CAP 4 - Análise da Resposta Transitória e de Regime Estacionário

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CAP 4 
ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 
E DE REGIME ESTACIONÁRIO 
4.1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1 
4.2 – SINAIS DE TESTE ................................................................................................. 1 
4.2.1 – FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO, 𝛿(𝑡).............................................................. 1 
4.2.2 – FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO, 𝑢(𝑡) .............................................................. 2 
4.2.3 – FUNÇÃO RAMPA, 𝑟(𝑡) ..................................................................................... 2 
4.2.4 – FUNÇÃO POLINOMIAL, 𝑝(𝑡) ........................................................................... 2 
4.2.5 – FUNÇÃO SENO .................................................................................................. 3 
4.3 – RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1ª ORDEM ......................................................... 3 
4.3.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................. 4 
4.4 – RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ......................................................... 6 
4.4.1 – ANÁLISE DA RESPOSTA À EXCITAÇÃO EM DEGRAU ............................. 8 
4.4.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................. 9 
4.5 – RESPOSTA DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR ...................................... 14 
4.6 – ANÁLISE DE ESTABILIDADE .......................................................................... 16 
4.7 – CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ ................................ 16 
4.7.1 – ANÁLISE DA ESTABILIDADE RELATIVA ................................................. 22 
4.7.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................... 22 
4.8 – MATLAB .............................................................................................................. 26 
4.9 – LISTA DE EXERCÍCIOS ..................................................................................... 26 
 
 
 
 1 
4.1 – INTRODUÇÃO 
 
Na análise e no projeto de sistemas de controle o uso de sinais de teste na entrada 
permite efetuar a comparação de desempenho entre diferentes sistemas. Os critérios de 
projeto têm como base a resposta a esses sinais ou a resposta dos sistemas às mudanças 
das condições iniciais (sem qualquer sinal de teste). 
 
A resposta temporal, ( )c t , de um sistema de controle é dada pela equação: 
 
 ( ) ( ) ( )tr ssc t c t c t  
 
 
 
 
 
A resposta transitória permite analisar o comportamento dinâmico do sistema às 
variações do sinal de entrada, enquanto a resposta estacionária permite verificar a 
precisão através do valor do erro estacionário. 
 
Os principais sinais de teste normalmente empregados são as funções: impulso, degrau, 
rampa, senoidais e parábola de aceleração. 
 
A escolha do sinal de teste depende do comportamento da entrada, a que o sistema será 
submetido com maior frequência, sob condições normais de operação. 
 
4.2 – SINAIS DE TESTE 
 
4.2.1 – FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO, 𝛿(𝑡) 
 
Permite avaliar o sistema quando submetido a entradas de impacto. A função 
impulso também é utilizada quando se quer determinar a função de 
transferência de um sistema de controle LTI. 
 
1, 0
( )
0, 0
t
t
t


 

 e  ( ) 1L t  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta 
Estacionária 
Resposta 
Transitória 
t
)(t
 
 2 
4.2.2 – FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO, 𝑢(𝑡) 
 
Permite avaliar o sistema quando submetido a variações bruscas da entrada. 
 
𝑢(𝑡) = {
1 𝑡 ≥ 0
0 𝑡 < 0
 e ℒ{𝑢(𝑡)} =
1
𝑠
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.3 – FUNÇÃO RAMPA, 𝑟(𝑡) 
 
Permite avaliar o sistema quando submetido a variações graduais da entrada. 
 
𝑟(𝑡) = {
𝑡 𝑡 ≥ 0
0 𝑡 < 0
 e ℒ{𝑟(𝑡)} =
1
𝑠2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.4 – FUNÇÃO POLINOMIAL, 𝑝(𝑡) 
 
Permite avaliar o sistema quando submetido à aceleração da entrada. 
 
𝑝(𝑡) = {
1
2
𝑡2 𝑡 ≥ 0
0 𝑡 < 0
 e ℒ{𝑝(𝑡)} =
1
𝑠3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
)(tu
t
)(tr
t
)(tp
 
 3 
4.2.5 – FUNÇÃO SENO 
 
Permite avaliar o sistema quando submetido a diferentes frequências do sinal 
de entrada. Será estudada no capítulo de resposta em frequência de sistemas de 
controle – Sistemas Realimentados. 
 
OBS: Observe que existe uma relação entre os sinais de teste dado por suas derivadas. 
 
 
( )
( )
dr t
u t
dt
 e )(
)()(
2
2
t
dt
tdu
dt
trd
 
 
4.3 – RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1ª ORDEM 
 
 Um sistema de 1ª ordem possui a seguinte FTMA 
 
 
( ) 1
( )
C s
R s Ts
 
 
 Um sistema de 1ª ordem com realimentação unitária possui a FTMF dada por: 
 
 
( ) 1
( ) 1
C s
R s Ts


 
 
A resposta de sistemas de 1ª ordem é obtida substituindo ( )R s pelos sinais de 
controle apresentados acima. 
 
a) Resposta à excitação pela função impulso na FTMF 
 
 
 
𝑐𝛿(𝑡) =
1
𝑇
𝑒−𝑡 𝑇⁄ 
 
 4 
b) Resposta à excitação pela função degrau na FTMF 
 
 
c) Resposta à excitação pela função rampa na FTMF 
 
 
OBS: Observe que a resposta à derivada de um sinal de entrada é igual à derivada da 
resposta do sistema ao sinal original (sem derivar). Isso é válido para qualquer 
sistema LTI. 
 
𝑑
𝑑𝑡
{𝑐𝑟(𝑡)} = 𝑐𝑢(𝑡) 
 
𝑑
𝑑𝑡
{𝑐𝑢(𝑡)} = 𝑐𝛿(𝑡) 
 
4.3.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. (Avaliação 2006/1) Um termômetro é imerso em um líquido à temperatura 
constante. O termômetro atinge a marca de 98% do valor da temperatura do líquido 
após 1 minuto. 
a. Supondo o termômetro um sistema linear realimentado, determine a sua 
constante de tempo. 
b. Se a temperatura do líquido variar linearmente a uma taxa de 10ºC/min, qual 
será o erro apresentado pelo termômetro? 
 
 SOLUÇÃO 
 
a. A excitação de entrada no sistema (termômetro) é em degrau (líquido à 
temperatura constante). Podemos considerar o sistema como realimentado, 
ou seja, a temperatura do termômetro influencia na temperatura do líquido, 
𝑐𝑢(𝑡) = 1 − 𝑒
−𝑡 𝑇⁄ 
𝑐𝑟(𝑡) = 𝑡 − 𝑇 + 𝑇𝑒
−𝑡 𝑇⁄ 
 
 5 
mesmo que de forma desprezível. O valor de 98% da resposta ocorre para 
aproximadamente 4T, conforme o gráfico de resposta ao degrau. Como o 
tempo até esse patamar é de 1 minuto (60 segundos), então: 
 
 
4 60
15
T
T seg


 
 
b. Nesse caso a excitação do sistema é em rampa, pois o líquido tem sua 
temperatura variando linearmente a 10º por minuto. A marca de 98% da 
temperatura a cada minuto mostra um erro de 2% a cada minuto, assim: 
 
10
2% 2%
min
0,2
min
erro da saída
erro

  

 
 
2. (Avaliação 2006/2) Obtenha a função de transferência de malha fechada e a equação 
da curva de resposta do sistema de 1ª ordem cuja saída à uma excitação de um sinal 
de controle está representada na figura abaixo. 
 
SOLUÇÃO 
O gráfico representa a resposta à excitação pela função impulso, logo, a constante 
de tempo será 5
1

T
, portanto a 
12,0
1
1
1




sTs
FTMF e equação da curva de 
resposta é t
t
T ee
T
tc 5
1
5
1
)( 

 . 
 
 
 
 6 
4.4 – RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM 
 
 Um sistema de 2ª ordem possui a seguinte FTMA 
 
 
 
2
( )
( ) 2
n
n
C s
R s s s




 
 
onde,  é a constante de amortecimento e n é a frequência natural não 
amortecida do sistema. 
 
Na presença de amortecimento, o sistema oscila na frequência natural 
amortecida, d : 
  21d n rad s    
 
Se 0 , os polos estão no semi-plano direito e o sistema é INSTÁVEL. 
Se 0  , a resposta é oscilatória sem decaimento (não há amortecimento). Os 
dois polos estão sobre o eixo imaginário, e o sistema é MARGINALMENTE 
ESTÁVEL. 
 
Se 0 1  , a resposta é oscilatória subamortecida. Os dois polos estão no 
semi-plano esquerdo do plano complexo. 
 
Se 1  , a resposta não oscila e o sistema é criticamenteamortecido. Os dois 
polos são reais negativos e iguais a n . 
 
Se 1  , a resposta não oscila e o sistema é superamortecido. Os dois polos são 
reais negativos e diferentes. 
 
Um sistema de 2ª ordem com realimentação unitária possui a FTMF dada por: 
 
 
 
 
2
2 2
( )
( ) 2
n
n n
C s
R s s s

 

 
 
 
A resposta de sistemas de 2ª ordem é obtida substituindo ( )R s pelos sinais de controle 
apresentados acima. 
 
 
 
 7 
a) Resposta à excitação pela função impulso na FTMF 
 
 
b) Resposta à excitação pela função degrau na FTMF 
 
Resposta à excitação pela função rampa na FTMF 
 
 
 
 
 8 
4.4.1 – ANÁLISE DA RESPOSTA À EXCITAÇÃO EM DEGRAU 
 
 
 
 dt - Tempo de Atraso. 
 rt - Tempo de Subida. 
 
pt - Tempo de Pico. 
 st - Tempo de Acomodação (ou Tempo de Assentamento ou Regime) 
 
pM - Máximo Sobresinal (ou Máxima Ultrapassagem ou Overshoot) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a entrada um degrau UNITÁRIO, e o modelo padrão de sistema de 2ª 
ordem, temos: 
 
𝑡𝑠 𝑡𝑝 𝑡𝑟 𝑀𝑃 𝜁 𝛽 𝜔𝑑 𝑇 
4𝑇 (±2%) 𝜋
𝜔𝑑
 
𝜋 − 𝛽
𝜔𝑑
 
𝑒
−𝜋(
𝜁
√1−𝜁2
)
 
cos 𝛽 tan−1 (
𝜔𝑑
𝜁𝜔𝑛
) 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 
1
𝜁𝜔𝑛
 
3𝑇 (±5%) 
 
OBS: 
 Sistemas de 2ª ordem que possuam o mesmo 𝜁, mas diferentes valores de 𝜔𝑛 
apresentam o mesmo sobre-sinal e o mesmo andamento oscilatório, assim, diz-se 
que estes sistemas possuem a mesma estabilidade relativa. 
 A resposta de um sistema superamortecido é sempre mais lenta, qualquer que 
seja o sinal de entrada. 
n

Re 
Im 
Z 
n
𝑗𝜔𝑑 
 
 9 
 A máxima ultrapassagem e o tempo de subida são inversamente proporcionais. 
 O tempo de pico corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação 
amortecida. 
 Se o valor final da resposta, 𝑐(∞), não for unitário, o máximo sobresinal é 
calculado como: 
𝑀𝑃 =
𝑐(𝑡𝑝) − 𝑐(∞)
𝑐(∞)
 
 A curva de resposta, 𝑐(𝑡), permanece sempre dentro de um par de envoltórias: 
 
 
 
 Observe que a distância do polo à origem no eixo real define o tempo de 
acomodação dos componentes transitórios do polo no sistema. Quanto menor a 
distância, maior é o tempo de acomodação. 
 O tipo da resposta transitória é determinado principalmente pelos polos da 
função de transferência de malha fechada, enquanto os zeros determinam a 
forma da resposta transitória. 
 Na maioria dos sistemas reais é desejável que os polos estejam localizados na 
região do semi-plano esquerdo do plano 𝑆 limitada por 𝑅𝑒(𝑝ó𝑙𝑜𝑠) < 𝜁𝜔𝑛, 
𝜁 > 0,4 e 𝑡𝑠 < 4 𝜁𝜔𝑛⁄ . 
 
4.4.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Obtenha K e P da F.T. abaixo de forma que a resposta transitória a um degrau seja a 
mais rápida possível para uma ultrapassagem inferior a 5%. Além disso, o tempo de 
assentamento para uma faixa de 2% do valor final deve ser inferior a 4 segundos. 
Informe os tempos de subida e de pico aproximados. 
 
 
 
 
 
 
2
K
s Ps K 
R(s) C(s) 
 
 10 
SOLUÇÃO 
 
Máxima Ultrapassagem < 5% 
 
 
21
2
2 2
2
0.05
0.05
ln(0.05)
( 1)
1
0.69
0.953 0.91 1
0.691
pM
e






 

 
 
  


 
    
  

    
 



 
 
Tempo de Assentamento < 4 segundos 
 
𝑇 < 4𝑠𝑒𝑔 
4
𝜁𝜔𝑛
< 4 → 𝜔𝑛 < 1,5[𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ] 
 
Obtenção de K e P. 
𝐾
𝑠2 + 𝑃𝑠 + 𝐾
≡
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
 
 
portanto, 
 
𝐾 = 𝜔𝑛
2 > 2,1 
𝑃 = 2𝜁𝜔𝑛 > 2 
 
Obtenção do Tempo de Subida 
 
 
1 2
2
1
; ; 1
, 1,5 0,7
1,5 1 (0,7) 1,07
1,07
0,79
0,7 1,5
3,14 0,79
2,2
1,07
d
r d n
d n
n
d d
r r r
d
t tg
radassim para e
s
rad
s
tg rad
t t t seg
 
   
 
 
 
 
 



 
    
 
  
 
    
 
 
   
 
 
    
 
 
Obtenção do Tempo de Pico 
 2,93p p
d
t t seg


   
 
 
 
 11 
2. (Avaliação 2006/1) No circuito mostrado na figura abaixo, se ( )iv t for uma tensão 
em degrau, obtenha o valor do resistor de modo que seja vista uma tensão sobre o 
capacitor com uma ultrapassagem de 20%. Obtenha, ainda, o tempo de pico na 
tensão sobre o capacitor e o tempo de carga do mesmo para uma tolerância de carga 
de 2%. 610C F e 1L H 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
𝑉𝑐(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
=? 
 
Por divisor de tensão 
 
𝑉𝑐(𝑠) = 𝑉𝑖(𝑠)
𝑋𝑐
𝑅 + 𝑋𝑐 + 𝑋𝐿
 
𝑉𝑐(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
=
1
𝑠𝐶
𝑅 +
1
𝑠𝐶 + 𝑠𝐿
=
1
𝑠2𝐿𝐶 + 𝑠𝑅𝐶 + 1
 
𝑉𝑐(𝑠)
𝑉𝑖(𝑠)
=
1
𝐿𝐶
𝑠2 + 𝑠
𝑅
𝐿 +
1
𝐿𝐶
=
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
 
 
 
2 1 1000 [ / ]
2 2
n n
n n
rad s
LC
R
R L
L
 
 
   
  
 
 
 Para MP = 20% 
 
21
0, 2 0, 45e

 


   
 
 Assim, 
 2 912nR L R    
 
 
2
3,5[ ]
1
p p
n
t t ms

 
  

 
4
8,9 [ ]s s
n
t t ms

   
 
 
 
C 
R 
+ _ 
L 
( )iv t
 
 12 
3. (Prova Final 2005/2) Seja a função de transferência de um sistema qualquer: 
 
 
23
3
)(
)(
2 


ss
s
sR
sY
 
 
 Determine ( )y t para uma excitação impulsiva nesse sistema. Dado  
as
eL at


1
. 
 
SOLUÇÃO 
 
 Podemos reescrever o sistema como )(
)2)(1(
3
)( sR
ss
s
sY


 
 
 Para análise da resposta impulsiva, 1)( sR . 
 
 Assim, )(ty será a transformada inversa de Laplace de 
)2)(1(
3
)(



ss
s
sY . 
 
 Efetuando a expansão em frações parciais: 
 
 
21
)( 21




s
a
s
a
sY 
 
   
kpskk
sYpsa

 )(    
1
)(11 pssYpsa  
  
  
1
1
21
3
1
















s
ss
s
sa 
 2
2
3
1
1 














s
s
s
a 
 
  
2
)(22 pssYpsa  
  
  
2
2
21
3
2
















s
ss
s
sa 
 1
1
3
2
2 














s
s
s
a 
 
 
2
1
1
2
)(




ss
sY 
 
 De acordo com os dados fornecidos 
 
 0/2)(
2   tpeety tt 
 
 
 
 13 
4. (Prova Final 2006/2) Dado o circuito abaixo, encontre o valor de R e a relação entre 
L e C quando o sistema possui 0.5  . 
 
 
 
 
 
 
 
 SOLUÇÃO 
 
 
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C L
C L
L
V s V s V s i
I s I s I s ii
V s RI s iii
 
 

 
 
 Resolvendo (i) e (ii): 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
C L L L
C L
V s sLI s RI s sL R I s iv
I s sCV s I s v
   
 
 
 
 Substituindo (iv) em (v): 
    2( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )L L LI s sC sL R I s I s CLs CRs I s vi      
 
 De (iii) e (vi), temos 
 
0
( )( )
( )
LR I sV s
I s

 2 1 ( )LCLs CRs I s 
0
2
( )
1( )
R
V s CL
RI s s s
L CL

 
 
 
 
2 1 1n
R
R
LC LC
     
 
1 1
2 n n
n
R
L
L L
 

     
 2
1 1 1
1n
n
n
C
LC
C



    
 L C  
 
 
L 
( )i t C 0
( )v tR 
 
 14 
4.5 – RESPOSTA DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR 
 
Seja um sistema de controle com a função de transferência 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑘(𝑠 + 𝑧1)(𝑠 + 𝑧2) ⋯ (𝑠 + 𝑧𝑚)
(𝑠 + 𝑝1)(𝑠 + 𝑝2) ⋯ (𝑠 + 𝑝𝑛)
 𝑛 ≥ 𝑚 
 
onde 𝑧 e 𝑝 são os zeros e os pólos da função de transferência, respectivamente. 
 
Efetuando-se a expansão em frações parciais, temos: 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
= ∑
𝑎𝑖
(𝑠 + 𝑝𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
 
onde 𝑎𝑖 é o resíduo do pólo em 𝑠 = −𝑝𝑖. 
 
O domínio relativo dos polos de malha fechada é determinado pela relação das partes 
reais dos polos de malha fechada e pelo valor dos resíduos da expansão em frações 
parciais dos respectivos polos. 
 
Se todos os polos de malha fechada se situarem no semi-plano esquerdo do plano 𝑆, os 
valores dos resíduos da expansão em frações parciais determinarão a importância 
relativa dos componentes da função de transferência. 
 
Assim, se existir um zero de malha fechada próximo a um polo de malha fechada então 
o resíduo desse polo será pequeno. Isso porque um par de polos e zeros próximos vão se 
cancelar mutuamente. 
 
Se um polo estiver localizado muito longe da origemo resíduo desse polo poderá ser 
pequeno. Os transitórios correspondentes a esse polo serão pequenos e de curta duração, 
logo, esse polo pode ser desprezado. 
 
Em geral, se as relações das partes reais dos polos forem maiores que 5 e não houver 
zeros nas proximidades, então os polos de malha fechada mais próximos do eixo 
imaginário serão dominantes no comportamento da resposta transitória, porque 
correspondem aos termos da resposta transitória que decrescem lentamente. Geralmente 
apresentam-se como pares conjugados e são os mais importantes dos polos de malha 
fechada. 
 
Observe que a relação acima não obriga a anulação dos polos mais distantes do eixo 
imaginário da equação, mas apenas define quem domina mais a resposta do sistema. 
 
Entretanto, para sistemas de 3ª ordem, a resposta pode ser aproximada da resposta de 
um sistema de 2ª ordem por suas raízes dominantes, desde que a parte real de duas 
raízes dominantes seja inferior à 101 da parte real da 3ª raiz em módulo, ou seja, a 3ª 
raiz pode ser eliminada da equação. 
 
 
 
 15 
De outra maneira, seja um sistema com função de transferência a malha fechada 
 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
𝑎
(𝑠 + 𝑎)
(𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2)(1 + 𝜏𝑠)
 
 
Se 𝑎 ≫ 𝜁𝜔𝑛 e 𝜏 ≪ 𝜁𝜔𝑛, então o zero e o polo terão pouco efeito sobre a resposta ao 
degrau. 
 
EXEMPLO: Seja o sistema 
 
𝑇(𝑠) =
62,5(𝑠 + 2,5)
(𝑠2 + 6𝑠 + 25)(𝑠 + 20)
 
 
Para separar  da equação acima é necessário dividir o numerador e o denominador por 
20. Assim, 
 
𝑇(𝑠) =
3,12(𝑠 + 2,5)
(𝑠2 + 6𝑠 + 25)(0,05𝑠 + 1)
 
 
Têm-se 𝜁𝜔𝑛 = 3. Observa-se que 𝑎 = 2,5 não é muito maior que 𝜁𝜔𝑛, logo, o zero não 
pode ser desprezado, entretanto, 𝜏 = 0,05 ≪ 𝜁𝜔𝑛, então o pólo pode ser desprezado, 
assim, a equação fica: 
 
𝑇(𝑠) ≈
3,12(𝑠 + 2,5)
(𝑠2 + 6𝑠 + 25)
 
 
A resposta ao degrau de 𝑇(𝑠) e de sua aproximação é dada no gráfico abaixo. 
 
 
 
0 0.5 1 1.5 2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
 
 
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
u
d
e
T(s)
Aprox. T(s)
 
 16 
4.6 – ANÁLISE DE ESTABILIDADE 
 
A característica mais importante do comportamento dinâmico de um sistema de controle 
é a estabilidade absoluta, isto é, se um sistema é ESTÁVEL ou INSTÁVEL. 
 
Do conceito de estabilidade, precede o conceito de equilíbrio: 
 
“Um sistema de controle está em equilíbrio se, na ausência de qualquer 
distúrbio, ou sinal de entrada, a saída permanece no mesmo estado.” 
 
Assim, podemos definir a estabilidade absoluta: 
 
“Um sistema de controle LTI (Linear Time Invariant) é ESTÁVEL se a saída 
sempre retorna ao estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma 
condição inicial.” 
 
Por outro lado pode-se definir a estabilidade crítica: 
 
“Um sistema de controle LTI (Linear Time Invariant) é CRITICAMENTE 
ESTÁVEL se as oscilações do sinal de saída se repetirem de maneira 
contínua.” 
 
Por fim a instabilidade: 
 
“Um sistema de controle LTI (Linear Time Invariant) é INSTÁVEL se a saída 
divergir sem limites a partir do estado de equilíbrio quando o sistema for 
sujeito a uma condição inicial.” 
 
4.7 – CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ 
 
 
Polinômio do Numerador
Polinômio do Denominador
FT  
 
 Equação Característica: 
 É o Polinômio do Denominador. 
 Determina a Estabilidade de Sistemas Lineares. 
 
Como: 
ZEROS: Raízes do Polinômio do Numerador. 
 PÓLOS: Raízes do Polinômio do Denominador. 
 
 Então, os PÓLOS da FT é que determinam a estabilidade do sistema. 
 
 PROCEDIMENTO 
1. Represente a equação característica no domínio de Laplace como 
 1 2
1 2 1 0( ) 0
n n
n nq s a s a s a s a s a

       
2. Se existir pelo menos um coeficiente nulo, então o sistema NÂO É 
ESTÁVEL (pode ser INSTÁVEL ou MARGINALMENTE ESTÁVEL). 
 
 
 17 
EXEMPLOS 
a) 𝑠5 + 𝑠4 + 2𝑠2 + 𝑠 + 1 
 
SOLUÇÃO 
 O coeficiente do termo em s
3
 é nulo, logo, o sistema NÃO É 
ESTÁVEL. 
 
CONSTATAÇÃO 
Suas raízes são -1,65; 0,62  j0,98; -0,3  j0,6; logo, com raízes 
de parte real positiva o sistema é INSTÁVEL. 
 
b) 𝑠2 + 25 
 
SOLUÇÃO 
 O coeficiente do termo em 𝑠 é nulo, logo, o sistema NÃO É 
ESTÁVEL. 
 
CONSTATAÇÃO 
Suas raízes são:  j5; logo este sistema é MARGINALMENTE 
ESTÁVEL. 
 
 
3. Se existir trocas de sinais nos coeficientes, então, existem raízes da 
equação característica no semi-plano direito do plano s, ou seja, existem 
raízes reais positivas, logo, o sistema é INSTÁVEL. 
 
EXEMPLO: 
5 4 3 2( ) 2 24 48 25 50q s s s s s s      
 
SOLUÇÃO 
 Há trocas de sinais nos coeficientes da equação característica, 
logo, o sistema é INSTÁVEL. 
 
CONSTATAÇÃO 
Suas raízes são 1; -2;  j5; como existem raízes reais positivas, 
este sistema é INSTÁVEL. 
 
 
4. Se não existir coeficientes nulos, nem trocas de sinais nos coeficientes da 
equação característica, então, aplica-se o método de Routh. 
 
MÉTODO DE ROUTH 
 
 Determina a ESTABILIDADE ABSOLUTA de sistemas lineares. 
 
O Método: 
 
1. Seja a equação característica do problema: 
 1 2
1 2 1 0( ) 0
n n
n nq s a s a s a s a s a

       
 
 18 
2. Represente a equação característica na forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
21 2 3
1
1 31 1
4
3
1 51
1 3
1
1 31
1
1
1
n nn n n n
n
n nn n
n n
n
n nn
n n
n
n nn
a aa a a a
b
a aa a
a a
b
a aa
a a
c
b bb
  

  


 
 

 
 
 




 
e assim por diante. 
 
3. Caso 1: Se existir troca de sinal nos elementos da 1ª coluna então o 
sistema é INSTÁVEL. O número de trocas de sinal nos elementos da 1ª 
coluna é igual ao número de raízes da equação característica com parte 
real positiva, ou seja, é igual ao número de polos do sistema no semi-
plano direito do plano s. 
 
EXEMPLO: 
2
3 2
( ) 1
( ) 2 24
C s s
R s s s s


  
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTATAÇÃO 
Suas raízes são -3; 1  j2,6; existem duas raízes complexas com 
partes reais positivas, este sistema é INSTÁVEL. 
 
 
 
2 4
1
1 3 5
2
1 3 5
3
1 3 5
0
1
n
n n n
n
n n n
n
n n n
n
n n n
n
s a a a
s a a a
s b b b
s c c c
s h
 

  

  

  

Primeira Coluna 
3
2
1
0
1 2
1 24
22 0
24
s
s
s
s

Duas trocas de sinal na 1ª 
coluna, ou seja, duas 
raízes com parte real 
positiva, logo, o sistema é 
INSTÁVEL. 
 
 19 
4. Caso 2: Se não existe troca de sinal nos elementos da 1ª coluna e não 
existe elemento nulo na 1ª coluna, então o sistema é ESTÁVEL. 
 
EXEMPLO: 
2
( ) 1
( ) 2 1
C s s
R s s s


 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
CONSTATAÇÃO 
Suas raízes são -1; -1; existem duas raízes reais negativas, este 
sistema é ESTÁVEL. 
 
5. Caso 3: Se houver elemento nulo na 1ª coluna e não existir zeros na 
linha que contém o zero na 1ª coluna, então, substitua o zero por uma 
letra grega e efetue o método normalmente. Se não houver trocas de sinal 
na 1ª coluna, então o sistema é ESTÁVEL. 
 
EXEMPLO: 
5 4 3 2
( ) 1
( ) 2 2 4 11 10
C s
R s s s s s s

    
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTATAÇÃO 
Suas raízes são -1,3; -1,2  j; 0,9  j1,4 existem duas raízes 
complexas com partes reais positivas, este sistema é INSTÁVEL. 
 
6. Caso 4: Se surgir uma linha de zeros no Arranjo de Routh. Essa 
condição ocorre quando o polinômio possui singularidades localizadas 
simetricamente em torno da origem do plano 𝑆. Se as raízes estão sobre o 
eixo imaginário, ou seja, quando ocorrem fatores como (𝑠 ± 𝑗𝜔), então o 
sistema oscila, sendo MARGINALMENTE ESTÁVEL. Quando as 
raízes estão sobre o eixo real, ou seja, quando ocorrem fatores como 
(𝑠 ± 𝜎), o sistema é INSTÁVEL (nesse caso sempre haverá trocas de 
2
1
0
1 1
2 0
1
s
s
s
Não há trocas de sinais 
na 1ª coluna, logo, o 
sistema é ESTÁVEL 
5
4
3
2
1
0
1 2 11
2 4 10
6 0
12 10 0
6 0
10
s
s
s
s
s
s



Duas trocas de sinal na 1ª 
coluna, ou seja, duasraízes com parte real 
positiva, logo, o sistema é 
INSTÁVEL. 
 
 
 20 
sinais entre os coeficientes do polinômio característico não havendo a 
necessidade de desenvolver o Arranjo de Routh). 
 
A obtenção dos fatores é feita da seguinte forma: 
1. Encontre o polinômio auxiliar (obtido da linha acima da linha de 
zeros). A ordem do polinômio auxiliar é sempre par e indica o 
número de pares de raízes simétricas. 
2. Obtenha as raízes do polinômio auxiliar, elas são as raízes 
simétricas do problema, ou seja, o polinômio auxiliar é um fator 
do polinômio característico. 
3. As raízes do polinômio auxiliar é que irão definir se o sistema é 
marginalmente estável ou instável. 
 
Não sendo possível calcular as raízes do polinômio auxiliar devido ao 
elevado grau, ou devido à necessidade de determinação de uma constante 
𝐾 no polinômio, pode-se efetuar um dos seguintes procedimentos: 
 
PROCEDIMENTO 1: Substitua os zeros por letras gregas e continue o 
procedimento para verificar se ocorrem trocas de sinal na 1ª coluna. 
Havendo trocas o sistema é INSTÁVEL (raízes simétricas sobre o eixo 
real), não havendo, é apenas MARGINALMENTE ESTÁVEL (raízes 
simétricas sobre o eixo imaginário), sendo necessário verificar a 
ocorrência de raízes repetidas (Caso 5). 
 
PROCEDIMENTO 2: Substitua a linha de zeros pelos coeficientes da 
derivada do polinômio auxiliar e continue o procedimento. Havendo 
trocas de sinal, o sistema é INSTÁVEL, não havendo, é apenas 
MARGINALMENTE ESTÁVEL, sendo necessário verificar a 
ocorrência de raízes repetidas. 
 
EXEMPLOS 
a. 
5 4 3 2( ) 2 24 48 25 50q s s s s s s      
 
SOLUÇÃO 
 Usando o Procedimento 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
4
3
2
1
0
1 24 25
2 48 50
0
46 50 0
0
50
s
s
s
s
s
s
 

4 2( ) 2 48 50U s s s   , raízes 4,78 j e 
1,04 j . As raízes de ( )U s não são repetidas 
e não há troca de sinal na 1ª coluna, logo o 
sistema é MARGINALMENTE ESTÁVEL. 
OBS: 
46 50 2
46 23
  

 
  
 
 21 
 Usando o Procedimento 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para confirmar os resultados, as raízes de q(s) são: 
 
 ( ) ( 2)( 4.78 )( 4.78 )( 1.04 )( 1,04 )q s s s j s j s j s j      
 
b. 
3 2( ) 2 4q s s s s K    
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑞(𝑠) = 𝑠3 + 𝑠2 − 4𝑠 − 4 
(raízes:−1 e ±2) 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Caso 5: Equação característica com raízes repetidas sobre o eixo 
imaginário. Raízes simples sobre o eixo imaginário promovem um 
sistema oscilatório MARGINALMENTE ESTÁVEL, mas se as raízes 
forem repetidas (duplas, triplas, etc) o sistema será oscilatório 
INSTÁVEL. A verificação dessa situação é feita verificando-se as raízes 
do polinômio auxiliar. 
 
 
3
2
1
0
1 4
2
8
0
2
s
s K
K
s
s K

0 < K < 8, ESTÁVEL 
K = 8, ESTABILIDADE MARGINAL, pois o 
polinômio auxiliar: 
2( ) 2 8U s s  possui raízes 
simétricas ( 2 )( 2 )s j s j  sobre o eixo 
imaginário 
(OSCILAÇÃO). 
O sistema possui raízes simétricas sobre o eixo 
real, logo, uma linha de zeros no Arranjo de 
Routh, entretanto, o sistema é INSTÁVEL, 
podendo isso ser constatado na troca de sinais na 
equação característica ou na 1ª coluna do arranjo. 
𝑠3
𝑠2
𝑠1
𝑠0
1
1
𝜀
−5
−4
−4
𝜀 
5
4
3
2
1
0
1 24 25
2 48 50
8 96 0
24 50
79,3 0
50
s
s
s
s
s
s
Seria uma linha de zeros 
4 2
3
( ) 2 48 50
( ) 8 96
U s s s
U s s s
  
  
 
As raízes de ( )U s não são repetidas e não há 
troca de sinal na 1ª coluna, logo o sistema é 
MARGINALMENTE ESTÁVEL. 
 
 22 
EXEMPLO 
𝑞(𝑠) = 𝑠5 + 𝑠4 + 2𝑠3 + 2𝑠2 + 𝑠 + 1 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 No Arranjo de Routh uma linha inteira pode ser multiplicada ou dividida por um 
número positivo, de modo que simplifique os cálculos, sem comprometimento 
da conclusão sobre a estabilidade. 
 
4.7.1 – ANÁLISE DA ESTABILIDADE RELATIVA 
 
O Critério de Routh fornece a informação da estabilidade absoluta de sistemas. É 
possível utilizá-lo para obter informações sobre a estabilidade relativa. O método 
consiste em deslocar o eixo imaginário do plano 𝑠 por uma constante 𝜎, ou seja, 
substituir 𝑠 = �̂� − 𝜎 na equação característica do sistema e aplicar o Critério de Routh. 
 
O número de trocas de sinais na primeira coluna do Arranjo de Routh equivale ao 
número de raízes que se situam à direita da linha vertical 𝑠 = −𝜎. 
 
4.7.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Encontre K que resulte na estabilidade marginal do polinômio característico. 
c. 
4 3 2( )q s s s s s K     
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
3
2
1
0
1 1
1 1 0
0
s K
s
s K
Ks
s K



K  0, (INSTÁVEL), pois há trocas de 
sinal na 1ª coluna. 
K = 0, (INSTÁVEL), pois o termo 
independente da equação característica é 
nulo. 
Portanto, o sistema é INSTÁVEL  K. 
5
4
3
2
1
0
1 2 1
1 2 1
0
1 1
0
1
s
s
s
s
s
s
 

Duas linhas iguais, logo, surge uma linha de zeros. 
Como não há troca de sinais na 1ª coluna, o 
sistema é, a princípio, MARGINALMENTE 
ESTÁVEL, porém, as raízes dos polinômios 
auxiliares são: 
4 2 2 2
1
2
2
( ) 2 1 ( ) ( )
( ) 1 ( )( )
U s s s s j s j
U s s s j s j
     
    
 
Como as raízes de 1( )U s são repetidas (duplas), 
então esse sistema é INSTÁVEL. 
OBS: Observe que as raízes de 2 ( )U s são as 
mesmas de 1( )U s , ou seja, o sistema não possui 
raízes triplas, mas apenas raízes duplas. O sistema 
é de 5ª ordem não podendo ter 6 raízes (2 triplas) 
 
 23 
2. (Avaliação 2005/2) Um modelo para malha de arfagem de um avião é 
mostrado na figura abaixo. Determine a faixa de valores de K que manterá o 
sistema estável. Informe também para que valor de K o sistema é 
marginalmente estável. 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 2
3 2
2 3
( )
2 2
K s
G s
s s s


  
 ( ) 1H s  
 
Obtenção da Equação Característica 
 
 
 
2
3 2
2
3 2
2 3
( ) 2 2
1 ( ) ( ) 2 3
1
2 2
K s
G s s s sFTMF FTMF
G s H s K s
s s s

    
 

  
 
 2
3 2
2 3
2 2
K s
s s s
FTMF

  

 3 2 2
3 2
2 2 2 3
2 2
s s s K s
s s s
    
  
 2
3 2
2 3
(2 1) 2 3 2
K s
FTMF
s K s s K


    
 
 
 
3 2( ) (2 1) 2 3 2q s s K s s K       
 
 Fazendo o Arranjo de Routh 
 
 
 1
4
2 1
K
b
K



 
 
 
 
 
 
+ _  22 3K s  3 2
1
2 2s s s  
Controlador 
Dinâmica da 
Aeronave 
Ângulo de 
Arfagem 
Comandado 
Ângulo 
de 
Arfagem 
Giroscópio 
3
2
1
1
0
1 2
2 1 3 2
0
3 2
s
s K K
s b
s K
 

 
 24 
 Para estabilidade, 
 
1
1
2 1 0
2
2
3 2 0
3
4 0 4
1
2 1 0
2
0
4 0 4
1
2 1 0
2
K K
K K
K K
K K
b ou
K K
K K
    
   
     


    

  

    

     

 
 
Portanto, a estabilidade ocorre para o trecho de interseção dos intervalos 
que é 
2
3
K  . 
Para a estabilidade marginal, 1
4
0
2 1
K
b
K

 

, portanto, 
4 0 4K K     , porém para 4K   o sistema é INSTÁVEL, pois 
a última linha do Arranjo de Routh é negativa para esse valor de K. 
Logo, K para que o sistema seja Marginalmente Estável. 
 
3. (Prova Substitutiva 2006/1) Um sistema possui a seguinte equação 
característica 
 
6 5 4 3 2( ) 9 31,25 61,25 67,75 14,75q s s s s s s s k       
 
Obtenha k que torne o sistema ESTÁVEL e MARGINALMENTE ESTÁVEL. 
 
 SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
5
4
3
2
1
0
1 31,25 67,75
9 61,25 14,75 0
24,44 66,11
360,49 9
36,90 0
24,44
2078,97 9
36,90
1361,61
14,75 0
2,72 2078,97 9
s k
s
s k
k
s
k
s k
k k
s
k
s k


 

 
 25 
Para Estabilidade 
 
2078,97 9
0
36,90
k
 (i) 
 
1361,61
14,75 0
2,72 2078,97 9
k k
k
  

 (ii) 
0k  (iii) 
 Assim, da equação (i), 
 
2078,97 9
0 231
36,90
k
k

   
 
Da equação (ii), 
 
 
1361,61
14,75 0
2,72 2078,97 9
1361,61
14,75
2,72 2078,97 9
1361,61
14,75
2,72 2078,97 9
k k
k
k k
k
k k
k
  

   

 

 
2
2
9 5782,55
14,75
5654,8 24,44
9 5422,06 83408,3 0
617,4 15
k k
k
k k
k



  
   
 
 
Para Estabilidade Marginal 
 
 0k  (iii) 
 
1361,61
14,75 0
2,72 2078,97 9
k k
k
  

 (iv) 
 
Do desenvolvimento da equação (ii) acima, temos que 
29 5422,06 83408,3 0k k   com raízes -617,4 e 15 é o resultado da equação 
(iv). 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a interseção dos resultados 
obtidos das equações (i), (ii) e (iii), 
temos que, para ESTABILIDADE, 
0 < k < 15. 
Fazendo a interseção dos resultados obtidos das equações (iii) e (iv), temos que, para 
ESTABILIDADE MARGINAL, k = 15. 
 
 26 
4. (Avaliação 2006/2) Verifique o sistema abaixo quanto à estabilidade absoluta. 
 
2
5 4 3 2
2 1
( )
2 2 1
s s
G s
s s s s s
 

     
 
 SOLUÇÃO 
5 4 3 2( ) 2 2 1q s s s s s s      
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.8 – MATLAB 
 
a) Características dos Sistemas de Controle 
i. [𝜔𝑛,𝜁] = damp(sys); 
ii. Outras funções: pzmap, pole, zero, lsim, step, impulse, residue, roots, 
ord2, rmodel, zpk, poly e printsys. 
 
4.9 – LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Livro Dorf: E2.4, E2.18, P2.43, P2.50c, P2.51c, E5.1 a E5.17, P5.1 a P5.14, P5.16 a 
P5.19, PA5.1 a PA5.6, PP5.1 a PP5.6. 
 
Livro Ogata: A5.1 a A5.17, A5.24, A5.25, A5.28, A5.29, B5.1 a B5.11, B5.14, B5.22. 
5
4
3
2
1
0
1 2 1
1 2 1
0
1 1
0
1
s
s
s
s
s
s
 

Duas linhas iguais, logo, surge uma linha de zeros. 
Como não há troca de sinais na 1ª coluna, o 
sistema é, a princípio, MARGINALMENTE 
ESTÁVEL, porém, as raízes dos polinômios 
auxiliares são: 
4 2 2 2
1
2
2
( ) 2 1 ( ) ( )
( ) 1 ( )( )
U s s s s j s j
U s s s j s j
     
    
 
Como as raízes de 1( )U s são repetidas (duplas), 
então esse sistema é INSTÁVEL. 
OBS: Observe que as raízes de 2 ( )U s são as 
mesmas de 1( )U s , ou seja, o sistema não possui 
raízes triplas, mas apenas raízes duplas. O sistema 
é de 5ª ordem não podendo ter 6 raízes (2 triplas)