CW 1 - Tópicos Elementares De Matemática

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TÓPICOS ELEMENTARES
DE MATEMÁTICA
Aula 1
OPERAÇÕES COM NÚMEROS
REAIS
Operações com números reais
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela,
você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? 
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Bons estudos!
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Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Para começarmos nossos estudos, pense em
situações em que podemos utilizar a ideia de fração. Por exemplo,
quando seguimos alguma receita culinária, muitas vezes nos deparamos
com instruções como: adicione de xícara de açúcar ou de xícara de
leite. Perceba que as frações são muito utilizadas na resolução e na
interpretação de diversas situações-problema de matemática e inerentes
a nosso dia a dia.
As frações podem ser interpretadas como o resultado de uma divisão
entre dois números, a razão e a proporção entre o total de pessoas
vacinadas e o total da população de uma cidade, ou os problemas que
envolvem medidas de grandezas, como a quantidade de ingredientes
necessários para fazer um bolo.
Nesta aula, exploraremos o conceito de frações e de algumas operações
matemáticas. Estudaremos as propriedades envolvendo a potenciação e
a radiciação de números reais. Atente-se às propriedades e definições
nesta aula, pois elas serão necessárias durante toda a disciplina para
resolver diferentes problemas matemáticos.
Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos,
pense na seguinte situação: a idade de João é da raiz quadrada de
1
4
3
4
1
4
1024. A idade de seu pai é igual ao inverso do cubo de mais a idade de
João. Qual é a idade do pai de João?
Para encontrarmos a idade do pai de João, precisamos entender os
conceitos de fração, potenciação e radiciação.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Para iniciar nossa jornada de estudo, é fundamental compreender as
propriedades dos conjuntos numéricos que empregamos.
Quando vamos contar quantidades, utilizamos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10 etc. Qual característica esses números têm em comum?
Todos são inteiros e positivos. O conjunto que reúne elementos com essa
característica é denominado conjunto dos números naturais, representado
pelo símbolo ℕ; além disso, esse conjunto é infinito. Você pode perguntar:
e os números inteiros negativos? A qual conjunto pertencem? Os números
inteiros negativos pertencem ao conjunto dos números inteiros,
representado por ℤ. Podemos dizer, ainda, que esse conjunto é a união
do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos, isto é, o
conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos
e negativos. Já o conjunto dos números racionais, ℚ, reúne os números
que pertencem ao conjunto dos números inteiros e os números decimais
que podem ser representados em forma de fração:
E aqueles números que não podemos representar em forma de fração?
Estes compõem o conjunto dos números irracionais e têm como
característica o fato de serem números cuja parte decimal é infinita e não
periódica, isto é, não são dízimas periódicas, como o número 
 Por fim, o conjunto dos números reais, ℝ, é
formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto
dos números irracionais (Hazzan, 2021). A Figura 1 traz uma
representação dos conjuntos numéricos.
3
9
Q = {x,x = a
b
,  com a ∈ Z e b ∈ Z e b ≠ 0}
π = 3,141592654…
Figura 1 | Representação dos conjuntos numéricos. Fonte: elaborada pela autora.
Agora que você já conhece os conjuntos numéricos, vamos nos
aprofundar nos conceitos de fração, potenciação e radiciação.
 
Fração
Como vimos, o conjunto dos números racionais é composto de todos os
números inteiros que podem ser representados em forma de fração. Mas
o que é uma fração? Uma fração pode ser definida como uma maneira de
representar partes iguais de um todo.
Imagine que uma barra de chocolate foi dividida em 18 pedaços iguais e
que você comeu 6 desses pedaços; podemos representar essa
quantidade da seguinte forma:
O 18, chamado de denominador, representa o número de partes iguais
em que o todo foi dividido; e o 6, chamado de numerador, indica o número
considerado dessas partes. Representamos uma fração da seguinte
maneira:
em que a é o numerador e b, o denominador. O denominador tem que ser
diferente de 0.
6
18
a
b
Um conceito importante relacionado às frações é o de equivalência.
Observe as duas frações que seguem:
Essas duas frações têm numeradores diferentes, porém representam a
mesma quantidade, conforme ilustra a Figura 2.
Figura 2 | Frações equivalentes. Fonte: elaborada pela autora.
Quando duas ou mais frações representam a mesma parte do todo,
dizemos que elas são frações equivalentes. Para encontrar uma fração
equivalente, podemos utilizar a seguinte propriedade: ao multiplicar o
numerador e o denominador por um mesmo número natural não nulo,
sempre obteremos uma fração equivalente à inicial (Hazzan, 2021).
Vamos encontrar algumas frações equivalentes a .
De acordo com a propriedade, basta que multipliquemos tanto o
numerador quanto o denominador pelo mesmo número natural:
Uma consequência dessa propriedade é que se dividirmos o numerador e
o denominador de qualquer fração por um mesmo número natural, o
resultado será uma fração equivalente à original, por exemplo:
Podemos concluir que, para uma fração qualquer, existem infinitas
frações equivalentes a ela. Vamos analisar o seguinte exemplo:
O conceito de fração equivalente é essencial para compreendermos como
funcionam os procedimentos que envolvem operações com frações.
3
4  e 
12
16
1
2
1
2 = 3
6   pois,   {
1 ⋅ 3 = 3
2 ⋅ 3 = 6
15
10 = 3
2   pois,   {
15 ÷ 5 = 3
10 ÷ 5 = 2
1
2 = 2
4 = 4
8 = 8
16 = 16
32 = 32
64
Dadas duas ou mais frações, podemos realizar as operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão.
 
Adição e subtração 
Para as operações de adição e subtração, temos que nos atentar ao
denominador das frações.
Se as frações possuem o mesmo denominador, devemos conservá-
los e somar os numeradores. Por exemplo:
 
Se as frações possuem denominadores diferentes, temos que fazer a
redução ao mesmo denominador e depois passar à adição ou subtração
dos numeradores. Mas como reduzir as frações ao mesmo denominador?
Precisamos encontrar frações equivalentes que têm o mesmo
denominador. Uma forma de fazer isso é utilizando o mínimo múltiplo
comum (MMC), que corresponde ao menor número natural, diferente de
zero, múltiplo dos denominadores. Para encontrar o MMC, você pode
utilizar o método da fatoração; ou seja, decompor os números em fatores
primos. Vamos resolver a seguinte adição:
Veja que os denominadores são diferentes, logo temos que reduzir as
frações a um mesmo denominador. O primeiro passo é encontrar o MMC
de 32 e 15 (Figura 3).
1
2 + 3
2 = 1+3
2 = 4
2 = 2
5
4 − 3
4 = 2
4 = 1
2
7
32 + 6
15 =
Figura 3 | MMC. Fonte: elaborada pela autora.
Após encontrar o MMC, temos que determinar as frações equivalentes, o
que requer o procedimento apresentado na Figura 4.
Figura 4 | Método de resolução de soma de frações com denominadores diferentes. Fonte: elaborada pela
autora.
Multiplicação e divisão
Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação de frações não
depende que os denominadores sejam iguais. Basta multiplicar
numerador por numerador e denominador por denominador; por exemplo:
10
7 ⋅ 6
5 = 10⋅6
7⋅5 = 60
35 = 12
7
Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso
da segunda; por exemplo:
Tendo em vista o que você estudou até o momento, vamos resolver o
seguinte problema: a família de João mora em uma chácara onde a
construção de sua casa ocupa de um terreno. No restante do terreno,
João tem plantações de frutas da época, criação de animais e uma área
sem nenhuma utilização específica. Do terreno restante, é destinado à
plantação de frutas e , à criação dos animais. Qual é a fração que
representa a área do terrenoser aplicados, convidamos à reflexão sobre
estas três questões:
Em que tipos de situações de sua área de atuação você pode aplicar
o conceito de função?
Em que tipo de situações cotidianas você pode utilizar o conceito de
porcentagem e de frações na resolução de problemas?
Quando você vai ao supermercado e fica na dúvida entre dois
produtos da mesma marca, porém com quantidades diferentes,
costuma usar análises matemáticas para determinar qual deles
oferece a melhor relação custo-benefício? Como você faz essa
análise?
Resolução do estudo de caso
Para resolvermos o problema, o primeiro passo é determinar as leis de
formação para o valor a ser pago em cada caso.
Função para o valor a ser pago para o DJ
Antes de determinarmos a lei de formação, precisamos calcular quanto é
10% do valor da taxa fixa, visto que o valor a ser pago depende disso.
Assim, além da taxa fixa são cobrados R$ 300,00 por hora de trabalho.
Considerando o valor a ser pago denominado por , em que é o
tempo medido em horas, temos que:
Função para o valor a ser pago para a banda
Primeiramente, vamos determinar quanto é 40% do valor da taxa fixa.
Considerando o valor a ser pago denominado por , em que é o
tempo medido em horas, temos que:
10% de 3000 = 10
100 ⋅ 3000 = 0, 1 ⋅ 3000 = 300
C(x) x
C(x) = 3000 + 300x
40% de 1000 = 40
100 ⋅ 1000 = 0, 4 ⋅ 1000 = 400
V (x) x
V (x) = 1000 + 400x
Com base nessas funções, podemos analisar o que se pede em cada
item.
a) Nesse item devemos escolher a melhor opção caso a festa tenha a
duração de 10 horas. Para isso, temos que calcular o valor pago nas duas
opções para uma quantidade de 10 horas:
Assim, considerando apenas o fator financeiro, a melhor opção para 10
horas de música é contratar a banda.
b) Agora é necessário analisarmos as duas funções de modo a identificar
em que momentos uma função é maior que a outra e em que ponto elas
são iguais. Assim teremos:
Isso quer dizer que para temos o mesmo valor a ser pago nas
duas opções. Para verificarmos em que intervalos as funções são
maiores, temos:
Logo, para o valor a ser cobrado na contratação do DJ é menor
do que o valor na contratação da banda. Assim, para o valor a ser
cobrado na contratação da banda é menor. A Figura 1 ilustra esses
intervalos.
C(10) = 3000 + 300 ⋅ (10) = 3000 + 3000 = 6000
V (10) = 1000 + 400 ⋅ (10) = 1000 + 4000 = 5000
C(x) = V (x)
3000 + 300x = 1000 + 400x
400x− 300x = 3000 − 1000
100x = 2000
x = 2000
100 = 20
x = 20
−100x 2000
x > 20
x > 20
xsem nenhuma utilização específica?
O primeiro passo é encontrar a quanto corresponde a parte sem a
construção da casa:
Desses sabemos que foi destinado à plantação de frutas e , à
criação de animais. Assim, precisamos saber qual é a fração
correspondente à área que tem alguma utilização:
Essa fração é referente a . Assim, precisamos encontrar quanto vale:
 
Essa fração corresponde à área ocupada. Para descobrirmos a área que
não tem utilização, precisamos subtrair de :
Logo, a fração que representa a área do terreno sem nenhuma utilização
específica é .
Siga em Frente...
1
2 ÷ 3 = 1
2 ⋅ 1
3 = 1
6
3
7
1
4
1
9
1 − 3
7 = 7
7 − 3
7 = 4
7
4
7
1
4
1
9
1
4 + 1
9 = 13
36
4
7
13
36   de  
4
7
13
36 ⋅ 4
7 = 13
63
13
63
4
7
4
7 − 13
63 = 23
63
23
63
Potenciação
Em linhas gerais, a potenciação é uma operação matemática em que
multiplicamos um número por ele mesmo sucessivas vezes.
De modo abreviado, podemos escrever essa multiplicação da seguinte
forma (lemos: três elevado à oitava potência, ou três elevado a oito).
Chamamos o número 3 de base e o número 8 de expoente.
Por definição, temos que: dado um número real a e um número natural ,
chamamos de potência de base a e expoente n o número , sendo o
expoente o número de vezes que a base é multiplicada por ela mesma
(Hazzan, 2021). Observe a Figura 5.
Figura 5 | Potenciação. Fonte: elaborada pela autora.
Por exemplo,
Vimos até o momento potências com a base positiva, porém pela
definição a base pode ser um número real; logo, a base pode ser um
número inteiro negativo. Vamos analisar os seguintes exemplos:
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
45 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1024
23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
(−4)2 = +16
(−4)3 = −64
Perceba que o resultado da potenciação cuja base é negativa e cujo
expoente é par é um valor positivo (Figura 6).
Figura 6 | Exemplo de potenciação. Fonte: elaborada pela autora.
Quando a base é negativa e o expoente é ímpar, temos um resultado
negativo (Figura 7).
Figura 7 | Exemplo de potência. Fonte: elaborada pela autora.
Assim, em uma potência cuja base é um número inteiro, temos que:
Se a base é positiva, o resultado é um número positivo.
Se a base é negativa, o resultado é positivo quando o expoente é
par, e negativo quando o expoente é ímpar.
Quando estiver resolvendo uma potência de base negativa, fique atento
aos parênteses, pois isso altera o resultado. Vamos analisar o seguinte
exemplo:
Quando escrevemos -5², a base é 5; isto é, o número que está sendo
multiplicado por ele mesmo é o 5, logo
−52 ≠ (−5)2
Agora, quando estamos realizando a operação (-5)², a base é o número
-5, logo
Você pode se perguntar: e quando a base é uma fração? A operação
segue as mesmas propriedades de quando a base é um número inteiro.
Lembre-se que o expoente indica quantas vezes a base é multiplicada por
ela mesma, e nesse caso a base é uma fração, logo teremos que utilizar a
operação de multiplicação de frações. Veja os exemplos:
Conforme vimos, o expoente de uma potência deve ser um número
natural, logo ele pode assumir os valores 1 e 0. Nesses casos, temos que:
Toda potência cuja base é um número inteiro e o expoente é 1, o
resultado é igual à própria base.
Toda potência cuja base é um número inteiro não nulo e o expoente
é 0, o resultado é igual a 1.
 
Propriedades da potenciação
Quando falamos em potenciação, não podemos deixar de explorar as
propriedades que envolvem esse conceito. Para isso considere que m e n
−52 = −(5 ⋅ 5) = −25
(−5)2 = (−5) ⋅ (−5) = 25
( 1
2 )3 = 1
2 ⋅ 1
2 ⋅ 1
2 = 1
8
(− 2
3 )
3
= − 2
3 ⋅ − 2
3 ⋅ − 2
3 = − 8
27
são dois números naturais e a e b, dois números reais diferentes de zero
(Quadro 1).
Quadro 1 | Propriedades da potenciação. Fonte: elaborado pela autora.
Radiciação
A raiz de um número real a que tenha como índice um número natural n >
1 pode ser representada como mostra a Figura 8.
Nome da propriedade Propriedade Exemplo
Multiplicação de
potência de mesma
base
am ⋅ an = am+n 23 ⋅ 25 = 23+5 = 28
Divisão de potência de
mesma base
 
 a
m
an
= am−n
45
44 = 45−4 = 41 = 4
Potência de uma
potência
(am)n = am⋅n (23)2 = 23⋅2 = 26 = 64
Potência de um
produto
(a ⋅ b)n = an ⋅ bn (2 ⋅ 5)3 = (2)3 ⋅ (5)3 = 8 ⋅ 125 = 10
Potência de um
quociente
(a÷ b)n = an ÷ b ( 5
4 )3 = (5)3
(4)3
= 125
64
Potência de expoente
inteiro
a−n = 1
an
= ( 1
a
)n
 
 2−3 = 1
23
Figura 8 | Radiciação. Fonte: elaborada pela autora.
Por definição, temos que:
Logo, quando vamos calcular a raiz enésima de um número a, buscamos
um número b que quando elevado ao índice n resulta no radicando a.
Por exemplo:
Ao falarmos em radiciação, temos que nos atentar para um caso especial,
em que o índice da raiz é um número par e o radicando é um número
inteiro negativo. Nesses casos, a operação de radiciação não é definida,
pois estamos trabalhando no conjunto dos números reais, e nesse
conjunto não é possível encontrar um valor b de tal forma que quando
elevado ao índice par resulte em um radical negativo. Quando temos um
índice ímpar, conseguimos calcular normalmente a raiz mesmo o
radicando sendo um número negativo; por exemplo:
Propriedades da radiciação
n√a = b  ⟺ bn = a
√9 = 3,   pois  32 = 9
3√27 = 3,   pois  33 = 27
4√16 = 2,   pois  24 = 16
3√−8 = −2  pois  (−2)3 = −8
5√−3125 = −5  pois  (−5)5 = −3125
Vamos conhecer algumas propriedades que podem auxiliar nos cálculos
que envolvem essa operação. Para isso, considere n um número natural
maior que 1 a um número real positivo (Quadro 2).
Quadro 2 | Propriedades da radiciação. Fonte: elaborado pela autora.
Simplificação de radicais por meio da fatoração
Podemos utilizar a decomposição em números primos para simplificar e,
em alguns casos, até mesmo eliminar radicais. Para isso, primeiro
decompomos o radical em fatores primos utilizando a fatoração e, depois,
simplificamos os expoentes divisíveis pelo índice da raiz. Vamos calcular
a raiz quadrada do número 512. O primeiro passo é decompor o número
em fatores primos (Figura 9).
Nome da
propried
ade
Propri
edade
Exemplo
Raiz de
uma
potência
n√am = 4√25 = 2
5
4
Potência
de uma
raiz
( n√a)m =(√4)
3
= √
Figura 9 | Fatoração do
número 512. Fonte: elaborada
pela autora.
Agora vamos reescrever nossa raiz e utilizar as propriedades:
O entendimento das propriedades associadas à potenciação e à
radiciação é de extrema importância para solucionar uma variedade de
problemas matemáticos. Portanto, é fundamental que você esteja
familiarizado com todas essas propriedades.
Vamos Exercitar?
Como você já adquiriu conhecimento acerca das propriedades de frações,
potenciação e radiciação, podemos agora resolver nossa situação inicial,
que consiste em encontrar a idade do pai de João sabendo que a idade
de João é da raiz quadrada de 1024. A idade de seu pai é igual ao
inverso do cubo de mais a idade de João.
A fim de encontrarmos a idade de João, primeiramente temos que
determinar qual é a raiz quadrada de 1024, isto é, . Para isso,
podemos fatorar o número 1024 em números primos (Figura 10).
√512 = √29 = √28 ⋅ 2 = √28 ⋅ √2 = 2
8
2 ⋅ √2
= 24√2 = 16√2
1
4
3
9
√1024
Figura 10 | Fatoração do
número 1024. Fonte:
elaborada pela autora.
Reescrevendo a raiz, temos:
A idade de João é dada por de , ou seja:
Portanto, João tem 8 anos. A idade de seu pai é igual ao inverso do cubo
de mais a idade de João. Primeiramente, temos que encontrar o cubo
de , isto é:
O inverso de é 27. Assim, a idade do pai de João é 
anos.
Saiba Mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a
resolução de exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das
diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os
temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de fração,
√1024 = √210 = 2
10
2 = 25 = 32
1
4  √1024
1
4   de  32 = 1
4 ⋅  32 = 32
4 = 8
3
9
3
9
( 3
9 )
3
= 33
93 = 27
729 = 1
27
1
27 27 + 8 = 35 
indicamosa leitura do capítulo 1 (Operações com números naturais e
fracionários) do livro Matemática básica: para administração, economia,
contabilidade e negócios. Selecione alguns exercícios das seções 1.3 e
1.4 e os faça. Ao final da seção, você pode encontrar as respectivas
respostas.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre potenciação e
radiciação, sugerimos a leitura das seções 1.8 (Potências) e 1.9 (Raízes)
do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. 
Referências Bibliográficas
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e
trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/.
Acesso em: 17 out. 2023.
HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia,
contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/.
Acesso em: 17 out. 2023.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica
para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/.
Acesso em: 17 out. 2023.
Aula 2
EQUAÇÃO
Equação
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela,
você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? 
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Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Como podemos representar
matematicamente a seguinte frase: “O dobro de um número menos seu
triplo é igual 10”? Geralmente utilizamos a letra para representar esse
número desconhecido: . Essa expressão é o que
denominamos equação. Como resolver esse tipo de equação? Existem
outros tipos de equações? Essas são algumas das questões a serem
discutidas nesta aula. Além disso, estudaremos os logaritmos e suas
propriedades.
A fim de que você perceba como podemos aplicar o conceito de equações
e logaritmos para solucionar problemas, analise a situação a seguir.
Imagine que você esteja poupando dinheiro para uma viagem e decidiu
realizar uma aplicação com um valor que você tinha. Após pesquisar
diferentes tipos de investimentos, você ficou indeciso entre dois deles. O
primeiro é uma aplicação em regime de juros simples, com uma taxa de
x
2 ⋅ x+ 3x = 10
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2,5% ao mês, enquanto o segundo é um investimento em regime de juros
compostos, com uma taxa de 2% ao mês. Suponha que o valor total no
final de um período da aplicação em regime de juros simples seja dado
por , onde é o capital inicial investido e é o
tempo em que o dinheiro está aplicado. Além disso, o montante ao final
do período da aplicação em regime de juros compostos é dado por 
, onde é o capital inicial investido e é o tempo
em que o dinheiro está aplicado. Com um investimento inicial de R$
2.000,00, você deseja saber em quanto tempo alcançará um montante de
R$ 7.000,00 em cada um dos tipos de aplicação.
Para resolvermos esse problema, precisamos entender os conceitos de
equação e logaritmo.
Bons estudos!
 
Vamos Começar!
Como podemos representar matematicamente a seguinte frase: “O dobro
de um número menos o seu triplo”? Se considerarmos que o número
possa ser representado pela letra , teremos a seguinte expressão: 
. Perceba que utilizamos uma letra para representar um número
desconhecido; essa letra é denominada incógnita, e a expressão que
escrevemos utilizando essa incógnita é denominada expressão algébrica.
São exemplos de expressões algébricas:
Uma expressão algébrica pode ser considerada o conjunto de letras e
números ligados entre si por operações quaisquer, como adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação (Silva; Silva;
Silva, 2018). O elemento fundamental de uma expressão algébrica é o
termo, composto de um número, denominado coeficiente, e de uma
M   =  C(1  +  0,025t) C t
M   =  C(1  +  0,02)t C t
x
2x – 3x
z+ 3z
2
√t− 2
3x2 + 2x+ 5x
incógnita, denominada parte literal. A Figura 1 mostra exemplos de termos
algébricos.
Figura 1 | Exemplos de termos de uma expressão algébrica. Fonte: elaborada
pela autora.
Denominamos valor numérico de uma expressão algébrica o número que
se obtém quando atribuímos valores às incógnitas e efetuamos as
operações indicadas; por exemplo, o valor numérico da expressão
algébrica quando
é
Um conceito importante relacionado ao de expressões algébricas é o de
termos semelhantes. Dizemos que dois termos ou mais são semelhantes
quando as partes literais são as mesmas. 
Por exemplo, e são termos semelhantes, pois ambos possuem a
mesma parte literal, no caso . Por outro lado, os termos e não
são termos semelhantes, visto que a parte literal do primeiro termo é e
a do segundo termo é .
Agora que você adquiriu certo entendimento sobre o conceito de
expressões algébricas, estamos prontos para explorar o tema das
equações e suas soluções.
 
Equação e inequação do primeiro grau
2x – 3y
x = 1 e y = 2
2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = 2 − 6 = −4
3x 4x
x 7x² 7x
x²
x
Quando existe uma igualdade entre duas expressões algébricas,
denominamos equação. Em particular, a equação será de uma incógnita
quando as expressões algébricas tiverem apenas uma incógnita; por
exemplo:
Ao escrevermos equações, temos como objetivo encontrar o valor
desconhecido, isto é, o valor da incógnita que torne a igualdade válida.
Chamamos esse valor de raiz ou solução da equação. Vamos verificar se 
 e são soluções da equação .
Para isso, temos de substituir os valores dados na equação e observar se
teremos uma igualdade válida.
Como em ambos os casos conseguimos uma igualdade válida, temos
que e são soluções da equação.
Ao lidar com a resolução de uma equação, o passo inicial é o que
chamamos de simplificação. Geralmente, isso é alcançado ao
eliminarmos os denominadores e agruparmos termos semelhantes. A
simplificação baseia-se em dois princípios que não alteram o valor de
cada uma das raízes.
Princípio da adição ou subtração (princípio da transposição): em
toda equação, podemos adicionar um mesmo termo a ambos os
seus membros, assim como subtrair (Hazzan, 2021).
Princípio da multiplicação ou divisão: em toda equação, podemos
multiplicar ou dividir os termos dos dois membros de uma equação
por um número diferente de zero (Hazzan, 2021).
Utilizando essas propriedades, vamos resolver a equação 
. Nosso objetivo é isolar a incógnita . O primeiro passo
2x+ 3 = 4x− 5
x2 + 3x = 16x− 5
x  =   − 5  x  =  3  x²  +  2x  − 15  =  0
x2 + 2x− 15 = 0 (equação  original)
(−5)2 + 2(−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 (quando   fazemos  x = −5)
(3)2 + 2(3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 (quando   fazemos  x = 3)
x  =   − 5 x  =  3 
12x – 26  =  34 x
será eliminar o termo (-26); para isso, usamos o princípio da transposição
e adicionamos 26 a ambos os membros da equação:
Com isso, obtemos uma equação mais simples. Agora, para isolar o
 utilizaremos o princípio da divisão e dividiremos todos os termos da
equação por 12:
Você provavelmente já ouviu a orientação “passa para o outro lado”
quando o assunto é resolver uma equação. Por exemplo, quando é
preciso eliminar um termo que aparece somado ou subtraído de um dos
lados de uma equação, é comum “passar o termo para o outro lado com o
sinal trocado”.
É preciso ter cuidado com essa indicação, pois é muito comum utilizá-la
quando estamos tratando de um termo envolvido em um produto ou uma
divisão. Então, em vez de dizermos que para isolar a incógnita devemos
“passar o termo para o outro lado com osinal trocado”, podemos dizer
que devemos “passar o termo para o outro lado com a operação
inversa”.
A depender das características das equações, podemos classificá-las.
Chamamos de equação do primeiro grau com uma incógnita, ou
equação linear, toda equação que, após simplificação, se reduz à forma
(Hazzan, 2021)
Observe que o grau da incógnita é 1 e, para resolvermos esse tipo de
equação, utilizamos os princípios citados anteriormente.
12x− 26 + 26 = 34 + 26
12x− 0 = 60
12x = 60
12x = 60
12x
12 = 60
12
x = 5
a ⋅ x = b,    em   que  a e b são  constantes  e a ≠ 0
Agora, abordaremos um problema em que as equações lineares podem
ser aplicadas: “o dobro de um número menos seu triplo é igual ao número
somados 16”. O primeiro passo é escrever esse problema em termos
matemáticos; para isso representaremos o número desconhecido com y:
Trata-se de uma equação do primeiro grau, visto que a incógnita possui
grau 1. Para resolvê-la, temos que aplicar os princípios vistos
anteriormente:
E se, em vez do sinal de igualdade, estivéssemos diante de um sinal de
desigualdade? Qualquer sentença de duas expressões algébricas, com
uma incógnita, separadas por um dos símbolos de desigualdade é
denominada inequação. Os símbolos de desigualdade estão listados na
Tabela 1.
Tabela 1 | Sinais de desigualdade. Fonte: elaborada pela autora.
2y− 3y = 16 + y
2y− 3y = 16 + y
−y = 16 + y
−y− y = 16 + y− y
−2y = 16
−2y
−2 = 16
−2
y = −8
Símbolo Significado
 Maior que
≥ Maior ou igual
São exemplos de inequações:
Para verificarmos se um número real é solução de uma inequação, basta
substituí-lo nas expressões envolvidas e analisar se a desigualdade é
satisfeita. Ocorre que geralmente não queremos saber apenas se um
número é solução de uma desigualdade, mas sim resolvê-la, ou seja,
encontrar todos os valores da incógnita que fazem com que a
desigualdade seja verdadeira. Para encontrarmos a solução de uma
inequação, podemos simplificá-la utilizando duas propriedades, assim
como as equações (Hazzan, 2021).
Princípio da transposição: em toda inequação, podemos adicionar
um mesmo termo a ambos os seus membros, assim como subtrair.
Princípio da multiplicação ou divisão: em toda inequação,
podemos multiplicar ou dividir os termos dos dois membros por um
número positivo, mantendo o sinal da desigualdade. Além disso, em
toda inequação, podemos multiplicar ou dividir os termos dos dois
membros por um número negativo invertendo o sentido da
desigualdade.
Vamos aplicar essas propriedades para simplificar a inequação 
. O primeiro passo é utilizar a propriedade
distributiva e, depois, aplicar as propriedades citadas anteriormente:
x+ 3 > 2
x2 + 5x ≤ 3
5(x – 6)  >  3(x – 8)
5(x− 6) > 3(x− 8)
5x− 30 > 3x− 24
5x− 30 − 3x > 3x− 24 − 3x
2x− 30 > −24
2x− 30 + 30 > −24 + 30
2x > 6
2x
2 > 6
2
Quando a incógnita possui grau 1 e a inequação pode ser simplificada no
tipo , ou , ou , ou em que e são
números quaisquer com , trata-se de uma inequação do primeiro
grau. Para resolver uma inequação do primeiro grau, utilizamos os
princípios citados anteriormente. Por exemplo:
Perceba que, na penúltima linha da desigualdade, o sinal foi invertido.
Pelo princípio da multiplicação ou divisão, quando dividimos ou
multiplicamos a inequação por um número negativo, invertemos a
desigualdade.
Siga em Frente...
Equação exponencial
Denominamos equação exponencial a equação que envolve termos em
que a incógnita aparece no expoente; por exemplo:
Para solucionarmos uma equação desse tipo, utilizamos as propriedades
de potência e o fato de que se então . . Nesse sentido,
x > 3
ax  >  b ax  0 a ≠ 1 b > 0
b a x
a b loga b = x  ⟺ ax = b
log2 1024
log2 1024 = x ⟺ 2x = 1024
2x = 210 → x = 10
Quando trabalhamos com logaritmo de base 10, também conhecido como
logaritmo decimal, é comum não escrever a base. Por exemplo, 
. Outra base muito utilizada é o número de Euler ,
que pode ser representado por . 
Ao abordar o tema dos logaritmos, é fundamental explorar as
propriedades associadas a esse conceito. Seja uma constante real tal
que e , e seja uma constante real qualquer. Se e 
, então, teremos as propriedades apresentadas no Quadro 1.
Quadro 1 | Propriedades de logaritmos. Fonte: elaborado pela autora.
Embora seja possível definir o logaritmo em qualquer base maior que zero
e diferente de 1, calculadoras geralmente exibem apenas dois tipos de
logaritmos: o logaritmo decimal e o logaritmo natural. Dado que as
calculadoras oferecem logaritmos apenas nas bases 10 e , é necessário
desenvolver uma estratégia para calcular logaritmos em bases diferentes
(Gomes, 2018). Utilizando a propriedade de mudança de base, podemos
log 100 = log10 100 (e)
loge b = ln b
a
a  >  0 a  ≠  1 d b  >  0
c  >  0
Propriedade Exemplo
loga 1 = 0 log3 1 = 0
loga a = 1 log2 2 = 1
loga(a
x) = x log3(3
x) = x
alogax = x ou eloge 4 = 4 eln 4 = 4
loga(b ⋅ c) = loga b+ loga c log2(2 ⋅ 8) = log2 2 + log2 8
loga(
b
c
) = loga b− loga c log2(8 ⋅ 2) = log2 8 − log2 2
loga(bd) = d loga b log2(84) = 4 log2 8
e
escrever um logaritmo em qualquer base que nos convenha. Sejam , 
 e números reais maiores que zero, e suponha que e ,
então
Por exemplo, considerando que e que ,
vamos determinar . Observe que temos o valor do logaritmo de 3 e
de 2 na base 10, assim podemos mudar a base 2 para a base 10:
Como mencionado anteriormente, ressaltamos que os logaritmos podem
ser empregados na resolução de certos tipos de equações exponenciais.
Agora, vamos observar um exemplo de como podemos aplicá-los. A
equação pode ser resolvida com a aplicação de logaritmos em
ambos os lados. Você pode aplicar logaritmo de qualquer base nessa
equação, mas recomendamos que opte pelo logaritmo na base 10 ou na
base , visto que a calculadora inclui essas bases. Assim, teremos:
Vamos agora resolver a equação .
a b
c a  ≠  1 c  ≠  1
loga b =
logc b
logc a
log 3 ≈ 0,477 log 2 ≈ 0,301
log2 3
log2 3 = log 3
log 2 = 0,477
0,301 ≈ 1,58
4x = 5
e
4x = 5
log 4x = log 5
x log 4 = log 5
x = log 5
log 4 ≈ 1,16
6x−1 + 3 = 7
6x−1 + 3 = 7
6x−1 = 7 − 3
6x−1 = 4
log 6x−1 = log 4
(x− 1) log 6 = log 4
x− 1 = log 4
log 6
x = log 4
log 6 + 1
Familiarize-se com essas propriedades de logaritmo, pois elas
desempenham um papel fundamental na resolução de problemas, como
aqueles relacionados a juros compostos e outros.
Vamos Exercitar?
Como você já adquiriu conhecimento acerca de equações, estamos
preparados para resolver nossa situação inicial, que consiste em saber
em quanto tempo você alcançará um montante de R$ 7.000,00 em cada
um dos tipos de aplicação.
A primeira aplicação é em regime de juros simples, com uma taxa de
2,5% ao mês; o montante ao final de um período é dado pela expressão 
, onde é o capital inicial investido e é o tempo
em que o dinheiro está aplicado. O problemainforma o montante final (R$
7.000,00) e o valor inicial investido (R$ 2.000,00). Substituindo esses
valores na equação:
Portanto, nesse tipo de aplicação seriam necessários 100 meses para
obter R$ 7.000,00.
A segunda aplicação é em regime de juros compostos, com uma taxa de
2% ao mês; o montante ao final de um período é dado pela expressão 
, onde é o capital inicial investido e é o tempo
em que o dinheiro está aplicado. Substituindo os valores informados na
expressão:
x ≈ 1,77
M   =  C(1  +  0,025t) C t
M   =  C(1  +  0,025t)
7000 = 2000(1 + 0,025t)
7000 = 2000 + 50t
7000 − 2000 = 50t
5000 = 50t
t = 5000
50 = 100
M =  C(1  +  0,02)t C  t 
Como estamos trabalhando com o tempo em meses, seriam necessários
aproximadamente 63 meses para obter R$ 7.000,00 nesse tipo de
aplicação. Seria mais vantajoso, para você, escolher o segundo tipo de
aplicação.
Saiba Mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a
resolução de exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das
diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os
temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de
equações, indicamos a leitura da seção 2.1 do capítulo 2 (Equações) do
livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre inequação,
sugerimos a leitura da seção 2.8 do capítulo 2 (Inequações) do livro Pré-
cálculo: operações, equações, funções e trigonometria.
A fim de aperfeiçoar seu entendimento acerca de logaritmos,
recomendamos a leitura do capítulo 8 (Logaritmos) do livro Matemática
básica para cursos superiores.
 
Referências Bibliográficas
M   =  C(1  +  0,02)t
7000  =  2000(1,02)t
7000
2000 = 1,02t
3,5 = 1,02t
ln 3,5 = ln 1,02t
ln 3,5 = t ⋅ ln 1,02
t = ln 3,5
ln 1,02 ≈ 63,26
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e
trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/.
Acesso em: 17 out. 2023.
HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia,
contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/.
Acesso em: 17 out. 2023.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica
para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/.
Acesso em: 17 out. 2023.
Aula 3
PORCENTAGEM
Porcentagem
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela,
você irá aprender conteúdos importantes para a sua formação
profissional. Vamos assisti-la? 
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Bons estudos!
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Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Para iniciarmos nossos estudos, pense em
situações em que temos que usar porcentagem e em situações em que
podemos empregar a regra de três.
O conceito de porcentagem é amplamente utilizado na vida cotidiana:
finanças pessoais, compras, negócios, estatísticas, ciências e muitos
outros campos. Compreender como calcular e interpretar porcentagens é
fundamental para tomar decisões informadas em várias situações.
Já a regra de três é uma técnica matemática empregada em situações em
que temos três valores conhecidos e desejamos encontrar um quarto
valor relacionado. Funciona inclusive para resolver problemas que
envolvem porcentagens.
Nesta aula, abordaremos os conceitos de razão e proporção,
fundamentais para compreender a regra de três. Além disso,
exploraremos o tópico de porcentagem. Para ilustrar como esses
conceitos podem ser aplicados, considere a seguinte situação: você está
pensando em comprar um novo celular e encontrou duas ofertas:
Opção A: o celular custa R$ 2.500,00, mas está com desconto de
20%. Sem desconto adicional para pagamento à vista.
Opção B: o celular custa R$ 2.000,00. Há desconto de 5% somente
para pagamento à vista.
Para decidirmos qual é a melhor opção a fim de economizar dinheiro,
precisamos entender de razão e proporção, regra de três e porcentagem.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Para solucionar nosso problema inicial, é crucial que compreendamos os
conceitos de razão, proporção e porcentagem e saibamos como
empregar a regra de três na resolução de problemas.
 
Razão e proporção
De modo geral, temos que dados dois números e com diferente de zero,
chamamos de razão entre a e b, ou razão de a para b o quociente ,
que também pode ser indicado por .
O valor é denominado dividendo, e é denominado divisor. Quando a e
b forem medidas de uma mesma grandeza, elas devem ser expressas em
uma mesma unidade de medida. Podemos ler essa razão como “a está
para b” ou “a para b” (Hazzan, 2021).
Vamos supor que um investidor tenha ganhado R$ 5.000,00 após um ano
por meio de uma aplicação financeira, na qual o valor investido foi de R$
15.000,00. Se quisermos saber o quanto esse ganho representa em
relação ao valor investido, podemos dividir esse ganho pelo valor
investido, obtendo a razão entre o ganho e o valor investido, que será
dada por:
Quando estabelecemos uma igualdade entre duas razões, chamamos
isso de proporção. Dizemos que os números e , com e 
 diferentes de zero, estão em proporção, na ordem dada, se, e somente
a  ÷  b
a
b
a b
5000
15000 = 1
3
a, b, c  d b d
se, a razão entre e for igual à razão entre e . Representamos essa
proporção por:
em que se lê: " está para , assim como está para ".
As proporções têm uma importante propriedade:
 
 
Isso significa que em toda proporção os produtos dos termos cruzados
são iguais (Figura 1).
Figura 1 | Proporção. Fonte: elaborada pela
autora.
Vamos analisar alguns exemplos que ilustram como podemos aplicar os
conceitos de razão e proporção.
Exemplo 1
Uma família tem uma renda líquida de R$ 12.000,00 mensais. Dessa
renda, a família consome (gasta) R$ 8.000,00 e poupa o restante. Com
base nessas informações, podemos dizer que a razão entre o que a
família gasta (consumo) e a renda é dada por:
Eles poupam R$ 4.000,00, então a razão entre o que é poupado e a
renda é dada por:
Exemplo 2
c d
a
b
= c
d
a b c d
a
b
= c
d
⇒ a ⋅ d = b ⋅ c
8000
12000 = 8
12 = 2
3
4000
12000 = 4
12 = 1
3
Qual é o valor de x na proporção a seguir?
Como se trata de uma proporção, sabemos que os produtos dos termos
cruzados são iguais, logo:
Perceba que a aplicação da propriedade resulta em uma equação do
primeiro grau, logo aplicaremos os métodos de resolução desse tipo de
equação.
Portanto, o valor de x na proporção é .
Quando falamos em razão e proporção, não podemos deixar de nos
referir aos conceitos de grandezas diretamente proporcionais e grandezas
inversamente proporcionais. Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido
e possibilita que tenhamos características pautadas em informações
numéricas e/ou geométricas. São exemplos de grandezas: o volume, a
massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo,
entre outras.
Suponha que um automóvel percorre em 1 hora 80 km, em 2 horas 160
km e em 3 horas 240 km. Perceba que nessa situação, enquanto o tempo
(horas) aumenta, a distância percorrida também aumenta. Então, dizemos
que o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Duas
grandezas são diretamenteproporcionais quando, aumentando (ou
diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou diminui) na mesma razão da
primeira (Hazzan, 2021).
x+5
3 = 1
6
x+5
3 = 1
6
(x+ 5) ⋅ 6 = 3 ⋅ 1
6x+ 30 = 3
6x+ 30 = 3
6x = 3 − 30
6x = −27
x = − 27
6 = − 9
2
− 9
2
Agora suponha que um automóvel faz um percurso em 1 hora com uma
velocidade de 100 km/h e em 2 horas com uma velocidade de 50 km/h.
Observe que, enquanto a velocidade diminui, o tempo aumenta. Nesse
caso, dizemos que o tempo e a velocidade são grandezas inversamente
proporcionais. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira, e
vice-versa (Hazzan, 2021).
Siga em Frente...
Regra de três simples
A regra de três simples é um método prático para solucionar problemas
que implicam quatro valores, com três deles conhecidos e um
desconhecido. Esse procedimento envolve dois tipos de grandezas,
exigindo a identificação do tipo de relação entre elas. Portanto, é
fundamental determinar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais, uma vez que essa distinção afeta a
abordagem dos cálculos.
Para resolver um problema com regra de três simples, o primeiro passo é
identificar as grandezas envolvidas. Depois você pode construir uma
tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e
mantendo na linha as grandezas de espécies diferentes em
correspondência. Em seguida, verifique se as grandezas são diretamente
ou inversamente proporcionais, monte a proporção e resolva a equação.
 
Exemplo 1
Um trem demora 2 horas para percorrer 120 km. Qual é a distância
percorrida em 4 horas?
O primeiro passo é identificar as grandezas envolvidas no problema, que
nesse caso são o tempo e a distância. Representaremos a distância
percorrida em 4 horas pela incógnita x. De posse dessas informações,
montamos a tabela 1
Tabela 1 | Tempo e distância. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que se aumentarmos as horas, consequentemente
aumentaremos a distância percorrida, logo essas duas grandezas são
diretamente proporcionais. Quando se trata desse tipo de grandeza, basta
montar a proporção e resolver a equação resultante. Montando a
proporção, temos:
Logo, em 4 horas o trem percorre uma distância de 240 km.
 
Exemplo 2
Um carro a 60 km/h percorre em 1 hora uma distância de 80 km. Se a
velocidade aumentar para 90 km/h, em quanto tempo será percorrida a
mesma distância?
Perceba que as grandezas envolvidas nesse problema são o tempo e a
velocidade. Considerando x a incógnita que representa o tempo gasto
Tempo Distância
2h 120 km
4h x
2
4 = 120
x
2x = 120 ⋅ 4
2x = 480
x = 480
2
x = 240
para percorrer a distância dada quando a velocidade é 90 km/h, teremos
a seguinte tabela 2:
Tabela 2 | Velocidade e tempo. Fonte: elaborada pela autora.
 
Observe que se aumentarmos a velocidade, gastaremos menos tempo
para percorrer a mesma distância, logo essas grandezas são
inversamente proporcionais. Para solucionarmos o problema, basta
montar as proporções, invertendo uma delas, e resolver a equação. Sem
invertermos nenhuma das razões, teríamos:
Porém, como no caso de grandezas inversamente é preciso inverter uma
das razões, teríamos:
Logo, o carro gastaria aproximadamente 0,67h, que corresponde a 40
minutos e 12 segundos, para percorrer 80 km.
Mantenha-se atento ao solucionar um problema de regra de três simples
com grandezas inversamente proporcionais. Lembre-se de que é
necessário inverter uma das razões.
 
Velocidade Tempo
60 km/h 1 h
90 km/h x
60
90 = 1
x
60
90 = x
1
60 = 90x
x = 60
90 = 2
3 ≅0,67
Porcentagem
A porcentagem é um tipo de especial de fração, cujo denominador é 100,
isto é, um tipo de fração centesimal. O símbolo é usado para indicar a
porcentagem. Por exemplo:
É crucial ressaltar que devemos basear o cálculo de porcentagem em
uma quantidade específica; em outras palavras, a porcentagem é
determinada em relação a uma quantidade particular. Por exemplo, 40%
de 200 significam 40 por cento da quantidade de 200. Como descobrir a
quanto equivale essa porcentagem? Uma forma seria representar assim:
Sabemos que o todo é a quantidade de 200 e que o denominador indica
em quantas partes iguais esse todo foi dividido. Assim, temos que 200 foi
dividido em 10 partes iguais, cujo tamanho é 20. Sabemos que 40%
correspondem a quatro partes desse todo; como cada parte é 20 e temos
4, 40% de 200 é 80. A Figura 2 mostra esse raciocínio de uma forma mais
prática.
Figura 2 | Cálculo de porcentagem. Fonte: elaborada pela autora.
Outro raciocínio que pode ser utilizado é transformar a porcentagem em
número decimal e depois multiplicar o decimal pela quantidade:
30% = 30
100
40% = 40
100 = 4
10
40
100  de 200 = 0,4 ⋅ 200 = 80
Você também pode utilizar regra de três para encontrar a porcentagem.
Considerando que 200 equivale a 100%, teremos a seguinte regra:
Montando a proporção, temos:
Quando abordamos o conceito de porcentagem, é essencial também
considerar a ideia de desconto e aumento. É fundamental lembrar que o
desconto representa uma redução em relação à quantidade original,
enquanto o aumento significa um acréscimo em relação à quantidade
original. Ao compreender esses significados e saber como calcular a
porcentagem de determinada quantidade, você estará apto a desenvolver
uma estratégia eficaz para resolver problemas relacionados a essas
situações.
 
Exemplo 1
Uma loja vende uma máquina de lavar roupas por R$ 1.500,00, porém,
devido a aumentos impostos pela fábrica, teve que repassar 6% de
acréscimo para o consumidor. Quanto a máquina passará a custar?
Segundo o problema, houve um aumento nos preços, logo o valor inicial
sofrerá um acréscimo de 6%. Assim, temos que encontrar o valor do
aumento:
200 100%
x 40%
200
x
= 100
40
100x = 8000
x = 8000
100 = 80
6% de 1500 = 6
100 ⋅ 1500 = 0,06 ⋅ 1500 = 90
Portanto, o aumento foi de R$ 90,00. Para descobrirmos o novo preço,
temos que somar o aumento com o preço inicial; ou seja, R$ 1.500,00 +
R$ 90,00, que é igual a R$ 1.590,00.
Alguns problemas que envolvem porcentagem exigem que sejam
calculadas uma sucessão de porcentagens sobre determinado valor; para
determinar a porcentagem equivalente, devemos multiplicar todas essas
porcentagens.
 
Exemplo 2
No início de março, uma loja teve um aumento de 15% nos preços de sua
linha de eletrodomésticos em relação a fevereiro, e em abril os preços
tiveram uma queda de 10% em relação a março. De quanto foi o aumento
dos preços de abril em relação a fevereiro?
Sabe-se que em março houve um acréscimo de 15% em relação ao preço
de fevereiro. Portanto, o valor de março equivale ao valor de fevereiro
(100%) acrescido de 15%, totalizando 115% do valor de fevereiro. Em
abril, por outro lado, houve uma diminuição de 10% em relação ao preço
de março, o que implica que os produtos custarão 90% do valor de março.
Isso equivale a:
Como os produtos em fevereiro custavam 100% do valor e em abril
103,5%, tivemos um aumento de 3,5%.
É importante notar que não há uma única estratégia para realizar cálculos
de porcentagem. Você pode utilizar a abordagem com a qual se sentir
mais confiante! 
Vamos Exercitar?
Como você já adquiriu conhecimento acerca de porcentagem, estamos
preparados para resolver nossa situação inicial, que consiste em escolher
a melhor opção para economizar dinheiro na compra de um celular. Na
90% de 115% = 90
100 ⋅ 115
100 = 0,9 ⋅ 1,15 = 1,035 = 103,5%
opção A, o celular custa R$ 2.500,00, mas está com desconto de 20%,
sem desconto adicional por pagamento à vista. Como o celular está com
20% de desconto, temos que o preço a ser pago corresponde a 80% do
valor inicial. Utilizando a regra de três, temos:
Portanto, o celular na opção A custará R$ 2.000,00, independentemente
da forma de pagamento.
Na opção B, não há desconto no pagamento a prazo, então o celular sairá
por R$ 2.000,00. Porém, caso o pagamento seja à vista, existe um
desconto de 5% sobre o valor. Então, o preço a ser pago corresponde a
95% do valor inicial. Utilizandoa regra de três, temos:
Portanto, o celular na opção B custará R$ 2.000,00 se o pagamento a
prazo e R$ 1.900,00 se for à vista.
 2500 100%
x 80%
2500
x
= 100
80
100x = 208000
x = 200000
100 = 2000
 2000 100%
x 95%
2000
x
= 100
95
100x = 190000
x = 190000
100 = 1900
Sua decisão deve levar em consideração a forma de pagamento. Se a
opção for pagar a prazo, ambos os celulares terão o mesmo preço, e você
deve considerar outros fatores ao fazer sua escolha. No entanto, se você
optar por pagar à vista, a escolha recomendada é a opção B, uma vez
que o celular custa R$ 100,00 a menos do que na opção A.
Lembre-se de que nesse caso optamos por usar a regra de três para
resolver o problema, mas você pode escolher outras estratégias para
calcular a porcentagem, dependendo do que for mais conveniente para
você.
 
Saiba Mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a
resolução de exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das
diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os
temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de
porcentagem, indicamos a leitura do capítulo 5 (Porcentagens) do livro
Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e
negócios. Selecione alguns exercícios das seções 5.1 e 5.4 e os faça. Ao
final da seção, você encontra as respectivas respostas.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre regra de três
simples, sugerimos a leitura da seção 2.2 (Proporções e a regra de três)
do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. Não
deixe de selecionar alguns exercícios dessa seção e resolvê-los!
 
Referências Bibliográficas
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e
trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/.
Acesso em: 17 out. 2023.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
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HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia,
contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/.
Acesso em: 17 out. 2023.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica
para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/.
Acesso em: 17 out. 2023.
Aula 4
FUNÇÃO
Função
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Bons estudos!
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Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Vamos iniciar nossos estudos sobre o
conceito de função. A ideia de função está presente em uma variedade de
situações; podemos percebê-la como um tipo específico de relação entre
duas variáveis, independentemente do contexto. Por exemplo, em um
posto de combustível, o valor a ser pago pela gasolina está relacionado à
quantidade com a qual você pretende abastecer. Nesta aula, estudaremos
as características de uma função, bem como as propriedades de funções
polinomiais de primeiro grau.
Para demonstrar a aplicação desses conceitos, imagine a seguinte
situação: você está buscando um plano de telefone e, após uma extensa
pesquisa, encontra-se indeciso entre duas opções. Os valores a serem
pagos por mês em cada plano são:
Plano A: valor fixo de R$ 30,00 mais R$ 0,50 por minuto de ligação.
Plano B: valor fixo de R$ 10,00 mais R$ 1,00 por minuto de ligação.
Levando em consideração que você terá que realizar várias ligações
demoradas nos próximos meses, qual plano seria mais vantajoso? Essa
escolha continuaria a mesma se você não tivesse que realizar muitas
ligações?
Para resolvermos esse problema, precisamos entender os conceitos de
função, função do primeiro grau e suas propriedades.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Podemos definir uma função como sendo uma lei que associa cada
elemento pertencente a um conjunto , a um único elemento ,
pertencente a um conjunto (Gomes, 2018). Nesse caso, podemos
empregar a representação . Observe que, para definirmos
uma função, cada elemento de deve estar associado a somente um
elemento de .
f
x D f(x)
E
f : D → E
D
E
O conjunto é o domínio de , frequentemente representado por ,
e nele estão especificados os valores possíveis que a variável
independente, geralmente representada como , pode assumir. O
conjunto , por sua vez, corresponde ao contradomínio da função, no
qual a variável dependente é examinada. Adicionalmente, os valores
possíveis de , obtidos ao variar por todo o domínio, estão contidos
em um subconjunto de denominado imagem de , denotada por 
. Uma função pode ser representada por meio de um diagrama de
setas, como na Figura 1.
Figura 1 | Diagrama de setas para a função f. Fonte: elaborada pela autora.
É fundamental destacar que, normalmente, os conjuntos usados na
representação de domínios e contradomínios são conjuntos de números
reais (ℝ). Contudo, podemos utilizar subconjuntos de ℝ dependendo do
tipo de problema em análise. Em algumas situações, é necessário
restringirmos o domínio da função de tal forma que ela possa ser definida.
Por exemplo, considere a função de uma variável dada por .
Essa função está definida para qualquer valor real de ? Se , qual
valor a função assume? Perceba que a função não é definida para 
, pois em matemática não existe divisão por zero; assim, essa
função não assume nenhum valor quando . Logo, o domínio dessa
função são todos os números reais, com exceção do zero, isto é, .
Para determinar o domínio de uma função, é preciso que você se lembre
que:
D f D(f)
x
E
f(x) x
E f
Im(f)
f f(x) = 1
x
x x = 0
f
x = 0
x = 0
R*
Não existe divisão por zero.
Não existe raiz de índice par de número negativo.
Não existe logaritmo de número negativo ou zero.
Logo, valores de que se originam de uma dessas condições, no interior
da função estudada, devem ser excluídos do domínio da função. Por
exemplo, o domínio da função deve ser composto de
todos os valores de , tais que , visto que o radicando deve
ser maior ou igual a zero.
Além do diagrama de setas, é possível representar as funções por meio
de gráficos, que possibilitam a análise do comportamento da função e a
relação entre as variáveis. Podemos definir o gráfico de uma função 
 como sendo o conjunto de pares ordenados em que 
, com pertencente ao domínio da função (Gomes, 2018).
Nesse sentido, a elaboração de um gráfico consiste na identificação dos
pares ordenados que relacionam os valores do domínio com suas
respectivas imagens, no plano cartesiano. Atente-se ao fato de que, ao
traçarmos o gráfico de uma função no plano cartesiano, mostramos os
valores de no eixo vertical (ou eixo ), destinando o eixo horizontal
à variável . Cuidado para não trocar os eixos!
Por exemplo, vamos representar a função , definida por 
 graficamente. Para esboçarmos o gráfico dessa função,
montamos uma tabela com alguns valores de . Você tem a
flexibilidade de selecionar os valores a serem atribuídos a , desde que
esses valores estejam dentro do domínio da função. A quantidade de
x
f(x) = √(x+ 2)
 x ∈ R x ≥ −2
f : D → E (x,  y)
y  =  f (x) x D
f
f (x) y
x
f : R → R
f(x) = x+ 4
(x, f(x))
valores que você escolher atribuir a também é uma decisão sua,
embora seja recomendável escolher pelo menos três (Tabela 1).
Tabela 1 | Valores correspondenteà função , com . Fonte:
elaborada pela autora.
Agora, identificamos esses pontos no plano cartesiano e depois traçamos
uma linha que ligue esses pontos, conforme ilustra a Figura 2. Só
podemos traçar essa linha, porque a função está definida no conjuntos
dos números reais.
Figura 2 | Gráfico da função f (x) = x+4. Fonte: elaborada pela autora.
No exemplo anterior, é o que chamamos de lei de
formação (ou regra de associação) da função . Em alguns
problemas, conhecemos a lei de formação da função, enquanto em outros
x
x f(x) = x+ 4 (x, y)
−1 f(−1) = −1 + 4 = 3 (−1, 3)
0 f(0) = 0 + 4 = 4 (0, 4)
1 f(1) = 1 + 4 = 5 (1, 5)
f f(x) = x+ 4
y  =  f(x) =  x+ 4
f : R  → R
casos não a conhecemos. Quando não a conhecemos, em certas
situações, é possível deduzi-la com base nas informações fornecidas pelo
problema. Vejamos um exemplo.
Em uma empresa de componentes eletrônicos, o custo de produção de
determinado produto está relacionado a um custo fixo e ao custo unitário
desse produto. Sabendo que a empresa tem um custo fixo de R$
4.000,00 e que o custo de produção unitário para o produto é de R$ 2,00,
determine a lei de formação dessa função.
O primeiro passo é identificar as variáveis do problema; lembre-se que
elas são parte fundamental da definição de função! Nesse problema,
podemos representar a quantidade produzida de produtos por , e o custo
total da produção por . Sabemos que o custo total é a soma do custo
fixo com o custo unitário, assim a lei de formação será 
. É importante notar que esse problema apresenta
restrições no domínio da função, uma vez que não é possível ter uma
quantidade negativa de produtos produzidos, e a quantidade de produtos
deve ser um número inteiro. Portanto, essa função está definida no
conjunto dos números naturais, isto é, , cuja lei de formação
é .
A depender das características da lei de formação, podemos classificar as
funções como polinomiais, racionais, exponenciais, entre outras. Nosso
foco agora serão as funções polinomiais, mais especificamente a função
polinomial de primeiro grau.
Siga em Frente...
Função afim
Uma função é chamada de função afim, ou polinomial de
1º grau, quando existem dois números reais e tais que 
 para todo (Gomes, 2018). A constante real é
referida como o coeficiente angular, enquanto é chamada de coeficiente
linear. O gráfico que representa uma função desse tipo é uma reta no
plano cartesiano, o que torna esse tipo de função adequado para a
representação de fenômenos com características lineares.
C(x)
C(x) = 4000 + 2x
C : N → R
C(x) = 4000 + 2x
f :  R → R
a b
 f(x) = ax+ b x ∈ R a
b
Por exemplo, a função , com é afim e tem seu
gráfico ilustrado na Figura 3.
Figura 3 | Gráfico da função f (x) = 2x + 6. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que a reta intercepta o eixo em . Isso significa que em 
 o valor da função é zero, isto é, . Dizemos então que 
 é raiz da função dada. Uma raiz ou zero de uma função 
, com para e reais, consiste em um
número , para o qual . Nesse sentido, para determinarmos a
raiz de uma função afim, devemos buscar a solução da equação 
. No caso do exemplo, temos:
Assim como podemos esboçar o gráfico de uma função afim com base
em sua lei de formação, também é possível determinar sua lei de
formação com base em seu gráfico. Para executar essa tarefa, é
necessário determinar e , de modo que a função 
 tenha o gráfico desejado. Observe o gráfico representado na Figura 4.
f : R → R f(x) = 2x+ 6
x x = −3
x = −3 f(−3) = 0
x = −3
f : R → R f(x) = ax+ b a b
r f(r) = 0
ax+ b = 0
2x+ 6 = 0
2x = −6
x = − 6
2 = −3
a b f(x)  =  ax  +  b
Figura 4 | Gráfico de uma função f. Fonte: elaborado pela autora.
Observe que a reta passa pelos pontos e . Para
determinarmos a lei de formação com base nesses pontos, basta
substituí-los na lei de formação geral . Substituindo o
ponto , temos:
Substituindo o ponto , temos:
Portanto, a lei de formação será .
Uma característica interessante de ser observada em uma função afim é
se ela é crescente ou decrescente. O estudo do crescimento e do
decrescimento de funções afins pode ser realizado com base no
coeficiente angular associado.
(0, 2) (3, 4)
f(x) = ax+ b
(0, 2)
f(0) = a ⋅ 0 + b = 2
b = 2
(3, 4)
f(3) = a ⋅ 3 + 2 = 4
3a+ 2 = 4
3a = 4 − 2
3a = 2
a = 2
3
f(x) = 2
3  x+ 2
Função afim crescente: o coeficiente angular é positivo 
Função afim decrescente: o coeficiente angular é negativo 
.
No conjunto das funções afins, é possível destacar o caso particular da
função linear, representada pela lei de formação , onde é
um número real. O gráfico de uma função linear pode ser identificado
como uma reta que passa pela origem, ou seja, contém o par ordenado 
.
É altamente recomendável que você se familiarize com todas as
características de uma função e, mais especificamente, com as funções
afins, pois elas podem ser aplicadas em diversos contextos que
demandam o estabelecimento de relações entre variáveis. Além disso, o
conceito de função será fundamental em outros momentos desta
disciplina e de seu curso, proporcionando uma base sólida para a
compreensão de conceitos matemáticos mais avançados.
Vamos Exercitar?
Agora que você está familiarizado com as propriedades das funções afins,
estamos prontos para voltar à nossa situação inicial. Nosso problema
consiste em você se decidir entre dois planos de telefone, considerando
que precisará realizar muitas ligações nos próximos meses.
O primeiro passo é determinar a lei de formação para as funções que
descrevem o valor a ser pago em cada um dos planos. Para ambos os
planos, vamos considerar que a variável representa a quantidade de
minutos de ligação. Assim, a lei de formação para o plano A será 
 e, para o plano B, será . Para
podermos analisar qual é a melhor opção, vamos construir a
representação gráfica de ambas as funções (Figura 5).
(a > 0).
(aAcesso em: 17 out. 2023.
HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia,
contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo GEN, 2021. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/.
Acesso em: 17 out. 2023.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica
para cursos superiores. 2. ed. São Paulo: Grupo GEN, 2018. Disponível
em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/.
Acesso em: 17 out. 2023. 
Encerramento da Unidade
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TÓPICOS ELEMENTARES DE
MATEMÁTICA
Tópicos elementares de Matemática
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Bons estudos!
Ponto de Chegada
Olá, estudante!
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender
conceitos matemáticos elementares, bem como reconhecer a importância
deles na resolução de problemas de diferentes contextos, você deve
primeiramente conhecer quais são esses conceitos.
Um dos conceitos fundamentais da matemática é o dos conjuntos
numéricos. Por meio dos conjuntos numéricos, realizamos uma ampla
variedade de operações matemáticas. Existem cinco conjuntos numéricos
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u1enc_met_qua.pdf
principais: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. É essencial que
você saiba discernir as características de cada um.
O conjunto dos números naturais é formado por todos os números
inteiros positivos. Por outro lado, o conjunto dos números inteiros inclui
todos os números inteiros, tanto positivos quanto negativos. Já o
conjunto dos números racionais é composto de números que podem
ser expressos na forma de fração, enquanto o conjunto dos números
irracionais é formado por números que não podem ser representados
como frações simples. Por fim, o conjunto dos números reais é a união
dos conjuntos de números racionais e irracionais. Esses conjuntos
numéricos desempenham um papel crucial em várias áreas da
matemática e são fundamentais para compreender a extensão dos
números que usamos em cálculos e análises matemáticas.
Observe que o conjunto dos números racionais reúne todos os números
que conseguimos expressar em forma de fração. Uma fração pode ser
conceituada como uma maneira de representar porções de um todo que
foram divididas em partes iguais. Representamos uma fração na forma 
 em que é chamado de numerador e de denominador. Um ponto
essencial a ser observado é o procedimento para operar com frações. Na
adição e na subtração, quando os denominadores são distintos, é
fundamental encontrar frações equivalentes às existentes antes de
executar a soma ou a subtração. Na divisão, você deve conservar a
primeira fração e depois multiplicá-la pelo inverso da segunda.
Associadas aos conjuntos numéricos temos as operações de
potenciação e radiciação. Lembre-se que em uma potência do tipo o
expoente indica quantas vezes que a base será multiplicada por ela
mesma.
Essas operações com conjuntos numéricos são fundamentais para a
compreensão de outros conceitos elementares, como equações,
logaritmos, porcentagens e funções.
Ao resolvermos equações, seguimos o princípio da transposição, o que
significa que podemos adicionar o mesmo valor a ambos os lados da
equação ou subtraí-lo. Além disso, aplicamos o princípio da multiplicação
ou divisão, o que nos permite multiplicar ou dividir ambos os lados da
a
b1
a b
ab
b
equação por um número diferente de zero. Esses princípios são a base
para resolver equações.
A expressão “passar para o outro lado” é frequentemente usada ao
resolver equações, mas é importante ter maior precisão ao descrever os
cálculos, especialmente quando se lida com termos envolvidos em
multiplicação ou divisão. Em vez de dizer que estamos “passando o termo
para o outro lado com o sinal trocado”, é mais correto dizer que estamos
“movendo o termo para o outro lado aplicando a operação inversa”. Essa
clareza conceitual ajuda a evitar equívocos ao resolver equações e a
compreender a matemática de forma mais precisa.
Ao resolver um problema de regra de três, é fundamental estar ciente de
que as grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, é
necessário inverter uma das razões para encontrar a resposta correta.
Essa inversão é uma parte fundamental do processo de resolução de
problemas de regra de três, garantindo que a relação entre as grandezas
seja adequadamente considerada.
É importante lembrar que, ao resolver problemas que envolvem
porcentagem, você tem à disposição diversas estratégias. Esteja atento
às propriedades e relações envolvidas nesse cálculo, pois a escolha da
estratégia certa pode simplificar o processo e garantir resultados precisos.
Conhecer as propriedades e regras das porcentagens é fundamental para
lidar eficazmente com esses tipos de problemas.
Compreender que uma função é uma relação entre dois conjuntos e
segue certas características é a base para lidar com problemas mais
complexos. Lembre-se de que uma função afim é da forma 
 e, geralmente, seu domínio e contradomínio são
definidos no conjunto dos números reais. No entanto, em situações
específicas, podemos restringir esse domínio. Para determinar a imagem
de uma função, basta substituir valores da variável na lei de formação.
Além disso, convém lembrar que o zero de uma função é o valor de 
 para o qual a função é igual a zero. Graficamente, você pode identificar o
zero da função como o ponto em que a reta intercepta o eixo . Esses
f(x)  =  ax  +  b
x
x
x
conceitos são fundamentais para entender e resolver problemas que
envolvem funções e gráficos.
Os conceitos matemáticos que estudamos, incluindo funções, equações,
porcentagem e muitos outros, servem de base para nossa formação e são
aplicáveis a uma ampla variedade de problemas em nosso cotidiano e em
situações matemáticas mais complexas. Ter uma compreensão sólida
desses conceitos não apenas ajuda a resolver problemas do dia a dia,
mas também é essencial para o desenvolvimento de habilidades
analíticas e tomada de decisões.
É Hora de Praticar!
A matemática desempenha um papel fundamental na tomada de decisões
em uma ampla variedade de contextos. Vamos examinar uma situação
para demonstrar como os conceitos matemáticos vistos nesta unidade
podem ser aplicados.
Uma empresa foi contratada por uma comissão de formatura para
organizar a festa de formatura de uma das turmas da Universidade. Uma
das atribuições dessa empresa é contratar uma banda ou um DJ para
animar a festa. Após diversas pesquisas, obteve os seguintes
orçamentos:
Um DJ cobra uma taxa fixa de R$ 3.000,00 acrescidos de 10% do
valor da taxa fixa por hora (ou fração de hora) de trabalho.
Uma banda cobra uma taxa fixa de R$ 1.000,00 acrescidos de 40%
do valor da taxa fixa por hora (ou fração de hora) de trabalho.
Analisando os orçamentos apresentados, responda:
a) Se a turma deseja que a festa tenha a duração de 10 horas,
considerando apenas o critério financeiro, qual é a melhor opção?
b) Com base nos orçamentos e somente no critério financeiro, qual deve
ser a duração da festa para que seja mais vantajoso contratar o DJ, em
vez da banda.
Reflita
Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos
abordados na unidade podem