2 _Cap_2_Probabilidade

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Profª Ana Paula
O termo probabilidade se refere ao estudo da 
aleatoriedade e da incerteza. Em qualquer 
situação em que ocorrem diversos resultados, a 
disciplina de probabilidade oferece métodos para 
qualificar as chances ou possibilidades de 
ocorrência associadas aos diversos resultados
2.1 Espaços amostrais e eventos
Um experimento é qualquer 
atividade ou processo cujo 
resultado está sujeito à incerteza.
Exemplo de Espaço Amostral
Exemplo de Espaço Amostral
O que é o mesmo de apresentar o resultado da avaliação da 
contaminação1 de água de três relatórios: 
D indica contaminada, e N indica adequada
1A água contaminada contém substâncias venenosas ou organismos patogênicos com capacidade de causar doenças.
Um evento é essencialmente um conjunto, de forma que as relações e 
resultados da teoria elementar dos conjuntos podem ser usados para o 
estudo dos eventos.
Exemplo: evento simples, evento composto
Exemplo: evento simples, evento composto
De quantas maneiras podemos encontrar exatamente 4 bombas em uso?
De quantas maneiras podemos encontrar mais bombas em uso no primeiro posto?
De quantas maneiras 
podemos encontrar 
extamente 4 bombas 
em uso?
De quantas maneiras 
podemos encontrar 
mais bombas em uso 
no primeiro posto?
https://www.randomservices.org/random/apps/Venn.html
Complemento
União
Intersecção
Você percebeu que ?
Exemplo: complemento, união, intersecção
Exemplo: complemento, união, intersecção
Interpretando probabilidade
Considere um experimento que pode ser executado repetidamente de 
uma forma idêntica e independente e represente por A um evento 
que consista em um conjunto fixo de resultados do experimento. 
Um exemplo simples de experimento passível de repetição é o lançamento de um 
dado e observar a face 6 (=evento A). 
Se o experimento for executado n vezes, em algumas delas o evento A 
ocorrerá (o resultado será o conjunto A) e, em outras, não. 
Seja n(A) o número de repetições em que A ocorre. A relação n(A)/n é 
denominada frequência relativa de ocorrência do evento A na sequência 
de n repetições. 
https://www.statcrunch.com/applets/type3&dice
[...] se n fica arbitrariamente grande, aproxima-se de um 
valor-limite denominado frequência relativa limite ou de longo 
prazo do evento A. 
A interpretação objetiva de probabilidade identifica essa frequência 
relativa limite com P(A). 
Na prática, essa interpretação não é tão objetiva quanto parece, já 
que a frequência relativa limite de um evento não, é via de regra, 
conhecida.
Exemplo (p.53)
Considere A o evento em que uma encomenda enviada dentro do estado de MG 
para entrega no 2º dia, na verdade, chegue dentro de um dia. Os resultados do 
envio de 10 dessas encomendas (as 10 primeiras realizações) são:
Qual a chance de que 
encomendas dentro do 
estado cheguem no 1º dia? 
Exemplo
Considere A o evento em que uma encomenda enviada dentro do estado de MG 
para entrega no 2º dia, na verdade, chegue dentro de um dia. Os resultados do 
envio de 10 dessas encomendas (as 10 primeiras realizações) são:
2.2 Axiomas, interpretações e propriedades da probabilidade
Dado um experimento e um espaço amostral S, o objetivo da 
probabilidade é atribuir a cada evento A um número P(A), 
chamada a probabilidade do evento A, que dará uma medida 
precisa da chance de A ocorrer. 
Para garantir que as atribuições de probabilidade sejam consistentes 
com nossas noções intuitivas de probabilidade, todas as atribuições 
devem satisfazer os axiomas (propriedades básicas) de probabilidade.
Experimente
https://www.randomservices.org/random/apps/SimpleProbability.html
Neste exemplo
Só TV
Determinando probabilidades sistematicamente
Considere que o espaço amostral S seja finito ou “infinito enumerável”.
Considere E1, E2, E3, ... os eventos simples correspondentes, cada um deles 
consistindo em um único resultado. 
Uma estratégia para o cálculo da probabilidade é determinar cada probabilidade de 
evento simples com a exigência de que
Então, a probabilidade de qualquer evento composto A é calculada somando 
Você considerou a moeda 
honesta? 
E se não for e a chance de 
sair coroa for 5 vezes maior 
do que de sair cara? 
Você considerou a moeda 
honesta?
 
E se não for e a chance de sair 
coroa for 5 vezes maior 
do que de sair cara? 
Resultados equiprováveis
Em muitos experimentos que consistem em N resultados, é razoável atribuir 
probabilidades iguais a todos os N eventos simples. 
Tais eventos incluem exemplos óbvios, como lançamento de uma moeda honesta; 
ou um dado não viciado uma ou duas vezes (ou qualquer número fixo de vezes); 
2.3 Técnicas de contagem
Em diversos problemas de contagem e 
probabilidade, uma configuração 
denominada diagrama de árvore pode 
ser usada para representar graficamente 
todas as possibilidades.
Exemplo: 2 dados
Porém, cuidado!
Arranjos e combinações 
Considere um grupo de n indivíduos ou objetos distintos. Há quantas maneiras de 
selecionar um subconjunto de tamanho k do grupo?
Pergunta: a ordem importa? 
Exemplo que vamos usar mais pra frente:
Sabendo que a chance de Sucesso é p e Fracasso é 1-p
qual a chance de encontrar 4 sucessos em 6 rodadas. 
SSSFSF
SFSFSS
FFSSSS
….
2.4 Probabilidade condicional
Nesta seção, examinamos como a informação “um evento B ocorreu” afeta a 
probabilidade atribuída a A.
Usaremos a notação P(A|B) [lê-se Probabilidade de A dado que B ocorreu] para 
representar a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B. 
B é o “evento condicionante”. 
https://setosa.io/ev/conditional-probability/
a) Dado que o indivíduo selecionado comprou uma bateria extra, qual a probabilidade de ter comprado de 
um cartão de memória ?
b) Dado que o indivíduo selecionado comprou um cartão de memória, qual a probabilidade ter que ter 
comprado uma bateria extra?
a) Dado que o indivíduo selecionado comprou uma bateria extra, qual a probabilidade de ter comprado de 
um cartão de memória ?
b) Dado que o indivíduo selecionado comprou um cartão de memória, qual a probabilidade ter que ter 
comprado uma bateria extra?
A regra da multiplicação é bem útil quando o experimento consiste em diversas 
etapas consecutivas. 
O evento condicional B, então, descreve o resultado da primeira etapa e A 
descreve o resultado da segunda, de forma que P(A|B) – condicionado ao que 
ocorre primeiro – normalmente é conhecida. 
Por exemplo, considere três eventos A1, A2 e A3. A intersecção tripla destes 
eventos pode ser representada como a intersecção dupla 
Exercício
Um saco contém 4 bolas brancas (W) e 3 bolas pretas (B) 
Um segundo saco contém 3 bolas brancas e 5 bolas pretas.
Uma bola é retirada do primeiro saco e colocada sem ser vista no segundo saco.
Qual a probabilidade de que uma bola, selecionada depois do segundo saco, seja 
preta?
Eventos mutuamente exclusivos e exaustivos
Os eventos A1, A2, A3, ..., Ak são mutuamente exclusivos se nenhum par deles 
tiver resultados comuns. 
Os eventos são exaustivos se um Ai tiver de ocorrer para que .
Teorema da probabilidade total
Teorema de Bayes
Exercício
0,275
2.5 Independência
Atenção
Exercícios sugeridos
p. 50 - 2, 3, 8 e 9
p. 58 - 11, 14, 17, 20, 22 e 26
p. 67 - 29, 35, 42
p. 76 - 45, 48, 59, 67, 69
p. 84 - 71, 75, 85
https://sparklp.co/04ea00a7/
https://sparklp.co/04ea00a7/