geométricos. 
Na Mesquita de Córdoba, na Espanha, podemos encontrar um dos mais belos exemplos dessa arte. O esquema 
geométrico da figura 1 é um dos muitos detalhes dessa magnífica obra. 
 
Assinale a alternativa que apresenta o padrão geométrico cuja 
repetição compõe a figura 1. 
 
a) b) c) 
 
 
 d) e) 
 
 
 
 
 
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24. Somando-se todos os ângulos internos de três polígonos convexos obtém-se 2160 . Sabe-se que o número de 
lados desses polígonos é n 2,− n e n 2.+ Dentre eles, o que possui menor número de lados é um 
 
a) triângulo. b) quadrilátero. c) pentágono. d) hexágono. 
 
 
25. Os ângulos externos de um polígono regular medem 15 . O número de diagonais desse polígono é: 
 
a) 56. b) 24. c) 252. d) 128. e) 168. 
 
 
26. (UECE) 
Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é 
 
a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. 
 
 
27. (IFCE) 
Um robô, caminhando em linha reta, parte de um ponto A em direção a um ponto B, que distam entre si cinco metros. 
Ao chegar ao ponto B, gira novamente 60° à esquerda e caminha mais cinco metros, repetindo o movimento e o giro 
até retornar ao ponto de origem. O percurso do robô formará um polígono regular de 
 
a) 10 lados. b) 9 lados. c) 8 lados. d) 7 lados. e) 6 lados. 
 
28. (UEPG) 
O polígono regular 1P tem n lados e o polígono regular 2P tem n 2+ lados. Se o ângulo externo de 1P excede o 
ângulo externo de 2P em 15 , assinale o que for correto. 
01) O polígono 2P é um octógono. 
02) Cada ângulo interno de 2P vale 120 . 
04) O número de diagonais de 1P é 12. 
08) O número de diagonais de 2P é 20. 
16) A soma dos ângulos internos de 1P é 540 . 
 
29. Nas figuras abaixo, estão representados dois polígonos convexos e suas respectivas diagonais: 
 
 
 
O quadrilátero PQRS possui 2 diagonais e o pentágono 
ABCDE possui 5 diagonais. 
 
 
 
 
 
a) Observe a tabela e preencha a última linha. 
 
b) Quantos vértices possui um polígono convexo que tem 252 diagonais? 
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30. Um dos esportes que mais tem atraído o público nos últimos anos é o MMA, em que as lutas são disputadas dentro 
de um ringue com a forma de um octógono regular. Segundo seu criador, Rorion Gracie, um dos fatores que levou à 
escolha deste formato de ringue foi o fato de seus ângulos internos evitarem que os lutadores fiquem presos nos cantos. 
 
a) Quanto mede cada um dos ângulos internos de um 
octógono regular? 
b) Qualquer octógono pode ser dividido em dois trapézios 
e um retângulo, conforme a figura abaixo. Calcule o valor 
aproximado da área interna desse octógono, sabendo que 
cada lado mede aproximadamente 4 metros. (use 
2 1,4) 
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
 
Considere o texto a seguir para responder à(s) questão(ões) a seguir. 
 
As “áreas de coberturas” a serem atendidas por um serviço de telefonia móvel são divididas em células, que são iluminadas por 
estações-radiobase localizadas no centro das células. 
As células em uma mesma área de cobertura possuem diferentes frequências, a fim de que uma célula não interfira na outra. Porém, 
é possível reutilizar a frequência de uma célula em outra célula relativamente distante, desde que a segunda não interfira na primeira. 
Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas, o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma configuração muito utilizada 
está exemplificada na Figura 1, que representa um modelo matemático simplificado da cobertura de rádio para cada estação-base. 
O formato hexagonal das células é o mais prático, pois permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas e sem sobreposições. 
A figura 2 ilustra o conceito de reutilização de frequência por cluster, em que as células com mesmo número utilizam a mesma 
frequência. 
 
31. (Fatec) 
Na figura 2, os hexágonos são congruentes, 
regulares, têm lado de medida R e cobrem uma 
superfície plana. Para determinar a distância D, 
distância mínima entre o centro de duas células 
que permitem o uso da mesma frequência, pode-
se traçar um triângulo cujos vértices são os 
centros de células convenientemente escolhidas, 
conforme a figura 3. 
 
 
 
 
Assim sendo, o valor de D, expresso em função de R, é igual a 
a) R 21 
b) 5R 
c) 3R 3 
d) R 30 
e) 6R 
 
 
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32. (PUCRS) 
Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados 
paralelos é de 1cm, conforme a figura abaixo. 
 
O lado desse hexágono mede ______ cm. 
 
a) 
1
2
 b) 
3
3
 c) 3 d) 
5
5
 e) 1 
 
 
 
 
33. (IFSC) 
Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A medida do lado do quadrado é 90 cm. Nessas 
condições, a medida do lado do triângulo equilátero é de... 
a) 90 cm. b) 180 cm. c) 120 cm. d) 100 cm. e) 150 cm. 
 
34. (ESPM) 
Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O 
comprimento do segmento AD é igual a: 
a) b) c) d) e) 
 
35. (PUCRJ) 
 
Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? 
 
a) 24° 
b) 30° 
c) 36° 
d) 40° 
e) 45° 
 
 
 
__________________________________ 
 
GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
M é o número de diagonais do pentágono, portanto: 
5 (5 3)
M 5
2
 −
= = 
 
N é o número de diagonais do heptágono, portanto: 
7 (7 3)
N 14
2
 −
= = 
 
Logo, a razão pedida será dada por: 
M 5
N 14
= 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Como um hexágono regular possui como soma dos ângulos internos 
720 e cada ângulo mede 120 logo o ângulo B mede 120 e 
como o novo hexágono é traçado nos pontos médios temos que 
A'B BB'= e assim o triangulo A'B'B é isósceles. 
 
Nesse sentido, sabendo que o ângulo B mede 120 tem-se que os 
outros dois ângulos possuem a mesma medida e assim: 
A ' 30
A ' B' 120 180
B' 30
= 
+ +  =   
= 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Se o octógono é regular, então 𝐹𝐺 = 𝐺𝐻 e 𝐹𝐺𝐻 = 135°. Ademais, 
sendo o triângulo 𝐺𝐻𝐼 equilátero, vem 𝐺𝐼 = 𝐹𝐺 e 𝐻𝐺𝐼 = 60°. Em 
2 1 2+ 2 2 1− 2 2 1+ 2 2
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consequência, o triângulo 𝐹𝐺𝐼 é isósceles de base 𝐹𝐼, implicando, 
portanto, em 𝐺𝐹𝐼 ≡ 𝐺𝐼𝐹. Desse modo, temos 
FGI FGH HGI
135 60
75 .
= −
=  − 
= 
 
 
A resposta é 
1
GIF (180 FGI)
2
1
105
2
52,5 .
=   −
=  
= 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Marcando 36 pontos; igualmente espaçados, na circunferência, 
encontraremos um polígono regular de 36 lados inscritos nesta 
circunferência. 
A medida do ângulo central deste polígono será dada por 
360 36 10 . = Podemos então imaginar a figura abaixo: 
 
 
 
x
sen5 x 1 0,08 0,08
1
 =  =  = 
 
Portanto, o lado do polígono mede: 
2 x 2 0,08 0,16 =  = 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Calculando a medida do ângulo interno do pentágono regular: 
5 e 360 e 72 =   =  
 
Logo, a medida de seu ângulo interno será: 
180 72 108 −  =  
 
Calculando a medida do ângulo interno do hexágono regular: 
6 e 360 e 60 =   =  
 
Logo, a medida de seu ângulo interno será: 
180 60 120 −  =  
 
Portanto: 
x 108 2 120 360 x 12+  +   =   =  
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Considerando que cada ângulo interno do pentágono mede: 
(5 3) 180
108
5
−  
=  
 
Podemos escrever: 
y 108 108 360 y 144+  +  =  =  
x y 180+ =  (ângulos consecutivos do losango) x 36 . =  
z 36 108 108 360 z 108+  +  +  =   =  
 
Portanto, 
x y z 288+ + =  
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
 
 
Considerando a circunferência circunscrita no pentágono regular, 
concluímos que: 
72ˆGHC 36
2

= =  
 
Admitindo que x seja a medida do lado pedido e considerando o 
triângulo HMC, podemos escrever que: 
x
2cos36 x
1
2
 = = 
 
Portanto, 
x cos36=  
 
Resposta da questão 8: 
 
 Desenhando: 
 
 
 
Calculando: 
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BÂD ABD 45
ADC 360 90 90 60 120
180 120
DAC DCA 30
2
BDC 60 90 150
180 150
DBC DCB 15
2
= = 
=  −  −  −  = 
 − 
= = = 
=  +  = 
 − 
= = = 
 
 
Assim: 
ABC 15 45 60
BAC 45 30 75
BCA 15 30 45
=  +  = 
=  +  = 
=  +  = 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Contando as diagonais temos: 
 
 
 
Cinco diagonais. 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser 
calculada através da fórmula a seguir, onde n é o número de lados do 
polígono. Ou seja: 
i iS 180 (n 2) 180 (5 2) 180 3 S 540=   − =   − =   → =  
 
Assim, sabendo que a soma dos ângulos internos é 540 , pode-se 
escrever: 
5
540 2x 30 x 2x 2x 50 4x 40
2
5
540 10x x 40 1000 25x x 40
2
= + + + + + + −
= + + → = → = 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
O número d de diagonais de um polígono de 14 lados será dado 
pela seguinte relação: 
( )
77
2
31414
d =
−
= 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Se o lado AB refere-se a um polígono regular de 6 lados, então o 
arco AB mede 60 . 
Se o lado CD refere-se a um polígono regular de 10 lados, então o 
arco CD mede 36 . 
A circunferência tem um total de 360 , logo o ângulo pedido será: 
360 60 36
132
2
α α
− −
=  =  
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
 
 
A medida de cada um dos ângulos internos do polígono será 
60 60 40 160 . +  +  =  
 
Portanto, cada um de seus ângulos externos será de 20 . Admitindo 
que n é o número de lados do polígono regular, podemos escrever: 
360 360
20 n n 18
n 20
 
=   =  =

 
 
Logo, o número de triângulos será igual ao número de lados, ou seja 
18. 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )int ernos
int ernos
pentágono regular z é ângulo interno
S 180 n 2 180 5 2 540
S 540
z 108
n 5
x y z 180
2x 108 180 x y 36
x y

=   − =   − = 

= = = 
+ + = 
 + =  = = 
=
 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Os vértices do pentágono regular dividem a circunferência em cinco 
arcos congruentes de medida igual a 
360
72 .
5

=  Além disso, 
como PA e PB são tangentes à circunferência nos pontos A e B, 
segue que os ângulos 𝑂�̂�𝑃 e OBP são retos. Em consequência, 
APB é o suplemento do ângulo central 𝐴�̂�𝐵, ou seja, 
180 72 108 . −  =  
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
Sendo o polígono da figura um heptágono, a resposta é 
180 (7 2) 900 .  − =  
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
A diagonal IJ cruza liga vértices opostos do hexágono. Como existem 
apenas 6 vértices, há apenas mais duas diagonais possíveis ligando 
vértices opostos (portanto tendo o mesmo comprimento) – NQ e 
MP. 
 
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Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Um hexágono regular possui lado igual ao raio da circunferência a qual 
está inscrito. Assim, o comprimento do muro será igual ao diâmetro, 
ou 24 metros. Pode-se desenhar: 
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
( ) ( )
externos
n n vértices ou lados
S 360 n 18 n 20 vértices ou lados
n n 3 20 20 3
Diagonais 170
2 2
= 
=  =   → =
 −  −
= = =
 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
Calculando: 
( )
( )
vértices lados
2lados lados
lados lados lados lados
2
lados lados
lados
n n
n (n 3)
D 4n n 3n 8n
2
n 11n 0
n 11
=
 −
= = → − =
− =
=
 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
Calculando: 
e
i
S 360
S (n 2) 180 1980 360 (n 2) 180
1980 360 180n 360 180n 1980 n 11
= 
= −   →  −  = −  
− = − → = → =
 
 
Resposta da questão 22: 
 [D] 
 
O número de anagramas possíveis da palavra LÓGICA é igual a 
permutação de 6: 
6! 6 5 4 3 2 1 720=      = 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono regular se dá pela 
fórmula S (n 2) 180,= −  onde n é o número de lado do polígono. 
Logo, se S 720,= tem-se: 
S 720 (n 2) 180 n 6= = −  → = 
 
O polígono regular de 6 lados chama-se hexágono. 
 
 
 
Resposta da questão 23: 
 [E] 
 
É fácil ver que o padrão geométrico repetido é o da alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 24: 
 [B] 
 
Calculando a soma dos ângulos internos de cada polígono, temos: 
180 (n 2 2) 180 (n 2) 180 (n 2 2) 2160  − − +   − +  + − =  
 
Dividindo os dois membros da igualdade por 180 , temos: 
n 4 n 2 n 12 3n 18 n 6− + − + =  =  = 
 
Portanto, n 2 4− = e o polígono com o menor número de lados é 
um quadrilátero. 
 
Resposta da questão 25: 
 [C] 
 
A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é sempre 
360 , daí, temos: 
n 15 360 n 24  =   = 
 
Logo, o número de diagonais de um polígono de 24 lados será dado 
por: 
( )
252
2
32424
d =
−
= 
 
Resposta da questão 26: 
 [A] 
 
Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número 
de diagonais, temos: 
 
2 21 n (n 3)n d d 3 n 3n n 3 n 6n n 9 n 0
3 2
n 0 (não convém) ou
n 9.
 − 
=   =   =  −  =  −  =  
 
=
=
 
 
Logo, o valor de n é 9. 
 
Resposta da questão 27: 
 [E] 
 
 
 
O trajeto do robô será um polígono regular de lado 5m e ângulo 
externo 60°. Como 360° : 6 = 60°, concluímos que o polígono pedido 
possui 6 lados. 
 
Resposta da questão 28: 
 
 01 + 08 = 09. 
 
Sejam 
1e
a e 
2e
a , respectivamente, os ângulos externos de 1P e 
2P . Logo, temos 
 
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1 2e e
2
360 360
a a 15 15
n n 2
n 2n 48 0
n 6.
 
= +   = + 
+
 + − =
 =
 
 
[01] Correto. Com efeito, já que 2P possui 6 2 8+ = lados. 
 
[02] Incorreto. Se 
2e
360
a 45 ,
8

= =  então 
2i
a 180 45 135 ,= −  =  com 
2i
a sendo o ângulo interno de 
2P . 
 
[04] Incorreto. O número de diagonais de 1P é igual a 
 
6 (6 3)
9.
2
 −
= 
 
[08] Correto. De fato, o número de diagonais de 2P é igual a 
 
8 (8 3)
20.
2
 −
= 
 
[16] Incorreto. A soma dos ângulos internos de 1P é 
180 (6 2) 720 .  − =  
 
Resposta da questão 29: 
 
 a) Completando a tabela: 
 
 
 
b) Fazendo os cálculos, tem-se: 
2
2
n (n 3)
252 0 n 3n 504
2
( 3) 4 1 ( 504) 2025
n 21 (não convém)3 2025 3 45
n n
n 242 2
 −
= → = − −
 = − −   − →  =
= − 
= → = →
=
 
 
Resposta da questão 30: 
 
 a) Como o octógono é regular, seu ângulo cêntrico é igual ao seu 
ângulo externo, ou seja: 
360
ê 45
8

= =  
 
E assim, seu ângulo interno será: 
î 180 ê î 135=  − → =  
 
b) Com os dados do enunciado, pode-se deduzir: 
 
 
 
Considerando a área amarela como metade de um quadrado de 
lado x, , pode-seescrever: 
 
4 x 2 x 2 2 x 2,8= → = → = 
 
trapézio trapézio
retângulo retângulo
octógono trapézio retângu
Base maior do trapézio 2,8 4 2,8 9,6
Base menor do trapézio 4
Altura do trapézio 2,8
(4 9,6) 2,8
Área Área 19,0
2
Área 4 9,6 Área 38,4
Assim :
Área 2 Área Área
→ + + =
→
→
+ 
= → =
=  → =
=  + lo
2
octógonoÁrea 76,4 m=
 
 
Resposta da questão 31: 
 [A] 
 
Apótema do hexágono regular: 
2
3R
a = 
 
 
 
No triângulo assinalado da figura, temos: 
2 2
2 2 25R 3 3RD D 21 R D R 21.
2 2
   
= +  =  =       
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 32: 
 [B] 
 
Como o raio r do círculo inscrito no hexágono é a metade da distância 
entre os lados paralelos, segue que 
1
r cm.
2
= Logo, o lado do 
hexágono regular é dado por 
1
2 3
32 cm.
3 3

= 
 
Resposta da questão 33: 
 [C] 
 
Seja a medida do lado do triângulo equilátero, portanto 
3.a = 4.90 
A = 120 cm 
 
 
Resposta da questão 34: 
 [B] 
 
Sabendo que o número de diagonais de um polígono regular em 
função do número de lados é dado por temos 
que 
 
Logo, e são vértices consecutivos de um octógono 
regular, cujo ângulo interno mede 
 
De posse desses dados, considere a figura abaixo. 
 
Como os triângulos e são congruentes, basta 
calcularmos pois é retângulo. 
Assim, 
 
Por conseguinte, 
 
 
 
Resposta da questão 35: 
 [C] 
 
 
(d)
(n)
n (n 3)
d ,
2
 −
=
2n (n 3)20 n 3n 40 0 n 8.
2
 −
=  − − =  =
A,B, C D
180 (n 2) 180 (8 2)
135 .
n 8
  −   −
= = 
AB'B CC'D
AB', BB'C'C
AB 1 2
AB' .
22 2
= = =
AD 2 AB' B'C'
2
2 1
2
2 1.
=  +
=  +
= +