MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS

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<p>Métodos QuantitativosMétodos Quantitativos</p><p>MatemáticosMatemáticos</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Bem vindo(a)!</p><p>Seja muito bem-vindo(a)!</p><p>Prezado(a) aluno(a), desenvolver habilidades matemáticas pode abrir novos</p><p>horizontes, pois a matemática é importante para análise, tomada de decisões e</p><p>projeções em uma organização. Então, vemos uma crescente por busca de</p><p>pro�ssionais que têm base para processos decisórios nas mais diversas áreas.</p><p>É com muito prazer que apresento a você, aluno(a), este material. Nele abordaremos</p><p>conceitos relacionados a Métodos Quantitativos Matemáticos. Mas o que são tais</p><p>métodos? São ferramentas que dão suporte para aplicações matemáticas em</p><p>modelagem em diversas ciências, como economia, física, biologia, dentre outras.</p><p>Escrevi este material com o objetivo de aumentar os níveis de autocon�ança e criar</p><p>mecanismos para que você possa interagir com a matemática.</p><p>O material está distribuído em quatro unidades, em que buscamos conceitos</p><p>elementares dentro da matemática. Acreditamos que você, depois deste curso, terá</p><p>capacidade de abordar temas como teoria dos conjuntos e funções em seu dia a dia.</p><p>Na Unidade I trataremos de matemática básica e conjuntos numéricos. Essa</p><p>unidade irá trazer uma abordagem de conceitos elementares que, como o próprio</p><p>nome diz, é base para vários assuntos dentro das outras unidades. Na Unidade II</p><p>abordaremos relações e funções, que são ferramentas com grande uso em</p><p>modelagem matemática. Na Unidade III continuaremos tratando de funções, mas</p><p>um caso particular, uma família de funções chamadas funções polinomiais, esta</p><p>com uma gama de aplicações gigantesca. Por �m, na Unidade IV, as chamadas</p><p>funções modulares e exponenciais, essa última usada em vários conceitos</p><p>econômicos.</p><p>Espero que você aproveite ao máximo este material que foi confeccionado com</p><p>muito carinho e dedicação. Convido você para, junto conosco, percorrer esta jornada</p><p>de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados</p><p>em nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e</p><p>pro�ssional.</p><p>Muito obrigado e bom estudo!</p><p>Unidade 1</p><p>Matemática Básica e</p><p>Conjuntos Numéricos</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Introdução</p><p>Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo à primeira unidade de nosso material.</p><p>A Matemática é uma ciência essencial à vida do ser humano. Napoleão disse: “o</p><p>progresso de um povo depende, exclusivamente, do desenvolvimento da</p><p>matemática”. A Matemática é a base para todas as ciências e artes, por envolver</p><p>conceitos necessários e fundamentais dentro da matemática.</p><p>Os conteúdos apresentados na primeira parte desta unidade serão chamados de</p><p>Matemática Básica, que não é restrita apenas às operações de soma, subtração,</p><p>multiplicação e divisão, como muita gente pensa, tem muito mais. Em um segundo</p><p>momento, apresentaremos os Conjuntos Numéricos, que são as classi�cações para</p><p>os números conforme sua natureza.</p><p>O que faremos nesta unidade é focar em conteúdos especí�cos de álgebra que são</p><p>essenciais para o bom desenvolvimento dos métodos quantitativos matemáticos.</p><p>Trataremos das expressões numéricas que são ferramentas importantes pelo fato de</p><p>indicarem organização de operações. Depois você irá trabalhar com regra de três,</p><p>famosa conhecida desde o ensino fundamental. Ela tem o intuito de trabalhar com</p><p>grandezas diretas e inversas.</p><p>Ainda nesta unidade falaremos sobre um conceito que está presente, de forma</p><p>frequente, em nosso dia a dia: as porcentagens. Você irá aprender como fazer o</p><p>cálculo deste conceito. Outro assunto importante abordado nesta unidade são as</p><p>equações, no momento, do primeiro e segundo grau. Iremos abordar resoluções</p><p>para essas equações e também iremos analisar alguns problemas referentes a elas.</p><p>Por �m, entraremos na teoria dos conjuntos. Faremos um “passeio” sobre esse</p><p>assunto que é a base de vários conceitos dentro da matemática. Iremos abordar</p><p>tipos de conjuntos e as classi�cações para os números, naturais, inteiros, racionais,</p><p>irracionais e reais, que são chamados de conjuntos numéricos.</p><p>Aproveite ao máximo seus estudos. Vamos lá então!</p><p>Bons estudos!</p><p>Expressões Numéricas</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Você deve ter ouvido falar muito em Expressões Numéricas, mas o que é isso? A</p><p>resposta é simples, são sequências de operações que são ordenadas, ou seja, devem</p><p>ser realizadas respeitando determinada ordem. Para indicar essa ordem, é comum</p><p>usarmos símbolos de separação de operações. Esses símbolos são parênteses,</p><p>colchetes e chaves. Para resolver uma expressão numérica devemos seguir uma</p><p>ordem de resolução, tanto em relação aos símbolos de separação quanto à ordem</p><p>das operações. A ordem é essa:</p><p>Quanto os símbolos separadores:</p><p>1. Eliminar os parênteses.</p><p>2. Eliminar os colchetes.</p><p>3. Eliminar as chaves.</p><p>Quanto às operações:</p><p>1. Efetuar potenciação e radiciação.</p><p>2. Efetuar multiplicação e divisão.</p><p>3. Efetuar adição e subtração.</p><p>Ao se resolver a expressão, se você notar mais de uma operação com prioridade,</p><p>então se deve começar com aquela que aparece primeiro.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine o valor da expressão E = 396 : {2.[ 26 – 5.(2 + 3) } .</p><p>Resolução:</p><p>Note que, pela ordem de prioridade, devemos resolver a soma dentro parênteses.</p><p>Desta forma temos</p><p>E = 396 : {2.[ 26 – 5.(5) } .</p><p>Como só temos um elemento dentro dos parênteses podemos eliminá-lo fazendo a</p><p>potência:</p><p>E = 396 : {2.[ 26 – 5.25]} .</p><p>Agora, iremos trabalhar os colchetes, dentro temos uma operação prioritária, que é</p><p>multiplicação, em seguida faremos a subtração. Então</p><p>E = 396 : {2.[26 – 125]} .</p><p>E = 396 : {2.[– 99]} .</p><p>Ficamos com apenas um elemento dentro dos colchetes. Agora podemos calcular</p><p>usando o produto por dois.</p><p>²</p><p>²</p><p>]</p><p>]</p><p>E = 396 : {–198} .</p><p>Como agora temos apenas um elemento dentro das chaves podemos eliminá-las,</p><p>assim E = – 2.</p><p>Regra de Três</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Regra de três é um assunto que você já deve ter ouvido falar muito. Mas o que é</p><p>isso? São problemas que apresentam grandezas relacionadas, tanto diretamente</p><p>quanto inversamente proporcionais. Temos duas situações a considerar, a primeira</p><p>chamada simples e a segunda, composta. Vamos conhecer cada uma delas.</p><p>Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam</p><p>quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um</p><p>valor a partir dos três já conhecidos. Regra de três composta é utilizada em</p><p>problemas com mais de duas grandezas.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Para percorrer certo trajeto, um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso</p><p>em 4 horas. Se a velocidade desse carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria</p><p>feito o mesmo percurso?</p><p>Resolução:</p><p>Observe que a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais, ou</p><p>seja, quanto maior a velocidade, menor o tempo, ele diminui em razão inversa.</p><p>Então podemos nos guiar pelo esquema de �echas, informando que sentidos iguais</p><p>nos informam que as grandezas são diretas e sentidos opostos, grandezas inversas:</p><p>Assim</p><p>Logo o tempo que ele irá gastar é 3 horas.</p><p>2) A construtora ALEGRIA está trabalhando fazendo a terraplanagem de um grande</p><p>terreno. Como o terreno era desnivelado, ela pretendia colocar 20 caminhões</p><p>idênticos para transportar 160m3 de terra em 8 horas, o que seria su�ciente para o</p><p>serviço. Mas o engenheiro recalculou e veri�cou que serão necessários descarregar</p><p>apenas 125m3. Por questão de logística, os caminhões irão trabalhar apenas 5 horas.</p><p>Nessas condições, quantos caminhões serão necessários?</p><p>= ⇒ 8x = 4 × 6 ⇒ 8x = 24</p><p>4</p><p>x</p><p>8−0</p><p>6−0</p><p>x = ⇒ x = 3</p><p>24</p><p>8</p><p>Resolução.</p><p>Devemos analisar as grandezas número de caminhões com horas e também com</p><p>volume de forma separada. Observamos que aumentando o número de horas de</p><p>trabalho, podemos diminuir o número de caminhões, logo temos grandezas</p><p>inversamente proporcionais. Agora, aumentando o volume devemos ter mais</p><p>caminhões, então temos grandezas diretamente proporcionais. Guiando-nos pelo</p><p>esquema de �echas:</p><p>Concluímos que serão necessários 25 caminhões.</p><p>= × ⇒ = ⇒ 8x = 10 × 20</p><p>20</p><p>x</p><p>160</p><p>125</p><p>Você já viu como se calcula um valor numérico em uma função. Para obtermos a</p><p>intersecção do grá�co de uma função como o eixo y, basta notar que devemos ter x</p><p>= 0. Assim, f(0) = a.0² + b.0 + c = c. Logo, o ponto onde a função f(x) = ax² + bx + c</p><p>estará interceptando o eixo y é P(0, c).</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine a intersecção do grá�co da função quadrática f(x) = x² – 3x + 8 com o eixo</p><p>y.</p><p>Resolução:</p><p>Para obter essa intersecção basta substituir o x por 0 na sentença da função: f(0) = 0²</p><p>– 3.0 + 8 = 8. Assim, o ponto procurado é P(0, 8).</p><p>Intersecção com o Eixo das Abscissas</p><p>Podemos obter a intersecção do grá�co da função quadrática com o eixo x a</p><p>igualando a zero. Com isso, passamos a ter uma equação quadrática ou</p><p>simplesmente equação do segundo grau. As soluções reais, quando houver, dessa</p><p>equação recebem o nome de  raízes ou zeros da função. Como as raízes da função</p><p>quadrática são os valores de x, cuja imagem é 0, então os pontos de intersecção do</p><p>grá�co da função com o eixo x tem a forma P(x, 0).</p><p>O número de raízes da função depende do valor do discriminante, geralmente</p><p>chamada de delta, que é uma letra grega, de�nido por:</p><p>Dependendo dos valores de a, b e c, Δ pode assumir três possibilidades de</p><p>resultados, condicionando, assim, a quantidade de raízes:</p><p>Δ = b</p><p>2 − 4ac</p><p>Como , que é chamada fórmula de Fórmula de Bhaskara, então:</p><p>1. Se , então existem duas raízes reais distintas, pois representa um</p><p>número real.</p><p>2. Se então as duas raízes são iguais, uma vez que é igual a zero.</p><p>3. Se então não existem raízes reais, pois não representa um número</p><p>real.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Seja a função f: R R de�nida por f(x) = x² – 10x + 16. Determine, se houver, as</p><p>raízes de f.</p><p>Resolução:</p><p>Comparando a sentença da função com f(x) = ax² + bx + c temos a = 1, b = – 10 e c = 16.</p><p>Para obtermos, se houver, raízes, devemos resolver a equação x² – 10x + 16 = 0.</p><p>Usando o processo de Bháskara temos</p><p>Logo as raízes da equação são 2 e 8.</p><p>x = −b±√Δ</p><p>2a</p><p>Δ > 0 √Δ</p><p>Δ = 0 √Δ</p><p>Δ < 0 √Δ</p><p>SAIBA MAIS</p><p>As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo</p><p>equações do segundo grau foram encontradas em textos babilônicos,</p><p>escritos há cerca de 4000 anos atrás. Os babilônios trabalhavam com</p><p>equações para resolver problemas práticos, principalmente aqueles</p><p>ligados à agricultura e divisão de terras.</p><p>Fonte: Baron (1985).</p><p>→</p><p>Δ = (−10)2 − 4.1.16 = 100 − 64 = 36</p><p>x = =</p><p>−(−10) ± √36</p><p>2.1</p><p>10 ± 6</p><p>2</p><p>x = = 8 ou x = = 2</p><p>10 + 6</p><p>2</p><p>10 − 6</p><p>2</p><p>2) Determine m para que a função real f(x) = x² – 2x + m tenha uma única raiz.</p><p>Resolução:</p><p>Para que a função quadrática tenha uma única raiz real, devemos ter seu</p><p>discriminante, delta, igual a zero. Usando a = 1, b = –2 e c = m, temos</p><p>Δ = (–2)² – 4.1.m = 4 – 4m = 0, logo m = 1.</p><p>Vértice de uma Parábola</p><p>Observando que o grá�co da função quadrática é uma parábola com concavidade</p><p>voltada para cima ou para baixo, então temos um ponto máximo ou mínimo</p><p>dependendo do sinal do coe�ciente a. Esse ponto é chamado de vértice da parábola</p><p>y = ax² + bx + c. É no vértice que o grá�co muda de crescente para decrescente ou</p><p>vice-versa. O vértice da função é dado pelo ponto V(xV, yV), cujas coordenadas são:</p><p>O grá�co da função f: R R quadrática é simétrica em relação à reta R vertical que</p><p>passa pela abscissa do vértice.</p><p>Quando o valor do coe�ciente a é maior que zero, a ordenada do vértice da parábola</p><p>é também chamado de valor mínimo. Se o valor do coe�ciente a é menor que zero,</p><p>então dizemos que a ordenado do vértice é o valor máximo.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Considere a função f: R R de�nida por f(x) = x2 – 5x + 6. Obter o vértice do grá�co</p><p>de f.</p><p>Resolução:</p><p>V(− ; − )b</p><p>2a</p><p>Δ</p><p>4a</p><p>→</p><p>→</p><p>Para obtermos o vértice dessa parábola iremos usar a fórmula . Então,</p><p>Logo temos .</p><p>Imagem da Função Polinomial do</p><p>2º Grau</p><p>O conjunto imagem da função polinomial do 2º grau y = ax² + bx + c é construído por</p><p>todos os valores que y pode assumir. Quando a < 0, veja que para valores de x</p><p>menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor</p><p>máximo que é a ordenada do vértice, que, como sabemos, é f(xv), daí para frente o</p><p>valor de y vai diminuindo. Com a > 0 ocorre o contrário, para valores de x menores</p><p>que a abscissa do vértice y decresce e para frente, cresce.</p><p>Observe os grá�cos:</p><p>Então, vemos que existem duas possibilidades para obtenção da imagem dessa</p><p>função:</p><p>V(− ; − )b</p><p>2a</p><p>Δ</p><p>4a</p><p>Δ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4.1.6</p><p>Δ = 25 − 24 = 1</p><p>xV = − = − =</p><p>b</p><p>2a</p><p>(−5)</p><p>2.1</p><p>5</p><p>2</p><p>yV = − = − = −</p><p>Δ</p><p>4a</p><p>1</p><p>4.1</p><p>1</p><p>4</p><p>V( , − )5</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>1ª - quando a > 0,</p><p>Im(f) = {x R / y ≥ yV}</p><p>2ª - quando a < 0,</p><p>Im(f) = {x R / y ≤ yV}</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determinar a imagem da função real y = x² – 2x – 3.</p><p>Resolução:</p><p>Temos a > 0, então o valor máximo é dado por , assim</p><p>Logo temos Im(f) = {x R/y ≥ –4}.</p><p>∈</p><p>∈</p><p>yV = − Δ</p><p>4a</p><p>Δ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4.1.(−3)</p><p>Δ = 4 + 12 = 16</p><p>yV = − = − = −4</p><p>Δ</p><p>4a</p><p>16</p><p>4.1</p><p>∈</p><p>Formas da Função</p><p>Quadrática</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Caro(a) aluno(a), a função quadrática pode ser apresentada de várias formas, a</p><p>seguir cito três formatos:</p><p>1. f(x) = ax² + bx + c, que é chamada de forma geral ou forma polinomial,</p><p>também conhecida como forma desenvolvida;</p><p>2. f(x) = a(x – r₁)(x – r₂), chamada forma fatorada, onde r₁ e r₂ são as raízes da</p><p>equação quadrática;</p><p>3. f(x) = a(x – h)² + k, com h e k números reais, é chamada a forma canônica,</p><p>forma padrão ou forma vértice.</p><p>Para fazer a conversão da forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a</p><p>fórmula quadrática e encontrar as raízes r₁ e r₂, se houver. Para converter a forma</p><p>geral para a forma padrão, é necessário usar o processo de completar o quadrado.</p><p>Para converter a forma fatorada para a forma geral, é necessário multiplicar,</p><p>expandir e/ou distribuir os fatores.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Seja a função f: R R de�nida por f(x) = x² – 10x + 16. Expresse f em sua forma</p><p>fatorada.</p><p>Resolução:</p><p>Comparando a sentença da função com f(x) = ax² + bx + c, temos a = 1, b = – 10 e c =</p><p>16. Para obtermos a forma fatorada, devemos obter suas raízes. Como já �zemos isso</p><p>em um exemplo anterior, temos as raízes de f sendo x = 2 e x = 8. Logo, a forma</p><p>fatorada de f é f(x) = a(x – r₁)(x – r₂) = (x – 2).(x – 8).</p><p>→</p><p>REFLITA</p><p>O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) é aquele que é</p><p>realizado em linha reta, por isso é chamado de retilíneo. Além disso,</p><p>apresenta variação de velocidade sempre nos mesmos intervalos de</p><p>tempo e uma aceleração �xa. A relação entre a posição e o tempo é</p><p>dado por S = S₀ + V₀t + (a/2)t². Interpretando esta função, podemos dizer</p><p>que seu grá�co será uma parábola?</p><p>Fonte: Bonjorno (1993).</p><p>Inequações do 2º Grau</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Analisar o sinal da função quadrática é determinar os intervalos em que a função</p><p>tem imagem positiva, negativa, bem como os valores nos quais a função se anula.</p><p>Para tal, devemos determinar o valor da raiz ou das raízes, se houver, e em seguida,</p><p>veri�car o grá�co de f.</p><p>De�nimos como inequação do 2° grau, na incógnita x, qualquer expressão do 2°</p><p>grau, com  a, b, c sendo números reais com a ≠ 0, que pode ser reduzida a uma das</p><p>seguintes formas:</p><p>ax² + bx + c > 0;</p><p>ax² + bx + c < 0;</p><p>ax² + bx + c ≥ 0;</p><p>ax² + bx + c ≤ 0.</p><p>Para resolvermos uma inequação do segundo grau, devemos fazer um estudo dos</p><p>sinais da função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c. O estudo do sinal da função do 2º grau</p><p>é feito determinando-se os seus zeros (caso existam) e analisando o esboço do</p><p>grá�co, indicando onde a função é positiva ou negativa. Essa análise deve ser</p><p>comparada ao sinal apresentado na inequação, com o objetivo de formular o</p><p>conjunto solução.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Determine o conjunto solução da inequação 3x² + 10x + 7 < 0.</p><p>Resolução:</p><p>Para fazermos a análise de sinal da função f(x) = 3x² + 10x + 7 devemos obter, se</p><p>houver, suas raízes. Resolvemos a equação 3x² + 10x + 7 = 0.</p><p>Observe que a função f(x) = 3x² + 10x + 7 tem duas raízes e seu grá�co tem</p><p>concavidade voltada para cima. Queremos os valores de x tais que a função é</p><p>negativa.</p><p>Δ = b2 − 4ac = 102 − 4.3.(7)</p><p>Δ = 100 − 84 = 16</p><p>x = =</p><p>x = = {</p><p>x = −1</p><p>x = −7/3</p><p>−b±√Δ</p><p>2a</p><p>−10±√16</p><p>2.3</p><p>−10±4</p><p>6</p><p>Logo, a solução da inequação é S = {x R/ –7/3 <  x < –1}.</p><p>2) Obter a solução da inequação  –2x² – x + 1 ≤ 0.</p><p>Resolução:</p><p>Podemos proceder de forma semelhante ao exemplo 1.  Faremos a análise de sinal</p><p>da função f(x) = –2x² – x + 1. Resolvemos a equação –2x² – x + 1 = 0 para obtermos, se</p><p>houver, as raízes de f.</p><p>Como o coe�ciente a = –2 é negativo, temos uma parábola com concavidade voltada</p><p>para baixo.</p><p>Assim, a solução da inequação é S = {x R/ x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}.</p><p>∈</p><p>Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4.(−2).1</p><p>Δ == 1 + 8 = 9</p><p>x = =</p><p>x = = { x = −1</p><p>x = 1/2</p><p>−b±√Δ</p><p>2a</p><p>−(−1)±√9</p><p>2.(−2)</p><p>1±3</p><p>−4</p><p>∈</p><p>Inequações Produto e</p><p>Inequações Quociente</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Chamamos de Inequação produto a toda inequação na qual há um produto de</p><p>termos sendo funções cada. Resolver uma inequação produto consiste em</p><p>encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação.</p><p>Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função e um quadro de sinais.</p><p>Passos para a resolução da inequação produto através do quadro se sinais:</p><p>1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação produto, igualando-os a</p><p>zero.</p><p>2º) Estuda-se o sinal de cada fator.</p><p>3º) Então, faz-se um quadro de sinais, indicando onde cada fator é positivo ou</p><p>negativo.</p><p>4º) O quadro determina o sinal de cada fator, através do produto dos sinais,</p><p>dependendo do x, para cada fator e, posteriormente, do próprio produto.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Resolver a inequação (– x² + 3x +4).(x – 2) < 0.</p><p>Resolução:</p><p>Seja f(x) = – x² + 3x +4 e g(x) = x – 2. Devemos obter os valores reais de x para que</p><p>f(x).g(x) < 0. Vemos que essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um</p><p>trinômio de 2º grau e o outro é um binômio de 1º grau. Façamos a análise de sinal de</p><p>ambas.</p><p>Figura X - título aqui</p><p>Temos que a solução da inequação é S =  { x ∈ R/   –1 < x < 2   ou x  >  4}.</p><p>Chamamos de Inequação quociente toda inequação na qual há um produto de</p><p>termos sendo funções cada. Na resolução da inequação quociente utilizamos os</p><p>mesmos recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos a função</p><p>do denominador, precisamos adotar valores diferentes de zero.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine a solução da inequação .</p><p>Resolução:</p><p>Vemos que essa é uma inequação quociente em que um dos fatores é um trinômio</p><p>de 2º grau e o outro é um binômio de 1º grau. Procedemos de forma semelhante ao</p><p>da inequação produto. Seja f(x) = x² – 5x +4 e g(x) = x – 3. Devemos obter os valores</p><p>reais de x para que f(x)/g(x) ≥ 0. Façamos a análise de sinal de ambas.</p><p>≥ 0</p><p>x</p><p>2−5x+4</p><p>x−3</p><p>Assim, a solução da inequação é S = {x ∈ R/ 1 ≤ x < 3 ou x  ≥ 4}.</p><p>Caro(a) aluno(a), encerramos mais uma etapa, fechamos a nossa Unidade III. Nela</p><p>você teve contato com as funções polinomiais, calculamos valor numérico, raízes,</p><p>grau, dentre outros. Ainda demos foco a um caso particular de função polinomial, a</p><p>chamada função quadrática ou função do segundo grau. O que tratamos nessa</p><p>função? Falamos sobre a sua de�nição, ou seja, quando temos um caso de uma</p><p>função do segundo grau. Também indicamos os coe�cientes que a função apresenta.</p><p>Essa função tem como grá�co uma parábola, que tem concavidade para cima ou</p><p>para baixo, dependendo do coe�ciente de x2 que, neste texto, chamamos de a. Se a ></p><p>0 temos uma concavidade para cima e, se a < 0, concavidade para baixo. O ponto</p><p>mais alto ou mais baixo, dependendo do sinal de a, é chamado de vértice da função e</p><p>é uma ferramenta para obtermos a projeção do grá�co sobre o eixo y, no caso,</p><p>chamamos essa projeção de imagem.</p><p>É evidente que neste texto �zemos a construção das parábolas usando alguns</p><p>pontos, mas o cenário contemporâneo contempla muitas tecnologias, as quais, estão</p><p>cada dia mais acessíveis, então, quando você precisar construir um grá�co de uma</p><p>função, não só do segundo grau, pode-se recorrer a softwares para essas construções,</p><p>por exemplo, o GeoGebra, que é gratuito.</p><p>Na sequência falamos das inequações do segundo grau, que nada mais eram do que</p><p>analisar o sinal de uma função do segundo grau e, por �m, tratamos de dois tipos de</p><p>inequações, aquelas que eram geradas por produto de funções e a outra que era</p><p>gerada por quociente entre funções, as chamadas inequações produto e quociente</p><p>respectivamente. O processo de resolução de ambas consiste em fazer análise de</p><p>sinais de cada função envolvida e depois apenas um jogo de sinal, assim, temos a</p><p>possibilidade de obter o conjunto solução pedido.</p><p>Espero que você tenha gostado desta unidade e vamos para a última, a Unidade IV.</p><p>Bons estudos!</p><p>Conclusão - Unidade 3</p><p>Livro</p><p>Filme</p><p>Web</p><p>Acesse o link</p><p>http://odin.mat.ufrgs.br/outros/fernando/cri_ger_2g/index.php</p><p>Unidade 4</p><p>Função Modular e</p><p>Exponencial</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Caro(a) aluno(a), nesta unidade estaremos tratando de dois assuntos centrais, a</p><p>função modular e o conceito de função exponencial. Começaremos o nosso estudo</p><p>referindo-nos à ideia de módulo de um número real, esse dispositivo tem o intuito</p><p>de calcular a distância do número em relação a zero, desta forma o resultado de um</p><p>módulo será sempre positivo. Na sequência trataremos das equações e inequações</p><p>modulares, são sentenças fechadas e abertas, respectivamente, que envolvem</p><p>módulos. Estas são referências para o assunto sequente, que são as funções</p><p>modulares. Essas funções têm por características, sem interferências, imagens</p><p>positivas, e tem aplicações no cotidiano, como, por exemplo, a comparação das</p><p>temperaturas entre duas ou mais cidades, na Física, na Química, na Geogra�a, entre</p><p>outras</p><p>Na segunda parte da unidade trataremos dos assuntos referentes a exponenciais,</p><p>que são os casos que envolvem a incógnita ou variável como expoente de uma base</p><p>real. Iniciaremos nosso estudo sobre exponenciais falando sobre equações. Na</p><p>sequência de�niremos as funções exponenciais, esta com ampla aplicação no</p><p>cotidiano, cálculos relacionados aos juros compostos, reprodução de bactérias, efeito</p><p>de medicamentos no organismo e muito mais. Iremos aprender a construir e</p><p>interpretar grá�cos de funções exponenciais. Como trataremos de potências, é</p><p>interessante que você faça uma revisão sobre potenciação.</p><p>Por �m, trataremos das inequações que envolvem exponenciais, estas que têm</p><p>praticamente o mesmo formato para a resolução em relação a equações</p><p>exponenciais. Só oriento que, conforme a base, devemos inverter o sinal da</p><p>desigualdade. Se a base for maior que um, o sinal da desigualdade permanece, se</p><p>for entre zero e um, ao cancelar as bases invertemos o sinal.</p><p>Espero que você aproveite ao máximo os conteúdos aqui apresentados nesta</p><p>unidade. Então vamos lá!</p><p>Bons estudos!</p><p>Módulo de um Número</p><p>Real</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Você deve ter passado pela experiência de, por exemplo, perguntar onde �ca um</p><p>determinado lugar e receber como resposta que o local está a uma quantidade de</p><p>quilômetros de distância. Provavelmente a pessoa que te respondeu informou um</p><p>valor positivo. Em situações que envolvem o conceito de distância sempre usamos</p><p>como medidas um número positivo.</p><p>De�nimos como distância a medida da separação de dois pontos. Quando se fala na</p><p>distância entre dois pontos da superfície terrestre, estamos nos referindo ao mínimo</p><p>comprimento entre as possíveis trajetórias sobre a superfície, partindo de um ponto</p><p>e atingindo o outro. Assim, falamos em distância ferroviária, distância aérea,</p><p>distâncias rodoviárias, entre outras. A distância é sempre uma medida positiva e tem</p><p>a propriedade de que a distância de um ponto A até um ponto B é a mesma</p><p>distância do ponto B até o ponto A. Agora introduziremos o conceito de módulo,</p><p>que está ligado à de�nição de distância.</p><p>Módulo ou Valor Absoluto</p><p>O conceito de módulo ou valor absoluto de um número real x está ligado à ideia de</p><p>distância de um ponto da reta à origem. Quando nos referirmos ao módulo de x,</p><p>estaremos indicando a distância de x a zero na reta real.</p><p>De�nimos módulo ou valor absoluto de um número real como</p><p>|x|, e usaremos essas</p><p>duas barras para representar o módulo de x.</p><p>Algebricamente entende-se como módulo:</p><p>Com essa sentença podemos fazer duas observações:</p><p>i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número.</p><p>ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.</p><p>Exemplos:</p><p>a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3</p><p>b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10</p><p>|x| = {</p><p>x se x ≥ 0</p><p>−x se x < 0</p><p>Equações Modulares</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Conforme você vai aprofundando seus conhecimentos sobre módulos, nos</p><p>deparamos com as chamadas equações modulares. Mas o que é uma equação</p><p>modular? Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem</p><p>módulos de expressões que contêm incógnita. Para resolvermos equações</p><p>modulares devemos respeitar as condições de existência da de�nição de módulo. A</p><p>seguir apresentamos, como exemplos, algumas equações modulares.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1)Obter a solução da equação |x + 2| = 4.</p><p>Resolução:</p><p>Pelas condições do módulo devem ter   x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 . Resolvendo</p><p>separadamente cada uma dessas condições temos:</p><p>x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2</p><p>x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6</p><p>Logo o conjunto solução da equação é S = {–6; 2} .</p><p>2) Qual o valor real de x que satisfaz |2x – 15| = x – 9?</p><p>Resolução:</p><p>Por se tratar de módulo devemos ter |2x – 15| ≥ 0, dessa forma a equação só é</p><p>possível se x – 9 ≥ 0, x ≥ 9.</p><p>Pelas condições de módulo,  |2x – 15| = x –9 é equivalente a 2x – 15 = x – 9 ou 2x – 15 = –</p><p>(x – 9) , assim:</p><p>2x – 15 = x – 9 temos 2x – x = – 9 + 15, logo x = 6.</p><p>2x – 15 = – (x – 9) temos 2x – 15 = – x + 9 daí 2x + x = 9 + 15, que gera 3x = 24 logo x = 8.</p><p>Veri�que que x = 3 e nem x = 8 não satisfazem a condição x ≥ 9, portanto, o conjunto</p><p>solução da equação é vazio, ou seja, S = { }.</p><p>Funções Modulares</p><p>Até o momento você estudou alguns tipos de funções, iremos aumentar nosso rol,</p><p>introduziremos a chamada função modular: função colocada dentro de um módulo,</p><p>o que gera o nome. Seu formato principal é dado por: . A função modular</p><p>tem várias aplicações no cotidiano, como, por exemplo, a aplicação em comparação</p><p>das temperaturas entre duas ou mais cidade.</p><p>y = |f(x)|</p><p>Para construirmos o grá�co de uma função modular, pode-se substituí-la por outras</p><p>duas funções que são equivalentes a ela.</p><p>Todas as funções modulares podem ser representadas por mais de uma sentença.</p><p>Serão dados, a seguir, alguns exemplos de funções modulares.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Construir o grá�co da função real f(x) = |x|.</p><p>Resolução:</p><p>Pela de�nição de módulo temos . Para x ≥ 0 temos a bissetriz</p><p>do primeiro quadrante e para x < 0, a bissetriz do segundo quadrante. Outra forma</p><p>de pensar no grá�co da função é notar que g(x) = x é uma reta que passa pela</p><p>origem. Construa esse grá�co e faça a projeção da parte negativa para positiva.</p><p>Figura 1 - Grá�co de f(x) = |x|</p><p>Fonte: o autor.</p><p>y = {</p><p>f(x) se f(x) ≥ 0</p><p>−f(x) se f(x) < 0</p><p>f(x) = {</p><p>x se x ≥ 0</p><p>−x se x < 0</p><p>2) Seja a função f: R R de�nida por f(x) = |x2– 4|. Construa o grá�co dessa função.</p><p>Resolução:</p><p>Usando a de�nição de módulo temos . Então basta</p><p>construir o grá�co da função g(x) = x² – 4 e fazer a projeção da parte negativa para a</p><p>positiva.</p><p>Figura 2 - Grá�co da função f(x) = |x² – 4|</p><p>Fonte: o autor.</p><p>→</p><p>f(x) = { x2 − 4 se x2 − 4 ≥ 0</p><p>−x2 + 4 se x2 − 4 < 0</p><p>Inequações Modulares</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Como já sabemos, o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo.</p><p>Podemos representar geometricamente o módulo de um número real x pela</p><p>distância do ponto que o representa, na reta real, ao ponto 0 de origem. Assim se | x |</p><p><a (com a > 0), signi�ca que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x</p><p>deve estar entre –a e a. Na reta real temos</p><p>De�nimos que se a > 0 , | x | < a, então  –a < x < a.</p><p>Se | x | > a (com a > 0), signi�ca que a distância entre x e a origem é maior que a, isto</p><p>é, x deve ser menor  –a e  maior que a.</p><p>De�nimos que se a > 0 , | x | > a  então  x < –a  ou  x > a.</p><p>Pode-se considerar, de forma análoga, inequações com os símbolos ≥ ou . Em</p><p>situações em que a < 0, | x | > a   terá o conjunto dos números reais como solução,</p><p>pelo fato de | x | > 0, se a < 0 , | x | < a teremos solução vazia, pois | x |  não pode ser</p><p>menor que um valor negativo.</p><p>Exemplos resolvidos</p><p>1)Resolver a inequação | x + 12 | < 7.</p><p>Resolução:</p><p>Pela de�nição do módulo temos | x + 12 | = .</p><p>Geometricamente representamos por</p><p>Separando em dois casos temos:</p><p>I) para x < –12 temos</p><p>– (x + 12) < 7 que gera – x – 12 < 7. Assim temos – x < 7 + 12, ou seja x > – 19.</p><p>SI = (–19, –12)</p><p>≤</p><p>{</p><p>x + 12 se x ≥ −12</p><p>−(x + 12) se x < 12</p><p>II) para x ≥ –12 temos</p><p>x + 12 < 7 que gera x < 7 – 12. Logo x < –5.</p><p>SII = [–12, –5)</p><p>Para obtermos a solução da inequação | x + 12 | < 7 façamos a união entre as</p><p>soluções de I e II.</p><p>Logo temos que a solução procurada é S = {x R/ –19 < x < –12}.</p><p>2) Resolver a inequação | 5 – 6x | ≥ 9.</p><p>Resolução:</p><p>Usando a de�nição do módulo temos | 5 – 6x | = .</p><p>Geometricamente representamos por</p><p>Como no exemplo anterior, separando em dois casos:</p><p>I) para x ≤ 5/6 temos</p><p>5 – 6x ≥ 9, desta forma, – 6x ≥ 4. Logo x ≤ – 4/6, ou seja, x ≤ –2/3.</p><p>SI = (– , –2/3]</p><p>II) para x > 5/6 temos</p><p>∈</p><p>{</p><p>5 − 6x se 5 − 6x ≥ 0</p><p>−(5 − 6x) se 5 − 6x < 0</p><p>∞</p><p>–(5 – 6x) ≥ 9, desta forma, –5 + 6x ≥ 9. Daí, 6x ≥ 9 + 5. Logo x ≥ 14/6, ou seja x ≥ 7/3.</p><p>SII = [7/3, + )</p><p>Determinamos   a solução da inequação | 5 – 6x | ≥ 9, faremos a união entre as</p><p>soluções de I e II.</p><p>Assim a solução da inequação é S = {x R/ x ≤ –2/3 ou x ≥ 7/3}.</p><p>∞</p><p>∈</p><p>Equações Exponenciais</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Agora mudaremos o nosso conteúdo. Você estudou os conceitos modulares,</p><p>passaremos para os conceitos de exponenciais. Para começar, estudaremos alguns</p><p>tipos de equações chamadas equações exponenciais. Essas equações são</p><p>expressões algébricas que possuem um sinal de igualdade entre duas partes, estas,</p><p>por sua vez, têm a incógnita �gurando no expoente. Veja alguns exemplos de</p><p>equações exponenciais:</p><p>16ˣ = 4</p><p>2ˣ + 16 = 20</p><p>9ˣ = 81</p><p>5ˣ⁺¹ = 625</p><p>Não há forma especí�ca de resolver uma equação exponencial. O que devemos</p><p>buscar para a resolução é um procedimento para podermos igualar as bases. Então,</p><p>para não termos problemas nas resoluções de equações exponenciais, recorremos</p><p>às várias propriedades da potenciação. Faremos uso de algumas ferramentas nas</p><p>resoluções, artifícios para facilitarmos nossos conceitos e, por consequência, a</p><p>resolução dessas equações. Observe alguns casos:</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Resolva a equação 5ˣ = 125.</p><p>Resolução:</p><p>Neste caso, iremos usar uma técnica que consiste em escrever ambos os seus</p><p>membros na forma de potências de mesma base, no caso a base 5.</p><p>Devemos fatorar o número 125 de forma que tenhamos bases iguais, assim, 5³ = 125</p><p>gera 5ˣ = 5³ , desta forma x = 3. Concluímos que o conjunto solução para essa</p><p>equação é S = {3}.</p><p>2) Determine a solução da equação 8ˣ⁻¹ = 16.</p><p>Resolução:</p><p>Iremos usar o mesmo procedimento do exemplo 1. Colocaremos todas as potências</p><p>na base 2, para tal basta fator o 8 e o 16. Assim temos a equação equivalente:</p><p>(2³)ˣ⁻¹ = 2⁴</p><p>Assim temos</p><p>2³ˣ⁻³ = 2⁴, daí vem 3x – 3 = 4, que gera 3x = 4 + 3.</p><p>Logo, 3x = 7 implica em x = 7/3. Então o conjunto solução da equação é S = {7/3}.</p><p>Função Exponencial</p><p>Caro(a) aluno(a), estamos estudando a nossa última função deste material, a</p><p>chamada função exponencial. Para que possamos seguir de forma satisfatória em</p><p>relação aos conceitos de função exponencial, é aconselhável que você faça uma</p><p>revisão das propriedades operatórias de potências. Vamos, então, de�nir a função</p><p>exponencial:</p><p>Considere um número a positivo e diferente de 1. Chamamos de função exponencial</p><p>a função bijetora f: R R*- de�nida por f(x) = ax. Essa função recebe o nome de</p><p>função exponencial pelo fato de, como podemos observar, a variável independente,</p><p>indicada por x, estar no expoente.</p><p>Esse tipo de função é utilizada largamente em representações diversas, como em</p><p>taxa de variação em rendimentos �nanceiros capitalizados por juros compostos, em</p><p>crescimento do número de</p><p>bactérias, em decaimento radioativo de substâncias</p><p>químicas, crescimento ou decrescimento populacional entre outras.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Uma bactéria tem um ciclo de reprodução em um meio, de hora em hora. Supondo</p><p>que, inicialmente, existam 8 bactérias nesse meio, determine o número de bactérias</p><p>ao �m de 10 horas.</p><p>Resolução:</p><p>Observe que no tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.</p><p>No tempo t = 1 hora, o número de bactérias é 16 que é equivalente a 8.2¹.</p><p>No tempo t = 2 horas, o número de bactérias é dado por 8.2² = 32. Em t = 3 horas</p><p>teremos 8.2³ bactérias. E assim sucessivamente. Então, para t horas teremos o</p><p>número de bactérias n dado em função de t por n(t) = 8.2ᵗ. Logo, no tempo desejado,</p><p>ou seja, ao �m de 10 horas, o número de bactérias será de n(10) = 8.2¹⁰ = 2³.2¹⁰ = 2¹³ =</p><p>8192.</p><p>Grá�co da Função Exponencial no Plano</p><p>Cartesiano</p><p>Para construirmos o grá�co de uma função exponencial podemos proceder de</p><p>forma semelhante ao das funções que você estudou neste material. Podemos</p><p>construir uma tabela com valores para x e obter seus correspondentes valores de y,</p><p>formando, assim, os pontos (x,y). Isso feito, localizamos esses pontos no plano</p><p>cartesiano e traçamos a curva gerada por eles, logo, temos o grá�co da função.</p><p>→</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Construir o grá�co da função exponencial f(x) = 2ˣ.</p><p>Resolução:</p><p>Para a representação grá�ca da função f(x) = 2ˣ arbitraremos os seguintes valores</p><p>para x:</p><p>–2, –1, 0, 1 e 2.</p><p>Montando uma tabela temos:</p><p>Indicando esses pontos no plano cartesiano temos um padrão para o grá�co dessa</p><p>função.</p><p>x  y = 2</p><p>-2 y = 2  = 1/4</p><p>-1 y = 2  = 1/2</p><p>0 y = 2  = 1</p><p>1 y = 2 = 2</p><p>2 y = 2 = 4</p><p>x</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>Figura 3 - Grá�co da função f(x) = 2ˣ</p><p>Fonte: o autor.</p><p>2) Construir o grá�co da função exponencial f(x) = .</p><p>Resolução:</p><p>Como procedemos no exemplo 01, construiremos uma tabela com valores</p><p>arbitrários de x e determinaremos os valores de y correspondentes.</p><p>( )</p><p>x1</p><p>2</p><p>Localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da</p><p>curva da função, então, temos:</p><p>Figura 4 - Grá�co de f(x) = (1/2)ˣ</p><p>Fonte: o autor.</p><p>x  y = 2</p><p>-2 y = (1/2)  = 4</p><p>-1 y = (1/2)  = 2</p><p>0 y = (1/2)  = 1</p><p>1 y = (1/2) = 1/2</p><p>2 y = (1/2) = 1/4</p><p>x</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Considere que uma substância se decompõe segundo a função ,</p><p>em que c é uma constante, t indica o tempo em minutos e f(t) indica a quantidade</p><p>da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de</p><p>decomposição mostrados no grá�co, determine o valor de c + a.</p><p>Resolução:</p><p>Os pontos (a, 512) e (0, 2048) pertencem a função, então, se substituirmos t por a</p><p>obtemos 512, de mesma forma quando t = 0 temos 2048. Temos</p><p>Desta forma, a função indicada na questão é .</p><p>Agora, substituindo o valor de t por a temos . Daí tem</p><p>. Fatorando o segundo membro �camos com que</p><p>gera 0,5a = 2. Logo, a = 4. Desta forma, podemos concluir que a + c = 4 + 2048 = 2052.</p><p>Crescimento e Decrescimento</p><p>Nas construções que �zemos você deve ter notado que a função f(x) = 2ˣ é crescente</p><p>e a função f(x) = (1/2)ˣ é decrescente. Em uma função exponencial não existe a</p><p>necessidade da construção do grá�co para constatarmos isso. A função pode ser</p><p>crescente ou decrescente conforme o valor de sua base. Se ela for maior que 1, a</p><p>função é crescente; se a base for um número real entre 1 e 0, temos uma função</p><p>decrescente.</p><p>f (t) = c × 2−0,5t</p><p>f (0) = c × 2−0,5(0) = c × 20 = c = 2048</p><p>f (t) = 2048 × 2−0,5t</p><p>f (a) = 2048 × 2−0,5a = 512</p><p>2−0,5a = =512</p><p>2048</p><p>1</p><p>4</p><p>2−0,5a = 2−2</p><p>Indiferente da função exponencial f(x) = aˣ ser crescente ou decrescente, seu grá�co</p><p>sempre cruza o eixo das ordenadas – eixo y, no ponto (0, 1). Outro fator a ser notado é</p><p>que, pelo fato de termos a > 0, o seu grá�co não toca o eixo x.</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Os elementos radioativos têm uma característica interessante: à</p><p>medida que o tempo passa, a sua quantidade e atividade vão sendo</p><p>reduzidas, por consequência, em razão da radioatividade, a energia</p><p>liberada por ele é reduzida. Chamamos de meia vida de um elemento</p><p>radioativo o intervalo de tempo em que certa amostra do elemento se</p><p>reduz à metade da quantidade inicial de núcleos instáveis, ou seja,</p><p>temos um função exponencial de base meio. Esse processo, em que a</p><p>massa se reduz a metade também é conhecido como</p><p>semidesintegração.</p><p>Fonte: Almeida (2020).</p><p>REFLITA</p><p>De acordo com teoria de Malthus a população mundial cresce em</p><p>progressão geométrica, que é uma função exponencial e a produção de</p><p>alimento não acompanha esse ritmo. A teoria malthusiana explicava,</p><p>desta forma, a existência da fome, pobreza e miséria no mundo. Como</p><p>fazer com que a população mundial deixe de crescer de forma</p><p>exponencial?</p><p>Fonte: IVANISSEVICH, Alicia. Thomas Malthus: Entenda o descompasso</p><p>entre alimento e população. Rede Globo, 2012. Disponível em:</p><p>http://redeglobo.globo.com/globoecologia/noticia/2012/09/thomas-</p><p>malthus-entenda-o-descompasso-entre-alimento-e-populacao.html.</p><p>Acesso em: 22 de abri. de 2020.</p><p>ACESSAR</p><p>http://redeglobo.globo.com/globoecologia/noticia/2012/09/thomas-malthus-entenda-o-descompasso-entre-alimento-e-populacao.htm</p><p>Inequações Exponenciais</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Como existem equações com incógnitas no expoente, também existem inequações.</p><p>Contudo, os processos de resolução são muito parecidos. Você deve sempre buscar</p><p>determinar uma desigualdade com elementos de mesma base.</p><p>De�nimos como inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no</p><p>expoente. Como por exemplo, 3ˣ⁻¹ > 81.</p><p>Toda inequação tem como referência funções, adotamos as mesmas condições para</p><p>as funções exponenciais. Para resolvermos uma inequação exponencial devemos</p><p>nos preocupar com as seguintes propriedades:</p><p>Se a >1 temos aˣ² > aˣ¹ gerando x₂ > x₁  (conserva o sentido da desigualdade).</p><p>Se 0 < a < 1 temos aˣ² > aˣ¹ gerando  x₂ < x₁  (inverte o sinal da desigualdade).</p><p>Os processos de resoluções de inequações exponenciais necessitam e muito que</p><p>você tenha consolidado os conceitos de potenciação para expressões de mesma</p><p>base. Também é importante ter um suporte de outras inequações, em especial as</p><p>do primeiro e segundo graus.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Determine o conjunto solução da inequação 2ˣ⁻¹ > 128.</p><p>Resolução:</p><p>Na fatoração de 128 temos 2⁷, assim</p><p>2ˣ⁻¹ > 2⁷ x – 1 > 7 x > 8.</p><p>Logo, a solução da inequação é o conjunto S = {x R/ x > 8}</p><p>2) Obter o conjunto solução da inequação (1/3)ˣ < 27.</p><p>Resolução:</p><p>Note que podemos escrever 27 = 3³ ou ainda 27 = (1/3)⁻³. Então temos:</p><p>(1/3)ˣ < (1/3)⁻³. Assim, temos x > –3. Veri�que que mudamos o sentido da desigualdade</p><p>pelo fato da base ser entre 0 e 1. Concluímos que a solução da inequação é o</p><p>conjunto S = {x R/ x > –3}.</p><p>⇒ ⇒</p><p>∈</p><p>∈</p><p>Chegamos ao �m desta unidade e, consequentemente, ao �m do nosso material.</p><p>Nesta unidade tratamos dos conceitos modulares e exponenciais. Fizemos uma</p><p>sequência que fosse a mais didática o possível. Iniciamos esta unidade falando sobre</p><p>módulo que, por ser uma distância em relação a zero, nunca é negativo. Com esse</p><p>fato de�nimos as chamadas equações modulares que são as equações que envolvem</p><p>algum módulo. De�nimos também as funções modulares, que são as funções que</p><p>estão dentro de um módulo.</p><p>Na segunda parte desta unidade tratamos dos exponenciais que são as expressões</p><p>que �guram variáveis ou incógnitas no expoente. Para resolver equações</p><p>exponenciais, de uma forma geral, devemos buscar uma igualdade com bases iguais.</p><p>Em várias situações conseguimos isso fazendo uso de fatoração dessas bases por</p><p>números primos.</p><p>Na sequência, falamos sobre as funções exponenciais, estas que apresentam a</p><p>variável no expoente. Elas podem ser crescentes ou decrescentes, conforme o valor de</p><p>sua base. Enfatizo que através do estudo das funções exponenciais e seus grá�cos</p><p>temos várias aplicações. Ela pode ser utilizada na prevenção e estudo de epidemias</p><p>de bactérias e estatísticas para prevenir grandes pandemias de doença, sem contar</p><p>as aplicações na área �nanceira, nas grandes corporações no auxilio da estatística de</p><p>mercado, e crescimento de demanda</p><p>de vendas e marketing. Por �m estudamos as</p><p>inequações exponenciais, que têm como referência o sentido de crescimento e</p><p>decrescimento das expressões envolvidas.</p><p>Espero que você tenha aproveitado ao máximo essa unidade. Sucesso!</p><p>Conclusão - Unidade 4</p><p>Livro</p><p>Filme</p><p>Web</p><p>Acesse o link</p><p>http://coloque%20https//brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htmo%20link%20aqui</p><p>Caro(a) acadêmico(a), chegamos ao �m de nossa disciplina. A matemática é</p><p>fundamental para que possamos fazer análise e projeções acerca de uma</p><p>organização. Aqui apresentamos alguns conceitos primordiais para traçar um</p><p>caminho de estudo dentro dos métodos quantitativos matemáticos.</p><p>Neste material, busquei trazer para você os principais conceitos elementares dentro</p><p>dos Métodos Quantitativos Matemáticos para que, se você tiver interesse em se</p><p>aprofundar no assunto, tenha uma base sólida. Para tanto abordamos as de�nições</p><p>teóricas e elementares, apresentamos várias questões resolvidas. Neste aspecto,</p><p>acreditamos que tenham �cado claros para você os procedimentos matemáticos</p><p>propostos neste curso. Fizemos uma sequência didática que proporcionou uma</p><p>construção gradativa do conhecimento.</p><p>Os conteúdos que você estudou podem ser usados em características</p><p>interdisciplinares, numa perspectiva de proporcionar aplicações acerca de vários</p><p>assuntos, contribuindo para seu desenvolvimento pro�ssional principalmente em</p><p>relação à consolidação de conhecimentos relativos à área.</p><p>Fizemos uma abordagem de conteúdos de matemática básica e conjuntos</p><p>numéricos para que você criasse meios de prosseguir, sem mais di�culdades, nos</p><p>conceitos principais da nossa disciplina, as funções. Estas que regem várias teorias</p><p>dentro da economia, engenharia, física entre outras. Já nas funções tratamos de</p><p>vários casos, como as polinomiais e exponenciais.</p><p>A partir de agora acreditamos que você já está preparado(a) para seguir em frente</p><p>desenvolvendo ainda mais suas habilidades matemáticas e preparado para fazer</p><p>modelagens que envolvam os conceitos apresentados neste curso. Espero que você</p><p>tenha aproveitado ao máximo a nossa proposta.</p><p>Até uma próxima oportunidade. Muito Obrigado!</p><p>Considerações Finais</p><p>00-capa</p><p>01-Introdução 1</p><p>02-Expressões Numéricas</p><p>03-Regra de Três</p><p>04-Porcentagem</p><p>05-Equação</p><p>06-Teoria dos Conjuntos</p><p>07-Conjuntos Numéricos</p><p>08-Conclusão 1</p><p>09-Introdução 2</p><p>10-Plano Cartesiano</p><p>11-Função</p><p>12-Função Real de Variável Real</p><p>13-Sinais de uma Função</p><p>14-Funções Polinomiais do 1º Grau</p><p>15-Inequações do 1º Grau</p><p>16-Conclusão 2</p><p>17-Introdução 3</p><p>18-Funções Polinomiais</p><p>19-Função do Segundo Grau</p><p>20-Formas da Função Quadrática</p><p>21-Inequações do 2º Grau</p><p>22-Inequações Produto e Inequações Quociente</p><p>23-Conclusão 3</p><p>24-Introdução 4</p><p>25-Módulo de um Número Real</p><p>26-Equações Modulares</p><p>27-Inequações Modulares</p><p>28-Equações Exponenciais</p><p>29-Inequações Exponenciais</p><p>30-Conclusão 4</p><p>31-Considerações Finais</p><p>5</p><p>8</p><p>20</p><p>x</p><p>8−0−0</p><p>10−0−0</p><p>8x = 200 ⇒ x = ⇒ x = 25</p><p>200</p><p>8</p><p>Porcentagem</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Você provavelmente deve ouvir essa palavra quase todo dia: porcentagem. Ela</p><p>origina-se do latim per centum, que signi�ca por cem ou “por cento”, ou seja, é uma</p><p>razão cujo denominador é 100. Usamos o símbolo % para representar porcentagem,</p><p>assim quando dizemos x% estamos indicando a fração . Isso signi�ca que</p><p>dividimos algo em 100 partes e tomamos x dessas partes.</p><p>Para representarmos porcentagem podemos usar uma fração centesimal</p><p>(denominador igual a cem) ou um número decimal. A seguir estão algumas</p><p>representações que são equivalentes.</p><p>A porcentagem é vastamente utilizada no mercado �nanceiro, sendo aplicada para</p><p>capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices in�acionários e</p><p>de�acionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros.</p><p>Exemplos resolvidos.</p><p>1) Uma loja fez um anúncio de uma promoção, indicando que estava dando</p><p>descontos de até 60%. Uma pessoa que nela fosse comprar uma calça que antes da</p><p>promoção custava R$ 90,00, e na liquidação estava com desconto máximo, levaria a</p><p>calça por qual valor?</p><p>Resolução:</p><p>Devemos calcular o desconto que essa calça tem. Para se obter 60% de R$ 90,00</p><p>uma forma é dividir o valor em reais por 100 e multiplicar por 60. Assim R$90,00:100</p><p>= 0,9.60 = R$54,00. Logo o desconto será de R$ 54,00 e ela pagará R$ 90,00 – R$</p><p>54,00 = R$ 36,00.</p><p>2) Descontos sucessivos de 12% e 20%, correspondem a desconto único de quanto?</p><p>Resolução:</p><p>Se um artigo tem desconto de 12% então estaremos pagando 100% – 12% = 88%, de</p><p>mesma forma, se houver um desconto de 20% então a fração correspondente a ser</p><p>paga é 100% – 20% = 80%. Uma forma de se calcular os descontos sucessivos é</p><p>multiplicar esses valores.</p><p>x</p><p>100</p><p>x% =</p><p>x</p><p>100</p><p>8% = = 0, 08</p><p>8</p><p>100</p><p>57% = = 0, 57</p><p>57</p><p>100</p><p>132% = = 1, 32</p><p>132</p><p>100</p><p>Logo, esses dois descontos sucessivos correspondem a um desconto único de 100%</p><p>– 70,4% = 29,6%</p><p>. = = = 70, 4%</p><p>88</p><p>100</p><p>80</p><p>100</p><p>7040</p><p>10000</p><p>70, 4</p><p>100</p><p>Equação</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Dizemos que uma igualdade entre duas expressões matemáticas que se veri�ca</p><p>para determinados valores das variáveis é chamada de equação. Resolver uma</p><p>equação é determinar quais os valores satisfazem determinadas condições</p><p>indicadas na equação. Esses valores são chamados de raízes da equação. Ao</p><p>conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado de conjunto solução.</p><p>Por exemplo, o número 3 é solução da equação 4x – 3 = 3x, pois a igualdade é</p><p>veri�cada quando se substitui x por 3, note 4.3 – 3 = 3.3.</p><p>Equações do 1º Grau</p><p>Caro(a) aluno(a), neste tópico iremos discutir conceitos envolvidos em equações do</p><p>1º grau, em especial a sua resolução. Mas, a�nal, o que é uma equação do primeiro</p><p>grau?</p><p>Uma equação do primeiro grau é toda igualdade do tipo ax + b = 0, com a e b ∈ R e a</p><p>≠ 0, sendo x um número real a ser determinado, chamado de incógnita.</p><p>O problema fundamental das equações é a determinação de suas raízes, isto é,</p><p>determinar a solução da equação. Assim, poderíamos nos perguntar: uma equação</p><p>tem solução, isto é, tem raízes? Quantas são as raízes? Como determinar essas raízes</p><p>da equação? Para obter as raízes de uma equação do tipo ax + b = 0, com a e b ∈ R e</p><p>a ≠ 0, existem vários métodos.</p><p>Propriedades:</p><p>Aditiva: somar ou subtrair um número nos dois membros de uma equação,</p><p>encontrando outra equivalente.</p><p>Multiplicativa: multiplicar ou dividir por um número não nulo nos dois membros de</p><p>uma equação, encontrando outra equivalente.</p><p>Exemplo resolvido</p><p>Resolver cada uma das equações:</p><p>a) 5x – 12 = 8</p><p>b) 3x – 10 = 2x + 8</p><p>Resolução:</p><p>a) As operações aditiva e multiplicativa podem ser substituídas pelo processo de</p><p>isolar o valor de x, observe:</p><p>Podemos “levar” o – 12 para o segundo membro invertendo a operação, daí:</p><p>5x = 8 + 12</p><p>5x = 20</p><p>Agora, como o valor 5 está multiplicando o valor de x então “transferimos” o 5 para o</p><p>outro membro invertendo a operação:</p><p>Logo: .</p><p>b) Pode-se usar o método aplicado em a), mas faremos pelo processo aditivo e</p><p>multiplicativo.</p><p>Para obtermos a solução dessa equação devemos somar 10 a cada um de seus</p><p>membros:</p><p>3x – 10 + 10 = 2x + 8 + 10</p><p>3x = 2x + 18</p><p>Ainda podemos somar –2x em ambos os membros:</p><p>3x + (–2x) = 2x + (–2x) + 18</p><p>x = 18</p><p>Logo, x  = 18. Podemos então indicar o conjunto solução S = {18}.</p><p>Equações do 2º Grau</p><p>Caro(a) aluno(a), agora você terá contato com um tipo de equação particular, as</p><p>equações chamadas de equações polinomiais do segundo grau ou equação</p><p>quadrática. Nós iremos apresentar a você um método de resolução conhecido como</p><p>Bhaskara. Antes desse método, iremos indicar as equações incompletas que</p><p>também podem ser resolvidas como o método citado, mas existe a possibilidade de</p><p>diminuir esforços e tempo na resolução. Vamos então para a de�nição:</p><p>Uma equação de segundo grau ou quadrática com coe�cientes a, b e c é a equação</p><p>na forma completa representada por:</p><p>ax² + bx + c = 0</p><p>a, b e c ∈ R e a ≠ 0 e x a incógnita a ser determinada.</p><p>Observe que a é o coe�ciente que acompanha o x², o coe�ciente b acompanha o x e</p><p>o c é o termo independente da equação. Não se esqueça de atentar a esses fatores,</p><p>pois são essenciais para resolver uma equação do 2º grau.</p><p>Observe as equações a seguir:</p><p>x = ⇒ x = 420</p><p>5</p><p>a) 3x² – 7x + 9 = 0   é uma equação do 2º grau, com a = 3,  b = –7  e  c = 9.</p><p>b) –2x² – x – 1 = 0    é uma equação do 2º grau, com a = –2,  b = –1  e  c = –1.</p><p>c) 9x² – 12x = 0        é uma equação do 2º grau, com a = 9,  b = –12  e  c = 0.</p><p>Considere a equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Para obtermos sua</p><p>solução, um dos processos que pode ser usado é a fórmula resolutiva de Bhaskara:</p><p>Note que usamos . Esse valor é chamado de delta. Então, conforme</p><p>temos a, b e c esse valor pode variar o sinal. Acompanhe:</p><p>1. Se , então existem duas raízes reais distintas, pois representa um</p><p>número real positivo.</p><p>2. Se então as duas raízes são iguais, uma vez que é igual a zero.</p><p>3. Se então não existem raízes reais, pois não representa um número</p><p>real.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>1) Considere a equação dada por x² – 5x + 6 = 0. Determine, se houver, as raízes dessa</p><p>equação.</p><p>Resolução:</p><p>Comparando a sentença da equação como ax² + bx + c = 0 temos a = 1, b = –5 e c = 6.</p><p>Para obtermos, se houver, raízes, usaremos o processo de Bhaskara, assim:</p><p>Logo x₁ = 2 e x₂ = 3.</p><p>2) Calcule o valor de m para que a equação do segundo grau x² – 4x + m = 0 tenha</p><p>uma única raiz.</p><p>Resolução:</p><p>Para que a equação quadrática tenha uma única raiz real devemos ter seu</p><p>discriminante, delta, igual a zero. Usando a = 1, b = – 4 e c = m temos</p><p>x = =</p><p>−b ± √b2 − 4ac</p><p>2a</p><p>−b ± √Δ</p><p>2a</p><p>x =</p><p>−b ± √Δ</p><p>2a</p><p>Δ = b2 − 4ac</p><p>Δ > 0 √Δ</p><p>Δ = 0 √Δ</p><p>Δ < 0 √Δ</p><p>Δ = (−5)2 − 4.1.6</p><p>Δ = 25 − 24 = 1</p><p>x =</p><p>x =</p><p>−(−5)±√1</p><p>2.1</p><p>5±1</p><p>2</p><p>Δ = (–4)² – 4.1.m = 0</p><p>16 – 4m = 0</p><p>m = 4</p><p>Sistemas de Equações do Primeiro Grau</p><p>Em várias situações encontradas nas descrições matemáticas de fenômenos físicos</p><p>nos deparamos com a necessidade da solução simultânea de um conjunto de</p><p>equações. Esses conjuntos apresentam m equações com n incógnitas. A esse</p><p>conjunto de equações daremos o nome de sistemas. Iremos discutir sistemas</p><p>lineares de segunda ordem, que são aqueles casos que apresentam duas incógnitas</p><p>e duas equações. Se um sistema está com as incógnitas x e y, nesta ordem,</p><p>representamos a solução por S = {(x,y)}.</p><p>Existem vários métodos para encontrarmos a solução de um sistema linear de</p><p>ordem dois, aqui apresentaremos o método de adição. Caro(a) aluno(a), este método</p><p>consiste em somar as equações do sistema, buscando obter uma equação com</p><p>apenas uma incógnita. Em vários casos ocorrerá a necessidade de multiplicarmos</p><p>uma ou mais equações por um número de forma conveniente, de modo que uma</p><p>incógnita tenha coe�cientes opostos nas duas equações.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine a solução do sistema .</p><p>Resolução:</p><p>Pelo método de adição devemos obter equações equivalente à do sistema de forma</p><p>que possamos somar essas equações e, assim, obtermos uma incógnita. Neste caso,</p><p>se optarmos em obter o valor</p><p>de x podemos multiplicar a primeira equação por 2.</p><p>Agora, somando essas duas equações temos que:</p><p>Desta forma temos . Logo, x = 1. Para obtermos o valor de y devemos escolher</p><p>uma das equações e substituir x = 1, escolheremos a segunda, . Desta</p><p>forma:</p><p>{ 3x − 2y = −3</p><p>5x + 4y = 17</p><p>{ 6x − 4y = −6</p><p>5x + 4y = 17</p><p>{ 6x − 4y = −6</p><p>5x + 4y = 17</p><p>––––––––––––––––––</p><p>11x = 11</p><p>x = 11</p><p>11</p><p>5x + 4y = 17</p><p>Concluímos que a solução do sistema é S = {(1, 3)}.</p><p>Inequações</p><p>Chamamos de desigualdade uma expressão que estabelece uma ordem entre</p><p>elementos. No conjunto dos números reais, quando pretendemos indicar uma</p><p>desigualdade usamos um dos símbolos: >, que signi�ca maior que, <, que signi�ca</p><p>menor que, para representar maior ou igual a, e   para menor ou igual a.</p><p>Também podemos incluir o símbolo para representar diferente.</p><p>Dados a, x e y, números reais, então a desigualdade tem como propriedades (< e ></p><p>podem ser substituídos por ≤ e por ≥):</p><p>1. x > y  ⇒x + a > y + a</p><p>2. x > y  ⇒x – a > y – a</p><p>3. a > 0  ⇒x > y então ax > ay</p><p>4. a < 0  ⇒x > y então ax < ay</p><p>Ainda, damos o nome de inequação à desigualdade literal que é satisfeita por</p><p>valores especí�cos para suas incógnitas. Pode também ser de�nida como uma</p><p>sentença matemática expressas por um dos sinais de desigualdade, fato que a faz</p><p>diferenciar-se da equação que representa relações de equivalência. As inequações</p><p>são usadas em experiências, estatísticas, análise de dados e comparações, ela serve</p><p>de recurso da linguagem para organizar problemas.</p><p>Determinar a solução de uma inequação é obter os valores das incógnitas que</p><p>satisfazem a desigualdade, tornando-a, assim, uma expressão numérica. Iremos</p><p>trabalhar, nas unidades seguintes desse material vários tipos de inequações.</p><p>Exemplos:</p><p>1. As expressões 2x + 9 > 0, x2 – 8x ≤ 0, 6x + 7 ≤ 0 são inequações.</p><p>2. A �gura a seguir mostra uma balança ao �nal de uma pesagem. Em cada um</p><p>dos pratos, há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, todos</p><p>representados na mesma unidade de medida.</p><p>5.1 + 4y = 17</p><p>5 + 4y = 17</p><p>4y = 17 − 5</p><p>4y = 12</p><p>y = ⇒ y = 312</p><p>4</p><p>≥ ≤</p><p>≠</p><p>Podemos expressar a situação através da inequação 3x + 5 > 2x + 8.</p><p>Teoria dos Conjuntos</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Um conceito importante em Matemática é a Teoria dos Conjuntos. No seu dia a dia</p><p>se depara com vários conjuntos, a nossa família, os habitantes de uma cidade dentre</p><p>outros, então como você de�niria um conjunto?</p><p>Conjunto é um ente primitivo, ou seja, um conceito aceito sem de�nição formal.</p><p>Então você deve continuar com a ideia formada de coleção e para �xarmos bem,</p><p>observe os exemplos:</p><p>1. Os dias da semana formam um conjunto. Sábado é um dia da semana, logo</p><p>dizemos que ele é um elemento desse conjunto.</p><p>2. O Brasil é constituído de 26 estados. São Paulo é um deles. Logo São Paulo é</p><p>um elemento que pertence a esse conjunto.</p><p>3. Saturno tem várias Luas. Essas Luas formam um conjunto e Titãs pertence a</p><p>esse conjunto.</p><p>Evidente que em seu pensamento deve pendurar “qualquer tipo de elemento tem</p><p>possibilidade de ser reunido em um conjunto”. Você está correto! Faremos uma</p><p>análise à Teoria dos Conjuntos, ela é aplicada na maioria das vezes a elementos que</p><p>são relevantes a algum estudo para a matemática ou alguma outra ciência.</p><p>Conjunto Unitário e Conjunto Vazio</p><p>Um conjunto caracterizado por possuir apenas um elemento é chamado de</p><p>conjunto unitário. Por exemplo, o conjunto A = {x/x é dia da semana que começa</p><p>com a letra D} só tem um elemento.</p><p>Se um conjunto não possui nenhum elemento ele é chamado de conjunto vazio. O</p><p>conjunto B = {x/x é mês do ano que começa com T} é um exemplo de conjunto sem</p><p>elementos, logo, é um conjunto vazio. A sua representação pode ser feita utilizando</p><p>duas simbologias: {  } ou Ø.</p><p>Relação de pertinência e de inclusão</p><p>Quando um elemento x faz parte do conjunto A, dizemos que ele pertence ao</p><p>conjunto A, indicamos essa relação por x ∈ A. De forma contrária, quando o</p><p>elemento não faz parte de A, dizemos que ele não pertence a A, então indicamos</p><p>por x ∉ A.</p><p>Exemplo.</p><p>Sejam o conjunto A = {0, 2, 4, 8} temos que 4 ∈ A e 7 ∉ A.</p><p>Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A</p><p>pertence a B.</p><p>A ⊂ B → lê-se A está contido em B (relação de inclusão).</p><p>Exemplo.</p><p>Seja B o conjunto formado por todos os estados do Brasil. Consideremos S o</p><p>conjunto dos estados da região Sul do Brasil, que é composta por Paraná, Santa</p><p>Catarina e Rio Grande do Sul. Então, podemos dizer que o conjunto S é subconjunto</p><p>de B, pelo fato de todos os seus elementos também pertencerem a B.</p><p>Observações:</p><p>∅ ⊂ A, ∀</p><p>A ⊂ A, ∀</p><p>Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, A ⊂ B e B ⊂</p><p>A ⊃ B, signi�ca A contém</p><p>A ⊄B e C ⊅ D signi�ca, respectivamente, A não está contido em B e C não</p><p>contém D.</p><p>Operações com Conjuntos</p><p>Até agora comentamos algumas indicações e alguns tipos de conjuntos. Quando</p><p>falamos de operações logo nos vem à mente a adição, subtração, divisão,</p><p>multiplicação entre números. Os conjuntos também têm sua álgebra, é possível</p><p>Figura 1 - Divisão dos estados brasileiros</p><p>Fonte: @santoldesign em Freepik.</p><p>operá-los. Iremos estudar as principais operações com conjuntos e saber como</p><p>aplicá-las. Essas operações são conhecidas como: União de conjuntos, Interseção de</p><p>conjuntos, Diferença de conjuntos, Complementar de conjuntos.</p><p>O jogo de futebol representa uma operação entre dois conjuntos.</p><p>União ou Reunião entre Conjuntos</p><p>Chamamos de união entre os conjuntos A e B um conjunto gerado pelo</p><p>agrupamento de todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do</p><p>conjunto B, ou seja, a união de A com B é o conjunto formado por todos os</p><p>elementos pertencentes a A ou a B.</p><p>Simbolicamente representamos a União entre dois conjuntos A e B, pelo símbolo</p><p>, e de�nimos da seguinte maneira:</p><p>Preste atenção no cognitivo “ou” na de�nição, com sentido inclusivo, ele é o</p><p>indicador da união (ou reunião) entre conjuntos.</p><p>Exemplo:</p><p>Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = {3, 5, 7}, então . Podemos representar</p><p>essa operação também através de um diagrama:</p><p>Propriedades da União:</p><p>Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, temos:</p><p>A ∪ B</p><p>A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}</p><p>A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7}</p><p>P1.</p><p>P2.</p><p>P3.</p><p>Intersecção entre Conjuntos</p><p>Consideramos como Intersecção entre os conjuntos A e B, um conjunto gerado</p><p>pelos elementos que aparecem simultaneamente entre eles, ou seja, a intersecção</p><p>de A com B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.</p><p>Simbolicamente representamos a Intersecção entre dois conjuntos A e B, pelo</p><p>símbolo , e de�nimos da seguinte maneira:</p><p>O cognitivo “e” na de�nição, com sentido de simultaneidade, é o indicador da</p><p>intersecção entre conjuntos, observe esse detalhe.</p><p>Exemplo:</p><p>Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 3, 5, 7}, então . Como acontece com a União,</p><p>podemos representar essa operação também por uma área hachurada em</p><p>diagrama:</p><p>Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se não tiverem nenhum elemento em</p><p>comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua intersecção</p><p>representar um conjunto vazio.</p><p>Exemplo:</p><p>Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 5, 6, 8}, são disjuntos pois   .</p><p>A ∪ B = B ∪ A</p><p>(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)</p><p>A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B</p><p>A ∩ B</p><p>A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}</p><p>A ∩ B = {3, 7}</p><p>A ∩ B = ∅</p><p>Propriedades da União:</p><p>Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, temos:</p><p>P1. .</p><p>P2. .</p><p>P3. .</p><p>Por consequência desta propriedade temos que  e .</p><p>Além das propriedades anteriores, há duas propriedades que são importantes, elas</p><p>envolvem operações de união e intersecção.</p><p>P4. .</p><p>P5.</p><p>Analisando as operações de União e Intersecção entre os conjuntos A e B, é fácil</p><p>veri�car que o número de elementos da união é igual a soma do número de</p><p>elementos do conjunto A com o número de elementos do conjunto B subtraído do</p><p>número de elementos da intersecção entre eles.</p><p>Observe que se os dois conjuntos forem disjuntos temos</p><p>Diferença entre Conjuntos</p><p>Chamamos de diferença entre dois conjuntos A e B, nesta ordem, os elementos do</p><p>conjunto A que não pertencem ao conjunto B. Observe que a diferença entre A e B é</p><p>o conjunto formado pelos elementos</p><p>exclusivos de A, isto é, retira-se de A o que for</p><p>comum com B. A operação de diferença não é comutativa.</p><p>Exemplo:</p><p>Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 3, 5, 7}, então A – B = {1, 2} e B – A = {5}. Note a diferença pela</p><p>área hachurada nos diagramas:</p><p>A ∩ B = B ∩ A</p><p>(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)</p><p>A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A</p><p>A ∩ ϕ = ϕ A ∩ A = A</p><p>A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)</p><p>A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)</p><p>n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B)</p><p>n (A ∪ B) = n (A) + n (B)</p><p>Obs.: O conjunto gerado por A – B, quando todos os elementos do conjunto B são</p><p>elementos de A, é chamado de complementar de B em relação a A, indicamos .</p><p>, com .</p><p>Exemplo:</p><p>Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 9} e B = {4, 6, 8}. Vemos que , então o</p><p>complementar de B em A é . A área hachurada do diagrama a</p><p>seguir mostra esse complementar.</p><p>Propriedades da diferença.</p><p>Sejam A e B conjuntos quaisquer, temos:</p><p>P1. .</p><p>P2. .</p><p>P3. .</p><p>C B</p><p>A</p><p>C B</p><p>A</p><p>= A − B B ⊂ A</p><p>B ⊂ A</p><p>C B</p><p>A</p><p>= A − B = {2, 9}</p><p>A ∩ B = ϕ ⇔ A − B = A</p><p>A ≠ B ⇔ A − B ≠ B − A</p><p>A ⊂ B ⇔ A − B = ϕ</p><p>Resolução de Problemas</p><p>Envolvendo Conjuntos</p><p>Certas situações que se referem à conjuntos �nitos podem ser representados</p><p>através de diagramas de Venn. Isso facilita de forma signi�cativa a sua resolução.</p><p>Daremos como exemplo a resolução de um problema passa a passo.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Uma pesquisa realizada com 200 pessoas teve como foco veri�car a e�ciência de</p><p>um anúncio sobre dois produtos, A e B. Ao �nal dessa pesquisa veri�cou-se que, dos</p><p>entrevistados, precisamente,</p><p>120 conhecem o produto A.</p><p>110 conhecem o produto B.</p><p>50 conhecem ambos os produtos.</p><p>Quantas pessoas, dentre as entrevistadas na pesquisa, não conhecem nenhum dos</p><p>produtos?</p><p>Resolução:</p><p>Pelas informações oferecidas no problema, o número de elementos do conjunto</p><p>é 50. Para facilitar, iremos representar essa operação no diagrama indicando</p><p>essa quantidade de pessoas.</p><p>O conjunto A tem 120 elementos. Observe que desses, 50 já foram representados,</p><p>faltando, portanto, 70 pessoas. Esse número é a quantidade de elementos do</p><p>conjunto A – B.</p><p>A ∩ B</p><p>De mesmo modo do passo anterior, o conjunto B tem 110 elementos, como 50 já</p><p>foram indicados, então o conjunto B – A tem 60 elementos. O diagrama mostra esse</p><p>conjunto.</p><p>Para �nalizar, o conjunto tem 70+50+60=180 elementos. Como estamos nos</p><p>referindo a um universo de 200 pessoas, logo temos que 20 delas não conhecem o</p><p>produto A nem o produto B.</p><p>A ∪ B</p><p>Conjuntos Numéricos</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Caro(a) aluno(a), número é um objeto matemático usado para descrever ordem,</p><p>medida ou quantidade. Você se depara com números o dia todo, na escola, no</p><p>trabalho, na igreja, no carro, na sua conta bancária, entre outros.</p><p>Iremos fazer uma abordagem aos conjuntos formados por números, motivo pelos</p><p>quais são chamados de conjuntos numéricos. Podemos agrupar números conforme</p><p>alguma característica. Iremos tratar de alguns agrupamentos especí�cos que serão</p><p>chamados de Conjunto dos Números Naturais, Conjunto dos Números Inteiros,</p><p>Conjunto dos Números Racionais, Conjunto dos Números Irracionais e, por �m,</p><p>Conjunto dos Números Reais. Vamos lá!</p><p>Conjunto dos Números Naturais</p><p>Nos deparamos com situações que envolvem contagens, quantos objetos existem</p><p>em determinadas situações, quantos irmãos você tem, quantas pessoas tem sem</p><p>seu trabalho, entre outras. Os números envolvidos no processo de contagem são</p><p>chamados de Naturais. De�nimos como Conjunto dos Números Naturais aquele</p><p>formado por todos os elementos usados no processo de contagem.</p><p>Simbolicamente escrevemos:</p><p>N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}</p><p>N * = {1, 2, 3, 4, ...}</p><p>Conjunto dos Números Inteiros</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que</p><p>necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza.</p><p>A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das</p><p>atividades humanas.</p><p>Fonte: Gongorra e Sodré (2016).</p><p>ACESSAR</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm</p><p>Dizemos que um número k é inteiro se ele for natural ou oposto em relação a um</p><p>natural. Mas o que é um número oposto? Dois números são chamados de opostos</p><p>se a soma entre eles for zero, por exemplo, 2 e – 2 são opostos. Como 2 é natural ele é</p><p>inteiro, ainda, –2 é inteiro, pois é oposto de um natural.</p><p>É comum nos depararmos com várias situações de números negativos, por exemplo,</p><p>um termômetro em Paranavaí que, em um dia de inverno, marcou 15° C acima de</p><p>zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o mesmo termômetro passou a</p><p>marcar 1° C abaixo de zero, é uma dessas situações. Quando indicamos acima de</p><p>zero estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números</p><p>abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.</p><p>Para reforçar, de�nimos como Conjunto dos Números Inteiros aquele constituído</p><p>por todos os naturais unidos com os opostos dos naturais.</p><p>Simbolicamente escrevemos.</p><p>Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... }</p><p>Conjunto dos Números Racionais</p><p>Figura 2 - Termômetro graduado</p><p>Fonte: @tow�qu999 em Freepik</p><p>Outro conjunto importante é o chamado Conjunto dos Números Racionais.</p><p>De�nimos como racional todo número que pode ser escrito na forma , com</p><p>e . Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos</p><p>os quocientes entre dois números inteiros a e b, com b sendo não nulo.</p><p>Simbolicamente escrevemos:</p><p>Você deve ter percebido que, pela de�nição, um número inteiro também é racional,</p><p>basta ver que podemos escrever um inteiro k com a forma k/1.</p><p>Alguns exemplos de racionais:</p><p>a) 2,45 pois = 2,45.</p><p>b) 8 pois = 8.</p><p>c) 0,3333... pois</p><p>Os números racionais podem ser representados de várias formas. A seguir listamos</p><p>algumas: frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das</p><p>frações impróprias), números decimais de escrita com forma �nita, dízimas</p><p>periódicas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos</p><p>numéricos in�nitos. Veja:</p><p>I) Em forma de fração ordinária:</p><p>Exemplos: , , .</p><p>II) Números mistos:</p><p>Exemplos: ,   , .</p><p>III) Números Decimais com forma �nita:</p><p>Exemplos:   ; ; .</p><p>IV) Dízimas Periódicas:</p><p>Exemplos: ; ;   .</p><p>Conjunto dos Números Irracionais</p><p>a</p><p>b</p><p>a ∈ Z</p><p>b ∈ Z∗</p><p>Q = {x = /a, b ∈ Zeb ≠ 0}a</p><p>b</p><p>=245</p><p>100</p><p>49</p><p>20</p><p>8</p><p>1</p><p>= 0, 3333...1</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>11</p><p>7</p><p>9</p><p>6 2</p><p>5</p><p>−3 1</p><p>4</p><p>34</p><p>19</p><p>0, 8 = 4</p><p>5</p><p>1, 22 = 61</p><p>50</p><p>−2, 5 = − 5</p><p>2</p><p>1, 6666... = 5</p><p>3</p><p>0, 727272... = 8</p><p>11</p><p>3, 3333... = 10</p><p>3</p><p>Vamos agora falar sobre outra classi�cação, o conjunto dos números irracionais.</p><p>Para introduzirmos uma ideia inicial, imagine um triângulo retângulo isósceles,</p><p>cujos catetos medem 1, que, com a aplicação do teorema de Pitágoras, conseguimos</p><p>ver que a hipotenusa mede .</p><p>O número encontrado para a hipotenusa é uma raiz não exata, logo não existe a</p><p>possibilidade de escrevê-la como divisão entre dois números inteiros. Outro número</p><p>irracional bem conhecido, surge da divisão entre o comprimento de uma</p><p>circunferência de raio qualquer e seu diâmetro, que resulta um número constante e</p><p>igual a 3,141592... que representamos pela letra grega π (lê-se pi).</p><p>Note que nos exemplos citados, no primeiro caso temos uma raiz não exata e no</p><p>segundo um número decimal não periódico. Ao conjunto dos números com essas</p><p>características chamamos de conjunto dos números Irracionais.</p><p>Outros exemplos de irracionais:</p><p>2,3456734... ; .</p><p>Conjunto dos Números Reais</p><p>Caro(a) estudante, você já teve contato com os números naturais, inteiros, racionais e</p><p>irracionais. Algumas observações podem ser feitas, entre elas uma relação de</p><p>inclusão entre esses conjuntos, por exemplo, todo natural é inteiro, logo, o conjunto</p><p>dos naturais está contido no conjunto dos inteiros. Ainda, todo número inteiro é</p><p>racional, logo o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos</p><p>racionais. Agora iremos introduzir um conjunto no qual todos os conjuntos citados</p><p>até aqui estão contidos, o chamado Conjunto dos Números Reais.</p><p>De�nimos como Conjunto dos Números Reais como sendo o conjunto formado por</p><p>todos os números racionais e todos os irracionais.</p><p>√2</p><p>√7</p><p>Simbolicamente o conjunto dos números reais é representado</p><p>por ℝ.</p><p>ℝ = {x/x é racional ou x é irracional}</p><p>Exemplos:</p><p>Os números 4; 3,25; e 0,444... são casos de números reais.</p><p>Os números e são casos de números que não são reais.</p><p>√7</p><p>√−16 6√−6</p><p>REFLITA</p><p>Pitágoras dizia que o “Universo deve ser visto como um todo</p><p>harmonioso, onde tudo emite um som ou vibração e obedece a uma</p><p>ordem criada pelos números”. Os números estão muito enraizados em</p><p>nosso dia a dia que nem pensamos mais sobre eles, mas o que eles</p><p>representam? São formas apenas de medir ou quanti�car o que existe</p><p>ao nosso redor?</p><p>Fonte: Pereira (2013).</p><p>Pronto! Você chegou ao �nal da Unidade I de nosso material. Passou por uma</p><p>sequência didática que te proporcionou uma base sólida em conteúdos de</p><p>Matemática Básica e Conjuntos.</p><p>Aqui você estudou as expressões numéricas, teve contato com as operações</p><p>elementares e o uso de sinais separadores, como colchetes, chaves e parênteses.</p><p>Depois você estudou regra de três, que nada mais é do que problemas que envolvem</p><p>grandezas diretas e inversas. Também envolvemos, neste material, o conceito de</p><p>porcentagem, por ser algo cotidiano, a todo momento estamos trabalhando com isso.</p><p>Fizemos um procedimento para calcular casos que envolvem esse conceito.</p><p>Ainda ampliamos os nossos conhecimentos sobre expressões do primeiro grau, no</p><p>caso equações e sistemas. Nas equações indicamos um procedimento para encontrar</p><p>a solução e os sistemas que trabalhamos são os sistemas lineares com duas</p><p>incógnitas. Finalmente, tratamos da teoria de conjuntos. Você notou que os conjuntos</p><p>são caracterizados por coleção de elementos. Conforme a estrutura do conjunto</p><p>podemos classi�cá-lo. Apresentamos algumas formas de classi�cação. Ainda vimos</p><p>que existe uma álgebra estrutural para os conjuntos, que são as operações de união,</p><p>intersecção e diferença, todas geram conjuntos. A primeira indica uma junção, a</p><p>segunda o que se tem em comum e a terceira, os elementos que um conjunto tem e</p><p>o outro não. Tratamos de problemas que envolvem conjuntos, neste caso usamos as</p><p>operações juntamente com os diagramas de Venn. Para �nalizar, falamos sobre as</p><p>classi�cações dos números, os chamados conjuntos numéricos, nos casos, números</p><p>naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais.</p><p>Espero que você tenha aproveitado ao máximo esse material e que ele sirva como</p><p>referência para futuras consultas.</p><p>Conclusão - Unidade 1</p><p>Livro</p><p>Filme</p><p>Web</p><p>Acesse o link</p><p>https://matematicabasica.net/</p><p>ALVAREZ, T. G. A matemática da reforma Francisco Campos em ação no cotidiano</p><p>escolar. 2004. 270 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) -</p><p>Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São</p><p>Paulo, 2004.</p><p>BETHLEM, A. Curso de mathematica. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 1935.</p><p>BIANCHINI, E. Curso de Matemática. São Paulo, Moderna, 2010.</p><p>DANTE, L. R. Matemática-Contextos e Aplicações. São Paulo: Ática, 2011.</p><p>GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. São Paulo: FTD,</p><p>2010.</p><p>GIOVANNI, J.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2010.</p><p>GONGORRA, M.; SODRÉ, U. Ensino fundamental: Origem dos números. 2016.</p><p>Disponível</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm</p><p>PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2010.</p><p>em:</p><p>PEREIRA, M. do C. Matemática e música de Pitágoras aos dias de hoje. 2013. 95 f.</p><p>Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal do Estado do Rio de</p><p>Janeiro, Rio de Janeiro, 2013.</p><p>Unidade 2</p><p>Relações e Funções</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Introdução</p><p>Olá, caro(a) aluno(a). Você já estudou a Unidade I, agora entraremos em nossa</p><p>segunda unidade, nela estaremos introduzindo um dos conceitos mais importantes</p><p>e fundamentais no estudo de vários assuntos em Matemática, que é: funções.</p><p>Desenvolvemos a sequência didática pensando em propor uma orientação que</p><p>aprimore o pensamento sobre os temas que serão aqui abordados.</p><p>Em boa parte do que fazemos existem funções. Por exemplo, se você vai à</p><p>pani�cadora comprar pão, estamos usando função, a quantidade de pães que</p><p>pretende comprar está diretamente ligada com o dinheiro que você irá pagar.</p><p>Também nos deparamos com outros casos de funções, como o número de questões</p><p>que você acerta em um teste estará ligado com a nota que irá tirar, velocidade de</p><p>um automóvel e o tempo de duração de uma viagem, entre outros.</p><p>Mas o que é função? Para responder essa pergunta nossa unidade irá se iniciar com</p><p>o conceito de plano cartesiano, faremos uma explanação para que você tenha a</p><p>possibilidade de localizar pontos no plano. Se você já jogou batalha naval sua vida irá</p><p>ser facilitada. Em seguida faremos um estudo sobre o produto cartesiano, que nada</p><p>mais é do que uma operação envolvendo conjuntos. Também iremos falar sobre as</p><p>relações binárias, que são subconjuntos de um produto cartesiano, este assunto é</p><p>importante pois nos remeterá uma base para as funções.</p><p>A partir das relações binárias estudaremos os casos elementares de funções, bem</p><p>como sua de�nição e ainda iremos representá-las com notações especiais. E, para</p><p>�nalizar, iremos fazer um estudo das funções do primeiro grau. Essa função é</p><p>amplamente usada em várias áreas do conhecimento, como Engenharia, Química,</p><p>Física, Geogra�a, Economia e outras. Ainda estudaremos as desigualdades, em</p><p>especial o caso da inequação do primeiro grau.</p><p>Espero que você aproveite ao máximo esta unidade, até porque ela é uma referência</p><p>inicial para as Unidades III e IV deste material. Vamos começar?</p><p>Bons estudos!</p><p>Plano Cartesiano</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Chama-se de Sistema de Coordenadas no plano cartesiano um esquema usado</p><p>para especi�car pontos no plano. Ele é formado por dois eixos perpendiculares, um</p><p>horizontal, chamado abscissa, é representado por x, e outro vertical, chamado de</p><p>ordenada, e representado por y. Os eixos são enumerados e orientados conforme o</p><p>conjunto dos números reais com o encontro dos eixos sendo o zero, chamado de</p><p>origem do sistema. A seguir temos uma �gura que representa esse plano</p><p>cartesiano. Esse sistema recebe esse nome por ter sido criado por René Descartes.</p><p>Figura 1 – Plano cartesiano</p><p>Fonte: o autor.</p><p>A indicação de uma localização, as chamadas coordenadas cartesianas, é da forma</p><p>(x,y). Assim, se queremos o ponto P(a,b), primeiramente observamos o valor a no eixo</p><p>x, fazemos uma linha r paralela à y, passando por a, e, em seguida, observamos o</p><p>valor b no eixo y, traçamos outra linha t paralela à x, passando por b. O encontro de r</p><p>e t é o ponto P. Por exemplo, vamos localizar o ponto P(2,1).</p><p>Figura 2 - Localização de P</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Indique no plano cartesiano os seguintes pontos:</p><p>A(2, 3), B(–2, 1), C(–4, 3), D(–1, –2), E(4, 0) e F(0, –3)</p><p>Resolução:</p><p>Prosseguindo de forma equivalente ao exemplo do ponto P indicado anteriormente</p><p>temos:</p><p>Quadrantes</p><p>Percebemos que, como os eixos se interceptam formando 90º, eles dividem o plano</p><p>em quatro regiões, designadas quadrantes, que indicaremos, no sentido anti-</p><p>horário, primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, contados a partir do lado</p><p>positivo do eixo x, qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará</p><p>localizado nos quadrantes.</p><p>Figura 3 - Indicação dos quadrantes</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Observe que no</p><p>1. Primeiro quadrante temos x e y valores positivos.</p><p>2. Segundo quadrante temos x negativo e y positivo.</p><p>3. Terceiro quadrante temos x e y negativos.</p><p>4. Quarto quadrante temos x positivo e y negativo.</p><p>Observando o exemplo anterior, vemos que A(2, 3) está no primeiro quadrante, B(–</p><p>2,1) e C(–4, 3) estão no segundo quadrante, D(–1, –2) está no terceiro quadrante, E(4,0)</p><p>está sobre o eixo das abscissas e F(0, –3) está no eixo das ordenadas.</p><p>Produto Cartesiano</p><p>Dados dois conjuntos não vazios, A e B, de�nimos produto cartesiano A por B, nesta</p><p>ordem, o conjunto formado por todos os pares ordenados (x,y) de forma que x</p><p>pertence a A e y pertence a B. Então</p><p>AxB = {(x,y) / x A e y B}</p><p>Observe que, de forma geral, temos AxB diferente de BxA.</p><p>Não é difícil notar</p><p>que o número de elementos do produto cartesiano pode ser dado</p><p>por: n(AxB) = n(A).n(B).</p><p>∈ ∈</p><p>Propriedades:</p><p>1. A² = AxB.</p><p>2. Ax =</p><p>3. x =</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Sendo A = {x / x – 3 < –1} e B = {x / –2 < x ≤ 1}. Determine o produto AxB.</p><p>Resolução:</p><p>No conjunto A temos x – 3 < –1, então x < –1+3, logo x < 2, assim A = {0, 1}. O conjunto B</p><p>está bem de�nido, são os inteiros entre – 2 e 1 incluindo 1, assim B = { – 1, 0, 1}. Agora</p><p>temos que AxB = {(0, –1); (0,0); (0, 1); (1, –1); (1,0); (1, 1)}.</p><p>Relação Binária</p><p>Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se relação binária de A em B</p><p>qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. Normalmente esses</p><p>subconjuntos estão associados a uma lei de formação.</p><p>Obs.: o número de relações é dado por: 2n(A).n(B).</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>ϕ ϕ</p><p>ϕ ϕ ϕ</p><p>∈ N ∈ Z</p><p>1) Considere os seguintes conjuntos:</p><p>A = { –2, –1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4,5}.</p><p>Represente cada um dos conjuntos com o uso de diagrama de �echas.</p><p>1. R1 = {(x, y) A x B / y = x + 1}</p><p>2. R2 = {(x, y) A x B / y = x2 – 1}</p><p>Resolução:</p><p>Em ambos os casos devemos substituir o valor de x pelos elementos de A em suas</p><p>respectivas leis de formação e relacionar o resultado y, se estiver contido, com os</p><p>elementos em B.</p><p>1. R1 = {(–1, 0); (0, 1); (1, 2); (2, 3)}</p><p>2. R2 = {(–2, 3); (–1, 0); (1, 0); (2, 3)}</p><p>Obs.: quando temos uma relação R de A em B, chamamos de domínio de R o</p><p>conjunto dos elementos x de A usados e de imagem de R os valores y de B</p><p>relacionados com elementos de A.</p><p>2) Seja P uma relação de�nida por P = {(a, b) ; a + b = 2}. Indique os elementos</p><p>de P.</p><p>Resolução:</p><p>Vemos que se a +b =2, então b = 2 – a. Então como a e b são naturais, eles não</p><p>podem ser negativos, daí, o maior valor para a é 2. Assim,</p><p>se a =0, então b = 2 – 0 = 2.</p><p>se a = 1, então b = 2 – 1 = 1.</p><p>se a = 2, então b = 2 – 2 = 0.</p><p>Logo , P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}.</p><p>∈</p><p>∈</p><p>∈ N 2</p><p>Função</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Agora, você, estudante, terá contato com a de�nição de função. Um conceito</p><p>matemático importante para várias ciências, tais como Engenharia, Física,</p><p>Economia, Biologia entre outras.</p><p>Exemplos: o crescimento de bactérias se dá através de uma função que associa o</p><p>tempo com o número de bactérias, a compra de um item no supermercado</p><p>também é uma função do dinheiro que você leva para tal �m, o consumo de gás em</p><p>sua cozinha dentre outros casos.</p><p>Mas o que é uma função? Sejam dois conjuntos não vazios A e B, chamamos de</p><p>Função de A em B toda relação que associa cada elemento de A a um único</p><p>elemento em B.</p><p>Todo elemento de uma função é da forma (x, y), por efeito de notação usamos: (x,</p><p>f(x)).</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Indique se cada uma das relações abaixo representa função:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>Resolução:</p><p>a) Pela de�nição, é uma função.</p><p>b) Não é função, pois do primeiro conjunto, o elemento “a” está relacionado com “x”</p><p>e com “y”, contrariando a de�nição.</p><p>c) Não temos uma função.</p><p>d) Não é função. No primeiro conjunto existe um elemento sem relação com algum</p><p>elemento do segundo conjunto, ou seja, está sobrando um elemento.</p><p>e) É uma função, basta observar a de�nição.</p><p>f) É uma função.</p><p>2) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { x / 2x – 9 < 7}. Considere a função f: A</p><p>→ B de�nida por y = f(x) = 2x + 1. Calcule f(0), f(1), f(2) e f(3). Faça um diagrama de</p><p>�echas indicando a função.</p><p>Resolução:</p><p>Vemos que 2x – 9 < 7, então 2x < 7 + 9. Assim 2x < 16 implica em x < 8. Logo B = {0, 1, 2,</p><p>3, 4, 5, 6, 7}. Desta forma:</p><p>f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1</p><p>f(1) = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3</p><p>f(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5</p><p>f(3) = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7</p><p>Domínio, Contradomínio e</p><p>Imagem de uma Função</p><p>Anteriormente comentamos que um botijão de gás é uma função do tempo de uso.</p><p>Por exemplo, se você consome em média 500g de gás por dia e seu botijão é de 13</p><p>kg então ele irá durar 26 dias.</p><p>O tempo que ele irá durar é chamado de domínio da função. A seguir iremos</p><p>conceituar o domínio e introduziremos os conceitos de contradomínio e imagem.</p><p>Chamamos de domínio de uma função real f: A R → B R o conjunto formado</p><p>∈ N</p><p>∈ ∈</p><p>pelos elementos de A. Em tese, quando precisamos descobrir esse conjunto A</p><p>pensamos em todos os valores que podem ser atribuídos à variável independente.</p><p>Indicamos pelo nome imagem de uma função o conjunto dos elementos de B que</p><p>estão relacionados com os valores do domínio. O contradomínio de uma função é o</p><p>conjunto em que estão os elementos que podem estar relacionados com os</p><p>elementos do domínio.</p><p>Podemos resumir se f: A R → B R dizemos que A é o domínio, B é o</p><p>contradomínio e os elementos de B que estão relacionados com algum de A são</p><p>chamados de imagem de f.</p><p>Dada a função f: A → B escrevemos:</p><p>Domínio da função: Dom f = A.</p><p>Contradomínio da função: Cd f = B.</p><p>Imagem da função: o conjunto imagem é o conjunto dos elementos y de B que</p><p>estão associados a x de A.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Sejam os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Obtenha o domínio,</p><p>contradomínio e imagem da função f: A B de�nida por f(x) = x² + 2.</p><p>Resolução:</p><p>Dom f = A</p><p>Cd f = B</p><p>Ainda para obter a imagem:</p><p>f(– 1) = (– 1)² + 2 = 1 + 2 = 3</p><p>f(0) = 0² + 2 = 0 + 2 = 2</p><p>f(1) = 1² + 2 = 1 + 2 = 3</p><p>f(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6</p><p>Logo Im f = {2, 3, 6}.</p><p>∈ ∈</p><p>→</p><p>Função Real de Variável</p><p>Real</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Chamamos de grá�co uma �gura cujo objetivo é a transmissão de uma informação</p><p>qualquer. O grá�co é uma maneira de representarmos, visualmente, determinadas</p><p>situações que envolvem dados numéricos relacionando grandezas. Os meios de</p><p>comunicação (revistas, jornais, televisão) se utilizam frequentemente deste recurso</p><p>para transmitir de forma clara, simples e compacta indicadores �nanceiros,</p><p>resultados de pesquisas, dados estatísticos dentre vários outros tipos de</p><p>informações.</p><p>O termo grá�co matemático, geralmente é usado quando estamos querendo</p><p>descrever uma situação por meio de uma condição que é satisfeita. Dentre as</p><p>representações grá�cas mais comuns em matemática está o grá�co de uma</p><p>função. Podemos representar gra�camente uma função usando vários tipos de</p><p>grá�cos, de barras, correspondência ou relação entre conjuntos, grá�co cartesiano.</p><p>Reconhecimento de Funções através de</p><p>Grá�cos</p><p>Chamamos de grá�co cartesiano de uma função o conjunto de todos os pontos</p><p>(x,y) que satisfazem a condição y = f(x). Podemos também dizer que o grá�co de</p><p>uma função é o conjunto de todos os pontos do plano da forma (x, f(x)), com x</p><p>variando no domínio de f. Os grá�cos cartesianos nos fornecem “a forma”</p><p>geométrica de uma função, bem como suas principais características. Observe que:</p><p>A projeção do grá�co de uma função sobre o eixo das abscissas é o domínio da</p><p>mesma.</p><p>A projeção do grá�co de uma função sobre o eixo das ordenadas é a imagem</p><p>da mesma.</p><p>Para que uma relação binária seja função, cada x do domínio deve estar associado</p><p>com um único y no contradomínio. Assim, podemos identi�car se um grá�co</p><p>cartesiano representa uma função traçando retas paralelas ao eixo y. Então você</p><p>pode notar que se todas essas retas verticais interceptam o grá�co em apenas um</p><p>ponto, então, temos uma função.</p><p>Observe as �guras a seguir:</p><p>Nessas �guras note que a lei de formação de ambas tem domínio o intervalo D = [x₁,</p><p>x₂]. Mas I não representa função pelo fato existir um x D com mais de uma</p><p>imagem, enquanto II representa uma função.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Dos grá�cos a seguir, indique quais representam funções e, caso a�rmativo,</p><p>obtenha o domínio e a imagem.</p><p>Resolução:</p><p>Os grá�cos representados em a) e b) não são funções. Para ver isso basta traçar retas</p><p>paralelas ao eixo y que veremos intersecção em mais de um ponto.</p><p>∈</p><p>Isso não ocorre no grá�co representado em c). Então temos uma função f. O</p><p>domínio da função é a projeção do grá�co sobre o eixo x e a imagem é a projeção</p><p>sobre o eixo y.</p><p>Crescimento e Decrescimento de Função</p><p>Seja f uma função real cujo domínio é o conjunto D. Considere R um subconjunto de</p><p>D, então:</p><p>f é crescente em R, se e somente se, para quaisquer valores x₁ e x₂ pertencentes</p><p>a R, com x₁ < x₁ temos f(x₁)< f(x₂).</p><p>f é decrescente</p><p>em R, se e somente se, para quaisquer valores x₁ e x₂</p><p>pertencentes a R, com x₁ < x₂ temos f(x₁)> f(x₂).</p><p>f é constante em R, se e somente se, para quaisquer valores x₁ e x₂ pertencentes</p><p>a R, com x₁ ≠ x₂ temos f(x₁) = f(x₂).</p><p>A seguir temos dois grá�cos de funções, o primeiro crescente e o segundo</p><p>decrescente.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine os intervalos onde a função a seguir é crescente, decrescente ou</p><p>constante.</p><p>Resolução:</p><p>Observando a disposição do grá�co temos que a função é crescente nos intervalos</p><p>[–1, 1] e [3,4]. Decresce nos intervalos [–3, –1] e [1, 3] e é constante no intervalo [4, 5].</p><p>Zeros ou Raízes de uma Função</p><p>Chamamos de raiz de uma função f, o valor de x pertencente ao seu domínio tal que</p><p>f(x) = 0. Para obtermos a raiz ou, em alguns casos, as raízes de uma função basta</p><p>simplesmente resolver a equação gerada quando igualamos a zero a sentença da</p><p>função. Dependendo da natureza da sentença da função e do domínio, ela pode não</p><p>possuir raízes reais, pois pode não existir no seu domínio nenhum elemento que a</p><p>anule, bem como possuir in�nitas raízes.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine a raiz da função .</p><p>Resolução:</p><p>Devemos obter o valor de x para que f(x)=0. Assim:</p><p>Representação da Raiz no Grá�co</p><p>Como vimos anteriormente, a raiz de uma função é obtida resolvendo a equação f(x)</p><p>= 0. Então temos que os pontos nessa condição têm como característica (x,0).</p><p>Observe o grá�co da função seguinte e perceba que alguns dos seus pontos estão</p><p>localizados sobre o eixo das abscissas.</p><p>f (x) =</p><p>3x−6</p><p>x2+1</p><p>= 0</p><p>3x − 6</p><p>x2 + 1</p><p>3x − 6 = 0</p><p>3x = 6</p><p>x = 2</p><p>Figura 4 - Representação de uma função f.</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Esses pontos têm como característica (x,0). Todo elemento do domínio da função</p><p>que tem como imagem o elemento 0, é uma raiz da função. Em resumo, para que</p><p>você determine as raízes, veri�que os valores de x onde o grá�co tem intersecção</p><p>com o eixo das abscissas.</p><p>Sinais de uma Função</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Quando estudamos os conceitos iniciais de funções onde o seu domínio e</p><p>contradomínio são subconjuntos dos números reais, vimos que os valores de y são</p><p>funções dos valores de x, isso signi�ca que os valores de y dependem de x. Conforme</p><p>a natureza da lei de formação da função poderá ter valores positivos, negativos ou</p><p>zero para y. Fazer análise de sinal de uma função é exatamente indicar, no domínio,</p><p>onde existe essa variação. Por exemplo, a curva de Gauss a seguir é uma função</p><p>positiva.</p><p>No plano cartesiano, quando traçamos o grá�co de uma função, temos que a parte</p><p>acima do eixo x tem valores para y positivos e abaixo, negativo.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>A função f a seguir tem domínio D = {x / -1 ≤ x < 4}. Faça a análise de sinal dessa</p><p>função.</p><p>Resolução:</p><p>∈ R</p><p>Os valores de x onde a função intercepta o eixo x são as raízes, então temos f(x) = 0.</p><p>Assim a função se anula em  –1, 0 e 2.</p><p>Analisando o sentido do sinal do eixo y temos:</p><p>Concluímos:</p><p>f(x) > 0 para no intervalo {x / –1 < x < 0} e também em {x / 0 < x < 2}.</p><p>f(x) < 0 para no intervalo {x / 0 < x < 2}.</p><p>Domínio Real de Funções</p><p>Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do</p><p>conjunto de partida ou domínio, bem como o conjunto imagem são números reais,</p><p>isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por f: R  R.</p><p>As funções de�nidas pelas sentenças f(x) = 2x + 3, f(x) = x2 + 4x + 3, f(x) = -5x + 1/2, são</p><p>exemplos de funções reais de variável real. Se substituirmos x por um valor real, ao</p><p>realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).</p><p>Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função.</p><p>Nesta �gura temos várias fórmulas matemáticas, mas algumas delas você não pode</p><p>usar qualquer valor real nas variáveis.</p><p>∈ R ∈ R</p><p>∈ R</p><p>O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio real.</p><p>Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão f: A → R, onde A</p><p>é um subconjunto dos números reais. Para se obter o domínio real devemos analisar</p><p>a condição de existência da lei de formação da função.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Qual o domínio da função real de�nida por ?</p><p>Resolução:</p><p>Temos uma função cuja lei de formação é uma raiz quadrada. Então temos que</p><p>existe se . Assim, o domínio será o conjunto dos valores reais de x, tais que:</p><p>Logo, Dom f =</p><p>2) Escreva o domínio da função .</p><p>Resolução:</p><p>A lei da função é uma fração, então se temos , a condição de existência da</p><p>sentença é .</p><p>Assim , logo devemos ter . Concluímos que:</p><p>Dom f =</p><p>f(x) = √2x + 4</p><p>√k</p><p>k ≥ 0</p><p>2x + 4 ≥ 0</p><p>2x ≥ −4</p><p>x ≥ −</p><p>4</p><p>2</p><p>x ≥ −2</p><p>{x ∈ R/x ≥ −2}</p><p>f(x) = x2−7x+12</p><p>x−1</p><p>a</p><p>b</p><p>b ≠ 0</p><p>x − 1 ≠ 0 x ≠ 1</p><p>{x ∈ R/x ≠ 1}</p><p>Funções Polinomiais do 1º</p><p>Grau</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Em uma loja o vendedor João recebe um salário �xo mensal de R$ 2300,00 e uma</p><p>comissão de 5% sobre o total de vendas que ele faz. Em um mês que ele vender R$</p><p>10000,00, por exemplo, receberá um salário (S) igual a R$ 2300,00 + 0,05.(R$</p><p>10000,00) que equivale R$ 2800,00. Observamos que o salário mensal desse</p><p>vendedor é dado em função do valor x, em reais que ele vender. Logo, podemos</p><p>dizer que seu salário S(x) é dado por:</p><p>S(x) = 2 300,00 + 0,05.x</p><p>Uma outra situação: um taxista cobra uma taxa �xa de R$ 4,30, chamada</p><p>bandeirada, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado. Então, um cliente que usar o táxi</p><p>por 25 quilômetros, pagará a quantia (Q) de R$ 4,30 + R$ 0,60.25 que é R$ 19,30.</p><p>Então, se um cliente percorrer x quilômetros nesse táxi, ele pagará</p><p>Q(x) = 4,3 + 0,6x</p><p>Esses dois casos são tipos de funções a�ns que estaremos retratando nesta unidade.</p><p>Função A�m</p><p>Chamamos de função polinomial do primeiro grau aquela cuja fórmula é expressa</p><p>por um polinômio de grau 1. Então, dizemos que uma função é do primeiro grau, ou</p><p>a�m, se ela é de�nida como:</p><p>f(x) = ax + b, com {a, b} R e a ≠ 0.</p><p>Para que uma função seja considerada a�m ela deverá assumir alguma</p><p>característica: toda função do 1º grau deve ser de�nida de um conjunto dos reais</p><p>para o outro pertencente aos reais.</p><p>O valor a é chamado coe�ciente angular, b coe�ciente linear e x é a variável</p><p>independente da função.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine o coe�ciente angular e linear das funções.</p><p>a)  f(x) = x + 2</p><p>b) y = -2x + 6</p><p>c) f(x) = 7x</p><p>Resolução:</p><p>Comparando as sentenças com a forma da lei de formação da função a�m, temos</p><p>que:</p><p>⊂</p><p>a)  a = 1 e b = 2</p><p>b) a = –2 e b = 6</p><p>c) a = 7 e b = 0</p><p>Zero ou raiz de uma função do primeiro</p><p>grau</p><p>Chamamos de zero ou raiz de uma função do primeiro grau o valor que atribuímos à</p><p>x, para que f(x) seja igual a zero. Encontramos a raiz dessa função igualando ax + b a</p><p>zero, e ao resolver essa equação temos que a raiz da função a�m é   .</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Determine a raiz da função f(x) = 2x – 4.</p><p>Resolução:</p><p>A raiz de f é o valor de x para que f(x) = 0, assim:</p><p>2x – 4 = 0</p><p>2x = 4</p><p>x = 2 (raiz)</p><p>−b</p><p>a</p><p>SAIBA MAIS</p><p>Quando o tronco de uma árvore écortado, é fácil notar que existem</p><p>círculos escuros. Cada círculo desse échamado de anel de crescimento.</p><p>Cada anel corresponde a um ano de vida. Nasespécies de regiões</p><p>tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são difíceisde de�nir. Os</p><p>anéis são contados de dentro para fora, a partir da medula. Nasárvores</p><p>que vivem em regiões de clima temperado esses anéis são bem fáceis</p><p>decontar. Podemos associar essa contagem a uma função do primeiro</p><p>grau.</p><p>Fonte: Santos (2020).</p><p>Grá�co da Função do Primeiro Grau</p><p>Como vimos no começo desta aula, chamamos de grá�co cartesiano de uma</p><p>função o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem a condição y = f(x).  Assim,</p><p>podemos construir o grá�co da função do primeiro grau colocando os pontos (x, ax +</p><p>b) no plano cartesiano. Inicialmente, vamos representar gra�camente uma função</p><p>do primeiro grau atribuindo valores arbitrários para x e obtendo suas respectivas</p><p>imagens. Para visualizarmos o comportamento de um grá�co, usaremos a função</p><p>do taxista apresentada na introdução, Q(x) = 4,3 + 0,6x. Construiremos um quadro</p><p>atribuindo distâncias x, e indicando o valor Q(x).</p><p>Observe que, como estamos tratando de distância, neste caso, não temos valores</p><p>tais que x < 0. Colocando no plano cartesiano os pontos apresentados na tabela, e</p><p>levando em consideração que podemos usar qualquer valor real para x, temos o</p><p>seguinte grá�co:</p><p>Quadro 1 - Referente a função Q(x)</p><p>Distância percorrida (km) Valor (em reais)</p><p>x y</p><p>0 4,30</p><p>1 4,90</p><p>2 5,50</p><p>3 6,10</p><p>4 6,70</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Figura 5 - Grá�co referente a Q(x)</p><p>Fonte: o autor.</p><p>O grá�co da função do primeiro grau é constituído por uma reta inclinada, que pode</p><p>ser crescente ou decrescente, podendo determiná-lo apenas com dois pontos.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Construir o grá�co da função  de�nida por f(x) = –x + 3.</p><p>Resolução:</p><p>Vemos que temos uma função do primeiro grau, logo seu grá�co será uma reta.</p><p>Basta, para a construção desse grá�co sabermos dois de seus pontos. Mas,</p><p>traçaremos através de cinco pontos.</p><p>f(x) = –(–2) + 3 = 2 + 3 = 5</p><p>f(x) = –(–1) + 3 = 1 + 3 = 4</p><p>f(x) = –0 + 3 = 3</p><p>f(x) = –1 + 3 = 2</p><p>f(x) = –2 + 3 = 1</p><p>R → R</p><p>Figura 6 - Grá�co de f.</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Conclusões da Análise Grá�ca</p><p>Perceba que no caso do taxista, Q(x) = 4,3 + 0.6x, à medida que os valores de x no</p><p>domínio aumentam, os valores de f(x) na imagem também aumentam. Já no</p><p>exemplo resolvido, f(x) = –x + 3, à medida que os valores de x aumentam, vemos que</p><p>os valores de y fazem o sentido contrário, ou seja, diminuem. Assim, podemos</p><p>concluir que a função do taxista é crescente e a do exemplo resolvido é decrescente.</p><p>O que determina se uma função do primeiro grau é crescente ou decrescente é o</p><p>coe�ciente angular a. Se a > 0, a função será crescente; a < 0, a função será</p><p>decrescente.</p><p>Outra observação que você pode notar é que a reta de uma função do primeiro grau</p><p>toca o eixo y (eixo das ordenadas) quando x = 0, assim teremos f(0) = b, logo tocará</p><p>no ponto correspondente ao coe�ciente b, ou seja, em (0, b). Ainda, você deve ter</p><p>percebido que a reta de uma função do primeiro grau toca o eixo x (eixo das</p><p>abscissas) com coordenadas (x, 0). Assim, teremos um ponto correspondente à sua</p><p>raiz, logo, sempre haverá o ponto (–b/a, 0).</p><p>Análise de Sinais</p><p>Analisar o sinal da função a�m é determinar os intervalos em que a função tem</p><p>imagem positiva, negativa, bem como os valores em que a função se anula. Para tal,</p><p>devemos determinar o valor da raiz e, em seguida, veri�car o grá�co de f. Os valores</p><p>da função que �carem acima de zero têm sinal positivo e abaixo, valores negativos.</p><p>Com base no formato do grá�co da função do primeiro grau temos a seguinte</p><p>análise:</p><p>Função Constante</p><p>Seja f: R R,  f é uma função constante se, e somente se, f(x) = k com k R. Note</p><p>que a função não depende de x, logo, sua imagem é sempre k, ou seja, Im f = { k },</p><p>motivo pelo qual é chamada de função constante. Seu grá�co é uma reta paralela</p><p>ao eixo x.</p><p>Se a > 0 Se a < 0</p><p>se</p><p>se</p><p>se</p><p>se</p><p>se</p><p>se</p><p>f(x) > 0 x > − b</p><p>a</p><p>f(x) < 0 x < − b</p><p>a</p><p>f(x) = 0 x = − b</p><p>a</p><p>f(x) > 0 x < − b</p><p>a</p><p>f(x) < 0 x > − b</p><p>a</p><p>f(x) = 0 x = − b</p><p>a</p><p>→ ∈</p><p>Inequações do 1º Grau</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Caro(a) aluno(a), �zemos um estudo sobre as funções do primeiro grau, incluindo a</p><p>análise de sinal dessas funções. A ideia para trabalharmos com inequações do</p><p>primeiro grau é observar o comportamento da função do primeiro grau.</p><p>De�nimos como inequação do 1° grau, na incógnita x, qualquer expressão do 1°</p><p>grau, com a, b sendo números reais com a ≠ 0, que pode ser reduzida a uma das</p><p>seguintes formas:</p><p>ax + b > 0;</p><p>ax + b < 0;</p><p>ax + b ≥ 0;</p><p>ax + b ≤ 0.</p><p>Por exemplo, as expressões –5x + 9 > 0, 2x – 10 ≤ 0,   6x + 7 ≤ 0 e   12 – 8x < 0 são</p><p>inequações do 1º grau.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>A �gura a seguir mostra uma balança ao �nal de uma pesagem. Em cada um dos</p><p>pratos há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, todos representados na</p><p>mesma unidade de medida.</p><p>A expressão matemática que relaciona os pesos nos pratos da balança é:</p><p>a) 3x - 5 < 8 - 2x</p><p>b) 3x - 5 > 8 - 2x</p><p>c) 2x + 8 < 5 + 3x</p><p>d) 2x + 8 > 5 + 3x.</p><p>e) 3x + 8 > 5 + 2x.</p><p>Resolução:</p><p>Observe que o peso no segundo prato é menor que o do primeiro, assim:</p><p>x + x + 8 < x + x + x + 5, logo 2x + 8 < 5 + 3x. A resposta correta é a C.</p><p>Os métodos para solucionar uma inequação do 1º grau são bem simples. Podemos</p><p>fazer a análise de sinal da função f(x) = ax + b e veri�car o intervalo que satisfaz a</p><p>desigualdade ou simplesmente isolar a incógnita e, caso façamos uma operação</p><p>que envolva a necessidade de um produto por número negativo, em especial –1,</p><p>invertemos o sinal da desigualdade.</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1) Resolva a inequação –2x + 7 > 0.</p><p>Resolução:</p><p>1º modo: Usamos o procedimento semelhante ao da resolução de uma equação do</p><p>1º grau:</p><p>–2x > –7, Multiplicando por (-1)</p><p>2x < 7</p><p>x < 7/2</p><p>Portanto, a solução da inequação é S = { x R/ x < 7/2}.</p><p>2º modo: Podemos utilizar a análise de sinal da função f(x) = –2x + 7. Observe que</p><p>temos uma função do primeiro grau decrescente. Igualando a função a zero,</p><p>obtemos uma raiz que é x = 7/2. Assim, tomando o intervalo em que a função é</p><p>negativa temos:</p><p>∈</p><p>Logo, a solução da inequação é S = { x / x < 7/2}.</p><p>2) Determine a solução da inequação: 5(x + 1) – 5 ≤ x + 4.</p><p>Usaremos 1º modo apresentado no exemplo 1. Primeiramente devemos eliminar os</p><p>parênteses, efetuando uma multiplicação dos parênteses, depois isolamos a</p><p>incógnita x em um dos membros da desigualdade.</p><p>5(x + 1) – 5 ≤  x + 4</p><p>5x + 5 – 5 ≤  x + 4</p><p>5x – x  ≤  4</p><p>4x ≤ 4.</p><p>Assim, temos x ≤ 1. Então a solução da inequação é S = {x R/ x ≤ 1}.</p><p>∈ R</p><p>∈</p><p>REFLITA</p><p>Nós encontramos em nosso dia-a-dia o uso de função com duas</p><p>variáveis. Usamos funções ao associarmos a quantidade de leite que</p><p>compramos ao valor pago, número do sapato em função do tamanho</p><p>dos pés, ou pessoa em função da impressão digital, entre outros casos.</p><p>Você percebeu alguma função nas suas atividades hoje?</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Você terminou mais uma unidade. Mais uma etapa concluída!</p><p>No decorrer desta unidade você se deparou com o Plano Cartesiano, um instrumento</p><p>de localização dentro de um plano. Ainda, falamos um pouco sobre o conceito de</p><p>relação binária e, em seguida, o foco principal: as funções. Durante a unidade você</p><p>deve ter notado a importância que as funções têm em nosso cotidiano. Encontramos</p><p>funções nas mais variadas situações, ao fazer compras, ao escolher um plano de</p><p>saúde, cálculo de custos �nanceiros, consumo de combustível em um automóvel,</p><p>entre outras. A base para o conceito de funções é a correspondência unívoca entre</p><p>variáveis.</p><p>Ainda falamos sobre as particularidades de uma relação e quando elas são</p><p>consideradas funções. As leis que regem as funções são regras de correspondência</p><p>entre dois conjuntos, sejam eles �nito ou in�nito. Também abordamos o caso</p><p>particular da função do primeiro grau, uma função que relaciona duas grandezas</p><p>através de uma reta, tem equação f(x) = ax + b. Como a construção de uma reta se dá</p><p>por dois pontos diferentes, para representar gra�camente a função do primeiro grau,</p><p>além do valor inicial, precisamos de outro ponto.</p><p>Você não deve esquecer que as retas, de acordo com o sinal do seu coe�ciente</p><p>angular, podem ser classi�cadas como crescente ou decrescente. Elas são</p><p>amplamente usadas na Física, em movimento uniforme, em Economia, nas curvas de</p><p>oferta e de demanda que um produto representa, respectivamente, as quantidades</p><p>que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço</p><p>do produto, que, em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas.</p><p>Por �m, as inequações. Estas são sentenças matemáticas abertas indicadas por</p><p>alguma desigualdade.</p><p>Espero que você tenha aproveitado ao máximo os conceitos aqui apresentados, pois</p><p>eles serão base para as unidades seguintes. Bons estudos!</p><p>Conclusão - Unidade 2</p><p>Livro</p><p>Filme</p><p>ALVAREZ, T. G. A matemática da reforma Francisco Campos em ação no cotidiano</p><p>escolar. 2004. 270 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) -</p><p>Departamento de Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São</p><p>Paulo, 2004.</p><p>BETHLEM, A. Curso de mathematica. 5ª série. Porto Alegre: Livraria Globo, 1935.</p><p>BIANCHINI, E. Curso de</p><p>Matemática. São Paulo, Moderna, 2010.</p><p>DANTE, L. R. Matemática-Contextos e Aplicações. São Paulo: Ática, 2011.</p><p>GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática uma nova abordagem. São Paulo: FTD,</p><p>2010.</p><p>GIOVANNI, J.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2010.</p><p>GONGORRA, M.; SODRÉ, U. Ensino fundamental: Origem dos números. 2016.</p><p>Disponível</p><p>http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm</p><p>PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2010.</p><p>em:</p><p>SANTOS, V. S. dos. Anéis de crescimento. 2020. Disponível em:</p><p>https://brasilescola.uol.com.br/biologia/aneis-crescimento.htm.</p><p>STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.</p><p>Unidade 3</p><p>Funções Polinomiais</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Introdução</p><p>Caro(a) aluno(a), começaremos o nosso estudo sobre funções polinomiais. Iremos</p><p>de�ni-las e introduzir alguns conceitos. As funções polinomiais são objeto de estudo</p><p>da matemática há séculos, servindo como um processo para facilitar o cálculo de</p><p>raízes equações gerais que envolvem polinômios.</p><p>Já estudamos um caso de função polinomial, a função do primeiro grau. Aqui</p><p>faremos uma abordagem mais geral do que são essas funções. Falaremos sobre</p><p>valor numérico e raízes dessas funções. Daremos foco, nesta unidade, às funções</p><p>polinomiais quadráticas, aquelas do segundo grau, pois são uma função</p><p>interessante e vemos aplicações com uma frequência maior.</p><p>Vários dos tópicos abordados serão conceitos que você, acredito, já conheça, pois são</p><p>abordados no ensino médio. Mas, se você não teve contato ainda, não tem</p><p>problemas, você vai conseguir se localizar neste tipo de função de uma forma</p><p>rápida. Para que possamos fazer um estudo interessante em funções do segundo</p><p>grau, faremos uma breve revisão, no decorrer da unidade, do processo de resolução</p><p>de uma equação do segundo grau. Como disse, iremos nos concentrar em estudar,</p><p>nesta unidade, a análise da função polinomial do 2º grau que depende de uma</p><p>�gura plana que será chamada de parábola. Iremos construir seu grá�co e indicar os</p><p>pontos notáveis a essa construção.</p><p>Para ver o formato do grá�co, imagine você regando as plantas de um jardim com</p><p>uma mangueira. Quando você direciona obliquamente o jato dessa mangueira para</p><p>cima, consegue-se perceber o sentido da água: é uma parábola. Ainda, em um jogo</p><p>de basquete, com um atleta fazendo um arremesso de longe, percebemos que a</p><p>bola faz a trajetória de uma parábola, como citaremos adiante.</p><p>Essa função tem papel importante em outras ciências, principalmente em física nos</p><p>movimentos uniformemente variados, queda livre etc.</p><p>Então, vamos estudar!</p><p>Bons estudos!</p><p>Funções Polinomiais</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Caro(a) aluno(a), iremos citar agora uma função particular, as chamadas funções</p><p>polinomiais. Mas quais funções podemos chamá-las de polinomiais? Como o próprio</p><p>nome diz, as funções polinomiais são de�nidas por expressões polinomiais. Elas são</p><p>representadas por:</p><p>f(x) = aₙ . xⁿ + aₙ₋₁ . xⁿ⁻¹ + ... + a₂ . x² + a₁ . x + a₀</p><p>onde,</p><p>n: número inteiro positivo ou nulo</p><p>x: variável</p><p>a₀, a₁, .... aₙ₋₁, aₙ: coe�cientes</p><p>aₙ . xₙ, aₙ₋₁ . xₙ₋₁, ... a₁ . x , a₀: termos</p><p>Exemplos:</p><p>As funções f(x) = 3x³ – 5x² + 2x – 7 e g(x) = x⁶ – 5x⁴ + 2x² + 4 são funções polinomiais.</p><p>Valor Numérico e Raiz da Função</p><p>Polinomial</p><p>Para encontrar o valor numérico de um polinômio, substituímos um valor numérico</p><p>na variável x, caso o valor encontrado seja zero, dizemos, então, que o valor</p><p>substituído é uma raiz.</p><p>Exemplo resolvido.</p><p>Qual o valor numérico de f(x) = x³ + x² – 5x + 3 para x = 2?</p><p>Resolução:</p><p>Para responder essa pergunta basta substituir o valor de x na função por 2. Assim,</p><p>f(2) = 2³ + 2² – 5.2 + 3 = 8 + 4 – 10 + 3 = 5.</p><p>Se ao invés de x = 2 tivéssemos x = 1, olha o que iria acontecer:</p><p>f(1) = 1³ + 1² – 5.1 + 3 = 1 + 1 – 5 + 3 = 0</p><p>Como o resultado foi zero temos que 1 é uma raiz de f.</p><p>Grau dos Polinômios</p><p>Iremos chamar de grau de uma função polinomial o maior expoente que ela</p><p>apresentar.</p><p>Por exemplo:</p><p>A função f(x) = 3x³ – 5x² + 2x – 7 tem grau 3 e a função  g(x) = x⁶ – 5x⁴ + 2x² + 4 tem</p><p>grau 6.</p><p>Função do Segundo Grau</p><p>AUTORIA</p><p>Luciano Xavier de Azevedo</p><p>Caro(a) aluno(a), já sabemos o que é uma função polinomial, agora iremos falar de</p><p>um caso particular dessas funções, aquele que o grau é 2, a função do segundo</p><p>grau, conhecida também como função quadrática.</p><p>Dizemos que uma função é do 2º grau ou quadrática se for de�nida pela lei de</p><p>formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e ≠ 0. Além</p><p>disso, uma função, para ser do 2º grau, deve assumir uma característica: o seu</p><p>domínio e seu contradomínio devem ser subconjuntos dos números reais. Os</p><p>números a, b e c são chamados coe�cientes e, em particular, c é dito termo</p><p>independente de x. O adjetivo quadrática no nome da função vem da palavra latina</p><p>quadratum, que signi�ca quadrado. Em álgebra, um termo como x2 é chamado de</p><p>quadrado pelo fato de representar a área de um quadrado de lado x.</p><p>Em uma função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero. Se</p><p>isso ocorrer, dizemos que a função é incompleta.</p><p>Exemplos:</p><p>Em f(x) = 2x² – 6x + 9 temos a = 2, b = – 6 e c = 9, logo, a função é chamada de</p><p>completa. A função g(x) = 4x² – 2x é chamada de incompleta, pois a = 4, b = – 2 e c =</p><p>0. Mesma coisa acontece com h(x) = – 3x² que tem a = –3, b = 0 e c = 0, é incompleta.</p><p>Construção do Grá�co de uma</p><p>Função do 2º Grau</p><p>Você irá perceber, sem muitas di�culdades, quando temos um grá�co que</p><p>representa uma função do segundo grau. A representação no plano cartesiano do</p><p>grá�co da função quadrática é uma parábola que, conforme o sinal do valor do</p><p>coe�ciente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. Chamamos de</p><p>concavidade a abertura da parábola. Por exemplo, em um jogo de basquete, alguns</p><p>arremessos fazem uma trajetória em formato de parábola.</p><p>Pelo fato de o grá�co de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não</p><p>uma reta, como no caso de uma função a�m, estudada na unidade anterior, para</p><p>montarmos o seu grá�co não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados</p><p>pertencentes à curva da função. Nesse caso precisamos de mais alguns pontos para</p><p>termos uma boa ideia de como �cará a curva no grá�co.</p><p>Podemos construir esse grá�co através do que chamaremos de pontos notáveis da</p><p>função quadrática, que são o vértice, a intersecção com o eixo das ordenadas e das</p><p>abscissas. Podemos também construir uma tabela para percebermos o</p><p>comportamento do grá�co dessa função.</p><p>Exemplo resolvido:</p><p>Construir o grá�co das funções reais:</p><p>a) f(x) = x² – 2x – 2</p><p>b) g(x) = – x² + 1</p><p>Resolução:</p><p>Em ambos iremos construir uma tabela para obtermos alguns pontos para depois</p><p>traçarmos o grá�co.</p><p>a) f(–2) = (–2)² – 2.( –2) – 2 = 6</p><p>f(–1) = (–1)² – 2.( –1) – 2 = 1</p><p>f(0) = 0² – 2.0 – 2 = – 2</p><p>f(1) = 1² – 2. 1 – 2 = – 3</p><p>f(2) = 2² – 2. 2 – 2 = – 2</p><p>Colocando no plano cartesiano os pontos indicados na tabela, temos uma ideia do</p><p>comportamento dessa função.</p><p>x y</p><p>– 2 6</p><p>– 1 1</p><p>0 – 2</p><p>1 – 3</p><p>2 – 2</p><p>Figura 1 - Grá�co de f(x) = x² – 2x – 2</p><p>Fonte: o autor.</p><p>b) Fazemos um processo idêntico ao do item a.</p><p>g(–2)= – (–2)² +  1 = – 3</p><p>g(–1)= – (–1)² +  1 = 0</p><p>g(0) = 0² +  1 = 1</p><p>g(1) = –1² +  1 = 0</p><p>g(2) = – 2² +  1 = – 3</p><p>Como �zemos no item a, colocamos no plano cartesiano os pontos indicados na</p><p>tabela, assim temos uma ideia de como é o grá�co dessa função.</p><p>Figura 2 - Grá�co de f(x) = – x² + 1</p><p>Fonte: o autor.</p><p>x y</p><p>– 2 – 3</p><p>– 1 0</p><p>0 1</p><p>1 0</p><p>2 – 3</p><p>Observamos que no exemplo anterior construímos duas parábolas. Na primeira</p><p>temos concavidade voltada para cima e na segunda voltada para baixo. Isso ocorreu</p><p>pelo fato de que o coe�ciente a controla a velocidade de aumento ou decréscimo da</p><p>função quadrática a partir do ponto onde ela muda o sentido de crescimento ou</p><p>decrescimento. Podemos ter referência do sentido da concavidade da seguinte</p><p>forma:</p><p>1. Coe�ciente a > 0, parábola tem a concavidade voltada para cima.</p><p>2. Coe�ciente a < 0, parábola tem a concavidade voltada para baixo.</p><p>Intersecção com o Eixo das Ordenadas</p>