GEOMETRIA PLANA

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GEOMETRIA PLANA 
 
 
 
POLÍGONOS 
 
Polígono convexo e côncavo 
A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa 
região pode ser convexa ou côncava. 
Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região 
poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece. 
 
Polígonos regulares 
Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é 
chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo. 
Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao 
mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular. 
 
Elementos do Polígono 
 Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono. 
 Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos. 
 Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, 
os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele. 
 Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta 
que passa pelo interior da figura. 
 
Nomenclatura dos Polígonos 
Dependendo do número de lados presentes, os polígono são classificados em: 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula da área do polígono a partir do perímetro 
Quando conhecemos o valor do perímetro de um polígono regular, podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular 
a sua área: 
 
Sendo: 
p: semiperímetro (a medida do perímetro dividido por 2). 
a: apótema 
 
Fórmula da área de um losango 
 
 
Fórmula da área de um trapézio 
 
 
Fórmula da área de um paralelogramo 
 
Área do triangulo 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Pitot 
 O teorema de Pitot, que leva o nome do engenheiro francês Henri Pitot, afirma que em um quadrilátero 
convexo circunscritível o resultado da soma dos comprimentos dos lados opostos é o mesmo. 
 O teorema é uma consequência do fato de que dois segmentos de reta tangentes de um ponto fora do 
círculo para o círculo tem comprimentos iguais. 
 Um quadrilátero é circunscritível quando os quatro lados são tangentes a uma mesma circunferência. 
 Nesse caso, dizemos que a circunferência está inscrita no quadrilátero. 
 Em todo quadrilátero convexo circunscritível as somas dos lados opostos são iguais. 
 Assim, obtemos que: 
 
 
 
BC +AD = CD +BA 
 
Temos também que: BX’=BY’ CX’=CU’ DU’=DZ’ AZ’=AY’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
A relação entre ângulos e círculo é muito importante no estudo da geometria. Diversos 
assuntos ligados à astronomia possuem relações estreitas com ângulos no círculo ou na 
circunferência. Podemos ter ângulos com vértice no centro, no interior ou no exterior de 
um círculo, cada um apresentando características e propriedades diferentes. Vejamos 
cada um desses casos: 
 
1. Ângulo com vértice no centro da circunferência – Ângulo central. 
 
Propriedade: o ângulo central apresenta a mesma medida do arco formado por seus 
lados, ou seja: 
 
2. Ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência – Ângulo Inscrito. 
 
Propriedade: a medida do ângulo inscrito equivale à metade da medida do arco formado 
por seus lados, ou seja: 
 
Exemplo: Determine o valor de α sabendo que o arco AB mede 60o. 
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Solução: 
 
 
3. Ângulo com vértice exterior à circunferência – Ângulo excêntrico externo. 
 
Propriedade: o ângulo α equivale à metade da diferença entre as medidas dos arcos 
formados pelos seus lados, ou seja: 
 
Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo. 
 
 
4. Ângulo com vértice no interior da circunferência – Ângulo excêntrico interno. 
 
Propriedade: o ângulo excêntrico interno possui medida igual à metade da soma dos 
arcos formados pelos seus lados, ou seja: 
 
Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo. 
 
Solução: