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F
R
E
N
T
E
 1
37
2 Calcule o valor de |x| + |x 1|.
3 Construa o esboço do gráfico da função: f(x) = x2 - |x|.
4 Construa o esboço do gráfico da função: f(x) = |x| |x 1|.
5 Resolva as seguintes equações modulares.
a) |5 - |x|| = 3 b) |x - 1| = 2x c) |x + 2| = 2|x - 2|
6 Resolver as equações modulares a seguir.
a) |x - 3| < 7 b) |x + 2| + x ≤ 5 c) |x - 3| ≤ |1 - x|
MATEMÁTICA Capítulo 6 Função modular38
1 Determine:
a) |- 3|
b) | 5 |π
c) |x2 + 1|
d) | 1 2 |
2 PUC O valor de | 2 5 | | 3 5 |+ é:
A 5 2 5
 5 2 5+
C 5
 1 2 5+
E 1
3 Se x e y ∈R e |x + y - 17| + |x - y - 5| = 0, então x + 2y
é igual a:
A 21
 22
C 23
 24
E 25
4 Para quaisquer reais não nulos a, b e c o conjunto dos
valores que o número
a
a
b
b
c
c
abc
abc
+ + + , pode as-
sumir é igual a:
A {0}
 {-4, -2, 2, 4}
C {-4, 0, 4}
 {-4, -2, 0, 2, 4}
E {-2, 0, 2}
5 Se ∈ x 1, 2 , então + - + - -x 2 x 1 x 2 x 1 é
igual a:
A 4  2 C 1  0 E 2
6 UEL Quaisquer que sejam os números reais x e y:
A se | x | < | y |, então x < y.
 | x ⋅ y | = | x | ⋅ | y |
C | x + y | = | x | + | y |
 | | x | | = x
E se x < 0, então | x | < x.
7 Unirio Sejam a e b números reais tais que a
2 < b2, então,
pode-se concluir que:
A a < b
 |a| < |b|
C
-
<
-
≠
a
c
b
c
se c
2
2
2
2
0,
 b < a.
E b2c2 < a2c2, se c ≠ 0
8 UFF Dados p, q ∈R tais que |p| ≤ q, considere as afir-
mativas:
I. q ∈R+
II. -q ≤ p ≤ q
III. p ≤ |q|
IV. |p| ≤ |q|
São verdadeiras:
A somente a I e II.
 somente a I e a III.
C somente a II e a III.
 somente a I, a II e a III.
E todas as afirmativas.
9 Assinale o item que contém a implicação verdadeira.
A x y x y> ⇒ >
 x y x y2 2> ⇒ >
C x y x y y x> ⇒ - > -
 x y a a , em que a 0 e a 1.
x y> ⇒ > > ≠
E x y x y e possuem sinais opostos.+ = + ⇒ x y
10 PUC a e b são números reais e ( )= - x a b .
2
1
2
Sobre
o número x, é correto afirmar:
A x
a b, se a b
b a, se a b
= - ≥
<



 x
a b, se a b
b a, se a < b
= - ≤



C x = |a| |b|
 x = a - b
E x [|a b|]2= -
11 Para quais valores reais de x, ,x
x x
x
≠ 0 é um nú-
mero inteiro?
A Somente para x < 0.
 Somente para x > 0.
C Somente se x for par.
 Para todo x real, x ≠ 0.
E Para nenhum x real.
12 Eear 2017 Seja = -f (x) | x 3 | uma função. A soma dos va-
lores de x para os quais a função assume o valor de 2 é
A 3  4 C 6  7
13 UFMT Julgue, quanto a (V) ou (F), os itens.
  Sendoa eb números reais, então (a b ) a b.
2 2+ = +
  Se x é um número real, -1 < x ≤ 1, então
x
x
+
+
= -
1
2 3
1 .
  Se p é um número real não nulo, então a equação
2px
2
 2(p 1)x 1 = 0 tem duas raízes reais dife
rentes, qualquer que seja o valor de p.
14 UFRJ Considere uma quantidade Q > 0 e seja M um
valor aproximado de Q, obtido através de uma certa
medição.
O erro relativo E desta medição é denido por:
E
Q M
Q
=
-
Considere ainda um instrumento com uma precisão
de medida tal que o erro relativo de cada medição é
de, no máximo, 0,02. Suponha que uma certa quanti-
dade Q foi medida pelo instrumento e o valor M = 5,2
foi obtido.
Determine o menor valor possível de Q.
Exercícios propostos
F
R
E
N
T
E
 1
39
15 Resolva a equação |x 5| = 3.
16 Resolva a equação |2x - 1| = x - 1.
17 UEFS 2017 Considerando-se a equação - + =x 5x 62
= - | x 3 |, tem-se que a soma de suas raízes é
A 0 b 1 C 2 d 3 E 4
18 Uece Se f x
x( ) = 



-
2
2
2, então as raízes irracionais
da equação |f(x) 6| = 8 são:
A 2 2 e 2 2-
b 3 2 e 3 2-
C 4 2 e 4 2-
d 5 2 e 5 2-
19 Uece Seja W = {x ∈ R; | 3x + 1 | = | x - 2 |}, a soma dos
elementos de W é:
A
5
4
b
3
4
C
1
4
d
7
4
20 Uece 2017 Se as raízes da equação =x 5 | x | 6 02
são também raízes de =x ax b 02 , então, os va-
lores dos números reais a e b são respectivamente
A 1 e 6.
b 5 e 6.
C 0 e 36.
d 5 e 36.
21 FGV 2017 Para certos valores reais de k, o polinômio
= - + -P(x) x 6x |2k 7 |2 é divisível por x - 1. A soma
de todos esses valores é igual
A 8.
b 7.
C 5.
d -1.
E -5.
22 FGV O conjunto-solução da equação x 2x 1
2 + + =
1 x= + é:
A ∅
b R
C {x ∈R | x ≤ - 1}
d {x ∈R | x ≥ - 1}
E {0}
23 UFRJ Durante o ano de 1997, uma empresa teve seu
lucro diário L dado pela função
L(x) = 50 (| x - 100 | + | x - 200 |),
em que x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano
e L é dado em reais.
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de
R$10.000,00.
24 UFRGS 2020 Considere as funções = +f (x) | x 1 | e
=g(x) | x | 1
O intervalo tal que >f (x) g(x) é
A -∞ - ∪ + ∞( , 1) (1, ).
b




1
2
,
1
2
.
C -∞ ∪ + ∞( , 0) (1, ).
d - + ∞( 1, ).
E -∞ + ∞( , ).
25 UFPR 2017 Encontre o conjunto solução em R das se-
guintes inequações:
a) - ≤ +5 x x 2
) + <| 3x 1 | 3
26 Unitau Se x é uma solução de |2x 1| < 5 x, então:
A 5 < x < 7
b 2 < x < 7
C -5 < x < 7
d -4 < x < 7
E -4 < x < 2
27 PUC Considere os conjuntos: A = {x ∈ Z | |x + 1| < 5} e
B = {x ∈ Z | |x| > 3}.
O número de elementos do conjunto A ∩ B é:
A 2
b 4
C 8
d 9
E 11
28 FEI Se 1
1
2
4
( )







≤ ∈
x
x; R, então:
A x ≥ 15
b 5 ≤ x ≤ 11
C x ≤ 10
d 12 < x ≤ 20
E 7 ≤ x < 6
29 Unitau O domínio da função f x
x
( ) =
- -( )







1 1
2
 é:
A 0 ≤ x ≤ 2
b x ≥ 2
C x ≤ 0
d x < 0
E x > 0
30 EsPCEx 2018 O conjunto solução da inequação
+ ≤|| x 4 | 1 | 2 é um intervalo do tipo [a, b]. O valor de
a + b é igual a
A -8.
b -2.
C 0.
d 2.
E 8.
31 Resolva a inequação: |x2 + x + 1| ≤ |x2 + 2x 3|.
32 USFJ 2013 Movendo o gráfico da função = -y | x 5 |
quatro unidades de comprimento (u.c.) para a esquer-
da e duas u.c. para cima, obtém-se uma nova função.
Assinale a alternativa que contém a função obtida
A =y | x 11 |
b =y | x 7 |
C = +y | x 4 | 2
d = +y | x 1 | 2
33 Unirio Sejam as funções: f: R→ R; y = | x | e g: R→ R
tal que y = x2 - 2x - 8.
Faça um esboço gráco da função fog.