PV - 3 Série - Livro 1 - Octa Mais-127

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Esses números estabelecem a principal nomenclatura 
dos polígonos, a qual pode ser vista na tabela a seguir.
Nomenclatura dos polígonos
Número de vértices Nome do polígono
n = 3 Triângulo
n = 4 Quadrilátero
n = 5 Pentágono
n = 6 Hexágono
n = 7 Heptágono
n = 8 Octógono
n = 9 Eneágono
n = 10 Decágono
n = 11 Undecágono
n = 12 Dodecágono
n = 13 Tridecágono
n = 14 Tetradecágono
n = 15 Pentadecágono
 
n = 20 Icoságono
Qualquer segmento de reta que une dois vértices de 
um polígono e que não é um de seus lados é chamado 
de diagonal do polígono. Observe, nas figuras anteriores, que 
o triângulo ABC não possui diagonal, que o quadrilátero ABCD 
tem duas diagonais AC eBD� � e que o pentágono ABCDE apre-
senta cinco diagonais AC AD BD BE e CE, , ,� �. De maneira geral, 
podemos destacar a seguinte relação entre o número de vérti-
ces e o número de diagonais que parte de cada vértice:
Como cada diagonal possui duas extremidades em vérti-
ces distintos do polígono, o princípio multiplicativo da conta-
gem permite afirmarmos que o produto n ⋅ (n – 3) equivale 
ao dobro do número de diagonais de um polígono com n vér-
tices. Assim, sendo d o número de diagonais de um polígono 
de n vértices, temos:
d
n n 3
2
Cada um dos n vértices de um polígono é 
extremidade de exatamente (n – 3) diagonais.
 Exercício resolvido
1 Quantos são os lados de um polígono que possui exata-
mente 35 diagonais?
Resolução:
Como d = 35, sendo n o número de lados desse polígono, 
temos:
n n
n n
n n
⋅ −( )
=
⋅ −( ) =
− − =
3
2
35
3 70
3 70 02
Calculando o discriminante da equação, obtemos:
∆
∆
∆
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= +
=
3 4 1 70
9 280
289
2
Logo:
n
n
n
=
− −( ) ±
⋅
=
±
= −
=
3 289
2 1
3 17
2
7
10
↗
↘
Como n é positivo, concluímos que o polígono tem 10 lados.
Se um polígono tiver pelo menos uma diagonal situada 
em sua região exterior, ele será denominado côncavo, e as 
regiões onde as diagonais exteriores ficam situadas são cha-
madas concavidades do polígono.
O pentágono ABCDE apresentado no exemplo anterior é 
côncavo, pois sua diagonal AD passa pela região exterior a ele.
Se um polígono não possuir concavidade, receberá o 
nome de convexo. Assim, todos os triângulos são convexos, 
pois não têm diagonais.
Além disso, o quadrilátero ABCD apresentado no exem-
plo anterior é convexo, visto que suas diagonais AC e BD estão 
contidas na região interior desse polígono.
De modo geral, se um polígono é convexo, então:
• todas as diagonais estão situadas em sua região interior;
• todos os ângulos internos têm medida inferior a 180° 
(0° < i < 180°);
• os ângulos internos e externos que possuem o mesmo 
vértice são suplementares.
Chamamos de polígono regular um polígono convexo 
que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos 
internos também congruentes.
MATEMÁTICA – FRENTE 3378
ATIVIDADES 7 E 8
Relações métricas em polígonos
2020_OCTA+_V1_MAT_F3.INDD / 22-10-2019 (09:54) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020_OCTA+_V1_MAT_F3.INDD / 22-10-2019 (09:54) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
 � Quadriláteros inscritíveis
Um quadrilátero é chamado inscritível ou cíclico quando 
seus quatro vértices estão sobre uma mesma circunferência. 
Apresentamos a seguir uma condição necessária e suficiente 
para que um quadrilátero seja inscritível:
“Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, 
seus ângulos internos opostos são suplementares.”
A
B
O
CD
Quadrilátero inscritível ABCD.
Assim, um quadrilátero ABCD é inscritível se, e somen-
te se:
med A med C medB medD 180
1 Nas figuras abaixo, estão representados dois polígonos 
convexos e suas respectivas diagonais:
O quadrilátero PQRS possui 2 diagonais e o pentágono ABCDE 
possui 5 diagonais.
a) Observe a tabela e preencha a última linha.
Quantidade de 
vértices 
do polígono
Quantidade 
de diagonais 
que partem de 
cada vértice
Quantidade 
total de 
diagonais
3 0 0
4 1 2
5 2 5
6 3 9
7 4 14
n
b) Quantos vértices possui um polígono convexo que tem 
252 diagonais?
2 A imagem a seguir é de uma calçada da Avenida Paulis-
ta, na cidade de São Paulo. O mosaico presente nessa calça-
da, que imita o formato do estado paulista, pode ser obtido 
usando-se peças de cerâmica quadradas que são completa-
mente brancas ou completamente pretas ou, ainda, metade 
brancas e metade pretas.
andreaantunes1/iStockphoto.com
a) Como pode ser classificado o polígono que representa o 
formato do estado de São Paulo na calçada?
b) Sabendo que os lados das peças quadradas de cerâmica 
que compõem esse mosaico medem 20 cm cada, deter-
mine o perímetro aproximado desse polígono que repre-
senta o formato do estado de São Paulo.
 � Quadriláteros circunscritíveis
Um quadrilátero é denominado circunscritível quando 
existe uma circunferência que tangencia seus quatro lados. 
O teorema de Pitot nos fornece as condições necessárias e 
suficientes para que um quadrilátero seja circunscritível:
“Um quadrilátero ABCD é circunscritível se, e somente 
se, as somas das medidas dos lados opostos são iguais.”
A
D C
O
B
Quadrilátero circunscritível ABCD.
Assim, um quadrilátero ABCD é circunscritível se, e so-
mente se:
AB + CD = BC + AD
MATEMÁTICA – FRENTE 3 379
ATIVIDADES 7 E 8
Relações métricas em polígonos
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3 Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma 
de um hexágono regular. Cada lado do hexágono media 15 m. 
Quantos quilômetros ele percorreu?
A 9
B 90
C 900
D 9000
4 Quantos são os lados de um polígono que possui exata-
mente 77 diagonais?
A 7
B 10
C 12
D 14
E 17
5 Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem
A 6 lados.
B 9 lados.
C 10 lados.
D 12 lados.
E 20 lados.
6 Quantas diagonais possui um octógono regular?
A 4
B 8
C 16
D 20
E 64
7 Quantas diagonais possui um icoságono convexo?
A 90
B 120
C 170
D 200
8 Ao somar o número de diagonais e o número de lados de 
um dodecágono obtém-se
A 66
B 56
C 44
D 42
9 A figura a seguir mostra uma circunferência e dois polígo-
nos. Um dos polígonos é inscrito nessa circunferência e ou-
tro, circunscrito a ela.
Se M é o número de diagonais do polígono inscrito e N é o 
número de diagonais do polígono circunscrito, a razão entre 
M e N é igual a
A 7/5
B 5/7
C 14/5
D 5/14
10 Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscri-
tível, tal que AB = 3x + 3, BC = 2x, CD = x + 1 e AD = 3x.
11 Determine a medida de um dos lados não paralelos de um 
trapézio isósceles, circunscrito a um círculo, sabendo que suas 
bases medem 40 cm e 20 cm. Calcule o perímetro do trapézio.
12 Calcule x na figura a seguir.
A
D C
1200 B
x
13 Se a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero não é 
180°, podemos afirmar que esse quadrilátero:
A é inscritível em uma circunferência.
B não é inscritível em uma circunferência.
C é circunscritível a uma circunferência.
D não é circunscritível a uma circunferência.
14 Quantas diagonais um icoságono possui a mais que um 
decágono? Quantos lados tem o polígono que apresenta 
essa quantidade de diagonais?
15 Quantas diagonais de um dodecágono regular não pas-
sam pelo centro?
16 A figura a seguir mostra um polígono regular de 14 lados 
e todas as suas diagonais:
Fonte: https://clickexatas.wordpress.com. Acessado em 12/10/2005
O número de diagonais traçadas é de
A 77
B 79
C 80
D 98
MATEMÁTICA – FRENTE 3380
ATIVIDADES 7 E 8
Relações métricas em polígonos
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3 Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma 
de um hexágono regular. Cada lado do hexágono media 15 m. 
Quantos quilômetros ele percorreu?
A 9
B 90
C 900
D 9000
4 Quantos são os lados de um polígono que possui exata-
mente 77 diagonais?
A 7
B 10
C 12
D 14
E 17
5 Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem
A 6 lados.
B 9lados.
C 10 lados.
D 12 lados.
E 20 lados.
6 Quantas diagonais possui um octógono regular?
A 4
B 8
C 16
D 20
E 64
7 Quantas diagonais possui um icoságono convexo?
A 90
B 120
C 170
D 200
8 Ao somar o número de diagonais e o número de lados de 
um dodecágono obtém-se
A 66
B 56
C 44
D 42
9 A figura a seguir mostra uma circunferência e dois polígo-
nos. Um dos polígonos é inscrito nessa circunferência e ou-
tro, circunscrito a ela.
Se M é o número de diagonais do polígono inscrito e N é o 
número de diagonais do polígono circunscrito, a razão entre 
M e N é igual a
A 7/5
B 5/7
C 14/5
D 5/14
10 Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscri-
tível, tal que AB = 3x + 3, BC = 2x, CD = x + 1 e AD = 3x.
11 Determine a medida de um dos lados não paralelos de um 
trapézio isósceles, circunscrito a um círculo, sabendo que suas 
bases medem 40 cm e 20 cm. Calcule o perímetro do trapézio.
12 Calcule x na figura a seguir.
A
D C
1200 B
x
13 Se a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero não é 
180°, podemos afirmar que esse quadrilátero:
A é inscritível em uma circunferência.
B não é inscritível em uma circunferência.
C é circunscritível a uma circunferência.
D não é circunscritível a uma circunferência.
14 Quantas diagonais um icoságono possui a mais que um 
decágono? Quantos lados tem o polígono que apresenta 
essa quantidade de diagonais?
15 Quantas diagonais de um dodecágono regular não pas-
sam pelo centro?
16 A figura a seguir mostra um polígono regular de 14 lados 
e todas as suas diagonais:
Fonte: https://clickexatas.wordpress.com. Acessado em 12/10/2005
O número de diagonais traçadas é de
A 77
B 79
C 80
D 98
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17 Se a razão entre o número de diagonais d e de lados n, 
com n > 3, de um polígono, é um número inteiro positivo, 
então o número de lados do polígono:
A é sempre par.
B é sempre ímpar.
C é sempre múltiplo de 3.
D não existe.
E é sempre primo.
18 O valor do raio R do círculo inscrito no trapézio retângulo 
de bases 15 cm, 10 cm e lado oblíquo 13 cm, em cm, é:
A 12
B 10
C 6
D 5
E 3
19 Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das 
seguintes afirmações:
 O hexágono regular tem exatamente 9 diagonais.
 O pentadecágono regular possui 50 lados.
 Todo quadrilátero convexo que pode ser inscrito em uma 
circunferência é regular.
 Existe polígono convexo com exatamente 40 diagonais.
20 A teoria dos grafos é uma estrutura matemática usada 
para representar mapas rodoviários, sistemas de distribuição 
de água, hierarquia de cargos em uma empresa ou mesmo 
para estudar o relacionamento social entre pessoas etc. Ela 
tem muita relação com a geometria. Por exemplo, o número 
máximo de ligações que podem existir entre dois dos n ele-
mentos de determinado conjunto G pode ser observado geo-
metricamente, de modo que cada ligação entre os elementos 
de G seja representada por um lado ou por uma diagonal de 
um polígono convexo P com n lados.
Sendo y = f(n) a função que expressa esse número máxi-
mo de ligações entre os n vértices de um polígono regular 
e sabendo que existem coeficientes reais a, b e c tais que 
f(n) = a ⋅ n2 + b ⋅ n + c, determine:
a) os valores dos coeficientes a, b e c;
b) o conjunto domínio da função f;
c) os valores de n para y = 28 e para y = 32.
As questões selecionadas nesta seção são prioritariamente do Enem, mas questões de vestibulares diversos que apresentam caracterís-
ticas semelhantes aos itens do referido exame também foram usadas como recurso para estudo.
1 Um objeto de decoração tem a forma de um pentágono 
regular, apresentando todas as suas diagonais. Sabe-se que 
cada diagonal foi pintada de uma cor diferente das demais. 
Então, qual é o número de cores diferentes que foram utiliza-
das na pintura de tais diagonais?
A 5
B 6
C 8
D 9
2 Geovana está aprendendo a fazer construções geométricas 
com régua e compasso. Em uma das atividades propostas por 
seu professor, ele deve desenhar um hexágono regular inscrito 
numa circunferência e depois um hexágono regular circunscrito 
a essa mesma circunferência, conforme mostra a figura a seguir:
 
Caso ela utilize uma circunferência de raio R, a razão entre 
o lado do hexágono regular inscrito e o lado do hexágono 
regular circunscrito a essa circunferência valerá
A 
6
2
 
B 
3
3
 
C 
3
2
 
D 
1
2
 
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