APOSTILA USAR PARTE DE FÍSICA vol 1

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APOSTILA
Volume 1
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VOLUME 1
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1MATEMÁTICA 1
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS ................................................................................................................................07
CAPÍTULO 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS .........................................................................................................17
CAPÍTULO 3. CONCEITO DE FUNÇÕES ...........................................................................................................25
2MATEMÁTICA 2
CAPÍTULO 1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA .......................................................................................................41
CAPÍTULO 2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA .....................................................................................................49
CAPÍTULO 3. ANÁLISE COMBINATÓRIA ..........................................................................................................59
CAPÍTULO 4. BINÔMIO DE NEWTON .............................................................................................................69
3MATEMÁTICA 3
CAPÍTULO 1. ÂNGULOS ....................................................................................................................................77
CAPÍTULO 2. TRIÂNGULO ................................................................................................................................83
CAPÍTULO 3. QUADRILÁTEROS .......................................................................................................................93
CAPÍTULO 4. POLÍGONOS CONVEXOS ........................................................................................................101
4MATEMÁTICA 4
CAPÍTULO 1. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ..................................................................109
CAPÍTULO 2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO QUALQUER .............................................................115
CAPÍTULO 3. TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA ...............................................................................121
CAPÍTULO 4. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................. 125
5FÍSICA 1
CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA..............................................................................................................................135
CAPÍTULO 2. MOVIMENTO RETILÍNEO E UNIFORME ..................................................................................145
CAPÍTULO 3. MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO .......................................................153
CAPÍTULO 4. LANÇAMENTO OBLÍQUO .......................................................................................................163
6FÍSICA 2
CAPÍTULO 1. TERMOLOGIA ............................................................................................................................175
CAPÍTULO 2. DILATAÇÃO TÉRMICA DOS SÓLIDOS E LÍQUIDOS ................................................................183
CAPÍTULO 3. CALORIMETRIA .........................................................................................................................191
CAPÍTULO 4. GASES IDEAIS ...........................................................................................................................201
SUMÁRIO
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7FÍSICA 3
CAPÍTULO 1. ELETROSTÁTICA ........................................................................................................................211
CAPÍTULO 2. INTRODUÇÃO À ELETROSTÁTICA ...........................................................................................221
CAPÍTULO 3. FORÇA ELÉTRICA - LEI DE COULOMB ...................................................................................231
CAPÍTULO 4. CAMPO ELÉTRICO E CAMPO ELÉTRICO UNIFORME ............................................................241
8PORTUGUÊS 1
CAPÍTULO 1. FONÉTICA .................................................................................................................................253
CAPÍTULO 2. ACENTUAÇÃO GRÁFICA ...........................................................................................................259
CAPÍTULO 3. PROCESSO DE FORMAÇÃO DE PALAVRAS ............................................................................265
CAPÍTULO 4. SUBSTANTIVO ..........................................................................................................................271
CAPÍTULO 5. ADJETIVO ..................................................................................................................................277
CAPÍTULO 6. PRONOME ................................................................................................................................283
9PORTUGUÊS 2
CAPÍTULO 1. SUJEITO .....................................................................................................................................291
CAPÍTULO 2. PREDICADO ...............................................................................................................................299
CAPÍTULO 3. TERMOS INTEGRANTES DA ORAÇÃO ....................................................................................307
CAPÍTULO 4. TERMOS ACESSÓRIOS DA ORAÇÃO ......................................................................................315
CAPÍTULO 5. ORAÇÃO COORDENADA .........................................................................................................323
CAPÍTULO 6. ORAÇÕES SUBORDINADAS SUBSTANTIVAS ........................................................................329
10REDAÇÃO
CAPÍTULO 1. TIPOS E GÊNEROS TEXTUAIS ..................................................................................................337
CAPÍTULO 2. TEXTO DISSERTATIVO-ARGUMENTATIVO ..............................................................................339
CAPÍTULO 3. ESTRUTURA DA REDAÇÃO DISSERTATIVO-ARGUMENTATIVA ...........................................341
CAPÍTULO 4. PARÁGRAFO DE INTROODUÇÃO ...........................................................................................343
11INGLÊS
CAPÍTULO 1. PRONOUNS ...............................................................................................................................347
CAPÍTULO 2. NOUNS ......................................................................................................................................357
CAPÍTULO 3. ARTICLES ...................................................................................................................................363
CAPÍTULO 4. ADJECTIVES ..............................................................................................................................369
CAPÍTULO 5. ADVERBS ..................................................................................................................................375
CAPÍTULO 6. DETERMINERS AND QUANTIFIERS ........................................................................................383
SUMÁRIO
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Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 7Apostila_AFA_2022-2imagem de f é]-∞,2].
57 (AFA) O gráfico abaixo descreve uma função f:A→B:
São verdadeiras apenas as proposições:
I –A∈R*
II – f é sobrejetora se B=R-[-e,e].
III – Para infinitos valores de x∈A, tem-se f(x)=-b
IV –f(-c)-f(c)+f(-b)+f(b)=2b
V – f é uma função par.
a) I, II e III; 
b) II, III e V; 
c) III, IV e V;
d) I, III e IV; 
e) II, IV e V.
58 (FUVEST) Sejam as funções reais f(x)= 2 4x x+ e 
g(x)=x-1. O domínio da função f(g(x)) é:
a) D(f)={x∈R/x≤-3 ou x≥1}
b) D(f)={x∈R/-3≤x≤1}
c) D(f)={x∈R/x≤1}
d) D(f)={x∈R/0≤x≤4}
e) D(f)={x∈R/x≤0 ou x≥4}
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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59 (EFOMM) Seja uma função f:Z→Q com a seguinte 
propriedade definida por f(x-1)+1= ( )
( )
1 1f x
f x
− − . Sabendo-se 
que f(0)=4, o valor de f(1007) é igual a:
a) -1 
b) 4 
c) 
1
4
− 
d) 5
3
− 
e) 3
5
60 (ITA) Seja f:R→R-{0} uma função satisfazendo às 
condições: f(x+y)=f(x).f(y), para todo x,y∈R e f(x)≠1, para 
todo x∈R/{0}. Das afirmações:
I – f pode ser ímpar;
II –f(0)=1;
III – f é injetiva;
IV – f não é sobrejetiva, pois f(x)>0 para todo x∈R.
É (são) falsa(s) apenas:
a) I e III 
b) II e III 
c) I e IV 
d) IV 
e) III
61 (EFOMM) Encontre o domínio da função 
f(x)=
( ) ( )
( )
3 6 . 3
4 8
x x
x
− − +
− + :
a) D(f)={x∈R/x > 3} 
b) D(f)={x∈R/x ≥ 3}
c) D(f)={x∈R/x 1
2
}
e) D(f)=∅
62 (EN) Determine o domínio da função: 
f(x)= ( ) ( )
( ) ( )
1 . 2
3 . 5
x x
x x
− −
− −
.
a) D(f)= 3,+∞[ 
b) D(f)=]3,5[ 
c) D(f)=]-∞,3]
d) D(f)=]-∞,5[ 
e) D(f)=]5,+∞[
63 (EN) O domínio da função y=
2
2
4.
3 4
xx
x x
 +
  − − 
 é o con-
junto solução:
a) ]-1,4[ 
b) ]-∞,-2]∪]-1,2]∪]4,+∞[
c) -2,1[∪ 2,4[∪{5} 
d) ]-∞,-1]∪]4,+∞[∪{0}
e) ]-∞,-1]∪]4,+∞[
64 (ESPCEX) Assinale a alternativa que representa o 
conjunto de todos os números reais para os quais está 
definida a função f(x)=
2
3 2
6 5
4
x x
x
− +
− .
a) R-{-2,2} 
b) ]-∞,-2[∪]5,+∞[
c) ]-∞,-2[∪]-2,1]∪ 5,+∞[ 
d) ]-∞,1[∪]5,+∞[
e) ]-∞,-2]∪ 2,+∞[
65 (ESPCEX) O domínio da função real f(x)= 2
2
8 12
x
x x
−
− + é:
a) ]2,+∞[ 
b) ]2,6[ 
c) ]-∞,6] 
d) ]-2,2] 
e) ]-∞,2[
66 (ESPCEX) Considere as funções reais f e g, tais que 
f(x)= x +4 e f(g(x))=x2-5, onde g(x) é não negativa para 
todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém 
todos os possíveis valores de x, que satisfazemos dados 
do enunciado.
a) R-]-3,3[ 
b) R-]- 5 , 5 [ 
c) ]- 5 , 5 [
d) ]-3,3[ 
e) R-]-∞,3[
67 (ESPCEX) Considere a função bijetora f: 1,+∞)→ -∞,3, 
definida por f(x)=-x2+2x+2 e seja (a,b) o ponto de intersecção 
de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a+b é:
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10
68 (ESPCEX) Na figura abaixo está representado o 
gráfico da função polinomial f, definida no intervalo real 
[a,b]. Com base nas informações fornecidas pela figura, 
podemos afirmar que:
a) f é crescente no intervalo [a,0].
b) f(x) ≤ f(e) para todo x no intervalo [d,b].
c) f(x) ≤ 0 para todo x no intervalo [c,0].
d) a função f é decrescente no intervalo [c,e]. 
e) se x1∈[a,c]e x2∈[d,e], então f(x1)f(0); g(a)3.
78 (AFA) Considere o gráfico da função real p:A→B
Analise as alternativas abaixo e, a seguir, marque a FALSA.
a) p(x)≤0 ⇔ {x∈R/ xCAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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39
79 (AFA) Considere o conjunto A={0,1,2,3}e a função 
f:A→A tal que f(3)=1 e f(x)=x+1, se x≠3. A soma dos valores 
de x para os quais (f o f o f)(x)=3 é:
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5
80 (EN) Considere f uma função definida no conjunto 
dos números naturais tal que f(n+2)=3+f(n), ∀n∈N, f(0)=10 
e f(1)=5. Qual o valor de ( ) ( )81 70f f− ?
a) 2 2 
b) 10 
c) 2 3 
d) 15 
e) 3 2 
81 (EN) Sejam h(x)=x3, t(x)= 1
1 x+
, x≠-1 e f(x)=t(h(2x)). 
O valor de f-1 1
9
 
 
 
 é:
a) -2 
b) -1 
c) 1 
d) 2 
e) 3
82 (EN) Sabendo que f, g e h são funções reais de 
variável real e que f e g não se anulam, considere as 
afirmações abaixo:
I – f o (g+h)=f o g+f o h
II – (g+h) o f=g o f+h o f
III – 
1 1 g
f g f
 
=  
 


IV – 1 1f
f g g
 
=  
 


Podemos afirmar que: 
a) todas as afirmativas acima são verdadeiras. 
b) somente I a II são verdadeiras 
c) somente a IV é falsa 
d) somente II e III são verdadeiras. 
e) somente I é falsa.
83 (IME) Seja f:R→R, onde R é o conjunto dos números 
reais, tal que:
O valor de f(-4) é:
a) 4
5
− 
b) 1
4
− 
c) 1
5
− 
d) 1
5 
e) 4
5
84 (ITA) Seja D\{1} e f:D→D uma função dada por 
f(x)= 1
1
x
x
+
−
. Considere as afirmações:
I – f é injetiva e sobrejetiva.
II – f é injetiva, mas não sobrejetiva.
III - f(x)+
1f
x
 
 
 
=0, para todo x∈D, x≠0.
IV - f(x).f(-x)=1, para todo x∈D
Então são verdadeiras:
a) apenas I e III. 
b) apenas I e IV. 
c) apenas II e III. 
d) apenas I, III e IV. 
e) apenas II, III e IV.
GABARITO
01. C 02. D 03. D 04. D 05. E 06. E
07. A 08. B 09. D 10. B 11. A 12. A
13. D 14. D 15. D 16. D 17. C 18. D
19. C 20. A 21. C 22. C 23. C 24. A
25. D 26. B 27. C 28. A 29. C 30. A
31. D 32. C 33. E 34. A 35. C 36. D
37. A 38. C 39. A 40. D 41. C 42. B
43. E 44. B 45. B 46. C 47. E 48. D
49. C 50. A 51. B 52. C 53. A 54. C
55. A 56. A 57. D 58. A 59. C 60. A
61. E 62. B 63. D 64. C 65. E 66. E
67. B 68. D 69. D 70. D 71. A 72. A
73. B 74. C 75. A 76. A 77. C 78. C
79. B 80. B 81. C 82. D 83. D 84. A
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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MATEMÁTICA 2
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43
PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA
A progressão aritmética é uma sequência (a1, a2, a3, a4, ... 
an, ...), n ∈ N, em que cada termo é igual ao termo anteces-
sor somado a um determinado valor constante. O nome 
que se dá para esta constante (r) é “razão da progressão 
aritmética”. Assim, 
r= a2- a1= a3- a2= a4 - a3= … = an- a(n-1).
 
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
1) CRESCENTE: É toda PA em que o próximo termo, a partir 
do segundo, é sempre maior que o seu antecessor, com 
isso, r > 0. 
Exemplo: (3, 10, 17, ...) onde r = 7.
2) DESCRESCENTE: É toda PA em que o próximo termo, a 
partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, 
com isso, rprogressão é:
a) –2.
b) 4.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
12 (EsSA) O número mínimo de termos que deve ter 
a PA (73, 69, 65, ...) para que a soma de seus termos seja 
negativa é:
a) 18.
b) 19.
c) 20.
d) 37.
e) 38.
13 (ESPM) A soma dos n primeiros termos de uma 
sequência numérica é dada pela expressão Sn=8n2 - 1. 
Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a: 
a) 128. 
b) 132. 
c) 146. 
d) 150. 
e) 152. 
14 (EEAR) A soma dos n primeiros termos de uma P.A. 
é 3n² ∀ n ∈ N*, então a razão dessa P.A. é 
a) 6. 
b) 4. 
c) 3. 
d) 2.
15 (UPE) As medidas dos lados AB, BC e CA e de um 
triângulo ABC formam, nessa ordem, uma progressão 
aritmética.
Qual é a medida do perímetro desse triângulo?
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
16 O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 
6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão arit-
mética (PA). A área desse triângulo é igual a 
a) 3,0 m2. 
b) 2,0 m2. 
c) 1,5 m2. 
d) 3,5 m2. 
17 A sequência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., a12) forma uma 
progressão aritmética. Sabendo-se que a3 + a10 = 32, o 
valor da expressão log2 (a1 + a12)
3 é 
a) 10. 
b) 15. 
c) 21. 
d) 26. 
e) 32. 
18 Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão aritmé-
tica de números reais, e que a soma de seus elementos 
é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão 
é igual a 
a) 30.
b) 10.
c) – 15.
d) – 20.
19 Os lados de um triângulo retângulo estão em pro-
gressão aritmética com razão positiva r. A área desse 
triângulo em função da razão mede:
a) 2r².
b) 4r².
c) 6r².
d) 8r².
e) 10r².
20 Em uma progressão aritmética, o primeiro termo 
vale 1/2 e a soma dos vinte e cinco primeiros termos é 
igual a 925/2. A razão desta progressão vale:
a) 2/3.
b) 17/12.
c) 5/24.
d) 3/2.
e) 2.
CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
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21 De uma progressão aritmética an de razão r, sa-
be-se que a8=16 e a14=4. Seja Sn a soma dos n primeiros 
termos de an, o menor valor de n, de modo que Sn=220, é 
a) 12.
b) 11. 
c) 14. 
d) 16. 
e) 18. 
22 Uma progressão aritmética (PA) é constituída de 
15 números inteiros com razão igual a 2. Sabendo que 
a média aritmética dos quinze números é 46, podemos 
concluir que o maior deles é 
a) 60. 
b) 63. 
c) 62. 
d) 64. 
e) 61. 
23 A soma dos 100 primeiros termos de uma progres-
são aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes 
dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o 
primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é 
a) 10–4. 
b) 10–3. 
c) 10–2. 
) 10–1. 
e) 1. 
24 Se em uma progressão aritmética o vigésimo ter-
mo é 2 e a soma dos cinquenta primeiros termos é igual 
a 650, então o número de divisores inteiros do primeiro 
termo dessa sequência é:
a) 18.
b) 36.
c) 9.
d) 72.
25 (EsPCEx) João e Maria iniciam juntos uma corrida, 
partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemen-
te 8 km por hora e Maria corre 6 km na primeira hora 
e acelera o passo de modo a correr mais 1/2 km cada hora 
que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao 
número de horas corridas para que Maria alcance João.
a) 3.
b) 5.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
26 (EN) O quinto termo da progressão aritmética 
3 – x, – x, √(9-x), ..., x ∈ R é:
a) 7.
b) 10.
c) – 2.
d) – √14.
e) – 18.
27 (ITA) Sabe-se que (x + 2y, 3x – 5y, 8x – 2y, 11x – 7y 
+ 2z) é uma progressão aritmética com o último termo 
igual a −127. Então, o produto xyz é igual a:
a) −60.
b) −30.
c) 0.
d) 30.
e) 60.
28 (ITA) Considere a progressão aritmética (a1,a2,a3,
…,a50) de razão d. Se 
10
1
10 25nn
a d
=
= +∑ e 50
1
4550nn
a
=
=∑ , então 
d – a1 é igual a:
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 11.
e) 14.
29 A soma 1 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 8.9 9.10
+ + + + + é igual a:
a) 1/2.
b) 9/10.
c) 7/8.
d) 3/4.
e) 1.
30 (UPF) A quantidade de números inteiros situados 
entre 1 e 48.000 inclusive que não são divisíveis por 2, 
nem por 3, nem por 5, é igual a:
a) 4.800.
b) 9.600.
c) 12.800.
d) 16.000.
e) 18.200. 
CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
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47
31 (IME) A soma dos termos de uma progressão 
aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o núme-
ro de termos formam, nessa ordem, outra progressão 
aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira 
progressão aritmética.
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
32 (ITA) Considere os polinômios em x ∈ R da forma 
p(x)= x5+ a3 x
3+ a2 x
2+ a1 x. As raízes de p(x) = 0 constituem 
uma progressão aritmética de razão 1/2 quando (a1, a2, 
a3) é igual a:
a) (1/4, 0, 5/4).
b) (1/4, 1, 5/4).
c) (1/4, 0, – 5/4).
d) (5/4, 0, 1/4).
e) (1/4, – 1, – 1/4).
33 (IME) Em uma progressão aritmética crescente, a 
soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de seus 
quadrados é S2. Sabe-se que os dois maiores desses três 
termos são raízes da equação 2
1 2
1( ) 0
2
x S x S− + − = . A razão 
desta PA é:
a) 1/6.
b) √6/6.
c) √6.
d) √6/3.
e) 1.
34 (EsPCEx) Os números naturais ímpares são dis-
postos como mostra o quadro:
O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é: 
a)807.
b)1.007.
c)1.307.
d)1.507.
e)1.807.
35 (EN) Os números reais a, b, c, d, f, g e h, cons-
tituem, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se 
, em que A é a matriz 
2
2
2
1
1
1
a a
b b
d d
 
 
 
 
 
 e 
3
1
4
n
n
h +∞
=
 =  
 
∑ , então (b – 2g) é:
a) – 1/3.
b) – 21/16.
c) – 49/48.
d) 15/16.
e) 31/48.
36 (AFA) Se a soma dos 6 primeiros termos de uma 
progressão aritmética é 21 e o sétimo termo é o triplo da 
soma do terceiro com o quarto termo, então o primeiro 
termo dessa progressão é?
a) -7 
b) -8 
c) -9 
d) -10 
37 (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética é dada pela fórmula 
3 ²
2n
n nS +
= , 
então a soma do quarto com o sexto termo dessa P.A é:
a) 25 
b) 28 
c) 31 
d) 34 
38 (ITA) Numa progressão aritmética com n termos, 
n > 1, sabemos que o primeiro termo é igual a (1 )n
n
+ e a 
soma deles vale (1 3 )
2
n+ . Então o produto da razão desta 
progressão pelo último termo é igual a:
a) 2n 
b) 2/n 
c) 3n 
d) 3/n 
e) 4n
CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
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48
39 (ITA) Sejam a, b e c constantes reais com a ≠ 0 
formando, nesta ordem, uma progressão aritmética e 
tais que a soma das raízes da equação ax2+bx+c=0 é -√2. 
Então uma relação válida entre b e c é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
40 (IME) Um triângulo de perímetro igual a 15 metros, 
lados em progressão aritmética, tem a bissetriz externa 
do ângulo  =120° medindo 337,5
2
 metros. Calcule a altura 
em relação ao lado a. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
41 (ITA) Numa progressão aritmética de termos, a 
soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últi-
mos é 140. Sabendo-se que a razão desta progressão é 
um número inteiro entre 2 e 13, então seu último termo 
será igual a:
a) 34 
b) 40 
c) 42 
d) 48 
e) 52
42 (AFA) Considere, no plano cartesiano, a figura abai-
xo, em que os segmentos horizontais são paralelos ao 
eixo Ox e os segmentos verticais são paralelos ao eixo Oy
Sabe-se que:
• os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, 
que começa na origem O( 0,0 ) e termina em Q , formam 
uma progressão aritmética decrescente de razão r e pri-
meiro termo a1 , em que 1 0
15
r −consecutivos da poligonal são sempre 
perpendiculares;
• 1OA a= , 2AB a= , 3BC a= , e, assim sucessivamente, até 
16PQ a= .
Suponha que uma formiga parta da origem O (0,0), e percor-
ra a trajetória descrita pela poligonal até chegar ao ponto Q.
Com base nas informações acima, analise as proposições 
abaixo. 
l. Se a1 = 1 e 
1
16
r = − , então a distância d percorrida pela 
formiga até chegar ao ponto Q é tal que a 1
17
2
d a=
II. Quando a formiga estiver na posição do ponto L, (x,y) 
então x = −6r
III. Se a1 = 1, então de A até C, a formiga percorrerá a dis-
tância d = 2 + 3r
Quanto a veracidade das proposições, tem-se:
a) apenas uma delas é verdadeira.
b) apenas duas são verdadeiras.
c) Todas são verdadeiras.
d) nenhuma delas é verdadeira. 
43 (ITA) Sejam a, b, c, e d números reais não nulos que 
estão, nesta ordem, em progressão aritmética. Sabendo 
que o sistema a seguir é possível indeterminado, podemos 
afirmar que a soma desta progressão aritmética igual a:
a) 11 
b) 14 
c) 28 
d) 30 
e) 36
CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
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49
44 (IME) Seja M uma constante real, tal que as duas 
raízes da equação M.x2+(M-1).x+(M-2)=0 são os dois pri-
meiros termos de uma PA de quatro termos reais e as 
duas raízes da equação M.x2-(9-M).x+5.(M+2)=0 são os dois 
últimos termos dessa PA. Considere agora uma outra PA, 
de razão 2 cuja soma dos n primeiros termos é 153. Sen-
do o primeiro termo desta outra PA um número inteiro, 
então o produto de M por n pode ser igual a:
a) 15 
b) 27 
c) 45 
d) 51 
e) 56
45 (IME) Uma progressão aritmética {an}, onde n∈ IN*, 
tem a1 > 0 e 3a8 = 5a13. Se Sn é a soma dos n primeiros 
termos desta progressão, o valor de n para que Sn seja 
máxima é:
a) 10 
b) 11 
c) 19 
d) 20 
e) 21 
GABARITO
01. B 02. A 03. C 04. B 05. C 06. A
07. D 08. D 09. A 10. B 11. D 12. E
13. E 14. A 15. A 16. C 17. B 18. C
19. C 20. D 21. B 22. A 23. C 24. A
25. C 26. C 27. A 28. D 29. B 30. C
31. A 32. C 33. B 34. A 35. C 36. C
37. B 38. B 39. D 40. A 41. A 42. C
43. B 44. D 45. D
CAPÍTULO 1 
Progressão Aritmética
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51
PROGRESSÃO 
GEOMÉTRICA
A progressão geométrica é uma sequência (a1, a2, a3, a4, ... an, 
...), n ∈ N, em que cada termo é igual ao termo antecessor 
multiplicado por uma constante. O nome que se dá para 
esta constante (q) é “razão da progressão geométrica”. 
Assim, 32
1 2 1
n
n
q qqq
q q q −
= = = = .
 
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
1) CRESCENTE: É toda PG em que cada termo, a partir 
do segundo, é maior do que o seu antecessor. Isso pode 
ocorrer de duas maneiras: 
I) Quando a1 > 0 então devemos ter q > 1 para a PG ser 
crescente. 
Exemplo: (2, 6, 18, ...) onde a1 = 2 e q = 3.
II) Quando a1 0 então devemos ter 0 1 para a PG ser 
decrescente.
Exemplo: (- 3, - 12, - 48, ...) onde a1 = - 3 e q = 4.
3) CONSTANTE: É toda PG em que todos os termos são 
iguais. Isso acontece de duas maneiras:
I) Para termos nulos, ou seja, (0, 0 ,0 ,0 ...) onde a1 = 0 e q 
qualquer.
II) Para termos iguais, por exemplo, na sequência (6, 6, 6, 
...) onde a1 ≠ 0 e q = 1.
4) ALTERNANTE: É a PG em que cada termo tem o sinal 
contrário ao do seu termo anterior. Isto ocorre quando 
qnuma progressão geométrica, devemos somar a cada 
um dos seus termos um certo número. Esse número é: 
a) par 
b) quadrado perfeito 
c) primo 
d) maior que 15 
e) não inteiro 
09 Um prisma retangular reto possui três arestas 
que formam uma progressão geométrica de razão 2. 
Sua área total é de 28cm2. Calcule o valor da diagonal 
do referido prisma. 
a) 17cm
b) 19cm
c) 21cm
d) 2 7cm
e) 29cm
10 A sequência de números reais a, b, c, d forma, 
nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos 
termos é 110; a sequência de números reais a, b, e, f for-
ma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 
2. A soma d + f é igual a: 
a) 96. 
b) 102. 
c) 120. 
d) 132. 
e) 142. 
11 (EFOMM) Seja um quadrado de lado 2. Unindo os 
pontos médios de cada lado, temos um segundo qua-
drado. Unindo os pontos médios do segundo quadrado, 
temos um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. O 
produto das áreas dos dez primeiros quadrados é:
a) 
9
22
−
b) 
25
22
−
c) 
45
22
−
d) 2- 45
e) 2- 25
12 (EsPCEx) Na figura abaixo temos uma espiral for-
mada pela união de infinitos semicírculos cujos centros 
pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro 
semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada semi-
círculo é igual à metade do semicírculo anterior, o com-
primento da espiral é igual a:
 
a) π.
b) 2π. 
c) 3π. 
d) 4π. 
e) 5π.
13 (EFOMM) Um garrafão contém 3 litros de vinho. 
Retira-se um litro de vinho do garrafão e acrescenta-se 
1 litro de água, obtendo-se uma mistura homogênea. 
Retira-se, a seguir, 1 litro da mistura e acrescenta-se 1 
litro de água, e assim por diante. A quantidade de vinho, 
em litros, que resta no garrafão, após 5 dessas operações, 
é aproximadamente igual a:
a) 0,396.
b) 0,521.
c) 0,676.
d) 0,693.
e) 0,724.
14 O valor de x, de modo que x – 2, x + 2, x + 17 este-
jam em progressão geométrica é:
a) 38/11
b) 3/4
c) 20/38
d) 17/16
e) 17/2
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
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54
15 (EsPCEx) Um fractal é um objeto geométrico que 
pode ser dividido em partes, cada uma das quais seme-
lhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é 
gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura 
abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se 
com uma faixa de comprimento m na primeira linha. 
Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento 
m é dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a 
parte do meio. Procede-se de maneira análoga para a 
obtenção das demais linhas, conforme indicado na figura:
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse 
procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das 
medidas dos comprimentos de todas as faixas é:
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 6 m.
e) 7 m.
16 (UFRGS) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e 
os triângulos sombreados são triângulos semelhantes tais 
que as alturas correspondentes formam uma progressão 
geométrica de razão 1/2.
Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos perímetros 
dos quatro triângulos sombreados é
a) 9/8
b) 11/8
c) 13/8
d) 15/8
e) 17/8
17 (FGV) As raízes da equação 
2
0
9
8
k
k
x∞
=
=∑ têm soma 
igual a:
a) – 3
b) – 2
c) – 1
d) 0
e) 1
18 (MACKENZIE) Para que o produto dos termos 
de sequência ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 4 1
1, 3, 3 , 3 , 3 , , 3
n−
 seja 314, 
deverão ser considerados, nessa sequência:
a) 8 termos
b) 6 termos
c) 10 termos
d) 9 termos
e) 7 termos
19 (ESPM) A figura abaixo representa parte do gráfico 
da função ( ) 16
2xf x = , fora de escala.
A soma das áreas dos infinitos retângulos assinalados é 
igual a: 
a) 16 
b) 8 
c) 24 
d) 32 
e) 12
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
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55
20 (AFA) Constrói-se um monumento em formato 
de pirâmide utilizando-se blocos cúbicos:
Para a formação piramidal, os blocos são dispostos em 
uma sequência de camadas, sendo que na última camada, 
no topo da pirâmide, haverá um único bloco, como mostra 
a figura a seguir:
 
Na disposição total, foram utilizados 378 blocos, do topo 
à base da pirâmide. Havendo necessidade de acrescentar 
uma nova camada de blocos abaixo da base da pirâmide, 
obedecendo à sequência já estabelecida, serão gastos 
x blocos nessa camada. A quantidade total de divisores 
positivos do número x é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
21 (EFOMM) Numa progressão geométrica crescen-
te, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º termo com 
o dobro do 2º termo. Sabendo que a soma desses três 
termos é igual a 26, determine o valor do 2º termo.
a) 6.
b) 2.
c) 3.
d) 1.
e) 26/7.
22 (AFA) A solução do sistema
é tal que x + y é igual a:
a) 11/3
b) 10/3
c) – 7/3
d) – 8/3
23 (AFA) Uma escultura de chapa de aço com espes-
sura desprezível foi feita utilizando-se inicialmente uma 
chapa quadrada de 1 metro de lado apoiada por um de 
seus vértices sobre um tubo cilíndrico. A partir desse 
quadrado, a escultura foi surgindo nas seguintes etapas:
1ª: Em cada um dos três vértices livres do quadrado foi 
construído um quadrado de lado 1/2 metro.
2ª: Em cada um dos vértices livres dos quadrados cons-
truídos anteriormente, construiu-se um quadrado de lado 
1/4 metro.
E assim, sucessivamente, em cada vértice livre dos qua-
drados construídos anteriormente, construiu-se um qua-
drado cuja medida do lado é a metade da medida do lado 
do quadrado anterior. A figura seguinte esquematiza a 
escultura nas etapas iniciais de sua confecção:
Considerando que a escultura ficou pronta completadas 
sete etapas, é correto afirmar que a soma das áreas dos 
quadrados da 7ª etapa é igual a:
a) 
71
4
 
 
 
b) 
83
4
 
 
 
c) 
81
4
 
 
 
d) 
73
4
 
 
 
.
24 (AFA) A sequência 8( ,6, , )
3
x y y + é tal que os três 
primeiros termos formam uma progressão aritmética, 
e os três últimos formam uma progressão geométrica. 
Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos é:
a) 92/3.
b) 89/3.
c) 86/3.
d) 83/3.
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
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56
25 (EsPCEx) A sequência (a1, a2, ..., a10), em que 
1 2 3 10
3 5 9 1.025, , , ,
2 2 2 2
a a a a= = = = é de tal forma que para 
cada n ∈ {1, 2, ..., 10} temos que an= bn + cn, em que (b1,b2,
…,b10) é uma PG com b1 ≠ 0 e de razão q≠± 1 e (c1,c2,…,c10) 
é uma PA constante.
Podemos afirmar que a1 + a2 + ... + a10 é igual:
a) 98.
b) 172.
c) 260.
d) 516.
e) 1.028.
26 (EsPCEx) Considere o seguinte procedimento: em 
uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um 
hexágono regular para, em seguida, inscrever neste 
uma segunda circunferência. Tomando essa nova cir-
cunferência, o processo é repetido, gerando uma terceira 
circunferência. Caso esse procedimento seja repetido 
infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferên-
cias envolvidas nesse processo será igual a:
 
a) 32 1
2
R
 
+  
 
b) 34 1
2
R
 
+  
 
c) 34 1
4
R
 
+  
 
d) ( )2 3R +
e) 32 1
4
R
 
+  
 
27 (EsPCEx) Considere o triângulo ABC abaixo, retân-
gulo em C, em que BÂC = 30°. Nesse triângulo está repre-
sentada uma sequência de segmentos cujas medidas 
estão indicadas por L1, L2, L3, ..., Ln, em que cada segmento 
é perpendicular a um dos lados do ângulo de vértice A.
O valor 9
1
L
L é:
a) 27 3
128
b) 1
128
c) 81
256
d) 81
256
e) 1
256
28 (EsPCEx) Um menino, de posse de uma porção de 
grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, 
colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda 
casa, quatro grãos na terceira casa, oito grãos na 
quarta casa e continuou procedendo dessa forma até 
que os grãos acabaram,em algum momento, enquanto 
ele preenchia a décima casa. A partir dessas informações, 
podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de 
arroz que o menino utilizou na brincadeira é:
a) 480.
b) 511.
c) 512.
d) 1.023.
e) 1.024.
29 (IME) Um prisma retangular reto tem três arestas 
que formam uma progressão geométrica de razão 2. 
Sua área total é de 28 cm². Calcule o valor da diagonal 
do referido prisma.
a) 17cm
b) 19cm
c) 21cm
d) 2 7cm
e) 29cm
30 (AFA) Sejam (1, a2, a3, a4) e (1, b2, b3, b4) uma pro-
gressão aritmética e uma progressão geométrica, res-
pectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e 
ambas crescentes. Se a razão r da progressão aritmética 
é o dobro da razão q da progressão geométrica, então o 
produto r · q é igual a:
a) 15.
b) 18.
c) 21.
d) 24.
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
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57
31 (ITA) Seja (a1, a2, a3, ...) a sequência definida 
da seguinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = an-1 + an - 2 para n 
≥ 3. Considere as afirmações a seguir:
I. Existem três termos consecutivos, ap, ap + 1 e ap + 2, que, 
nessa ordem, formam uma progressão geométrica.
II. a7 é um número primo.
III. Se n é múltiplo de 3, então an é par.
É(são) verdadeira(s):
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
32 (IFCE) O valor da soma 1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + ... 
+ 50 + 502:
a) 44.200. 
b) 40.200. 
c) 42.440. 
d) 44.020. 
e) 42.040.
33 (EN) Um grande triângulo equilátero será cons-
truído com palitos de fósforos a partir de pequenos 
triângulos equiláteros congruentes e dispostos em 
linhas. Por exemplo, a figura a seguir descreve um triân-
gulo equilátero (ABC) construído com três linhas de 
pequenos triângulos equiláteros congruentes (a linha 
da base do triângulo ABC possui 5 pequenos triângulos 
equiláteros congruentes). Conforme o processo descrito, 
para que seja construído um triângulo grande com linha 
de base contendo 201 pequenos triângulos equiláteros 
congruentes, é necessário um total de palitos igual a:
a)15.453.
b)14.553.
c)13.453.
d)12.553.
e)11.453.
34 (IME) Entre os números 3 e 192 insere-se igual 
número de termos de uma progressão aritmética e de 
uma progressão geométrica com razão r e q, respecti-
vamente, em que r e q são números inteiros. O número 
3 e o número 192 participam dessas duas progressões. 
Sabe-se que o terceiro termo de 
8
11
q
 
+ 
 
 , em potências 
crescentes de 1
q
, é 
9
r
q
.
O segundo termo da progressão aritmética é:
a) 12.
b) 48.
c) 66.
d) 99.
e) 129.
35 (AFA) De um dos lados de uma avenida retilínea, 
estão dispostos alguns postes nos pontos P1, P2, ... Pi, i ∈ N.
Do outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas al-
gumas árvores nos pontos A1, A2, ... Aj, j ∈ N. Sabe-se que:
• 1 2 3PP dam=
• 1 1 63PP dam=
• ( )1 2 2 3, ,PP P P  é uma progressão aritmética finita de razão 3.
• ( )1 2 2 3, ,A A A A  é uma progressão geométrica finita de razão 2.
• i = j
Com base nessas informações, é correto afirmar que a 
maior distância entre duas árvores consecutivas é, em 
dam, igual a:
a) 63.
b) 16.
c) 18.
d) 32.
36 (EN) Considere a sequência (a, b, 2) uma progres-
são aritmética e a sequência (b, a, 2) uma progressão 
geométrica não constante, a, b ∈ R. A equação da reta 
que passa pelo ponto (a, b) e pelo vértice da curva 
y2 – 2y + x + 3 = 0 é:
a) 6y – x – 4 = 0.
b) 2x – 4y – 1 = 0.
c) 2x – 4y + 1 = 0.
d) x + 2y = 0.
e) x –2y = 0.
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
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58
37 (UFF) Os retângulos R1, R2 e R3, representados na 
figura, são congruentes e estão divididos em regiões de 
mesma área.
Ao se calcular o quociente entre a área da região pintada e 
a área total de cada um dos retângulos R1, R2 e R3, verifica-se 
que os valores obtidos formam uma progressão geométrica 
(P.G) decrescente de três termos.
A razão da P.G. é:
a) 1
8
 
b) 1
4
 
c) 1
2
 
d) 2 
e) 4
38 (ESPCEX) Sendo 3 6 12
x π π π
= + + + e 4 5 25
y π π π
= + + + . O 
valor de sen(x+y) é:
a) 3 2
2
− + 
b) 6 2
4
− + 
c) 6 2
2
− − 
d) 6 2
2
− 
e) 3 2
2
−
39 (ESPCEX) Sendo a, b, c, nesta ordem, termos de 
uma progressão aritmética em que a.c =24 e A, B, C, nesta 
ordem, termos de uma progressão geométrica em que 
A = a, B = c e C = 72, então o valor de b é:
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8
40 (ESPCEX) O sexto termo de uma progressão geo-
métrica é igual a b, e o sétimo termo é igual a c. Se o 
primeiro termo dessa progressão é diferente de zero e 
a razão maior que um, então o primeiro termo é igual a:
a) 
c
b
 
b) 
3
4
b
c
 
c) b
c
 
d) 
6
5
b
c
 
e) 
4
3
b
c
41 (AFA) Seja uma progressão geométrica de 3 termos 
positivos, com razão 2. O primeiro termo, o último e a 
soma dos 3 termos dessa P.G., nessa ordem, formam os 
três primeiros termos de uma progressão aritmética. A 
razão entre os termos 24 e 34 dessa P.A. é:
a) 0,4 
b) 0,7 
c) 1,4 
d) 1,7
42 (AFA) Se (senx , sen2x , cosx) é uma progressão 
geométrica estritamente crescente, com 01, para os quais a1, a2 e a3 formam, nessa ordem, uma 
progressão geométrica de razão q, com primeiro termo 2 
e representam as medidas dos lados de um triângulo, é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
46 (ESCOLA NAVAL) Sendo a o primeiro termo de uma 
progressão geométrica, b o termo de ordem (n+1) e c de 
ordem (2n+1), então a relação entre a, b e c é:
a) c2-ab+b2=0
b) b2-ac4=0
c) b2+a2+4ab-c2=0
d) b4+2a2 bc+b2 c=0
e) b4-2ab2 c+a2 c2=0
47 (ESCOLA NAVAL) Investindo uma quantia a juros 
de 8% ao mês e reaplicando os juros, os saldos mensais 
formarão uma progressão.
a) aritmética de razão igual a 8% do investimento total.
b) geométrica de razão 0,08.
c) geométrica de razão 1,08.
d) geométrica de razão 1,8.
e) aritmética de razão 8.
48 [ESCOLA NAVAL] Seja q=(cos5°).(cos20°).(cos40°).
(cos85°) a razão de uma progressão geométrica infinita 
com termo inicial 0
1
4
a = . Sendo assim, é correto afirmar 
que a soma dos termos dessa progressão vale:
a) 1
15
 
b) 2
15
 
c) 3
15
 
d) 4
15
 
e) 7
15
49 (ESCOLA NAVAL) Uma progressão geométrica in-
finita tem o 4° termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do 
produto de seus 10 primeiros termos vale 10-15 log52. 
Se S é a soma desta progressão,então o valor de log2S é:
a) 2+3 log25 
b) 2+log25 
c) 4+log25
d) 1+2 log25 
e) 4+2 log25
50 (ITA) Os primeiros termos de uma P.G é 4, o núme-
ro de termos é 1.000 e o último termo é o número cujo 
logaritmo decimal é 999+log4. A soma dos 100 primeiros 
termos da P.G é:
a) 
10010 1
10 1
−
−
 
b) 10100-1 
c) ( )1004 . 10 1
9
−
d) 4.(10100-109) 
e) ( )1001 . 10 1
9
−
51 (ITA) Numa progressão geométrica de razão inteira 
q>1, sabe-se que a1.an=243, logqan = 6 e logqPn = 20 onde 
an é o n – ésimo termo da progressão geométrica e Pn é 
o produto dos n primeiros termos. Então a soma dos n 
primeiros termos é igual a:
a) ( )93 1
6
− 
b) ( )93 1
2
− 
c) ( )103 1
6
−
d) ( )83 1
6
− 
(e) N.D.A
52 (ITA) Seja (a,b,c,d,e) uma progressão geométrica 
de razão a, com a>0 e a ≠ 1. Se a soma de seus termos é 
igual a 13a+12 e x é um número real positivo diferente 
de 1 tal que:
Então x é igual a:
a) 33 
b) 23 
c) 
25
2
 
 
 
 
d) 
3
25
2
 
 
 
 
e) 
22
5
 
 
 
CAPÍTULO 2 
Progressão Geométrica
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60
53 (ITA) Numa P.G. de razão q, sabe-se que:
I – O produto do logaritmo natural do primeiro termo pelo 
logaritmo natural da razão é 24.
II – A soma do logaritmo natural do segundo termo com o 
logaritmo natural do terceiro termo é 26.
Se lnq é um número inteiro, então o termo geral 2n vale:
a) e6n-2 
b) e6n+4 
c) e24n 
d) e4-6n 
e) e5n+3
54 (ITA) Seja (a1,a2,…,an) uma progressão geométrica 
com número ímpar de termos e razão q>0. O produto de 
seus termos é igual a 225e o termo do meio é25. Se a soma 
dos (n-1) primeiros termos é igual a 2.(1+q).(1+q²), então:
a) a1+q=16
b) a1+q=12
c) a1+q=10
d) a1+q+n=20
e) a1+q+n=11
55 (ITA) Seja (a1,a2,a3,…) uma progressão geométrica 
infinita de razão a1, 0ser formadas, que tenham a 
participação de Ana e Beatriz, é:
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 56
09 (EEAR) Ao calcular 
3
10
3
10
A
C
, obtém-se:
a) 3! 
b) 4! 
c) 5! 
d) 6! 
10 (EEAR) Para elaborar uma prova de Inglês, um 
professor utilizará 6 questões de vocabulário e 4 de gra-
mática. O número de maneiras que ele pode ordenar 
aleatoriamente essas questões é dado por ______.
a) (6 + 4)! 
b) (6 – 4)! 
c) 6! . 4! 
d) 6!/4!
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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63
11 (EEAR) Formato, tamanho e cor são as caracterís-
ticas que diferem as etiquetas indicadoras de preço dos 
produtos de uma loja. Se elas podem ter 2 formatos, 3 
tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços distintos 
dos produtos da loja é:
a) 24. 
b) 30. 
c) 32. 
d) 40. 
12 (EEAR) O número de anagramas da palavra SOLEI-
RA que começam com vogal é:
a) 2.720. 
b) 2.780. 
c) 2.860. 
d) 2.880. 
13 (EEAR) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecio-
nados para comporem uma comissão de formatura. O 
número de formas distintas de se compor essa comissão é:
a) 56 
b) 48 
c) 46 
d) 38 
14 (EEAR) Dos 10 judocas que participam de uma 
competição, os 3 melhores subirão em um pódio para 
receber uma premiação. Lembrando que cada atleta 
pode ocupar o 1º, 2º ou 3º lugar no pódio, o número das 
possíveis formas de os atletas comporem o pódio é:
a) 720. 
b) 680. 
c) 260. 
d) 120. 
15 (EEAR) Em um campeonato de tênis estão inscritos 
10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares 
podem formar duplas diferentes.
a) 34 
b) 35 
c) 44 
d) 45
16 (EEAR) A metade do número de anagramas da 
palavra PRISMA que começam por S é:
a) 10. 
b) 20. 
c) 30. 
d) 60.
17 (ESPCEX) Duas instituições financeiras fornecem 
senhas para seus clientes, construídas segundo os se-
guintes métodos:
1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos 
do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 
2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas 
letras, dentre as vogais, nas primeira e segunda posições 
da senha, seguidas por 4 algarismos dentre os elementos 
do conjunto {3,4,5,6,7,8,9}. Para comparar a eficiência entre 
os métodos de construção das senhas, medindo sua maior 
ou menor vulnerabilidade, foi definida a grandeza "força 
da senha", de forma que, quanto mais senhas puderem ser 
criadas pelo método, mais "forte" será a senha. 
Com base nessas informações, pode-se dizer que, em re-
lação à 2° instituição, a senha da 1ª instituição é:
a) 10% mais fraca. 
b) 10% mais forte. 
c) de mesma força.
d) 20% mais fraca.
e) 20% mais forte.
18 (ESPCEX) Um grupo é formado por oito homens e 
cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em 
uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco 
mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os 
homens as posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de 
fila podem ser formadas obedecendo essas restrições?
a) 56 
b) 456 
c) 40 320
d) 72 072 
e) 8 648 640
19 (ESPCEX) Determine o algarismo das unidades 
da seguinte soma 2016
1 !nS n==∑ , em que n! é o fatorial do 
número natural n.
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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64
20 (ESPCEX) Sete livros didáticos, cada um de uma 
disciplina diferente, devem ser posicionados lado a lado 
em uma estante, de forma que os livros de Física, de 
Química e de Matemática estejam sempre juntos, em 
qualquer ordem. O número de maneiras diferentes em 
que esses livros podem ser posicionados é:
a) 720 
b) 1440 
c) 2160 
d) 2880 
e) 5040
21 (ESPCEX) A solução da equação 3!( 1)! 182( 2)! !
4( 3)! 2( 2)!
x x x
x x
− − −
=
− −
 
é um número natural
a) maior que nove.
b) ímpar.
c) cubo perfeito.
d) divisível por cinco.
e) múltiplo de três.
22 (ESPCEX) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX 
forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX 
ocupará, nessa ordenação, a posição:
a) 144 
b) 145 
c) 206 
d) 214 
e) 215
23 (ESPCEX) Num determinado setor de um hospi-
tal, trabalham 4 médicos e 8 enfermeiras. O número de 
equipes distintas, constituídas cada uma de 1 médico e 3 
enfermeiras, que podem ser formadas nesse setor é de:
a) 60 
b) 224 
c) 495 
d) 1344 
e) 11880
24 (ESPCEX) Para se ter acesso a um arquivo de com-
putador, é necessário que o usuário digite uma senha de 
5 caracteres, na qual os três primeiros são algarismos 
distintos, escolhidos de 1 a 9, e os dois últimos caracteres 
são duas letras, distintas ou não, escolhidas dentre as 
26 do alfabeto. Assim, o número de senhas diferentes, 
possíveis de serem obtidas por esse processo, é:
a) 327650 
b) 340704 
c) 473805
d) 492804 
e) 501870
25 (ESPCEX) Os alunos de uma escola realizam ex-
periências no laboratório de Química utilizando 8 subs-
tâncias diferentes. O experimento consiste em misturar 
quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar 
o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, 
que as substâncias S1, S2 e S3 não devem ser misturadas 
entre si, pois produzem como resultado o gás metano, 
de odor muito ruim. Assim, o número possível de mis-
turas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás 
metano é:
a) 16
b) 24
c) 25
d) 28
e) 56
26 (AFA) No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram 
premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das 
Escolas Públicas (OBMEP). Desses alunos, 14 ganharam 
medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão, 9 do 2° es-
quadrão e 2 do 1° esquadrão. Os demais receberam 
menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° esquadrão, 4 do 
2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão. Para homenagear os 
alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publi-
cada pela Nascentv em uma rede social. Admitindo-se 
que, na fotografia, os alunos que receberam menção 
honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, 
sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila 
na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo 
que, nesta fila: 
• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos 
do 2° esquadrão que receberam medalha; 
• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, 
ficaram um ao lado do outro; e 
• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, 
ficaram, também, um ao lado do outro.
Marque a alternativa que contém o número de fotografias 
distintas possíveis que poderiam ter sido feitas. 
a) (72). 9! 
b) (144). 9! 
c) (288) . 9! 
d) (864). 9!
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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65
27 (AFA) Dez vagas de um estacionamento serão ocu-
padas por seis carros, sendo: 3 pretos, 2 vermelhos e 1 
branco. Considerando que uma maneira de isso ocorrer 
se distingue de outra tão somente pela cor dos carros, 
o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as 
dez vagas é igual a:
a) 12 600 
b) 16 200 
c) 21 600 
d) 26 100 
28 (AFA) Numa sala de aula, estão presentes 5 alunos 
e 6 alunas. Para uma determinada atividade, o professor 
deverá escolher umgrupo formado por 3 dessas alunas e 
3 dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos 
em círculo de tal forma que alunos do mesmo sexo não 
fiquem lado a lado. Isso poderá ocorrer de n maneiras 
distintas.
O número n é igual a:
a) 24 000 
b) 2 400 
c) 400 
d) 200 
29 (AFA) Um baralho é composto por 52 cartas dividi-
das em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros e espadas). 
Cada naipe é constituído por 13 cartas, das quais 9 são 
numeradas de 2 a 10, e as outras 4 são 1 valete (J), 1 dama 
(Q), 1 rei (K) e 1 ás (A). Ao serem retiradas desse baralho 
duas cartas, uma a uma e sem reposição, a quantidade 
de sequências que se pode obter em que a primeira carta 
seja de ouros e a segunda não seja um ás é igual a:
a) 612 
b) 613 
c) 614 
d) 615 
30 (AFA) Um colecionador deixou sua casa provido de 
R$ 5,00, disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da 
esquina. O vendedor lhe mostrou três opções que havia 
na loja, conforme a seguir. 
• 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$ 4,00 cada 
miniatura;
• 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$ 1,00 cada 
miniatura;
• 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$ 3,00 cada 
miniatura.
O número de diferentes maneiras desse colecionador 
efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu 
dinheiro, é:
a) 15 
b) 21 
c) 42 
d) 90 
31 (AFA) Num acampamento militar, serão instaladas 
três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, 
dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira 
que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 
na barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o 
soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número 
de maneiras distintas de distribuí-los é igual a:
a) 560 
b) 1120 
c) 1680 
d) 2240 
32 (AFA) Para evitar que João acesse sites não re-
comendados na Internet, sua mãe quer colocar uma 
senha no computador formada apenas por m letras A e 
também m letras B (sendo m par). Tal senha, quando lida 
da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, 
não deverá se alterar (Ex.: ABBA) 
Com essas características, o número máximo de senhas 
distintas que ela poderá criar para depois escolher uma 
é igual a:
a) (2 )!
! !
m
m m
b) 
2
!
! !
2 2
m
m m
 
 
 
    
        
c) 
(2 )!
3! !
2 2
m
m m   
   
   
d) 
!
! !
2 2
m
m m   
   
   
33 (AFA) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são 
amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas 
de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e 
sem numeração. A quantidade de formas distintas de se 
enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo 
número fiquem juntas é:
a) 8.7! 
b) 7! 
c) 5.4! 
d) 10! 
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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66
34 (AFA) Um turista queria conhecer três estádios 
da Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem 
de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes 
situações: 
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. 
II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que 
conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria 
nenhum dos dois. 
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios 
brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de 
escolher a situação I e o número de maneiras diferentes 
de escolha para a situação II, nessa ordem, é:
a) 11
26
 
b) 13
25
 
c) 13
24
 
d) 11
24
35 (AFA) As senhas de acesso de um determinado ar-
quivo de um microcomputador de uma empresa deverão 
ser formadas apenas por seis dígitos pares, não nulos. 
Sr. José, um dos funcionários dessa empresa, que utiliza 
esse microcomputador, deverá criar sua única senha. 
Assim, é INCORRETO afirmar que o Sr. José:
a) poderá escolher sua senha dentre as 212possibilidade 
de formá-las; 
b) poderá escolher dentre 120 possibilidades, se decidir 
optar por uma senha com somente 4 dígitos iguais; 
c) terá 4 opções de escolha, se sua senha possuir todos 
os dígitos iguais;
d) terá 480 opções de escolha, se preferir uma senha com 
apenas 3 dígitos iguais.
36 (AFA) Marque V para verdadeiro e F para falso e, 
a seguir, assinale a opção correspondente:
( ) Sendo A um conjunto com x elementos e B um conjunto 
com y elementos, o número de funções f:A→B é xy;
( ) Uma urna contém n bolas numeradas (de 1 a n). Se s 
bolas são retiradas sucessivamente e com reposição, o 
número de sequências de resultados possíveis é ns.
( ) Com n algarismos distintos, entre eles o zero, pode-se 
escrever n4números distintos de 4 algarismos.
a) F – V – V 
b) V – F – V 
c) V – F – F 
d) F – V – F 
37 (AFA) A palavra que não muda o seu sentido, quer 
se leia da esquerda para a direita ou da direita para a 
esquerda, é chamada palíndromo (Ex., ovo, asa, acaiaca, 
serres, etc.). Considerando-se as 23 letras do nosso alfa-
beto, quantos anagramas de 6 letras com características 
de um palíndromo, pode-se formar? 
a) 236 
b) 233 
c) 323 
d) 623
38 (AFA) Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma 
de suas malas colocou um cadeado contendo um segredo 
formado por cinco dígitos. Cada dígito é escolhido dentre 
os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Na primeira mala, o segredo do cadeado começa e termina 
com dígito par e os demais são dígitos consecutivos em 
ordem crescente. Na segunda mala, o segredo do cadea-
do termina em dígito ímpar e apenas o 1º e 2º dígitos são 
iguais entre si. 
Dessa maneira, se ela esquecer: 
a) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer 
no máximo (52x 83) tentativas para abri-lo. 
b) o segredo do cadeado da segunda mala, o número má-
ximo de tentativas para abri-lo será de 1890. 
c) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente 
do cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, 
no máximo, 8 tentativas. 
d) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda 
mala, deverá tentar no máximo 10 vezes para abri-lo. 
39 (AFA) Com base no conhecimento sobre análise 
combinatória, é correto afirmar que: 
(01) existem 2160 possibilidades de 8 pessoas ocuparem 
um veículo com 3 lugares voltados para trás e 5 lugares 
voltados para frente, sendo que 2 das pessoas preferem 
bancos voltados para trás, 3 delas preferem bancos voltados 
para frente e as demais não têm preferência.
(04) com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, pode-se formar 525 
números ímpares com 4 algarismos e que não tenham 
zeros consecutivos.
(08) podem ser formados 330 paralelogramos a partir de 
7 retas paralelas entre si, interceptadas por outras 4 retas 
paralelas entre si.
A soma das alternativas corretas é
a) 05. 
b) 09. 
c) 12. 
d) 13.
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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67
40 (AFA) Uma prova consta de 3 partes, cada uma 
com 5 questões. Cada questão, independentemente da 
parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de 
correção “certo ou errado”. O número de maneiras dife-
rentes de se alcançar 10 pontos nessa prova, se devem 
ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 
questões no total, é igual a: 
a) 1500. 
b) 150. 
c) 75. 
d) 1600.
41 (AFA) Numa demonstração de paraquedismo, du-
rante a queda livre, participam 10 paraquedistas. Em um 
certo momento, 7 deles devem dar as mãos e formar um 
círculo. De quantas formas distintas eles poderão ser 
escolhidos e dispostos nessecírculo? 
a) 120. 
b) 720. 
c) 86400. 
d) 151200. 
42 (AFA) Assinale a alternativa correta. 
a) Pode- se codificar quinhentos pacientes, por uma pala-
vra de duas letras quando as letras são escolhidas de um 
alfabeto de 25 letras.
b) Nas calculadoras, os algarismos são frequentemente 
representados, iluminando-se algumas das sete barras 
reunidas na forma padrão 8. O número de diferentes sím-
bolos que podem ser expressos pelas sete barras é igual 
a 7! (fatorial de 7). 
c) O número de anagramas da palavra ASTRONAUTA é igual 
a 10! (fatorial de 10).
d) Entre 10 machos e 7 fêmeas de gatos experimentais, foi 
escolhida uma amostra de dois machos e duas fêmeas. O 
número de maneiras que isto pode ser feito é igual a 945.
43 (AFA) Numa sala de aula, estão presentes 5 alunos 
e 6 alunas. Para uma determinada atividade, o professor 
deverá escolher um grupo formado por 3 dessas alunas e 
3 dos alunos. Em seguida, os escolhidos serão dispostos 
em círculo de tal forma que alunos do mesmo sexo não 
fiquem lado a lado. Isso poderá ocorrer de n maneiras 
distintas. 
O número n é igual a: 
a) 24.000 
b) 2.400 
c) 400 
d) 200 
44 (AFA) Uma pessoa deve escolher (não importando 
a ordem) sete, dentre dez cartões numerados de 1 a 10, 
cada um deles contendo uma pergunta diferente. 
Se nessa escolha houver, pelo menos três, dos cinco pri-
meiros cartões, ela terá n formas de escolha. Sendo assim, 
pode-se afirmar que n é um número 
a) quadrado perfeito. 
b) múltiplo de 11. 
c) ímpar. 
d) primo. 
45 (AFA) Em uma reunião social, cada participante 
cumprimenta todos os outros uma única vez. Se houve 
um total de 36 cumprimentos, o número de participantes 
da reunião é 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
46 (EFOMM) Considere uma loja que vende cinco tipos 
de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos 
comprar três refrigerantes desta loja? 
a) Dez.
b) Quinze.
c) Vinte. 
d) Trinta e cinco. 
e) Sessenta.
47 (EFOMM) De quantas maneiras diferentes pode-
mos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas 
mulheres, de um grupo composto de sete homens e 
quatro mulheres? 
a) 210 
b) 250 
c) 371 
d) 462 
e) 756
48 (EFOMM) Em uma festa, sabe-se que cada pessoa 
tem três amigos, mas que não há três pessoas que sejam 
amigas duas a duas. Qual é, então, a menor quantidade 
possível de pessoas na festa? 
a) 9. 
b) 8. 
c) 7. 
d) 6. 
e) 4.
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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68
49 (EFOMM) Um decorador contemporâneo vai usar 
quatro “objetos” perfilados lado a lado como decoração de 
um ambiente. Ele dispõe de 4 copos transparentes azuis, 
4 copos transparentes vermelhos, duas bolas amarelas 
e 3 bolas verdes. Cada “objeto” da decoração pode ser 
um copo vazio ou com uma bola dentro. Considerando 
que a cor altera a opção do “objeto”, quantas maneiras 
distintas há de perfilar esses quatro “objetos”, levando-se 
em conta que a posição em que ele se encontra altera 
a decoração?
a) 1296 
b) 1248 
c) 1152 
d) 1136 
e) 1008 
50 (EFOMM) Quantos anagramas é possível formar 
com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais 
consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) 24 
b) 120 
c) 480 
d) 1920 
e) 3840
51 (EFOMM) O código Morse, desenvolvido por Samuel 
Morse, em 1835, é um sistema de representação que uti-
liza letras, números e sinais de pontuação através de um 
sinal codificado intermitentemente por pulsos elétricos, 
perturbações sonoras, sinais visuais ou sinais de rádio. 
Sabendo-se que um código semelhante ao código Morse 
trabalha com duas letras pré-estabelecidas, ponto e tra-
ço, e codifica com palavras de 1 a 4 letras, o número de 
palavras criadas é:
a) 10. 
b) 15. 
c) 20. 
d) 25. 
e) 30. 
52 (EFOMM) A quantidade de anagramas da palavra 
MERCANTE que não possui vogais juntas é:
a) 40320. 
b) 38160. 
c) 37920. 
d) 7200. 
e) 3600.
53 (ESCOLA NAVAL) Um aspirante da Escola Naval tem, 
em uma prateleira de sua estante, 2 livros de Cálculo, 3 
livros de História e 4 livros de Eletricidade. De quantas 
maneiras ele pode dispor estes livros na prateleira de 
forma que os livros de cada disciplina estejam sempre 
juntos?
a) 1728 
b) 1280 
c) 960 
d) 864 
e) 288 
54 (ESCOLA NAVAL) No sistema decimal, a quantidade 
de números ímpares positivos menores que 1000, com 
todos os algarismos distintos é 
a) 360 
b) 365 
c) 405 
d) 454 
e) 500 
55 (ESCOLA NAVAL) Um tapete de oito faixas deve ser 
pintado com as cores azul, preta e branca. A quantidade 
de maneiras que se pode pintar este tapete de modo 
que duas faixas consecutivas não sejam da mesma cor é: 
a) 256. 
b) 384. 
c) 520. 
d) 6561. 
e) 8574. 
56 (ESCOLA NAVAL) Entre os dez melhores alunos que 
frequentam o grêmio de informática da Escola Naval, será 
escolhido um diretor, um tesoureiro e um secretário. O 
número de maneiras diferentes que podem ser feitas 
as escolhas é:
a) 720 
b) 480 
c) 360 
d) 120 
e) 60
57 (ESCOLA NAVAL) Um Aspirante ganhou, em uma 
competição na Escola Naval, quatro livros diferentes de 
Matemática, três livros diferentes de Física e dois livros 
diferentes de Português. Querendo manter juntos aqueles 
da mesma disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los 
numa prateleira de sua estante, de diversos modos. A 
quantidade de modos com que poderá fazê-lo é 
a) 48. 
b) 72. 
c) 192. 
d) 864. 
e) 1728.
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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69
58 (ESCOLA NAVAL) Um banco de sangue catalogou 
um grupo de 50 doadores, assim distribuídos: 19 com tipo 
O; 24 com fator Rh (negativo); e 11 com fator Rh (positivo) 
e tipo diferente de O. Quantos são os modos possíveis de 
selecionar 3 doadores desse grupo que tenham sangue 
de tipo diferente de O, mas com fator Rh (negativo)? 
a) 4495. 
b) 2024. 
c) 1140. 
d) 165. 
e) 155. 
59 (ESCOLA NAVAL) Uma livraria vai doar 15 livros 
iguais a 4 bibliotecas. Cada biblioteca deve receber ao 
menos dois livros. O número de modos que esses livros 
podem ser repartidos nessa doação, é igual a 
a) 1365 
b) 840 
c) 240 
d) 120 
e) 35.
60 (ESCOLA NAVAL) A Escola Naval irá distribuir 4 
viagens para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de 
Natal e 2 para a cidade de Salvador. De quantos modos 
diferentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, dando 
somente uma viagem para cada um?
a) 288 
b) 1260 
c) 60800 
d) 80760 
e) 120960
61 (ESCOLA NAVAL) O atual campeão carioca de fute-
bol, Botafogo, possui escudo baseado em um pentagrama, 
conforme figuras abaixo.
O pentagrama é um polígono estrelado de 5 vértices, que 
podem ser igualmente distribuídos em uma circunferência 
(formando cinco arcos congruentes). O pentagrama, através 
de seus segmentos, determina 6 regiões internas, 5 triân-
gulos e 1 pentágono. O pentágono é vizinho de todos os 
triângulos e não existem triângulos vizinhos entre si. Sendo 
assim, utilizando até 6 cores distintas (preto, branco, cinza, 
verde, amarelo e azul), de quantas maneiras essas regiões 
do pentagrama, conforme Figura 2, podem ser coloridas, de 
forma que não haja duas regiões vizinhas com cores iguais?
a) 720 
b) 120 
c) 6480(VOLUME 1).indd 7 16/02/2022 17:39:4616/02/2022 17:39:46
8
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9
CONJUNTOS
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns concei-
tos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem 
definição.
 
CONCEITOS PRIMITIVOSCONCEITOS PRIMITIVOS
CONJUNTO: Representa uma coleção de objetos.
A - O conjunto de todos os brasileiros.
B - O conjunto de todos os números naturais.
ELEMENTO: É um dos componentes do conjunto.
a) José é um elemento do conjunto de todos os brasileiros.
b) 3 é um elemento do conjunto dos números naturais.
PERTINÊNCIA: É a característica associada a um elemento 
que faz parte de um conjunto.
a) José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b) 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um 
conjunto utilizamos o símbolo ∈ que se lê: “pertence”. 
a) José da silva ∈ BRASILEIROS
b) 1 ∈ N
c) - 5 ∉ N
 
REPRESENTAÇÃO PARA CONJUNTOSREPRESENTAÇÃO PARA CONJUNTOS
APRESENTAÇÃO: Os elementos do conjunto estão dentro 
de duas chaves {e}.
A = {a, e i, o, u}
N = {1, 2, 3, 4, …}
M = {João, Maria, José}
DESCRIÇÃO: O conjunto é descrito por uma ou mais pro-
priedades.
A = {x/x é uma vogal}
N = {x/x é um número natural}
M = {x/x é uma pessoa da família de Maria}
DIAGRAMA DE VENN – EULER : Os conjuntos são mostrados 
graficamente.
 
CONJUNTOS ESPECIAISCONJUNTOS ESPECIAIS
CONJUNTO VAZIO: É um conjunto que não possui elemen-
tos. É representado por { } ou por Ø. 
CONJUNTO UNITÁRIO: É um conjunto que contém apenas 
um elemento.
CONJUNTO UNIVERSO: É um conjunto que contém todos 
os elementos do contexto no qual estamos trabalhando 
e também contém todos os conjuntos desse contexto. O 
conjunto universo é representado por uma letra U.
 
SUBCONJUNTOSSUBCONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, 
denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A também 
estão em B. Também diz-se que A é um subconjunto de B.
O conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos e 
todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
{a, b, c} ⊂ {a, b, c, d, e}
{a, b, c , d} ⊄ {b, c, d, e, f}
Ø⊂ {a, b, c, d, e}
{a, b, c, d, e} ⊂ {a, b, c, d, e}
 
OPERAÇÕESOPERAÇÕES
UNIÃO: Dados os conjuntos A e B, define-se como união 
dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, 
ou seja: 
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
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10
INTERSEÇÃO: Dados os conjuntos A e B, define-se como 
intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado 
por A ∩ B, formado por todos os elementos que pertencem 
a A e B, ou seja: 
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
DIFERENÇA DE CONJUNTOS: Dados os conjuntos A e B, 
define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao 
conjunto representado por A – B, formado por todos os 
elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a 
B, ou seja:
A – B = {x/x ∈ A x ∉ B}
COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO: Dados dois conjuntos 
A e B, o complemento do conjunto B contido no conjunto A, 
denotado porCA B, é a diferença entre os conjuntos A e B, 
ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem 
ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CA B =A-B = {x/x ∈ A e x ∉ B }
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto 
A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que esta-
mos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta 
como expoente no conjunto, para indicar o complemento 
deste conjunto. 
Exemplos:Øc= ∪ e ∪c = Ø
DIFERENÇA SIMÉTRICA: A diferença simétrica entre os con-
juntos A e B é conjunto de todos os elementos que per-
tencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à 
interseção dos conjuntos A e B.
A ∆ B = {x/x ∈ A U B e x ∉ A ∩ B}
 
Nota: Dizemos que dois conjuntos são iguais quando têm 
exatamente os mesmos elementos.
 
LEIS DE MORGANLEIS DE MORGAN
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a 
interseção dos complementares desses dois conjuntos.
(A U B)c = Ac ∩ Bc
O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a 
reunião dos complementares desses conjuntos.
(A ∩ B)c = Ac U Bc
 
CONJUNTO DAS PARTESCONJUNTO DAS PARTES
O Conjunto das partes de um conjunto E, indicado por P(E), 
é o conjunto formado por todos os subconjuntos de E. 
Exemplo: Seja E = {a, b, c}, o conjunto das partes é:
Com nenhum elemento: Ø
Com um elemento: {a}, {b}, {c}
Com dois elementos: {a, b}, {a, c}, {b, c}
Com três elementos: E
Portanto: P(E) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E}
Se um conjunto possui n elementos, então o conjunto das 
partes desse conjunto possui 2n elementos.
 
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
Quaisquer que sejam os valores de A, B e C valem as igual-
dades seguintes:
Idempotente: A ∩ A = A e A U A = A
Comutativa: A ∩ B = B ∩ A e A U B = B U A
Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
 (A U B) U C = A U (B U C)
Distributiva: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ B)
 A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U B)
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
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11
PRINCÍPIO DA INCLUSÃO-EXCLUSÃO: Para calcular o nú-
mero de elementos de uma união, usamos as seguintes 
fórmulas (válidas apenas para conjuntos finitos):
Obs.: n(X) representará a quantidade de elementos de X
1) Para dois conjuntos
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Essa fórmula expressa que para se calcular o número de 
elementos de uma união, não basta somar as quantidades 
de elementos dos dois conjuntos, pois alguns elementos 
podem ser contados duas vezes. Esses elementos que 
são contados duas vezes são justamente os elementos da 
interseção e, por isso, devemos retirar n(A∩B). Essa ideia 
se estende de maneira análoga para mais conjuntos
2) Para três conjuntos
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) 
+ n(A∩B∩C)
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (CM-RJ) Se A={1,{9},9,2}, assinale a afirmação er-
rada:
a) 1∈ A 
b) 9∈A
c) {9}∈ A
d) {9}⊂A
e) 2⊂A
02 (CM-RJ) Sendo M={{a},{b},{a,b}}, podemos afirmar 
que:
a) {a}⊂M 
b) {a}∈M 
c) {a}∩{b}⊄M
d) a∈M 
e) {a}∪{b}⊂M
03 [CM-RJ] Sejam A e B conjuntos quaisquer, A∪B=A∩B, 
se e somente se:
a) A=∅ 
b) A=B 
c) A-B
d) A∪B 
e) A∩B
04 (EEAR) No diagrama, o hachurado é o conjunto
 
a) complementar de (M ∪ N) em relação a U.
b) complementar de (M - N) em relação a U.
c) complementar de (M ∩ N) em relação a U.
d) (M - N) ∪ (N - M)
05 (CN) Observe os conjuntos A={3,{3},5,{5}} e 
B={3,{3,5},5}. Sabendo-se que n(x) representa o número 
total de elementos de um conjunto X, e que P(X) é o con-
junto formado por todos os subconjuntos do conjunto X, 
pode-se afirmar que:
a) n(A∩B)=3 
b) n(A∪B)=7 
c) n(A-B)=2
d) n(P( A))=32 
e) n(P( B))=16
06 (CM-RJ) Considerando a figura plana no desenho 
ao lado, é CORRETO afirmar que a região negritada pode 
ser representada por:
a) (B - C)∪(C - A) 
b) (A - C)∪(B - C)
c) (C - B)∪(A - C)
d) (C - A)∪(B - A)
e) (C - B)∪(C - A)
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
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12
07 (CN) Sejam os conjuntos A={1,3,4}, B={1,2,3} e X. 
Sabe-se que qualquer subconjunto de A∩Bestá contido 
em X, que por sua vez é subconjunto de A∪B.Quantos 
são os possíveis conjuntos X?
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7
08 (CN) Sejam A, B e C conjuntos tais que: A={1,{1,2},{3}}, 
B={1,{2},3}e C={{1},2,3}. Sendo X a união dos conjuntos 
(A-C) e (A-B), qual será o total de elementosd) 3750 
e) 3774
62 (ITA) Com os elementos 1, 2,...,10 são formadas 
todas as sequências (a1; a2,...,a7). 
Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a 
probabilidade de a sequência escolhida não conter ele-
mentos repetidos é:
a) 
7
7!
10 .3!
 
b) 
7
10!
10 .3!
 
c) 
7
3!
10 .7!
d) 
3
10!
10 .7!
 
e) 
7
10!
10
63 (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos 
podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo 
à seguinte regra: O número não pode ter algarismos 
repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em 
que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. 
Assinale o resultado obtido. 
a) 204. 
b) 206. 
c) 208. 
d) 210. 
e) 212. 
64 (ITA) Considere os números de 2 a 6 algarismos 
distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. 
Quantos destes números são ímpares e começam com 
um dígito par?
a) 375. 
b) 465. 
c) 545. 
d) 585. 
e) 625.
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
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70
65 (ITA) Quantos números de seis algarismos distintos 
podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos 
quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas 
o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? 
a) 144. 
b) 180. 
c) 240. 
d) 288. 
e) 360. 
66 (ITA) Considere 12 pontos distintos dispostos no 
plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer 
outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. 
Quantos triângulos podemos formar com os vértices 
nestes pontos?
a) 210. 
b) 315. 
c) 410. 
d) 415. 
e) 521. 
67 (IME) Um trem conduzindo 4 homens e 6 mulheres 
passa por seis estações. Sabe-se que cada um destes 
passageiros irá desembarcar em qualquer uma das seis 
estações e que não existe distinção dentre os passageiros 
de mesmo sexo. O número de possibilidades distintas de 
desembarque destes passageiros é:
a) 1.287 
b) 14.112 
c) 44.200 
d) 58.212
e) 62.822 
GABARITO
01. A 02. B 03. E 04. D 05. B 06. A
07. C 08. D 09. A 10.A 11. B 12. D
13. A 14. A 15. D 16. D 17. A 18. C
19. D 20. A 21. C 22. B 23. B 24. B
25. C 26. D 27. A 28. B 29. A 30. B
31. B 32. D 33. A 34. A 35. B 36. A
37. B 38. C 39. A 40. A 41. C 42. D
43. B 44. B 45. C 46. D 47. C 48.D
49. D 50. C 51. E 52. D 53. A 54. B
55. B 56. A 57. E 58. C 59. D 60. B
61. E 62. B 63. E 64. D 65. C 66.A
CAPÍTULO 3 
Análise Combinatória
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 70Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 70 16/02/2022 17:42:1516/02/2022 17:42:15
71
BINÔMIO DE 
NEWTON
Usa-se a técnica da Análise Combinatória para ter um re-
sultado importante em Álgebra, que consiste em obter o 
desenvolvimento do binômio (x+y)n para n ∈ N e x, a ∈ R.
(x+a)0=1
(x+a)1=x+a
(x+a)2=x2+2xa+a2
(x+a)3=x3+3x2 a+3xa2+a3
Para todo inteiro positivo n, podemos calcular usando a 
propriedade da distributiva:
(x+a)n=(x+a).(x+a).(x+a)…(x+a)
 
TEOREMA BINOMINALTEOREMA BINOMINAL
O desenvolvimento de (x+a)n para n ∈ N e x, a ∈ R é dado por 
I) O número de parcelas distintas de (x+a)n é sempre igual 
a n + 1.
II) O termo geral de cada parcela de (x+a)n é igual a 
1 .n p p
p
n
T x a
p
−
+
 
=  
 
, p ∈ N, 0 ≤ p ≤ n.
III) Em um desenvolvimento binomial os coeficientes bino-
miais aparecem simétricos em relação às parcelas centrais. 
Em outras palavras, n n
p n p
   
=   −   
.
 
RELAÇÃO DE STIFELRELAÇÃO DE STIFEL
Se n ∈ N, então 
1
1
n n n
p p p
+     
+ =     −     
 
TRIÂNGULO DE PASCALTRIÂNGULO DE PASCAL
A relação de Stifel permite que se monte uma tabela rela-
cionando os valores dos coeficientes binomiais.
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (ESPCEX) O valor de m tal que 0 2 729m p
p= =∑ é:
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14
02 (ESPCEX) No desenvolvimento de (2x-y)5.(2x+y)5, a 
soma dos coeficientes numéricos vale:
a) 3 
b) 27 
c) 81 
d) 243 
e) 729
03 (ESPCEX) O coeficiente de x5 no desenvolvimento 
de (x+2)9 é:
a) 64 
b) 126 
c) 524 
d) 1024 
e) 2016
04 (ESPCEX) Seja a equação binomial 
8 8
3 6x
   
=   +   
. O 
produto de suas raízes é:
a) 3 
b) -3 
c) 0 
d) 
1
6 
e) 1
3
CAPÍTULO 4
Binômio de Newton
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72
05 (ESPCEX) O coeficiente de termo x98, no desenvol-
vimento de (x-1)100 é:
a) 4950 
b) 3200 
c) 6300 
d) 2500 
e) 1300
06 (EPCAR) Seja dado (2x+y)m=.......+60x2 y4+12xy5+y6. 
No desenvolvimento desse binômio foram escritos apenas 
os três últimos termos. Sabendo-se que m é inteiro, 0x
 − 
 
, o valor do 
termo independente de x é:
a) -70 
b) -35 
c) 35 
d) 70 
e) 90
20 (AFA) Se no desenvolvimento do binômio (x+y)m-5, or-
denado segundo as potências decrescentes de x, o quociente 
entre os termos que ocupam as posições (m+3) e (m+1) é 2 22
3
x y−
, então o valor de m é:
a) Par
b) Primo
c) Ímpar
d) Múltiplo de 3
21 (AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo 
termos do desenvolvimento de (1+x)n estão em progressão 
aritmética. Se n ≤ 13, então o valor de (2n+1)é:
a) 7 
b) 13 
c) 15 
d) 27
22 (AFA) O valor de m que satisfaz a expressão:
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5
23 (AFA) Analise as afirmativas abaixo e classifique-as 
em (V) verdadeiras ou (F) falsas.
( ) No desenvolvimento de (2x+k)7,k∈R*, o coeficiente nu-
mérico do termo x4 é quatro vezes o coeficiente numérico 
do termo x3. Então k vale 1
4
.
( ) Sejam m e p números inteiros positivos, tais que m-1≥p. 
Então, 1 1
2 1
m m m
p p p
− −     
+ +     − −     
 é igual a 1m
p
+ 
 
 
.
( ) Se 1023
1 2 3
n n n n
n
       
+ + + + =       
       
 , o valor de n é igual a 10.
A sequência correta é:
a) V – V – V 
b) F – F – V 
c) V – F – F 
d) F – V – V 
24 (AFA) Sabendo-se que no desenvolvimento de 
(1+x)26 os coeficiente dos termos de ordem (2r+1) e (r+3) 
são iguais, pode-se afirmar que r é igual a:
a) 8 ou 4 
b) 8 ou 2 
c) 4 ou 2 
d) 2 ou 1 
25 (AFA) No desenvolvimento de (xr+x-r)n, ordenado 
pelas potências decrescentes de x, sendo r > 0 e n na-
tural, o coeficiente do 5° termo que é independente de 
x é igual a:
a) 252 
b) 70 
c) 10 
d) 8
CAPÍTULO 4
Binômio de Newton
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74
26 (AFA) O termo independente de x no desenvolvi-
mento de 
7
4
3
1x
x
 + 
 
 é:
a) 4 
b) 10 
c) 21 
d) 35
27 (AFA) No desenvolvimento de (x+2)n.x3, o coefi-
ciente de xn+1 é:
a) .( 1)
2
n n +
b) .( 1)
2
n n −
c) 2n.(n - 1)
d) 4n.(n - 1)
28 (AFA) A soma dos coeficientes numéricos da ex-
pressão (2x+3y)4 é:
a) 125 
b) 225 
c) 625 
d) 1025
29 (AFA) Os três primeiros coeficientes do desenvol-
vimento de 2 1
2
n
x
x
 + 
 
 segundo as potências decrescentes 
de x estão em progressão aritmética. O valor de n é um 
número:
a) Primo.
b) Quadrado perfeito.
c) Maior que 9 e menor que 15.
d) Cubo perfeito.
30 (ESCOLA NAVAL) O coeficiente de x^2 no desen-
volvimento de 
61x
x
 − 
 
é:
a) 2 
b) 6 
c) 12 
d) 15 
e) 30
31 (ESCOLA NAVAL) Se 3 2a = + e 3 2b = − , seja 
k o determinante da matriz
sendo assim, é correto afirmar que o coeficiente de xk-1 no 
desenvolvimento de 
3 3
2
2
1 12 .
2
x x
x x
   + +   
   
 é:
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25
32 (ESCOLA NAVAL) O coeficiente de ab3 c5 no desen-
volvimento de (a+b+c)9 é:
a) 60
b) 84
c) 120
d) 504
e) 1260
33 (ITA) Sejam m∈N e n∈ *
+� com m≤10 e x∈ *
+� . 
Seja D o desenvolvimento do binômio (a+b)m, ordenado 
segundo as potências crescentes de b. Quando a=xn e 
b=xn, o sexto termo de D fica independente de x. Quando 
a=x e 
1
nb x
−
= , o oitavo termo de D se torna independente 
de x. Então m é igual a:
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
e) 18
34 (ITA) Dadas as afirmações:
I – 2
0 1 2 1
nn n n n n
n n
         
+ + + + + =         −         
 , n∈N. 
II – n n
k n k
   
=   −   
, n∈N, k=0,1,2,…,n.
III – Existem mais possibilidades de escolher 44 números 
diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que 
escolher 6 números diferentes entre os inteiros de 1 a 50.
Conclui-se que:
a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Apenas I é verdadeira.
d) Apenas II é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
CAPÍTULO 4 
Binômio de Newton
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75
35 (ITA) No desenvolvimento (x+y)6, ordenado segun-
do as potências decrescentes de x, a soma do 2° termo 
com 1
10
 do termo de maior coeficiente é igual a oito vezes a 
soma de todos os coeficientes. Se x=(2)z+1 e 
1
21
4
z
y
−
 =  
 
, então:
a) z∈[0,1]
b) z∈]20,50[
c) z∈]-∞,0]
d) z∈[1,15]
e) n.d.a
36 (ITA) A igualdade 0 0( 1) . .7 .2 64n k n m m
k j
n m
k j= =
   
− + =   
   
∑ ∑ , é 
válida para:
a) Quaisquer que sejam n e m naturais positivos.
b) Quaisquer que seja n natural positivo e m=3.
c) n=13 e m=6.
d) n é ímpar e m é par
e) nenhuma das alternativas anteriores.
37 (ITA) No desenvolvimento de 
1023 2
2 3
a mA
 
= + 
 
, a razão 
entre a parcela contendo o fator a16.m3 é igual a 9
16
. Se a e 
m são números reais positivos tais que a=(m2+4)5, então:
a) a.m=
2
3 
b) a.m=
1
3 
c) a+m=
5
2
d) a+m=5 
e) a-m=
5
2
38 (ITA) Sejam 0 .3n k
k
n
A
k=
 
=  
 
∑ e 1
0
1
.11n k
k
n
B
k
−
=
− 
=  
 
∑ . Se ℓ 
n B - ℓ n A = ℓ 6561
4
n , então n é igual a:
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) n.d.a
39 (ITA) O termo independente de x no desenvolvi-
mento do binômio 
12
3
3
3 5
5 3
x x
x x
 
 −
 
 
é:
a) 3729. 45 
b) 3972. 15 
c) 3
3891.
5
d) 3
5376.
5
 
e) 3165. 75
40 (ITA) Analise as afirmações classificando-as em 
verdadeiras ou falsas:
I – O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios 
iguais à 7 pessoas de modo que cada pessoa premiada 
receba no máximo um prêmio é 21.
II – O número de maneiras que podemos distribuir 5 prê-
mios iguais à 7 pessoas de modo que 4 e apenas 4 sejam 
premiadas é 140.
III – Para todo natural n, n≥5, 
5 5
n n
n
   
=   −   
.
Você conclui que:
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II e III são verdadeiras.
c) Apenas III é verdadeira.
d) Todas são verdadeiras.
e) Todas são falsas.
41 (ITA) Seja 20
0
20!( ) .
!.(20 )!
n
nf x x
n n==
−∑ , uma função real de 
variável real em que n! indica o fatorial de n. Considere 
as afirmações:
I - f(1)=2
II - f(-1)=0
III - f(-2)=1
Podemos concluir que:
a) Somente as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação I é verdadeira.
d) Apenas a afirmação II é verdadeira.
e) Apenas a afirmação III é verdadeira.
42 Determine o valor numérico do polinômio 
p(x)=x4+4x3+6x2+4x+2017 para x=89. 
a) 53 213 009. 
b) 57 138 236. 
c) 61 342 008. 
d) 65 612 016. 
e) 67 302 100. 
GABARITO
01. A 02. B 03. E 04. B 05. A 06. D
07. C 08. B 09. B 10. C 11. D 12. B
13. C 14. A 15. D 16. C 17. C 18. D
19. D 20. A 21. C 22. D 23. D 24. B
25. B 26. D 27. C 28. C 29. D 30. D
31. D 32. D 33. B 34. B 35. C 36. B
37. C 38. E 39. E 40. D 41. B 42. D
CAPÍTULO 4
Binômio de Newton
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 75Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 75 16/02/2022 17:42:3316/02/2022 17:42:33
76
M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
ti
c
a
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 76Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 76 16/02/2022 17:42:3416/02/2022 17:42:34
77
MATEMÁTICA 3
M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
ti
c
a
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 77Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 77 16/02/2022 17:42:3416/02/2022 17:42:34
78
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79
LINHAS E ÂNGULOS
 
RETA, SEMIRRETA E RETA, SEMIRRETA E 
SEGMENTO DE RETASEGMENTO DE RETA
Dois segmentos congruentes são aqueles que possuem a 
mesma medida.
O ponto médio é aquele que divide um segmento em dois 
segmentos congruentes.
A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao 
segmento no seu ponto médio.
 
ÂNGULOÂNGULO
Chama-se ângulo a região entre duas semirretas que par-
tem da mesma origem.
Ângulos congruentes são aqueles que possuem a mesma 
medida.
A bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vér-
tice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos 
congruentes.
 
UNIDADES DE MEDIDAUNIDADES DE MEDIDA
I) Grau
A medida de uma volta completa é 360°.
II) Radiano
A medida de uma volta completa é 2π.
Um radiano é a medida do ângulo central de uma circun-
ferência cuja medida do arco correspondente é igual à 
medida do raio da circunferência.
 
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
Dado um ângulo α, temos:
Ângulo nulo α=0°
Ângulo agudo 0°(VOLUME 1).indd 82Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 82 16/02/2022 17:42:4716/02/2022 17:42:47
83
37 Na figura abaixo, calcule o valor de x.
a) 100°
b) 108°
c) 127°
d) 132°
38 Na figura, sabe-se que t//s. Calcule o valor de x.
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
39 Determinar x de modo que, na figura a seguir, Q 
e S dividam harmonicamente PR .
a) 2
3 
b) 4 
c) 6 
d) 8
40 Determine a razão com que A e B dividem o seg-
mento CD :
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 4/5 
d) 5/6
41 Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma 
divisão harmônica de razão MA
MB
 = 7
3
. Se AB =40, MN mede:
a) 24
b) 38
c) 40
d) 42
42 Considere os pontos A, B e C sobre uma reta. Se 
BA
BC
 = 3
5
, então as razões AB
AC
e CA
CB
 são, respectivamente:
a) 3/7 e 7/5
b) 3/7 e 5/7
c) 7/3 e 5/7
d) 7/3 e 7/5
43 Os pontos P e Q pertencem ao interior do segmen-
to AB e estão de um mesmo lado do seu ponto médio. 
P divide AB na razão 2/3 e Q divide AB na razão 3/4. Se 
PQ =2, AB mede um número que é:
a) múltiplo de 7.
b) primo
c) múltiplo de 5
d) divisor de 7.
44 Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma 
divisão harmônica. Se AB = 7 e MN = 24, a razão MA
MB
 é 
igual a:
a) 2
b) 3/2
c) 4/3
d) 5/3
45 Os pontos A, M, B e N de uma reta formam uma 
divisão harmônica de razão MA
MB
 = NA
NB
 =k. Se J é o ponto 
médio de MN , a razão JA
JB
 vale:
a) k
b) 2k
c) k²
d) k² - 1
CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 83Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 83 16/02/2022 17:42:4916/02/2022 17:42:49
84
46 Calcule x em função de a e b. Sabe-se que OJ é a 
bissetriz de AÔC.
a) x = a + b
b) x = 2(a + b)
c) x = 2
2
a b+
d) x = 3
2
a b+
GABARITO
01. A 02. B 03. A 04. D 05. D 06. C
07. C 08. A 09. B 10. D 11. B 12. D
13. C 14. D 15. C 16. C 17. C 18. C
19. B 20. B 21. A 22. D 23. A 24. C
25. A 26. D 27. C 28. D 29. B 30. B
31. A 32. C 33. B 34. B 35.D 36. A
37. C 38. C 39. B 40. A 41. D 42. A
43. A 44. C 45. C 46. D
CAPÍTULO 1 
Linhas e Ângulos
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 84Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 84 16/02/2022 17:42:5616/02/2022 17:42:56
85
TRIÂNGULO
Polígono formado por três lados.
 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Em todo triângulo, a soma dos três ângulos internos é 
igual a 180°.
α+ β+ θ=180°
 
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
Em todo triângulo, a soma dos três ângulos externos é 
igual a 360°.
α'+ β'+ θ'=360°
 
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual 
à soma das medidas dos dois ângulos internos não adja-
centes.
 e= α+ β 
 
TEOREMA DA ASADELTATEOREMA DA ASADELTA
x= α+ β+ θ 
 
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
I) Quanto aos ângulos:
ACUTÂNGULO: Um triângulo é acutângulo quando os três 
ângulos internos são agudos.
OBTUSÂNGULO: Um triângulo é obtusângulo quando um 
dos ângulos é obtuso.
RETÂNGULO: Um triângulo é retângulo quando um dos 
ângulos é retângulo.
II) Quanto aos lados
ESCALENO: Um triângulo é dito escaleno quando as medidas 
dos três lados são diferentes.
ISÓSCELES: Um triângulo é dito isósceles quando dois dos 
seus lados são congruentes.
Nota: Os ângulos da base são sempre congruentes.
EQUILÁTERO: Um triângulo é dito equilátero quando os 
três lados são congruentes.
Nota: Os três ângulos internos do triângulo são congruen-
tes.
CAPÍTULO 2 
Triângulo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 85Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 85 16/02/2022 17:43:0016/02/2022 17:43:00
86
 
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIACONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
 
SEGMENTOS NOTÁVEISSEGMENTOS NOTÁVEIS
Mediana é o segmento que une o vértice ao ponto médio 
do lado oposto.
Bissetriz é a semirreta de origem no vértice que divide o 
ângulo em dois ângulos congruentes.
Altura é a distância entre o vértice e a reta suporte do 
lado oposto.
Mediatriz é a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo 
seu ponto médio.
 
PONTOS NOTÁVEISPONTOS NOTÁVEIS
BARICENTRO: É o ponto de encontro das três medianas.
Propriedades:
I) O baricentro divide cada mediana em dois segmentos. A 
distância do baricentro até o vértice é o dobro da distância 
do baricentro até o ponto médio do lado oposto ao vértice. 
II) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos 
de mesma área.
III) O baricentro é sempre interno ao triângulo.
INCENTRO: É o ponto de encontro das três bissetrizes in-
ternas do triângulo.
Propriedades:
I) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triân-
gulo.
II) O incentro é um ponto equidistante aos três lados do 
triângulo.
III) O incentro é sempre interno ao triângulo.
ORTOCENTRO: É o ponto de encontro das três alturas do 
triângulo.
Propriedade:
I) Se o triângulo é acutângulo, então o ortocentro é um 
ponto interno ao triângulo. Se o triângulo é retângulo, en-
tão o ortocentro é um ponto comum ao vértice do ângulo 
de 90°. Se o triângulo é obtusângulo, então o ortocentro é 
um ponto externo ao triângulo.
CIRCUNCENTRO: É o ponto de encontro das três media-
trizes do triângulo. 
Propriedades: 
I) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita 
ao triângulo.
II) O circuncentro é o ponto equidistante aos três vértice 
do triângulo.
CAPÍTULO 2 
Triângulo
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III) Se o triângulo é acutângulo, então o circuncentro é um 
ponto interno ao triângulo. Se o triângulo é retângulo, então 
o circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa 
do triângulo. Se o triângulo é obtusângulo, então o circun-
centro é um ponto externo ao triângulo.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
TRIÂNGULO ISÓSCELES: Num triângulo isósceles, os quatro 
pontos notáveis são colineares.
TRIÂNGULO ISÓSCELES: No triângulo isósceles, o ortocen-
tro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto 
médio da hipotenusa.
TRIÂNGULO EQUILÁTERO: Num triângulo equilátero, os 
quatro pontos notáveis são coincidentes.
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 Calcule o ângulo x na figura abaixo:
a) 84°
b) 64°
c) 74°
d) 94°
02 Calcule o ângulo x na figura abaixo:
a) 10/3
b) 10
c) 7/4
d) 9/5
03 No triângulo ABC abaixo, AB = AC , então o valor 
de x é:
a) 68°
b) 66°
c) 70°
d) 76°
04 No triângulo ABC abaixo, AB = AC , então o valor 
de x é:
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
05 No triângulo ABC abaixo, AB = AC , então o ângulo 
de x é igual a:
a) 112°
b) 114°
c) 116°
d) 120°
06 (EEAR) Se x, x + 20° e 2x são as medidas dos ân-
gulos internos de um triângulo, então o maior desses 
ângulos mede ___.
a) 50° 
b) 70° 
c) 80° 
d) 120°
07 Na figura abaixo, AB = BC = CD , a medida do 
ângulo x é igual a:
a) 108°
b) 118°
c) 128°
d) 148°
08 (EEAR) Seja ABC um triângulo isósceles de base 
BC = (x + 3) cm, com AB = (x + 4) cm e AC = (3x – 10) cm. A 
base de ABC mede______ cm.
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10
CAPÍTULO 2 
Triângulo
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09 (EEAR) Um triângulo ABC de base BC = (x + 2) tem 
seus lados AB e AC medindo, respectivamente, (3x – 4) e (x 
+ 8). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base BC é
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10
10 (EEAR) Em um triângulo ABC, o ângulo externo 
de vértice A mede 116°. Se a diferença entre as medidas 
dos ângulos internos �B e �C é 30°, então o maior ângulo 
interno do triângulo mede
a) 75°
b) 73° 
c) 70° 
d) 68°
11 (EEAR) Num triângulo RST a medida do ângulo 
interno R é 68° e do ângulo externo S é 105°. Então o 
ângulo interno T mede
a) 52°. 
b) 45°. 
c) 37°. 
d) 30°.
12 Determine o valor de x da figura abaixo:
a) 29°
b) 20°
c) 17°
d) 16°
13 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 40°
b) 45°
c) 50°
d) 52°
14 (EEAR) Na figura abaixo, os ângulos assinalados 
 e Ô medem, respectivamente, 10° e 50°. Assim sendo, 
o valor de tgx é
a) 1/2
b) 2 /2
c) 3 /3 
d) 1
15 (EEAR) Num triângulo ABC,o ângulo BÊC mede 
114°. Se E é o incentro de ABC, então o ângulo  mede
a) 44°. 
b) 48°. 
c) 56°. 
d) 58°.
16 Determine o valor de x observando a figura abaixo:
a) 109°
b) 110°
c) 111°
d) 112°
17 Se AD e BD são bissetrizes internas, então deter-
mine a medida do ângulo x. 
a) 110°
b) 111°
c) 112°
d) 113°
18 Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que 
os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo 
BCE é equilátero.
a) 45°
b) 60°
c) 75°
d) 85°
19 Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a) 40°
b) 43°
c) 46°
d) 49°
20 Sendo ACE e BDF triângulo equiláteros, determine 
a medida do ângulo x.
a) 120°
b) 150°
c) 160°
d) 165°
CAPÍTULO 2 
Triângulo
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21 Sabendo-se que os ângulos internos de um triân-
gulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 
4, tem-se que suas medidas valem
a) 40°, 60° e 80°
b) 30°, 50° e 100°
c) 20°, 40° e 120°
d) 50°, 60° e 70°
22 Se AD = DC , determine a medida do ângulo x.
a) 14°
b) 16°
c) 17°
d) 19°
23 (EEAR) Se ABC é um triângulo, o valor de α é
a) 10°
b) 15° 
c) 20° 
d) 25°
24 (EEAR) Na figura, AB = AC e BC = CM. O valor de x é
a) 50°
b) 45°
c) 42°
d) 38°
25 Sendo AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF , deter-
mine a medida do ângulo x.
a) 20°
b) 21°
c) 24°
d) 30°
26 AB = AC e DE = DF , determine a medida do ân-
gulo x.
a) 60°
b) 65°
c) 70°
d) 135°
27 (EEAR) O triângulo cujos lados medem 6 cm, 7 cm 
e 10 cm é classificado como
a) equilátero e retângulo.
b) escaleno e acutângulo.
c) isósceles e acutângulo.
d) escaleno e obtusângulo.
28 Determine o valor da soma a + b + c + d + e, ob-
servando a figura abaixo.
a) 90°
b) 180°
c) 360°
d) 540°
29 Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra 
PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e 
uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o 
ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é 
isósceles com �ARQ = 100°; calcule as medidas dos ângulos 
internos do triângulo ABC.
a) 80°, 70° e 30°
b) 100°, 50° e 30°
c) 90°, 60° e 30°
d) 100°, 40° e 40°
e) 95°, 55° e 30°
30 O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do 
triângulo ABC de 90º no sentido anti-horário ao redor 
de C, conforme mostrado no desenho abaixo. Podemos 
afirmar que x é igual a:
a) 75°
b) 65°
c) 70°
d) 45°
e) 55°
31 No triângulo ABC da figura abaixo, �B =60° e �C
=20°. Qual o valor do ângulo HÂS formado pela altura 
AH e a bissetriz AS ?
a) 15°
b) 20°
c) 25°
d) 30°
CAPÍTULO 2 
Triângulo
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90
32 (EEAR) Na figura, AH é altura do triângulo ABC. 
Assim, o valor de x é
a) 20°
b)15°
c) 10°
d) 5°
33 (EEAR) Sendo E o baricentro do triângulo ABC, AE 
= 10 cm, EN = 6 cm, e CE = 14 cm, o valor, em cm, de x + 
y + z é
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
34 Se AB = AC , AD é bissetriz de BÂC e AE é bissetriz 
de BÂD, então determine a medida do ângulo x.
a) 110°
b) 112°
c) 114°
d) 116°
35 Determine o valor de x na figura abaixo, sendo 
D o ponto de encontro das três bissetrizes internas do 
triângulo.
a) 15°
b) 16°
c) 17°
d) 18°
36 No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é 
a bissetriz do ângulo interno em A, e AD = DB . O ângulo 
interno em A é igual a 
a) 60°. 
b) 70°. 
c) 80°. 
d) 90°. 
37 (EsSA) Em um triângulo ABC têm-se AB = 10 cm 
e AC = 12 cm. O incentro(I) e o baricentro(G) estão em 
uma mesma paralela a BC. A medida do lado BC é igual a:
a) 10 
b) 5 
c) 12 
d) 6 
e) 11
38 Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD . Determine 
o valor de x.
a) 8°
b) 9°
c) 10°
d) 11°
39 Determine, observando a figura abaixo, o valor 
de a + b + c + d + e + f.
a) 180°
b) 270°
c) 360°
d) 540°
40 Determine o valor de A + B + C + D + E + F + G + H.
 
a) 360°
b) 540°
c) 720°
d) 1080°
41 A, B, C e D são vértices consecutivos de um qua-
drado e PAB é um triângulo equilátero, sendo P interno 
ao quadrado ABCD. Qual é a medida do ângulo PCB?
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
e) 90°
CAPÍTULO 2 
Triângulo
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42 A soma das distâncias do ponto P até os vértices 
A, B e C do triângulo pode ser:
a) 10
b) 12
c) 18
d) 30
43 Em um triângulo ABC, o ângulo do vértice A é igual 
à oitava parte do ângulo obtuso formado pelas bissetri-
zes dos ângulos adjacentes a BC . Determine a medida 
do ângulo Â.
a) 20°
b) 18°
c) 16°
d) 14°
e) 12°
44 Seja o triângulo equilátero DEF, inscrito no triân-
gulo isósceles ABC, com AB = AC e DE paralelo a BC . 
Tomando-se �ADE = α, CÊF = β e DÊF = θ pode-se afirmar 
que:
a) α + β = 2θ
b) θ + β = 2α
c) 2α + θ = 3β
d) β + 2θ = 3α
45 Considere o triângulo ABC, em que AB = AC = 5 
cm e BC = 7 cm. Sobre o lado BC tomamos um ponto 
D tal que BD = 3 cm e pelo ponto D traçamos DE e DF 
respectivamente paralelos a AC e AB , com E em AB e 
F em AC . Calcule o perímetro de AEDF.
a) 12 cm
b) 11,2 cm
c) 10 cm
d) 8,5 cm
46 Calcule o valor da soma dos ângulos a , b , c , d , 
e , �f , �g , h , i , j , k e l .
a) 180°
b) 360°
c) 540°
d) 720°
47 Determine a medida do ângulo x se BÂC = 20° e 
AB = AC.
a) 20°
b) 25°
c) 30°
d) 35°
48 Sendo r e s retas paralelas e DE = 2AB, determine x.
a) 32°
b) 36°
c) 40°
d) 44°
49 O triângulo ABC abaixo é isósceles de base BC . 
Determine x.
 
a) 25°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
50 Determine x, sabendo-se que ABCD é um retân-
gulo e que F e E são pontos médios dos lados AB e AD, 
respectivamente.
a) 20°
b) 25°
c) 30°
d) 35°
51 Seis retas intersectam-se com os ângulos mostra-
dos na figura. Determine o valor do ângulo x.
a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
CAPÍTULO 2 
Triângulo
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52 Da figura, sabemos que AB = AC, Â = 100º e AD = 
BC. Determine x = �CBD .
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
53 (EFOMM) Num triângulo ABC, as bissetrizes dos 
ângulos externos do vértice B e C formam um ângulo de 
medida 50°. Calcule o ângulo interno do vértice A.
a) 110°
b) 90°
c) 80°
d) 50°
e) 20°
54 (EPCAR) Considere duas calçadas r e s, paralelas 
entre si, a uma distância de 6 m uma da outra.
Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se encontram 
nos pontos A e B definidos na calçada s. Na calçada r está 
uma placa de parada de ônibus no ponto X que dista 10 
m da pessoa posicionada em A. Quando a pessoa em A se 
deslocar para P sobre o segmento AX, a distância que irá 
separá-la da pessoa posicionada no ponto B, em metros, 
será de
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
55 (CN) Analise as afirmativas abaixo, em relação ao 
triângulo ABC.
I – Seja AB = c, AC = b e BC = a. Se o ângulo interno no vértice 
A é reto, então a² = b² + c².
II – Seja AB = c, AC = b e BC = a. Se a² = b² + c², então o ângulo 
interno no vértice A é reto.
III – Se M é ponto médio de BC e AB = 2
BC
, ABC é retângulo.
IV – Se ABC é retângulo, então o raio de seu círculo inscrito 
pode ser igual a três quartos da hipotenusa.
Assinale a opção correta.
a) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras
b) apenas a afirmativa I é verdadeira
c) apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras
d) apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras
e) apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras
56 (CN) Sabe-se que o ortocentro H de um triângulo 
ABC é inferior ao triângulo e seja Q o pé da altura relativa ao 
lado AC. Prologando BQ até o ponto P sobre a circunferência 
circunscrita ao triângulo, sabendo-se que BQ = 12 e HQ = 4, 
qual é o valor de QP?
a) 8
b) 6
c) 5,5
d) 4,5
e) 4
57 (CN) Analise as afirmativas abaixo:
I – Todo triângulo retângulo de lados inteiros e primos entre 
si possui um dos lados múltiplo de “5”.
II – Em um triângulo retângulo, o raio do círculo inscrito é 
igual ao perímetro do triângulomenos a hipotenusa.
III – Há triângulos que não admitem triângulo órtico, ou 
seja, o triângulo formado pelos pés das alturas.
IV – O raio do círculo circunscrito a um triângulo retângulo 
é o dobro da hipotenusa.
Assinale a opção correta.
a) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
58 (CN) Observe a figura a seguir.
 
A figura acima apresenta o quadrilátero ABCD, com ângulos 
internos retos nos vértices B e D, AB = 3 cm, AD = 2 cm e 
CD = 2.AD. Nessas condições, pode-se afirmar que
a) AC BD e AC + BD BD e AC + BD b ≥ a. 
Pode-se afirmar que c² = a² + b² se, e somente se, o triân-
gulo for retângulo.
II – Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes dos 
ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45° ou 135°.
III – O centro de um círculo circunscrito a um triângulo está 
sobre um dos catetos.
IV – O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante 
dos lados do triângulo.
Assinale a opção correta.
a) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II e III são verdadeiras.
c) Somente I e IV são verdadeiras.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.
60 (CN) Considere o triângulo ABC acutângulo e não 
equilátero, onde O é o seu circuncentro e H o seu or-
tocentro. A reta que passa por O e H intersecta o lado 
AB no ponto P, e a reta que passa por C e H intersecta 
o mesmo lado AB no ponto Q. Se a reta suporte de HP 
é a bissetriz do ângulo AHQ e o segmento HP = 4 cm, é 
correto afirmar que a medida em cm do perímetro do 
triângulo AHP é igual a:
a) 4 + 2 3
b) 4 + 3 2
c) 4 + 6 3
d) 8 + 4 2
e) 8 + 4 3
61 (CN) Observe a figura a seguir.
Na figura temos um triângulo equilátero ABC de baricentro 
G e o triângulo ABG cujo incentro é I. É correto afirmar que 
o suplemento do ângulo GAI em radianos é igual a:
a) 7
9
π
b) 5
6
π
c) 8
9
π
d) 9
10
π
e) 11
12
π
62 (EsPCEx) Considere o triângulo com ângulos inter-
nos x, 45° e 120°. O valor de tg²(x) é igual a
a) 3 -2
b) 4 3 -7
c) 7-4 3
d) 2- 3
e) 2-4 3
63 (CN) Observe a figura a seguir
Na figura acima, sabe-se que k > 36°. Qual é o menor valor 
natural da soma x + y + z + t, sabendo que tal soma deixa 
resto 4, quando dividida por 5, e resto 11, quando dividida 
por 12?
a) 479°
b) 539°
c) 599°
d) 659°
e) 719°
GABARITO
01. A 02. A 03. B 04. D 05. B 06. C
07. A 08. D 09. C 10. B 11. C 12. A
13. B 14. C 15. D 16. B 17. D 18. A
19. B 20. A 21. A 22. A 23. B 24. D
25. A 26. A 27. D 28. B 29. A 30. E
31. B 32. C 33. D 34. D 35.C 36. C
37. E 38. C 39. C 40. A 41. D 42. C
43. E 44. A 45. C 46. D 47. C 48. B
49. D 50. B 51. C 52. A 53. C 54. A
55. D 56. E 57. A 58. B 59. A 60. E
61. E 62. C 63. C
CAPÍTULO 2 
Triângulo
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95
QUADRILÁTEROS
Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados.
 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Em todo quadrilátero, a soma dos quatro ângulos internos 
é igual a 360°.
α+ β+ θ + λ =360°
 
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
Em todo quadrilátero, a soma dos três ângulos externos 
é igual a 360°.
α'+ β'+ θ'+ λ'=360°
 
QUADRILÁTEROS NOTÁVEISQUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Os quadriláteros notáveis são os que possuem determina-
das características que os diferenciam dos demais.
PARALELOGRAMO
É o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.
PROPRIEDADE 1: Os ângulos opostos do paralelogramo 
são congruentes. Como AD//BC e AB// CD, então é fácil 
perceber que os ângulos α e β são colaterais, portanto 
α + β = 180°.
PROPRIEDADE 2: Em todo paralelogramo as diagonais se 
cruzam em seus respectivos pontos médios.
RETÂNGULO
É todo quadrilátero que tem todos os ângulos internos 
congruentes e iguais a 90°.
Propriedade: As diagonais do retângulo são congruentes.
LOSANGO
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
Propriedade 1: As diagonais do losango são perpendiculares.
Propriedade 2: As diagonais do losango são bissetrizes dos 
ângulos internos.
QUADRADO
É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os 
ângulos internos congruentes (90°).
Propriedade: As diagonais do quadrado formam um ân-
gulo de 90°.
OBSERVAÇÕES:
OBS 1: O retângulo, o losango e o quadrado são casos 
particulares de paralelogramo, portanto todas as proprie-
dades do paralelogramo são propriedades do retângulo, 
do losango e o quadrado.
OBS 2: O quadrado é um caso particular de retângulo.
OBS 3: O quadrado é um caso particular de losango.
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
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96
TRAPÉZIO
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos.
Nota: Como AB//CD então α e β são colaterais assim como 
θ e λ, portanto α + β = 180° e θ + λ = 180°.
 
CLASSIFICAÇÃOCLASSIFICAÇÃO
1) TRAPÉZIO RETÂNGULO: possui dois ângulos retos, a 
altura do trapézio é um dos lados não paralelos.
2) TRAPÉZIO ESCALENO: Os lados não paralelos não são 
congruentes.
3) TRAPÉZIO ISÓSCELES: Os lados não paralelos são con-
gruentes.
BASE MÉDIA DO TRIÂNGULO
Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios 
de dois lados é paralelo ao 3° lado e vale a metade desse 
3° lado.
 
2
BCMN =
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios 
dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a 
média aritmética dessas bases.
2
B bMN +
=
 
MEDIANA DE EULLERMEDIANA DE EULLER
Mediana de Euler é o segmento que une os pontos médios 
das diagonais de um trapézio, ela fica sobre a base média 
do trapézio. A mediana de Euler é a metade do módulo da 
diferença entre as bases.
2
B bMe −
=
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 Julgue em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirma-
ção abaixo e escolha a sequência correta.
- Todo retângulo é um paralelogramo.
- Todo paralelogramo é um retângulo.
- Todo quadrado é um retângulo.
- Todo retângulo é um quadrado.
- Todo paralelogramo é losango.
- Todo quadrado é losango.
a) V – F – V – F – F – F 
b) V – F – V – F – V – F
c) V – V – V – F – F – F
d) V – F – V – F – F – V
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
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97
02 Determine o valor do ângulo x no quadrilátero 
abaixo:
a) 75°
b) 80°
c) 85°
d) 90°
03 Se PA = PB, então o valor do ângulo x mede:
a) 30°
b) 35°
c) 45°
d) 55°
04 Se AE e BE são bissetrizes, determine a medida 
do ângulo x.
a) 70°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
05 Se AP e BP são bissetrizes, determine o ângulo x. 
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
06 Se AP e BP são bissetrizes, determine �C + �D .
a) 200°
b) 210°
c) 220°
d) 230°
07 Se AB = AD e CB = CD, então determine a medida 
do ângulo x.
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
08 Determine o valor de x na figura abaixo:
a) 105°
b) 115°
c) 125°
d) 135°
09 ABCD é trapézio de bases AB e CD . Se DP e CP 
são bissetrizes, determine x e �BCD .
a) 40° e 140°
b) 50° e 130°
c) 130° e 50°
d) 140° e 40°
10 Com um arame de 36 m de comprimento cons-
truímos um triângulo equilátero e com o mesmo arame 
construímos depois um quadrado. Determine a razão 
entre o lado do triângulo e o lado do quadrado.
a) 2/3
b) 3/2
c) 3/4
d) 4/3
11 Sendo ABC um triângulo equiláteroe DEFG um 
quadrado, determine a medida do ângulo x. 
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 70°
12 Sendo ABCD um quadrado e BCD um triângulo 
equilátero na figura abaixo, então determine a medida 
do ângulo x.
a) 16°
b) 15°
c) 14°
d) 13°
13 (EEAR) No paralelogramo ABCD, AD = DE. A me-
dida de DÊA é
a) 50°. 
b) 55°. 
c) 60°. 
d) 65°.
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
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98
14 Se ABCD é um quadrado e CDE é um triângulo 
equilátero, determine a medida do ângulo x.
a) 50°
b) 55°
c) 60°
d) 65°
e) 75°
15 (EEAR) Considerando que ABCD é um paralelogra-
mo, que M é o ponto de encontro de suas diagonais, e 
que as medidas das distâncias de seus vértices ao ponto 
M são dadas, tem-se que o valor de x + y é
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8.
16 (EEAR) Seja o paralelogramo ABCD. Sabendo que 
AP e DP são bissetrizes dos ângulos internos  e �D , 
respectivamente, o valor de x é
 
a) 55°
b) 45°
c) 30°
d) 15°
17 Se AB = AC , BD = BE e CE = CF , determine a 
medida do ângulo x.
a) 65°
b) 66°
c) 67°
d) 68°
18 Sendo ABFG e BCDE quadrados e BEF um triân-
gulo equilátero na figura abaixo, determine a medida 
do ângulo x.
a) 45°
b) 60°
c) 75°
d) 80°
19 (EEAR) As diagonais de um losango medem 12 cm 
e 16 cm. O perímetro desse losango, em cm, é
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 50.
20 Na figura, o valor de x é
a) 30°.
b) 35°.
c) 40°.
d) 45°.
21 (EEAR) No quadrilátero ABCD, o valor de y – x é 
igual a
 
a) 2x
b) 2y
c) x/2
d) y/2
22 (EEAR) Os ângulos da base maior de um trapézio 
são complementares, e a diferença entre suas medidas 
é 18°. O maior ângulo desse trapézio mede
a) 100°. 
b) 126°. 
c) 144°. 
d) 152°.
23 (EEAR) O trapézio ABCD é isósceles, e as medidas 
dos ângulos �DBA e �DCB são 30° e 45°, respectivamente. 
Se BC = 12 cm, então a medida de BD , em cm, é
a) 6 2
b) 8 2
c) 10 2
d) 12 2
24 (EEAR) Seja ABCD um trapézio isósceles de bases 
AB e CD , conforme a figura. Pode-se afirmar que o ân-
gulo x mede
a) 140°. 
b) 130°. 
c) 120°. 
d) 110°.
25 (EEAR) Seja ABCD o trapézio isósceles da figura. A 
soma das medidas dos ângulos  e �C é
a) 90°
b) 120°
c) 150°
d) 180°
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
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99
26 (EEAR) Em um trapézio, a base média mede 6,5 
cm e a base maior, 8 cm. A base menor desse trapézio 
mede, em cm,
a) 4. 
b) 5.
c) 6. 
d) 7.
27 (EEAR) A altura do trapézio abaixo tem a medida 
igual a ____ cm.
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5
28 (EEAR) No trapézio ACDF abaixo, considere AB = 
BC e DE = EF . Assim, o valor de x² é:
 
a) 1 
b) 4 
c) 9 
d) 16
29 (EEAR) Considere um trapézio onde a base maior 
mede o dobro da base menor. Se a base média desse 
trapézio tem 18 cm, então sua base maior, em cm, mede
a) 18. 
b) 20.
c) 24. 
d) 38.
30 (EEAR) Um trapézio de bases x + 3 e 4x – 3, tem 
base média 2x + 2. A menor base mede
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10.
31 (EEAR) Um trapézio isósceles tem base maior e 
base menor medindo, respectivamente, 12 cm e 6 cm. 
Se esse trapézio tem altura medindo 4 cm, então seu 
perímetro é ____ cm.
a) 22 
b) 26 
c) 28 
d) 30
32 (EEAR) Se a base média de um trapézio mede 30 
cm, e a base maior é 3/2 da base menor, então o módulo 
da diferença entre as medidas das bases, em cm, é
a) 8. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14.
33 (EEAR) Num trapézio isósceles ABCD as bases AB e 
CD medem, respectivamente, 16 cm e 4 cm. Traçando-se 
EF paralelo às bases, sendo E ∈ AD e F ∈ BC , obtém-se 
os segmentos AE e DE , de modo que AE
DE
= 1
5
. O compri-
mento de EF , em cm, é
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
34 (EEAR) Um trapézio retângulo está circunscrito a 
uma circunferência. Se as bases desse trapézio medem 
10 cm e 15 cm, e o lado oblíquo às bases mede 13 cm, 
então o raio da circunferência, em cm, mede
a) 4,5. 
b) 5. 
c) 5,5. 
d) 6.
35 (EEAR) Quando dadas em cm, as medidas dos lados 
do trapézio ABCD são expressas por números consecuti-
vos. Assim, o valor de x é
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4.
36 (EEAR) No trapézio retângulo ABCD, o valor de y, 
em cm, é
a) 12. 
b) 11. 
c) 10. 
d) 9.
37 (EEAR) Um polígono convexo ABCD é tal que ape-
nas dois de seus lados são paralelos entre si e os outros 
dois lados são congruentes. Dessa forma, pode-se dizer 
que ABCD é um
a) losango.
b) paralelogramo.
c) trapézio isósceles.
d) trapézio retângulo.
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
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100
38 (EEAR) É correto afirmar que
a) todo quadrilátero de lados congruentes é um quadrado.
b) os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são 
suplementares.
c) as bissetrizes dos ângulos opostos de qualquer parale-
logramo são perpendiculares entre si.
d) os pontos médios dos lados consecutivos de todo qua-
drilátero convexo são vértices de um paralelogramo.
39 Se um polígono tem todos os lados com medidas 
iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas 
iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se 
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
40 No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e 
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e 
AC, respectivamente, determine a medida do perímetro 
do trapézio BCED.
a) 20 cm
b) 24 cm
c) 25 cm
d) 29 cm 
41 (EPCAR) Brincando de dobraduras, Renan usou 
uma folha retangular de dimensões 30 cm por 21 cm e 
dobrou conforme o procedimento abaixo descrito.
1°) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M.
2°) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E.
3°) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D 
para F e G, respectivamente.
4°) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.
Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a me-
dida do segmento MR, em centímetros, é igual a
a) 6
b) 6 2
c) 9
d) 9 2
42 (EPCAR) Observe a figura a seguir.
Nessa figura, tem-se que ABC é um triângulo equilátero, 
CDEF é um quadrado, e FGHA é um retângulo em que GH 
= 2HA.
AC, CF e AF têm medidas, numa mesma unidade, respec-
tivamente, iguais a (3x + 1)(2x + 1), (3x + 1)(x + 1) e (3x + 1)
(3x – 2).
Se P é o polinômio, em função da variável real x, para o 
perímetro do polígono ABCDEFGH, e m e n são as raízes de 
P, tal que m > n, com m, n ⊂ R, então m – n é um número 
a) menor que – 1.
b) maior que zero e menor que 1.
c) maior que – 1 e menor que zero.
d) igual a 2.
43 (CN) No retângulo ABCD, o lado BC = 2AB. O ponto 
P está sobre o lado AB e AP
PB
= 3
4
. Traça-se a reta PS com S 
no interior de ABCD e C ∈ OS. Marcam-se ainda, M ∈ AD 
e N ∈ BC de modo que MPNS seja um losango. O valor 
de BN
AM
 é:
a) 3/7
b) 3/11
c) 5/7
d) 5/11
e) 7/11
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
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101
44 (CN) Um retângulo de lados medindo 6 cm e 10 cm 
deve ser dividido em triângulos retângulos que tenham 
pelo menos um lado com medida em centímetros repre-
sentada por um número inteiro. Quaisquer que sejam 
dois desses triângulos, eles terão, no máximo, um lado 
em comum. A maior quantidade de triângulos retângulos 
que se pode obter, nas condições apresentadas, é:
a) menor do que 80.
b) exatamente 80.
c) maior do que 80 e menor do que 240.
d) exatamente 240.
e) maior do que 240.
45 (CN) Analise a figura a seguir.
Essa figura representa o paralelogramo ABCD, cujas medidas 
dos lados são AB = CD = 3 cm, BC = AD = 4 cm e  = 60°. Do 
vértice D traça-se a altura DH, relativa ao lado AB, que encontra 
a diagonal AC no ponto I. Determine, em cm, a medida DI e 
marque a opção correta.
a) 6 3
5
b) 7
3
c) 5 3
3
d) 9
5
e) 2 5
3
46 (CN) Seja ABCD um quadrado de lado L, em que 
AC é uma de suas diagonais. Na semirreta BC, onde B 
é a origem, marca-se E de talmodo que BC = CE. Seja 
H a circunferência de centro C e raio L, e P o ponto de 
interseção de AE com a circunferência H. Sendo assim, é 
correto afirmar que o segmento DP tem medida igual a:
a) 
10
5
L
b) 3 10
10
L
c) 2 5
5
L
d) 2 10
5
L
e) 5
10
L
CAPÍTULO 3 
Quadriláteros
47 (CN) Observe a figura a seguir:
Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos p e q e 
hipotenusa s, ADEF é um quadrado de lado unitário com 
vértice E externo ao triângulo ABC. Utilizando p, q e s para 
representar a soma FG + DH, obtém-se:
a) q+s-
2
2
p
q
b) q+s+ 2
4
p
sq
c) p+q-
2s
pq
d) q-s+ 2
2
p
sq
e) q-s- p
sq
GABARITO
01. D 02. A 03. B 04. D 05. C 06. C
07. C 08. B 09. D 10. D 11. A 12. B
13. D 14. E 15. B 16. B 17. D 18. B
19. C 20. B 21. C 22. C 23. A 24. A
25. D 26. B 27. C 28. C 29. C 30. A
31. C 32. C 33. D 34. D 35.C 36. D
37. C 38. D 39. B 40. C 41. D 42. B
43. B 44. E 45. A 46. A
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103
POLÍGONOS 
CONVEXOS
Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por 
segmentos consecutivos, não colineares, que se fecham. 
CLASSIFICAÇÃO:
3 lados triângulo
4 lados quadrilátero
5 lados pentágono
6 lados hexágono
7 lados heptágono
8 lados octógono
9 lados eneágono
10 lados decágono
11 lados undecágono
12 lados dodecágono
13 lados tridecágono
14 lados quadridecágono
15 lados pentadecágono
16 lados hexadecágono
17 lados heptadecágono
18 lados octodecágono
19 lados eneadecágono
20 lados icoságono
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS: Seja n a quantidade 
de lados do polígono convexo, então a soma dos ângulos 
internos pode ser encontrada através da fórmula:
SI=180° (n - 2)
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS: A soma dos ângulos 
externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
SE=360°
DIAGONAIS: Seja n a quantidade de lados de um polígono, 
então a quantidade de diagonais do polígono é dada pela 
fórmula:
 
POLÍGONOS REGULARESPOLÍGONOS REGULARES
Um polígono é regular se tem todos os lados congruentes 
entre si, todos os ângulos internos entre si e todos os ân-
gulos externos entre si.
O ângulo interno e o ângulo externo são suplementares, 
logo AI+ AE = 180°.
ÂNGULO INTERNO DO POLÍGONO REGULAR
ÂNGULO EXTERNO DO POLÍGONO REGULAR
 
POLÍGONOS REGULARES POLÍGONOS REGULARES 
MAIS RELEVANTESMAIS RELEVANTES
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis 
(BICO) coincidem num mesmo ponto.
QUADRADO
 
CAPÍTULO 4 
Polígonos Convexos
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104
CAPÍTULO 4
Polígonos Convexos
HEXÁGONO REGULAR
Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos 
equiláteros.
APÓTEMA DE UM POLÍGONO REGULAR
O apótema de um polígono regular é a distância entre o 
centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado. O 
apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 Determine o valor de x na figura abaixo.
a) 95°
b) 100°
c) 110°
d) 140°
02 Determine o valor de x na figura abaixo.
a) 120°
b) 100°
c) 95°
d) 90°
03 Determine o valor de x na figura abaixo.
a) 120°
b) 10°
c) 5°
d) 90°
04 Três polígonos convexos têm n, n + 1 e n + 2 lados, 
respectivamente. Sendo 2700° a soma de todos os ângu-
los internos dos três polígonos, determine o valor de n.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
05 O total de diagonais de dois polígonos regulares 
é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais do que 
o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo 
central menor, mede:
a) 120° 
b) 135° 
c) 140° 
d) 144° 
e) 150°
06 Na figura abaixo, determine x, sabendo que AP e 
CP são bissetrizes. 
a) 52° 30’
b) 52°
c) 50° 30’
d) 50° 30’
07 Sendo AP e PC bissetrizes de  e �C , determine 
x sendo AB // PC e AP // BC .
a) 100°
b) 110°
c) 120°
d) 130°
08 Se o triângulo AFB é equilátero e ABCDE é um 
pentágono regular, determine x abaixo. 
a) 62°
b) 64°
c) 66°
d) 68°
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105
CAPÍTULO 4 
Polígonos Convexos
09 Determine os valores de y e x na figura abaixo 
sabendo que o hexágono e o quadrilátero da imagem 
são regulares.
a) x = 30°, y = 45°
b) x = 35°, y = 45°
c) x = 30°, y = 42°
d) x = 45°, y = 30°
10 Sendo AP e PC bissetrizes de  e �C , determine 
x sendo AB e PC paralelas.
a) 120°
b) 130°
c) 140°
d) 150°
11 Se o triângulo AFB é equilátero e ABCDE é um 
pentágono regular, determine x abaixo.
a) 12°
b) 15°
c) 20°
d) 21°
12 Considere um polígono regular ABCDEF … . Sabe-se 
que as mediatrizes dos lados AB e CD formam um ângulo 
de 20° e sua região correspondente contém os vértices “B” 
e “C” do polígono. Assim sendo, quantas diagonais deste 
polígono passam pelo centro, dado que seu número de 
vértices é maior que seis?
a) 17 
b) 15 
c) 16 
d) 18 
e) 14
13 (EEAR) A soma dos ângulos internos de um polígo-
no convexo é 1800°. Então, esse polígono tem _____ lados.
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 12
14 (EEAR) Se um dos ângulos internos de um pentágo-
no mede 100°, então a soma dos outros ângulos internos 
desse polígono é
a) 110°
b) 220°
c) 380°
d) 440°
15 (EEAR) Sejam A, B e C três polígonos convexos. Se 
C tem 3 lados A mais que B, e este tem 3 lados a mais que 
A, e a soma das medidas dos ângulos internos dos três 
polígonos é 3240°, então o número de diagonais de C é
a) 46 
b) 44 
c) 42 
d) 40
16 (EEAR) Dois polígonos convexos têm o número de 
lados expresso por n e por n + 3. Sabendo que um polí-
gono tem 18 diagonais a mais que o outro, o valor de n é
a) 10. 
b) 8. 
c) 6. 
d) 4.
17 (EEAR) Se A é o número de diagonais de um icosá-
gono e B o número de diagonais de um decágono, então 
A – B é igual a
a) 85 
b) 135 
c) 165 
d) 175
18 (EEAR) O número de diagonais de um eneágono 
convexo é um número
a) múltiplo de 2
b) múltiplo de 3
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 7
19 (EEAR) Ao somar o número de diagonais e o nú-
mero de lados de um dodecágono obtém-se
a) 66 
b) 56 
c) 44 
d) 42
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106
CAPÍTULO 4
Polígonos Convexos
20 (EsSA) Se um polígono regular é tal que a medida 
de um ângulo interno é o triplo da medida do ângulo 
externo, o número de lados desse polígono é:
a) 12 
b) 9 
c) 6 
d) 4 
e) 8
21 Na figura, tem-se um pentágono regular e um 
quadrado. O valor de x + y é:
 
a) 126° 
b) 102° 
c) 117° 
d) 114°
22 (EEAR) A razão r entre o apótema e o lado de um 
hexágono regular é igual a
a) 3
2
b) 2
2
c) 2
3
d) 1
3
23 (EEAR) Sejam um hexágono regular e um triângulo 
equilátero, ambos de lado l. A razão entre os apótemas 
do hexágono e do triângulo é
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
24 (EEAR) A medida, em metros, do apótema do he-
xágono regular inscrito numa circunferência cujo raio 
mede 4 2 metros é
a) 4 3
b) 2 2
c) 4 6
d) 2 6
25 (EEAR) A razão entre as medidas dos apótemas 
do quadrado inscrito e do quadrado circunscrito numa 
circunferência de raio R é
a) 2
2
b) 3
2
c) 2
d) 2 3
26 (EEAR) Um hexágono regular ABCDEF, de 30 3 cm de 
perímetro, está inscrito em um círculo de raio R. A medida 
de sua diagonal AC, em cm, é
a) 5 3
b) 5
c) 15 3
d) 15
27 (EEAR) Em um triângulo equilátero de 12 3 m de 
perímetro, a soma das medidas dos raios das circunfe-
rências inscrita e circunscrita a esse triângulo, em m, é
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8
28 (EEAR) O lado de um eneágono regular mede 2,5cm. 
O perímetro desse polígono, em cm, é
a) 15 
b) 20 
c) 22,5 
d) 27,5
29 Os raios das circunferências, inscrita e circunscrita, 
ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são, respecti-
vamente, 
a) 
3
a e 2
3
a 
b) 
2
a e a 
c)2
2
a e a 2 
d) 3
6
a e 3
3
a 
e) 3
2
a e a 3 
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107
CAPÍTULO 4 
Polígonos Convexos
30 Observando-se o desenho a seguir, no qual o cír-
culo tem raio r, e calculando-se o apótema a4, obtemos
a) 2r 2 
b) 3r 2 
c) 3
2
r 2 
d) 2
r
 2 
e) r 2 
31 A razão entre as áreas de um triângulo equilátero 
inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono 
regular cuja medida do apótema é 10m circunscrito à 
mesma circunferência é 
a) 
3
8 
b) 5
8
 
c) 3
7
 
d) 5
7
 
32 A área de um triângulo regular inscrito em uma 
circunferência de raio r, em função do apótema a de um 
hexágono regular inscrito na mesma circunferência é 
a) a2 
b) 2 a2 
c) 2 2 a2 
d) 1
2
3 a2 
e) 3 a2 
33 Uma circunferência está inscrita em um quadra-
do cuja diagonal mede 10 2 cm. O comprimento dessa 
circunferência é: 
a) 10π cm 
b) 5π cm 
c) 6π cm 
d) 8π cm 
e) 7π cm 
34 Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado 
mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, 
em centímetros, mede 
a) 3 
b) 2 3 
c) 4 
d) 3 2 
e) 3 3
35 Uma circunferência, inscrita em um quadrado cuja 
diagonal mede 20 cm, possui comprimento, em cm, igual a 
a) π 2 
b) 5π 2 
c) 10π 2 
d) 20π 2 
36 O apótema do quadrado inscrito numa circunfe-
rência é igual a 2 cm. O lado do hexágono regular inscrito 
nessa mesma circunferência, em cm, é 
a) 2 2 
b) 3 2 
c) 2 3
d) 3 3
37 Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito 
e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? 
a) 2 
b) 3 
c) 2 
d) 3a 
e) 23a 
38 Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em 
um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em 
centímetros, é igual a 
a) 20 3 
b) 18 3 
c) 15 2 
d) 12 3 
e) 9 2 
39 Um polígono regular possui a partir de cada um de 
seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais 
de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono 
mede em graus: 
a) 140 
b) 150 
c) 155 
d) 160 
e) 170 
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108
40 A distância entre dois lados paralelos de um he-
xágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse 
hexágono, em centímetros, é: 
a) 1
b) 2 
c) 2,5 
d) 3 
e) 4 
41 (AFA) A figura a seguir é um pentágono regular 
de lado 2 cm.
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes. A medida de AC, 
uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) 1 + 5
b) – 1 + 5
c) 2 + 5
2
d) 2 5 -1
42 (EPCAR) Para participar de um concurso no qual 
serão escolhidos mosaicos para a calçada de uma igreja, 
um artista construiu seu mosaico usando pentágonos 
regulares e losangos dispostos conforme figura a seguir:
Sabe-se que â e b são ângulos do pentágono regular e do 
losango, respectivamente. Se â + b equivale a x graus, en-
tão, quanto ao valor de x pode-se afirmar que é um número
a) primo. 
b) quadrado perfeito.
c) divisível por 7.
d) múltiplo de 10.
43 (CN) Um aluno estudava sobre polígonos convexos 
e tentou obter dois polígonos de ‘N’ e ‘n’ lados (N ≠ n), e 
com ‘D’ e ‘d’ diagonais, respectivamente, de modo que 
N – n = D – d. A quantidade de soluções corretas que 
satisfazem essas condições é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) indeterminada
44 (CN) Quantos são os valores distintos de n, para 
os quais 102 ≤ n ≤ 202, e n é quantidade de lados de um 
polígono convexo cuja soma dos ângulos internos resulta 
num quadrado perfeito?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
GABARITO
01. C 02. D 03. A 04. C 05. D 06. A
07. A 08. C 09. A 10. D 11. A 12. D
13. B 14. C 15. B 16. C 17. B 18. C
19. A 20. E 21. C 22. A 23. B 24. D
25. A 26. D 27. B 28. C 29. D 30. E
31. A 32. E 33. A 34. B 35.C 36. A
37. A 38. A 39. B 40. B 41. A 42. B
43. A 44. A
CAPÍTULO 4
Polígonos Convexos
M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
ti
c
a
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109
MATEMÁTICA 4
M
a
te
m
á
ti
c
a
M
a
te
m
á
ti
c
a
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110
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111
TRIGONOMETRIA 
NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO
Considere o triângulo retângulo a seguir:
1) SENO de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao 
ângulo e a hipotenusa.
2) COSSENO de um ângulo é a razão entre o cateto adja-
cente e a hipotenusa.
3) TANGENTE de um ângulo é a razão entre o cateto oposto 
e o cateto adjacente.
OBS: Podemos perceber que o seno de um ângulo é igual ao 
cosseno do outro ângulo complementar e que a tangente 
de um ângulo é o inverso da tangente do outro ângulo 
complementar.
 
ÂNGULOS NOTÁVEISÂNGULOS NOTÁVEIS
Aplicando as razões trigonométricas nas figuras abaixo, 
obtemos.
 
RELAÇÃO ENTRE ÂNGULOS RELAÇÃO ENTRE ÂNGULOS 
COMPLEMENTARESCOMPLEMENTARES
• sen (90° - x) = cos x
• cos (90° - x) = sen x
• tg (90° - x) = cotg x
 
RELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAIS
• sen²x + cos²x = 1
• 1 + tg²x = sec² x
• 1 + cotg²x = cossec²x
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (EEAR) Na figura, o valor de x é
a) 20
b) 24
c) 30
d) 36
02 (EEAR) Os catetos de um triângulo medem 3 cm 
e 4 cm. Assim, a soma dos valores das tangentes dos 
ângulos agudos desse triângulo é igual a
a) 25/12
b) 12/7
c) 13/8
d) 7/6
03 (EEAR) No triângulo ABC, se sen  = 0,3, então 
BC = _____ cm.
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3
04 (EEAR) Um triângulo retângulo de hipotenusa 6 
possui um ângulo α cujo lado oposto mede 4. Portanto, 
o cos α vale
a) 2
3
b) 5
3
c) 3 5
3
d) 2 5
5
CAPÍTULO 1 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
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112
05 (EEAR) Na figura, BC = 2 cm. Assim, a medida de 
AB , em cm, é
a) 2 3
b) 4 2
c) 5 2
d) 3 3
06 (EEAR) O perímetro de um triângulo equilátero de 
altura h = 3 m é ______ m.
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6
07 (EEAR) Em um triângulo retângulo, um dos catetos 
mede 4 cm, e o ângulo que lhe é adjacente mede 60°. A 
hipotenusa desse triângulo, em cm, mede
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9.
08 (EEAR) Na figura, “x – y” é igual a
a) 15° 
b) 20°
c) 30°
d) 35°
09 (EEAR) Uma escada é apoiada em uma parede 
perpendicular ao solo, que por sua vez é plano. A base 
da escada, ou seja, seu contato com o chão, dista 10m da 
parede. O apoio dessa escada com a parede está a uma 
altura de 10 3 m do solo. Isto posto, o ângulo entre a 
escada e o solo é de
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 15°
10 (EEAR) Em um triângulo ABC, retângulo em A, a 
hipotenusa mede 5 dm e sen B = 1
2
 sen C. Nessas condi-
ções, o maior cateto mede, em dm,
a) 3
b) 4
c) 5
d) 2 5
11 (EEAR) Na figura, são retângulos em E e em C, 
respectivamente, os triângulos AEP e ACB. Se x = 30°, 
então a medida de PE , em cm, é
a) 10
b) 5 3
c) 10 3
d) 20 3
3
12 (EEAR) De acordo com os dados nos triângulos 
retângulos CAB e CAD, é correto afirmar que
a) x = y 
b) x = 3y 
c) x = 2y
d) x = 3y/2
13 (EEAR) Os pontos A, B, C e D estão alinhados entre 
si, assim como os pontos A, E e F também estão. Conside-
rando G o ponto de interseção de FC e ED, o valor de tg α é
a) 0,2 
b) 0,5 
c) 2 
d) 4
14 Num triângulo retângulo, temos que tan x = 3. 
Se x é um dos ângulos agudos desse triângulo, qual é o 
valor de cos x?
a) 1
2
b) 5
10
c) 2
2
d) 1
4
e) 10
10
15 (UNICAMP) Considere o triângulo retângulo ABD 
exibido na figura abaixo, em que AB = 2 cm, BC = 1 cm e 
CD = 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a:
 
a) 15°. 
b) 30°. 
c) 45°. 
d) 60°.
CAPÍTULO 1 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
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113
16 Se a razão entre as medidas dos catetos de um 
triângulo retângulo é igual a 
1
2 , o valor do seno do menor 
dos ângulos internos desse triângulo é:
a) √3/2.
b) √3/3.
c) √2/3.
d) √2/2.
17 (MACKENZIE)
 
Na figura acima, o triângulo ABC é retângulo em C e sua 
área vale 6. Então, o valor do sem B é: 
a) 3/5. 
b) 1. 
c) 4/5. 
d) 2/5. 
e) 1/5.
18 (EPCAR) Em relação à figura abaixo, tem-se CÂD = 30°, 
AC = 2 cm e BC = 4 cm:
 
Se AC ⊥ CB e AD ⊥ DB, então BD, em cm, é igual a:
a) 6 3
3
−
b) 6 3 3−
c) 2 3
d) 4 3
2
−
19 (IFAL) Um prédio projeta, no chão, uma sombra 
de 15 metros de comprimento. Sabendo-se que, nesse 
momento, o sol faz um ângulo de 45° com a horizontal, 
determine a altura desse prédio, em metros:
a) 10.
b) 15.
c) 20.
d) 25.
e) 30.
20 (IFAL) Considere um triângulo retângulo, cujos 
ângulos agudos α e β satisfazem à condição cos α = 0,8 e 
cos β = 0,6. Determine a área desse triângulo, em cm², 
sabendo-se que o comprimento da hipotenusa é 5 cm:
a) 4,5. 
b) 6.
c) 7,5. 
d) 8.
e) 10.
21 (PUC) Considere o quadrado ABCD como na figura:
 
Sabendo que E é o ponto médio do lado AB, assinale o 
valor de cos �( )CDE :
a) 1/2
b) √5/5
c) √2/2
d) (1+√5)/2
e) √3/2
22 (IFAL) Um estudante do curso de Edificações do 
IFAL utiliza um teodolito para determinar a altura de 
um prédio construído em um terreno plano. À determi-
nada distância desse prédio, ele vê o topo do prédio sob 
um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 60 
m, passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de 60°.
Considerando-se que a base do prédio está no mesmo 
nível da luneta do teodolito, qual é a altura desse prédio?
a)10 3 m.
b) 28 m. 
c) 30 m. 
d) 20 3 m.
e) 30 3 m.
23 (CEFET-MG) Em um triângulo retângulo, a tangente 
de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a 
hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse 
mesmo ângulo é:
a) 4/5.
b) √5/4.
c) √5/5.
d) 2√5/5.
CAPÍTULO 1 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
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114
24 (AFA) O acesso ao mezanino de uma construção 
deve ser feito por uma rampa plana, com 2 m de compri-
mento. O ângulo que essa rampa faz com o piso inferior 
(conforme a figura) para que nela sejam construídos 8 
degraus, cada um com 21,6 cm de altura, é, aproxima-
damente, igual a
 
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
25 (EPCAr) Uma coruja está pousada em R, ponto mais 
alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela 
é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo 
de 30°, conforme mostra a figura abaixo:
 
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde 
vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a 
uma distância BR, de medida 62 metros. Com base nes-
sas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e 
desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar 
que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é 
um número entre:
a) 3 e 4.
b) 4 e 5.
c) 5 e 6.
d) 6 e 7.
e) 7 e 8.
26 Em um triângulo retângulo ABC, reto em  , tem-se 
que tg �B +tg �C = 25
12
. O valor de sen �B +sen �C é 
a) 
25
12 . 
b) 12
25
. 
c) 7
5
. 
d) 5
7
 . 
27 (AFA) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD 
é um quadrado de lado 2 cm. A distância BE, em cm, vale:
 
a) 2 6
b) 6 -1 
c) 3 + 2
d) 6 - 2
28 (AFA) Na figura a seguir, AD = 2 e CB = 5. Se tan α = 
4
5 , 
então cotan β é:
 
a) 15/17.
b) 13/17.
c) 17/20.
d) 19/20.
29 (EFOMM) Duas pessoas estão na beira da praia 
e conseguem ver uma lancha B na água. Adotando-se a 
distância entre as pessoas como 1 2PP sendo 63 metros, 
�
1 2BPP α= , �
2 1BP P β= , tan α = 2 e tan β = 4, a distância da lan-
cha até a praia vale:
a) 83.
b) 84.
c) 85.
d) 86.
e) 87.
30 (ITA) Num triângulo ABC, retângulo em Â, temos �B = 60°. 
As bissetrizes desses ângulos se encontram num ponto D. Se 
o segmento de reta BD mede 1 cm, então a hipotenusa mede:
a) 1 3
2
+ cm
b) 1 + 3 cm
c) 2 + 3 cm
d) 1 + 2 2 cm
e) n.r.a
CAPÍTULO 1 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
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115
31 (EFOMM) Dois observadores que estão em posi-
ções coincidentes com os pontos A e B, afastados 3 km 
entre si, medem simultaneamente o ângulo de elevação 
de um balão, a partir do chão, como sendo 30° e 75°, 
respectivamente. Se o balão está diretamente acima de 
um ponto no segmento de reta entre A e B, então a altura 
do balão, a partir do chão, em km, é:
a) 1/3
b) 5/2
c) 2/5
d) 2/3
e) 3/2
32 (IFPE) Os alunos pré-egressos do campus Jaboa-
tão dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para 
celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das parti-
cipantes do evento, ficou curiosa para descobrir a altura 
do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então, pegou 
em sua mochila um transferidor e estimou o ângulo no 
ponto A, na margem onde estava, e, após nadar, apro-
ximadamente, 70 metros em linha reta em direção ao 
paredão, estimou o ângulo no ponto B, conforme mostra 
a figura a seguir:
De acordo com os dados coletados por Raissa, qual é a 
altura do paredão rochoso da Lagoa Azul? Dados: sen (17°) 
= 0,29; tan (17°) = 0,30; cos (27°) = 0,89; tan (27°) = 0,51. 
a) 50 metros. 
b) 51 metros. 
c) 89 metros. 
d) 70 metros. 
e) 29 metros.
33 (CN) ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a 
semicircunferência traçada internamente ao quadrado, 
com diâmetro CD, e T a semicircunferência tangente 
ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio 
da semicircunferência T será:
a) 
5
6
L
b) 
4
5
L
c) 2
3
L
d) 3
5
L
e) 
3
L
34 (IME) Na figura seguinte, ABCD é um quadrado 
de lado 1 e BCE é um triângulo equilátero. O valor de 
tan
2
α é igual a:
a) 1- 3
2
.
b) 2- 6
2
.
c) 1- 3
3
.
d) 1- 2
5
.
e) 1- 3
5
.
35 (UECE) No triângulo XYZ, retângulo em X, a medida 
do ângulo interno em Y é 30°. Se M é a interseção da bis-
setriz do ângulo interno em Z com o lado XY, e a medida 
do segmento ZM é 6 3 m pode-se afirmar corretamente 
que o perímetro desse triângulo é uma medida, em 
metros, situada entre: 
a) 40 e 45. a) 40 e 45. 
b) 45 e 50. b) 45 e 50. 
c) 50 e 55. c) 50 e 55. 
d) 55 e 60.d) 55 e 60.
36 (ITA) Num triângulo ABC retângulo em A, seja D 
a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento 
BD mede 1 cm e que o ângulo DÂC mede θ graus, a área 
do triângulo ABC vale:
a) 
21
2 secθ tanθ 
b) 
21
2 sec²θ tanθ 
c) 
21
2 secθ tan²θ 
d) 
21
2 cos secθ cotanθ 
e) 
21
2 cos sec²θ cotanθ 
GABARITO
01. D 02. A 03. D 04. B 05. B 06. D
07. C 08. C 09. A 10. D 11. A 12. C
13. B 14. E 15. C 16. B 17. A 18. C
19. B 20. B 21. A 22. E 23. C 24. D
25. B 26. C 27. D 28. C 29. B 30. B
31. E 32. B 33. E 34. C 35.A 36. B
CAPÍTULO 1 
Trigonometria no Triângulo Retângulo
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116
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117
RELAÇÕES MÉTRICAS 
NO TRIÂNGULO 
QUALQUER
 
LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o 
seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio 
da circunferência circunscrita ao triângulo.
 
 
LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende 
das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.
 
 
NATUREZA DO TRIÂNGULONATUREZA DO TRIÂNGULO
Dado um triângulo de lados a, b e c e sendo a o maior 
lado, temos:
• Se a² b² + c² ⇒ triângulo obtusângulo
 
FÓRMULAS DA TRIGONOMETRIAFÓRMULAS DA TRIGONOMETRIA
Algumas fórmulas da trigonometria nos auxiliam nade X?
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5
09 (EPCAR) Para uma turma de 80 alunos do CPCAR, 
foi aplicada uma prova de matemática valendo 9,0 pontos 
distribuídos igualmente em 3 questões sobre:
1ª) FUNÇÃO
2ª) GEOMETRIA
3ª) POLINÔMIOS 
Sabe-se que:
• Apesar de 70% dos alunos terem acertado a questão 
sobre FUNÇÃO, apenas 1
10
 da turma conseguiu nota 9,0;
• 20 alunos acertaram as questões sobre FUNÇÃO e GEO-
METRIA;
• 22 acertaram as questões sobre GEOMETRIA e POLINÔ-
MIOS; e
• 18 acertaram as questões sobre FUNÇÃO e POLINÔMIOS.
A turma estava completa nessa avaliação, ninguém tirou 
nota zero, no critério de correção não houve questões 
com acertos parciais e o número de acertos apenas em 
GEOMETRIA é o mesmo que o número de acertos apenas 
em POLINÔMIOS.
Nessas condições, é correto afirmar que:
a) o número de alunos que só acertaram a 2ª questão é 
o dobro do número de alunos que acertaram todas as 
questões.
b) metade da turma só acertou uma questão. 
c) mais de 50% da turma errou a terceira questão. 
d) apenas 3/4 da turma atingiu a média maior ou igual a 5,0.
10 (CM-RJ) Os alunos de uma turma fizeram uma 
prova de 3 questões. Sabe-se que 4 alunos erraram todas 
as questões; 5 só acertaram a primeira questão; 6 só 
acertaram a segunda; 7 só acertaram a terceira; 9 acerta-
ram a primeira e a segunda; 10 acertaram a primeira e a 
terceira; 7 acertaram a segunda e a terceira e 6 acertaram 
todas as questões. O número de alunos dessa turma é:
a) 28 
b) 34 
c) 36 
d) 50 
e) 54
11 (EPCAR) Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi 
aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no 
dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, cons-
tavam questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos, 
a segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria 
plana. 
Sabe-se que dos alunos presentes nenhum tirou zero;
11 acertaram a segunda e a terceira questões;
15 acertaram a questão sobre conjuntos;
1 aluno acertou somente a parte de geometria plana;
7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções.
É correto afirmar que o número de alunos com grau má-
ximo igual a 10 foi:
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7
12 (CEFET) Se A e B são conjuntos não vazios de ma-
neira que:
A∪B={3,4,5,6,7,8,9,10}
A-B={3,5,8,9}
B-A={6,10}
Então A∩Bé o conjunto:
a) {6,10} 
b) ∅ 
c) {4,7} 
d) {3,5,8,9} 
e) {9}
 
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
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13
13 (EPCAR) No concurso para o CPCAR foram entre-
vistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua 
inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum 
desses idiomas. O número de candidatos que falam as 
línguas inglesa e francesa é:
a) 778 
b) 658 
c) 120 
d) 131
14 (CN) Dados os conjuntos A, B e C, tais que:
n(B∪C)=20, 
n(A∩B)=5, 
n(A∩C)=4, 
n(A∩B∩C)=1 e 
n(A∪B∪C)=22. 
O valor de n[A-(B∩C)] é:
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
e) 6
15 (EPCAR) De dois conjuntos A e B, sabe-se que:
I. O número de elementos que pertencem a A∪B é 45;
II. 40% desses elementos pertencem a ambos os conjuntos;
III. o conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B.
Então, o número de elementos de cada conjunto é:
a) n(A)=27e n(B)=18
b) n(A)=30e n(B)=21
c) n(A)=35e n(B)=26
d) n(A)=36e n(B)=27
16 (UFPR) SendoA={∅,{∅},9,{2}}, considere as afir-
mativas abaixo:
(01) ∅∈A.
(02) ∅⊂A
(03) {∅}∈A
(04) {∅}⊂A
(05) {9}∈A
(06) {2}⊂A
(07) 2∈A
(08) {{∅}}⊂A
(09) {∅,9}∈A
(10) {∅,9,{2}}⊂A
A soma dos números que corresponde as afirmativas falsas 
é igual a:
a) 25 
b) 27 
c) 29 
d) 30 
e) 33
17 (FGV) Se A={4,9,16,25,36}, então A é equivalente a:
a) {x2;x∈Z*}
b) {x2;x∈N}
c) {x2;x∈N/1re-
solução de exercícios de relações métricas num triângulo 
qualquer.
• sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)
• sen(a - b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a)
• cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)
• cos(a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
• sen(2a) = 2.sen(a).cos(a)
• cos(2a) = cos²(a) – sen²(a)
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 Na figura abaixo, encontre o valor de x.
 
a) 150 cm
b) 151 cm
c) 152 cm
d) 153 cm
02 Na figura abaixo, encontre o valor de x.
 
a) 3 cm ou 7 cm
b) 4 cm ou 8 cm
c) 2 cm ou 8 cm
d) 4 cm ou 6 cm
03 (EEAR) Um triângulo, inscrito em uma circunferên-
cia, tem um ângulo de 30° oposto a um lado de 10 cm. O 
diâmetro da circunferência, em cm, é
a) 10 
b) 15 
c) 20
d) 25
04 (EEAR) Seja um triângulo inscrito em uma circunfe-
rência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 
30°, seu lado oposto a esse ângulo mede
a) R/2 
b) R 
c) 2R 
d) 2R/3
CAPÍTULO 2 
Relações Métricas no Triângulo Qualquer
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118
05 (EEAR) O ponto O é o centro da circunferência da 
figura, que tem 3 m de raio e passa pelo ponto B. Se o 
segmento AB forma um ângulo de 30° com o raio OA , 
então a medida de AB, em m, é
a) 6 3
b) 3 3
c) 6 2
d) 3 2
06 (EEAR) Os lados de um triângulo obtusângulo me-
dem 3 m, 5 m e 7 m. A medida da projeção do menor dos 
lados sobre a reta que contém o lado de 5 m é, em m,
a) 2,5. 
b) 1,5. 
c) 2. 
d) 1.
07 (EEAR) Um triângulo, inscrito numa circunferên-
cia de 10 cm de raio, determina nesta três arcos, cujas 
medidas são 90°, 120° e 150°. A soma das medidas dos 
menores lados desse triângulo, em cm, é
a) 10( 2 + 3 )
b) 10(1+ 3 )
c) 5( 2 + √3)
d) 5(1+ 3 )
08 Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, 
B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se 
que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C 
é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. Nesse caso, pode-se 
concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a 
 
a) 8 17 . 
b) 12 19 . 
c) 12 23 . 
d) 20 15 . 
e) 20 13 . 
09 (IFAL) Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e 11. 
O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é: 
a) 11
15 . 
b) - 1
27 . 
c) 26
33
. 
d) - 2
27 . 
e) -1. 
10 (UECE) A medida do cosseno do maior dos 
ângulos internos do triângulo cujas medidas dos lados 
são, respectivamente, 8 m, 10 m e 15 m é igual a:
a) –0,38125. 
b) –0,42112. 
c) –0,43713. 
d) –0,46812. 
11 (UECE) Sejam x, y e z as medidas dos lados do 
triângulo XYZ e R a medida do raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo. Se o produto dos senos dos 
ângulos internos do triângulo é 
3
. . .k x y z
R
 então o valor de k é: 
a) 0,500.
b) 0,250.
c) 0,125.
d) 1,000.
12 (IFSP) A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm 
e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos lados 
congruentes desse triângulo, em centímetros, é:
a) 3. 
b) 2. 
c) 3 .
d) 1 + 3 .
e) 2 – 3 .
13 (UFRGS) Os lados de um losango medem 4, e um 
dos seus ângulos, 30°. A medida da diagonal menor do 
losango é:
a) 2 2 3−
b) 2 3+
c) 4 2 3− 
d) 2 2 3+
e) 4 2 3+ 
CAPÍTULO 2 
Relações Métricas no Triângulo Qualquer
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119
14 (UFSM) A caminhada é uma das atividades físicas 
que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz 
na prevenção de doenças crônicas e na melhoria da qua-
lidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma 
pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna 
ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura:
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer 
todo o trajeto? 
Dado: 3 =1,7
a) 2,29.
b) 2,33. 
c) 3,16. 
d) 3,53. 
e) 4,80.
15 Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e 11. O 
cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é: 
a) 11
15 
b) - 1
27 
c) 
26
33 
d) - 2
27 
e) -1 
16 O ponto P é interior ao quadrado ABCD. Se PA = 5, 
PB = 3 e PC = 7, o lado do quadrado mede:
a) 2 14
b) 58
c) 2 15
d) 62
e) 8
17 (CN) Em um triângulo ABC, o ângulo  é o dobro 
do ângulo �B , AB = 9 cm e AC = 4 cm. O lado BC mede:
a) 9 13 cm.
b) 3 13 cm.
c) 4 13 cm.
d) 6 13 cm.
e) 2 13 cm.
18 Calcule x na figura abaixo:
 
a) 1.
b) 2 .
c) Não existe x.
d) 5
5
.
e) 3
19 (UPE-SSA) João está procurando cercar um ter-
reno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe 
que dois lados desse terreno medem, respectivamen-
te, 10 m e 6 m e formam entre si um ângulo de 120°. O 
terreno será cercado com três voltas de arame farpado. 
Se o preço do metro do arame custa R$5,00, qual será o 
valor gasto por João com a compra do arame?
Dados: sen 120° = 3
2
 ; cos 120° = - 1
2
a) R$300,00. 
b) R$420,00. 
c) R$450,00.
d) R$500,00.
e) R$520,00.
20 (UFPR-2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo 
tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em 
um curso de 45°em relação ao norte, no sentido horário. O 
segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 
105° em relação ao norte, também no sentido horário. 
Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão 
separados os navios, supondo que eles tenham mantido o 
mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a)10 km. 
b)14 km. 
c)15 km. 
d)17 km. 
e)22 km.
21 (UNICAMP) A figura a seguir exibe um pentágono 
com todos os lados de mesmo comprimento:
 
A medida do ângulo θ é igual a: 
a)105°. 
b)120°.
c)135°.
d)150°.
CAPÍTULO 2 
Relações Métricas no Triângulo Qualquer
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120
22 (ITA) Num triângulo ABC, retângulo em A, tem-se 
B = 60°. As bissetrizes desses ângulos se encontram num 
ponto D. Se o segmento de reta BD mede 1 cm, então a 
hipotenusa mede, em centímetros:
a) 1 3
2
b) 1 + 3
c) 2 + 3
d) 1 + 2 2
e) n.d.a
23 (CN) Considere que ABC é um triângulo acutân-
gulo inscrito em uma circunferência L. A altura traçada 
do vértice B intersecta L no ponto D. Sabendo-se que 
AD = 4 e BC = 8, calcule o raio de L e assinale a opção 
correta:
a) 2 10 .
b) 4 10 .
c) 2 5 .
d) 4 5 .
e) 3 10 .
24 (ITA) Considere um triângulo isósceles inscrito em 
uma circunferência. Se a base e a altura desse triângulo 
medem 8 cm, então o raio dessa circunferência mede:
a) 3 cm.
b) 4 cm.
c) 5 cm.
d) 6 cm.
e) 3 2 cm.
25 (EN) A figura abaixo mostra um paralelogramo 
ABCD. Se d representa o comprimento da diagonal BD e 
α e β são ângulos conhecidos (ver figura), pode-se afirmar 
que o comprimento x do lado AB é igual a:
 
a) d cos β
b) ( )
d sen
sen
α
α β+
c) d sen β
d) ( )
cosd
sen
α
α β+
e) d cos (180° - (α + β)).
26 (UFTM) Na figura, AEFG é um quadrado e BD divide 
o ângulo A �B C ao meio:
Sendo CD = 2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centí-
metros, mede:
a) 3 1
2
− .
b) 3 -1.
c) ( )6 3 1
5
− .
d) ( )4 3 1
3
− .
e) ( )3 3 1
2
− .
27 (EPCAr) Dois botes estão no mar a uma distância d 
um do outro. Um observador, situado na praia, observa-
va-os, calculando distâncias e ângulos em dois pontos 
de observação, como no esboço abaixo:
A distância d entre os botes, em metros, é igual a:
a) 10 15 .
b) 15 ( )6 2+ .
c) 10 ( )3 2+ .
d) 15 ( )6 2− .
28 (ITA) Num triângulo acutângulo ABC, BC = 4cm, 
o ângulo C mede 30° e a projeção do lado AB sobre 
BC mede 2,5 cm. O comprimento da mediana que sai 
do vértice A mede:
a) 1 cm.
b) 2 cm.
c) 0,9 cm.
d) 3 cm.
e) 2 cm.
CAPÍTULO 2 
Relações Métricas no Triângulo Qualquer
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121
29 (UDESC) Observe a figura:
Sabendo-se que os segmentos BC e DE sãoparalelos, que 
o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo BIC 
é igual a 105°, o segmento AC mede:
a) 5 2 
b) 10 2
3
c) 20 2
d) 10 2
e) 20 2
3
30 (ITA) Em um triângulo equilátero ABC de lado 
2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados 
AB, BC e AC respectivamente, tais que:
I. P é o ponto médio de AB
II. M é o ponto médio de BC
III. PN é a bissetriz do ângulo A �P C. 
Então, o comprimento do segmento MN é igual a:
a) 10 4 3− .
b) 5 2 3− .
c) 6 3 3− .
d) 10 5 3− .
e) 5 3 5− .
31 (ITA) Seja ABC um triângulo equilátero, e suponha 
que Me N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM 
= MN = NC. Sendo α a medida, em radianos, do ângulo 
MÂN, então o valor de cosα é: 
a) 13/14
b) 14/15
c) 15/16
d) 16/17
e) 17/18
32 (EN) Um triângulo inscrito em um círculo possui 
um lado de medida 42 3 oposto ao ângulo de 15°. O pro-
duto do apótema do hexágono regular pelo apótema 
do triângulo equilátero inscritos nesse círculo é igual a
a) 3 ( )3 2+
b) 4 ( )2 3 3+
c) 8 3 12+
d) ( )2 2 3 3+
e) ( )6 2 1+
33 (CN) ABC é um triângulo equilátero. Seja P um 
ponto do plano de ABC e exterior ao triângulo de tal 
forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C). 
Sabendo-se que o ângulo A �P B é igual a 60°, que PA= 6 e 
PC = 8, a medida de PQ será: 
a) 24/7
b) 23/5 
c) 19/6
d) 33/14
e) 11/4
34 (IME) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa 
de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana 
relativa de AC. Sabendo-se que BH = AM = 4, a soma dos 
possíveis valores inteiros de BM é:
a) 11. 
b) 13. 
c) 18. 
d) 21. 
e) 26.
35 (ITA) Os lados de um triângulo de vértices A, 
B e C medem AB = 3 cm, BC = 7 cm e CA = 8 cm. A cir-
cunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no 
ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento 
do segmento, NK em cm, é: 
a) 2. 
b) 2 2 .
c) 3. 
d) 2 3 .
e) 7/2
CAPÍTULO 2 
Relações Métricas no Triângulo Qualquer
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122
36 (FUVEST) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDE-
FGH, representado na figura, tem medida dos lados AB 
= 4, BC = 2 e BF = 2.
O seno do ângulo HÂF é igual a:
a) 
1
2 5
b) 1
5
c) 
2
10
d) 
2
5
e) 3
10
GABARITO
01. B 02. A 03. C 04. B 05. B 06. B
07. A 08. B 09. B 10. A 11. C 12. A
13. C 14. D 15. B 16. B 17. E 18. A
19. C 20. A 21. B 22. B 23. C 24. C
25. B 26. E 27. A 28. A 29. D 30. D
31. A 32. A 33. B 34. B 35.A 36. E
CAPÍTULO 2 
Relações Métricas no Triângulo Qualquer
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123
TRIGONOMETRIA NA 
CIRCUNFERÊNCIA
Considere uma circunferência de raio unitário com centro 
na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto 
A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos 
orientados nesta circunferência e o sentido positivo consi-
derado será o anti-horário. A região contendo esta circun-
ferência e todos os seus pontos interiores, é denominada 
círculo trigonométrico.
 
 
ARCOS CÔNGRUOSARCOS CÔNGRUOS
Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma ori-
gem e a mesma extremidade. Uma regra prática eficiente 
para determinar se dois arcos são côngruos consiste em 
verificar se a diferença entre eles é um número divisível 
ou múltiplo de 360°, isto é, a diferença entre as medidas 
dos arcos dividida por 360° precisa ter resto igual a zero.
 
LINHAS TRIGONOMÉTRICASLINHAS TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos um ciclo trigonométrico de centro na origem 
e arco �AM , como a figura abaixo mostra.
 
Portanto, todo ponto pertencente à circunferência é da 
forma P(cos x, sen x).
 
ARCOS SIMÉTRICOSARCOS SIMÉTRICOS
Podemos relacionar o seno e o cosseno de um arco de 
qualquer quadrante aos valores do seno e do cosseno 
de um arco do primeiro quadrante, utilizando a simetria.
 
REDUÇÃO DO 2° PARA O 1° QUADRANTE
I) cos (180° - x) = - cos x
II) sen (180° - x) = sen x
III) tg (180° - x) = - tg x
REDUÇÃO DO 3° PARA O 1° QUADRANTE
I) cos (180° + x) = - cos x
II) sen (180°+ x) = - sen x 
III) tg (180° + x) = tg x
REDUÇÃO DO 4° PARA O 1° QUADRANTE
I) cos (360° - x) = cos x 
II) sen (360°- x) = - sen x 
III) tg (360° - x) = - tg x
OBS: O arco (360° - x) é congruente ao arco (- x), portanto:
I) cos (- x) = cos x 
II) sen (- x) = - sen x 
III) tg (- x) = - tg x
 
OS ARCOS NOTÁVEIS E OS ARCOS NOTÁVEIS E 
OS SEUS SIMÉTRICOSOS SEUS SIMÉTRICOS
 
CAPÍTULO 3 
Trigonometria na Circunferência
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 123Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 123 16/02/2022 17:44:4616/02/2022 17:44:46
124
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 O valor de cos 45 30
cos 60
sen° + °
°
 é: 
a) 2 +1. 
b) 2. 
c) 
2
4 . 
d) 2 1
2
+ . 
02 (EEAR) Ao expressar 16
9
π rad em graus, obtém-se 
a) 170°.
b) 220°.
c) 280°.
d) 320°.
03 (EEAR) O valor correspondente ao cos 15° 
a) 2 6
4
+ .
b) 2 3
2
+ .
c) 3
4
.
d) 1.
04 O valor de x na expressão x=
202160 cos
3
52640 cos
4
tg
sen
π
π
 ° +  
 
° −
 é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2 - 3 . 
d) 3 - 2 . 
e) 2 . 
05 O valor da expressão 
( )
30 225
cos 60
2
sen tg
senπ
°+ °
− − °
 é 
a) 1. 
b) 1
2
. 
c) - 3 . 
d) 3 . 
e) - 1
2
. 
06 (EEAR) Numa circunferência, a soma das medidas 
de dois arcos é 315°. Se um desses arcos mede 11
12
π rad, 
a medida do outro é
a) 150°. 
b) 125°. 
c) 100°. 
d) 75°.
07 (EEAR) O valor de cos 15° é
a) 2 2
2
− 
b) 2 3
2
+ 
c) 2- 2 
d) 2+ 3 
08 (EEAR) Um arco de circunferência de 5
6
π rad pode 
ser dividido em ____ arcos de 30º
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3.
09 (EEAR) Ao somar as medidas angulares 120° e 
3
2
π
 rad, 
obtém-se a medida de um arco pertencente ao ___ quadrante.
a) 1°.
b) 2°.
c) 3°.
d) 4°.
10 (EEAR) O valor de sen 1270° é igual a
a) – cos 10°.
b) – sen 30°.
c) – sen 10°.
d) – cos 30°.
11 (EEAR) Gabriel verificou que a medida de um ângulo 
é 3
2
π rad. Essa medida é igual a
a) 48°.
b) 54°.
c) 66°.
d) 72°.
12 (EEAR) Ao subtrair cos 225° de sen 420°, obtém-se
a) 3 2
2
+ .
b) 3 2
2
− .
c) 5
2
.
d) 1
2
.
13 (EEAR) O sen 122
9
π é igual ao
a) sen 5
9
π . 
b) sen 4
9
π .
c) -cos 5
9
π . 
d) -sen 4
9
π .
CAPÍTULO 3 
Trigonometria na Circunferência
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 124Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 124 16/02/2022 17:44:4916/02/2022 17:44:49
125
14 O seno de um arco de medida 2340° é igual a 
a) – 1. 
b) - 1/2. 
c) 0. 
d) 1/2. 
15 (EEAR) Dois ângulos medem 2
9
π rad e 
5
18
π
rad. O 
menor deles, em graus, mede:
a) 30. 
b) 40. 
c) 50. 
d) 60.
16 (EFOMM) Sabendo que A = 6tan
6
π + 4sen 7
3
π – cos 7
6
π
, então o valor de A é igual a:
a) 43 12
2
.
b) 3
2
.
c) 4 3
2
.
d) 6 12
4
.
e) 3 .
17 Resolvendo sen 15° – sen 75° encontra-se:
a) 3
2
− .
b) 2
2
.
c) 2
2
− .
d) 2 .
e) 3
2
.
18 Sendo y = sen 5
12
π . cos 
12
π , o valor numérico de y é:
a) 
1
2 + 
3
4 .
b) 3
2
.
c) 1
2
.
d) 3 +2.
e) 2( 3 +1).
19 (EsPCEx) O valor numérico da expressão 
sec1320
2
° -2 53
3
π 
 
 
+(tg 2220°)2 é: 
a) -1. 
b) 0. 
c) 1
2
 . 
d) 1. 
e) -
3
2 . 
20 (UEPB) O valor da expressão tg 5
3
π - 3.tg(-210°) é:
a) 2 .
b) 2.
c) - 2 .
d) -1.
e) 0
21 (UDESC) Se tg20° = a, o valor de 160 340
200
tg tg
tg
° + °
°
é:
a) 2.
b) – a.
c) 0.
d) a.
e) – 2.
22 (UEG) O valor da expressão 4.sen 31
3
π + 6.cos2655° 
é igual a:
a) 2 – 3 2 .
b) 3 2 -2 3 .
c) 3 2 -2.
d) 2 3 - 3 2 .
23 (UFC) Sabendo que cos θ = 3
2
 e que sen θ = – 
1
2 , 
podemos afirmar corretamente que cos
2
πθ + 
 
 + sen
2
πθ + 
 
 
é igual a:
a) 0.
b) – 3
2
 - 
1
2 .
c) 3
2
 + 
1
2 .
d) 3
2
 - 
1
2 .
e) – 3
2
 + 
1
2 .
24 (EsPCEx) O número de arcos no intervalo 190,
6
π 
  
 
cujo valor do cosseno é igual a 
1
2 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d)4
e) 5
CAPÍTULO 3 
Trigonometria na Circunferência
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126
25 (EsPCEx) O produto cotg x . cos x é positivo, por-
tanto x pertence ao 
a) 1° ou 2° quadrantes.
b) 1° ou 4° quadrantes.
c) 2° ou 3° quadrantes.
d) 2° ou 4° quadrantes.
e) 3° ou 4° quadrantes.
26 (EsPCEx) O valor de (cos165°+sen155°+cos145°-
-sen25°+cos35°+cos15° ) é 
a) 2 . 
b) -1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 1
2
. 
27 (EsPCEx) Sendo k ∈ Z, o número de valores distintos 
assumidos por sen 
9
kπ é igual a:
a) 5
b) 8
c) 9
d) 10
e) 18
28 (EsPCEx) Em uma das primeiras tentativas de de-
terminar a medida do raio da Terra, os matemáticos 
da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou 
montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se 
avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esfé-
rica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, 
o raio terrestre em função do ângulo α é dado por:
 
a) R= 
( )
( )1
sen h
sen
α
α− .
b) R= ( )
( )
.
1
h sen
sen
α
α−
.
c) R= ( )
( )
.
1
h sen
sen
α
α −
.
d) R= ( )
( )
1
.
sen
h sen
α
α
− .
e) R= ( )
( )
1
.
sen
h sen
α
α
+ .
29 (EsPCEx) No círculo trigonométrico (raio = 1), re-
presentado na figura, a medida de β é 150° e AB repre-
senta um diâmetro. O valor do produto das medidas dos 
segmentos OC e OD é:
 
a) 1/4.
b) 1/2.
c) √3/4.
d) √3/2.
e) √2/2.
30 (EsPCEx) Considere as expressões:
Têm valor sempre negativo:
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) I e III.
e) III e IV.
GABARITO
01. A 02. B 03. A 04. C 05. B 06. A
07. B 08. B 09. A 10. D 11. B 12. A
13. D 14. C 15. B 16. A 17. C 18. A
19. D 20. E 21. E 22. D 23. C 24. C
25. A 26. A 27. C 28. B 29. C 30. E
CAPÍTULO 3 
Trigonometria na Circunferência
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 126Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 126 16/02/2022 17:44:5916/02/2022 17:44:59
127
RELAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
 
RELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAIS
tg x = 
cos
senx
x
 , ∀ x ≠ 2
π + kπ; k ∈ Z
cotg x = cos x
senx
, ∀ x ≠ kπ com k ∈ Z
sec x = 1
cos x
, ∀ x ≠ 2
π + kπ com k ∈ Z
cossec x = 1
s enx
, ∀ x ≠ kπ com k ∈ Z
sen² x + cos ² x = 1, ∀ x ∈ R
 
SOMA E SUBTRAÇÃO DE ARCOSSOMA E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
( )
( )
.cos .cos
.cos .cos
sen a b sena b senb a
sen a b sena b senb a
+ = +

− = −
( )
( )
cos cos .cos .
cos cos .cos .s
a b a b sena senb
a b a b sena enb
+ = −

− = +
( )
( )
1 .
1 .
tga tgbtg a b
tga tgb
tga tgbtg a b
tga tgb
+ + = −
 − − =
 +
 
ARCO DUPLOARCO DUPLO
sen (2a) = 2.sena.cosb
( )
( )
( )
2 2
2
2
cos 2 cos
cos 2 1
cos 2 2cos 1
a a sen a
a sen a
a a
 = −
 = −
 = −
tg (2a)= 2
2
1
tga
tg a−
 
ARCO TRIPLOARCO TRIPLO
sen (3a)=3 sen a - 4sen³a
cos (3a)=4 cos³a - 3 cosa
tg (3a)=
3
2
3
1 3.
tga tg a
tg a
−
−
 
ARCO METADEARCO METADE
1 cos
2 2
a asen −
= 
1 cos
2 2
a atg +
= 
1 cos
2 1 cos
a atg
a
−
=
+

 
TRANSFORMAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO DE 
SOMA EM PRODUTOSOMA EM PRODUTO
.cos
2 2
A B A BsenA senB sen + −   + =    
   
cos .
2 2
A B A BsenA senB sen+ −   − =    
   
cos cos cos .cos
2 2
A B A BA B + −   + =    
   
cos cos .
2 2
A B A BA B sen sen+ −   − = −    
   
CAPÍTULO 4
Relações Trigonométricas
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 127Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 127 16/02/2022 17:45:0516/02/2022 17:45:05
128
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (EEAR) O valor de cos 15° é
a) 2 2
2
− 
b) 2 3
2
+ 
c) 2- 2 
d) 2+ 3
02 (EEAR) Se a e b são arcos do 2º quadrante tais que 
sena= 2
2
 e cosb=- 1
2
, então sen(a + (b) é
a) ( )2 3 2
4
− + 
b) ( )2 1 3
4
− + 
c) ( )3 2 1
4
+
d) ( )3 3 2
4
−
03 (EEAR) Se sen y = m e cos y = n, o valor de 
sec
cossec
y
y é
a) m 
b) n2 
c) mn 
d) m
n
04 (EEAR) Se x é um arco do 1º quadrante, com sen x 
= a e cos x = b, então y= 
( )
.cos
.cos
senx x
tgx xπ +
 é
a) a
b) b
c) -a
d) -b
05 (EEAR) Se x é um arco do terceiro quadrante tal 
que tgx= 2
3
, o valor de sen x é
a) 
13
13
b) 13
13
−
c) 2 13
13
−
d) 3 13
13
−
06 (EEAR) Dados sen a = x, cos a = y, sen b = z e cos 
b = w, então sen(a + (b) é igual a
a) xw + yz
b) xz + yw
c) xy - wz
d) xw – yz
07 (EEAR) Se senα.cosβ= 4
13
 e senβ.cosα= 36
65
, então 
sen(α + β) é igual a
a) 56
65
b) 40
65
c) 13
36
d) 13
56
08 (EEAR) Ao simplificar a expressão (1 + cos x)(1 - cos x), 
tem-se
a) 2
b) sen2 x
c) cos2 x
d) 2 + cos2 x
09 (EEAR) O valor de sen (a + (b) – sen (a – (b) é igual a
a) sen 2a
b) cos 2a
c) 2 sen b . cos a
d) 2 sen a . cos b
10 (EEAR) Simplificando a expressão sen (2π – x) + 
sen (3π + x), obtém-se
a) sen x
b) – sen x
c) 2 sen x
d) –2 sen x
11 Se a e b são ângulos agudos e complementares, o 
valor da expressão sen2 (a+(b)-cos2 (a+(b) é 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 2 . 
e) 3 . 
CAPÍTULO 4
Relações Trigonométricas
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 128Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 128 16/02/2022 17:45:0716/02/2022 17:45:07
129
12 Se sen x – cos x = 
1
2 , então sen 2x é:
a) 
1
4
b) - 3
4
c) 3
4
d) 
1
2
e) 3
4
13 O valor de cos 72° – cos² 36° é idêntico ao de:
a) cos 36°
b) – cos²36°
c) cos²36°
d) – sen²36°
e) sen²36°
14 Sendo tg x + sec x = m e sec x – tg x = n, então o 
valor de m.n:
a) – 1
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
15 Se tg x = m e tg 2x = 3m, m > 0, então o ângulo 
agudo x mede:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
16 Se cos a = 2 5
5
 e cossec acos 2
sen x sen x
x
− é:
a) – 1
b) 3
3
 
c) 3
3
d) 2 3
3
e) 1
CAPÍTULO 4
Relações Trigonométricas
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 130Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 130 16/02/2022 17:45:1316/02/2022 17:45:13
131
33 (UFT) Dado sen θ= 
3
4 ,0° 0 e m > 0, po-
demos afirmar que tg
4 2
xπ − 
 
 é igual a:
a) n
m
b) m
n
c) 1- n
m
d) n
m
e) 
m
n
45 (ITA) Se cos4 (4x)-sen4 (4x)=a ≠0, então cos(8x) vale:
a) 2a
b) a
c) 4a
d) zero
e) a + 4
46 (EN) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o 
triplo de um dos catetos. Considerando α o ângulo oposto 
ao menor lado, podemos afirmar que tan α + cotg α 
a) 
5
6
b) 11 2
12
c) 2
d) 11 2
4
e) 12 2
4
47 Se x ∈]0,
4
π [ e cos²x – sen²x = 2
5
, o valor de cos²x + 
4sen²x + 5senxcosx é:
a) 13 + 21
b) 17 3 21
10
+
c) 19 5 21
10
+
d) 21 2 21
3
+
48 (ITA) Se a e b são complementares, 0igual a 1). Por exemplo como 1 km é igual 
a 1.000 m, podemos escrever a relação:
Veremos mais exemplos no decorrer do capítulo.
4.0. Análise dimensional de unidades.
É praticamente comum representar grandezas derivadas 
em função das grandezas fundamentais utilizando símbo-
los dimensionais. Se G1, G2 e G3 são grandezas escolhidas 
fundamentais e G é uma grandeza derivada, podemos 
escrever a equação dimensional de G da seguinte forma:
Onde o símbolo [ ] lê-se (dimensional de). Representando, 
simbolicamente, o comprimento por L, a massa por M e o 
tempo por T e escolhendo essas grandezas como funda-
mentais, a equação acima tem a forma:
5.0. Notação científica.
É um número que se escreve no seguinte formato.
A ordem de grandeza de um número é a potência de dez 
mais próxima desse número. 
CAPÍTULO 1 
Cinemática
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 137Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 137 16/02/2022 17:45:2816/02/2022 17:45:28
138
6.0. Ordem de grandeza.
A ordem de grandeza de um número é a potência de dez 
mais próxima desse valor.
Para achar o valor da ordem de grandeza de um número 
é muito importante que ele esteja em notação científica, 
e respeite a regra de que o número α seja maior ou igual 
a 1 e sempre menor que 10.
Dado o número em notação científica N.
Caso o n seja positivo, este número será maior que 1 e 
terá o número de zeros referente ao valor de n.
7.0. Cinemática Escalar. 
Parte da Física que se propõe a estudar o movimento dos 
corpos sem se preocupar com as causas. 
7.1. Referencial.
Podemos dizer que um corpo está em movimento, quando 
sua posição varia continuamente. Mas para medirmos a 
posição de um corpo, devemos definir um referencial. 
Referencial - É um ponto (corpo) ou sistema de coordenadas 
utilizado por um corpo ou observador para medir e/ou 
registrar grandezas físicas observadas em um determinado 
fenômeno.
Exemplo: 
Dois passageiros dentro de um trem estão em repouso um 
em relação ao outro, mas se encontram em movimento em 
relação à um observador na superfície da Terra.
7.2. Trajetória.
É o caminho percorrido por um móvel a partir de um re-
ferencial previamente estabelecido. 
7.3. Ponto material e Corpo extenso.
(Ponto Material) é um corpo que possui suas dimensões 
desprezadas em relação ao fenômeno estudado enquanto 
o (Corpo extenso) leva-se em consideração suas dimensões.
7.4. Movimento e Repouso.
São conceitos relativos dependentes exclusivamente de 
um referencial adotado previamente.
7.5. Espaço e Variação de espaço.
Quando conhecemos a trajetória seguida por uma partícula 
fica fácil determinar a posição ou espaço.
Para localizar uma partícula, primeiro definimos um ponto 
de referência, denominado origem dos espaços, em relação 
ao qual mediremos o espaço dessa partícula. Em seguida 
escolhemos um sentido positivo para a trajetória, ou seja, 
o sentido crescente da escala numérica, logo o sentido 
oposto será o sentido negativo. 
a variação de espaço sofrida por um móvel em linha reta 
de uma posição de origem à uma posição final.
Observação: Distância percorrida ≠ Deslocamento
Conversão de unidades de comprimento.
7.6. Instante de tempo e intervalo de tempo.
Há duas formas de utilizar a grandeza tempo na mecânica, 
observe os exemplos abaixo:
• Quanto tempo após o início da corrida o piloto saiu?
• Quanto tempo o piloto esperou sem sair do lugar, até 
que o piloto a sua frente saísse?
A primeira pergunta se refere ao instante de tempo, mo-
mento exato da ocorrência de um determinado evento. A 
segunda pergunta refere-se ao intervalo de tempo, que 
serve para registrar a duração de um determinado evento. 
Para registrar o instante de tempo, representaremos pela 
letra t, após isso precisaremos escolher um instante inicial, 
chamado origem dos tempos (t0 = 0). 
Para registrar o intervalo de entre dois eventos, fazemos 
a diferença entre dois instantes de tempo que ocorreram 
esses eventos.
∆t = t - t0
No (SI) unidade [s].
Conversão de unidades de tempo.
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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139
8.0. Velocidade média e velocidade escalar média.
Considere um móvel que no instante t1 encontra-se na 
posição S1 e no instante t2 encontra-se na posição S2. De-
finimos a grandeza física velocidade média (vM) como o 
quociente entre o deslocamento e o intervalo de tempo 
em que ocorreu esse deslocamento.
A unidade no (SI) é [m/s].
Logo se a posição final coincide com a posição inicial, então 
a velocidade média é nula.
A velocidade escalar média (|vM|) é uma forma de descrever 
a rapidez de uma partícula. Enquanto a velocidade média é 
uma função do deslocamento, a velocidade escalar média 
é uma função da distância total percorrida pela partícula.
 
CONVERSÃO DE VELOCIDADECONVERSÃO DE VELOCIDADE
A tabela abaixo mostra uma conversão rápida da velocidade 
entre m/s e km/h. 
Como 1km = 1000m e 1h = 3600s temos:
9.0. Velocidade escalar instantânea.
A velocidade escalar instantânea é considerada um limi-
te da velocidade escalar média, quando o intervalo de 
tempo é zero.
10.0. Velocidade Relativa.
É o valor único de velocidade que representa o movimento 
relativo entre dois móveis.
Velocidade relativa de aproximação:
Mesmos sentidos: 
Sentidos opostos: 
Velocidade relativa de afastamento:
Mesmos sentidos:
Sentidos opostos:
Observação:
1) Se um móvel percorre metade de um percurso com ve-
locidade VA e a outra metade do percurso com velocidade 
VB , então velocidade média que o corpo adquire em todo 
percurso pode ser calculada pela seguinte expressão:
2) Caso o percurso seja dividido em três partes iguais onde 
o primeiro terço do percurso seja percorrido com uma 
velocidade VA , segundo terço com velocidade VB e o último 
terço com velocidade VC , então a velocidade média que o 
corpo adquire em todo percurso pode ser calculada pela 
seguinte expressão:
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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140
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (UF-MS) Uma viagem é realizada em duas etapas. 
Na primeira, a velocidade média é de 80km/h; na segunda 
é de 60km/h. Sendo a distância percorrida, na segunda 
etapa, o triplo daquela percorrida na primeira, é correto 
afirmar que:
(01) a distância percorrida na primeira etapa foi de 80km.
(02) a duração da viagem foi de 4 horas.
(04) a distância total percorrida foi de 260km.
(08) a velocidade média na viagem toda foi de 64km/h.
(16) a velocidade média na viagem toda foi de 70km/h.
a) 01 
b) 02 
c) 04 
d) 08 
e) 16
02 (AFA) Um automóvel faz uma viagem em que, na 
primeira metade do percurso, é obtida a velocidade média 
de 100 km/h. Na segunda metade a velocidade média 
desenvolvida é de 150 km/h. Pode-se afirmar que a velo-
cidade média, ao longo de todo o percurso, é, em km/h:
a) 130 
b) 125 
c) 120 
d) 110
03 (FUVEST) Um passageiro, viajando de metrô, fez 
o registro de tempo entre duas estações e obteve os 
valores indicados na tabela. 
Supondo que a velocidade média entre duas estações 
consecutivas seja sempre a mesma e que o trem pare o 
mesmo tempo em qualquer estação da linha, de 15 km de 
extensão, é possível estimar que um trem, desde a partida 
da Estação Bosque até a chegada à estação Terminal, leva 
aproximadamente:
a) 20 min 
b) 25 min 
c) 30 min
d) 35 min 
e) 40 min
04 (UFRGS) Um caminhão percorre três vezes o mes-
mo trajeto. Na primeira, sua velocidade média é de 15m/s 
e o tempo de viagem é t1 . Na segunda, sua velocidade 
média é de 20 m/s e o tempo de viagem t2 . Se, na ter-
ceira, o tempo de viagem for igual a , qual será a 
velocidade média do caminhão nessa vez?
a) 11,12 m/s 
b) 12,24 m/s 
c) 13,56 m/s
d) 15,38 m/s 
e) 17,14m/s
05 (EFOMM) Um navegador solitário completa certo per-
curso com velocidade média de 9 nós (1 nó = 1milha/hora ≅ 
1,852 km/h) em 24 dias. A distância percorrida, em km, foi de:
a) 5.401 
b) 6.507 
c) 8.723 
d) 9.601 
e) 10.202
06 (ESCOLA NAVAL) Um ciclista percorre 20 km, em 
uma estrada de terra, em 60 minutos. Em seguida, anda 
mais 30 km em 0,5 h. a velocidade média do ciclista para 
todo o percurso, em km/h, é:
a) 10,0 
b) 26,6 
c) 33,3 
d) 40,0 
e) 66,6
07 (AFA) Um terço de um percurso retilíneo é percor-
rido por um móvel com velocidade escalar média de 60 
km/h, e o restante do percurso, com velocidade escalar 
média de 80 km/h. Então, a velocidade média do móvel, 
em km/h, em todo percurso, é:
a) 70,0 
b) 72,0 
c) 73,3 
d) 75,0
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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141
08 (FUVEST) Uma moto de corrida percorre uma pista 
que tem o formato aproximado de um quadrado com 5 
km de lado. O primeiro lado é percorrido com uma velo-
cidade média de 100 km/h, o segundo e o terceiro lado 
a 120 km/h e o quarto a 150 km/h. 
Qual a velocidade média da moto nesse percurso?
a) 110 km/h 
b) 120 km/h 
c) 130 km/h
d) 140 km/h 
e) 150 km/h
09 (ESPCEX) Um avião bombardeiro deve intercep-
tar um comboio que transporta armamentos inimigos 
quando este atingir um ponto A, onde as trajetórias do 
avião e do comboio se cruzarão. O comboio partirá de um 
ponto B, às 8 h, com uma velocidade constante igual a 40 
km/h, e percorrerá uma distância de 60 km para atingir o 
ponto A. O avião partirá de um ponto C, com velocidade 
constante igual a 400 km/h, e percorrerá uma distância 
de 300 km até atingir o ponto A. 
Consideramos o avião e o comboio como partículas des-
crevendo trajetórias retilíneas. Os pontos A, B e C estão 
representados no desenho abaixo. Para conseguir inter-
ceptar o comboio no ponto A, o avião deverá iniciar o seu 
voo a partir do ponto C às
a) 8 h e 15 min 
b) 8 h e 30 min 
c) 8 h e 45 min
d) 9 h e 50 min 
e) 9 h e 15 min
10 (ESPCEX) Um automóvel, desenvolvendo uma ve-
locidade constante de 60 km/h, faz, diariamente, uma 
viagem entre duas cidades vizinhas em um tempo ha-
bitual T. Se ele fizesse esta viagem com uma velocidade, 
também constante, de 90 km/h, o tempo de duração 
habitual seria 10 minutos menor. Podemos dizer que o 
valor de T, em minutos, é:
a) 60 
b) 50 
c) 40 
d) 30 
e) 20
11 (FUVEST) Os pontos A, B, C e D representam pon-
tos médios dos lados de uma mesa quadrada de bilhar. 
Uma bola é lançada a partir de A, atingindo os pontos B, 
C e D, sucessivamente, e retornando a A, sempre com 
velocidade módulo constante v1. 
Num outro ensaio a bola é lançada de A para C e retorna 
para A, com velocidade de módulo constante v2 e levando 
o mesmo tempo que o do lançamento anterior.
Podemos afirmar que a relação 1
2
V
V
 vale: 
a) 
1
2
 
b) 1 
c) 2 
d) 2 2 
e) 2 
12 (EEAR) Dois móveis A e B, ambos de comprimento 
igual a 2 m, chegam exatamente juntos na entrada de um 
túnel de 500 m, conforme mostrado na figura. O móvel 
A apresenta uma velocidade constante de 72 km/h e o 
móvel B uma velocidade constante de 36 km/h. Quando 
o móvel B atravessar completamente o túnel, qual será a 
distância d, em metros, que o móvel A estará a sua frente? 
 
Para determinar essa distância considere a traseira do 
móvel A e a dianteira do móvel B.
a) 498 
b) 500 
c) 502 
d) 504
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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142
13 (FUVEST) Em um prédio de 20 andares (além do 
térreo) o elevador leva 36 s para ir do térreo ao 20° an-
dar. Uma pessoa no andar x chama o elevador, que está 
inicialmente no térreo, e 39,6 s após a chamada a pessoa 
atinge o térreo. Se não houve paradas intermediárias, e 
os tempos de abertura e fechamentos da porta do eleva-
dor e de entrada e saída de passageiro são desprezíveis, 
podemos dizer que o andar x é o:
a) 9° 
b) 11° 
c) 16° 
d) 18° 
e) 19°
14 (ESPCEX) Um trem de 150 m de comprimento 
se desloca com velocidade escalar constante de 16 m/s. 
Esse trem atravessa um túnel e leva 50 s desde a entra-
da até a saída completa de dentro dele. O comprimento 
do túnel é de:
a) 50 m 
b) 650 m 
c) 800 m 
d) 950 m 
e) 1.100 m
15 (EFOMM) Uma chamada de vídeo ocorre entre dois 
dispositivos móveis localizados sobre a superfície da 
Terra, em meridianos opostos, e próximo ao Equador. 
As informações, codificadas em sinais eletromagné-
ticos, trafegam em cabos de telecomunicações com 
velocidade muito próxima à velocidade da luz no vácuo. 
O tempo mínimo, em segundos, para que um desses 
sinais atinja o receptor e retorne ao mesmo dispositivo 
que o transmitiu é, aproximadamente:
Dados: 
Raio médio da Terra, = ⋅ 81 10
15medR m ;
Velocidade da luz no vácuo, 3 ⋅ 08m/s.
a) 
1
30 
b) 
1
15 
c) 2
15
 
d) 1
5
 
e) 3
10
 
 NÍVEL 2
16 (PRF) Ao longo de uma estrada retilínea, um car-
ro passa pelo posto policial da cidade A, no km 223, às 
9h30 min e 20 s, conforme registra o relógio da cabine de 
vigilância. Ao chegar à cidade B, no km 379, o relógio do 
posto policial daquela cidade registra 10h20 min e 40 s. O 
chefe do policiamento da cidade A verifica junto ao chefe 
do posto da cidade B que o seu relógio está adiantado 
em relação àquele em 3min e 10 s. Admitindo-se que o 
veículo, ao passar no ponto exato de cada posto policial, 
apresenta velocidade dentro dos limites permitidos pela 
rodovia, o que se pode afirmar com relação à transposição 
do percurso pelo veículo, entre os postos, sabendo-se 
que neste trecho o limite de velocidade permitida é de 
110 km/h? 
a) Trafegou com velocidade média ACIMA do limite de 
velocidade.
b) Trafegou com velocidade sempre ABAIXO do limite de 
velocidade.
c) Trafegou com velocidade sempre ACIMA do limite de 
velocidade
d) Trafegou com velocidade média ABAIXO do limite de 
velocidade. 
e) Trafegou com aceleração média DENTRO do limite per-
mitido para o trecho.
17 (AFA) Uma estrada de ferro retilínea liga duas ci-
dades A e B separadas por uma distância de 440 km. Um 
trem percorre esta distância como movimento uniforme 
em 8h. Após 6h de viagem, por problemas técnicos, o 
trem fica parado 30 min. Para que a viagem continuas-
se sem atraso, a velocidade constante, em km/h, que o 
trem deveria percorrer o restante do percurso seria de 
aproximadamente.
a) 73,3 
b) 83,6 
c) 80,2 
d) 96,8
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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143
18 (UFF) Uma ambulância desloca-se pela Avenida 
Brasil devendo percorrer 60 km de seu ponto de partida 
até o centro da cidade. Recomenda-se ao motorista man-
ter uma velocidade escalar média de 90 km/h, mas por 
problemas de trânsito, durante os primeiros 20 minutos 
de viajem, sua velocidade escalar foi de 40 km/h. Para 
cumprir o recomendado, a velocidade escalar média 
com que a ambulância deve fazer o percurso restante, 
em km/h, é:
a) 40,0 
b) 50,0 
c) 90,0 
d) 120 
e) 140
19 (EFOMM)
Um observador X está parado em uma estação quando vê 
um trem passar em MRU (Movimento Retilíneo Uniforme) a 
20 km/h, da esquerda para a direita, conforme a figura dada. 
Nesse momento o passageiro Y joga uma bola para cima do 
ponto A ao ponto B, pegando-a de volta. Simultaneamente, 
um passageiro Z sedesloca no trem, da esquerda para a 
direita, com velocidade de 5 km/h.
Podemos afirmar que a trajetória da bola vista pelo ob-
servador X, a trajetória da bola vista pelo passageiro Y, a 
velocidade do passageiro Z em relação ao observador X e 
a velocidade do passageiro Z, em relação ao passageiro Y, 
são, respectivamente,
a) ; 25 km/h ; 5 km/h . 
b) ; 20 km/h ; 5 km/h.
c) ; 20 km/h ; 5 km/h.
d) ; 25 km/h e 5 km/h.
e) ; 25 km/h e 5 km/h.
20 (UE-CE) Considere um certo número de soldados 
dispostos em fila indiana, separados uns dos outros por 
uma distância constante d = 2m . Eles iniciam uma marcha 
com o ritmo de 120 passos por minuto, obedecendo as 
batidas regulares de um tambor conduzido pelo primeiro 
da fila. Sabe-se que cada soldado inicia sua marcha com o 
pé direito e ao ouvir a primeira batida do tambor. Iniciada 
a marcha, observa-se, então, que o último soldado da fila 
(e somente ele) está rigorosamente dando seus passos 
com o pé trocado com relação ao primeiro da fila. Sendo 
a velocidade do som no ar igual a 340 m/s, determine o 
número de soldados contidos na fila:
a) 80 soldados. 
b) 82 soldados. 
c) 84 soldados.
d) 86 soldados. 
e) 88 soldados. 
21 (AFA) Uma pessoa está observando a corrida a 
170m do ponto de largada. Em dado instante, dispara-se 
a pistola que dá início a competição. Sabe-se que o tempo 
de reação de um determinado corredor é 0,2 segundos, 
sua velocidade é 7,2 km/h e a velocidade do som no ar é 
340 m/s. A distância desse atleta em relação a linha de 
largada, quando o som do disparo chegar ao ouvido do 
espectador, é:
a) 0,5 m 
b) 0,6 m 
c) 0,7 m 
d) 0,8 m
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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144
22 (AFA) Dois automóveis A e B encontram-se estaciona-
dos paralelamente ao marco zero de uma estrada. Em um 
dado instante, o automóvel A parte, movimentando-se com 
velocidade escalar constante VA=80 km/h. Depois de certo 
intervalo de tempo, ∆t , o automóvel B parte no encalço de A, 
com velocidade escalar constante VB = 100km/h. Após 2h de 
viagem, o motorista de A verifica que B se encontra a 10km 
atrás e conclui que o intervalo , em que o motorista B ainda 
permaneceu estacionado, em horas, é igual a:
a) 0,25 
b) 0,50 
c) 1,00 
d) 4,00
23 (AFA) Um avião voando horizontalmente a 4000 m 
de altura, numa trajetória retilínea com velocidade média 
dada constante, passou por um ponto A e depois por um 
ponto B, situado a 3000 m de A. Um observador no solo, 
parado num ponto verticalmente abaixo de B começou 
a ouvir o som do avião, emitido em A, 4 segundos antes 
de ouvir o som proveniente no ponto B. Se a velocidade 
do som era de 320 m/s, a velocidade do avião em m/s 
era aproximadamente:
a) 960 
b) 750 
c) 591 
d) 421
24 (AFA) Um turista, passeando de bugre pelas areias 
de uma praia em Natal-RN, percorre uma trajetória trian-
gular, que pode ser dividida em três trechos, conforme 
a figura abaixo:
Os trechos B e C possuem o mesmo comprimento, mas 
as velocidades médias desenvolvidas nos trechos A, B e 
C foram, respectivamente, v, 2v e v. A velocidade escalar 
média desenvolvida pelo turista para percorrer toda a 
trajetória triangular vale:
a) 2v 
b) 2 2v 
c) 4v 
d) ( )−4 2 2 v 
25 (ITA-SP) Considere dois carros que estejam par-
ticipando de uma corrida. O carro A consegue realizar 
cada volta em 80 segundos enquanto o carro B é 5% mais 
lento. O carro A é forçado a uma parada nos boxes ao 
completar a volta de número 06. Incluindo acelerações, 
desacelerações e reparos, o carro A perde 135 seg. Qual 
deve ser o mínimo de voltas completas na pista de corrida 
para que o carro A possa vencer a corrida? 
a) 28 
b) 27 
c) 33 
d) 34 
e) 39
 NÍVEL 3
26 (IME-RJ) A figura representa uma vista aérea de um 
trecho retilíneo de ferrovia. Duas locomotivas a vapor, A 
e B, deslocam-se em sentidos contrários com velocidades 
constantes de 50,4 km/h e 72 km/h, respectivamente. 
Uma vez que AC corresponde ao rastro da fumaça do 
trem A, BC ao rastro da fumaça do trem B e que AC=BC, 
determine a velocidade do vento. Despreze a distância 
entre os trilhos de A e B.
a) 3,0 m/s 
b) 4,0 m/s 
c) 5,0 m/s 
d) 6,0 m/s 
e) 7,0 m/s
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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145
27 (ITA-SP) Considere que um tiro de revólver, a bala 
percorre uma trajetória retilínea com velocidade v cons-
tante, desde o ponto inicial P até o alvo Q, mostrado na 
figura. O aparelho M1 registra simultaneamente o sinal 
sonoro do disparo e o impacto da bala no alvo, o mesmo 
ocorrendo com o aparelho M2. Sendo vs a velocidade do 
som no ar, então a razão entre as respectivas distâncias 
dos aparelhos M1 e M2 em relação ao alvo Q é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
28 (SARAEVA) Três turistas, que possuem uma bi-
cicleta, devem chegar ao centro turístico no menor 
espaço de tempo (o tempo conta-se até o último turista 
chegar ao centro). A bicicleta pode transportar apenas 
duas pessoas e, por isso, o terceiro turista deve ir a pé. 
Um ciclista leva o segundo turista até um determinado 
ponto do caminho, de onde ele continua a andar a pé, e 
o ciclista regressa para transportar o terceiro. Encontre 
a velocidade média dos turistas, sendo a velocidade do 
que vai a pé v1= 4km/h e a do ciclista v2 = 20km/h.
a) 8 km/h 
b) 10 km/h 
c) 12 km/h 
d) 14 km/h 
e) 16 km/h
GABARITO
01. D 02. C 03. D 04. E 05. D 06. C
07. B 08. B 09. C 10. D 11. C 12. B
13. B 14. B 15. C 16. A 17. A 18. E
19. D 20. D 21. B 22. B 23. D 24. D
25. C 26. C 27. A 28. B
CAPÍTULO 1 
Cinemática
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147
MOVIMENTO 
RETILÍNEO E UNIFORME
Dizemos que o movimento de um móvel é uniforme em 
relação a um referencial, quando a velocidade escalar em 
relação a esse referencial é constante e diferente de zero. 
Dessa forma ele sofre deslocamentos iguais em intervalos 
de tempo também iguais, logo como consequência a velo-
cidade do móvel permanece constante.
Podemos citar alguns exemplos de movimento uniforme 
ou quase uniformes.
Exemplos: 
A velocidade da luz em meios homogêneos.
O movimento de rotação da Terra.
 
FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOSFUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS
Uma consequência de a velocidade ser constante nesse 
movimento é o fato de a partícula não sofrer variação de 
velocidade, com isso admitimos que no movimento retilíneo 
uniforme a partícula não possui aceleração escalar a = 0 .
Já que a velocidade escalar no movimento é constante, a 
velocidade média também o será. Assim podemos escrever 
no intervalo de t a t0 .
A equação da velocidade escalar:
v – Velocidade escalar (constante)
S – Posição final
S0 – Posição inicial 
t – Instante final 
t0 – Instante inicial
Tomemos (t0 = 0) , logo podemos descrever a velocidade 
da seguinte maneira:
 , logo concluímos que:
Como a equação acima descreve uma função do 1° grau 
em função de (t) o gráfico do espaço em função do tempo 
será sempre uma reta inclinada.
 
GRÁFICOS DE ESPAÇO EM GRÁFICOS DE ESPAÇO EM 
FUNÇÃO DO TEMPO (S x t)FUNÇÃO DO TEMPO (S x t)
Os gráficos abaixo representam geometricamente o com-
portamento de uma partícula em movimento progressivo 
e retrógrado.
Movimentos progressivos:
 
Movimentos Retrógrados:
CAPÍTULO 2 
Movimento Retilíneo e Uniforme
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148
 
PROPRIEDADE DO GRÁFICO DE (S x t)PROPRIEDADE DO GRÁFICO DE (S x t)
Note o gráfico abaixo:
A tangente do ângulo de inclinação da reta vale:
 
Das equações ( I ) e ( II ) podemos concluir:
Observação: 
No gráfico de (S x t) do movimento uniforme o coeficiente 
angular da reta é numericamente igual a velocidade.
 
GRÁFICO DE VELOCIDADE EMGRÁFICO DE VELOCIDADE EM
FUNÇÃO DO TEMPO (v x t)FUNÇÃO DO TEMPO (v x t)
 
PROPRIEDADE DO GRÁFICO (v x t)PROPRIEDADE DO GRÁFICO (v x t)
A área do retângulo acima vale: A = v ⋅ (t2 - t1) , logo temos 
A = v ⋅ ∆t, então a área do gráfico é numericamente igual 
ao deslocamento do móvel ∆S entre os instantes t1 e t2 .
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (PUCAMP-SP) Três pontos A, B e C situados em linha 
reta partem simultaneamente 3 corpos com velocidades 
respectivamente 10 m/s, 3 m/s e 5m/s e percorrem a reta 
que passa por A, B e C no sentido de A para C. Sabendo-
-se que B e C distam de A respectivamente 20 m e 40 m, 
determinar após quanto tempo o corpo que partiu de A 
se encontrará exatamente no meio entre os outros dois.
a) 2s 
b) 3s 
c) 4s 
d) 5s 
e) 6s
02 (EEAR) Dois trens trafegam, no mesmo trilho e no 
mesmo sentido, em um trecho retilíneo de uma ferrovia. 
O trem que vai à frente está com velocidade constante de 
módulo igual a 36 km/h, e o outro, que está atrás, man-
tém a velocidade constante de módulo igual a 72 km/h. 
Assinale a alternativa em que está indicado o tempo míni-
mo necessário para que o trem mais rápido colida com o 
outro de menor velocidade, a partir do instante em que a 
distância entre eles for de 18 km.
a) 30 minutos 
b) 45 minutos 
c) 60 minutos 
d) 90 minutos
CAPÍTULO 2 
Movimento Retilíneo e Uniforme
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149
03 (EEAR) Um caminhão, que tem 8 m de comprimen-
to, vem rebocando uma carga de 4 m de comprimento. 
Sabe-se que o caminhão e a carga estão perfeitamente 
ligados, não existindo espaço livre entre os dois e que 
o conjunto mantém uma velocidade constante e igual 
a 36 km/h. 
A frente do caminhão encontra-se exatamente no começo 
de uma ponte de 40 m de extensão, conforme mostrado 
na figura. 
Qual o tempo exato gasto, em s, para que a carga atravesse 
completamente a ponte?
a) 4,0 
b) 4,8 
c) 5,2 
d) 6,4
04 (CESGRANRIO) Um trem sai da estação de uma 
cidade, em percurso retilíneo, com velocidade constante 
de 50 km/h. Quanto tempo depois de sua partida deverá 
sair, da mesma estação, um segundo trem com velocidade 
de 75 km/h para alcançá-lo a 120 km da cidade?
a) 24 min. 
b) 48 min. 
c) 96 min.
d) 144 min. 
e) 288 min.
05 (EEAR) Uma aeronave F5 sai da base aérea de Santa 
Cruz às 16h30min para fazer um sobrevoo sobre a Escola 
de Especialistas de Aeronáutica (EEAR), no momento da 
formatura de seus alunos do Curso de Formação de Sar-
gentos. Sabendo que o avião deve passar sobre o evento 
exatamente às 16h36min e que a distância entre a refe-
rida base aérea e a EEAR é de 155 Km, qual a velocidade 
média, em km/h, que a aeronave deve desenvolver para 
chegar no horário previsto?
a) 1.550 
b) 930 
c) 360 
d) 180 
06 (EEAR) No gráfico mostram-se as posições de um 
móvel em função do tempo.
Das alternativas abaixo, assinale a que representa o gráfico 
da velocidade em função do tempo, para o movimento 
descrito no gráfico anterior.
a) 
b) 
c) 
d) 
CAPÍTULO 2 
Movimento Retilíneo e Uniforme
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150
07 (EEAR) Dois trens correm em trilhos paralelos, 
deslocando-se na mesma direção e no mesmo sentido. O 
passageiro do primeiro trem, cujo módulo da velocidade 
é de 80 km/h, passa pelo segundo trem, que possui uma 
velocidade de módulo igual a 70 km/h. 
Admitindo que o movimento dos trens seja retilíneo e 
uniforme, qual o comprimento, em metros, do segundo 
trem, se o passageiro o vê durante 1 min e 12 s?
a) 300 
b) 250 
c) 200 
d) 150
08 (UFLA-MG) Dado o gráfico seguinte, que representa 
a variação da posição de um móvel em função do tempo, 
assinale a alternativa correta:
a) No intervalo de tempo compreendido entre t=2s e t=4s, 
o móvel está em repouso, na origem dos espaços.
b) De 0 a 2 s o movimento é progressivo de velocidade igual 
a 10 m/s, de 2 s a 4 s o móvel está em repouso, a partir 
de t = 4s adquire uma velocidade de -5m/s até o instante 
t=8s, e, a partir daí, permanece em repouso.
c) No instante t = 1s, o movimento passa de retrógrado a 
progressivo.
d) Entre 0 a 1s o móvel ocupa espaços positivos.
09 (AFA) Considere dois veículos deslocando-se em 
sentidos opostos, numa mesma rodovia. Um veículo tem 
velocidade escalar de 60 km/h e o outro de 90 km/h, em 
módulo. Um passageiro, viajando no veículo mais lento, 
resolve cronometrar o tempo decorrido até que os veí-
culos se cruzem e encontra o intervalo de 30 segundos. 
A distância, em km, de separação dos veículos, no início 
da cronometragem, era de:
a) 0,25 km 
b) 1,25 km 
c) 2,0 km 
d) 2,5 km
10 (FUVEST) Um automóvel e um ônibus trafegam em 
uma estrada plana, mantendo velocidades constantes em 
torno de 100 km/h e 75 km/h, respectivamente. Os dois 
veículos passam lado a lado em posto de pedágio. Qua-
renta minutos depois, nessa mesma estrada, o motorista 
do ônibus vê o automóvel ultrapassá-lo. Ele supõe, então, 
que o automóvel deve ter realizado, nesse período, uma 
parada aproximada de:
a) 4 minutos. 
b) 7 minutos. 
c) 10 minutos.
d) 15 minutos. 
e) 25 minutos.
11 (FGV) De duas cidadezinhas, ligadas por uma es-
trada reta de 10 km de comprimento, partem simul-
taneamente, uma em direção à outra, duas carroças, 
puxadas cada uma por um cavalo e andando à velocidade 
de 5km/h. 
No instante da partida, uma mosca, que estava pousada 
na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, 
com velocidade de 15 km/h e vai pousar na testa do se-
gundo cavalo. Após intervalo de tempo desprezível, parte 
novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, 
em direção ao primeiro cavalo até pousar em sua testa. 
E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos 
se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas 
testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca?
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 17 
e) 20
CAPÍTULO 2 
Movimento Retilíneo e Uniforme
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151
12 (ESPCEX) Considere um objeto que se desloca em 
movimento retilíneo uniforme durante 10 s. O desenho 
abaixo representa o gráfico de espaço em função do 
tempo. 
O espaço do objeto no instante s, em metros, é:
a) 25 m 
b) 30 m 
c) 33 m 
d) 36 m 
e) 40 m 
13 (UNIFOR-CE) Duas carroças, A e B, percorrem a 
mesma trajetória retilínea. A figura representa as posi-
ções (s), em função do tempo (t), dessas carroças. Qual 
a distância, em metros, entre A e B, no instante t = 3s? 
a) 12,0 m 
b) 9,5 m 
c) 8,0 m 
d) 6,5 m 
e) 4,5 m
14 (EEAR) Dois pontos materiais A e B têm seus mo-
vimentos retilíneos uniformes descritos no gráfico, da 
posição (x) em função do tempo (t), a seguir. A razão 
entre o módulo da velocidade de B e o módulo da velo-
cidade de A é:
a) 
1
2 
b) 
1
3
 
c) 2
3
 
d) 3
2
 
 NÍVEL 2
15 (ESPCEX) Em uma mesma pista, duas partículas pun-
tiformes A e B iniciam seus movimentos no mesmo instante 
com as suas posições medidas a partir da mesma origem dos 
espaços.As funções horárias das posições de A e B, para S, em 
metros, e T, em segundos, são dadas, respectivamente, por 
SA = 40 + 0,2t e SB = 10 + 0,6t. Quando a partícula B alcançar 
a partícula A, elas estarão na posição:
a) 55 m 
b) 65 m 
c) 75 m 
d) 105 m 
e) 125 m
CAPÍTULO 2 
Movimento Retilíneo e Uniforme
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152
16 (FURG) A onda verde, ou sincronização de semáfo-
ros, é uma medida adotada em diversas cidades de modo 
a melhorar o tráfego de veículos por ruas e avenidas 
muito movimentadas. Numa determinada rua da cidade, 
existem três semáforos sincronizados:
• O primeiro, localizado na esquina da rua A, é temporiza-
do para que o sinal dure 1 minuto (tanto o verde quanto 
o vermelho); 
• O segundo, localizado 200 m adiante, tem mesma tem-
porização, mas um atraso de 8 s em relação ao primeiro; e 
• O terceiro, localizado 400 m além do segundo semáforo, 
tem uma temporização de 42 s e um atraso de 48 s em 
relação ao primeiro. 
Considerando que um carro passa pelo primeiro semáforo 
quando este ativa o sinal verde, a velocidade mínima, em 
km/h, que se pode desenvolver para aproveitar uma onda 
verde, isto é, os três sinais verdes em sequência, vale:
a) 51 
b) 24 
c) 45 
d) 22 
e) 40
17 (UERJ) Um veículo com velocidade constante de V 
km/h percorre S km em um intervalo de T horas, sendo 
T diferente de 1. Considere que T, V e S estejam em pro-
gressão geométrica, nessa ordem.
A alternativa que indica a relação entre o espaço percorrido 
S e a velocidade V é:
a) = 3S V 
b) = 2S V 
c) =S V 
d) =3 S V 
18 (AFA) Três partículas A, B e C, movimentam-se, com 
velocidade constante, ao longo de uma mesma direção. 
No instante inicial, t0 = 0 , a distância entre A e B vale x, 
e entre B e C vale y, conforme indica a figura a seguir.
Em t = 2s, a partícula A cruza com a partícula B. Em t = 3s, a 
partícula A cruza com a partícula C. A partícula C alcançará 
a partícula B no instante dado pela relação:
a) −
6
2
y
y x 
b) 
⋅ −
−
6 ( )
2 3
y x
y x
 
c) −
3
y x
x
 
d) 
−
3y
y x
 
19 (UERJ) Um piso plano é revestido de hexágonos 
regulares congruentes, cujos lados medem 10 cm.
Na ilustração de parte desse piso mostrada na figura acima 
T, M e são vértices comuns a três hexágonos e representam 
os pontos nos quais se encontram, respectivamente, um 
torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga.
Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo 
instante, com velocidades constantes, para alcançá-lo. 
Admita que a mosca leve segundos para atingir o ponto T. 
Despreze o espaçamento entre os hexágonos e as dimen-
sões dos animais. A menor velocidade, em centímetros por 
segundo, necessária para que a formiga chegue ao ponto 
T no mesmo instante que a mosca, é igual a: 
a) 3,5 
b) 5,0 
c) 5,5 
d) 7,0
20 (UEL-PR) Um cão persegue uma lebre de forma 
que enquanto ele dá 3 saltos ela dá 7 saltos. Dois saltos 
do cão equivalem a cinco saltos da lebre. A perseguição 
inicia-se em um instante em que a lebre está a 25 saltos 
à frente do cão.
Considerando-se que ambos se deslocam em linha reta, 
é correto afirmar que o cão alcança a lebre após ele ter:
a) percorrido 30 m e a lebre 70 m.
b) percorrido 60 m e a lebre 140 m.
c) dado 70 saltos.
d) percorrido 50 m.
e) dado 150 saltos.
CAPÍTULO 2 
Movimento Retilíneo e Uniforme
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153
21 (ITA-SP) Um trem e um automóvel caminham pa-
ralelamente e no mesmo sentido, num trecho retilíneo. 
Os seus movimentos são uniformes e a velocidade do 
automóvel é o dobro da velocidade do trem. Supondo 
desprezível o comprimento do automóvel e sabendo que 
o comprimento do trem é de 100 m, qual é a distância 
percorrida pelo automóvel desde o instante em que al-
cança o trem até o término da ultrapassagem?
a) 150 m 
b) 200 m 
c) 250 m
d) 300 m 
e) 400 m 
 NÍVEL 3
22 (AFA) Dois automóveis A e B encontram-se estacionados 
paralelamente ao marco zero de uma estrada. Em um dado instante, 
o automóvel A parte, movimentando-se com velocidade escalar 
constante VA = 80km/h. Depois de certo intervalo de tempo, Δt, o 
automóvel B parte no encalço de A com velocidade escalar cons-
tante VB = 100km/h. Após 2h de viagem, o motorista de A verifica 
que B se encontra 10 km atrás e conclui que o intervalo Δt, em que 
o motorista B ainda permaneceu estacionado, em horas, é igual a:
a) 0,25 
b) 0,50 
c) 1,00 
d) 4,00
23 (AFA) O diagrama a seguir representa as posições 
de dois corpos A e B em função do tempo.
Por este diagrama, afirma-se que o corpo A iniciou seu 
movimento, em relação ao corpo B, depois de:
a) 2,5 s 
b) 5,0 s 
c) 7,5 s 
d) 10,0 s
 
GABARITO
01. D 02. A 03. C 04. B 05. A 06. C
07. C 08. A 09. B 10. C 11. C 12. C
13. E 14. C 15. A 16. B 17. D 18. A
19. D 20. E 21. B 22. B 23. B
CAPÍTULO 2 
Movimento Retilíneo e Uniforme
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155
MOVIMENTO RETILÍNEO 
UNIFORMEMENTE 
VARIADO
Também conhecido como movimento acelerado, é um 
movimento onde há mudança de velocidade, ou seja, um 
móvel sofre aceleração à medida que o tempo transcorre.
Mas se a variação de velocidade for sempre a mesma, nos 
mesmos intervalos de tempo, então afirmamos se tratar 
de um movimento uniformemente variado ou também 
de movimento uniformemente acelerado, ou seja, um 
movimento que possui aceleração constante e não nula.
 
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Logo concluímos que (MRUV) é o movimento realizado por 
um móvel, que percorre uma trajetória retilínea, aumen-
tando ou diminuindo sua velocidade, de tal forma que a 
variação de velocidade seja sempre constante, considerando 
sempre o mesmo intervalo de tempo.
 
ACELERAÇÃO MÉDIAACELERAÇÃO MÉDIA
Assim como a velocidade, podemos definir uma aceleração 
média, considerando a variação de velocidade ∆V e um 
intervalo de tempo ∆t , onde está média será dada através 
da seguinte razão:
No (SI) temos que a unidade de medida de aceleração é 
[m/s2] .
 
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEAACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
Enquanto a aceleração média é calculada para certo inter-
valo de tempo a aceleração 
é calculada no instante (intervalo de tempo muito peque-
no, tendendo a zero) como, por exemplo, no instante que 
você olha no velocímetro do carro e registra a velocidade 
naquele exato momento. Podemos definir a velocidade 
instantânea da seguinte maneira:
 
FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADEFUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE
Da equação da aceleração temos:
−∆
= =
∆ −
0
0
V VVa
t t t
 , para t0 - 0 , temos:
V - V0 = a ⋅ t, então:
V – Velocidade final; V0 – Velocidade inicial;
a – Aceleração escalar; t – Intervalo de tempo.
A função descrita acima representa uma função de 1 grau 
cujo gráfico é uma reta crescente ou decrescente.
 
GRÁFICOS DE VELOCIDADE EMGRÁFICOS DE VELOCIDADE EM
FUNÇÃO DO TEMPO (v x t)FUNÇÃO DO TEMPO (v x t)
No gráfico acima, observamos situações em que a veloci-
dade é positiva e negativa. 
 
MOVIMENTO PROGRESSIVO E MOVIMENTO PROGRESSIVO E 
MOVIMENTO RETRÓGRADOMOVIMENTO RETRÓGRADO
Movimento progressivo – Velocidade sempre positiva, ou 
seja, o móvel se desloca no sentido positivo dos marcos 
em relação a origem.
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
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156
Movimento retrógrado – Velocidadesempre negativa, ou 
seja, o móvel de desloca no sentido negativo dos marcos 
em relação a origem.
 
MOVIMENTOS ACELERADOS E MOVIMENTOS ACELERADOS E 
MOVIMENTO RETARDADOMOVIMENTO RETARDADO
No caso de o movimento ser acelerado existem duas si-
tuações:
1° situação:
Movimento progressivo com a velocidade aumentando em 
intensidade (módulo). Nesse caso a aceleração do móvel 
é positiva, ou seja: 
2° situação:
Movimento retrógrado com velocidade aumentando em 
intensidade (módulo). Nesse caso a aceleração do móvel 
é negativa, ou seja:
Caso o movimento seja retardado também existem duas 
situações.
1° situação:
Movimento progressivo com a velocidade diminuindo em 
intensidade (módulo). Nesse caso a aceleração do móvel 
é negativa, ou seja:
2° situação:
Movimento retrógrado com velocidade diminuindo em 
intensidade (módulo). Nesse caso a aceleração do móvel 
é positiva, ou seja:
Um movimento é acelerado sempre que velocidade e ace-
leração têm o mesmo sinal, ou seja, ambas são positivas 
ou ambas são negativas, ou que o módulo da velocidade 
está aumentando.
Um movimento é retardado sempre que velocidade e ace-
leração têm sinais opostos, ou seja, quando um é positivo 
o outro é negativo e vice-versa, ou que o módulo da velo-
cidade está diminuindo.
 
PROPRIEDADE DO GRÁFICO DE (v x t)PROPRIEDADE DO GRÁFICO DE (v x t)
Uma propriedade desse gráfico é em relação a sua área, 
notemos que ao calcular a área do gráfico, determinaremos 
o produto de velocidade pela variação de tempo, logo a 
área do gráfico é numericamente igual ao deslocamento 
escalar sofrido pelo móvel durante o intervalo de tempo.
Daí temos:
∆S ≅ Área, então temos: (1)
Relembrando a equação (2) 
De (1) e (2) vem:
Essa equação nos mostra a posição em função do tempo 
para um móvel em MUV. Notemos que essa função é uma 
função quadrática e seu gráfico é representado por uma 
parábola, portanto, conhecer suas propriedades e carac-
terísticas é muito importante.
 
GRÁFICO DE ESPAÇO EM FUNÇÃOGRÁFICO DE ESPAÇO EM FUNÇÃO
DO TEMPO (s x t)DO TEMPO (s x t)
1° caso: Parábola com concavidade para cima.
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
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157
• A aceleração é positiva (a > 0) ;
• O ponto onde o gráfico intercepta o eixo dos espaços 
representa a posição inicial do móvel;
• Nos instantes t1 e t3 , o móvel passa pela origem dos 
espaços;
• No instante t2 o móvel inverte o sentido do movimento 
(v = 0);
• Do instante 0 a t2 , o espaço diminui em função do tempo, 
logo o movimento é retrógrado e retardado, pois os sinais 
da velocidade e da aceleração são contrários.
• Do instante t2 a t3 , o espaço aumenta em função do tempo, 
logo o movimento é progressivo e acelerado, pois os sinais 
da velocidade e da aceleração são iguais.
2° caso: Parábola com concavidade para baixo.
• A aceleração é negativa (ac) 80 
d) 120 
e) 135
30 (FAAP) Considere os conjuntos:
A={0,1,3,5,9}
B={3,5,7,9}
X={x∈N/x ≤ 13}, onde N é o conjunto dos números naturais.
O conjunto CX
(A∪B) é igual a:
a) {0,1,3,5,7,8,9}
b) {2,4,6,7,8,9,10,11,12,13}
c) {2,4,6,8,10,11,12,13}
d) {2,5,7,8,12,13}
e) {0,1,7,8,9,10,12,13}
31 (ESPCEX) Uma determinada empresa de biscoitos 
realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus con-
sumidores em relação aos seus três produtos: biscoitos 
cream cracker, wafers e recheados. Os resultados indi-
caram que:
65 pessoas compram cream cracker;
85 pessoas compram wafers;
170 pessoas compram recheados;
20 pessoas compram wafers, cream cracker e recheados;
50 pessoas compram cream cracker e recheados;
30 pessoas compram cream cracker e wafers;
60 pessoas compram wafers e recheados;
50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa 
feita pela empresa:
a) 200 
b) 250 
c) 320 
d) 370 
e) 530
32 (UNIFAP) O dono de um canil vacinou todos os seus 
cães, sendo que 80% contra a parvovirose e 60% contra 
cinomose. O percentual de animais vacinados contra as 
duas doenças e de:
a) 14% 
b) 22% 
c) 40% 
d) 68% 
e) 70%
33 (ESPM) Numa empresa multinacional, sabe-se que 
60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 
30% deles não falam nenhuma das línguas. Se exatamente 
49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir 
que o número de funcionários dessa empresa é igual a:
a) 180 
b) 140 
c) 210 
d) 165 
e) 127
34 (FUVEST) Considere as afirmações a seguir relativas 
aos conjuntos A, B e C quaisquer:
I – a negação de x∈(A∩B)é: x∉Aou x∉B.
II – A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
III – (A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)
Destas, é (são) falsa(s):
a) Apenas a I; 
b) Apenas a II; 
c) Apenas a III;
d) Apenas a I e III; 
e) Nenhuma;
35 (UDESC) Considere em um conjunto universo, com 
7 elementos, os subconjuntos A, B e C, com 3, 5 e 7 ele-
mentos respectivamente. 
É correto afirmar que:
a) (A∩B)∩Ctêm no máximo 2 elementos.
b) (∩)∩Ctêm no mínimo 1 elemento.
c) (B∩C)têm 3 elementos.
d) (A∩C)têm no mínimo 2 elemento
e) (A∩B)pode ser vazio.
36 (CN) Um grupo de 72 turistas visitou a França ou a 
Espanha. O número dos que visitaram a França é o sêxtu-
plo do número daqueles que visitaram França e Espanha, 
o qual é a terça parte dos que visitaram só a Espanha. O 
número de turistas que visitou um único país é:
a) 18 
b) 34 
c) 36 
d) 48 
e) 64
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
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16
37 (CN) Num colégio verificou-se que 120 alunos não 
têm pai professores, 130 alunos não têm mãe professo-
ras e 5 têm pai e mãe professores. Qual é o número de 
alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem 
pelo menos um dos pais professores e que não existem 
alunos irmãos?
a) 125 
b) 135 
c) 145 
d) 155 
e) 165
38 (UFES) Em um grupo de 93 torcedores:
I – todos torcem pelo Flamengo, pelo Cruzeiro ou pelo 
Palmeiras;
II – Ninguém torce pelo Flamengo e pelo Cruzeiro ao mes-
mo tempo;
III – Exatamente 12 desses torcedores torcem por dois 
dos três times;
IV – O número de torcedores que torcem pelo Flamengo é 
o dobro do número de torcedores do Palmeiras;
V – Pelo menos 4 torcedores torcem apenas para o Cruzeiro.
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que 
o número máximo possível de torcedores do Palmeiras 
no grupo é:
a) 27 
b) 29 
c) 31 
d) 33 
e) 35
39 (ITA) Denotemos por n(x) o número de elementos 
de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que: 
n(A∪B)=8; 
n(A∪C)=9; 
n(B∪C)=10; 
n(A∪B∪C)=11 e 
n(A∩B∩C)=2.
Então n(A)+n(B)+n(C)é igual a:
a) 11 
b) 14 
c) 15 
d) 18 
e) 25
40 (AFA) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 
17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 
nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 
jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes.
Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse 
grupo praticam pelo menos um desses esportes?
a) 31
b) 37
c) 47 
d) 51
41 (ITA) Sejam A e B subconjuntos do conjunto uni-
verso U={a,b,c,d,e,f,g,h}. Sabendo que (BC∪A)C={f,g,h}, 
BC∩A={a,b}e AC\B={d,e}, então n(P(A∩B))é igual a:
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 8
42 (ITA) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 
3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações:
I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ { }.
II. {2} ⊂ S \ U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}.
III. Existe uma função f : S → T injetiva.
IV. Nenhuma função g : T → S sobrejetiva.
Então, é (são) verdadeira (s)
a) apenas I.
b) apenas IV
c) apenas I e IV.
d) apenas II e III.
e) apenas III e IV.
43 (OBMEP) Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar 
quantas bolas estão dentro de uma caixa fechada. Eles 
já sabem que este número é maior que 100 e menor que 
140. Eles fazem as seguintes afirmações:
• Regina: Na caixa há mais de 100 bolas e menos de 120 
bolas.
• Paulo: Na caixa há mais de 105 bolas e menos de 130 bolas.
• Iracema: Na caixa há mais de 120 bolas e menos de 140 
bolas.
Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta.
Quantos são os possíveis valores para o número de bolas 
dentro da caixa?
a) 1 
b) 5 
c) 11 
d) 13 
e) 16
44 (ITA) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B 
um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, 
o número de elementos de P(B \ A) U P(∅) é igual a
a) 8 
b) 16 
c) 20 
d) 17 
e) 9
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
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17
45 (ITA) Considere as afirmações sobre o conjunto U 
sabendo que U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}:
1. ∅ ∈ U e n(U)=10
2. ∅ ⊂ Ue n(U)=10
3. 5∈Ue {5}⊂U
4. {0,1,2,5}∩{5}=5
Pode-se dizer então que é (são) verdadeira (s):
a) apenas 1 e 3
b) apenas 2 e 4
c) apenas 2 e 3
d) apenas 4
e) todas as afirmativas.
46 (ITA) Sejam A e B dois conjuntos distintos, ambos 
finitos e não vazios, tais que n(P(A)∪P(B))+1=n(P(A∪B)). 
Então, a diferença de n(A)-n(B) pode assumir:
a) um único valor.
b) apenas dois valores distintos.
c) apenas três valores distintos.
d) apenas quatro valores distintos.
e) mais do que quatro valores distintos.
47 (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto 
universo U, das afirmações:
I – (A\BC )\CC=A∩(B∪C)
II – (A\BC )\C=AU(B∩CC)C
III – BC∪CC=(B∩C)C
É (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I 
b) II 
c) III 
d) I e III 
e) II e III.
48 (ITA) Dos n alunos de um colégio, cada um estuda 
pelo menos uma das matérias: Matemática, Física e Quí-
mica. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 
32% estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, 
ainda, que 8% dois alunos estudam Física e Matemática, 
enquanto 4% estudam todas as 3 matérias. Os alunos 
que estudam apenas Química e Física mais aqueles que 
estudam apenas Matemática e Química totalizam 63 
estudantes. Logo o valor de n é igual a:
a) 1575
b) 1475
c) 1375
d) 1500
GABARITO
01. E 02. B 03. E 04. B 05. C 06. E
07. B 08. C 09. C 10. C 11. B 12. C
13. C 14. B 15. D 16. B 17. C 18. B
19. B 20. B 21. B 22. D 23. D 24. E
25. B 26. B 27. C 28. E 29. C 30. C
31. B 32. C 33. B 34. E 35. B 36. E
37. D 38. B 39. D 40. C 41. D 42. B
43. E 44. E 45. B 46. A 47. C 48. A
CAPÍTULO 1 
Conjuntos
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18
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 18Apostila_AFA_2022-2empurrão em seu caminhãozinho de plástico. Assim que 
o contato entre o caminhãozinho e a mão do menino é 
desfeito, observa-se que em um tempo de 6 s o brinquedo 
foi capaz de percorrer uma distância de 9 m até cessar 
o movimento. Se a resistência oferecida ao movimento 
do caminhãozinho se manteve constante, a velocidade 
inicial obtida após o empurrão, em m/s, foi de
a) 1,5 
b) 3,0 
c) 4,5 
d) 6,0 
e) 9,0
02 (EEAR) Uma partícula, anteriormente em movi-
mento uniforme, inicia um movimento retilíneo unifor-
memente variado (MRUV) com uma velocidade v

 de 
módulo igual a 4 m/s e aceleração a

 de módulo igual 
a 2 m/s², conforme o desenho. Qual a posição dessa 
partícula, em metros, no instante que atinge o repouso?
Considere que o referencial representado é positivo para 
direita.
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7
03 (UNIFESP) A velocidade em função do tempo de um 
ponto material em movimento retilíneo uniformemente 
variado, expressa em unidades do SI, é v = 50 - 10t. Pode-se 
afirmar que, no instante t - 5,0s, esse ponto material tem:
a) velocidade e aceleração nulas.
b) velocidade nula e daí em diante não se movimenta mais.
c) velocidade nula e aceleração a= 10m/s².
d) velocidade nula e a sua aceleração muda de sentido.
e) aceleração nula e a sua velocidade muda de sentido.
04 (UF-RS) Um automóvel que trafega com velocida-
de constante de 10 m/s, em uma pista reta e horizontal, 
passa a acelerar uniformemente à razão de 60 m/s em 
cada minuto, mantendo essa aceleração durante meio 
minuto. A velocidade instantânea do automóvel, ao final 
desse intervalo de tempo, e sua velocidade média, no 
mesmo intervalo de tempo, são, respectivamente:
a) 30 m/s e 15 m/s. 
b) 30 m/s e 20 m/s. 
c) 20 m/s e 15 m/s.
d) 40 m/s e 20 m/s. 
e) 40 m/s e 25 m/s.
05 (EEAR) Durante o pouso de um pequeno avião, 
num trecho reto de uma pista molhada, o piloto aciona os 
freios visando parar a aeronave. Quando o avião chegou 
neste trecho da pista, com uma velocidade de 108 km/h, 
os freios foram acionados e ele percorreu uma distância 
de 225 m até parar completamente. Admitindo uma desa-
celeração constante, o tempo gasto pela aeronave, desde 
acionar os freios até parar completamente, foi de _____ s. 
a) 15 
b) 30 
c) 45 
d) 50
06 (EEAR) Um nadador percorre, sem parar, uma 
piscina iniciando no ponto A e terminando em D, con-
forme o desenho. 
Os trechos AB e CD são percorridos em MRU com velocida-
des de módulos, respectivamente, iguais a 1 m/s e 2 m/s. 
O trecho BC é percorrido em MRUV e é feito pelo nadador 
com uma aceleração de módulo igual a _______m/s2.
a) 0,1 
b) 0,2 
c) 0,5 
d) 0,05
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
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160
07 (UFES) Um predador, partindo do repouso, alcança 
sua velocidade máxima de 54 km/h em 4 s e mantém essa 
velocidade durante 10 s. Se não alcançar sua presa nesses 
14 s, o predador desiste da caçada. A presa, partindo do 
repouso, alcança sua velocidade máxima, que é 4
5 da 
velocidade máxima do predador, em 5 s e consegue man-
tê-la por mais tempo que o predador. Suponha-se que as 
acelerações são constantes, que o início do ataque e da 
fuga são simultâneos e que predador e presa partem do 
repouso. Para o predador obter sucesso em sua caçada, 
a distância inicial máxima entre ele e a presa é de:
a) 21 m 
b) 30 m 
c) 42 m 
d) 72 m 
e) 80 m
08 (PUC-SP) Um atleta corre a uma certa velocidade 
constante em linha reta e ultrapassa um carro que está 
sendo acelerado (a = 2,0 m/s²) do repouso na mesma 
direção e sentido. O instante de tempo t = 0 é o tempo 
inicial de aceleração do carro e o instante de tempo em 
que o atleta passa pelo carro. O atleta consegue se manter 
à frente do carro por 3,0s. Qual é a velocidade do atleta?
a) 1 m/s 
b) 3 m/s 
c) 7 m/s 
d) 9 m/s 
e) 11 m/s
09 (UFG) A pista principal do aeroporto de Congonhas 
em São Paulo media 1.940 m de comprimento no dia do 
acidente aéreo com o Airbus em 320 da TAM, cuja velocida-
de tanto para pouso quanto para decolagem é 259,2km/h. 
Após percorrer 1.240 m da pista o piloto verificou que a 
velocidade da aeronave era de 187,2 km/h. Mantida esta 
desaceleração, a que distância do fim da pista o piloto 
deveria arremeter a aeronave, com a aceleração máxima 
de 4 m/s2 para evitar o acidente? 
a) 312 m 
b) 390 m 
c) 388 m 
d) 648 m 
e) 700 m
10 (EEAR) Assinale a alternativa cuja expressão melhor 
representa a posição em função do tempo y(t), do objeto 
A ao ser lançado para baixo com uma velocidade inicial 
(v0). Adote o referencial positivo para cima e considere 
a aceleração da gravidade local igual a “g”. 
Obs.: Despreze a resistência do ar.
a) 
b) 
c) 
d) 
11 (EEAR) Um corpo é abandonado em queda livre 
do alto de uma torre de 245 m de altura em relação ao 
solo, gastando um determinado tempo t para atingir o 
solo. Qual deve ser a velocidade inicial de um lançamento 
vertical, em m/s, para que este mesmo corpo, a partir do 
solo, atinja a altura de 245 m, gastando o mesmo tempo 
t da queda livre? 
Obs.: Use a aceleração da gravidade no local igual a 10 m/s2
a) 7 
b) 14 
c) 56 
d) 70
12 (EEAR) Uma pedra é abandonada exatamente 
da beira de um poço de 320 m de profundidade. Como 
as dimensões da pedra são pequenas, orienta-se que: 
despreze a força de atrito sobre a pedra e considere 
um movimento em queda livre. Determine o intervalo 
de tempo, em segundos, entre o abandono da pedra e 
a chegada, na beira do poço, da frente de onda sonora 
produzida pela pedra tocando o fundo do poço. 
Dados: a velocidade do som é constante e igual a 320 m/s 
e a aceleração da gravidade, no local, é de 10 m/s2. 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 1.
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
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161
13 (ESPCEX) Um balão sobe verticalmente, em mo-
vimento retilíneo e uniforme, com velocidade escalar 
de 10 m/s. Quando ele está a 20 m do solo uma pedra é 
abandonada do balão. A altura máxima, em relação ao 
solo, atingida pela pedra é:
Adote g = 10 (desprezar a resistência do ar).
a) 25,00 m 
b) 31,25 m 
c) 21,00 m
d) 22,50 m 
e) 20,00 m
14 (ESPCEX) Um menino abandona uma pedra de um ponto 
situado a 125 m do solo. Um segundo mais tarde, ele arremes-
sa verticalmente para baixo, do mesmo ponto, uma segunda 
pedra. Ambas as pedras chegam ao solo ao mesmo tempo. 
Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração 
da gravidade igual a 10 m/s², pode-se afirmar que a velocidade 
com que o menino arremessou a segunda pedra foi de:
a) 10,30 m/s 
b) 12,50 m/s 
c) 10,50 m/s
d) 13,45 m/s 
e) 11,25 m/s 
15 (ESPCEX) No desenho abaixo, estão representados 
os caminhões 1 e 2. Quando a distância entre eles é X, 
ambos têm a mesma velocidade V0 e o instante é t = 0 s.
O caminhão 1 descreve um movimento retilíneo e uniforme. 
O caminhão 2 descreve um movimento retilíneo com ace-
leração constante, sendo que essa aceleração tem sentido 
contrário. Com relação à distância entre os caminhões, a 
partir de t = 0 s, é correto afirmar que ela ao da sua velo-
cidade V0. Com relação à distância entre os caminhões, a 
partir de t = 0 s, é correto afirmar que ela
a) diminui e é uma função do 2º grau do tempo decorrido.
b) aumenta e é uma função do 1º grau do tempo decorrido.
c) permanece constante ao longo do tempo decorrido.
d) aumenta e é uma função do2º grau do tempo decorrido.
e) diminui e é uma função do 1º grau do tempo decorrido.
 NÍVEL 2
16 (EFOMM) Um trem deve partir de uma estação A 
e parar na estação B, distante 4 km de A. A aceleração 
e a desaceleração podem ser, no máximo, de 5,0 m/s2, 
e a maior velocidade que o trem atinge é de 72 km/h. O 
tempo mínimo para o trem completar o percurso de A a 
B é, em minutos, de: 
a) 1,7 
b) 2,0 
c) 2,5 
d) 3,0 
e) 3,4 
17 (EFOMM) Em um determinado instante um objeto 
é abandonado de uma altura H do solo e, 2,0 segundos 
mais tarde, outro objeto é abandonado de uma altura h, 
120 metros abaixo de H. Determine o valor de H, em m, 
sabendo que os dois objetos chegam juntos ao solo e a 
aceleração da gravidade é g = 10m/s2.
a) 150 
b) 175 
c) 215 
d) 245 
e) 300 
18 (EFOMM) Uma experiência de queda livre foi rea-
lizada em um prédio residencial para determinar sua 
altura. Com a área de queda isolada, a equipe do teste 
se posicionou no alto do prédio de onde foi largado um 
objeto com velocidade inicial nula. O cronômetro da 
equipe registrou o tempo de aproximadamente 3 s, con-
tado desde a largada do objeto até o som do impacto do 
objeto no chão ser ouvido pela equipe. 
Foi decidido que o tempo de propagação do som e o atrito 
do objeto com o ar seriam desprezados no experimento. 
Considerando g = 10m/s2 e a velocidade do som 340 m/s, 
assinale de modo correto a opção que indica, respectiva-
mente, o valor aproximado da altura do prédio determinada 
pelo experimento e, para esse valor determinado, o tempo 
aproximado correspondente à propagação do som.
a) 45 m e 0,13 s. 
b) 25 m e 0,23 s. 
c) 20 m e 0,13 s. 
d) 45 m e 0,45 s. 
e) 35 m e 0,45 s.
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
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162
19 (AFA) Um corpo é abandonado do topo de um pre-
cipício. O ruído produzido pela queda do corpo ao atingir 
o chão é ouvido 10s após seu abandono. Considerando a 
velocidade do som no ar igual a 340 m/s, pode-se afirmar 
que altura do precipício, em metros, é aproximadamente:
a) 200 
b) 288 
c) 391 
d) 423
20 (AFA) Um vagão movimenta-se sobre trilhos retos e 
horizontais obedecendo à equação horária S = 20t - 5t2 (SI). 
Um fio ideal tem uma de suas extremidades presa ao teto 
do vagão e, na outra, existe uma esfera formando um pên-
dulo. As figuras que melhor representam as configurações 
do sistema vagão-pêndulo de velocidade e aceleração, nos 
instantes 1s, 2s e 3s, são respectivamente:
a) 
b) 
c) 
d) 
21 (ESCOLA NAVAL) Um carro de testes parte do re-
pouso com uma aceleração constante de 6,00 m/s2 em 
uma pista retilínea. 
Ao atingir a velocidade de 216km/h, é submetido a uma 
desaceleração constante até parar. Qual foi o módulo da 
desaceleração, em m/s2, considerando que a distância total 
percorrida pelo carro foi de 750 m?
a) 3, 50 
b) 4,00 
c) 4,50 
d) 5,00 
e) 5,50
22 (AFA) Uma bola abandonada de uma altura H, no 
vácuo, chega ao solo e atinge, agora, altura máxima h. 
A razão entre a velocidade que a bola chega ao solo e 
aquela com que ela deixa o solo é:
a) 
1/2
H
h
 
 
 
b) 
H
h
 
 
 
c) 
2
H
h
 
 
 
d) 
3/2
H
h
 
 
 
23 (AFA) De um helicóptero que sobe verticalmente é 
abandonado uma pedra, quando ele se encontra a 120m 
do solo. Sabendo que a pedra leva 3 s para atingir o solo 
e supondo g = 10 m/s², calcule a velocidade de subida 
do helicóptero no momento que a pedra é abandonada:
a) 15 m/s 
b) 20 m/s 
c) 25 m/s 
d) 30 m/s
24 (AFA) Um corpo é abandonado do repouso de uma 
altura h acima do solo. No mesmo instante, outro é lança-
do para cima, a partir do solo, segundo a mesma vertical 
com velocidade v. Sabendo que os corpos se encontram 
na metade da altura da descida do primeiro, pode-se 
afirmar que h vale:
a) 
v
g
 
b) 
1/2
v
g
 
 
 
 
c) 
2
v
g
 
 
 
 
d) 
2v
g
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
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163
25 (AMAN) Um corpo é largado de um ponto A, con-
forme a figura abaixo, em local onde g = 10m/s². Se o 
corpo leva 0,4 s para percorrer o trecho BC, a altura h vale:
a) 8,0 m 
b) 4,2 m 
c) 4,0 m 
d) 5,6 m 
e) 3,2 m
 NÍVEL 3
26 (ESCOLA NAVAL) Um foguete foi lançado da super-
fície da Terra com uma 2 velocidade , onde Ve é a 
velocidade de escape do 5 foguete. Sendo RT , o raio da 
Terra, qual a altitude máxima alcançada pelo foguete?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
27 (ITA-SP) Um corpo cai, em queda livre, de uma 
altura tal que durante o último segundo de queda ele 
percorre da altura total. 
Calcule o tempo de queda, supondo nula a velocidade 
inicial do corpo.
a) =
−
1t s
2 3
 
b) =
+
2t s
2 3
 
c) =
−
2t s
2 3
 
d) =
−
3t s
2 3
 
e) =
−
4t s
3 3
28 (ITA-SP) Dentro do elevador em queda livre num 
campo gravitacional g, uma bola é jogada para baixo com 
velocidade v de uma altura h. Assinale o tempo previsto 
para a bola atingir o piso do elevador.
a) =
vt
g
 
b) =
ht
v
 
c) =
2ht
g
d) + −
=
2v 2gh v
t
g
 
e) − −
=
2v 2gh v
t
g
29 (IME-RJ) Um trem I desloca-se em linha reta, com 
velocidade constante de 54 km/h, aproximando-se do 
ponto B, como mostra a figura. Determinar quanto tempo 
após a locomotiva do trem I atingir o ponto A deve o trem 
II partir do repouso em C, com aceleração constante de 
0,2 m/s², de forma que 10 segundos após terminar a sua 
passagem pelo ponto B o trem I inicie a passagem pelo 
mesmo ponto.
Dados:
I – Ambos os trens medem 100 metros de comprimento, 
incluindo as locomotivas que viajam na frente;
II – As distâncias ao ponto B são: AB =3000m e CB = 710m.
a) 120 s 
b) 110 s 
c) 100 s 
d) 90 s 
e) 80 s 
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
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164
30 (ITA-SP) De uma estação parte um trem A com 
velocidade constante vA = 80 km/h. Depois de certo tem-
po, parte dessa mesma estação um outro trem B, com 
velocidade constante vB = 100 km/h, no mesmo sentido 
de A e sobre os mesmos trilhos. Depois de um tempo de 
percurso, o maquinista de B verifica que o seu trem se 
encontra a 3 km de A; a partir desse instante ele aciona 
os freios indefinidamente, comunicando ao trem B uma 
aceleração a = -50 km/h². Nessas condições:
a) não houve encontro dos trens.
b) depois de duas horas o trem B para e a distância que o 
separa de A é de 64 km.
c) houve encontro dos trens depois de 12 min.
d) houve encontro dos trens depois de 36 min.
e) não houve encontro dos trens; continuam caminhando 
e a distância que os separa agora é de 2 km.
31 (ITA-SP) A partir do repouso, um foguete de brin-
quedo é lançado verticalmente do chão, mantendo uma 
aceleração constante de 5,00 m/s2 durante os 10,0 primei-
ros segundos. Desprezando a resistência do ar, a altura 
máxima atingida pelo foguete e o tempo total de sua 
permanência no ar são, respectivamente, de 
a) 375 m e 23,7 s 
b) 375 m e 30,0 s 
c) 375 m e 34,1 s
d) 500 m e 23,7 s 
e) 500 m e 34,1 s
32 (ITA-SP) A borda de um precipício de certo planeta, 
no qual se pode desprezar a resistência do ar, um astro-
nauta mede o tempo t1 que uma pedra leva para atingir 
o solo, após deixada cair de uma de H. A seguir, ele mede 
o tempo t2 que uma pedra também leva para atingir o 
solo, após ser lançada para cima até uma altura h, como 
mostra a figura. Assinalea expressão que dá a altura H. 
a) 
( )
=
−
2 2
1 2
22 2
2 1
t .t .hH
2. t t
 
b) 
( )
=
−
1 2
2 2
2 1
t .t .hH
4. t t
c) 
( )
=
−
2 2
1 2
22 2
2 1
2.t .t .hH
t t
d) 
( )
=
−
1 2
2 2
2 1
4.t .t .hH
t t
e) 
( )
=
−
2 2
1 2
22 2
2 1
4.t .t .hH
t t
33 (ITA-SP) A partir do repouso, uma pedra é deixada 
cair da borda no alto de um edifício. A figura mostra a 
disposição das janelas, com as pertinentes alturas h e 
distâncias L que se repetem igualmente para as demais 
janelas, até o térreo. Se a pedra percorre a altura h da 
primeira janela em t segundos, quanto tempo levará para 
percorrer, em segundas, a mesma altura h da quarta 
janela? 
(Despreze a resistência do ar)
a)  + −
 
+ − +  
L h L .t
2L 2h 2L h
b)  + − +
 
+ −  
2L 2h 2L h .t
L h L
c)  + − + +
 
+ −  
4.(L h) 3.(L h) L
.t
L h L
d)  + − + +
 
+ − +  
4.(L h) 3.(L h) L
.t
2L 2h 2L h
e)  + + + +
 
+ −  
4.(L h) 3.(L h) L
.t
L h L
GABARITO
01. B 02. C 03. C 04. E 05. A 06. D
07. C 08. B 09. C 10. C 11. D 12. B
13. A 14. E 15. D 16. E 17. D 18. A
19. C 20. A 21. B 22. A 23. C 24. B
25. E 26. E 27. C 28. B 29. C 30. C
31. A 32. E 33. C
CAPÍTULO 3 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 164Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 164 16/02/2022 17:46:2916/02/2022 17:46:29
165
LANÇAMENTO 
OBLÍQUO
 
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Quando um objeto (projétil) é lançado obliquamente em 
relação a horizontal sob um ângulo , ficam sujeitos a uma 
única aceleração que é a gravidade, quando desprezados 
os atritos. A trajetória feita por esse objeto é parabólica e 
composta por dois movimentos simultâneos e indepen-
dentes, sendo um vertical e o outro horizontal.
 
MOVIMENTO PARCIAL NA DIREÇÃO MOVIMENTO PARCIAL NA DIREÇÃO 
VERTICAL (EIXO Y)VERTICAL (EIXO Y)
Na vertical, a componente da velocidade fica sujeita a ação da 
aceleração gravitacional, logo em movimento retilíneo unifor-
memente variado, ou seja, em lançamento vertical para cima, 
com aceleração igual a aceleração da gravidade g .
As equações do movimento retilíneo uniformemente va-
riado, pode ser usada para a componente da velocidade 
em relação ao eixo y.
Equações:
Observações:
Na subida, o movimento é progressivo, pois o deslocamento 
ocorre no sentido crescente da trajetória, e retardado, pois 
o módulo da velocidade diminui.
Na decida, o movimento é retrógrado, pois o deslocamento 
ocorre no sentido decrescente da trajetória, e acelerado, 
pois o módulo da velocidade aumenta.
 
MOVIMENTO PARCIAL NA DIREÇÃO MOVIMENTO PARCIAL NA DIREÇÃO 
HORIZONTAL (EIXO X)HORIZONTAL (EIXO X)
Sendo o movimento apenas na horizontal, a projeção do 
vetor aceleração gravitacional na direção do eixo x é nula, 
ou seja, na direção horizontal a aceleração é nula, e nesse 
caso o movimento é retilíneo e uniforme, logo a velocidade 
no eixo é constante.
A equação da posição para MRU pode ser usada nesse caso.
Equação:
 
VELOCIDADE RESULTANTEVELOCIDADE RESULTANTE
Em cada instante da trajetória temos uma velocidade re-
sultante da composição dos movimentos verticais e hori-
zontais, esse vetor velocidade indica o movimento descrito 
pelo objeto na trajetória.
• = +
  
x yv v v velocidade resultante é a soma vetorial das 
componentes x e y.
• O módulo do vetor resultante em qualquer instante da 
trajetória é dado por = +2 2
x yv v v .
Analisando a velocidade inicial de lançamento e as com-
ponentes x e y temos:
Usando trigonometria no triângulo retângulo:
Podemos substituir os valores das velocidades nas equações 
parciais dos movimentos horizontais e verticais de acordo 
com a tabela abaixo:
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 165Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 165 16/02/2022 17:46:3316/02/2022 17:46:33
166
 
ALTURA MÁXIMAALTURA MÁXIMA
Como no movimento de subida temos um movimento 
retardado em relação ao eixo vertical, o objeto atinge a 
altura máxima quando vy = 0 , logo temos:
Da equação de Torricelli:
 
TEMPO DE PERCURSO OU TEMPO DE VOOTEMPO DE PERCURSO OU TEMPO DE VOO
Tomando a referência do ponto de partida e desprezando 
todos os atritos podemos admitir que o tempo de subida 
do objeto lançado é igual ao tempo de decida, logo no 
ponto de altura máxima é onde o objeto inverte de sentido. 
Como nesse ponto vy = 0 , podemos determinar o tempo 
de subida / decida do objeto.
Como tempo de percurso é igual ao tempo de subida so-
mado ao tempo de decida temos:
θ
= 02
total
v sen
t
g
 
ALCANCE HORIZONTALALCANCE HORIZONTAL
No mesmo intervalo de tempo que o objeto demora para 
subir e descer ele percorre uma distância horizontal (alcan-
ce) conhecido esse intervalo de tempo podemos calcular 
a distância.
Logo, conclui-se que:
Usando arco duplo do seno temos:
θ
=
2
0 2v sen
A
g
Observação 1:
Para que o alcance seja máximo devemos ter θ =2 1sen 
(máximo), logo temos que nesse caso θ = °45 .
Observação 2:
Se os objetos forem lançados sobre ângulos complemen-
tares temos que seus respectivos alcances horizontais são 
os mesmos. Como mostra a figura abaixo.
Aprofundamento. 
 
O LANÇAMENTO OBLÍQUO EM O LANÇAMENTO OBLÍQUO EM 
PLANO INCLINADOPLANO INCLINADO
Seja um projétil lançado de um plano inclinado de ângulo 
de inclinação α, sobre um ângulo β de lançamento.
A figura abaixo esboça a situação descrita no enunciado 
acima:
Para calcular o alcance do projétil no plano tomaremos os 
seguintes passos.
1° passo:
Rotaciona-se o plano inclinado de α, a fim de torná-lo um 
lançamento oblíquo em plano horizontal como visto an-
teriormente.
Ao rotacionar o plano, o vetor aceleração da gravidade 
também foi rotacionado do mesmo ângulo α. Logo haverá 
influência da gravidade no eixo horizontal e vertical como 
mostrado na figura acima. Decompondo a gravidade temos: 
= αxg gsen e = αcosyg g
Usando as equações do MRUV para os movimentos hori-
zontais e verticais:
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 166Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 166 16/02/2022 17:46:3716/02/2022 17:46:37
167
2° passo: 
Para ∆H = 0, o objeto está ou na posição de partida ou na 
posição de chegada, ou seja, terá efetuado o movimento 
parabólico percorrendo o alcance A.
3° passo: 
Substituindo o tempo t na equação do alcance temos:
Alcance de maneira geral.
 
LANÇAMENTO HORIZONTALLANÇAMENTO HORIZONTAL
Todo corpo lançado horizontalmente de uma altura H, 
próximo a superfície, desprezando os atritos, fica sujeito 
a ação da força gravitacional, realizando simultaneamente 
movimento horizontal (MRU) e um movimento vertical 
(MRUV), como já descrito antes.
A velocidade na vertical no início do lançamento é nula, ou 
seja, o objeto cai em queda livre. Daí podemos concluir que:
Movimento vertical 
Altura: =
2
2
gth 
Movimento horizontal
Alcance: = 0A v t
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (CEFET) Considere uma mesma bolinha lançada 
de cima de uma mesa com três diferentes velocidades, 
caracterizando os três deslocamentos possíveis mostra-
dos na figura. Desconsiderando qualquer tipo de atrito 
no sistema, assinale a alternativa que indica a relação 
entre os tempos de queda.
a) T1 > T2 > T3 
b) T1 T3
d) T1 > T2 = T3
e) T1 = T2 = T3
02 (UFJF) Um canhão encontra-se na borda de um 
penhasco diante do mar, conforme mostra a figura. Esse 
canhão está a 78,4 m acima do nível do mar, e ele dispara 
horizontalmente um projétil com velocidade inicial de 
15,0 m/s. Desprezando a resistência do ar e considerando 
a aceleração da gravidade com o 9,8 m/s2, em quanto 
tempo e a que distância da base do penhasco o projétil 
irá atingir o mar:
a) 15,0 s; 15,0 m 
b) 4,0 s; 96,7 m 
c) 4,0 s; 60,0 m
d) 240 s; 3600 m. 
e) 0,3 s; 4,0 m.
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 167Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 167 16/02/2022 17:46:3916/02/2022 17:46:39
168
03 (FUVEST) Um motociclistade Motocross move-se 
com velocidade v = 10m/s, sobre uma superfície plana, 
até atingir uma rampa (em A), inclinada de 450 com a 
horizontal, como indicado na figura. A trajetória do moto-
ciclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância 
horizontal D (D = H), do ponto A, aproximadamente igual a:
a) 20 m 
b) 15 m 
c) 10 m 
d) 7,5 m 
e) 5 m
04 (VUNESP) Considere dois atletas, A e B, em um 
jogo de futebol americano. 
O atleta A lança a bola com velocidade de módulo v0 = m/s 
em uma direção que forma um ângulo de 37º com a hori-
zontal, conforme indica a figura. No instante do lançamento 
(t = 0), o atleta B está 12 m à frente de A e correndo em 
trajetória retilínea com velocidade constante de módulo vb .
Dados: 
= =37 0,60 cos37 0,80o osen e
A bola vai ser apanhada pelo atleta B na mesma altura 
em que foi arremessada. Despreze o efeito do ar e adote 
g = 10 m/s2.
Considere as proposições a seguir.
(1) O tempo de voo da bola desde seu lançamento por A 
até ser apanhada por B foi de 1,2 s;
(2) O valor de vb é 11 m/s;
(3) A velocidade da bola, em relação ao atleta B, no instante 
em que ela chega a B, tem módulo igual a 13 m/s;
(4) A distância horizontal percorrida pela bola desde que 
foi lançada por A até ser apanhada por B foi de 12 m.
Estão CORRETAS apenas:
a) (1) e (3) 
b) (2) e (3) 
c) (1) e (4)
d) (2) e (4) 
e) (1) e (2)
05 (CESGRANRIO) Na superfície horizontal do pata-
mar superior de uma escada uma esfera de massa 10 g 
rola de um ponto A para um ponto B, projetando-se no 
ar a partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada 
degrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm. 
Qual a velocidade mínima que a esfera deve ter ao pas-
sar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau logo 
abaixo?
a) 0,6 
b) 0,8 
c) 1,0 
d) 1,2 
e) 1,5
06 (AFA) Um avião, sobrevoando em linha reta uma 
planície com velocidade de 720 km/h e a uma altura de 
2.000 metros, deixa cair um objeto. Desprezando-se a 
resistência do ar, a que distância, em metros, do ponto 
diretamente abaixo do avião, no momento da queda, o 
objeto atingirá o solo?
a) 200 
b) 720 
c) 2.000 
d) 4.000
07 (AFA) Um objeto é lançado obliquamente ao ar 
com ângulo de lançamento θ . Sabendo-se que o alcance 
máximo foi de 122,5 m, qual é a sua velocidade inicial de 
lançamento, em m/s?
Considere g = 10m/s2.
a) 10 
b) 12,5 
c) 35 
d) 49,5
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 168Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 168 16/02/2022 17:46:4016/02/2022 17:46:40
169
08 (ESPCEX) Uma esfera é lançada com velocidade 
horizontal constante de módulo v = 10 m/s da borda de 
uma mesa horizontal. Ela atinge o solo num ponto situado 
a 5 m do pé da mesa conforme o desenho abaixo. 
Desprezando a resistência do ar, o módulo da velocidade 
com que a esfera atinge o solo é de: 
Dado: Aceleração da gravidade: g = 10m/s2
a) 4 
b) 5 
c) 5 2 
d) 6 2 
e) 5 5
09 (EEAR) Um lançador de projéteis dispara estes com 
uma velocidade inicial de 750 km/h, verticalmente para 
cima, atingindo uma altura máxima H. Se inclinarmos 
o lançador 30° em relação à vertical, qual deverá ser a 
velocidade inicial dos projéteis, em km/h, para atingir a 
mesma altura H?
a) 750 3 
b) 500 3 
c) 325 3 
d) 350 3 
10 (EEAR) Na tentativa de defender os comboios de 
abastecimento foram enviados dois encouraçados ingle-
ses para combater o encouraçado Bismarck da Marinha 
alemã. Após vários disparos, um dos navios ingleses foi 
atingido por um projétil que atravessou sua parte supe-
rior e atingiu o depósito de munições, acarretando uma 
enorme explosão e seu afundamento. Para realizar esse 
disparo no alcance máximo, desprezando a resistência 
do ar, os artilheiros do Bismarck disparam o projétil:
a) obliquamente a 45° em relação ao nível do mar.
b) obliquamente a 60° em relação ao nível do mar.
c) horizontalmente.
d) verticalmente.
11 (ESPCEX) Um projétil é lançado obliquamente, a 
partir de um solo plano e horizontal, com uma velocidade 
que forma com a horizontal um ângulo α e atinge a altura 
máxima de 8,45 m. Sabendo que, no ponto mais alto da 
trajetória, a velocidade escalar do projétil é 9,0 m/s, po-
de-se afirmar que o alcance horizontal do lançamento é:
Dados: intensidade da aceleração da gravidade g = 10 m/s2; 
despreze a resistência do ar.
a) 11,7 
b) 17,5 
c) 19,4 
d) 23,4 
e) 30,4
 NÍVEL 2
12 (EEAR) Um jogador de basquete lança manual-
mente de uma altura “h” uma bola com velocidade de 
módulo igual a v0 e com ângulo em relação à horizontal 
igual a θ , conforme o desenho. No mesmo instante, o 
jogador sai do repouso e inicia um movimento horizontal, 
retilíneo e uniformemente variado até a posição final xf 
, conforme o desenho.
Considere que, durante todo o deslocamento, a bola não 
sofre nenhum tipo de atrito e que nesse local atua uma 
gravidade de módulo igual a “g”. A aceleração horizontal 
necessária que o jogador deve ter para alcançar a bola 
quando, a mesma, retorna à altura de lançamento “h” com 
a qual iniciou, é corretamente expressa por:
a) 
2
02
F
v
x 
b) 
θ02 cos
F
v
x
c) θ2 2
0 cos
F
v
x
d) θ2 2
02 cos
F
v
x
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 169Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 169 16/02/2022 17:46:4216/02/2022 17:46:42
170
13 (ESPCEX) Um lançador de granadas deve ser posi-
cionado a uma distância D da linha vertical que passa por 
um ponto A. Este ponto está localizado em uma montanha 
a 300 m de altura em relação à extremidade de saída da 
granada, conforme o desenho abaixo.
A velocidade da granada, ao sair do lançador, é de 100 m/s 
e forma um ângulo α com a horizontal; a aceleração da gra-
vidade é igual a 10 m/s2 e todos os atritos são desprezíveis. 
Para que a granada atinja o ponto A, somente após a sua 
passagem pelo ponto de maior altura possível de ser atingido 
por ela, a distância D deve ser, em m, de:
Dados: α = 0,8sen e α =cos 0,6
a) 240 
b) 360 
c) 480 
d) 600 
e) 960
14 (AFA) Uma bola de basquete descreve a trajetória 
mostrada na figura após ser arremessada por um jovem 
atleta que tenta bater um recorde de arremesso. A bola 
é lançada com uma velocidade de 10 m/s e, ao cair na 
cesta, sua componente horizontal vale 6,0 m/s. Despreze 
a resistência do ar e considere g = 10m/s². Pode-se afirmar 
que a altura (h) atingida pela bola desde o lançamento 
até cair na cesta, em metros, vale:
a) 3,0 
b) 3,6 
c) 4,8 
d) 6,0
15 (AFA) Duas esferinhas A e B, de massas 2m e m, 
respectivamente, são lançadas com a mesma energia 
cinética do ponto P e seguem as trajetórias indicadas 
na figura a seguir.
Sendo a aceleração da gravidade local constante e a resis-
tência do ar desprezível, é correto afirmar que a razão  
 
 
A
B
v
v 
entre as velocidades das esferinhas A e B imediatamente 
antes de atingir o solo é:
a) igual a 1. 
b) maior que 1. 
c) maior que 2. 
d) menor que 1.
16 (AFA) Dois projéteis A e B são lançados obliquamen-
te em relação à horizontal. Sabendo que ambos perma-
necem no ar durante o mesmo intervalo e tempo e que 
o alcance de B é maior que o alcance de A, afirma-se que: 
I - Ambos atingem a mesma altura máxima.
II - A velocidade inicial de B é maior que a de A. 
III - A maior altura é atingida por A que foi lançado com
maior velocidade.
É(são) verdadeira(s) apenas:
a) II 
b) I e II 
c) III 
d) I
17 (AFA) A figura abaixo representa as trajetórias de 
dois projéteis A e B lançados no mesmo instante num local 
onde o campo gravitacional é constante e a resistência 
do ar é desprezível.
Ao passar pelo ponto P, ponto comumde suas trajetórias, 
os projéteis possuíam a mesma...
a) velocidade tangencial. 
b) aceleração centrípeta. 
c) velocidade horizontal. 
d) aceleração resultante.
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 170Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 170 16/02/2022 17:46:4416/02/2022 17:46:44
171
18 (EFOMM) Uma bola é lançada obliquamente e, 
quando atinge a altura de 10 m do solo, seu vetor velo-
cidade faz um ângulo de 60° com a horizontal e possui 
uma componente vertical de módulo 5,0 m/s.
Desprezando a resistência do ar, a altura máxima alcançada 
pela bola, e o raio de curvatura nesse mesmo ponto (ponto 
B), em metros, são, respectivamente:
a) 45
4
 e 5
6
 
b) 45
4
 e 5
3
 
c) 50
4
 e 5
6
 
d) 50
4
 e 5
3
 
e) 15 e 5
3
 
19 (AFA) Um avião, em voo horizontal a 500m de 
altura, deve lançar uma bomba sobre um alvo móvel. 
A velocidade do avião é de 360 km/h e a do alvo é de 
72 km/h, ambas constantes e de mesmo sentido. Se o 
projétil é lançado com velocidade horizontal constante 
em relação ao avião de 432 km/h, para que o alvo seja 
atingido, a distância d entre o alvo e o avião, no instante 
de lançamento, é:
a) 1500 m 
b) 2000 m 
c) 2500 m 
d) 3000 m 
20 (AFA) Um audacioso motociclista deseja saltar de 
uma rampa de 4 m de altura e inclinação 30° e passar 
sobre um muro (altura igual a 34 m) que está localizado 
a 50 3 m do final da rampa. Para conseguir o desejado, 
a velocidade mínima da moto no final da rampa deverá 
ser igual a:
a) 144 km/h 
b) 72 km/h 
c) 180 km/h 
d) 50 km/h
21 (ESCOLA NAVAL) Um projétil é lançado contra um 
anteparo vertical situado a 20 m do ponto de lançamen-
to. Despreze a resistência do ar. Se esse lançamento é 
feito com uma velocidade inicial de 20 m/s em uma dire-
ção que faz um ângulo de 60° com a horizontal, a altura 
aproximada do ponto no qual o projétil se choca com o 
anteparo, em metros, é:
a) 7 
b) 11 
c) 14 
d) 19 
e) 23
 NÍVEL 3
22 (ESCOLA NAVAL) Conforme mostra a figura abaixo, 
em um jogo de futebol, no instante em que o jogador 
situado no ponto A faz um lançamento, o jogador situado 
no ponto B, que inicialmente estava parado, começa a 
correr com aceleração constante igual a 3,00 m/s2, des-
locando-se até o ponto C. 
Esse jogador chega em C no instante em que a bola toca o 
chão no ponto D. Todo o movimento se processa em um 
plano vertical, e a distância inicial entre A e B vale 25,0 m. 
Sabendo-se que a velocidade inicial da bola tem módulo 
igual a 20,0 m/s, e faz um ângulo de 45° com a horizontal, 
o valor da distância, d, entre os pontos C e D, em metros, é:
a) 1,00 
b) 3,00 
c) 5,00 
d) 12,0 
e) 15,0
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 171Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 171 16/02/2022 17:46:4516/02/2022 17:46:45
172
23 (ITA-SP) Durante as Olimpíadas de 1968, na cidade 
do México, Bob Beamow bateu o recorde de salto em dis-
tância, cobrindo 8,9 m de extensão. Suponha que, durante 
o salto, o centro de gravidade do atleta teve sua altura 
variando de 1,0 m no início, chegando ao máximo de 2,0m 
e terminando a 0,20 m no fim do salto. Desprezando o 
atrito com o ar e adotando g = 10 m/s2, pode-se afirmar 
que o valor da componente horizontal da velocidade inicial 
do salto foi de:
a) 8,5 m/s 
b) 7,5 m/s 
c) 6,5 m/s 
d) 5,2 m/s 
e) 4,5 m/s
24 (ESPCEX) Em uma escada, uma esfera é lançada 
com velocidade horizontal, de módulo v0 , da extremidade 
do primeiro degrau de altura h em relação ao segundo 
degrau. A esfera atinge um ponto X na superfície perfeita-
mente lisa do segundo degrau, que tem um comprimento 
D, e, imediatamente, começa a deslizar sem rolar, tam-
bém com velocidade horizontal v0 constante, até chegar 
na extremidade do segundo degrau. Ela, então, percorre 
uma altura 2h na vertical e atinge o solo a uma distância 
L da base do segundo degrau, conforme representado 
no desenho abaixo. 
Podemos afirmar que o intervalo de tempo que a esfera 
leva, deslizando sem rolar, na superfície lisa do segundo 
degrau é de:
Dados: despreze a força de resistência do ar e considere o 
módulo da aceleração da gravidade igual a g.
a) ( ) + − 0
0
6g D L v h
v g
 
b) ( ) + + 0
0
6g D L v h
v g
c) 
 + + − 0
0
( ) ( 2 2)g D L v h
v g
d)  + − + 0
0
( ) ( 2 2)g D L v h
v g
e)  − − + 0
0
( 2 2) ( )v h g D L
v g
25 (Olímp. Brasileira de Física) Uma bola é solta a 
partir do repouso, sempre da mesma posição no plano 
inclinado mostrado na figura abaixo. A bola rola sobre o 
plano e sobre a mesa, caindo livremente e um estudan-
te, com uma cesta, recolhe sem deixar cair no chão. Em 
determinado instante, ele posiciona a cesta como indica 
o desenho, e a bola cai exatamente em seu interior. Com 
esse resultado ele garante que, se colocasse a cesta a 
uma distância horizontal 2d da mesa, seria necessário 
que ela ficasse abaixo do tampo da mesa de:
a) y
2
 
b) 2y 
c) 3y 
d) 4y 
e) 5y
26 (IME-RJ) 
Um míssil viajando paralelamente à superfície da Terra com 
uma velocidade de 180 m/s, passa sobre um canhão à altura 
de 4800 m no exato momento em que seu combustível 
acaba. Nesse instante, o canhão dispara a 45º e atinge o 
míssil. O canhão está no topo de uma colina de 300 m de 
altura. Determine a altura da posição de encontro do míssil 
com a bala do canhão, em relação ao solo.
a) 1375 m 
b) 1425 m 
c) 1525 m
d) 1675 m 
e) 1735 m
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
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173
27 (ITA-SP) Um projétil é lançado de um ponto que 
pertence a um plano inclinado de 37° em relação à hori-
zontal, sendo que o lançamento é feito segundo um ângulo 
de 23° em relação à horizontal. Se a velocidade inicial do 
projétil é 8 3
3
 m/s, determine o tempo necessário para 
o projétil atingir o plano.
a) 1 s 
b) 2 s 
c) 3 s 
d) 4 s 
e) 5 s 
28 (ITA-SP) Um lançamento oblíquo é feito diretamen-
te para cima em um plano inclinado, de modo a atingir 
o máximo alcance sobre o plano. Determine, em função 
da velocidade inicial v0 e da aceleração da gravidade g, o 
alcance máximo Am ao longo do plano inclinado.
a) =
2
0
m
v
A
g
 
b) =
2
02
m
v
A
g
 
c) =
2
02
3m
v
A
g
 
d) =
2
0
3m
v
A
g 
e) =
2
0
2m
v
A
g
GABARITO
01. E 02. C 03. A 04. B 05. E 06. D
07. C 08. E 09. B 10. A 11. D 12. D
13. D 14. D 15. D 16. C 17. C 18. A
19. B 20. C 21. C 22. B 23. A 24. D
25. D 26. D 27. A 28. C
CAPÍTULO 4 
Lançamento Oblíquo
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177
TERMOLOGIA
 
TERMOMETRIA E ESCALAS TERMOMETRIA E ESCALAS 
TERMOMÉTRICASTERMOMÉTRICAS
Introdução.
De acordo com as primeiras ideias sobre o calor, inicial-
mente o ser humano contentou-se em apenas usar o ca-
lor, para seu aquecimento, para cozinhar e para produzir 
alguns materiais, como cerâmica, o vidro e o bronze. Mas 
a partir do surgimento do pensamento racional, com os 
gregos da era clássica (século VI A.C) as pessoas passarama se questionar:
O que é calor?
O que muda dentro de um corpo quando ele esquenta 
ou esfria?
Ao longo do tempo surgiram principalmente duas teorias 
sobre calor, descritas abaixo.
 
TEORIA DO CALOR COMO UMTEORIA DO CALOR COMO UM
FLUÍDO (TEORIA DO CALÓRICO)FLUÍDO (TEORIA DO CALÓRICO)
Para alguns pensadores, o calor seria um fluido invisível e 
muito leve, o que mais tarde foi chamado de calórico por 
Lavoisier (1743 – 1794). Segundo essa teoria, um corpo 
esquentaria ao receber calórico e esfriaria ao perder caló-
rico. Entre os adeptos da teoria do calórico podemos citar 
Galileu Galilei.
 
TEORIA DO CALOR COMO RESULTADOTEORIA DO CALOR COMO RESULTADO
DO MOVIMENTO (TEORIA CINÉTICA)DO MOVIMENTO (TEORIA CINÉTICA)
Para outros pensadores, o calor seria resultado do movi-
mento vibratório das partículas de um corpo. Um corpo 
esquentaria em consequência do aumento das vibrações de 
suas partículas, e esfriaria, em decorrência da diminuição 
das vibrações. Entre os adeptos da teoria cinética podemos 
citar Kepler (1571 – 1630) e Bernouilli (1753 – 1814).
Deficiências das duas teorias:
Teoria do 
calórico
 Teoria cinética
Transmissão de calor 
pelo contato explicava explicava
Transmissão de calor 
por irradiação explicava Não explicava
Transmissão de calor 
por atrito Não explicava explicava
 
DEFINIÇÃO DE TEMPERATURADEFINIÇÃO DE TEMPERATURA
É uma grandeza física que, associada a um sistema, carac-
teriza seu estado térmico. 
Como uma ideia inicial, podemos dizer que a temperatura é 
um valor numérico associado a um determinado estado de 
agitação ou de movimentação de partículas de um corpo, 
umas em relação às outras.
 
EQUILÍBRIO TÉRMICOEQUILÍBRIO TÉRMICO
Dois ou mais sistemas físicos estão em equilíbrio térmico 
entre si quando suas temperaturas são iguais.
 
A MEDIÇÃO DE TEMPERATURAA MEDIÇÃO DE TEMPERATURA
A medição da temperatura deve ser feita por um processo 
indireto, usando-se um segundo corpo que sofra alterações 
mensuráveis em suas propriedades físicas quando em equi-
líbrio térmico com o primeiro. A esse corpo chamamos de 
termômetro. Para sua construção devemos observar que:
Substância termométrica: É aquela em que pelo menos 
uma de suas propriedades físicas (comprimento, volume, 
pressão, resistência elétrica, o brilho e a cor, entre outras) 
varia de forma mensurável com a temperatura.
Grandeza termométrica: É a propriedade física da subs-
tância termométrica que varia de forma mensurável com 
a temperatura e que é usada para medi-la. Num termô-
metro, a grandeza termométrica varia praticamente de 
modo uniforme com a temperatura, ou seja, podemos, 
com boa aproximação, afirmar que a relação matemática 
de correspondência entre a grandeza termométrica (G) e 
a temperatura (θ) é uma função de 1° grau.
Em que A e B são constantes características do termôme-
tro, com A ≠ 0.
 
LEI ZERO DA TERMODINÂMICALEI ZERO DA TERMODINÂMICA
“Consideremos dois objetos A e B. Se um objeto C está em 
equilíbrio térmico com A e, também em equilíbrio térmico 
com B, então A e B estão em equilíbrio térmico.” 
É essa lei que garante a possibilidade de usarmos um ter-
mômetro T para decidir se dois corpos separados A e B 
estão em equilíbrio térmico; basta verificarmos se os dois 
têm a mesma temperatura.
CAPÍTULO 1 
Termologia
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178
 
ESCALAS TERMOMÉTRICASESCALAS TERMOMÉTRICAS
Escala termométrica é um conjunto de valores numéricos 
em que cada valor está associado a uma certa temperatura. 
Os valores numéricos de uma escala termométrica são 
obtidos a partir de dois valores atribuídos previamente a 
dois estados térmicos de referência, bem definidos, deno-
minados pontos fixos inferior e superior.
Pontos fixos fundamentais:
1°) Ponto de gelo – temperatura na qual o gelo e a água 
permanecem em equilíbrio térmico, quando sob pressão 
normal.
2°) Ponto de vapor – temperatura na qual a água entra em 
ebulição, sob pressão normal.
Em 1939, Francis Giauque passou a defender a proposta de 
Lord Kelvin, que pretendia que as escalas termométricas 
usassem apenas um ponto fixo, o ponto tríplice da água, 
temperatura em que a água se apresenta, em equilíbrio 
térmico, nos três estados físicos: sólido, líquido e vapor. Isso 
ocorre à temperatura de 0,01°C ou 273,16 K, por definição, 
e à pressão de 610 Pa (4,58 mmHg). Essa tese foi aprovada 
em 1954 pelos representantes da comunidade cientifica. 
No entanto, por ser mais prático, continuamos usando o 
ponto de gelo e o ponto de vapor como referência nas 
escalas termométricas.
 
ESCALAS CELSIUS E FAHRENHEITESCALAS CELSIUS E FAHRENHEIT
Na escala Celsius temos 100 divisões iguais entre os pon-
tos fixos (0°C e 100°C), cada divisão correspondendo a 
unidade da escala, que recebe o nome de grau Celsius, 
simbolizado por °C.
Na escala Fahrenheit temos 180 divisões iguais entre os 
pontos fixos (32°F e 212°F), sendo que a unidade da escala 
é denominada grau Fahrenheit, simbolizada por °F.
Conversão entre a escala Celsius e Fahrenheit:
Onde θC e θF , são as temperaturas nas escalas Celsius e 
Fahrenheit, respectivamente.
 
O ZERO ABSOLUTOO ZERO ABSOLUTO
“Zero absoluto é o limite inferior da temperatura de um 
sistema. É a temperatura correspondente ao menor estado 
de agitação das partículas, isto é, um estado de agitação 
praticamente nulo.”
No zero absoluto, ainda existe nas partículas do sistema 
uma quantidade finita, não nula, de energia cinética. Essa 
energia é denominada energia do ponto zero.
 
A ESCALA KELVINA ESCALA KELVIN
A escala Kelvin, também denominada escala absoluta , tem 
sua origem no zero absoluto e utiliza o grau Celsius como 
unidade de variação. O símbolo da unidade escala Kelvin 
é (K) e é a escala do (SI).
Conversão entre a escala Celsius e Kelvin.
Onde θC e θK são as temperaturas nas escalas Celsius e 
Kelvin, respectivamente.
 
ESCALAS RELATIVAS E ABSOLUTASESCALAS RELATIVAS E ABSOLUTAS
Escalas como a Fahrenheit e a Celsius permitem comparar 
os graus de aquecimento, isto é, as temperaturas de dois 
ou mais corpos. No entanto, o valor da temperatura, em 
qualquer uma dessas escalas, não tem um significado 
mais profundo.
Na escala Kelvin, a temperatura está associada ao movi-
mento das moléculas, e como iremos ver mais tarde, está 
diretamente relacionada à energia cinética média de trans-
lação das moléculas do corpo cuja temperatura medimos.
Diz-se, então, que escalas como a Celsius e a Fahrenheit 
são escalas relativas, enquanto a escala Kelvin é uma escala 
absoluta; porém, qualquer escala cujo zero seja o zero 
absoluto é uma escala absoluta.
CAPÍTULO 1 
Termologia
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179
 
VARIAÇÃO DE TEMPERATURAVARIAÇÃO DE TEMPERATURA
Já vimos como relacionar as leituras em duas escalas. Po-
rém, em muitos casos é interessante relacionar intervalos 
de leituras, como nos estudos de dilatação térmica, onde é 
necessário conhecer a variação de temperatura do sistema.
A ideia de proporcionalidade entre os intervalos continua 
sendo usada, mas a variação de temperatura considerada 
já é um dos intervalos a serem usados.
 Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (AFA) O princípio fundamental em que se baseia 
o termômetro é a(o): 
a) lei zero da termodinâmica.
b) primeira lei da termodinâmica.
c) segunda lei da termodinâmica.
d) das trocas de calor sensível e latente.
02 (ESCOLA NAVAL) Se dois corpos estão em equilíbrio 
térmico entre si, podemos afirmar que:
a) estão sob a mesma pressão.
b) atingiram o mesmo volume.
c) têm o mesmo calor específico. 
d) têm a mesma capacidade térmica.
e) têm a mesma temperatura.
03 (EFOMM) Na caldeira da praça de máquinas de um 
navio, encontra-se instalado um termômetro graduado 
na escala Celsius. O oficial de máquinas observou que, 
no intervalo de tempo de 5 minutos, houve uma variação 
de 100°C na leitura da temperaturada caldeira. 
Se nessa mesma caldeira, em vez de um termômetro gra-
duado na escala Celsius, estivesse instalado um termôme-
tro na escala Kelvin, a variação da temperatura ocorrida 
seria de:
a) 410 K 
b) 373 K 
c) 273 
d) 120 K 
e) 100 K 
04 (EEAR) Um técnico de laboratório está traduzindo 
um procedimento experimental. No original em inglês, 
está escrito que uma determinada substância possui 
o ponto de ebulição a 172,4°F. Este valor corresponde, 
em °C a:
a) 15,6 
b) 28,1 
c) 78,0 
d) 140,4
05 (EEAR) Uma escala W foi criada atribuindo-se os 
valores - 20°W e 30°W aos pontos de gelo e de vapor, 
respectivamente. Portando, 50°C correspondem em °W a:
a) 50 
b) 45 
c) 15 
d) 5 
06 (EEAR) Entre as escalas Kelvin (K) e Celsius (°C) 
existe correlação de forma que um dado intervalo de 
temperatura (∆) pode ser relacionado da seguinte forma.
a) 1∆K = 1∆°C 
b) 1∆K = 273∆°C 
c) 1∆°C = 273∆K 
d) 1∆°C = 100∆K
07 (EEAR) A coluna de mercúrio de um termômetro 
apresenta 3,5 mm quando este é colocado no gelo em 
fusão, e 53,5 mm quando é colocado em vapores d’água 
em ebulição sob pressão normal. A temperatura corres-
pondente a uma coluna de 18,5 mm, é:
a) 30°C 
b) 30°F 
c) 68°F 
d) 86°C
CAPÍTULO 1 
Termologia
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180
08 (EEAR) Um médico observa que a temperatura de 
um certo paciente variou num período de 5°C. Qual a 
variação correspondente na escala Fahrenheit?
a) 4 
b) 9 
c) 32 
d) 41
09 (EEAR) Considere o seguinte enunciado: 
Se um corpo (1) está em equilíbrio térmico com um corpo 
(2) e este está em equilíbrio térmico com um corpo (3), 
então, pode-se concluir corretamente que o corpo (1) está 
em equilíbrio térmico com o corpo (3). 
Esse enunciado refere-se:
a) ao ponto triplo da água.
b) a Lei zero da termodinâmica.
c) às transformações de um gás ideal.
d) à escala termodinâmica da temperatura.
10 (EEAR) Um engenheiro eletrônico foi entregue na 
sala de Física da Escola de Especialistas de Aeronáutica, 
porém, na etiqueta da caixa, estava escrito que o equi-
pamento deveria funcionar sob uma temperatura de 
288 K. Logo, os professores providenciaram um sistema 
de refrigeração, que deveria ser ajustado em valores na 
escala Celsius. Portanto, a temperatura correta em que 
o sistema deve ser ajustado, em °C, é de:
a) 15,0 
b) 32,8 
c) 42,8 
d) 59,0
 NÍVEL 2
11 (EEAR) Um termômetro de mercúrio está calibrado 
de modo que os pontos de fusão e ebulição da água cor-
respondem, respectivamente, a 2 cm e 4 cm de altura da 
coluna. Assim, a função termométrica desse termômetro, 
usando (t) para temperatura e (h) para altura, na escala 
Fahrenheit, é:
a) t = 50h - 100 
b) t = 50h + 173 
c) t = 50h + 148 
d) t = 90h - 148
12 (AFA) Qual a temperatura, em graus Kelvin, cujo 
valor numérico na escala Celsius é o dobro daquele re-
gistrado na escala Fahrenheit?
a) - 24,6 
b) - 40 
c) 233 
d) 248,4
13 (ITA-SP) O verão de 1994 foi particularmente quen-
te nos Estados Unidos da América. A diferença entre a 
máxima temperatura do verão e a mínima do inverno 
anterior foi 60°C. Qual o valor desta diferença na escala 
Fahrenheit?
a) 108°F 
b) 60°F 
c) 140°F 
d) 33°F 
e) 92°F
14 (AFA) Uma escala termométrica, que mede a tem-
peratura em graus L, indica 30°L e 50°L, respectivamente, 
para as temperaturas de 10°C e 90°C. Determine quantos 
graus L a escala indica para o ponto de vapor da água. 
a) 52,5 
b) 75,0 
c) 100,0 
d) 105,0
15 (AFA) Certa escala termométrica adota os valores 
-30°G e 370°G , respectivamente, para os pontos de fusão 
do gelo e ebulição da água, sob pressão de 1 atm. A fór-
mula de conversão entre essa escala e a escala Celsius é:
a) tG = tC - 30
b) tG = tC + 370 
c) tG = 4tC - 30 
d) tG = 3,4tC + 30
16 (AFA) Um termômetro mal graduado assinala, 
nos pontos fixos usuais, respectivamente, - 1°C e 101°C. 
A temperatura na qual o termômetro não precisa de 
correção é:
a) 49 
b) 50 
c) 51 
d) 52
CAPÍTULO 1 
Termologia
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181
17 (PUC-SP) Dois termômetros, um Celsius correto 
e um Fahrenheit incorreto, são colocados dentro de um 
mesmo líquido. Se o termômetro Celsius acusar 40°C 
e o Fahrenheit 109,2°F, o erro percentual cometido na 
medida pelo Fahrenheit é de:
a) 5,0% 
b) 5,2% 
c) 8,4% 
d) 7,2% 
e) 10,4%
18 (UEL-PR) Uma escala de temperatura arbitrária X 
está relacionada com a escala Celsius, conforme o gráfico 
a seguir:
As temperaturas de fusão do gelo e ebulição da água, sob 
pressão normal, na escala X são, respectivamente:
a) - 60 e 250 
b) - 100 e 200 
c) - 150 e 350 
d) - 160 e 400 
e) - 200 e 300
19 (ESCOLA NAVAL) Gradua-se um termômetro to-
mando-se para pontos fixos o de ebulição do álcool 80°C 
e o de ebulição da água. No ponto de ebulição do álcool 
marca-se 0 grau, e no da água marca-se 100 graus. A 
temperatura na escala Celsius que corresponde a 70° 
dessa nova escala é:
a) 92 
b) 94 
c) 96 
d) 98 
e) 135
20 (ITA-SP) Para medir a febre de pacientes, um es-
tudante de medicina criou sua própria escala linear de 
temperaturas. Nessa nova escala, os valores de 0(zero) e 
10(dez) correspondem, respectivamente, a 37°C e 40°C. 
A temperatura de mesmo valor numérico em ambas as 
escalas é aproximadamente:
a) 52,9°C 
b) 28,5°C 
c) 74,3°C 
d) - 8,5°C 
e) - 28,5°C
 NÍVEL 3
21 (AFA) Mergulham-se dois termômetros na água: 
um graduado na escala Celsius e outro na Fahrenheit. 
Depois do equilíbrio térmico, nota-se que a diferença 
entre as leituras nos dois termômetros é 172. Então, 
a temperatura da água em graus Celsius e Fahrenheit, 
respectivamente:
a) 32 e 204 
b) 32 e 236 
c) 175 e 347 
d) 175 e 257
22 (AFA) Um médico durante uma consulta percebe 
que seu termômetro está com a escala apagada, então 
pede a sua secretária que enquanto ele examina seu 
paciente, coloque o termômetro em contato com o gelo 
fundente e logo depois com o vapor d’água à pressão 
normal. Para cada medida, a secretária anota a altura 
atingida pela coluna de mercúrio como sendo 10 cm e 
30 cm, respectivamente. Nesse meio tempo, o médico 
acha um outro termômetro e mede a temperatura do 
paciente: 36°C. 
A secretária conseguiu calibrar corretamente o termômetro 
de escala apagada e verificou que a altura atingida pela 
coluna de mercúrio ao medir a temperatura do paciente 
era, em cm:
a) 6,7 
b) 17,2 
c) 18,0 
d) 20,7
CAPÍTULO 1 
Termologia
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182
23 (AFA) Um termômetro de escala Celsius, inexato, 
porém com seção interna uniforme, marca temperatura 
de 2°C e 60°C quando outro termômetro, exato, acusa 
1°C e 80°C, respectivamente. 
Sabendo-se, porém, que, em determinada situação, am-
bos marcarão a mesma temperatura, conclui-se que essa 
temperatura em (°C), será:
a) 1,50 
b) 4,76 
c) 30,0 
d) 40,0
24 (AFA) Na figura abaixo, apresentamos três escalastermométricas: Celsius, Fahrenheit e uma desconhecida X. 
Os valores inferiores e superiores indicados representam, 
respectivamente, as temperaturas de fusão e de ebulição 
da água. Quando a escala X indicar 110, as leituras, nas 
escalas Fahrenheit e Celsius, serão, respectivamente:
a) 106 e 50 
b) 106 e 90 
c) 122 e 50 
d) 122 e 90
25 (EEAR) A razão das variações entre os pontos de 
gelo e vapor na escala centígrado e em uma escala R 
é 2 para 7. Sabendo que o ponto de vapor na escala R 
vale 400°R, podemos afirmar que o ponto de gelo nesta 
escala, em °R, vale:
a) 50 
b) 100 
c) 350 
d) 400
26 (EEAR) A coluna de mercúrio de um termômetro 
apresenta uma altura de , quando a 0°C, e , quando 
a 100°C, sob pressão normal. A temperatura correspon-
dente à altura h da coluna vale, em °C.
a) 16 
b) 18 
c) 22 
d) 33
27 (AFA) O gráfico abaixo apresenta a relação entre 
a temperatura medida numa escala arbitrária E e a tem-
peratura na escala Celsius.
A equação que representa corretamente a relação entre 
Y e X é:
a) 
b) 
c) 
d) 
28 (ESPCEX) Comparando-se a escala Z com a esca-
la C (Celsius) de dois termômetros, obteve-se o gráfico 
abaixo, que mostra a correspondência entre essas duas 
escalas. Quando o termômetro graduado em grau (°C) 
estiver registrando 90, o termômetro graduado em (°Z) 
estará registrando:
a) 100 
b) 120 
c) 150 
d) 170 
e) 200
29 (AFA) Um paciente, após ser medicado às 10 h, 
apresentou o seguinte quadro de temperatura:
A temperatura desse paciente às 11 h e 30 min, em °F, é:
a) 104,0 
b) 54,0 
c) 98,6 
d) 42,8
CAPÍTULO 1 
Termologia
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183
30 (HOMEWORK) No dia 1°, à 0h de determinado mês, 
uma criança deu entrada num hospital com suspeita de 
meningite. Sua temperatura estava normal (36,5°C). A 
partir do dia 1°, a temperatura dessa criança foi plotada 
num gráfico através de um aparelho registrador contí-
nuo. Esses dados caíram nas mãos de um estudante de 
Física, que verificou a relação existente entre a variação 
de temperatura , em graus Celsius, e o dia (t) do mês. 
O estudante encontrou a seguinte equação 
∆θ = - 0,20t2 + 2,4t - 2,2. 
A partir dessa equação, analise as afirmações dadas a 
seguir e assinale a correta:
a) a maior temperatura que essa criança atingiu foi 40,5°C.
b) a maior temperatura dessa criança foi atingida no dia 6.
c) sua temperatura voltou ao valor 36,5°C no dia 12.
d) entre os dias 3 e 8 sua temperatura sempre aumentou.
e) se temperaturas acima de 43°C causam transformações 
bioquímicas irreversíveis, então essa criança ficou com 
problemas cerebrais.
31 (AFA) Um cilindro de volume constante contém 
determinado gás ideal à temperatura T0 e pressão p0. 
Mantém-se constante a temperatura do cilindro e intro-
duz-se, lentamente, a partir do instante t = 0 , certa massa 
do mesmo gás. O gráfico abaixo representa a massa m de 
gás existente no interior do cilindro em função do tempo t.
Nessas condições, a pressão do gás existente no recipiente, 
para o instante t = a, é igual a:
a) 1,5 ⋅ p0 
b) 2,0 ⋅ p0 
c) 2,5 ⋅ p0
d) 4,0 ⋅ p0
32 (CESGRANRIO) Com o objetivo de recalibrar um 
velho termômetro com escala totalmente apagada, um 
estudante o coloca em equilíbrio térmico, primeiro com 
gelo fundente e, depois, com água em ebulição sob pres-
são atmosférica normal. Em cada caso, ele anota a altu-
ra atingida pela coluna de mercúrio: 10,0 cm e 30,0cm, 
respectivamente, medida sempre a partir do centro do 
bulbo. A seguir, ele espera que o termômetro entre em 
equilíbrio térmico com o laboratório e verifica que, nesta 
situação, a altura da coluna de mercúrio é de 18,0 cm. 
Qual a temperatura do laboratório na escala Celsius 
desse termômetro?
a) 20°C 
b) 30°C 
c) 40°C 
d) 50°C 
e) 60°C
GABARITO
01. A 02. E 03. E 04. C 05. D 06. A
07. A 08. B 09. B 10. A 11. D 12. D
13. A 14. A 15. C 16. B 17. A 18. C
19. B 20. A 21. C 22. B 23. B 24. C
25. A 26. A 27. D 28. D 29. C 30. B
31. A 32. C
CAPÍTULO 1 
Termologia
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184
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185
DILATAÇÃO TÉRMICA 
DOS SÓLIDOS E LÍQUIDOS
Quando o um corpo recebe energia térmica e a agitação 
das moléculas do corpo aumenta faz com que haja uma 
separação média entre essas moléculas. A consequência 
disso é um aumento das dimensões do corpo.
A dilatação térmica dos sólidos está presente em vários 
exemplos do cotidiano, exemplos;
• Os espaços vazios entre os trechos de trilhos e de gran-
des pontes que servem para dimensionar para mais ou 
menos a dilatação sofrida pelos trilhos ou pontes. No caso 
dos trilhos impedem que eles se distorçam e das pontes 
impedem possíveis rachaduras na sua estrutura.
• Fios de alta tensão entre dois postes estão levemente 
afrouxados para suportar o efeito tanto da dilatação em 
dia quente, mas também a contração térmica em dias frios, 
evitando que se rompam
 
DILATAÇÃO LINEARDILATAÇÃO LINEAR
É a dilatação que ocorre em materiais sólidos em uma 
única direção, ou seja, leva-se em consideração a variação 
no comprimento do material. Isto é aplicável quando pen-
samos na dilatação térmica sofrida por uma barra ou fio.
Considere uma barra de comprimento L0. Ao sofrer uma 
variação de temperatura ∆t a barra passa a ter um com-
primento L. A variação do comprimento sofrido pela barra 
pode ser expressa por:
A variação de comprimento é diretamente proporcional à 
variação de temperatura e do comprimento inicial e pode 
ser expressa da seguinte forma.
Onde α é denominado coeficiente de dilatação linear, que 
depende de cada material que compõe a barra. 
A unidade de α no (SI) é o K-1 , porém como a variação da 
temperatura na escala Celsius é igual a variação da tem-
peratura na Kelvin podemos admitir que a unidade de α 
pode ser °C-1.
Como ∆L = L - L0 temos:
L0 ⋅ α ⋅ ∆T = L - L0 ∴ L = L0 + L0 ⋅ α ⋅ ∆T, então temos
 
DILATAÇÃO SUPERFICIALDILATAÇÃO SUPERFICIAL
Considere uma chapa, de material isótropo (que apresen-
tam o mesmo comportamento em todas as direções), de 
dimensões iniciais X0 e Y0. Ao sofrer um aumento na sua 
temperatura, suas dimensões passam a ser X e Y. 
A área inicial é dada por A0 = X0 ⋅ Y0 e a área final, por A = X ⋅ Y .
Como o material é isotrópico podemos escrever os com-
primentos finais X e Y como resultados de dilatações inde-
pendentes de X0 e Y0 , das seguintes maneiras:
Com relação as equações acima podemos escrever a área A:
A = X . Y ∴ A = [X0 . (1 + α . ∆T)] . [Y0 . (1 + α . ∆T)]
Depois de certos cálculos algébricos chegamos à equação:
Onde β = 2α denominado coeficiente de dilatação superficial.
Como ∆A = A - A0, podemos escrever a variação da área 
como:
Observação:
Corpos vazados como anéis ou arruelas ao sofrerem um 
aumento de temperatura, quando se expandem apresen-
tam também o aumento do orifício vazado.
CAPÍTULO 2 
Dilatação Térmica dos Sólidos e Líquidos
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186
O comprimento, ou raio do furo se comporta como se 
fosse feito do mesmo material que compõe o corpo. Ou 
seja, ocorre uma dilatação linear no comprimento, ou raio 
do furo.
 
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICAS DOS SÓLIDOSDILATAÇÃO VOLUMÉTRICAS DOS SÓLIDOS
Considere agora um paralelepípedo, de material isótropo, 
de dimensõesiniciais X0 , Y0 e Z0 . Inicialmente, seu volume 
é dado por V0 = X0
 . Y0 
. Z0 .
Ao ser aquecido, o paralelepípedo passa a ter dimensões 
X, Y e Z. Com isso, seu volume passa ser expresso pelo 
produto V = X . Y . Z.
Analogamente ao caso da dilatação superficial temos:
Com isso podemos calcular o volume V da seguinte forma:
Onde podemos concluir que:
Onde γ = 3α denominado coeficiente de dilatação volu-
métrica.
Como ∆V = V - V0 , podemos escrever a variação do volume 
como:
 
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICAS DOS LÍQUIDOS DILATAÇÃO VOLUMÉTRICAS DOS LÍQUIDOS 
A dilatação de líquidos está presente em nosso cotidiano, 
quando aquecemos uma panela com leite, por exemplo, 
um leite se dilata e transborda.
De maneira geral, os líquidos se dilatam volumetricamente 
da mesma maneira que os sólidos. 
Usando os aspectos da dilatação volumetricamente dos 
sólidos comparando-a com a dilatação volumétrica dos 
líquidos, determinaremos ainda alguns aspectos relevantes 
aos líquidos, em geral . 
 
VARIAÇÃO DE DENSIDADEVARIAÇÃO DE DENSIDADE
Com a dilatação, a massa permanece constante, porém 
seu volume se altera. Isso acaba causando uma variação 
na densidade. 
Consideremos um líquido de densidade inicial d0 .
Ao sofrer uma variação de temperatura ∆T , o líquido so-
frerá uma variação de volume, assim passará ter uma nova 
densidade d.
Mas o volume final do líquido pode ser calculado por 
V = V0 
. (1 + γliq
 . ∆T), daí temos:
 
DILATAÇÃO APARENTE DOS LÍQUIDOSDILATAÇÃO APARENTE DOS LÍQUIDOS
Considere um recipiente, de volume , totalmente preen-
chido por um líquido.
Devido ao aumento de temperatura, oferecido ao conjunto, 
o líquido dilata mais que o recipiente e transborda.
A quantidade de líquido que transborda é denominada 
dilatação aparente e é calculada pela diferença entre as 
variações de volume do líquido e do recipiente.
Daí podemos concluir que se γAp = γLiq - γRec , então a parte 
do líquido transbordado é dado pela expressão:
CAPÍTULO 2 
Dilatação Térmica dos Sólidos e Líquidos
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187
 
DILATAÇÃO ANÔMALA DA ÁGUADILATAÇÃO ANÔMALA DA ÁGUA
Já vimos, em geral, aumento de temperatura causa au-
mento de volume de um corpo. Isto ocorre devido ao da 
agitação das moléculas que compõem o corpo. Entretanto, 
a água apresenta comportamento diferente em uma faixa 
de temperaturas. Este comportamento anômalo está pre-
sente principalmente na água, mas também na prata, no 
antimônio e no bismuto.
A água, sob pressão normal, é líquida entre a 0°C e 100°C. 
Porém, entre 0°C e 4°C, a água apresenta redução de 
volume com aumento de temperatura. Acima de 4°C, o 
comportamento da água é normal: aumento de volume 
com o aumento de temperatura. Logo, o menor volume 
é atingido a 4°C.
Também por isso, a água aumenta de volume na fusão. 
É comum percebemos o rompimento de uma garrafa cheia 
de líquido que é deixada no congelador por um longo 
período.
Outra forma de analisar a dilatação anômala é estudar 
a variação de sua densidade com a temperatura. Como 
o volume é mínimo a 4°C, a densidade é máxima a esta 
temperatura.
A dilatação anômala da água é essencial para a manutenção 
da vida em lagos e lagoas em regiões muito frias. Com a 
densidade máxima a 4°C, a água a está temperatura fica 
por baixo em lagos que congelam. Logo, só existe o con-
gelamento de uma camada da superfície da água, e não 
de toda a água do lago.
 Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (EEAR) Com relação à dilatação dos sólidos e lí-
quidos isotrópicos, analise as proposições a seguir e 
dê como resposta a soma dos números associados às 
afirmações corretas.
(01) um recipiente com dilatação desprezível contém certa 
massa de água na temperatura de 1°C, quando é, então, 
aquecida lentamente, sofrendo uma variação de tempe-
ratura de 6°C. Nesse caso, o volume da água primeiro 
aumenta e depois diminui.
(02) quando se aquece uma placa metálica que apresenta 
um orifício, verifica-se que, com dilatação da placa, a área 
do orifício aumenta.
(03) quando um frasco completamente cheio de líquido é 
aquecido, este transborda um pouco. O volume de líquido 
transbordado mede a dilatação absoluta do líquido.
(04) o vidro pirex apresenta maior resistência ao choque 
térmico do que o vidro comum porque tem menor coefi-
ciente de dilatação térmica do que o vidro comum.
(05) sob pressão normal, quando uma massa de água é 
aquecida de 0°C até 100°C sua densidade sempre aumenta. 
(06) ao se elevar a temperatura de um sistema constituí-
do por três barras retas e idênticas de ferro interligadas 
de modo a formarem um triângulo isósceles, os ângulos 
internos desse triângulo não se alteram.
a) 07 
b) 10 
c) 11 
d) 12
02 (ITA-SP) O vidro Pyrex apresenta maior resistência 
ao choque térmico do que o vidro comum porque:
a) possui alto coeficiente de rigidez.
b) tem baixo coeficiente de dilatação térmica.
c) tem alto coeficiente de dilatação térmica.
d) tem alto calor específico.
e) é mais maleável que o vidro comum.
03 (PUC-SP) Ao estudar a dilatação linear de um fi-
lamento de prata (αAg = 1,8.10-5°C-1) , verificou-se que a 
variação de comprimento sofrida num certo interva-
lo de temperatura correspondia exatamente à mesma 
dilatação sofrida por um outro filamento de chumbo 
(αPb = 2,7.10-5°C-1) , inicialmente de 10 cm, no mesmo 
intervalo de temperatura. O comprimento inicial do fi-
lamento de prata é: 
a) 3,3 cm 
b) 5,0 cm 
c) 10,0 cm 
d) 15,0 cm 
e) 18,0 cm
CAPÍTULO 2 
Dilatação Térmica dos Sólidos e Líquidos
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188
04 (UNESP) A lâmina bimetálica da figura abaixo é feita 
de cobre α = 1,4.10-5°C-1 e de alumínio α = 2,4.10-5°C-1. Uma 
das partes não pode deslizar sobre a outra e o sistema 
está engatado numa parede: 
Se na temperatura ambiente (27°C) ela é horizontal, a afir-
mativa correta sobre o comportamento da lâmina (onde 
é o coeficiente de dilatação linear) é:
a) sempre se curva para baixo quando muda a temperatura. 
b) sempre se curva para cima quando muda a temperatura. 
c) se curva para baixo se t > 27°C e para cima se t 27°C e para baixo se t 27°C.
05 (EEAR) Um cidadão parou às 22 h em um posto 
de combustível para encher o tanque de seu caminhão 
com óleo diesel. Neste horário, as condições climáticas 
eram tais que um termômetro, bem calibrado fixado em 
uma das paredes do posto, marcava uma temperatura 
de 10°C. Assim que acabou de encher o tanque de seu 
veículo, percebeu o marcador de combustível no nível 
máximo. Descansou no mesmo posto até as 10 h do dia 
seguinte, quando o termômetro do posto registrava a 
temperatura de 30°C. Observou, no momento da saída, 
que o marcador de combustível já não estava marcando 
nível máximo. Qual afirmação justifica melhor, do ponto 
de vista da Física, o que aconteceu?
Desconsidere a possibilidade de vazamento do combustível.
a) O calor faz com que o diesel sofra contração. 
b) O aumento de temperatura afeta apenas o tanque de 
combustível 
c) O tanque de combustível tem coeficiente de dilatação 
maior que o próprio combustível 
d) O tanque metálico de combustível é um isolante térmico, 
não permitindo o aquecimento e dilatação do diesel.
06 (CEFET-PR) A figura mostra um anel formado por 
uma lâmina bimetálica com uma pequena abertura (x) 
entre seus extremos. Sendo αA e αB os coeficientes de 
dilatação linear das substâncias, a distância x: 
a) aumenta quando a temperatura aumenta, quaisquer 
que sejam os valores de αA e αB . 
b) diminui quando a temperatura aumenta, se αAa temperatura também diminui, se αA 
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19
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS
Estudaremos conjuntos cujos elementos são números, 
por isso denominamos conjuntos numéricos. Em cada um 
deles, os elementos têm alguma característica em comum. 
Portanto, farão parte deste estudo sucinto os conjuntos dos 
números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais 
e, por fim, o conjunto dos números reais.
 
NÚMEROS NATURAISNÚMEROS NATURAIS
O surgimento dos números naturais deveu-se à necessidade 
de se contarem objetos. Temos, então: 
N= {0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ...}
em que n representa um elemento genérico do conjunto. 
O conjunto dos números naturais possui alguns subcon-
juntos importantes:
NATURAIS NÃO NULOS:
 N*= {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} ou N* = N - {0}
NATURAIS PARES:
NP = {0, 2, 4, 6, 8, ... 2n, ...}, em que n ∈ N
NATURAIS ÍMPARES:
Conjunto dos números naturais ímpares:
Ni = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N
NATURAIS PRIMOS:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
OPERAÇÕES EM N :
No conjunto dos números naturais são definidas duas 
operações: a adição e a multiplicação. Quaisquer que sejam 
os naturais a e b, sua soma a + b e seu produto a.b são 
números naturais.
Já o mesmo não ocorre com a subtração. Em N só é possí-
vel realizar a subtração a – b quando a ≥ b. Para que seja 
sempre possível realizar subtrações, é necessário ampliar 
o conjunto N, formando o conjunto dos números inteiros.
 
NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROS
Esse conjunto é formado por todos os elementos de N e 
seus opostos (ou simétricos).
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns 
subconjuntos notáveis:
INTEIROS NÃO NULOS:
Z* = {...-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}
INTEIROS NÃO NEGATIVOS:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} = N
INTEIROS POSITIVOS:
*Z+ ={1, 2, 3, 4, ...} = N*
INTEIROS NÃO POSITIVOS:
Z- = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}
INTEIROS NEGATIVOS:
*Z+ = {..., –5, –4, –3, –2, –1}
MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO.
Vamos tomar como exemplo o número 3 e seu oposto - 3. 
Observamos que a distância entre 3 e 0 é 3 unidades. Por 
outro lado, a distância entre -3 e 0 é também 3 unidades. 
Dizemos, portanto, que o módulo (ou valor absoluto) de 3 
é 3 (distância entre 3 e 0) e indicamos |3|=3. Pela mesma 
reflexão, temos que o módulo (ou valor absoluto) de -3 é 
3 (distância entre -3 e 0) e indicamos |-3|=3.
De um modo geral, chamamos módulo, ou valor absoluto, 
de um número inteiro x à distância entre a origem e o ponto 
que representa o número x.
OPERAÇÕES EM Z
No conjunto dos números inteiros são definidas três ope-
rações: a adição, a subtração e a multiplicação. Quaisquer 
que sejam os inteiros a e b, sua soma a + b, sua diferença 
a – b e o seu produto a.b são números inteiros.
Já o mesmo não acontece com a divisão. Em Z só é possível 
realizar a divisão a : b quando a é múltiplo de b. Assim, por 
exemplo, a operação 8 : 4 resulta em um número inteiro, 
mas não existe número inteiro x tal que x = 4 : 8. Para 
que seja possível realizar divisões, é necessário ampliar o 
conjunto Z, formando o conjunto dos números racionais.
 
NÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAIS
Definimos Q como o conjunto das frações 
p
q . Desse modo, 
um número é racional quando pode ser escrito como uma 
fração 
p
q , com p e q inteiros e q≠0.
Então:
Também o conjunto Q apresenta alguns subconjuntos 
notáveis: Q*, Q+, 
*Q+ , Q- e *Q− .
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
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20
OPERAÇÕES EM Q 
No conjunto Q são definidas três operações:
A adição: 
A subtração: 
A multiplicação: 
No conjunto Q* é definida a operação de divisão:
A divisão: : .p r p s ps
q s q r qr
= =
para quaisquer ,p r
q s
 ∈ Q com r
s
 ≠ 0.
 
NÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAIS
Vimos que existem infinitos números racionais, que podem 
ser escritos na forma de frações com numerador e deno-
minador inteiros. Ao ser representado na foram decimal, 
um número racional pode ser um decimal exato ou uma 
dízima periódica.
Existem, entretanto, números cuja representação decimal 
é infinita, mas não periódica.
Ex1: O número 0,123456... (em que as casas decimais são os 
números naturais justapostos) não é dízima periódica, pois 
os infinitos algarismos à direita da vírgula não se repetem 
periodicamente.
Ex2: Os números 2 = 1,4142135..., 3 = 1,7320508..., e = 
2,7182818... e π = 3,141592... não são dízimas periódicas.
Dessa forma, um número cuja representação decimal infini-
ta não é periódica é chamado número irracional. Indicamos 
o conjunto dos números irracionais por I.
 
NÚMEROS REAISNÚMEROS REAIS
Esse conjunto é formado pelos números racionais e pelos 
números irracionais e é representado por R.
Assim, temos: R = Q ∪ I
Por outro lado, se um número real é racional, ele não é 
irracional; e se um número real é irracional, ele não é ra-
cional. Assim:
Q ∩ I = Ø
Já vimos que N ⊂ Z ⊂ Q . Em consequência, N, Z,Q e I são 
subconjuntos de R.
Existem outros subconjuntos de R importantes:
NÚMEROS REAIS NÃO NULOS:
R* = {x ∈ R | x ≠ 0}
NÚMEROS REAIS NÃO NEGATIVOS:
R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}
NÚMEROS REAIS POSITIVOS:
*R+ = {x ∈ R | x > 0}
NÚMEROS NATURAIS NÃO POSITIVOS:
R-= {x ∈ R | x ≤ 0}
NÚMEROS REAIS NEGATIVOS:
*R− = {x ∈ R | x a}
 
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
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21
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (IFAL) Assinale a alternativa verdadeira:
a) {1,2,4,6,7}=[1,7]
b) Se C= ]-1,3], então -1∉C, mas 3∈C.
c) Se D=[2,6], então 2∈D, mas 3∉D
d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre 
um intervalo numérico.
e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um con-
junto vazio.
02 (CM-RJ) Considere o número:
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma 
de fração irredutível.
a) 81/100 
b) 127/90
c) 52/81
d) 34/45
e) 11/13
03 (FGV) Considere os conjuntos numéricos A e B:
C=A\B
D={x∈A/2x-1>0}
E={x∈B/|x-3|c) 2.000 ºC
d) 2.500 ºC 
e) 1.000 ºC
26 (EFOMM) Um navio petroleiro recebe uma carga 
de petróleo de 2,0 . 106m3 de uma plataforma de extra-
ção de petróleo em águas profundas. Seu tanque A está 
completamente cheio desse combustível, cuja tempera-
tura é 12°C. Existe uma ligação desse tanque ao tanque 
B, vazio, por meio de uma abertura S, como mostra a 
figura a seguir.
Sabe-se que um barril de petróleo equivale a 160 litros. Ao 
se descarregar a carga do navio no Rio de Janeiro, a uma 
temperatura de 34°C, observou-se que extravasou para o 
tanque B uma quantidade de 4950 barris de petróleo. Nesse 
caso, o coeficiente de dilatação volumétrica do petróleo é:
Dado: coeficiente de dilatação linear do aço do qual são 
feitos os tanques do navio é 1,2 . 10-5 °C-1 .
a) 1,8 . 10-5 °C-1
b) 3,0 . 10-5 °C-1 
c) 3,6 . 10-5 °C-1 
d) 4,8 . 10-5 °C-1 
e) 5,4 . 10-5 °C-1 
27 (EFOMM) Um frasco de alumínio com capacidade 
para 1 litro encontra-se completamente cheio de gelo. Em 
determinado momento, a temperatura do sistema é de 
-5°C e, logo depois, é levada para -3°C. Nessas condições, 
é correto afirmar que:
Dados: 
a) o gelo diminui de volume.
b) o gelo aumenta de volume.
c) o alumínio diminui de volume.
d) o sistema aumenta de volume.
e) o sistema não se altera.
28 (EFOMM) Observe a figura a seguir:
Duas placas de concreto de comprimento 1,0 m devem ser 
construídas entre duas barras de aço invar (aço de coefi-
ciente de dilatação desprezível). Qual é a folga mínima, em 
centímetros, entre as placas para não haver rachaduras 
quando a temperatura variar positivamente de 40°C?
Dado: coeficiente de dilatação linear do concreto α = 12 . 10-6 °C-1.
a) 0,18 
b) 0,16 
c) 0,14 
d) 0,12 
e) 0,10
CAPÍTULO 2 
Dilatação Térmica dos Sólidos e Líquidos
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192
29 (ITA-SP) Um bulbo de vidro, cujo coeficiente de 
dilatação linear é 3,0 . 10-5 °C-1 , está ligado a um capilar 
do mesmo material. 
À temperatura de -10°C , a área da secção do capilar é 
3,0 . 10-4cm2, e todo o mercúrio, cujo coeficiente de dilatação 
volumétrico é 180 . 10-6 °C-1 , ocupa o volume total do bulbo, 
que, a essa temperatura, é 0,500 cm3. O comprimento da 
coluna de mercúrio a 90,0°C será:
a) 270 mm 
b) 540 mm 
c) 285 mm 
d) 300 mm 
e) 257 mm
30 (ITA-SP) Um relógio tem um pêndulo de 35 cm de 
comprimento. Para regular se funcionamento, ele tem 
uma porca de ajuste que encurta o comprimento do pên-
dulo de 1 mm a cada rotação completa à direita e alonga 
esse comprimento de 1 mm a cada rotação completa à 
esquerda. Se o relógio atrasa um minuto por dia, assinale 
o número aproximado de rotações da porca e sua direção 
necessários para que ele funcione corretamente:
a) 1 rotação à esquerda.
b) 1/2 rotação à esquerda.
c) 1/2 rotação à direita.
d) 1 rotação à direita.
e) 1 e 1/2 rotações à direita.
GABARITO
01. D 02. B 03. D 04. C 05. C 06. B
07. B 08. C 09. B 10. B 11. A 12. D
13. A 14. C 15. D 16. D 17. C 18. B
19. A 20. D 21. B 22. B 23. C 24. C
25. D 26. E 27. D 28. E 29. C 30. C
CAPÍTULO 2 
Dilatação Térmica dos Sólidos e Líquidos
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 192Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 192 16/02/2022 17:47:3916/02/2022 17:47:39
193
CALORIMETRIA
 
PROCESSOS DE PROPAGAÇÃO DE CALORPROCESSOS DE PROPAGAÇÃO DE CALOR
Sempre que há diferença de temperatura entre dois corpos, 
o calor se propaga do corpo de maior temperatura para 
o de menor temperatura e essa transferência ocorre de 
três maneiras.
 
CONDUÇÃO TÉRMICACONDUÇÃO TÉRMICA
É a forma de propagação de calor que ocorre sem trans-
missão de matéria (não ocorre deslocamento de matéria), 
porém o calor é transmitido de molécula para molécula, 
passando de uma para a outra, como uma reação em ca-
deia. A condução ocorre geralmente nos materiais sólidos, 
raramente nos meios líquidos e nunca nos gases.
Exemplo:
Se colocarmos a ponta de uma barra de ferro em uma 
chama perceberemos gradativamente que o calor flui, de 
onde se encontra a chama, para a outra ponta da barra.
“Explicando microscopicamente o fenômeno: a região pró-
xima da chama tem o movimento vibratório de suas molé-
culas aumentado, adquirindo assim maior energia cinética, 
que é transferida através de choques às partículas vizinhas, 
que também aumentam seu movimento vibratório. Através 
desse transporte de energia, toda a barra é aquecida.”
A condução térmica não ocorre no vácuo.
Os metais são bons condutores de calor e utilizados na 
fabricação de aparelhos que permitem aquecer rapida-
mente outros corpos, principalmente os líquidos. Os me-
tais são excelentes condutores de calor devido ao fato de 
possuírem os elétrons mais externos “fracamente” ligados, 
tornando-se livres para transportar energia por meio de 
colisões através do metal.
A lã, o vidro e o próprio ar são maus condutores, ou seja, 
considerados bons isolantes térmicos.
 
FLUXO DE CALORFLUXO DE CALOR
É a grandeza que representa a razão entre a quantidade de 
calor transmitida através de um corpo pelo tempo dessa 
transmissão, ou seja, mede, de certa forma, a potência 
térmica do meio do qual o calor se propaga.
2.1. Lei de Fourier.
Considere dois ambientes distintos às temperaturas cons-
tantes e , separados por uma placa de área (A) e espes-
sura (e), o fluxo de calor entre esses ambientes depende 
dessa área e da espessura dessas placas de acordo com 
a expressão abaixo:
Onde k é a constante de condutibilidade térmica do mate-
rial, dado em cal
m s C⋅ ⋅°
 .
 
CONVECÇÃO TÉRMICACONVECÇÃO TÉRMICA
É a forma de propagação de calor que ocorre transmissão 
de matéria (ocorre deslocamento da matéria) devido a 
diferença na densidade. A convecção ocorre nos meios 
fluídos e não nos materiais sólidos. 
Os fluídos de maior temperatura (quente) tendem a subir 
por serem menos densos, enquanto os fluídos de menor 
temperatura (frio) tendem a descer por serem mais densos, 
e nisso a movimentação da matéria que compõe o fluído. 
A esse movimento chamamos de corrente de convecção. 
CAPÍTULO 3 
Calorimetria
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 193Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 193 16/02/2022 17:47:4316/02/2022 17:47:43
194
Alguns equipamentos funcionam mediante a esse princípio 
de convecção, exemplos: o sistema de arrefecimento dos 
motores de veículos, os aquecedores e ar-condicionado, os 
refrigeradores. Além disso podemos presenciar a corrente 
de convecção na natureza ao sentir a brisa marítima e a 
brisa terrestre.
3.1. Inversão térmica.
Ocorre quando a camada de ar próximos a superfície da 
Terra, que deveriam ser mais quentes para poder se ex-
pandir e levar os poluentes, ficam mais frias (daí o nome de 
inversão térmica. Assim, o ar frio fica retido na superfície, 
aprisionado pelo ar quente, impedindo as correntes de 
convecção, pois o ar frio que fica embaixo é mais denso e 
mais pesado e encontra dificuldade para subir, o que retém 
os poluentes próximo à superfície.
 
IRRADIAÇÃO TÉRMICAIRRADIAÇÃO TÉRMICA
É a forma de propagação de calor que ocorre com transmis-
são de calor através de ondas eletromagnéticas (luz infra-
vermelho), por isso não é necessário um meio material para 
a propagação ( a irradiação ocorre no vácuo). A irradiação 
ocorre em sólidos, líquidos e gases , neste caso teremos 
três fenômenos básicos: absorção, reflexão e transmissão.
A irradiação pode ser observada na criação de estufas.
Os raios infravermelhos (ondas de calor) emitidos no interior 
da estufa, sofrem reflexão no interior da estufa, retornam, 
pois não conseguem atravessar o material transparente 
da estufa para fora, e nesse retorno aquecem ainda mais 
o interior da estufa.
Associado a irradiação existe uma grandeza física chamada 
intensidade de irradiação.
Intensidade de radiação 2
W
m
 
  
 ;
 Potência térmicanúmero 
sorteado ao acaso no conjunto Y={1,2,3,4,5,...,97,98,99,100}, 
ganha um prêmio quem mais se aproximar do número 
sorteado. Se A decidiu-se por 33 e B por 75, qual é a me-
lhor escolha que C pode fazer?
a) 16 
b) 32 
c) 48 
d) 54 
e) 76
08 (CN) Considere x, y e z números naturais. Na di-
visão x por y obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se 
que a representação decimal x/y é a dizima periódica 
7,36363636... .Então, o valor de x+y+z é:
a) 190 
b) 191 
c) 192 
d) 193 
e) 195
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 21Apostila_AFA_2022-2 (VOLUME 1).indd 21 16/02/2022 17:40:1516/02/2022 17:40:15
22
09 (EPCAR) Sabe-se que x, y e z são números natu-
rais distintos e x > y. Considere A=x.y e B=(x.y.z)2 e que o 
MDC(a,b) e o MMC(a,b) são respectivamente, 21 e 1764. 
Se W=x2+y2+z2. Então o conjunto formado pelos divisores 
naturais de W possui:
a) 12 
b) 9 
c) 6 
d) 4 
e) 2
10 (AFA) Assinale a alternativa que contém a afirma-
ção correta:
a) ∀x,y; x e y ∈R, ( )2x y x y+ = + 
b) ∀x,y; x e y ∈Z*, se 
x
y é inteiro, então y
x
 é inteiro.
c) ∀x,y; x e y ∈Z, 
1
x y
x
+
+
 é um número racional.
d) ∀x,y; x e y ∈Z, 21
x y
x
+
+
 é um número racional.
11 (CN) Os conjuntos dos números naturais, inteiros 
e racionais foram denominados A, B e C não necessa-
riamente nessa ordem. Em um grupo de 19 números 
reais, sabe-se que 4 são irracionais, 7 pertencem a C e 
10 pertencem a A. Quantos desses números pertencem, 
exclusivamente, ao conjunto B?
a) 3 
b) 5 
c) 7 
d) 9 
e) 11
12 [EPCAR] Na reta real abaixo estão representados 
os números reais a, b, c, d, 0 e 1.
Analise os itens abaixo, classificando-os em (V) verdadeiros 
ou (F) falsos.
(01) a 
(06) c + d - b    
   
A soma dos números associados aos itens verdadeiros é 
um número do intervalo:
a) [1,5] 
b) [6,11] 
c) [12,17]
d) [18,22] 
e) [23,26]
13 (CN) Um número natural N é formado por dois 
algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois alga-
rismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá 
uma dízima periódica com dois algarismos na parte não 
periódica. A soma dos algarismos de N é:
a) 1 
b) 5 
c) 7 
d) 8 
e) 9
14 (CN) Quantos valores de k∈Z existem, tais que, 
113 7
1
k
k
+
+
 é um número inteiro?
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8
15 (UFRGS) Considere a função:
Então é correto afirmar que o MAIOR ELEMENTO do con-
junto ( ) ( )7 24, 1 , 3,14 ,
31 2
f f f f
    
         
 é?
a) 
7
31
f  
 
  
b) f(1) 
c) f(3,14)
d) 
24
2
f
 
  
 
 
e) não há como determinar
16 (UFF) Segundo o Matemático Leopold Kronecker 
(1823 – 1891):
“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do ho-
mem.”
Os conjuntos numéricos são, como afirma o Matemático, 
uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação 
aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
a) O produto de dois números irracionais é sempre um 
número irracional.
b) A soma de dois números irracionais é sempre um nú-
mero irracional.
c) Entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número 
irracional.
d) Entre dois números racionais distintos existe pelo menos 
um número racional.
e) A diferença entre dois números inteiros negativos é 
sempre um número inteiro negativo.
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
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23
17 (UFJF) Define-se o comprimento de cada um dos 
intervalos [a,b], ]a,b[, a,b [e ]a,b] como sendo a diferença 
(b-a). Dados os intervalos M=[3,10], N= ]6,14[ e P= 5,12[, 
o comprimento do intervalo de (M∩P)∪(P-N) é igual a:
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
e) 9
18 (FGV) Considere as frações 
1
n e 
1
m , com n e m sendo 
números irracionais. Sobre o resultado da soma 
1
n + 
1
m 
afirma-se que pode ser:
I – Inteiro não nulo;
II – Racional não inteiro;
III – Irracional;
IV – Zero;
V – Imaginário puro.
É correto apenas o que está contido em:
a) I e II. 
b) II e IV. 
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV. 
e) II, III, IV e V.
19 (AFA) Considere os seguintes conjuntos numé-
ricos N,Z,Q,R e II=R-Q, considere também os seguintes 
conjuntos:
A=(N∪II)-(R∩Z)
B=Q-(Z-N)
C=(N∪II)∪(Q-N)
Das alternativas abaixo, a que representa elementos que 
pertencem aos conjuntos A, B e C, nesta ordem é:
a) -3, 0,5 e 
5
2 
b) 20 , 10 e 5
c) - 10 , - 5 e 2
d) 3
2
, 3 e 2,31
20 (UEL) Considere os seguintes conjuntos:
01 – A={x∈R/2Analise as alternativas abaixo e marque a 
correta. 
a) Se B={m∈N/m2 F>E>C>D>B
b) A>F>B>D>C>E
c) F>C>D>B>A>E
d) B>C>A>F>E>D
e) E>A>C>D>F>B
38 (ITA) Seja o conjunto S={r∈Q/r≥0 e r2 ≤ 2)}, sobre o 
qual são feitas as seguintes afirmações:
I – 5
4 ∈ S e 7
5 ∈S.
II – {x∈R/0≤ x ≤√2}∩S=∅.
III – √2∈S.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas.
a) I e II. 
b) I e III. 
c) II e III. 
d) I. 
e) II
39 (ITA) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1-r2 
e r1 + r2 + r3 são racionais. Das afirmações:
I – se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional.
II – se r3 é racional, então r1 + r3 é racional.
III – se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais.
É (são) sempre verdadeira(s):
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III.
d) apenas I e II. 
e) I, II e III.
40 (CN) Num grupo de 142 pessoas foi feita uma pes-
quisa sobre três programas de televisão A, B e C cons-
tatou-se que:
I – 40 não assistem a nenhum os três programas;
II – 103 não assistem o programa C;
III – 25 só assistem ao programa B;
IV – 13 assistem aos programas A e B;
V – O número de pessoas que assistem somente aos pro-
gramas B e C é a metade dos que assistem somente A e B.
VI – 25 só assistem a 2 programas;
VII – 72 só assistem a um dos programas.
Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem:
a) ao programa A é 30. 
b) ao programa C é 39.
c) aos 3 programas é 6. 
d) aos programas A e C é 13.
e) aos programas A ou B é 63.
GABARITO
01. B 02. B 03. A 04. C 05. C 06. B
07. B 08. C 09. D 10. D 11. B 12. D
13. E 14. E 15. C 16. D 17. C 18. D
19. D 20. B 21. E 22. D 23. B 24. B
25. D 26. E 27. C 28. C 29. B 30. B
31. B 32. B 33. E 34. A 35. B 36. D
37. E 38. D 39. E 40. B
CAPÍTULO 2 
Conjuntos Numéricos
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26
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27
CONCEITO DE 
FUNÇÃO
Seja dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de função 
a correspondência f ou relação binária entre os conjuntos 
A e B, nessa ordem, de forma que qualquer elemento x ∈ 
A possui um único elemento correspondente y ∈ B, que é 
imagem de x. Observe o diagrama das flechas:
O conjunto A é chamado de domínio. Este conjunto também 
é chamado de conjunto de partida.
O conjunto B é chamado de contradomínio. Este conjunto 
também é chamado de conjunto de chegada.
O conjunto I, que são os elementos de B que estão rela-
cionados com os elementos de A, é chamado de imagem. 
O conjunto imagem é sempre subconjunto do conjunto 
contradomínio.
f : A → B (leia: f de A em B), para indicar uma função f de 
A em B;
y = f(x) (leia: y = f de x), para indicar que y é a imagem de x;
D ou D(f) (leia: D de f), para indicar o domínio da função f;
Im ou Im (f) (leia: imagem de f), para indicar o conjunto-
-imagem de f.
Para que a função f fique bem definida precisamos dizer 
quem é o domínio (A), o contradomínio (B) e a lei (ou re-
gra) que a cada x de A faz corresponder o elemento de 
y = f(x) de B.
Exemplos:
a) O domínio da função definida pela lei y = 3x+4 é R, pois, 
qualquer que seja o valor real atribuído a x, o número 3x+4 
também é real.
b) O domínio da função y = 
3
1
x
x
+
− é R – {1}, pois, para todo 
x real diferente de 1, o número 
3
1
x
x
+
− é real.
c) Dado A = {1, 2, 3, 4} consideremos a função f : A → R 
definida por f(x) = 2x. Temos:
para x = 1, f(1) = 2.1 = 2
para x = 2, f(2) = 2.2 = 4
para x = 3, f(3) = 2.3 = 6
para x = 4, f(4) = 2.4 = 8
A imagem dessa função é Im(f) = {2, 4, 6, 8}
d) Determinar a imagem da função f: D → R definida por 
f(x) = x³ - x + 10, sendo D = {-2, -1, 0, 1, 2}. Temos:
para x = - 2, 
f(-2)=(-2)³ - (-2) + 10 = - 8 + 2 + 10 = 4;
para x = - 1, 
f(-1)=(-1)³ - (-1) + 10 = -1 + 1 + 10 = 10;
para x = 0, f(0) = 0³ - 0 + 10 = 10;
para x = 1, f(1) = 1³ - 1 + 10 = 10;
para x = 2, f(2) = 2³ - 2 + 10 = 16.
Logo, Im(f) = {4, 10, 16}.
Observe que três elementos do domínio {-1, 0, 1} possuem 
a mesma imagem {10}. Isto é permitido no conceito de 
função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha 
uma e apenas uma imagem. O que não pode ocorrer é um 
dado elemento do domínio não ter imagem ou ter mais 
do que uma imagem.
 
TIPOLOGIATIPOLOGIA
(I) FUNÇÃO SOBREJETORA: Quando o conjunto imagem é 
igual ao conjunto contradomínio a função é sobrejetora. 
Em outras palavras, uma função é sobrejetora quando 
todo o elemento do contradomínio for imagem de algum 
elemento do domínio.
No diagrama abaixo, podemos observar um exemplo de 
função f: A → B sobrejetora.
No diagrama abaixo, podemos perceber um exemplo de 
uma função f: A → B não sobrejetora.
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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28
(II) FUNÇÃO INJETORA: Quando os elementos distintos do 
domínio têm imagens diferentes. Em outras palavras, para 
uma função ser injetora não pode existir dois elementos 
distintos no domínio que possuem a mesma imagem.
No diagrama abaixo, podemos observar uma função f: A 
→ B injetora.
 
No diagrama abaixo, podemos perceber um caso de função 
f: A →B não injetora.
Nota: Esse é um exemplo de função não injetora e não 
sobrejetora.
(III) FUNÇÃO BIJETORA: Uma função é bijetora quando é 
sobrejetora e injetora simultaneamente.
 
PARIDADEPARIDADE
(I) FUNÇÃO PAR: Seja f: A → B definida num domínio si-
métrico. Denomina-se função par a função que satisfaz a 
seguinte condição:
∀ x ∈ A,f(-x) = f(x)
A função par é simétrica em relação ao eixo das ordenadas 
do plano cartesiano.
(II) FUNÇÃO ÍMPAR: Seja f: A → B definida num domínio 
simétrico. Denomina-se função ímpar a função que satisfaz 
a seguinte condição:
 ∀ x ∈ A,f(-x) = -f(x)
A função ímpar é simétrica em relação à origem do plano 
cartesiano.
FUNÇÃO COMPOSTASeja f uma função de um conjunto A em um conjunto B (f: 
A → B) e seja g uma função de B em um conjunto C (g: B 
→ C), chama-se função composta de g e f a função h de A 
em C (h: A → C) definida por h(x) = g(f(x)) para todo x em A.
Exemplo: Sejam as funções f: R → R e g: R → R tais que 
f(x) = 2x e g(x) = x³. 
A composição da função g o f será:
g o f = g(f(x)) = ((f(x))³ = (2x)³ = 8x³
A composição da função f o g será:
f o g = f(g(x)) = 2.g(x) =2x³ 
A composição da função g o g será:
g o g = g(g(x)) = [g(x)]³ = (x³)³ = x9.
A composição da função f o f será:
f o f = f(f(x)) = 2.f(x) = 2.2x = 4x.
FUNÇÃO INVERSA
Considere-se uma função f: A → B. Diz-se que uma função 
g: B → A é inversa de f quando g o f = IA e f o g = IB (I é a 
função identidade).
IMPORTANTE: 
Uma função é invertível, se e somente se , é bijetora.
TÉCNICA PARA OBTER A FUNÇÃO INVERSA.
I) Seja f(x) uma função bijetora, chamamos f(x) de y, ou 
seja, f(x) = y.
II) Fazemos a troca entre o x e o y, ou seja, o x é substituído 
por y e o y é substituído por x.
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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29
III) Isolamos a variável y colocando em função de x, obtendo, 
assim, a função inversa.
IV) Por fim, substituímos esse novo valor de y por f-1(x) que 
será a função inversa de f(x).
Exemplo: Dada a função bijetora f(x) = 2x – 4
I) y = 2x – 4
II) x = 2y – 4
III) x + 4 = 2y ⇒ y= 4
2
x + 
IV) f-1(x) = 1
2
x+2
IMPORTANTE: 
Dada uma função f: A → B bijetora e seja f-1: B → A, se o par 
ordenado (a, b) ∈ f, então (b, a) ∈ f-1. A função inversa f-1 é 
formada justamente através da troca entre as abscissas e 
ordenadas de todos os pares da função f.
Exercícios 
 NÍVEL 1
01 (UEL) Em R×R, sejam (2m+n,m-4) e (m+1,2n) dois 
pares ordenados iguais. Então mn é igual:
a) -2 
b) 0 
c) 1
2
 
d) 1 
e) √2
02 (CM-RJ) A alternativa que representa o gráfico do 
conjunto B×A onde A={2,3,4} e B={x∈R/2≤ x ≤4}.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
03 (UFF) O elenco de um filme publicitário é composto 
de pessoas com cabelos louros ou olhos verdes. Sabe-se 
que esse elenco tem, no máximo, vinte pessoas entre as 
quais, pelo menos, doze possuem cabelos louros e, no 
máximo, cinco possuem olhos verdes.
No gráfico a ACIMA, pretende-se marcar um ponto P(L,V) 
em que L representa o número de pessoas do elenco que 
têm cabelos louros e V o número de pessoas do elenco 
que têm olhos verdes. 
O ponto P deverá ser marcado na região indicada por:
a) R1 
b) R2 
c) R3 
d) R4 
e) R5
04 (EPCAR) No produto cartesiano:
M×P={(2,3),(4,1),(5,3),(4,0),(5,1),(2,1),(4,3),(2,0),(x,y)}
Conclui-se que:
a) x=0 e y=5
b) x=0 e y=4
c) x=4 e y=2
d) x=5 e y=0
05 Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A×B tem 12 
elementos, então A∪Bpode ter no máximo:
a) 7 elementos. 
b) 8 elementos. 
c) 11 elementos.
d) 12 elementos. 
e) 13 elementos.
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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30
06 Se n(A)=3 e n(B)=2, então [n(A×B)]n(A∩B) é no má-
ximo igual a?
a) 1 
b) 6 
c) 12 
d) 18 
e) 36
07 (CN) Sejam A e B dois conjuntos tais que o número 
de elementos de A é a e o número de subconjuntos de 
B é b o número de elementos do conjunto A×[P(A×B)]é:
a) a.ba 
b) aa.b 
c) ab.b 
d) ab+1 
e) ba+1
08 (EFOMM) Dados A={2,3,4}e B={1,6,8,12}, a relação 
R={(x,y)∈A×B/y=x+4} de A em B é dada:
a) {(3,6),(4,8)} 
b) {(2,6),(4,8)} 
c) {(6,2),(8,4)} 
d) {(2,6),(3,12),(4,8)} 
e) {(2,1),(3,6),(4,8)}
09 (ITA) Sejam A, B e C subconjuntos de R, não vazios 
, e A-B={p∈R/p∈A e p∉B}. Dadas as igualdades:
( 1 ) (A-B)×C=(A×C)-(B×C)
( 2 ) (A-B)×C=(A×B)-(B×C)
( 3 ) (A∩B)-A≠(B∩A)-B
( 4 ) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
( 5 ) (A-B)∩(B-C)=(A-C)∩(A-B)
Podemos garantir que:
a) 2 e 4 são verdadeiras; 
b) 1 e 5 são verdadeiras;
c) 3 e 4 são verdadeiras; 
d) 1 e 4 são verdadeiras;
e) 1 e 3 são verdadeiras.
10 (EEAR) Considerando D = [0, 10] o domínio de uma 
função y = f(x), um gráfico que poderia representá-la é
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
11 Seja f a função de IR em IR, dada pelo gráfico a 
seguir:
 
É correto afirmar que
a) f é sobrejetora e não injetora.
b) f é bijetora.
c) f(x) = f(-x) para todo x real.
d) f(x) > 0 para todo x real.
e) o conjunto imagem de f é ] -∞; 2 ]. 
12 O domínio da função f(x)= 
2 6
3 6
x x
x
− −
−
 é:
a) [–2, 2[ ∪ [3, + ∞]
b) [–2, 0] ∪ ]2,3]
c) [0, 2[ ∪ [3, + ∞[
d) ] – ∞,-2]∪]2,3]
e) ] - ∞,0] ∪ ]2,3]
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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31
13 (EEAR) Se f(x)=
1 3
1 4
x x
x x
−
+
+ + é uma função, seu do-
mínio é D={x∈R|_____}. 
a) x>4 e x≠1 
b) x-4 e x≠-1 
14 (EEAR) A função f: A → R, definida por 
f(x)= 2 5 4x x+ + , tem como conjunto domínio A igual a
a) {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 4}
b) {x ∈ R / x 4}
c) {x ∈ R / x -1}
d) {x ∈ R / x ≤ - 4 ou x ≥ -1}
15 O domínio da função real definida por f(x)= 1
4
x
x
+
−
 é 
a) ]-1; 4[ 
b) ]-∞; -1[ ∪ [4; +∞[ 
c) [-1; 4] 
d) ]-∞; -1] ∪ ]4; +∞[ 
e) [-1; 4[ 
16 (EEAR) A função f : A → R, definida por 
f(x) = 2 4 3x x+ + , tem conjunto domínio A igual a
a) {x∈R|x≤1 ou x≥3} 
b) {x∈R|x3}
c) {x∈R|x-1} 
d) {x∈R|x≤-3 ou x≥-1}
17 O conjunto – imagem da função f(x)= 2 216 16x x− + −
é:
a) [- 4, 4]
b) (- ∞,-4] ∪ [4,+ ∞) 
c) {0}
d) {-4, 4}
e) [0, + ∞)
18 Com base no gráfico da função y = f(x), o valor de 
f(f(f(1))) é:
a) - 8
3
b) -
5
3
c) 8
3
 
d) 
5
3 
e) 5 
19 O maior domínio possível, dentro dos números 
reais, da função f dada por f(x)= 
24 1
2
x
x
−
−
vale 
a) {x∈R;x≠2}. 
b) {x∈R;x>1}. 
c) {x∈R;x≤-1 ou 1≤x2} 
d) {x∈R;1≤x≤2}. 
e) {x∈R;xinvertível. Se f-1 é sua inversa, então, o valor 
de [f(0)+f-1 (0)+f-1 (-1)]2 é 
a) 1. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 16. 
28 Sejam as funções reais f(x)= 2 4x x+ e g(x)=x-1. O 
domínio da função f(g(x)) é 
a) D={x∈R|x≤-3 ou x≥1} 
b) D={x∈R|-3≤ x ≤1} 
c) D={x∈R|x ≤ 1} 
d) D={x∈R|0≤ x ≤4} 
e) D={x∈R|x≤0 ou x≥4} 
29 Sejam as funções f(x)=x-3 e g( x)=x2-2x+4. Para qual 
valor de x tem f( g( x))=g(f(x))? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
30 Dada a função bijetora f(x)=
3 2
1
x
x
+
− , D(f)=R-{1}, o 
domínio de f-1 (x) é 
a) R-{3} 
b) R 
c) R-{1} 
d) R-{-1} 
e) R- 2
3
 − 
 
 
31 As funções reais f e g são tais que f(g(x))=x2-6x + 
8 e f(x-3) = x+5. Se g (k) é o menor possível, então k vale: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
32 Se f e g são funções de lR em lR tais que f(x)=2x-1 
e f(g(x))=x2-1, então g(x) é igual a 
a) 2x2+1 
b) 
2
x
-1 
c) 
2
2
x
d) x+1 
33 Se a função f:R-{2}→R é definida por f(x)= 2 1
2
x
x
+
− e 
a função g:R-{2}→R é definida por g(x)=f(f(x)), então g(x) 
é igual a 
a) 
2
x 
b) x2 
c) 2x 
d) 2x+3 
e) x
34 Seja f: R → R uma função bijetora tal que f(5) = 2. 
Se g: R → R é a função inversa de f, então g-1(5) é igual a:
a) 2
b) – 2
c) 1/2
d) – 1/2
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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33
35 Seja a função f de R – {3} em R – {1}, definida por 
f(x) = 3
3
x
x
+
−
. Pela inversa de f, o número 5 é imagem do 
número:
a) 1/4
b) 1/3
c) 4
d) 3
36 (EEAR) Se f(n)= 
,
2
1,
2
n se n é par
n se n é ímpar


 +

 define uma fun-
ção f: N → N. Então
a) f é apenas injetora
b) f é bijetora
c) f não é injetora, nem sobrejetora
d) f é apenas sobrejetora
37 Se f for uma função real, tal que f 1
1
x
x
− 
 + 
=x+3, então 
f(x) é definida por:
a) 4 2
1
x
x
−
−
b) 4 1
1
x
x
+
+
c) 2 1
1
x
x
+
−
d) 2 1
1
x
x
−
−
38 (UFMG) Sendo f(x)=x2-3 e g(x)=2x-1, o valor de 
( ) ( ) ( )
2
2. 2f x g x x
x
+ − − é: 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) −3
39 (UECE) Dada a função f:R→R, tal que f(x)=2x + 3, o 
valor de ( ) ( )f p f q
p q
−
−
 é igual a:
a) 2 
b) 3 
c) -1 
d) 0 
e) 15
40 Seja f a função definida de Z→Z definida por 
f(x)=2x-1 se x for par e 0 se x for ímpar. Nessas condi-
ções, a soma f(1)+f( 2)+f( 3)+...+f( 999)+f(1000) é igual a:
a) 50150 
b) 100500 
c) 250500 
d) 500500 
e) 1005000
41 (FUVEST) Uma função f de variável real satisfaz 
a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da 
variável x. Sabendo-se que f(2)=1, podemos concluir que 
f(5) é igual a:
a) 
1
2 
b) 1 
c) 5
2
 
d) 5 
e) 10
42 (AFA) Se f(x)= 3 2x+ , o valor de [f( 2 )+f(- 2 )]2 é:
a) 7 
b) 8 
c) -3 
d) -1 
e) 4
43 (EPCAR) Considere um triângulo equilátero de 
perímetro p. A função que relaciona a área e o perímetro 
desse triângulo é dada por:
a) A(p)=
2 3
6
p 
b) A(p)=
2 3
9
p 
c) A(p)=
2 3
12
p
d) A(p)=
2 3
24
p 
e) A(p)=
2 3
36
p
44 (FEI-SP) Em relação a função polinomial f(x)=2 x3- 3x, 
é válido afirmar-se que:
a) f(-x)=f(x) 
b) f(-x)=-f(x) 
c) f(x^2 )=[f(x)]^2
d) f(a.x)=a.f(x) 
e) f(a.x)=a2.f(x)
45 Seja f uma função tal que f(2x-1)= 24 1x + para todo 
x real. O valor de f(0) é:
a) 1 
b) 2 
c) 
1
2 
d) 2
2
 
e) -1
CAPÍTULO 3 
Conceito de Função
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34
46 (AFA) Seja f: [1,+∞) → [-3,+∞) a função definida por 
f(x)=3 x2 - 6x. Se g: [-3,+∞)→ [1,+∞)é a função inversa de 
f, então[g(6)-g(3)]2 é:
a) 5 
b) 2 6 
c) 5-2 6 
d) -5+2 6 
e) 5+2 6
47 (ESPCEX) Considere as funções reais f(x)=3x, de 
domínio [4,8] e g(y)=4y, de domínio [6,9]. Os valores má-
ximo e mínimo que o quociente ( )
( )
f x
g y pode assumir são, 
respectivamente:
a) 
2
3 e 
1
2 
b) 1
3
 e 1) 
c) 4
3
 e 3
4
d) 3
4
 e 1
3
 
e) 1 e 1
3
 
48 (ESPCEX) Na Física, as leis de Kepler descrevem o 
movimento dos planetas ao redor do Sol. Define-se como 
período de um planeta o intervalo de tempo necessário 
para que este realize uma volta completa ao redor do 
Sol. Segundo a terceira lei de Kepler, “Os quadrados dos 
períodos de revolução (T) são proporcionais aos cubos 
das distâncias médias (R) do Sol aos planetas”, ou seja, 
T2=k.R3, em que k é a constante de proporcionalidade. 
Sabe-se que a distância do Sol a Júpiter é 5 vezes a distância 
Terra-Sol; assim, se denominarmos T ao tempo necessário 
para que a Terra realize uma volta em torno do Sol, ou 
seja, ao ano terrestre, a duração do “ano” de Júpiter será?
a) 3T 5 
b) 5T 3 
c) 3T 15 
d) 5T 5 
e) 3T 3 
49 (ESPCEX) Sabendo que “c” e “d” são números 
reais, o maior valor de “d” tal que a função definida por 
f(x)= 2
,
4 3,
x c para x d
x x para x d
− + ≥

− + f(x2 ). Nessas condições, 
analise as afirmativas abaixo:
I – f é injetora;
II – f pode ser uma função par;
III – Se f possui uma inversa, então sua inversa é estrita-
mente decrescente.
Assinale a opção CORRETA:
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira;
b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras;
c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras;
d) As afirmativas I, II e III são verdadeira;
e) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
52 (FUVEST) Os gráficos de duas funções polinomiais 
P e Q estão representados na figura abaixo. Então, no 
intervalo [-4,8], P(x).Q(x)0 para todo x real;
e) o conjunto