Trigonometria no Triângulo

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2020 - 2022
TRIGONOMETRIA
1. Trigonometria no Triângulo
2. Ângulos
3. Ciclo Trigonométrico I
4. Ciclo Trigonométrico II
Bora estudar trigonometria? Aprenda aqui sobre seno, cosseno, tangente, secante, 
cossecante e cotangente!
Esta subárea é composta pelos módulos:
5. Reduções para o 1º Quadrante
6. Operações com Arcos
7. Funções Trigonométricas I
8. Funções Trigonométricas II
9. Equações e Inequações 
Trigonométricas
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TRIGONOMETRIA NO 
TRIÂNGULO
TRIÂNGULOS 
Se você olhar ao seu redor perceberá que existem triângulos por todos os lados. Eles 
são figuras geométricas muito comuns e muito importantes para a matemática. As 
propriedades e axiomas dos triângulos você vai encontrar na apostila de geometria 
plana, aqui vamos relembrar a nomenclatura dos seus elementos e suas classificações, 
para facilitar a leitura.
Os triângulos são classificados quanto às medidas dos seus lados e quanto às medidas 
dos seus ângulos.
Classificação quanto à medida dos lados:
 f Triângulo Equilátero: possui três lados com medidas iguais;
 f Triângulo Isósceles: possui dois lados com medidas iguais;
 f Triângulo Escaleno: possui os três lados com medidas diferentes. 
Classificação quanto à medida dos seus ângulos: 
 f Triângulo Acutângulo: possui todos os ângulos agudos, ou seja, menores que 
90°;
 f Triângulo Obtusângulo: possui um ângulo obtuso, maior que 90°;
 f Triângulo Retângulo: possui um ângulo reto, com medida igual a 90°.
Retângulo Acutângulo Obtusângulo
Equilátero Isóceles Escaleno
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o Notações:
Geralmente usamos as seguintes notações para nomear os elementos de um triângulo: 
usamos letras maiúsculas do alfabeto, como A, B, C, para designar os vértices do 
triângulo. Os lados são nomeados com letras minúsculas, por exemplo a, b, c, e os 
ângulos são simbolizados por letras gregas, como α, 
β, δ, ou então letras maiúsculas acompanhadas de 
um acento circunflexo: A, B, C. Quando queremos nos 
referir ao triângulo, usamos os nomes dos vértices 
para identificá-lo, por exemplo, triângulo ABC. Quando 
queremos ocultar a palavra triângulo usamos o símbolo 
matemático: ΔABC.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Com certeza você já ouviu falar em Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangente de 
ângulos. Mas afinal de onde vêm esses nomes? Eles surgem da trigonometria, um ramo 
da matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos e nos 
permite conhecer distâncias que não podem ser medidas diretamente, como a distância 
entre a terra e os astros, por exemplo. 
Por volta de 300 a.C Aristarco de Samos estimou a distância entre o Sol e a Terra 
usando os conhecimentos da trigonometria. Ele percebeu que quando a lua estava um 
quarto crescente iluminada, formava um ângulo de aproximadamente 90° com a Terra, 
e assim, era possível desenhar um triângulo retângulo e calcular a distância desejada.
O primeiro passo é aprendermos sobre as relações trigonométricas no triângulo retângulo. 
Depois seremos capazes de aplicá-las em triângulos quaisquer. Conheceremos agora 
os elementos do triângulo retângulo.
Seja ABC um triângulo com ângulo reto em  e ângulo 
agudo α. O lado oposto ao vértice A, é chamado 
de hipotenusa. Os demais lados são chamados de 
catetos. O lado que participa da formação do ângulo 
reto e do ângulo α é chamado de cateto adjacente 
e o lado que não participa da formação do ângulo é 
chamado de cateto oposto. 
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oA altura do triângulo é o segmento que sai de um vértice e vai até a reta que contém o 
lado oposto, formando com essa reta um ângulo de 90°. A altura do triângulo é relativa 
ao lado que tomamos como referência. 
E a projeção de um cateto é a sombra que o cateto faz na hipotenusa. Observe na 
imagem abaixo um triângulo retângulo com os seus respectivos elementos.
Relações métricas no triângulo retângulo:
Agora que já nos familiarizamos com o triângulo retângulo, vamos conhecer algumas 
relações importantes entre os seus lados, através da semelhança de triângulos. Nunca 
estudou semelhança de triângulos? Calma, estudaremos todos os casos de semelhança 
de triângulos em geometria plana. Por enquanto basta que você saiba que se triângulos 
são semelhantes, então as medidas dos seus lados são proporcionais. Então vamos às 
relações?
Seja ABC um triângulo retângulo em Â, ao traçarmos a altura h relativa à hipotenusa, 
obteremos dois novos triângulos retângulos: ACD e ABD, como na imagem abaixo. 
Perceba que α = m + n, vamos usar essa informação em um próximo resultado.
Os triângulos ABC, ACD e ABD são semelhantes dois a dois. Desta semelhança 
obtemos as seguintes relações: 
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o f Como o triângulo ABC é semelhante ao ΔABD temos por proporcionalidade que:
 f Como o triângulo ABC é semelhante ao ΔACD temos por proporcionalidade que:
Ou seja:
Um cateto elevado ao quadrado é igual à sua projeção multiplicada pela hipotenusa.
 f Como o triângulo ABD é semelhante ao ΔACD temos por proporcionalidade que:
Ou seja:
A altura relativa à hipotenusa elevada ao quadrado é igual ao produto das projeções.
 f Como o triângulo ABC é semelhante ao ΔACD temos por proporcionalidade que:
Ou seja:
Hipotenusa que multiplica altura relativa é igual ao produto dos catetos.
Teorema de Pitágoras:
Em um triângulo retângulo qualquer, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa. Portanto: (cateto)2 + (cateto)2 = (hipotenusa)2.
Perceba que se somarmos as equações (i) e (ii) acima obteremos justamente o Teorema:
b2 + c2 = an + am
b2 + c2 = a (m + n), como a = m + n:
b2 + c2 = aa
b2 + c2 = a2
hipotenusa do ∆ABC
=
cateto menor do ∆ABC
→
a
=
c
→ c2 = am, (i)
hipotenusa do ∆ABD cateto menor do ∆ABD c m
hipotenusa do ∆ABC
=
cateto maior do ∆ABC
→
a
=
b
→ b2 = an, (ii)
hipotenusa do ∆ACD cateto maior do ∆ACD b n
cateto maior do ∆ACD
=
cateto maior do ∆ACD
→
n
=
h
→ h2 = mn
cateto menor do ∆ABD cateto menor do ∆ABD h m
hipotenusa do ∆ABC
=
cateto maior do ∆ABC
→
a
=
b
→ ah = bc
cateto menor do ∆ACD cateto menor do ∆ACD c h
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oExemplo: Calcule o valor de x.
Solução:
Como x é a medida da hipotenusa do triângulo, x = 10.
Relações trigonométricas no triângulo retângulo:
As relações ou razões trigonométricas relacionam os lados do triângulo retângulo com 
os seus ângulos internos. Já nomeamos os lados do triângulo retângulo de cateto oposto, 
cateto adjacente e hipotenusa, certo? Agora vamos relacionar a medida dos catetos e 
da hipotenusa com a medida dos ângulos internos.
Em um triângulo retângulo ABC com ângulo agudo α, temos as seguintes razões 
trigonométricas:
 f O seno do ângulo α é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a 
medida da hipotenusa. Denotaremos por sen(α).
 f O cosseno do ângulo α é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo 
α e a medida da hipotenusa. Denotaremos cos(α).
 f A tangente do ângulo α é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do 
cateto adjacente ao ângulo α. Denotaremos tg(α).
Parece muita coisa para decorar? Uma maneira fácil de lembrar das relações 
trigonométricas é através do SOH CAH TOA: 
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SOH Seno é o cateto Oposto sobre a Hipotenusa.
CAH Cosseno é o cateto Adjacente sobre a Hipotenusa.
TOA Tangente é o cateto Oposto sobre o cateto Adjacente.
Relação entre a tangente, o seno e o cosseno: 
Seja ABC um triângulo retângulo em Â, com ângulos agudos α e β, hipotenusa a, e 
catetos b e c, como na figura abaixo. Temos então:
Portanto a razão entre o seno de α e o cosseno de α é igual a razão entre o cateto 
oposto e o cateto adjacente ao ângulo α. Mas essa não é justamente a definição da 
tangente de α? Sim! Temos então a importanterelação:
Relação entre seno e cosseno de ângulos complementares:
Perceba na figura anterior que portanto 
Essa relação decorre do fato de α ser um ângulo complementar de β. Vamos recordar a 
definição de ângulos complementares:
Dois ângulos α e β são complementares se, e somente se, α + β = 90º.
Temos então o seguinte teorema:
Considerando α a medida em graus de um ângulo agudo qualquer,
sen (α) = cos(90º - α)
cos (α) = sen(90º - α)
sen (B) =
cateto oposto
hipotenusa
cos (B) =
cateto adjacente
hipotenusa
tg (B) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
a
=
ae
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oRelação fundamental da trigonometria:
Uma consequência importante do teorema de Pitágoras é a relação fundamental da 
trigonometria, que garante que a soma entre o quadrado do seno de um ângulo e o 
quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1. A partir dela podemos deduzir 
outras relações. Para deduzirmos essa relação, considere um triângulo ABC qualquer, 
retângulo em Â, com ângulos agudos α e β, com hipotenusa de medida a, catetos de 
medidas b e c. 
Do teorema de pitágoras temos: b 2 + c 2 = a 2
Perceba que ao dividirmos os dois lados da 
igualdade por a² teremos:
Note que , portanto,
Ângulos notáveis:
Os ângulos mais usados na trigonometria são os ângulos de 30°, 45° e 60°, que são 
chamados de ângulos notáveis. Será muito útil para o estudo da trigonometria conhecer 
as razões trigonométricas desses ângulos, pois através delas se torna possível calcular 
o seno, cosseno e a tangente de diversos outros ângulos. 
Ângulo de 45°:
Você sabia que em um triângulo retângulo ABC, se um de seus ângulos mede 45°, 
consequentemente o terceiro ângulo também medirá 45°? Isso decorre do fato de que 
a soma dos ângulos internos de um triângulo resulta sempre em 180°. Como o triângulo 
ABC tem dois de seus ângulos iguais, consequentemente terá também dois lados iguais, 
que chamaremos de a. Vamos calcular a hipotenusa h através do teorema de Pitágoras:
=
a
=
ae
1=+
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Como h é a medida da hipotenusa do triângulo então não faz sentido , portanto:
Temos então:
Ângulos de 30° e 60°:
Para encontrarmos o seno e o cosseno de 30° e 60° vamos utilizar os seguintes 
resultados da geometria plana:
 f Todos os ângulos internos do triângulo equilátero são iguais a 60°. 
 f Considere um triângulo equilátero cujos lados medem a. A altura desse triângulo 
divide o ângulo de 60° em dois ângulos de 30° e a base a ao meio, formando assim 
um triângulo retângulo cujos catetos são h e e hipotenusa a. Através do teorema 
de Pitágoras conseguimos calcular a altura h:
Temos então as seguintes relações: 
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oComo o ângulo de 60° é o ângulo complementar de 30°:
Podemos organizar essas informações em uma tabela, a chamada tabela trigonométrica 
dos ângulos notáveis:
30° 45° 60°
Seno 2
2
2
3
Cosseno 2
2
Tangente 3
3
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TRIÂNGULOS QUAISQUER
Já sabemos que as razões trigonométricas são definidas apenas em triângulos 
retângulos, mas podemos relacionar as medidas de ângulos internos de um triângulo 
qualquer com as medidas dos seus lados. Para isso temos dois teoremas: lei dos senos 
e lei dos cossenos.
Lei dos Senos 
Conhecer a lei dos senos será muito útil para a resolução de problemas que envolvam 
dois ângulos e a medida dos lados opostos a esses ângulos.
Teorema: As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos 
respectivos ângulos opostos, e a constante de proporcionalidade é igual à medida do 
diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo.
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Exemplo: Calcule x no seguinte triângulo: 
Solução: Pela lei dos senos temos:
Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos possibilita a resolução de problemas que envolvem a medida de três 
lados de um triângulo e um de seus ângulos.
Teorema: Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dos 
lados pelo cosseno do ângulo formando entre eles.
C
BA
10 cm
45º
30º
x
=x
sen(45º)
10
sen(30º)
=x
2
10
1
2
x 10 . 2=. 2
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Exemplo: Determine a medida de x da figura.
Solução: 
Pela lei dos cossenos
Lei das áreas
Provavelmente você já sabe calcular a área de um triângulo através das medidas da 
base e da altura. E se não tivermos a medida da altura, mas tivermos a medida de dois 
lados e a medida do ângulo formado entre eles, será que podemos calcular a área com 
essas informações? A resposta é sim. Podemos calcular através do seguinte teorema:
Teorema: Se dois lados de um triângulo qualquer medem a e b, e o ângulo formado 
por esses lados mede α, então a área A desse triângulo é dada por:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos(A)
^
b2 = a2 + c2 – 2ac cos(B)
^
c2 = a2 + b2 – 2ab cos(C)
^
x2 = 32 + 82 – 2 . 3 . 8 . cos(60º)
x2 = 49
x2 = 9 + 64 – 48 . 1
2
x = ±7, como x é a medida de um lado de um triângulo, então x = 7.
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Exemplo: Calcule a área A do triângulo.
Solução: Utilizando a lei das áreas temos que:
A = 1
2
1
2
ANOTAÇÕES
A = 1
2