Lema de Kaplansky

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(1º Lema de Kaplansky) O número de subconjuntos com p elementos 
de A={1,2,3,⋯,n} nos quais não há números consecutivos é:
Vamos ver um exemplo:
Vamos considerar o conjunto {1,2,3,4,5,6,7}
Queremos formar um subconjunto de dois elementos no qual não há 
elementos consecutivos.
Marcaremos com um sinal “+” os elementos do conjunto que farão parte do 
subconjunto e marcaremos com o sinal “–“ os elementos que não farão parte 
do subconjunto.
Por exemplo: 
o subconjunto {1, 3} seria representado por + – + – – – –.
O subconjunto {4, 5}, que não é um subconjunto válido para o nosso 
problema, seria representado por – – – + + – –.
Para formar um subconjunto de 2 elementos não-consecutivos, devemos colocar 
2 sinais “+” e 5 sinais “–“ em fila, sem que haja dois sinais + juntos.
vamos começar dispondo os 5 sinais “–“ com espaços vazios entre eles (os 
espaços vazios serão representados por chaves.
Há 5 sinais “–“ e 6 espaços vazios onde podemos colocar os sinais de “+”.
Assim, há 6 espaços vazios e devemos escolher 2 para colocar os sinais de “+”. 
Como a ordem dos espaços vazios não importa, então isso pode ser feito de: 
No caso geral, o conjunto original possui n elementos. Queremos formar 
subconjuntos de p elementos. Logo, teremos p sinais “+” e n – p sinais de “–“.
Ao dispor os n – p sinais “–“, teremos n – p + 1 espaços vazios para distribuir os 
sinais de “+”.
T
Temos n – p + 1 espaços e devemos escolher p deles para distribuir os sinais de 
“+”, o que pode ser feito de
Vamos fazer um exercício:
As três provas de um concurso devem ser realizadas em uma 
única semana de segunda a sábado. De quantos modos é 
possível escolher os dias das provas de modo que não haja 
prova em dias consecutivos?
Kaplansky contribuiu significativamente em teoria dos grupos, teoria dos 
anéis, na teoria da álgebra de operadores e teoria dos corpos. Publicou 
mais de 150 artigos e trabalhou com mais de vinte co-autores.