Função Exponencial

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
Função Exponencial 
 
Chama-se função exponencial, a função f: 𝑅 → 𝑅+
∗ cuja 
regra é: 
 
f(x) = b + k.acx 
 
 
As constantes a, b, c e k são números reais sendo a 
constate a positiva e diferente de 1, isto é: ]0, 1[  ]1, 
+∞[. 
 
Gráfico da função exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Função Exponencial Natural 
A função exponencial natural, denotada ex ou exp(x) é 
a função exponencial cuja base é o número de Euler 
(um número irracional que vale aproximadamente 
2,718281828). 
 
f(x) = ex 
 
 
Equações exponenciais 
 
Uma equação é dita exponencial quando a variável está 
no expoente da igualdade. 
Exemplo: Resolva a equação exponencial 
272x +1 = 81x + 2 
 
 
 
 
Inequações Exponenciais 
Uma inequação é dita exponencial quando a variável 
está no expoente da igualdade. 
Quando a função é crescente 𝒂𝒙𝟏 > 𝒂𝒙𝟐  𝒙𝟏 > 𝒙𝟐 o 
sentido da desigualdade se conserva. 
Quando a função é decrescente 𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐  𝒙𝟐 < 𝒙𝟏 
o sentido da desigualdade se altera. 
Exemplo: O conjunto verdade da inequação 
(
1
2
)
𝑥2 −𝑥
> 1 é: 
a) {x  R | x < 0 ou x > 1} 
b) {x  R | -1 ≤ x ≤ 1} 
c) {x  R | x ≤ 0} 
d) {x  R | 0 < x ≤ 1} 
e) R 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr - 2001) Resolvendo a equação 
(0,0625)x - 2 = 0,25, obtemos x igual a: 
a) 
9
2
 
b) 
5
2
 
c) 
2
5
 
d) 
2
9
 
 
2. (EEAr - 2001) O conjunto imagem da função 
f(x) = 3x - 5 é: 
a) {f(x)  R / f(x) < -4} 
b) {f(x)  R / f(x) > -4} 
c) {f(x)  R / f(x)  -5} 
d) {f(x)  R / f(x) > -5} 
 
3. (EEAr - 2001) Se x e y são números reais que tornam 
simultaneamente verdadeiras as sentenças 
2x + y - 2 = 30 e 2x - y - 2 = 0, então xy é igual a 
a) 9 
b) 8 
c) 
8
1
 
d) 
9
1
 
4. (EEAr - 2002) Resolvendo a equação ,2562
12x22 =
+
concluímos que ela 
a) não admite soluções reais. 
b) admite 
2
3
como raiz. 
c) admite duas soluções reais positivas. 
d) admite duas soluções cuja soma é zero. 
 
5. (EEAr - 2002) Se 
x
x 9 28 16 ,− = então "x" é um número 
múltiplo de 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
 
Função decrescente: 0 < a < 1 
Função crescente: a > 1 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Prof. Wellington Nishio 
6. (EEAr - 2002) Os valores de x para os quais 
( ) ( ) ( )24x x 3 x 1
0,8 0,8
− +

são 
a) 
3 1
x
2 2
−  
 
b) 
1 3
x
2 2
−  
 
c) 
3 1
x ou x
2 2
 − 
 
d) 
1 3
x ou x
2 2
 − 
 
 
7. (EEAr - 2002) Se (0,0625)x + 2 = 0,25, então (x + 1)6 
vale 
a) 
3
2
−
 
b) 
1
32 
c) 64 
d) 
1
64 
 
8. (EEAr - 2003) O valor da raiz da equação 
2x + 1 + 2x - 1 = 40 é um número 
a) inteiro positivo. 
b) irracional. 
c) inteiro negativo. 
d) imaginário puro. 
 
9. (EEAr - 2003) O conjunto solução da inequação 
2x
1
2,
2
−
 
 
  sendo U = R, é 
a) {x  R / x ≤ -1 ou x  1} 
b) [-1, 1] 
c)  
d) R 
 
10. (EEAr - 2003) Todo número real positivo pode ser 
escrito na forma 10x. Tendo em vista que 8  100,90, 
então o expoente x, tal que 125 = 10x, vale 
aproximadamente, 
a) 1,90 
b) 2,10 
c) 2,30 
d) 2,50 
 
11. (EEAr - 2004) Na equação 2x + 1 + 2-x = 3, é 
verdadeira a afirmativa: 
a) Uma das raízes é 1. 
b) A soma das raízes é um número inteiro positivo. 
c) O produto das raízes é um número inteiro negativo. 
d) O quociente das raízes pode ser zero (0). 
 
12.(EEAr - 2005) A soma dos valores de x que verificam 
a equação 52x - 7.5x + 10 = 0 é 
a) log 10 
b) log5 10 
c) log2 5 + log5 2 
d) log2 2 + log2 5 
 
13. (EEAr - 2007) Sejam as funções f, g, h e t definidas, 
respectivamente, por f(x) = 
x
3
2
−






, g(x) = x , 
h(x) = ( ) x
2
−
e t(x) = 
x
3
10








. Dessas quatro funções, 
é(são) decrescente(s): 
a) todas 
b) somente três 
c) somente duas 
d) somente uma 
 
14. (EEAr - 2008) A raiz real da equação 
255.2425 xx =− é um número múltiplo de: 
a) 7 
b) 5 
c) 3 
d) 2 
15. (EEAr - 2009) Se x é a raiz da equação 25,2
3
2
x
=





, então o valor de x é: 
a) 5 
b) 3 
c) -2 
d) 4 
 
16. (EEAr - 2012) No conjunto dos números reais, a 
equação ( ) 8xx 93 = tem por raízes 
a) um número positivo e um negativo 
b) um número negativo e o zero 
c) dois números negativos 
d) dois números positivos 
 
17. (EEAr - 2015) Se f(x) = ax + b é uma função tal que 
3
4
)0(f = e f(-1) = 1, então o valor de "a" é 
a) 1 
b) 2 
c) 
2
1
 
d) 
2
3
 
 
18. (EEAr - 2016) O conjunto solução da inequação 
22.
4
5
2 2x1x2 − ++ é 
a) 






−= 2x
2
1
/RxS 
b)  1x1/RxS −= 
c)  1x0/RxS = 
d)  1x/RxS = 
19. (EEAr - 2017) A desigualdade 
x5x3
4
1
2
1












−
 tem 
como conjunto solução 
a) S = {x  R | x > 1} 
b) S = {x  R | x < 5} 
c) S = {x  R | x > 5} 
d) S = {x  R |1 < x < 5} 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Prof. Wellington Nishio 
20. (EEAr - 2018) O valor real que satisfaz a equação 
4x – 2x – 2 = 0 é um 
número 
a) entre –2 e 2 
b) ent re 2 e 4 
c) maior que 4 
d) menor que –2 
21. (EEAr - 2018) Na função ,27)x(f x
2x+
= tal que x ≠ 0, 
o valor de x para que f(x) = 36, é um número 
a) divisível por 2 
b) divisível por 3 
c) divisível por 5 
d) divisível por 7 
 
22. (EEAr - 2019) A população de uma determinada 
bactéria cresce segundo a expressão P(x) = 30.2x , em 
que x representa o tempo em horas. Para que a 
população atinja 480 bactérias, será necessário um 
tempo igual a _____ minutos. 
a) 120 
b) 240 
c) 360 
d) 400 
23. (EEAr - 2019) Sabe-se que .4
3
2 x
x
=





Dessa forma, 
x + 2 é igual a 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
24. (EEAr - 2020) Se ,0
3
1
3
y3
x =−
+
então x + y é igual a 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) −3 
 
25. (EsSA – 2008) O valor de x tal que 34 . 35 . 36 ... 3x 
= 330 é: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 12 
e) 13 
 
26. (EsSA – 2009) A soma dos dois primeiros números 
inteiros do domínio da função definida por 
2x 1 2x 4
1
g(x)
9 3− − +
=
−
 
a) 3 
b) 1 
c) -1 
d) 7 
e) 5 
 
27. (EsSA – 2012) Se 5x + 2 = 100, então 52x é igual a 
a) 4. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 16. 
e) 100. 
28. (EsSA – 2012) O conjunto solução da equação 
exponencial 4x – 2x = 56 é 
a) {-7,8} 
b) {3,8} 
c) {3} 
d) {2,3} 
e) {8} 
 
29. (EsPCEx - 1996) A soma das raízes da equação 
3𝑥 + 31−𝑥 = 4 é: 
a) 2 
b) -2 
c) 0 
d) -1 
e) 1 
 
30. (EsPCEx – 1996) A soma e o produto das raízes da 
equação ( )
2x 6x 5
x 62 1
− +
+ = são, respectivamente: 
a) -5 e 6 
b) 11 e 30 
c) 0 e -30 
d) 0 e -6 
e) -11 e 0 
 
31. (EsPCEx – 1997) O conjunto solução da inequação 
x 3 2x 1 8x 1
2 25 2
5 4 5
+ + +
     
      
     
: 
a) tem módulo da diferença entre os extremos igual a 
3,5 
b) inclui o zero 
c) inclui apenas um número inteiro negativo 
d) é vazio 
e) inclui três números inteiros 
 
32. (EsPCEx – 1997) O valor da soma das raízes reais 
da equação 
2
3x 1
x 110 10 0
−
+ − = é: 
a) 3 
b) 1 
c) 0 
d) 9 
e) 2 
 
33. (EsPCEx – 1998) O domínio da função 
x 2
1
f(x)
1
3
9
− −
=
−
 
a) 𝑅−
∗ 
b) R_ 
c) R+ 
d) 𝑅+
∗ 
e) R 
 
34. (EsPCEx – 1998) A soma e o produto das raízes da 
equação 
2x x 9
3 243
9.
5 125
− −
 
= 
 
 são, respectivamente: 
a) 1 e -12 
b) 7 e 12 
c) -2 e -8 
d) -1 e 12 
e) 7 e 10 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Prof. Wellington Nishio 
35. (EsPCEx – 1999) A fórmula N = 6.108.V-3/2 
relaciona, numa dada sociedade, o número N de 
indivíduos que possuem renda anual superior ao valor 
V, em reais. Nessas condições, pode-se afirmar que, 
para pertencer ao grupo dos 600 indivíduos mais ricos 
dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda 
anual de 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 100.000,00 
c) R$ 1.000.000,00 
d) R$ 10.000.000,00 
e) R$ 100.000.000,00 
 
36. (EsPCEx – 2000) O valor da soma das raízes da 
equação 012.172 3x2x2 =+−−− é: 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
37. (EsPCEx – 2000) O menor valor que a função real 
9x6x2
2
1
y
−+−






= pode assumir, é: 
a) 1 
b) 2 
c) 
2
1
 
d) 
4
1
 
e) 
8
1
 
 
38. (EsPCEx – 2001) O conjunto-solução da inequação 
4
1
2
1
3x






−
é: 
a) [5, +∞[ 
b) [4, +∞[ 
c) ]-∞, 5] 
d) {x  R / x ≤ -5} 
e) {x  R / x ≥ -5} 
 
39. (EsPCEx – 2001) Uma pequena empresa expande 
suas vendas em 20% ao ano. Se num determinado ano 
ela vendeu 500 unidades, t anos após, terá vendido: 
a) 500(0,2)t 
b) 500(1,2)t 
c) 500(0,02)t 
d) 500.2t 
e) 500(1,02)t 
40. (EsPCEx – 2002) A solução de 82 x
48
=






é um: 
a) múltiplo de 16. 
b) múltiplo de 3. 
c) número primo. 
d) divisor de 8. 
e) divisor de 9. 
 
41. (EsPCEx – 2002) O produto dos elementos do 
conjunto-solução da equação exponencial 






+






+
=
x
1
x
x
1
x
2
1024
2
2
2
é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
42. (EsPCEx – 2002) A soma das soluções reais de 
1x 8x2x2
=−+ é 
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
43. (EsPCEx – 2003) Se os números inteiros x e y 
satisfazem a equação y2yx1x 3322 −=+ ++ , então x + y é 
igual a 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
44. (EsPCEx – 2004) Supondo x  R, com x > 0 e 
x ≠ 1, a inequação 31x2 xx − tem como solução: 
a) 0 < x < 1 
b) x > 2 
c) x > 1 
d) 1 < x < 2 
e) 2 < x < 3 
 
45. (EsPCEx – 2005) Se n é um número inteiro positivo, 
então o valor de (–2)n + (–2)n+1 será sempre igual a 
a) zero. 
b) 2. 
c) 2n, para todo n. 
d) (–2)n, se n for ímpar. 
e) –2n, se n for par. 
 
46. (EsPCEx – 2005) O valor de revenda de um carro 
é dado por V(t) = V0(0,8)t, em que V0 é o valor inicial e 
V(t) é o valor após t anos de uso. A alternativa que mais 
se aproxima do percentual de desvalorização desse 
carro, em relação ao valor inicial, após 3 anos exatos 
de uso, é 
a) 24%. 
b) 47%. 
c) 49%. 
d) 50%. 
e) 51%. 
 
47. (EsPCEx – 2006) Um comerciante aumenta o preço 
inicial (PI) de um produto em x% e, em seguida, resolve 
fazer uma promoção, dando um desconto, também de 
x%, sobre novo preço. Nessas condições, a única 
afirmativa correta, dentre as representadas abaixo, em 
relação ao preço final (PF) do produto, é: 
a) o PF é impossível de ser relacionado com o preço 
inicial. 
b) o PF é igual ao preço final. 
c) 
2
210
PF PI. .x
2
−
= 
d) 4 2PF PI.10 .x−= 
e) ( )4 2PF PI. 1 10 .x−= − 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Prof. Wellington Nishio 
48. (EsPCEx – 2007) A quantidade de números inteiros 
ímpares que pertencem ao intervalo que satisfaz a 
inequação exponencial 4
2
1
5x8x2






+−
 é de 
a) um número ímpar. 
b) dois números ímpares. 
c) três números ímpares. 
d) quatro números ímpares. 
e) cinco números ímpares. 
 
49. (EsPCEx – 2007) Ao encontrarmos as raízes da 
equação exponencial 4x - 12.2x + 32 = 0 e 
multiplicarmos essas raízes entre si, obteremos por 
produto o valor: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 
 
50. (EsPCEx – 2008) Os gráficos das funções 
f(x) = ax – 2 e g(x) = x2 – 9x – 7 se interceptam em um 
ponto cuja abscissa é igual a 5. Nesse caso, o valor de 
a é 
a) -1/3 b) 1/3 c) 3 d) -3 e) 27 
 
51. (EsPCEx – 2009) Um dos modelos matemáticos de 
crescimento populacional é conhecido como “Modelo 
Malthusiano” (Thomas Malthus, 1766-1834). Neste 
modelo, a evolução de uma população é dada pela 
função P(t) = P0 · Kt em que P0 é a população inicial, k 
indica a taxa de crescimento (considerada constante e 
não negativa neste modelo) e t é o tempo decorrido. 
Um biólogo que estudava uma cultura de bactérias 
observou que, oito horas após o início do experimento, 
a população era de 8000 indivíduos e que, duas horas 
depois dessa observação, a população era de 16000 
indivíduos. Podemos afirmar que a população inicial era 
de 
a) 250. b) 500. c) 512. d) 1000. e) 1024. 
 
52. (EsPCEx – 2010) Dada a expressão 
2xx4
3
1
−






, em 
que x é um número real qualquer, podemos afirmar que 
a) o maior valor que a expressão pode assumir é 3 
b) o menor valor que a expressão pode assumir é 3 
c) o menor valor que a expressão pode assumir é 
81
1
 
d) o maior valor que a expressão pode assumir é 
27
1
 
e) o menor valor que a expressão pode assumir é 
9
1
 
 
53. (EsPCEx – 2011) O conjunto solução do sistema 
x y
3 2
3 .27 9
2
y xy 0
3
 =


+ =

é formado por dois pontos, cuja 
localização no plano cartesiano é 
a) ambos no primeiro quadrante 
b) um no quarto quadrante e o outro no eixo x 
c) um no segundo quadrante e o outro no terceiro 
quadrante 
d) um no terceiro quadrante e o oturo no eixo y 
e) um no segundo quadrante e o outro no eixo x 
 
54. (EsPCEx – 2011) Na pesquisa e desenvolvimento 
de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-
se que a ação do produto sobre a população de insetos 
em uma lavoura pode ser descrita pela expressão 
N(t) = N0 . 2kt, sendo N0 a população no início do 
tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento 
e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. 
Dados de campo mostraram que, após dez dias de 
aplicação, a população havia sido reduzida à quarta 
parte da população inicial. Com estes dados, podemos 
afirmar que o valor da constante de eficácia deste 
produto é igual a 
a) 5-1 
b) - 5-1 
c) 10 
d) 10-1 
e) - 10-1 
 
55. (EsPCEx – 2017) As raízes inteiras da equação 
23x – 7.2x + 6 = 0 são 
a) 0 e 1 
b) -3 e 1 
c) -3, 1 e 2 
d) -3, 0 e 1 
e) 0, 1 e 2 
 
56. (EsPCEx – 2018) A figura mostra um esboço do 
gráfico da função f(x) = ax + b, com a e b reais, a > 0, 
a ≠ 1 e b ≠ 0. Então, o valor de f(2) – f(-2) é igual a 
 
a) 
3
4
− b) 
15
4
− c) 
1
4
− d) 
7
6
− e) 
35
6
− 
 
57. (AFA – 2007) Sabe-se que o isótopo do carbono, 
C14, tem uma meia vida de 5760 anos, isto é, o número 
N de átomos de C14 é reduzido a 
N
2
 após um espaço 
de tempo de 5760 anos. Essa substância é radioativa 
se degrada segundo a sequência N = N0 . 2-t, 
t  {0, 1, 2, ...} em que N0 representa o número de 
átomos de C14 na substância no instante t = 0 e t é o 
tempo medido em unidades de 5760 anos. Com base 
nas informações acima, pode-se dizer que: 
a) o número de átomos quando t = 1 era 5760. 
b) o número de átomos será igual a um terço de N0 
quando decorridos 1920 anos. 
c) após 11520 anos haverá a quarta parte do número 
inicial de átomos. 
d) quando t = 5760 haverá metade do número inicial. 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Prof. Wellington Nishio 
58. (AFA – 2015) Considere a função real f: R → R, 
definida por f(x) = ax – b, em que 0 < a < 1 e b > 1. 
Analise as alternativas abaixo e marque a FALSA. 
a) Na função f, se x > 0, então -b < f(x) < 1 – b. 
b) Im(f) contém elementos menores que o número real 
-b. 
c) A raiz da função f é um número negativo. 
d) A função real h, definida por h(x) = f(|x|) não possui 
raízes. 
 
59. (AFA – 2017) A função real é definida por 
f(x) = a.3x + b, a sendo a e b constantes reais, está 
graficamente representa abaixo. 
 
Pode-se afirmar que o produto (a.b) pertence ao 
intervalo real 
a) [-4, -1[ 
b) [-1, 2[ 
c) [2, 5[ 
d) [5, 8] 
 
60. (AFA – 2020) Considere a função real g: R → A tal 
que g(x) = -b – b -|x|; b  R e b > 1; em que A é o conjunto 
imagem de g. 
Com relação à função g, analise as alternativas e 
marque a verdadeira. 
a) x  R para os quais g(x) > -b. 
b) A função g admite inversa. 
c) O conjunto solução da equação g(x) = -b – 1 é 
unitário. 
d) A função h definida por h(x) = g(x) + b + 1 é positiva 
x  R. 
 
61. (AFA – 2023) Considere as funções reais f, g e h 
em cada proposição abaixo. 
Analise e classifique corretamente cada uma quanto a 
ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA. 
( ) Se f(x) = ax, com a ∈ IR*, então f é uma função par. 
( ) Se h(x) = −a-x-1, com a > 1, então h é uma função 
crescente para todox ∈ IR 
( ) Se o contradomínio de g é CD = [−b, +∞[ e g(x) = x2 
− b, com b ∈ IR, então g é, necessariamente, uma 
função injetora. 
Sobre as proposições, tem-se que 
a) todas são falsas. 
b) todas são verdadeiras. 
c) apenas uma é verdadeira. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
62. (EFOMM - 2009) Em uma certa região, ocorreu uma 
infecção viral que se comportou de acordo com a 
função: N(t) = a.2b.t, em que N(t) são pessoas 
infectadas em t dias após a realização do estudo; a e b 
constantes reais. 
Sabe-se que, ao iniciar o estudo, havia 3000 pessoas 
infectadas e que, após 2 dias, esse número chegava a 
24000 pessoas. Assinale a alternativa que representa o 
número de pessoas infectadas após 16 horas. 
a) 5.000 
b) 6.000 
c) 7.000 
d) 8.000 
e) 9.000 
 
63. (EFOMM – 2014) O valor de x para resolver a 
equação 4x + 6x = 2.9x é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
64. (EFOMM – 2016) Um aluno precisa construir o 
gráfico da função real f, definida por 
x xe e
f(x) .
2 2
−
= + Ele 
percebeu que a função possui a seguinte característica: 
x ( x) x xe e e e
f( x) f(x).
2 2 2 2
− − − −
− = + = + = 
Assinale a alternativa que representa o gráfico dessa 
função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Prof. Wellington Nishio 
65. (EFOMM – 2021) Sejam f e g funções reais 
definidas por 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 , 𝑥 ≥ 1
𝑥, 𝑥 < 1
 𝑒 𝑔(𝑥) = {
1 − 𝑥2, 𝑥 ≥ 0
𝑥2 − 1, 𝑥 < 0
 
Sendo assim, pode-se dizer que f o g(x) é definida por 
a) 
2
2
2
1 x
2
x 1
1 x ,x 0
2 ,x 0
f g(x)
x 1, 2 x 0
2 ,x 2
−
−
 − 

 =
= 
− −  

 −
 
b) 
2
2
2
1 x
2
x 1
x 1,x 0
2 ,x 0
f g(x)
1 x , 2 x 0
2 ,x 2
−
−
 − =

 
= 
− −  

 −
 
c) 
2
2
2
1 x
2
x 1
1 x ,x 0
2 ,x 0
f g(x)
x 1, 2 x 0
2 ,x 2
−
−
 − 

 =
= 
− −  

 −
 
d) 
2
2
2
1 x
2
x 1
1 x ,0 x 1
2 ,x 0
f g(x)
x 1, 2 x 0
2 ,x 2
−
−
 −  

 =
= 
− −  

 −
 
e) 
2
2
2
1 x
2
x 1
1 x ,x 1
2 ,0 x 1
f g(x)
x 1, 2 x 0
2 ,x 2
−
−
 − 

  
= 
− −  

 −
 
 
66. (ITA – 2012) Considere um número real a  1 
positivo, fixado, e a equação em x 
2x xa 2 a 0,+  − =  
Das afirmações: 
I. Se β < 0, então existem duas soluções reais distintas; 
II. Se β = -1, então existe apenas uma solução real; 
III. Se β = 0, então não existem soluções reais; 
IV. Se β > 0, então existem duas soluções reais 
distintas. 
É (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I. 
b) I e III. 
c) II e III. 
d) II e IV. 
e) I, III e IV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67. (ITA – 2021) Seja S o conjunto solução 
inequação ( )
22x x 1
2x x 1 1.
− −
+ +  Podemos afirmar que: 
a) S = [-1, 1]. 
b) 
1
S 1, .
2
 
= − − 
 
 
c) S = [0, 1]. 
d)  
1
S 1, 0,1 .
2
 
= − −  
 
 
e) S é o conjunto vazio. 
 
68. (EN – 2012) Sendo x e y números reais, a soma de 
todos os valores de x e de y, que satisfazem ao sistema 
y
2
x
1
x
y
,
1
y
x

=


 =

vale 
a) 
36
5
 
b) 
9
2
 
c) 
5
2
 
d) 
25
4
 
e) 
1
2
− 
 
GABARITO 
 
A) 3, 8, 9, 16, 20, 21, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 40, 41, 49, 
55, 59, 63, 65 
B) 5, 6, 10, 12, 18, 19, 22, 39, 42, 48, 51, 54, 56, 58, 62, 
67, 68 
C) 1, 15, 25, 28, 30, 31, 46, 57, 60, 61, 64, 66 
D) 2, 4, 7, 11, 13, 14, 17, 23, 24, 27, 43, 44, 50, 67 
E) 26, 29, 36, 45, 47, 52, 53