Pre_calculo_Modulo_2_Aula_3

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A D M I N I S T R A Ç Ã O , E C O N O M I A
E C I Ê N C I A S S O C I A I S E B I O L Ó G I C A S
7 a e d i ç ã o
Harshbarger • Reynolds
H324m Harshbarger, Ronald J.
 Matemática aplicada [recurso eletrônico] : administração,
 economia e ciências sociais e biológicas / Ronald J.
 Harshbarger, James J. Reynolds ; tradução: Ariovaldo
 Griesi, Oscar Kenjiro N. Asakura; revisão técnica: Helena
 Maria de Ávila Castro, Afrânio Carlos Murolo. – 7. ed. –
 Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2006.
 ISBN 978-85-8055-273-7
 1. Matemática aplicada. 2. Administração. 3. Economia.
 4. Ciências Sociais. 5. Ciências Biológicas. I. Reynolds,
 James J. II. Título.
CDU 51-7
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
1.2 Funções 73
Relações e Funções Uma equação ou desigualdade contendo duas variáveis expressa uma relação en-
tre estas duas variáveis. Por exemplo, a desigualdade R ≥ 35x expressa uma rela-
ção entre duas variáveis x e R e a equação y = 4x – 3 expressa uma relação entre 
duas variáveis x e y.
 Além de defi nir uma relação por uma equação, uma desigualdade ou uma regra 
de correspondência, podemos também defi ni-la como qualquer conjunto de pares 
ordenados de números reais (a, b). Por exemplo, as soluções de y = 4x – 3 são pares 
de números (um para x e outro para y). Escrevemos os pares (x, y) de forma que o 
primeiro número é o valor x e o segundo é o valor y, e estes pares ordenados defi -
nem a relação entre x e y. Algumas relações podem ser defi nidas por uma tabela, 
um gráfi co ou uma equação.
Relação Uma relação é defi nida por um conjunto de pares ordenados ou por uma regra 
que determine como os pares ordenados são encontrados. Ela pode também ser 
defi nida por uma tabela, um gráfi co, uma equação ou uma desigualdade.
Por exemplo, o conjunto de pares ordenados
{(1,3), (1,6), (2,6), (3,9), (3, 12), (4,12)}
expressa a relação entre o conjunto das primeiras componentes, {1, 2, 3, 4}, e o 
conjunto das segundas componentes, {3, 6, 9, 12}. O conjunto das primeiras com-
ponentes é chamado de domínio da relação e o conjunto das segundas componen-
tes é chamado de imagem da relação. A Figura 1.1 (a) usa setas para indicar como 
as entradas no domínio (primeiras componentes) são associadas com as saídas na 
imagem (segundas componentes). A Figura 1.1 (b) mostra outro exemplo de rela-
ção. Como as relações também podem ser defi nidas por meio de tabelas e gráfi cos, 
a Tabela 1.1 e a Figura 1.2 são exemplos de relações.
3
6
9
12
1
2
3
4
Domínio Imagem
 
1
2
3
4
Domínio Imagem
9
11
7
Freqüentemente, uma equação expressa como a segunda componente (a saída) 
é obtida por meio da primeira componente (a entrada). Por exemplo, a equação
 y = 4x – 3
expressa como a saída y resulta da entrada x. Essa equação expressa uma relação 
especial entre x e y, porque cada valor de x que é substituído na equação resul-
ta em um único valor para y. Se cada valor de x substituído em uma equação 
resulta em um único valor de y, dizemos que a equação expressa y como uma 
função de x.
Defi nição de uma Função Uma função é uma relação entre dois conjuntos tal que para cada elemento do 
domínio (entrada) corresponde um único elemento da imagem (saída). Uma 
função pode ser defi nida por um conjunto de pares ordenados, uma tabela, um 
gráfi co ou uma equação.
 Figura 1.1 (a) (b) 
74 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
ÍNDICE DOW JONES
Todos os Direitos Reservados. Alta realFechamento
Baixa real
 Figura 1.2 
 Fonte: Wall Street Journal, 17 de janeiro de 2002
Quando uma função é defi nida, a variável que representa os números do do-
mínio (entrada) é denominada variável independente da função, e a variável que 
representa os números na imagem (saída) é chamada de variável dependente (por-
que seus valores dependem dos valores das variáveis independentes). A equação 
y = 4x – 3 defi ne y como função de x, porque resulta um único valor de y para cada 
valor x que é substituído na equação. Assim, a equação defi ne uma função em que 
x é a variável independente e y é a variável dependente.
Podemos também aplicar essa idéia para uma relação defi nida por uma tabela 
ou um gráfi co. Na Figura 1.1 (b) da página anterior, como cada entrada no domínio 
corresponde a uma única saída na imagem, a relação é uma função. Analogamente, 
os dados da Tabela 1.1 também representam uma função. Observe que na Tabela 
1.1, embora muitos valores de receitas tributáveis diferentes tenham o mesmo im-
posto devido, cada valor de receita tributável (entrada) corresponde a um único 
imposto devido (saída). Assim, o imposto devido (variável dependente) é uma 
função da receita tributável para contribuintes solteiros (variável independente). 
Entretanto, a relação defi nida na Figura 1.2 não é uma função porque o gráfi co que 
representa o índice Dow Jones mostra que para cada dia existem pelo menos três 
valores diferentes – máximo do dia, mínimo do dia e o fechamento. Por exemplo, 
no dia 25 de setembro de 2002, o índice variou do mínimo de 286 para o máximo 
de 298.
EXEMPLO 1 Funções
A expressão y2 = 2x nos dá y como função do x?
TABELA 1.1 Imposto para 
o Contribuinte Solteiro
Receita Tributável 
(Domínio)
Imposto 
Devido 
(Imagem)
Ao
menos
Mas
menos 
que
30.000 30.050 4.876
30.050 30.100 4.889
30.100 30.150 4.903
30.150 30.200 4.917
30.200 30.250 4.931
20.250 30.300 4.944
30.300 30.350 4.958
30.350 30.400 4.972
30.400 30.450 4.986
30.450 30.500 4.999
30.500 30.550 5.013
30.550 30.600 5.027
30.600 30.650 5.041
30.650 30.700 5.054
30.700 30.750 5.068
30.750 30.800 5.082
30.800 30.850 5.096
30.850 30.900 5.109
30.900 30.950 5.123
30.950 31.000 5.137
Fonte: Internal Revenue Service, 2001
Form 1040, Instructions
1.2 Funções 75
SOLUÇÃO
Não, porque para alguns valores de x existem mais de um valor para y. De fato, 
existem dois valores de y para cada x > 0. Por exemplo, se x = 8, então y = 4 ou 
y = –4, dois valores diferentes de y para o mesmo valor de x. A equação y2 = 2x 
expressa uma relação entre x e y, mas y não é uma função de x.
Gráfi cos das Funções É possível visualizar geometricamente as relações e funções que discutimos por 
meio de um esboço dos seus gráfi cos em um sistema de coordenadas cartesianas. 
Construímos um sistema de coordenadas cartesianas desenhando duas retas reais 
(denominadas eixos coordenados) que são perpendiculares entre si e se intercep-
tam nas suas origens (chamada origem do sistema).
 O par ordenado (a, b) representa o ponto P que está localizado a a unida-
des na direção do eixo x e a b unidades na direção do eixo y (ver Figura 1.3). 
Analogamente, todos os pontos têm um par ordenado único que os descreve.
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–5
– 4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
eixo x
eixo y
A(5, 2)
B(−4, 1)
C(−4, −4) D(1, −5)
2o Quadrante 1o Quadrante 
3o Quadrante 4o QuadranteFigura 1.3
Os valores a e b no par ordenado associado com o ponto P são chamados coordena-
das cartesianas (ou retangulares) do ponto, onde a é a coordenada x (ou abscissa) 
e b é a coordenada y (ou ordenada). Os pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais 
se e somente se a = c e b = d.
O gráfi co de uma equação que defi ne uma função (ou relação) é a imagem 
que resulta quando marcamos os pontos cujas coordenadas (x, y) satisfazem a 
equação. Para esboçar o gráfi co, marcamos pontos sufi cientes que sugiram a for-
ma do gráfi co e desenhamos uma curva lisa passando pelos pontos. Isto é chama-
do método de marcar pontos para esboçar o gráfi co.
EXEMPLO 2 Esboçando Funções
Esboce o gráfi co da função y = 4x2.
SOLUÇÃO
Escolhemos alguns valores para a variável x e encontramos o valor corresponden-
te y. Colocando estes valores em uma tabela teremos alguns pontos para marcar. 
Quando tivermos o sufi ciente para determinar a forma do gráfi co, conectaremos os 
pontos para completar o gráfi co. A tabela e o gráfi co são mostrados na Figura1.4.
76 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
y = 4x2
–1
0
1
2
4
1
0
1
4
16
1
2
–
1
2
x y
Figura 1.4
Podemos determinar se a relação é ou não uma função examinando o seu grá-
fi co. Se ela for uma função, então nenhuma entrada (valor de x) terá duas saídas 
diferentes (valor de y). Isto signifi ca que não existem dois pontos no gráfi co com a 
mesma primeira coordenada (abscissa). Assim, não existem dois pontos no gráfi co 
que estejam na mesma reta vertical.
Teste da Linha Vertical Se não existe nenhuma reta vertical que intercepta o gráfi co em mais de um ponto, 
então o gráfi co é o de uma função.
Ao aplicar este teste no gráfi co de y = 4x2 (Figura 1.4), comprovamos facil-
mente que essa equação descreve uma função. O gráfi co de y2 = 2x é mostrado na 
Figura 1.5, e podemos constatar que o teste da reta vertical indica que ele não é o 
gráfi co de uma função (como já vimos no Exemplo 1). Por exemplo, a reta vertical 
em x = 2 intercepta a curva em (2, 2) e (2, –2).
x
y
1 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y2 = 2x
 
4%
3%
2%
1%
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Alteração ano a ano do
 Índice de Preços ao Consumidor 
Figura 1.5
 Figura 1.6 Fonte: Wall Street Journal, 17 de janeiro de 2002
O gráfi co na Figura 1.6 mostra o Índice de Preços ao Consumidor (y) versus o 
tempo (x). Ele representa uma função, porque para todo x existe um único y. No 
entanto, como observamos anteriormente, o gráfi co da Figura 1.2 da página 74 não 
representa uma função.
1.2 Funções 77
Notação Funcional Podemos usar a notação funcional para indicar que y é uma função de x. A fun-
ção é denotada por f, e escrevemos y = f (x). Isto é lido “y é uma função de x” ou “y 
é igual a f de x”. Para valores específi cos de x, f (x) representa os valores da função 
(isto é, as saídas ou valores de y) nestes valores de x. Assim, se
f (x) = 3x2 + 2x +1
então f (2) = 3(2)2 + 2(2) + 1 = 17
e f (–3) = 3(–3)2 + 2(–3) + 1 = 22
A Figura 1.7 representa esta notação funcional como (a) um operador em x e 
(b) a coordenada y para um dado valor de x.
Entrada x 
f
Saída f(x)
(a) 
3−1
−1
1
3
2
−2−3
1 2
x
y
(−3, f (−3))
(2, f (2))
(0, f (0))
y = f(x)
(b)Figura 1.7
Letras diferentes de f também podem ser usadas para denotar funções. Por 
exemplo, y = g(x) ou y = h(x) podem ser usadas.
EXEMPLO 3 Calculando Funções
Se y = f (x) = 2x3 – 3x2 + 1, calcule seguinte:
(a) f(3) (b) f(–1)
SOLUÇÃO
(a) f (3) = 2(3)3 –3(3)2 + 1 = 2(27) – 3(9) + 1 = 28
 Assim, y = 28 quando x = 3.
(b) f (–1) = 2(–1)3 – 3(–1)2 + 1 = 2(–1) – 3(1) + 1 = –4
 Assim, y = –4 quando x = –1.
EXEMPLO 4 Volume de Dólares nas Transações em Caixas Eletrônicos
Como mencionado na Pré-Aplicação, o volume de transações pode ser descrito 
por meio da função
 y = f (x) = 0,1369x – 5,091255
onde y está em bilhões de dólares de transações e x é o número de caixas eletrô-
nicos (em milhares).
(a) Calcule f(100).
(b) Escreva uma frase que explique o signifi cado do resultado em (a).
SOLUÇÃO
(a) f(100) = 0,1369(100) – 5,091255 = 13,69 – 5,091255 = 8,598745
 Assim, o ponto (100, 8,598745) está no gráfi co desta função.
(b) A afi rmação f(100) = 8,598745 signifi ca que, quando há 100 mil caixas eletrônicos, 
acontecem (aproximadamente) $ 8,598745 bilhões em transações nestes caixas.
78 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
EXEMPLO 5 Notação Funcional
Se g(x) = 4x2 – 3x + 1, calcule o seguinte:
(a) g(a) (b) g(–a) (c) g(b) (d) g(a + b)
(e) É verdade que g(a + b) = g(a) + g(b)?
SOLUÇÃO
(a) g(a) = 4(a)2 – 3(a) + 1 = 4a2 – 3a + 1
(b) g(–a) = 4(–a)2 – 3(–a) + 1 = 4a2 + 3a + 1
(c) g(b) = 4(b)2 – 3(b) + 1 = 4b2 – 3b + 1
(d) g(a + b) = 4(a + b)2 – 3(a + b) + 1
 = 4(a2 + 2ab + b2) – 3a – 3b + 1
 = 4a2 + 8ab + 4b2 – 3a – 3b + 1
(e) g(a) + g(b) = (4a2 – 3a + 1) + (4b2 – 3b + 1)
 = 4a2 + 4b2 – 3a – 3b + 2
 Assim, g(a + b) ≠ g(a) + g(b).
EXEMPLO 6 Notação Funcional
Dada f (x) = x2 – 3x + 8, calcule f x h f x
h
+( ) − ( ) e simplifi que (se h ≠ 0)
SOLUÇÃO
f x h f x
h
x h x h x x
h
x xh h x
+( ) − ( ) = +( ) − +( ) + − − +
= + + − −
[ ] [ ]
[( )
2 2
2 2
3 8 3 8
2 3 33 8 3 8
2 3 3 8 3 8
2 3 2
2
2 2 2
2
h x x
h
x xh h x h x x
h
xh h h
h
h x
+ − + −
= + + − − + − + −
= + − = +
]
hh
h
x h−( ) = + −3 2 3
Domínios e Imagens Limitaremos nossa discussão neste texto a funções reais, que são as funções 
cujos domínios e imagens contêm apenas números reais. Se o domínio e a imagem 
de uma função não são especifi cados, supomos que o domínio consiste de todas as 
entradas reais (valores de x) que resultam em saídas reais (valores de y), produzin-
do uma imagem que é um subconjunto dos números reais.
 Para os tipos de funções que estamos estudando agora, se o domínio não é espe-
cifi cado, ele incluirá todos os números reais, exceto:
1. valores que resultem em denominador igual a 0 e
2. valores que resultem em raiz par de um número negativo.
EXEMPLO 7 Domínio e Imagem
Encontre o domínio de cada uma das seguintes funções; encontre a imagem das 
funções dos itens (a) e (b).
SOLUÇÃO
(a) y = 4x2 (b) y x= −4 (c) y
x
= +
−
1 1
2
1.2 Funções 79
(a) Não há restrições nos números que podem substituir x, assim o domínio con-
siste de todos os números reais. Como os quadrados de qualquer número real 
são não-negativos, 4x2 deve ser não-negativo. Assim, a imagem é y ≥ 0. Se 
marcarmos pontos ou usarmos uma ferramenta gráfi ca, obteremos o gráfi co 
mostrado na Figura 1.8 (a), que ilustra nossas conclusões sobre o domínio e a 
imagem. 
(b) Notamos a restrição que 4 – x não pode ser negativa. Assim, o domínio consis-
te apenas dos números menores ou iguais a 4. Isto é, o domínio é o conjunto de 
números reais que satisfaz x ≤ 4. Como 4 − x é sempre não-negativo, a ima-
gem é todo y ≥ 0. A Figura 1.8 (b) mostra o gráfi co de y x= −4 . Observe 
que o gráfi co está localizado apenas onde x ≤ 4 e no ou acima do eixo x (onde 
y ≥ 0).
(c) y
x
= +
−
1 1
2
 não é defi nido para x = 2 porque 
1
0
 não é defi nido. Conse-
 qüentemente, o domínio consiste de todos os números reais, exceto 2. A Figura 
1.8 (c) mostra o gráfi co de y = 1 1
2
+
−x
. A ruptura quando x = 2 indica que x 
= 2 não faz parte do domínio.
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
y = 4x2
(a) 
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
y
(c)
y = 1 + 1
x − 2
Figura 1.8
PONTO DE CONTROLE 1. Se y = f (x), a variável independente é _____ e a variável dependente é _____.
2. Se (1,3) está no gráfi co de y = f (x), então f(1) = ?
3. Se f (x) = 1 – x3, encontre f (–2).
4. Se f (x) = 2x2, encontre f (x + h).
5. Se f x
x
( ) =
+
1
1
, qual é o domínio de f (x)?
Operações com Funções Podemos formar novas funções através de operações algébricas com duas ou 
mais funções. Defi nimos novas funções que são a soma, a diferença, a multiplica-
ção e o quociente de duas funções como segue:
Operações com Funções Sejam f e g funções de x e defi na o seguinte:
Soma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Diferença (f – g)(x) = f (x) – g(x) (continua)
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.