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ÁLGEBRA
Módulo 21
Aula 35: Números Complexos
Números Complexos
369
Álgebra
Módulo 21
Forma Algébrica
Introdução
“Encontre dois números cuja soma seja
10 e o produto entre eles, igual a 34.”
✓ Imaginário Puro
✓ Real
✓ Conjugado
Números Complexos
370
Álgebra
Módulo 21
Igualdade:
Operações:
Dados z1 = 1 + i; z2 = 2 – i e z3 = 2i, então:
a) z1 + z2 = z3
b) 2z1 – z2 = z3
c) z1 · z2 = z3
d) z1 · z2 · z3 = –2 + 6i
e) z1 · z3 = z2
(UFU-MG)
Sejam os números complexos z1 = 2x – 3i e z2
= 2 + yi, em que x e y são números reais. Se
z1 = z2, então o produto x · y é:
a) 6
b) 4
c) 3
d) – 3
e) – 6
Exemplos
Números Complexos
371
Álgebra
Módulo 21
Real e Imaginário Puro:
Conjugado:
Se z = (2 + i) · (1 + i) · i, então ത𝐳, o conjugado de z,
será dado por:
a) – 3 – i
b) 1 – 3i
c) 3 – i
d) – 3 + i
e) 3 + i
Determine o valor de m, m ∈ IR, para que o
número z = (m – i) (3 + 2i)
a) seja real.
b) seja um imaginário puro.
Exemplos
(Vunesp)
Números Complexos
372
Álgebra
Módulo 21
Quociente:
a) (UEL)
b) (Ulbra-RS)
Exemplos
Potências de i
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Álgebra
Módulo 21
Resolva as potências abaixo:
✓ i2 =
✓ i1 =
✓ i0 =
✓ i5 =
✓ i4 =
✓ i3 =
✓ i7 =
✓ i6 =
(UPF-RS)
374
Álgebra
Módulo 21 Interpretação Geométrica
✓ Módulo do Número Complexo (|z| = )
Números Complexos
Considere o Número Complexo z = a + bi
Re
Im
Plano de Argand-Gauss
✓ Argumento Principal ()
FORMA TRIGONOMÉTRICA
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Álgebra
Módulo 21 Forma Trigonométrica
Números Complexos
(PUC-MG)
376
Álgebra
Módulo 21 Forma Trigonométrica
Números Complexos
(FGV)
A figura indica a representação dos números z1 e z2
no plano complexo.
Se z1· z2 = a + bi, então a + b é igual a:
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Álgebra
Módulo 21
Operações na Forma Trigonométrica
Considere os Números Complexos:
✓ z1 = 1(cos1 + isen1)
✓ z2 = 2(cos2 + isen2)
Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação
378
Álgebra
Módulo 21
Operações na Forma Trigonométrica
Radiciação
Encontre as raízes cúbicas de:
A área do polígono cujos vértices são as
representações geométricas das raízes do
polinômio p(x) = x6 – 1 é:
(UFC-CE)
z = 8(cos90º + isen90º)
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Álgebra
Módulo 21
Exercícios de Aplicação
1. (Mackenzie)
Sendo i2 = – 1, o módulo do número complexo z,
da solução da equação
380
Álgebra
Módulo 21
Exercícios de Aplicação
2. (Vunesp) Considere os números complexos z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), em que i é a
unidade imaginária e x é um número real.
Determine:
a) o número complexo z1 · z2 em função de x;
b) os valores de x tais que Re (z1 · z2) ≤ Im (z1 · z2), em que Re denota a parte real e Im denota a parte
imaginária do número complexo.
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Álgebra
Módulo 21
Exercícios de Aplicação
3. (Unicamp)
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Álgebra
Módulo 21
Exercícios de Aprofundamento
1. (FGV) Observe o plano Argand-Gauss a seguir:
Elevando-se a 2015 o número complexo indicado
nesse plano Argand-Gauss, o afixo do número
obtido será um ponto desse plano com coordenadas
idênticas e iguais a
a) 22015
b) 21007
c) 1
d) 2-2015
e) -21007
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Álgebra
Módulo 21
Exercícios de Aprofundamento
2. (EsPCEx)
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Álgebra
Módulo 21
Exercícios de Aprofundamento
3. (EsPCEx) No plano complexo, temos uma circunferência  de raio 2 centrada na origem. Sendo ABCD
um quadrado inscrito à , de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que
representa o vértice B é
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Álgebra
Módulo 21
Exercícios de Aprofundamento
4. (EsPCEx) Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números
complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e
que A = (1, 0).