Função Modular e Equações

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO MODULAR 
Prof. Wellington Nishio 
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
 
Definição de Módulo 
Inicialmente definimos módulo de um número real como 
|x|, ou valor absoluto de x. 
Entende-se módulo como: 
| x | x, quando x 0
| x | x, quando x 0
= 

= −  , assim o significado destas 
sentenças é: 
i) o módulo de um número real não negativo é o próprio 
número. 
ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do 
número. 
Exemplo: 
|1| = 1, |–3| = 3, |+5| = 5, – | – 1| = –1. 
 
Também é possível compreender a notação de módulo 
como: 
|𝒙| = √𝒙𝟐 
 
Consequências Importantes 
• |x|  0, para qualquer x real. 
• |x| = 0  x = 0. 
• |x|.|y| = |x.y|, para qualquer x e y reais. 
• |x|2 = x2 para qualquer x real. 
• |x| + |y| ≥ |x + y| para qualquer x e y reais. 
• |x| - |y| ≤ |x - y| para qualquer x e y reais. 
• |x| ≤ a e a > 0  -a ≤ x ≤ a. 
• |x| ≥ a e a > 0  x ≤ -a ou x ≥ a. 
 
Função Modular 
É aquela que associa a cada elemento x real um 
elemento |x|  R. 
Para que o conceito de função fique claro adotamos a 
notação de uma função f(x) = |x|, como sendo: 
x,se x 0
f(x) | x |
x,se x 0

= = 
−  
 
 
Equações modulares 
Para que uma equação seja identificada como modular, 
ela deverá possuir dentro de um módulo uma 
expressão que contenha uma ou mais incógnitas. 
Exemplo 01: 
|3x – 15| = 3 
 
Exemplo 02: 
|2x – 2| = |5 – x| 
 
 
 
 
Inequações modulares 
Para que uma inequação seja identificada como 
modular, ela deverá possuir dentro de um módulo uma 
expressão que contenha uma ou mais incógnitas. 
 
Exemplo 01: A soma dos valores inteiros de x que 
satisfazem simultaneamente as desigualdades: 
|x - 5| < 3 e |x - 4| ≥ 1 é: 
a) 25 
b) 13 
c) 16 
d) 18 
e) 21 
 
Exemplo 02: Se x é uma solução de |2x - 1| < 5 - x, 
então: 
a) 5 < x < 7. 
b) 2 < x < 7. 
c) - 5 < x < 7. 
d) - 4 < x < 7. 
e) - 4 < x < 2. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2000) A solução da inequação 
|x – 2| + |x – 4| ≥ 6, em U = , é o conjunto: 
a) S = {x   | x ≥ 6} 
b) S = {x   | x  0} 
c) S = {x   | x  0 e x ≥ 6}
 
d) S = {x   | x  0 ou x ≥ 6} 
 
2. (EEAr – 2001) Resolvendo, em R, a equação 
|2x – 3| = |x + 5|, obtemos o seguinte conjunto solução: 
a) {-2, 2} 
b) {-2. 8} 
c)






− 2,
3
2
 
d) 






− 8,
3
2
 
 
3. (EEAR - 2002) Os valores reais de x do sistema 
1 < | x – 1 | < 2 são 
a) -1 < x < 0 ou 2 < x < 3 
b) 0 < x < 2 
c) x < 0 ou x > 2 
d) -1 < x < 2 
 
4. (EEAr – 2002) O número de elementos do conjunto 
solução da equação | 2x + 5 | = -4x + 1, em , é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) infinito 
 
5. (EEAr – 2003) Sendo S o conjunto-solução da 
equação 1x31x3 +−=− em  , pode-se afirmar que 
a) S
2
1
 b) S
3
2
 c) S
3
1
,
5
3







 d) S
7
2
,
5
1







 
 
 
 
 
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6. (EEAr – 2003) A equação 06xx
2
=−+ 
a) só tem uma solução. 
b) tem duas soluções, tais que seu produto é = – 6. 
c) tem duas soluções, tais que seu produto é = – 4. 
d) tem duas soluções, tais que seu produto é igual a 0. 
 
7. (EEAr – 2004) Considere a equação 2x6x3 +=− . 
Com respeito às raízes dessa equação, podemos 
afirmar que elas pertencem ao intervalo: 
a) [1, 2]. 
b) ]2, 5[. 
c) ]0, 4]. 
d) ]1, 4]. 
 
8. (EEAr – 2005) A soma das raízes da equação 
1x3x2 −=− é: 
a) 1 
b) 
3
5
 
c) 
3
10
 
d) 5 
 
9. (EEAr – 2006) O conjunto dos valores reais de x para 
os quais a expressão
2
x 1
x 10x 21
−
− +
é estritamente 
positiva é 
a) {x R / x > 1}. 
b) {x R / x > 3 e x ≠ 7}. 
c) {x R / x < 1 ou 3 < x < 7}. 
d) {x R / x > 1, x ≠ 3 e x ≠ 7}. 
 
10. (EEAr – 2007) No conjunto solução da inequação 
5
3
x
1 − , a quantidade de números inteiros pares é: 
a) 14 
b) 12 
c) 10 
d) 8 
 
11. (EEAr – 2008) Em R, o conjunto solução da 
equação |x - 2| = 2x +1 é formado por: 
a) dois elementos, sendo um negativo e um nulo. 
b) dois elementos, sendo um positivo e um nulo. 
c) somente um elemento, que é positivo. 
d) apenas um elemento, que é negativo. 
 
12. (EEAr – 2010) Seja a inequação |x – 1|  3. A soma 
dos números inteiros que satisfazem essa inequação é 
a) 8 
b) 7 
c) 5 
d) 4 
 
13. (EEAr – 2011) A função modular f(x) = |x – 2| é 
decrescente para todo x real tal que 
a) 0 < x < 4 
b) x > 0 
c) x > 4 
d) x  2 
 
14. (EEAr - 2013) Seja a função f:  → , definida por 
f(x) = |2x2 - 3|. O valor de 1 + f(-1) é 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
15. (EEAr – 2017) Seja f(x) = |x - 3| uma função. A soma 
dos valores de x para os quais a função assume o valor 
2 é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
 
16. (EEAr – 2018) Seja f:  →  uma função. Essa 
função pode ser 
a) x)x(f = 
b) f(x) = |x| 
c) 
x
1
)x(f = 
d) 
x1
1
)x(f
+
= 
 
17. (EEAr – 2019) Seja f(x) = |3x – 4| uma função. 
Sendo a ≠ b e f(a) = f(b) = 6, então o valor de a + b é 
igual a 
a) 5/3 
b) 8/3 
c) 5 
d) 3 
 
18. (EEAr – 2019) Dada a equação |x2 – 2x – 4| = 4, a 
soma dos elementos do conjunto solução é 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
19. (EEAr – 2021) Seja a inequação |−2x + 6| ≤ 4, no 
conjunto dos números reais. A quantidade de números 
inteiros contidos em seu conjunto solução é ____. 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
20. (EEAr – 2022) A soma das raízes da equação 
2|x|2 − 5|x| = 3 é um valor 
a) igual a 2 
b) entre 2 e 3 
c) maior que 3 
d) menor que 1 
 
21. (EEAr – 2023) Se a função f: A → IR definida por 
f(x) = | x - 2 | é uma função injetora, então um possível 
conjunto A é {x  IR | __________}. 
a) −2 < x < 4 
b) 0 ≤ x ≤ 4 
c) x ≥ 0 
d) x ≥ 2 
 
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22. (EsSA – 2019) Observe a equação modular 
|3x – 2| = 8 + 2x e identifique a alternativa que apresenta 
uma das possíveis raízes: 
a) -10. 
b) 4 
c) 10. 
d) 0 
e) -4 
 
23. (EsSA – 2020) A solução da inequação 
|3x – 10|  2x é dada por: 
a) S = {x  R | x  2 ou x  10}. 
b) S = {x  R | 2  x  10}. 
c) S =  
d) S = {x  R | x  10}. 
e) S = {x  R | x  2}. 
 
24. (EsSA – 2021) Observe o gráfico da função modular 
𝑓: ℝ → ℝ definida pela lei 𝑓(𝑥) = |𝑥|. 
 
Nessas condições, assinale a alternativa que ilustra o 
gráfico da função g: ℝ → ℝ definida pela lei 
g(x) = |x + 1|. 
 
 
25. (EsSA – 2021) O produto de todos os números reais 
que satisfazem a equação modular |3𝑥 − 12| = 18 é um 
número 𝑃. Então, o valor de 𝑃 é igual a: 
a) −100 
b) −20 
c) −2 
d) 10 
e) 20 
 
 
 
26. (EsSA – 2022) O valor da soma dos elementos do 
conjunto solução da equação |4𝑥 − 5| = 2𝑥 − 1, é igual 
a: 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
e) 2 
 
27. (EsPCEx – 2001) O valor da soma entre o menor e 
o maior valor assumido pela expressão 
xy
xy2
y
y
x
x
++ , 
quando x e y variam no conjunto de todos os números 
reais não nulos, é 
a) -6 
b) -2 
c) 2 
d) 4 
e) 6 
 
28. (EsPCEx – 2001) Dada a equação 
05x3x2 =−+− , a soma de todas as suas soluções é 
igual a 
a) 3 
b) 8/3 
c) 2 
d) 4/3 
e) 2/3 
 
29. (EsPCEx – 2003) O número de raízes reais distintas 
da equação x|x| - 3x + 2 = 0 é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
30. (EsPCEx – 2004) A soma dos quadrados de todas 
as raízes da equação x2 + 4x – 2.|x + 2| + 4 = 0 é igual 
a 
a) 16. 
b) 20. 
c) 24. 
d) 28. 
e) 36. 
 
31. (EsPCEx – 2005) Sejam x e y números reais não 
nulos. Das seguintes afirmações: 
I. Se |x| = |y| então x = y 
II. |x + y| ≥ |x| + |y| 
III. Se 0< x <1 então x2 < x 
IV. Se x < 0 então x = 2x 
Pode-se concluir que 
a) todas são verdadeiras 
b) somente a IV é falsa 
c) somente I e III são verdadeiras 
d) somente II e IV são falsas 
e) somente a III é verdadeira 
 
 
 
 
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32. (EsPCEx – 2009) Observandoo gráfico abaixo, que 
representa a função real f(x) = |x - k| - p, pode-se 
concluir que os valores de k e p são, respectivamente, 
 
a) 2 e 3 
b) -3 e -1 
c) -1 e 1 
d) 1 e -2 
e) -2 e 1 
 
33. (EsPCEx – 2010) Dada a função real modular 
f(x) = 8 + (|4k – 3| – 7) x, em que k é real. Todos os 
valores de k para que a função dada seja decrescente 
pertencem ao conjunto 
a) k > 2,5 
b) k < –1 
c) –2,5 < k < -1 
d) –1 < k < 2,5 
e) k < –1 ou k > 2,5 
 
34. (EsPCEx – 2011) Considerando a função Real 
f(x) = (x – 1).|x - 2|, o intervalo real para o qual f(x) ≥ 2 
é 
a) {x  R | x ≥ 3 } 
b) {x  R | x ≤ 0 ou x ≥ 3 } 
c) {x  R | 1 ≤ x ≤ 2} 
d) {x  R | x ≥ 2 } 
e) {x  R | x ≤ 1 } 
 
35. (EsPCEx – 2014) Se Y = {y  R tal que 
|6y – 1| ≥ 5y – 10}, então: 
a) 𝑌 = ]−∞,
1
6
] 
b) Y = {-1} 
c) Y = R 
d) Y =  
e) 𝑌 = ]
1
6
, +∞[ 
 
36. (EsPCEx – 2015) O número de soluções da 
equação 
1
2
. |𝑥|. |𝑥 − 3| = 2. |𝑥 − 
3
2
|, no conjunto, é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
37. (EsPCEx – 2016) Considere a função real definida 
por 𝑓(𝑥) = {
2 − |𝑥 − 3|, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
−𝑥2 + 2𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
, o valor de f(0) + f(4) 
é 
a) -8 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
38. (EsPCEx – 2017) O gráfico que melhor representa 
a função real definida por {
4 − |𝑥 − 4|, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 7
𝑥2 − 2𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
 é 
 
 
39. (EsPCEx – 2017) Os gráficos de f(x) = 2 e 
g(x) = x2 − |x| têm dois pontos em comum. O valor da 
soma das abscissas dos pontos em comum é igual a 
a) 0 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 15 
 
40. (EsPCEx – 2018) O conjunto solução da inequação 
| |x – 4| + 1| ≤ 2 é um intervalo do tipo [a, b]. O valor de 
a + b é igual a 
a) -8. 
b) -2. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 8. 
 
41. (EsPCEx – 2019) Sabendo que o gráfico a seguir 
representa a função real f(x) = |x - 2| + |x + 3|, então o 
valor de a + b + c é igual a 
 
a) -7 
b) -6 
c) 4 
d) 6 
e) 10 
 
42. (EsPCEx – 2020) A área da região compreendida 
entre o gráfico da função f (x) = ||x – 4| − 2|, o eixo das 
abscissas e as retas x = 0 e x = 6 é igual a (em unidades 
de área) 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 10 
e) 12 
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43. (EsPCEx – 2021) O número de soluções, em ℝ, da 
equação |x + 2| + |x – 1| = x + 1, é igual a 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
 
44. (EsPCEx – 2021) Abaixo temos 3 proposições: 
I) √𝑥2 = 𝑥, para todo x real. 
II) |-x| = x, para todo x real. 
III) 
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)
(𝑥 − 𝑎)
= 𝑥 − 𝑏, para todo x real. 
Analisando as proposições acima, podemos afirmar 
que 
a) I é a única proposição verdadeira. 
b) I e III são as únicas proposições verdadeiras. 
c) todas as proposições são verdadeiras. 
d) nenhuma proposição é verdadeira. 
e) II e III são as únicas proposições verdadeiras. 
 
45. (EsPCEx – 2022) O domínio A ⊂ ℝ da função real 
f, dada por f(x) = √1 − ||𝑥 + 2| − 3|, é 
a) A = [–6 ; 2]. 
b) A = [–6 ; 0]. 
c) A = [0 ; 2]. 
d) A = [–6 ; –4] U [0 ; +∞[. 
e) A = [–6 ; –4] U [0 ; 2]. 
 
46. (AFA - 2002) Sejam as funções g e f definidas por 
g: R → R tal que g(x) = 




−

2xse,1
2xse,2
 e f: R → R tal que 
f(x) = x – 2. Sobre a composta (g o f)(x), é correto 
afirmar que: 
a) se x  1, então (g o f)(x) = –1 
b) se x ≤ 0, então (g o f)(x) = 2 
c) se x ≤ –1, então (g o f)(x) = –1 
d) se x ≤ 1 e x  0, então (g o f)(x) = –1 
 
47. (AFA – 2005) Os valores de x que satisfazem a 
equação têm produto igual a 
 
a) 
256
81
− 
b) 
64
27
− 
c) 
16
9
− 
d) 
4
3
− 
 
48. (AFA - 2005) A soma dos números inteiros que 
satisfazem a sentença 3  |2x – 3|  6 é um número 
a) ímpar. 
b) primo. 
c) divisível por 3. 
d) que é divisor de 7. 
 
49. (AFA - 2007) Sobre a função real definida por 
( )




−−
−−+
=
1x1se,x1
1xou1xse,3xx2
)x(f
2
2
 pode-se dizer que 
a) f(x)  7  x  2 ou x ≤ –2 
b) tem valor máximo igual a 1 
c) f(x) > 0, x  R 
d) se –1 < x < 1, então 0 < y ≤ 1 
 
50. (AFA - 2012) Considere a figura abaixo que 
representa um esboço do gráfico da função real f. 
 
Segue-se que g(x) = f(x) -3u, h(x) = g(x + u) e j(x) = |h(x)| 
Um esboço do gráfico que melhor representa a função 
j é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x1x IIII =++
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51. (AFA – 2020) Considere as funções reais f e g 
definidas, respectivamente, por 
3 2x x x 1
f(x) 1
x 1
+ − −
= −
−
 
e 
3 2x x x 1
g(x) 1.
x 1
+ − −
= −
−
 
Sejam: 
• D(f) o conjunto domínio de f; 
• D(g) o conjunto domínio de g; 
• Im(f) o conjunto imagem de f; e 
• Im(g) o conjunto imagem de g. 
Sobre as funções f e g, analise cada proposição abaixo 
quanto a ser (V) verdadeira ou (F) falsa. 
(02) A função f admite valor mínimo igual a -1. 
(04) f é decrescente  x  ]-, -2]. 
(08) D(f) = D(g). 
(16) Im(g)  Im(f) 
(32) f(x) = g(x)  x  ]1, +[ 
A soma das proposições verdadeiras é 
a) 50 
b) 48 
c) 42 
d) 30 
 
52. (AFA – 2021) Considere a função real f definida por 
f(x) = |-|c + x| + c| com c  R. Dos gráficos apresentados 
nas alternativas a seguir, o único que NÃO pode 
representar a função f é 
 
53. (AFA – 2022) Considere o gráfico da função real 
f: IR → B definida por f(x) = 1 − x2 − |x2 − 1| 
Sobre a função f, marque a alternativa correta. 
a) f(x) < 0 ∀x ∈ [-1, 0[ 
b) f é crescente ∀x ∈ ]-∞, 0] 
c) Se B = ]-∞, 0], então a função f é bijetora. 
d) Existem infinitos valores de x para os quais f(x) = 0 
 
54. (EFOMM - 2012) A área entre o gráfico de 
y = ||3x + 2| - 3| e a reta y = 3, em unidades de área, 
vale: 
a) 6 
b) 3 
c) 1,5 
d) 2 
e) 0,5 
 
55. (EFOMM - 2014) Os valores de x  R, para os quais 
a função real dada por 61x24)x(f −−−= está 
definida, formam o conjunto 
a) 





−
2
3
,
2
1
 
b) 











−−
2
7
,
2
3
2
5
,
2
9
 
c) 











−−
2
11
,
2
7
2
1
,
2
5
 
d) 











−
2
7
,00,
2
5
 
e) 











−−
2
11
,
2
3
2
1
,
2
9
 
 
56. (EFOMM - 2016) Determine a imagem da função f, 
definida por 2x2x)x(f −−+= , para todo x  R, onde 
R é o conjunto dos números reais. 
a) Im (f) = R 
b) Im (f) = {y  R | y  0} 
c) Im (f) = {y  R | 0 ≤ y ≤ 4} 
d) Im (f) = {y  R | y ≤ 4} 
e) Im (f) = {y  R | y > 0} 
 
57. (EFOMM – 2020) A inequação |x| + |2x – 8|  |x + 8| 
é satisfeita por um número de valores inteiros de x igual 
a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
58. (EFOMM – 2020) Considere a inequação 
|x7 – x4 + x – 1|.|x2 – 4x + 3|.(x2 – 7x – 54)  0 . Seja I o 
conjunto dos números inteiros que satisfazem a 
desigualdade e na quantidade de elementos de I. Com 
relação a n, podemos afirmar que 
a) n é um número primo. 
b) n é divisível por 7. 
c) n não divide 53904. 
d) n é um quadrado perfeito. 
e) n é divisível por 6. 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
FUNÇÃO MODULAR 
Prof. Wellington Nishio 
59. (EFOMM – 2023) Considere uma função real f, cuja 
lei de formação é dada abaixo. 
f(x) = |x2 – 5x – 6| + |x| 
Sobre essa função pode-se afirmar que 
a) f é decrescente no intervalo I = (2, 6). 
b) f é crescente no intervalo I = (-1, 4). 
c) seu domínio é o conjunto D(f) = {x  ℝ | x  0}. 
d) sua imagem é o conjunto Im(f) = {y  ℝ | y  1}. 
e) f possui duas raízes reais. 
 
60. (ITA – 2011) O produto das raízes reais da equação 
|x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a 
a) -5. 
b) -1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 5. 
 
61. (ITA – 2017) O número de soluções inteiras da 
inequação 0  x2 - |3x2 + 8x|  2 é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
62. Assinale o gráfico que melhor representa a função 
real f(x) = 





=
++
−
−
1xse0
1xse|1x|2
1x
|1x|x
 
 a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
63. (EN – 2014 - Feminino) A soma das raízes reais 
distintas daequação ||x – 2| - 2| = 2 é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
64. (EN – 2014) O gráfico que melhor representa a 
função real f, definida por 
x 1 | x |
x, se x 1
f(x) x 1
x | x |,se x 1
− +
+  −
=  +
  −
 
é 
 
 
GABARITO 
 
A) 3, 10, 18, 34, 39, 43, 47, 49, 50, 51, 54, 60 
B) 12, 14, 16, 17, 23, 25, 30, 52 
C) 4, 6, 7, 8, 11, 15, 19, 22, 24, 27, 28, 35, 38, 41, 42, 
48, 56, 61, 62 
D) 1, 2, 5, 9, 13, 14, 20, 21, 26, 29, 33, 36, 37, 44, 46, 
53, 58, 59, 63 
E) 31, 32, 40, 45, 55, 57, 64