Matemática básica e funções_CORTE

Prévia do material em texto

Adriana Rodrigues
Anderson Osvaldo Ribeiro
Emerson Reis Dias
Leandro Martins da Silva
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Wilton Rezende de Freitas
Matemática básica 
e funções elementares
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
© 2017 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico 
ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de 
armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, 
da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
Reitor
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Coordenação de Graduação a Distância
Sílvia Denise dos Santos Bisinotto
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
M416 Matemática básica e funções elementares / Adriana Rodrigues ... [et 
 al.]. – Uberaba : Universidade de Uberaba, 2017. 
 168 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 978-85-7777-758-7
 
 1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Funções (Matemática). 3. 
 Álgebra. I. Rodrigues, Adriana. II. Universidade de Uberaba. 
 Programa de Educação a Distância. 
 
 CDD 510.7
Sobre os autores
Adriana Rodrigues
Mestre em Educação pela Universidade Federal de Uberlândia – UFU. Especialista 
em Educação a Distância pela Universidade Federal do Paraná – UFPR. Especialista em 
Gerenciamento de Redes de Computadores pela Universidade de Uberaba. Graduada 
em Tecnologia em Processamento de Dados. Licenciada em Matemática e Ciências 
Físicas e Biológicas. Professora nos cursos de Graduação em Engenharias e integra 
a equipe de produção de materiais para cursos em Educação a Distância da Uniube.
Anderson Osvaldo Ribeiro
Especialista em Docência do Ensino Superior pela Universidade de Uberaba – Uniube. 
Engenheiro Civil pela Universidade de Uberlândia – UFU – e Licenciado em Física pela 
mesma Universidade. Professor nos cursos de Graduação em Engenharia e Sistemas 
de Informação na Uniube.
Emerson Reis Dias
Mestre em Educação pela Universidade de Uberaba. Especialista em Metodologia do 
Ensino da Matemática. Professor de Matemática nos cursos de Administração, Ciências 
Contábeis, Química e Pedagogia da Universidade de Uberaba.
Leandro Martins da Silva
Licenciado em Matemática pela Universidade de Uberaba – Uniube. Professor de Ma-
temática da rede pública estadual de Minas Gerais.
Valdir Barbosa da Silva Júnior
Licenciado em ciências físicas pela Universidade do Oeste Paulista e pós-graduado em 
metodologia do ensino de física pelas Faculdades Integradas de Jacarepaguá. Coorde-
nador de referência no curso de produção sucroalcooleira no ensino a distância, docente 
em ensino médio, em curso pré-vestibular e nos cursos de engenharia de produção 
sucroalcooleira e licenciatura em matemática pela Universidade de Uberaba (Uniube), 
onde ministra diversas disciplinas de áreas relacionadas à matemática e à física.
Wilton Rezende de Freitas
Especialista em Finanças e Controladoria pela Faculdade de Ciências Econômicas do 
Triângulo Mineiro (parceria com a FEA -USP/RP). Graduado em Administração pela 
Universidade de Uberaba. Professor de Administração e Ciências Contábeis. Preceptor 
dos cursos de Administração e Ciências Contábeis da Universidade de Uberaba.
IV UNIUBE
Sumário
Apresentação ................................................................................................. IX
Capítulo 1 Álgebra e conjuntos: conceitos e significados ...............................1
1.1 Conjuntos numéricos ...................................................................................................4
1.1.1 Conjunto dos números naturais (N) .................................................................13
1.1.2 Conjunto dos números inteiros (Z) ...................................................................14
1.1.3 Conjunto dos números racionais (Q)................................................................14
1.1.4 Conjunto dos números irracionais (I) ...............................................................18
1.1.5 Conjunto dos números reais (R) ......................................................................19
1.2 Potenciação ...............................................................................................................25
1.2.1 Potência com expoente inteiro positivo ............................................................25
1.3 Frações .....................................................................................................................28
1.3.1 Igualdade de frações ........................................................................................28
1.3.2 Soma e subtração de frações ..........................................................................29
1.3.3 Produto de frações ...........................................................................................29
1.3.4 Divisão de frações ............................................................................................30
1.4 Expressões numéricas ..............................................................................................33
1.5 Equações polinomiais ...............................................................................................38
1.5.1 Equações polinomiais do 1o grau .....................................................................39
1.5.2 Equações polinomiais do 2o grau .....................................................................41
1.5.3 Equações incompletas .....................................................................................43
1.5.4 Dispositivo prático para determinar as raízes ..................................................45
1.6 Produtos notáveis ......................................................................................................48
1.6.1 Outros produtos notáveis .................................................................................50
1.7 Fatoração ..................................................................................................................51
1.8 Simplificação de expressões algébricas ...................................................................55
1.8.1 Divisão de monômios .......................................................................................55
1.8.2 Outras operações com expressões algébricas ................................................56
1.9 Radiciação e racionalização......................................................................................59
1.10 Outras equações polinomiais e divisão de polinômios..............................................62
1.10.1 Equações polinomiais com grau maior ou igual a 3 .......................................62
1.10.2 Divisão de polinômios ....................................................................................64
1.11 Introdução aos números complexos .........................................................................71
1.12 Determinando as raízes de um polinômio .................................................................72
Capítulo 2 Funções matemáticas elementares: um estudo sobre as 
principais funções de uma variável ..............................................77
2.1 Introdução a funções .................................................................................................80
2.2 Domínio, contradomínio e imagem da função...........................................................83será nula e a outra terá valor a
b- .
 1.5.4 Dispositivo prático para determinar as raízes
É possível descobrir mentalmente as raízes de uma equação do 2o grau e, assim, re-
duzir o tempo gasto durante a resolução de um problema. Veja como isso é possível.
Você sabe que x' = 
a
b
2
D- + e x" = 
a
b
2
D- - são as raízes da equação de 2o grau, 
mas observe o que acontece ao somar e ao multiplicar as mesmas.
Ao somarmos as raízes da equação ax2 + bc + c = 0, obteremos:
' ''x x
a
b b ac
a
b b ac
a
b
b
a
2
4
2
4
2
22 2
+ =
- + -
+
- - -
=- =-
b
a
x' + x" = – 
a
b , ou seja, S = – 
a
b (soma = S)
 IMPORTANTE! 
Sempre que uma equação do segundo grau não apresentar o termo “c”, uma de suas raízes 
será nula e a outra terá valor a
b- .
UNIUBE 45
Ao multiplicarmos as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 entre si, obteremos:
' ''
' ''
x x
a
b
a
b
a
b
a
b
x x
a
b b ac
a
b b ac
a
ac
a
c
2 2 4 4
4
4
4
4
4
4
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
$ $
$
D D D D
=
- + - -
=
-
=
-
=
- -
=
- +
= =
c c
^
^
m m
h
h
x' · x" = 
a
c , ou seja, P = 
a
c (produto = P)
Sabemos que a forma completa da equação de 2o grau é ax2 + bx + c = 0 e que, ao 
dividirmos todos os coeficientes por a ≠ 0, obteremos:
a
a x a
b x a
c
a
x a
b x a
c
0
0
2
2
+ + =
+ + =
No entanto, sabemos que S = – a
b e que P = a
c ,
Logo, podemos escrever:
x2 – Sx + P = 0, em que o coeficiente a sempre é igual a 1.
 IMPORTANTE! 
Esse procedimento prático de determinar as raízes de uma equação quadrática (ou equação 
do 2o grau) somente deve ser aplicado nos casos em que o coeficiente “a” for igual a 1. Nos 
demais casos, a aplicação desse método prático, apesar de possível, torna -se geralmente 
mais complexa que o uso da fórmula de Bhaskara.
Exemplo 22
a) Determine a solução da equação x2 + 6x + 8 = 0.
Inicialmente, responda quais são os dois números que, ao serem multiplicados, apre-
sentam resultado igual a 8 e, ainda, somados resultam em –6.
Pensando em valores inteiros, é possível montar um quadro que auxilia na determinação 
das raízes da equação:
 IMPORTANTE! 
Esse procedimento prático de determinar as raízes de uma equação quadrática (ou equação 
do 2o grau) somente deve ser aplicado nos casos em que o coeficiente “a” for igual a 1. Nos 
demais casos, a aplicação desse método prático, apesar de possível, torna -se geralmente 
mais complexa que o uso da fórmula de Bhaskara.
46 UNIUBE
Possíveis raízes
x’ –1 1 2 –2
x” –8 8 4 –4
Produto x’ · x” 8
Soma x’ + x” –9 9 6 –6
Como o produto entre as raízes deve ser –6, então as soluções da equação são: x’ = –2 
e x’’ = –4.
Determine a solução da equação –x2 + 7x + 18 = 0.
A princípio, você pode pensar que nesse exemplo não seria possível aplicar o método 
prático, uma vez que temos a = –1.
No entanto, por meio de uma operação simples, podemos reescrever a equação sem 
alterar o resultado de suas raízes e fazer com que o coeficiente “a” passe a apresentar 
o valor igual a 1.
Podemos multiplicar os dois membros da equação por (–1) . Dessa forma, teremos:
–x2 + 7x + 18 = 0 × (–1)
x2 – 7x – 18 = 0
Vamos, agora, tomar dois números que, ao serem multiplicados, resultem no valor do 
termo c, ou seja, –18. Obtemos, assim, pares de valores x’ e x”, que podem ser as 
raízes da equação.
Possíveis raízes
x’ –1 1 2 –2 3 –3
x” 18 –18 –9 9 –6 6
Produto x’ · x” –18
Soma x’ + x” 17 –17 –7 7 –3 3
De acordo com o procedimento prático, além de o produto entre as raízes resultar em 
–18, a soma dessas raízes deve ser igual ao negativo do termo b, ou seja, – (–7) = 7.
Observando o quadro anterior, verificamos que a soma das raízes é igual a –7 para o 
par de valores x’ = –2 e x” = 9, que são as soluções da equação.
UNIUBE 47
 DICAS 
Existem algumas equações do segundo grau em que, apesar de o coeficiente “a” ser igual a 
1, as raízes não são facilmente determinadas pelo procedimento prático.
Geralmente, nesses casos, as raízes são números fracionários. Uma dica é tentar realizar o 
procedimento prático adotando raízes inteiras, e caso não seja possível atender às condições 
do produto e da soma das raízes, deve -se abandonar o método prático e determinar as raízes 
pela fórmula de Bhaskara.
Agora, você vai exercitar a resolução das equações quadráticas resolvendo a atividade, 
a seguir.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 5
Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) –x2 + 9x – 20 = 0
b) 4x2 + 12x + 9 = 0
c) 7y2 + y = 0
d) y y
6 4
5
0
2
- =
e) (x + 3)2 = 4
f) x x x x x
6
4 1
9
2
9
4 3 12 2$ -
-
-
=
+ +^ ^h h
 1.6 Produtos notáveis
Na resolução de diversos problemas de matemática, é comum o aparecimento de ex-
pressões do tipo (x – 5)2, (4 + p)3 ou (2x + 3 )2. Devido à grande frequência com a qual 
esses termos aparecem no cálculo algébrico, eles são denominados produtos notáveis.
 DICAS 
Existem algumas equações do segundo grau em que, apesar de o coeficiente “a” ser igual a 
1, as raízes não são facilmente determinadas pelo procedimento prático.
Geralmente, nesses casos, as raízes são números fracionários. Uma dica é tentar realizar o 
procedimento prático adotando raízes inteiras, e caso não seja possível atender às condições 
do produto e da soma das raízes, deve -se abandonar o método prático e determinar as raízes 
pela fórmula de Bhaskara.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 5
Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) –x2x2x + 9x – 20 = 0x – 20 = 0x
b) 4x2x2x + 12x + 9 = 0x + 9 = 0x
c) 7y2y2y + y = 0y = 0y
d) y y
6 4
5y y5y y
0
2y y2y y
- =
e) (x + 3)2 = 4
f) x x
6 9 9
4 3x x4 3x x 12 24 324 3x x4 3x x2x x4 3x xx x$x x
- =
+ +x x+ +x x4 3+ +4 3x x4 3x x+ +x x4 3x x^ ^x x^ ^x x4 1^ ^4 1x x4 1x x^ ^x x4 1x x4 1-4 1^ ^4 1-4 1h hxh hx2h h2-h h-^ ^h h^ ^
48 UNIUBE
O desenvolvimento destas expressões pode ser realizado simplesmente levando -se 
em conta o conceito de potenciação e aplicando a propriedade distributiva. Observe 
como exemplo o desenvolvimento de (x – 5)2:
(x – 5)2 = (x – 5) · (x – 5) = x2 – 5x – 5x + 25
(x – 5)2 = x2 – 10x + 25
No entanto, como o resultado do produto notável apresenta sempre o mesmo formato, 
existem algumas regras práticas que podem ser adotadas para desenvolver esses 
produtos. Essas regras são apresentadas a seguir.
1. Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas 
vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 
Veja alguns exemplos desse produto.
a) (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9
b) (2a + 5)2 = (2a)2 + 2 · (2a) · 5 + 52 = 4a2 + 20a + 25
2. Quadrado da diferença de dois termos:
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos 
duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo 
termo. A seguir, temos alguns exemplos do desenvolvimento desse produto:
a) (x – 2)2 = x2 – 2 · x · 2 + 22 = x2 – 4x + 4
b) (3x – 2)2 = (3x)2 – 2 · (3x) · 2 + 22 = 9x2 – 12x + 4
3. Produto da soma e diferença de dois termos:
(a + b) · (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo 
menos o quadrado do segundo termo. A seguir, temos alguns exemplos desse produto.
a) (x – 2) · (x + 2) = x2 – 4
UNIUBE 49
b) (3x – 2) · (3x + 2) = (3x)2 – 22 = 9x2 – 4
c) y x y x y x7
5
3 7
5
3 49
25
93 3
2
6
$- + = -c cm m
 1.6.1 Outros produtos notáveis
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = (a – b) (a – b)2 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
 EXEMPLIFICANDO! 
Veja alguns exemplos:
a) (4 + p)3 = 43 + 3 · 42 · p + 3 · 4 · p2 + p3
 (4 + p)3 = 64 + 48p + 12p2 + p3
b) (3x – 2)3 = (3x)3 – 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 – 23
 (3x – 2)3 = 27x3 – 54x2 + 24x – 8
Como já citamos anteriormente, os produtos notáveis aparecem constantemente na 
resolução de problemas quesão de nosso interesse. Até agora, simplesmente apresen-
tamos como se desenvolvem esses produtos. Quando eles aparecem em equações, 
como (x + 3)2 – x = –2(x – 3) + 3, o desenvolvimento do produto notável é apenas uma 
parte da resolução do exercício:
x2 + 2 · x · 3 + 32 – x = –2x + 6 + 3
x2 + 6x + 9 – x = –2x + 6 + 3
x2 + 5x + 9 = –2x + 9
x2 + 5x + 9 + 2x – 9 = 0
x2 + 7x = 0
 EXEMPLIFICANDO! 
Veja alguns exemplos:
a) (4 + p)3 = 43 + 3 · 42 · p + 3 · 4 · p2 + p3
 (4 + p)3 = 64 + 48p + 12p2 + p3
b) (3x – 2)x – 2)x 3 = (3x)3 – 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 2x · 2x 2 – 23
 (3x – 2)x – 2)x 3 = 27x3x3x – 54x2x2x + 24x – 8x – 8x
50 UNIUBE
O restante do cálculo algébrico consiste na determinação da solução da equação, ou 
seja, os valores da variável x que tornam verdadeira a igualdade. Esse tipo de expressão 
já foi estudado por você nesse capítulo, no tópico sobre equações do segundo grau. 
Não vamos resolver essa equação, mas, caso se interesse, retome o item que trata 
desse assunto.
Agora, é o momento de você exercitar o que estudou sobre produtos notáveis. Faça a 
resolução da atividade seguinte para fixar os conceitos.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 6
1. Simplifique as expressões, desenvolvendo os produtos notáveis e agrupando os termos:
a) (3x + 7)2 + (x – 3)2
b) (5x – 4)2 – (2x + 5)2
c) 2x (x – 3)2 + 4x (3x – x2)
d) x (x – 1)2 – x2 (x + 1)
2. Se x2 + 16y2 = 67 e xy = 6, calcule o valor de (x + 4y)2.
3. Desenvolva os produtos a seguir:
a) (5 – 4a)2 b) (x + 2y3)2
c) x2
2
1 2
-c m d) , x y1 4
2
1 2
+c m
e) (–a + 2)2 f) (–3x – y)2
g) x
2
1 3
3
+c m h) x y
4
3
5
2 2
-c m
 1.7 Fatoração
O processo de fatoração consiste, de forma simples, em reescrever uma expressão 
como produto de dois ou mais termos.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 6
1. Simplifique as expressões, desenvolvendo os produtos notáveis e agrupando os termos:
a) (3x + 7)x + 7)x 2 + (x – 3)2
b) (5x – 4)x – 4)x 2 – (2x + 5)x + 5)x 2
c) 2x (x (x x – 3)x – 3)x 2 + 4x (3x (3x x – x – x x2x2x )
d) x (x (x x – 1)x – 1)x 2 – x2x2x (x + 1)x + 1)x
2. Se x2x2x + 16y2y2y = 67 e xy = 6, calcule o valor de (xy = 6, calcule o valor de (xy x + 4x + 4x y)2.
3. Desenvolva os produtos a seguir:
a) (5 – 4a)2 b) (x + 2x + 2x y3y3y )2
c) 1 2
c mxc mx2c m2
2c m2
1c m1
-c m- d) 1 2
c m,c m, x yc mx y1 4c m1 4,1 4,c m,1 4,
2c m2
x y
2
x yc mx y
2
x y1c m1x y1x yc mx y1x y+c m+x y+x yc mx y+x y
e) (–a + 2)2 f) (–3x – x – x y)2
g) 1
3
c mxc mx
2c m2
1c m1 3c m3+c m+ h) 3 2 2
c mx yc mx y
4c m4
3c m3
5c m5
x y
5
x yc mx y
5
x y2c m2x y2x yc mx y2x yx y-x yc mx y-x y
UNIUBE 51
No cálculo algébrico, em muitas situações, torna -se útil reescrever uma expressão na 
forma de produto para simplificar a expressão. Veja como é fácil fazer isso.
Quando os termos de um polinômio apresentarem um fator comum, coloque -o em 
evidência e obtenha a forma fatorada do polinômio.
Exemplo 23
a) Para fatorar a expressão mx – nx + px, é necessário identificar o fator comum aos ter-
mos que, neste caso, é “x”. Ao colocar a variável x em evidência teremos: x · (m – n – p)
 EXPLICANDO MELHOR 
Caso você queira confirmar a validação do processo, aplique a propriedade distributiva e 
observe se a expressão obtida é correspondente à expressão inicial.
b) Observe o polinômio ax + ay + bx + by. Nesse caso, agrupe os termos que se repetem 
dois a dois e coloque os fatores comuns em evidência.
a(x + y) + b(x + y)
O polinômio apresenta ainda um novo fator comum, que pode ser colocado em evidência 
completando a fatoração.
(x + y) · (a + b)
c) Expressões do tipo a2 – b2 podem ser obtidas, como mostramos anteriormente nos 
produtos notáveis, como o produto da soma pela diferença de dois termos, ou seja, 
a2 – b2 = (a + b) (a – b).
 SINTETIZANDO... 
A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados é dada pelo produto da soma pela 
diferença das bases destas potências, na ordem em que aparecem.
Exemplo 24
a) x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7)
b) m2 – 16n2 = (m + 4n)(m – 4n)
 EXPLICANDO MELHOR 
Caso você queira confirmar a validação do processo, aplique a propriedade distributiva e 
observe se a expressão obtida é correspondente à expressão inicial.
 SINTETIZANDO... 
A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados é dada pelo produto da soma pela 
diferença das bases destas potências, na ordem em que aparecem.
52 UNIUBE
c) x z x z x z
16
9
4
3
4
3
2
4 2 2$- = - +c cm m
De forma semelhante ao que foi dito anteriormente para expressões do tipo a2 – b2, o 
quadrado da soma (a + b)2 e o quadrado da diferença (a – b)2, que resultam respecti-
vamente nas expressões a2 + 2ab + b2 e a2 – 2ab + b2, podem ser considerados como 
as formas fatoradas dessas expressões.
As expressões a2 + 2ab + b2 e a2 – 2ab + b2 são denominadas trinômio quadrado per-
feito. Neste tipo de expressão, dois termos a2 e b2 são quadrados perfeitos (você pode 
verificar isso extraindo a raiz quadrada de ambos: a2 = a e b2 = b), e o terceiro 
termo é dado pelo dobro do produto entre a e b (2ab).
Assim, temos as seguintes formas fatoradas:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou (a + b)(a + b)
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ou (a – b)(a – b)
Exemplo 25
a) x2 + 6x + 9
Observe que x2 = x, 9 = 3 e ainda: 2 · x · 3 = 6x
A forma fatorada de x2 + 6x + 9 é (x + 3)2 ou (x + 3) (x + 3)
b) 4x2 – 20x + 25
Observe que 4x2 = 2x, 25 = 5 e ainda: 2 · 2x · 5 = 20x
A forma fatorada de 4x2 – 20x + 25 é: (2x – 5)2 ou (2x – 5)(2x – 5)
c) x2 + 10x + 16
Temos que x2 = x e 16 = 4
No entanto, 2 · 4 · x = 8x, que é diferente de 10x.
Assim, não é possível fatorar a expressão x2 + 10x + 16 em alguma das formas (a + b)2 
ou (a – b)2.
UNIUBE 53
 IMPORTANTE! 
Existe, ainda, outra forma de se fazer a fatoração de expressões desse tipo, ou seja, para 
expressões do tipo ax2 + bx + c, desde que existam x' e x", soluções da equação ax2 + bx + 
c = 0, a expressão poderá ser fatorada na forma a · (x – x')(x – x").
Veja, nas resoluções a seguir, que os exemplos anteriores também poderiam ser fato-
rados por meio desse novo método:
a) x2 + 6x + 9
Resolvendo a equação x2 + 6x + 9 = 0 obtemos x' = x" = –3.
A forma fatorada fica, então, (x + 3)(x + 3)
b) 4x2 – 20x + 25
Resolvendo a equação 4x2 – 20x + 25 = 0, obtemos x' = x" = 
2
5 .
A forma fatorada ficaria, então, 4 · x
2
5
-c m x
2
5
-c m.
Se você observar a expressão fatorada obtida pelo método anterior, verá que ela é 
diferente dessa obtida agora. No entanto, podemos dizer que as duas expressões 
são equivalentes, uma vez que 4 · x
2
5
-c m x
2
5
-c m = 2 · x
2
5
-c m · 2 · x
2
5
-c m o que 
resultaria em x2 2
2
5
$-c m · x2 2
2
5
$-c m que é a mesma expressão fatorada mostrada 
anteriormente: (2x – 5)(2x – 5) ou (2x – 5)2.
c) x2 + 10x + 16
Uma vantagem dessa nova técnica de fatoração que estamos apresentando agora é 
a possibilidade de fatorar expressões como a desse exemplo, que não é um trinômio 
quadrado perfeito. Se fizermos x2 + 10x + 16 = 0, obtemos as raízes x' = –2 e x" = –8.
Assim, podemos fatorar a expressão x2 + 10x + 16 na forma (x + 2)(x + 8).
 IMPORTANTE! 
Existe, ainda, outra forma de se fazer a fatoração de expressões desse tipo, ou seja, para 
expressões do tipo ax2ax2ax + bx + bx + bx c, desde que existam x' e x", soluções da equação ax2ax2ax + bx + bx + bx
c = 0, a expressão poderá ser fatorada na forma a · (x – x – x x')(x – x – x x").
54 UNIUBE
 1.8 Simplificação de expressões algébricas
A simplificação de expressões consiste em escrever o numerador e o denominador da 
fração algébrica na forma fatorada para, em seguida, realizar a simplificação, dividindo 
os dois termos da fração por um denominador comum.
 IMPORTANTE! 
É importante lembrar que o termo a ser simplificado deve ser diferente de zero.
 1.8.1 Divisão de monômios
As operações de divisão de monômios seguem basicamente as propriedades de po-
tenciação, principalmente relacionadas à soma/subtração de potências de mesma base 
e/ou divisão do numerador e do denominador da fração por um mesmo número inteiro.Observe os exemplos a seguir:
a) 
xy
x y
2
15
2
4 3
Realizando a simplificação: 
xy
x y
xy
x x y y x y
2
15
2
15
2
15
2
4 3
2
3 2 3$ $
= =
b) 
3612.
x
 
 
 
 . Desenvolve -se a potência e se faz o produto, com a devida simplificação: 
3612.
x
 
 
 
12 12 12x x
x x6 6
216 18
3 3 3 3
$ $ $= = =
-
c cm m
c) 
x
x
75
18
5
3
O numerador e o denominador podem ser simplificados por 3 e, ainda, é possível fa-
zermos a simplificação das potências de mesma base. Temos:
x
x
x x
x
x75
18
3 25
3 6
25
6
5
3
2 3
3
2
$
$
= =
 IMPORTANTE! 
É importante lembrar que o termo a ser simplificado deve ser diferente de zero.
UNIUBE 55
 1.8.2 Outras operações com expressões algébricas
Apresentaremos, a seguir, outras operações envolvendo soma/subtração, produto ou 
divisão de expressões algébricas.
 IMPORTANTE! 
O processo de simplificação de expressões necessita, fundamentalmente, das operações de 
determinação do MMC (mínimo múltiplo comum) e fatoração de expressões, estudadas por 
você anteriormente nesse capítulo. Sempre que julgar necessário, volte ao texto e relembre 
esses conceitos.
Exemplo 26
a) 
x y
x y
x y
x y2 2 2
2
+
+
=
+
+
=
^ h
b) 
x y
x xy y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y2
2 2
2 2 2
$ $
$
-
+ +
=
+ -
+
=
+ -
+ +
=
-
+
^ ^
^
^ ^
^ ^
h h
h
h h
h h
c) 2 2 6
x
x
x
x
x
x x
x x
3
2 18
3
2 9
3
2 3 3
3 ou
2 2$ $ $
$
+
-
=
+
-
=
+
- +
= - -
^ ^ ^
^
h h h
h
d) 
x
x x
x
x x
x
x x x x
8 4
5 6
4 2
2 3
4 2
2 3
4
3
4
3ou
2
$
$
$
$
-
- +
=
-
- -
=
- -
- -
=
-
- -
^
^ ^
^
^ ^
h
h h
h
h h
e) 
x x
x3
2
2
+
-
+
Inicialmente, determinamos o MMC entre x e (x – 2), que x·(x – 2). Após determinarmos 
o MMC, realizamos a operação de soma normalmente:
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
2
3 2 2
2
3 6 2
2
5 6
2
2
-
- + +
=
-
- + +
=
-
+ -
^
^ ^
^
^
h
h h
h
h
f) 
v u
w z
v u
w z5 5
2 2
2 2
'
-
+
-
-
 IMPORTANTE! 
O processo de simplificação de expressões necessita, fundamentalmente, das operações de 
determinação do MMC (mínimo múltiplo comum) e fatoração de expressões, estudadas por 
você anteriormente nesse capítulo. Sempre que julgar necessário, volte ao texto e relembre 
esses conceitos.
56 UNIUBE
Fatoramos o numerador e o denominador das duas frações e, para realizar a operação 
de divisão, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda 
fração:
v u v u
w z
v u
w z w z5
'
- +
+
-
- +
^ ^
^ ^ ^
h h
h h h
Em seguida, realizamos a simplificação dos termos que são iguais:
v u v u
w z
w z w z
v u
v u w u
5 5$
$
- +
+
- +
-
=
+ -^ ^
^
^ ^ ^ ^h h
h
h h h h
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 7
1. Nas expressões algébricas a seguir, faça as operações indicadas:
a) b c a a b c4 3 2 2
2
3
$+ - + - -^ ch m
b) xy x y xy x y
4
1 3 10
4
1
3
12 2 2 2
- + - - +c cm m
c) –2 ∙ (x – y + z2) + 4(z2 + y – x) + (1 – x – y)
d) x y zh zh x y x y
5
3 2 1 2
5
2 12 2 2
- + + + - +c c ^m m h
e) (4a2b)(–7ab2)
f) (xy) ÷ (4xy2)
g) 4x2y2 ÷ 10xy3
2. Faça a fatoração das expressões seguintes:
a) 3x – 9y + 12
b) 
3
2 x2y5 + 
3
4 x3y4 – 
3
2 x5y3
Atividade 7
1. Nas expressões algébricas a seguir, faça as operações indicadas:
a) b c a a b c4 3b c4 3b c 2 2
2
3
+ -b c+ -b c4 3+ -4 3b c4 3b c+ -b c4 3b c + -a a+ -a a2 2+ -2 2a a2 2a a+ -a a2 2a a+ -a a+ -a a2 2+ -2 2a a2 2a a+ -a a2 2a aa a2 2a a$a a2 2a a+ -a a2 2a a$a a2 2a a b c-b c^ c2 2c2 2c+ -c+ -a a+ -a aca a+ -a a2 2+ -2 2c2 2+ -2 2a a2 2a a+ -a a2 2a aca a2 2a a+ -a a2 2a aha aha a m
b) xy x y xy x y
4
1 3 1x y3 1x yx y0x y
4
1
3
12 2x y2 2x y3 12 23 1x y3 1x y2 2x y3 1x y02 20x y0x y2 2x y0x y 2 2x y2 2x y- +x y- +x y3 1- +3 1x y3 1x y- +x y3 1x y3 12 23 1- +3 12 23 1x y3 1x y2 2x y3 1x y- +x y3 1x y2 2x y3 1x y - -xy- -xy- - x y+x y2 2
+
2 2x y2 2x y+x y2 2x yc c- -c- -m m
c) –2 ∙ (x – x – x y + y + y z2) + 4(z2 + y – y – y x) + (1 – x – x – x y)
d) x y x y x y
5
3 2 1
5
2 12 2x y2 2x y zh2 2zh x y2 2x y2 12 22 1zh2 1zh2 2zh2 1zh 22 22 22 22 2
- +2 1- +2 1zh2 1zh- +zh2 1zh2 2
- +
2 22 12 22 1- +2 12 22 1zh2 1zh2 2zh2 1zh- +zh2 1zh2 2zh2 1zh + +zh+ +zh2+ +22 2
+ +
2 2zh2 2zh+ +zh2 2zh22 22+ +22 22 - +x y- +x y2- +
2x y2x y- +x y2x y- +c c2 1c2 12 2c2 22 12 22 1c2 12 22 1 ^- +^- +m2 2m2 22 12 22 1m2 12 22 1- +m- +2 1- +2 1m2 1- +2 12 12 22 1- +2 12 22 1m2 12 22 1- +2 12 22 1 m h
e) (4a2b)(–7ab2)
f) (xy) ÷ (4xy2xy2xy )
g) 4x2x2x y2y2y ÷ 10xy3xy3xy
2. Faça a fatoração das expressões seguintes:
a) 3x – 9x – 9x y + 12y + 12y
b) 
3
2 x2x2x y5y5y + 
3
4 x3x3x y4y4y – 
3
2 x5x5x y3y3y
UNIUBE 57
c) a4 – b4
d) –
9
1 + 16a2
e) x2 + 5x – 14
f) x2 – 5x + 6
g) 2x2 – 7x + 3
h) x2 + x + 
4
1
3. Nas expressões indicadas a seguir, faça a fatoração e, em seguida, simplifique a expressão:
a) 
x
x x
3
3 92
+
b) 
xy
xy x y16 242 2
-
c) 
x x
x x3 10
5 2
4 2
-
-
d) 
x
x
20 5
162
-
-
e) 
x x
x
6 9
5 15
2
- +
-
f) 
x
x x
5
10 252
+
+ +
g) 
x
x
1
2 2
2-
-
^ h
h) 
x x
x
6
5 180
2
2
+
-
c) a4 – b4
d) –
9
1 + 16a2
e) x2x2x + 5x – 14x – 14x
f) x2x2x – 5x + 6x + 6x
g) 2x2x2x – 7x + 3x + 3x
h) x2x2x + x + x + x
4
1
3. Nas expressões indicadas a seguir, faça a fatoração e, em seguida, simplifique a expressão:
a) 
x
x x
3
3 9x x3 9x x23 923 9x x3 9x x2x x3 9x x+3 9+3 9x x3 9x x+x x3 9x x
b) 
xy
xy x y16 242 2xy2 2xy x y2 2x y242 224-
c) 
x x
x x3 1x x3 1x x0x x0x x
5 2x x5 2x x
4 2x x4 2x x3 14 23 1x x3 1x x4 2x x3 1x x04 20x x0x x4 2x x0x x
x x-x x
x x3 1x x-x x3 1x x
d) 
x
x
20 5
162
-
-
58 UNIUBE
 1.9 Radiciação e racionalização
Vamos, agora, estudar algumas propriedades das raízes quadradas, cúbicas ou de 
ordem n qualquer (raiz n -ésima) e os processos de racionalização de expressões.
A resolução de exercícios que envolvam raízes está relacionada à correta aplicação 
das propriedades da radiciação. Essas propriedades estão relacionadas às operações 
de potenciação, que já foram estudadas no início desse capítulo.
 RELEMBRANDO 
Sugerimos que você relembre as propriedades da potenciação.
As principais propriedades da radiciação, para m e n inteiros, m > 1 e n > 1 , são as 
seguintes:
a an n
1
= ou generalizando a amn n
m
=
a b a bn n n$ $=
b
a
b
a b 0n n !=
a am n nm=^ h
a anm n m= $
Exemplo 27
a) 381 81 34 4
1
4 4
1
= = =^ ^h h
b) 84 - ⇒ não existe solução real, pois não há número real que, elevado a um ex-
poente par, resulte em um valor negativo
c) 2 2 464 23 63 3
6
2
= = = =
d) 
3
3 13 3 38 ( 2) ( 2) 2 2− = − = − = − = −
 RELEMBRANDO 
Sugerimos que você relembre as propriedades da potenciação.
UNIUBE 59
e) 2 4x y x y x y x y16 24 6 4 4 6 2
4
2
4
2
6
2 3$ $ $ $= = =
f) b b b12 2 3 2 38 2 8 4$ $= =
 IMPORTANTE! 
Os processos de racionalização permitem que raízes sejam eliminadas do denominador de 
algumas expressões fracionárias. É importante você aprender esses processos, pois serão 
utilizados em outros momentos, em outros capítulos.
Exemplo 28
a) 
2
1 ; racionalizando temos: 
2
1
2
2
2
2
2
2
2
$ = =
Observe que ao fazer a racionalização da expressão, estamos multiplicando essa 
expressão por uma fração que, numericamente, é igual a 1 pois 
2
2 1= . Assim, ao 
multiplicarmos a fração por 1, estamos encontrando outra expressão equivalente à ori-
ginal, uma vez que o produto por 1 não altera o valor numérico de nenhuma expressão 
matemática.
b) 
x
c
3-
; racionalizando, temos:
x
c
x
c
x
x
x
c x
x
c x
3 3 3
3
3
3
3
3
2
$
-
=
- -
-
=
-
-
=
-
-
^ h
c) 
x b
a
+
; temos:
x b
a
x b
a
x b
x b
x b
a x ab
x b
a x b
x b
a x abou
2 2 2 2
$
$
+
=
+ -
-
=
-
-
=
-
-
-
-
^
^ ^
h
h h
d) x
5 3 2
2
-
, racionalizando temos:
x x x
x x x
5 3 2
2
5 3 2
2
5 3 2
5 3 2
25 9 2
2 5 3 2
7
2 5 3 2
7
10 6 2ou
$
$
$
$
-
=
- +
+
=
-
+
=
=
+ -
^
^
h
h
 IMPORTANTE! 
Os processos de racionalização permitem que raízes sejam eliminadas do denominador de 
algumas expressões fracionárias. É importante você aprender esses processos, pois serão 
utilizados em outrosmomentos, em outros capítulos.
60 UNIUBE
Nos exemplos dos itens “c”, “d”, na operação de racionalização, toma -se a expressão 
que está no denominador da função e troca -se o sinal de soma/subtração que existe 
entre os dois termos. Essa expressão com sinal trocado é denominada conjugado do 
denominador.
A operação de multiplicar o denominador pelo seu conjugado possibilita que, no deno-
minador, sempre apareça um produto da soma pela diferença de dois termos, na forma 
(a + b) (a – b), que resulta em a2 – b2 eliminando a raiz do denominador. O exemplo do 
item “e”, abaixo, apresenta mais uma racionalização desse tipo.
e) 
y2 5
3
+
, racionalizando, temos:
y y y
y
y
y
y
y
2 5
3
2 5
3
2 5
2 5
4 5
3 2 5
4 5
2 3 15
ou$
+
=
+ -
-
=
-
-
-
-^ h
f) 
x b
a
3
-
; racionalizando, temos:
x b
a
x b
a
x b
x b
x b
a x b
x b
a x b
3 3 23
23
33
23 23
$
$ $
-
=
- -
-
=
-
-
=
-
-
^
^
^
^ ^
h
h
h
h h
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Nesse último exemplo de racionalização, diferentemente do item “a”, a expressão foi multipli-
cada por uma raiz de mesmo índice, porém o termo no interior da raiz foi elevado ao quadrado.
Essa operação permite que a expressão no interior do radical apareça elevada a um expoente 
igual ao índice do radical, permitindo que a raiz seja eliminada. Veja outro exemplo semelhante:
g) 
3 7x x x
x
x
x
x
x
3 7
2
3 7
2
3 7
3 7
3 7
2 3 7 2 3 7
25 25 35
35
35
35 35
$
$ $
+
=
+ +
+
=
+
+
=
+
+
^ ^ ^
^
^
^ ^
h h h
h
h
h h
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 8
1. Determine o valor das seguintes raízes:
a) 2564 d) 
4
3 6
3 -c m
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Nesse último exemplo de racionalização, diferentemente do item “a”, a expressão foi multipli-
cada por uma raiz de mesmo índice, porém o termo no interior da raiz foi elevado ao quadrado.
Essa operação permite que a expressão no interior do radical apareça elevada a um expoente 
igual ao índice do radical, permitindo que a raiz seja eliminada. Veja outro exemplo semelhante:
g) 
3 73 7x3 7
2 2
3 7
3 7x3 7x
3 7x3 7x
2 3
25 2 35
35
35
32 352 3 3
$
2 3$ $2 32 352 3$ $2 352 3
=
+ +3 7+ +3 7x3 7x+ +x3 7x+ +2+ +2 5+ +5
+3 7+3 7
=
+3 7+3 7
=
+3 7+3 7+ ++ +
2 32 32 3$ $2 3
^ ^x x^ ^x x3 7^ ^3 7x x3 7x x^ ^x x3 7x x+^ ^+3 7+3 7^ ^3 7+3 7x x3 7x x+x x3 7x x^ ^x x3 7x x+x x3 7x x ^+ +^+ +
^
^
^ ^x^ ^x2 3^ ^2 3 7 2^ ^7 2$ $^ ^$ $7 2$ $7 2^ ^7 2$ $7 2$ $^ ^$ $x$ $x^ ^x$ $x2 3$ $2 3^ ^2 3$ $2 3 +^ ^+$ $+$ $^ ^$ $+$ $
h hx xh hx x3 7h h3 7x x3 7x xh hx x3 7x x + +h h+ +3 7+ +3 7h h3 7+ +3 7^ ^h h^ ^x x^ ^x xh hx x^ ^x x2^ ^2h h2^ ^2x x2x x^ ^x x2x xh hx x2x x^ ^x x2x x5^ ^5h h5^ ^5x x5x x^ ^x x5x xh hx x5x x^ ^x x5x x^ ^h h^ ^x x^ ^x xh hx x^ ^x x^ ^h h^ ^^ ^h h^ ^x x^ ^x xh hx x^ ^x x^ ^h h^ ^^ ^h h^ ^ h
h
h
h h3 7h h3 7x3 7xh hx3 7x +h h+3 7+3 7h h3 7+3 7^ ^h h^ ^7 2^ ^7 2h h7 2^ ^7 23^ ^3h h3^ ^37 237 2^ ^7 237 2h h7 237 2^ ^7 237 2 5^ ^5h h5^ ^5$ $^ ^$ $h h$ $^ ^$ $7 2$ $7 2^ ^7 2$ $7 2h h7 2$ $7 2^ ^7 2$ $7 2^ ^h h^ ^7 2^ ^7 2h h7 2^ ^7 27 2$ $7 2^ ^7 2$ $7 2h h7 2$ $7 2^ ^7 2$ $7 2^ ^h h^ ^^ ^h h^ ^7 2^ ^7 2h h7 2^ ^7 27 2$ $7 2^ ^7 2$ $7 2h h7 2$ $7 2^ ^7 2$ $7 2^ ^h h^ ^^ ^h h^ ^7 2^ ^7 2h h7 2^ ^7 2^ ^h h^ ^^ ^h h^ ^^ ^h h^ ^
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 8
1. Determine o valor das seguintes raízes:
a) 2564 d) 3 6
3 c m4c m4
3c m3-c m-
UNIUBE 61
b) 4 2- e) 
1000
27
3
-c m
c) x y48 6 4 f) x
25
4 2
c m
2. Racionalize as expressões a seguir:
a) 
5
3 d) 
x
x
7+
b) 
8
2 e) 
x 2
3
3
+
c) 
y
y
2
1
-
+ f) 
b
x b
8 2-
-
 1.10 Outras equações polinomiais e divisão de polinômios
 1.10.1 Equações polinomiais com grau maior ou igual a 3
Relembramos como se resolvem equações polinomiais de primeiro e de segundo grau. 
No entanto, também são comuns polinômios de grau superior ou igual a três. Não vamos 
aqui abordar todas as técnicas de determinação das raízes de um polinômio, mas sim 
apresentar exemplos de equações polinomiais que recaem em equações do primeiro 
e segundo grau. Também falaremos um pouco sobre a divisão de polinômios, bastante 
útil na resolução de exercícios envolvendo a fatoração e simplificação de expressões 
algébricas.
Exemplo 29
a) 3x4 – 12x3 = 0
Podemos realizar a fatoração da expressão reescrevendo com um produto de dois ter-
mos, obtendo assim: 3x3(x – 4) = 0. Como a igualdade é nula, então algum dos termos 
obrigatoriamente deve ser nulo. Temos, então:
b) 4 2- e) 27
3 c m1000c m1000
27c m27-c m-
c) x y48 6 4x y6 4x y f) 4 2
c mxc mx
25c m25
4c m4 2
c m
2
2. Racionalize as expressões a seguir:
a) 
5
3 d) 
x
x
7+
b) 
8
2 e) 
x 2
3
3
+
c) 
y
y
2
1
-
+ f) 
b
x b
8 28 2-8 2
x b-x b
62 UNIUBE
3x3 = 0
x3 = 0
x = 03
x = 0
ou
x – 4 = 0
x = 4
S = { 0, 4 }
O conjunto -solução da equação é S = { 0, 4 }
b) x4 – 7x3 = 18x2
Para resolver a equação, devemos reescrevê -la com todos os termos no primeiro 
membro da igualdade, e, em seguida, fazer a fatoração da expressão.
x4 – 7x3 – 18x2 = 0
x2 (x2 – 7x – 18) = 0
Igualamos, então, cada um dos termos do produto a zero, fazendo x2 = 0 ou x2 – 7x – 
18 = 0 . Temos, então:
x2 = 0 ou
x2 – 7x –18 = 0
x' = –2 ou x" = 9
O conjunto solução da equação é S = { –2, 0, 9 }
 EXPLICANDO MELHOR 
A resolução desse tipo de equação do segundo grau já foi tratada anteriormente nesse capí-
tulo e pode ser realizada pela fórmula de Bhaskara. Não vamos detalhar aqui, novamente, a 
resolução da equação, mas, caso queira, retome o item que trata desse assunto.
c) 8x2 = x5
Movendo as variáveis para um mesmo membro e colocando fatores comuns em evi-
dência, temos:
0 = x5 – 8x2 → x2 · (x3 – 8) = 0
 EXPLICANDO MELHOR 
A resolução desse tipo de equação do segundo grau já foi tratada anteriormente nesse capí-
tulo e pode ser realizada pela fórmula de Bhaskara. Não vamos detalhar aqui, novamente, a 
resolução da equação, mas, caso queira, retome o item que trata desse assunto.
UNIUBE 63
Resolvendo as duas igualdades nulas possíveis para a equação, temos:
x2 = 0 ou
x3 – 8 = 0
x3 = 8
x = 83
x = 2
O conjunto solução da equação é S = { 0, 2 }
d) 2x6 + 8x4 = –6x5
Novamente, colocamos todos os termos em um dos membros da igualdade, fazendo com 
que o segundo membro fique nulo. Colocamos fatores comuns em evidência e obtemos:
2x6 + 6x5 + 8x4 = 0 → 2x4 ∙ (x2 + 3x + 4) = 0
Resolvemos, então, as duas igualdades que se formam:
2x4 = 0
x4 = 0
x = ± 04
x = 0
ou
x2 + 3x + 4 = 0
D = 32 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 9 – 16
D = –7
não há raízes reais
Uma das equações que surgem não apresenta solução real, devido ao sinal negativo 
do discriminante D. Assim, o conjunto solução é S = { 0 }.
Vamos agora falar um pouco sobre a divisão de polinômios. Na sequência de seus estu-
dos, você verá que essa técnica pode ser aplicada como um processo de fatoração de 
uma expressão polinomial. Também vamos mostrar, mais adiante nesse texto, alguns 
procedimentos que são úteis para determinar as raízes de um polinômio.
1.10.2 Divisão de polinômios
Considere o polinômio p(x) = 3x4 + 4x3 + 14x2 + 20x – 5 e faça a divisão deste polinômio 
por g(x) = x2 + 5.
64 UNIUBE
Um método bastante utilizado para fazer esta divisão é comumente denominado “método 
das chaves”. A forma de realizar a divisão é semelhante àquela utilizada para dividir 
dois números. Observe com atenção a resolução desse exemplo:
Primeiro, deve -se tomar o termo de maior expoente do dividendo (p(x)) e dividi -lo pelo 
termo de maior expoente do divisor (g(x)). Temos, assim: 
x
x x3 3
2
4
2
= .
 IMPORTANTE! 
O resultado da divisão anterior foi obtido utilizando -se da propriedade da divisão de potências 
de mesma base, em que se conserva a base e se subtraem os expoentes.
Colocamos o resultado encontrado no quociente. Assim, temos:
3x4 + 4x3 + 14x2 + 20x – 5 x2 + 5
3x2
Multiplica -se, então, o divisor pelo quociente, ou seja, (x2 + 5) ∙ 3x2 = 3x4 + 15x2 e o 
resultado dessa multiplicação deve ser subtraído do dividendo. Tem -se:
3x4 + 4x3 + 14x2 + 20x – 5 x2 + 5
– 3x4 + 4x3 – 15x2 + 20x – 5 3x2
4x3 – x2 + 20x – 5
Novamente,tomamos os termos de maior expoente do novo dividendo e do divisor e 
realizamos uma divisão entre esses dois termos. Agora, temos: 
x
x x4 4
2
3
= .
Esse resultado é colocado no quociente e, em seguida, se repete o processo de 
multiplicá -lo pelo divisor 4x ∙ (x2 + 5) = 4x3 + 20x e subtrair do dividendo:
3x4 + 4x3 + 14x2 + 20x – 5 x2 + 5
– 3x4 + 4x3 – 15x2 + 20x – 5 3x2 + 4x
4x3 – x2 + 20x – 5
– 4x3 – x2 – 20x – 5
– x2 + 20x – 5
Repetimos o processo tomando os termos com maior expoente no dividendo e no divi-
sor. Encontramos 
x
x 1
2
2
-
=- , acrescenta -se esse resultado ao quociente e se repete 
 IMPORTANTE! 
O resultado da divisão anterior foi obtido utilizando -se da propriedade da divisão de potências 
de mesma base, em que se conserva a base e se subtraem os expoentes.
UNIUBE 65
o processo de multiplicar esse resultado pelo divisor, para, em seguida, subtrair do 
dividendo. Temos, então:
3x4 + 4x3 + 14x2 + 20x – 5 x2 + 5
– 3x4 + 4x3 – 15x2 + 20x – 5 3x2 + 4x – 1
4x3 – x2 + 20x – 5
– 4x3 – x2 – 20x – 5
– x2 + 20x – 5
+ x2 + 20x + 5
0
Verificamos, então, que a divisão de p(x) por g(x) resulta no polinômio f(x) = 3x2 + 4x – 1, 
ou seja, assim como o número 40 pode ser escrito como um produto na forma 40 = 
8 ∙ 5, é possível escrever p(x) = 3x4 + 4x3 + 14x2 + 20x – 5 como um produto de g(x) por 
f(x) na forma p(x) = (x2 + 5)∙(3x2 + 4x – 1).
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Nesse exemplo, o resto da divisão dos polinômios é nulo. No entanto, há casos onde o resto 
da divisão é um número real ou ainda um termo dependente de x. Vamos mostrar a seguir 
exemplos onde o divisor é um polinômio do tipo x ± k com k  R.
É possível demonstrar que nesses casos, devido ao divisor ser um polinômio de grau 
1, o resto da divisão é nulo ou é um número real. Não vamos nos ater a essas de-
monstrações matemáticas, pois não são objetivos de nossos estudos, mas, a seguir, 
apresentamos alguns exemplos desse tipo de divisão:
a) Faça a divisão de g(x) = 3x4 – 2x2 – 40 por f(x) = x – 2
No polinômio do dividendo, há alguns coeficientes nulos, uma vez que não aparecem 
os termos onde a variável tem expoentes 3 e 1. Um procedimento que costuma ajudar 
você a visualizar as operações realizadas é completar o polinômio com esses termos 
de coeficientes nulos:
3x4 + 0x3 – 2x2 + 0x – 40 x – 2
O processo de divisão que será realizado segue os procedimentos anteriores. Fazemos 
a divisão entre os termos de maior expoente x
x x3 3
4
3
= , acrescentamos ao quociente, 
multiplicamos pelo divisor e subtraímos do dividendo.
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Nesse exemplo, o resto da divisão dos polinômios é nulo. No entanto, há casos onde o resto 
da divisão é um número real ou ainda um termo dependente de x. Vamos mostrar a seguir 
exemplos onde o divisor é um polinômio do tipo x ± x ± x k com k k com k k  R.
66 UNIUBE
3x4 + 0x3 – 2x2 + 0x – 40 x – 2
– 3x4 + 6x3 – 2x2 + 0x – 40 3x3
6x3 – 2x2 + 0x – 40
 DICAS 
Observe que o fato de termos acrescentado os termos de coeficiente nulo contribui para que 
não se faça confusão na subtração dos termos, sempre realizando essa operação com os 
termos de mesmo expoente.
O processo, então, continua como foi descrito no exemplo anterior.
3x4 + 0x3 – 2x2 + 0x – 40 x – 2
– 3x4 + 6x3 – 2x2 + 0x – 40 3x3 + 6x2 + 10x + 20
6x3 – 2x2 + 0x – 40
– 6x3 + 12x2 + 0x – 40
10x2 + 0x – 40
– 10x2 + 20x – 40
20x – 40
– 20x + 40
0
Mais uma vez, podemos utilizar o raciocínio da divisão de dois números, dividendo = 
divisor ∙ quociente + resto, para escrever:
3x4 – 2x2 – 40 = (x – 2) ∙ (3x3 + 6x2 + 10x + 20) + 0
dividendo divisor quociente resto
b) Faça a divisão de g(x) = 2x3 + 6x – 10 por f(x) = x + 5
2x3 + 0x2 + 6x – 10 x + 5
– 2x3 – 10x2 + 6x – 10 2x2 – 10x + 56
– 10x2 + 6x – 10
+ 10x2 + 50x – 10
56x – 10
– 56x – 280
– 290
 DICAS 
Observe que o fato de termos acrescentado os termos de coeficiente nulo contribui para que 
não se faça confusão na subtração dos termos, sempre realizando essa operação com os 
termos de mesmo expoente.
UNIUBE 67
De forma semelhante ao que fizemos no exemplo anterior, podemos escrever:
g(x) = 2x3 + 6x – 10 = (x + 5) ∙ (2x2 – 10x + 56) – 290
Para os casos em que o divisor é do tipo d(x) = x ± k com k  R, há também outra forma 
bastante ágil de se fazer a divisão, denominada método de Briot Ruffini.
Nesse processo, primeiro igualamos o polinômio divisor a zero e isolamos o “x” nessa 
igualdade. Vamos, aqui, chamar de “A” esse resultado encontrado para x. Em seguida, 
montamos uma espécie de “quadro” onde se colocam os coeficientes do dividendo em 
ordem decrescente e o termo “A” encontrado.
Coeficientes do polinômio
A
Vamos resolver novamente os dois exemplos anteriores utilizando este método e ex-
plicando o processo:
a) Dividindo g(x) = 3x4 – 2x2 – 40 por f(x) = x – 2
Igualando o polinômio divisor a zero, temos: x – 2 = 0. Resolvendo essa equação, 
obtemos x = 2, ou seja, A = 2.
Com os coeficientes 3, 0, –2, 0 e –40, respectivamente referentes aos coeficientes dos 
termos x4, x3, x2, x e ao termo independente –40 e, ainda, com o valor de “A” obtido 
anteriormente, montamos o quadro a seguir:
3 0 –2 0 –40
2
Depois de montar o quadro, repete -se o coeficiente do termo de maior expoente em-
baixo dele mesmo:
3 0 –2 0 –40
2 3
Em seguida você vai realizar operações de produto e soma da seguinte forma: multi-
plicamos o número 3 que foi escrito na segunda linha pelo número “A”, e somamos o 
68 UNIUBE
resultado obtido nesse produto ao número 0, que é o próximo coeficiente da primeira 
linha. O resultado obtido é adicionado à segunda linha, ao lado do primeiro coeficiente 
que foi repetido.
3 0 –2 0 –40
2 3 6
 
Você compreendeu a operação realizada?
Vamos novamente explicar utilizando uma expressão. O número 6, adicionado à se-
gunda linha, foi obtido como resultado da operação 2 ∙ 3 + 0 = 6.
Agora repetimos o procedimento descrito anteriormente para o número 6 que foi adi-
cionado à segunda linha. Fazemos: 2 ∙ 6 + (–2) = 10.
3 0 –2 0 –40
2 3 6 10
Repetimos então o processo até preencher totalmente a segunda linha.
3 0 –2 0 –40
2 3 6 10 20 0
–40 + 20 · 2 = 0
0 + 10 · 2 = 20
–2 + 6 · 2 = 10
0 + 3 · 2 = 6
Os números que aparecem na segunda linha do quadro são os coeficientes do poli-
nômio resultante da divisão, sendo que o último número dessa segunda linha indica o 
resto da divisão.
Você compreendeu a operação realizada?
UNIUBE 69
 IMPORTANTE! 
É interessante ressaltarmos que a divisão de um polinômio p(x) de grau N, por outro polinômio 
q(x) de grau M, resulta num polinômio de grau N – M. Dessa forma, os números que aparecem 
na segunda linha do quadro indicam o polinômio 3x3 + 6x2 + 10x + 20, de grau 3, resultado da 
divisão de um polinômio de grau N = 4, por outro de grau M = 1.
b) Dividindo g(x) = 2x3 + 6x – 10 por f(x) = x + 5
Encontramos, primeiro, o valor do número “A” fazendo x + 5 = 0 e obtendo x = –5. Te-
mos, então, A = –5. Juntamente com os coeficientes do dividendo, montamos o quadro:
2 0 6 –10
–5 2
Agora, é só você realizar os procedimentos descritos no exemplo anterior e preencher 
a segunda linha do quadro.
2 0 6 –10
–5 2 –10 56 –290
–10 + 56 · (–5) = –290
6 + (–10) · (–5) = 20
0 + 2 · (–5) = 10
A segunda linha do quadro indica o polinômio 2x2 – 10 + 56, que é o quociente da 
 divisão e, ainda, o resto – 290.
A divisão de polinômios será utilizada para a resolução de exercícios que envolvam 
limites indeterminados. Esse assunto será estudado por você nos próximos capítulos.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 9
1. Resolva as equações a seguir:
a) x5 – 12x3 = 0 b) x3 – 7x2 = –12x
 IMPORTANTE! 
É interessante ressaltarmos que a divisão de um polinômio p(x) de grau N, por outro polinômio 
q(x) de grau M, resulta num polinômio de grau N – M. Dessa forma, os números que aparecem 
na segunda linha do quadro indicam o polinômio 3x3x3x + 6x2x2x + 10x + 20, de grau 3, resultado da x + 20, de grau 3, resultado da x
divisão de um polinômio de grau N = 4, por outrode grau M = 1.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 9
1. Resolva as equações a seguir:
a) x5x5x – 12x3x3x = 0 b) x3x3x – 7x2x2x = –12x
70 UNIUBE
2. Em cada um dos itens a seguir, faça a divisão do polinômio f(x) por h(x):
a) f(x) = x5 – 12x2 + 8x e h(x) = x – 2
b) f(x) = 7x3 – 13x2 + 5 e h(x) = x + 3
 1.11 Introdução aos números complexos
Até agora, em nossos estudos das equações e conjuntos, utilizamos o conjunto dos 
números reais nos quais se encontravam as soluções de quase todas as equações 
desenvolvidas. Vamos admitir, agora, a existência da equação x2 + 1 = 0.
Sabemos que essa equação não tem solução no campo dos números reais, pois não 
existe nesse campo raiz quadrada de número negativo (x = –1 ) . Para que essas 
equações apresentassem solução, houve necessidade de ampliar o universo dos nú-
meros. Criou -se, então, um número cujo quadrado é igual a –1.
Vamos conhecê -lo!
Esse número é representado pela letra i, sendo denominado unidade imaginária. É 
definido por: i 2 = –1.
Ao grupo de números que possuem uma parte imaginária, dá -se o nome de conjunto 
dos números complexos, simbolizado por . Veja os exemplos seguintes:
Resolva as equações a seguir, considerando o conjunto :
a) 2 x2 + 18 = 0
Isolando a variável x, temos:
2x2 = –18
x2 = –9
x = ± –9 = ± 9 · –1
x = ±3i
O conjunto solução é S = { 3i, –3i }
2. Em cada um dos itens a seguir, faça a divisão do polinômio f(f(f x) por h(x):
a) f(f(f x) = x5x5x – 12x2x2x + 8x e x e x h(x) = x – 2x – 2x
b) f(f(f x) = 7x3x3x – 13x2x2x + 5 e h(x) = x + 3x + 3x
UNIUBE 71
b) x2 – 2x + 5 = 0
A equação deverá ser resolvida aplicando -se a fórmula de Bhaskara:
D = (–2)2 – 4 · 1 · 5
D = –16 2
2
' 1 2 " 1 2
x
a
b
x i i
x i x i
2 2 1
2 16
2
2 4 1 2
ou
!
$
!
! $ !
D
=
-
=
- - -
= =
= + = -
^
^
h
h
O conjunto solução da equação é S = { 1 + 2i, 1 – 2i }.
Fizemos apenas uma pequena introdução ao universo dos números complexos, so-
mente para ilustrar a existência de soluções para algumas equações que, até agora, 
se apresentavam sem solução no universo dos números reais.
 1.12 Determinando as raízes de um polinômio
Vamos voltar ao estudo dos polinômios, agora falando sobre como determinar as raízes 
de um polinômio p(x), que são os valores de x = c, tais que p(c) = 0. A divisão de polinô-
mios será utilizada como auxiliar na determinação das suas raízes.
Antes, é preciso mencionar que todo polinômio com raiz x = c, ao ser dividido por uma 
expressão do tipo x – c, sempre resulta em resto nulo. Essa propriedade pode ser 
demonstrada, mas por não ser nosso objetivo nesse momento, apenas citamos sua 
existência.
As raízes de um polinômio podem ser números racionais, irracionais ou até mesmo 
complexos. Vamos nos ater na determinação das raízes racionais de um polinômio, ou 
seja, as raízes que têm a forma de frações 
q
p , cuja divisão pode resultar em valores 
inteiros ou decimais.
Uma boa estimativa das raízes de um polinômio pode ser feita a partir dos valores 
do termo independente e do coeficiente principal do polinômio (coeficiente do termo de 
maior expoente). O valor de uma das raízes pode ser estimado por x = 
q
p , em que p 
é um fator primo do termo independente e q é um fator primo do coeficiente principal 
do polinômio.
Veja o exemplo das raízes do polinômio g(x) = 3x4 – 2x2 – 40:
72 UNIUBE
Fazendo uma estimativa das raízes pelos fatores primos de –40 e de 3:
3
: : 1, 2, , , ,q
p 40
1 3
1 2 5 5
3
1
3
2
3
5
fatores de
fatores de
! !
! ! !
! ! ! ! ! !=
-
Com os valores estimados, podemos fazer uma verificação das raízes com os valores 
inteiros. Tem -se:
g(1) = g(–1) = –39 g(2) = g(–2) = 0 g(5) = g(–5) = 1785
Verificamos, então, que 2 e – 2 são raízes do polinômio g(x), ou seja, esse polinômio, ao 
ser dividido por x – 2 ou x + 2 , resulta em resto zero. Dessa forma podemos tomar o 
polinômio original e realizar essas duas divisões em sequência, obtendo um polinômio 
do segundo grau, cujas raízes poderão ser determinadas utilizando -se a fórmula de 
Bhaskara, já vista anteriormente na resolução de equações do segundo grau.
A divisão de g(x) = 3x4 – 2x2 – 40 por x – 2 já foi apresentada em exemplos anteriores, 
resultando em resto nulo e no quociente h(x) = 3x3 + 6x2 + 10x + 20.
Fazemos, então, a divisão desse polinômio h(x) por x + 2, utilizando o método de Briot 
Ruffini:
3 6 10 20
–2 3 0 10 0
O resultado da divisão é o polinômio 3x2 + 10 e o resto, como já havíamos citado an-
teriormente, é nulo.
Logo, podemos reescrever g(x) como g(x) = (x – 2) · (x + 2) · (3x2 + 10).
Ao tentarmos determinar as raízes da parcela 3x2 + 10,verificamos que esse termo não 
tem raízes reais, uma vez que na fórmula de Bhaskara o discriminante D resulta num 
valor negativo.
Assim, as soluções reais da equação 3x4 – 2x2 – 40 = 0 são S = { –2, 2 }.
Vale ressaltar novamente que um polinômio pode apresentar raízes irracionais, que 
não poderiam ser determinadas por estas estimativas. Ainda assim, este método, de 
determinação das raízes reais de um polinômio, é bastante útil em muitos casos que 
são de nosso interesse.
UNIUBE 73
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 10
1. Determine as soluções complexas das seguintes equações:
a) – 3x2 – 12 = 0
b) x2 + 2 5 x + 9 = 0
2. Determine as raízes reais dos polinômios a seguir:
a) f(x) = x3 – 9x2 + 26x – 24
b) f(x) = 2x3 + 2x2 + 10x + 10
 
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 10
1. Determine as soluções complexas das seguintes equações:
a) – 3x2x2x – 12 = 0
b) x2x2x + 2 5 x + 9 = 0x + 9 = 0x
2. Determine as raízes reais dos polinômios a seguir:
a) f(f(f x) = x3x3x – 9x2x2x + 26x – 24x – 24x
b) f(f(f x) = 2x3x3x + 2x2x2x + 10x + 10x + 10x
Resumo
Neste capítulo, abordamos vários assuntos fundamentais da álgebra elementar e de 
conjuntos. Dentre eles, destacamos:
• os conjuntos numéricos, suas representações e propriedades;
• as frações e as operações de simplicação;
• as operações de potenciação, radiciação e racionalização;
• os produtos notáveis;
• as equações numéricas e algébricas;
• a divisão de polinômios.
Referências
ANTON, H. Cálculo. 8. ed. Bookman, 2006. v. 1.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicação. Porto Alegre: Bookman, 2001.
74 UNIUBE
BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
DEMANA, Franklin D. et al. Pré -cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2009.
MACHADO, Nilson. A matemática não é consenso. Folha de São Paulo. São Paulo, 29 jun. 
2007.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: 
Atlas, 2002.
THOMAS, George B. J. et al. Cálculo. 10. ed. v. 1. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 
2002.
WIKIPEDIA. Número de Euler. Disponível em: . Acesso em: 27 jan. 2010.
UNIUBE 75
 Funções matemáticas 
elementares: um estudo 
sobre as principais 
funções de uma variável
 Capítulo
2
Adriana Rodrigues /
Anderson Osvaldo Ribeiro /
Emerson Reis Dias
Introdução
Dando continuidade aos seus estudos, neste momento, iniciaremos uma 
abordagem sobre as funções matemáticas. Para tanto, enfocaremos suas 
expressões gerais, representação por meio de gráficos cartesianos e, também, 
algumas aplicações das funções em problemas práticos.
Você perceberá que constantemente será necessário, na resolução dos pro-
blemas propostos, que se apliquem os conceitos sobre resolução de equações 
polinomiais, expressões numéricas, fatoração, produtos notáveis e todos os 
demais conceitos estudados no capítulo anterior. Assim, para a adequada com-
preensão do estudo das funções, revise os métodos de solução de equações 
e das expressões numéricas sempre que necessário.
De forma geral, as funções são utilizadas para modelar situações de fenômenos 
da vida real e permitir sua compreensão por meio de conceitos matemáticos.
Imagine as seguintes situações:
1. Um vendedor tem um salário fixo de R$ 400,00 mais uma comissão de 2% 
sobre as vendas. Como será a composição de seu ganho mensal?Provavelmente, você deve ter visualizado que, para obtermos o ganho mensal 
do vendedor, precisamos considerar que seu cálculo será em função do valor 
total das vendas no mês.
Logo...
O ganho mensal depende do valor total das vendas no mês.
2. Considerando um campeonato de futebol, como podemos explicar a com-
posição dos pontos obtidos por um time?
Novamente, o total de pontos obtidos por um time é dado em função do nú-
mero de vitórias e empates que esse time teve durante o campeonato.
Logo...
O total de pontos obtidos depende do número de vitórias e empates.
Essas são pequenas ilustrações do uso cotidiano de relação entre duas ou 
mais grandezas quaisquer e que podem ser descritas por meio de uma função 
matemática.
 
A palavra função nos dois exemplos citados nos remete a quê?
Observe que ela nos indica uma relação entre duas grandezas matemáticas 
distintas, ou seja, entre dois valores numéricos. Na função matemática, um 
dos valores depende diretamente do outro, ou em outras palavras, uma das 
grandezas é função da outra.
As funções estão presentes na modelagem do movimento dos corpos, com as 
funções de posição, velocidade e aceleração; no estudo dos circuitos elétricos 
com as funções de tensão e em diversas outras aplicações. São encontradas 
também no estudo de modelos econômicos, na análise de receita e custos 
marginais, nas funções de demanda e de oferta de um determinado produto, 
entre outros exemplos.
Dessa forma, torna -se importante estudar o comportamento das funções 
para compreender e equacionar situações -problema, como as apresentadas 
anteriormente.
Nesse capítulo, realizaremos uma abordagem geral das funções, seus concei-
tos, formas gráficas, domínio, imagem e alguns problemas de aplicação. Esses 
conceitos já foram estudados anteriormente por você no ensino médio, mas 
como são importantes para os demais capítulos que serão estudados por você, 
essa reabordagem pretende lhe fornecer subsídios para seus estudos futuros.
A palavra função nos dois exemplos citados nos remete a quê?
78 UNIUBE
Objetivos
Ao final dos estudos desse capítulo, esperamos que você seja capaz de:
• formular a expressão matemática (lei de formação) de uma função 
elementar a partir de informações sobre seu comportamento;
• identificar situações -problema solucionáveis por meio do emprego de 
funções de uma variável;
• resolver problemas de aplicação das funções elementares em situações 
práticas do cotidiano;
• construir os gráficos cartesianos das funções de uma variável;
• analisar os gráficos de algumas funções elementares e determinar a 
lei de formação dessas funções a partir do seu gráfico.
Esquema
2.1 Introdução a funções
2.2 Domínio, contradomínio e imagem da função
2.3 Inequações do 1o grau
2.4 Estudo do domínio de uma função
2.5 Espaço bidimensional e pares ordenados
2.6 Função afim ou função do 1o grau
2.6.1 Construção de gráficos de funções do 1o grau ou lineares
2.6.2 Estudo do crescimento e decrescimento de uma função por 
meio do coeficiente angular
2.6.3 Variação do sinal da função do 1o grau
2.7 Função constante
2.8 Função quadrática ou função do 2o grau
2.8.1 Construção de gráficos de funções quadráticas
UNIUBE 79
2.8.2 Sinal da função quadrática
2.9 Inequações do 2o grau
2.10 Função composta
2.11 Outras funções polinomiais e funções racionais
2.12 Funções definidas por diferentes sentenças
 2.1 Introdução a funções
Anteriormente apresentamos a você duas situações que poderiam ser expressas por 
meio de funções matemáticas. Vamos, agora, retomar esses exemplos e aproveitar 
para desenvolver alguns conceitos.
Recapitulando o primeiro exemplo:
O ganho mensal de um vendedor, que tem um salário fixo de R$ 400,00 mais uma 
comissão de 2% sobre as vendas, pode ser calculado em função do valor total das 
vendas no mês.
Nesse caso as grandezas relacionadas são o ganho mensal do vendedor e o total das 
vendas realizadas no mês. Essa situação poderia ser descrita matematicamente da 
seguinte forma: S = 400 + 
100
2 · x, onde S representaria o ganho mensal e x o total 
de vendas do mês.
Observe que na função anterior o termo 
100
2 · x indica a comissão de 2% que o vende-
dor ganha sobre o total das vendas do mês, enquanto o valor 400 está relacionado ao 
salário fixo do vendedor. Vamos exemplificar algumas situações para que você verifique 
que essa função realmente descreve a situação mencionada no exemplo. Observe:
Para R$ 1000,00 de vendas, o salário obtido pelo vendedor seria:
S = 400 + 
100
2 · 1000
S = 420 R$
80 UNIUBE
Para R$ 3.500,00 de vendas, o salário seria:
S = 400 + 
100
2 · 3500
S = 470 R$
Se num determinado mês esse vendedor não conseguisse realizar nenhuma venda, o 
salário que ele ganharia seria o valor fixo de R$ 400,00.
 
Considerando os desenvolvimentos anteriores, como você descreveria essa situação?
Se você considerou que ela pode ser descrita quando se adota o valor 0 para as vendas 
do mês, acertou. Assim, podemos escrevê -la da seguinte forma:
S = 400 + 
100
2 · 0
S = 400 R$
Seria possível, ainda, com essa função, determinar qual foi o total de vendas de um 
mês, a partir de um determinado valor conhecido de salário. Vejamos um exemplo:
Suponha que o salário do vendedor em um determinado mês tenha sido R$ 537,00.
 
Qual teria sido o total de vendas realizado nesse mês pelo vendedor?
Nessa situação, conhecemos o valor do salário, ao substituirmos na função 
S = 400 + 
100
2 · x temos a seguinte equação: 537 = 400 + 
100
2 · x.
Para resolver essa equação, basta isolar a variável x em um dos membros da igualdade. 
Passamos, então, o 400 para o primeiro membro subtraindo e obtemos:
537 – 400 = x
100
2 → 137 = x
100
2
Considerando os desenvolvimentos anteriores, como você descreveria essa situação?
Qual teria sido o total de vendas realizado nesse mês pelo vendedor?
UNIUBE 81
O número 100 que está no denominador do segundo membro pode passar para o 
primeiro membro da igualdade multiplicando e o número 2, em seguida, pode passar 
dividindo o resultado obtido: Temos, então:
 137 · 100 = 2x → 13700
2
 = x
 x = 6850
Assim, o total de vendas realizado pelo vendedor seria de R$ 6.850,00 em um mês 
onde ele tenha recebido um salário de R$ 537,00.
Observe, agora, o segundo caso descrito anteriormente como exemplo de função:
Em um campeonato de futebol, o total de pontos obtidos por um time é dado em função 
do número de vitórias e empates que esse time teve durante a competição.
Nesse exemplo, a pontuação obtida pelo time poderia ser expressa pela função P = 
3·m + 1·n, em que P indicaria a pontuação total do time, m o número de vitórias e n 
o número de empates, considerando que cada vitória seja equivalente a três pontos e 
cada empate a um ponto.
 PONTO -CHAVE 
Vamos aproveitar esses exemplos para fazer uma diferenciação entre as duas funções apre-
sentadas.
No caso do salário do vendedor, S = 400 + 
100
2 · x indica uma função de uma variável, em 
que o ganho mensal depende unicamente do total de vendas.
Já na função P = 3·m + n, a pontuação obtida pelo time depende do número de vitórias e do 
número de empates, ou seja, a pontuação é uma função de duas variáveis. Matematicamente, 
poderíamos escrever S = f(x) (leia -se S é função de x) e P = f(m,n) (leia -se P é função de m e n).
Utilizamos a função de duas variáveis apenas para exemplificar uma situação cotidiana que 
pode ser descrita por meio de uma função, mas nessa unidade vamos focar o estudo das 
funções de uma variável.
As expressões matemáticas S = 400 + 
100
2 · x e P = 3m + n são denominadas leis de 
formação das funções e representam a relação que existe entre as grandezas repre-
sentadas na função.
 PONTO -CHAVE 
Vamos aproveitar esses exemplos para fazer uma diferenciação entre as duas funções apre-
sentadas.
No caso do salário do vendedor, S = 400 + S = 400 + S
100
2 · x indica uma função de uma variável, em x indica uma função de uma variável, em x
que o ganho mensal depende unicamente do totalde vendas.
Já na função P = 3·P = 3·P m + n, a pontuação obtida pelo time depende do número de vitórias e do 
número de empates, ou seja, a pontuação é uma função de duas variáveis. Matematicamente, 
poderíamos escrever S = S = S f(f(f x) (leia -se S é função de S é função de S x) e P = P = P f(f(f m,n) (leia -se P é função de P é função de P m e n).
Utilizamos a função de duas variáveis apenas para exemplificar uma situação cotidiana que 
pode ser descrita por meio de uma função, mas nessa unidade vamos focar o estudo das 
funções de uma variável.
82 UNIUBE
Na função salário, S é a variável dependente e x a variável independente. É comum 
utilizarmos y para a variável dependente (valor da função), e assim podemos escrever 
y = f(x).
Observe que no exemplo da função salário, então, escrever a função de três formas 
equivalentes:
S = 400 + 
100
2 · x ou S(x) = 400 + 
100
2 · x ou y = 400 + 
100
2 · x
Até agora, somente exemplificamos situações que poderiam ser descritas por funções 
matemáticas. Vamos apresentar, a seguir, algumas definições que se aplicam a toda 
e qualquer função matemática. Antes de prosseguir com a leitura do texto, aproveite 
para reforçar a ideia geral de função:
Uma função y = f(x) é, de forma simples, uma relação matemática entre duas grandezas 
x e y, sendo uma delas a variável independente (x) e a outra a variável dependente, 
ou valor da função (y).
 PESQUISANDO NA WEB 
Visite o site e aprofunde seus conhecimentos sobre o assunto 
tratado até aqui.
 2.2 Domínio, contradomínio e imagem da função
As funções relacionam os elementos de dois conjuntos numéricos A e B, de forma que 
todos os elementos do conjunto A se relacionem a um, e somente um, elemento do 
conjunto B.
Podemos expressar esta relação na forma f : A → B (leia -se função de A em B), em 
que a variável independente pertence ao conjunto A, e a variável dependente pertence 
ao conjunto B.
Na função f : A → B, o conjunto A é denominado domínio da função, e o conjunto B é 
chamado de contradomínio. Ao subconjunto dos elementos de B que se relacionaram 
com conjunto A chamamos de imagem da função.
Os exemplos a seguir vão contribuir para que você entenda, de uma melhor forma, as 
diferenças entre domínio, contradomínio e imagem de uma função.
 PESQUISANDO NA WEB 
Visite o site e aprofunde seus conhecimentos sobre o assunto 
tratado até aqui.
UNIUBE 83
Exemplo 1
Considere os conjuntos A = { –1, 0, 1, 2, 4, 7 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12 } e a re-
lação matemática y = x + 3. Verifique se essa relação representa uma função f : A → B 
com y = f(x).
Resolução
Para verificar se a expressão indica uma função, é preciso que os valores de x sejam 
substituídos na expressão, calcular o valor de y correspondente a cada um dos valores 
de x e, ainda, observar se todos os valores de x do conjunto A encontram valores de y 
no conjunto B para formarem os pares ordenados função.
Vamos tomar os valores de x = –1 e x = 2 para exemplificar esses cálculos. Substituindo 
esses valores no valor de x da expressão, temos:
y = –1 + 3
y = 2
e
y = 2 + 3
y = 5
Caso você procedesse de forma semelhante com os demais valores de x do conjunto 
A, encontraria os valores de y indicados a seguir:
x –1 0 1 2 4 7
y 2 3 4 5 7 10
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Todos os valores de “y” existem em B? Observe com atenção se todos os valores encontrados 
para y por meio da expressão y = x + 3 existem no conjunto B. Nesse caso, os elementos 2, 
3, 4, 5, 7 e 10 encontrados para y existem no conjunto B.
Todos os elementos do conjunto A encontraram valores no conjunto B, para se relacio-
narem. Assim, a relação y = x + 3 indica, para os conjuntos A e B anteriores, uma função 
f : A → B em que são formados os seguintes pares ordenados (x, y), com x  A e y  B:
(–1,2), (0,3), (1,4), (2,5), (4,7) e (7,10).
Há uma forma de se representar essa relação matemática por meio de diagramas. 
Visualmente essa maneira de se mostrar a relação entre os conjuntos A e B auxilia no 
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Todos os valores de “y” existem em B? Observe com atenção se todos os valores encontrados 
para y por meio da expressão y por meio da expressão y y = y = y x + 3 existem no conjunto x + 3 existem no conjunto x B. Nesse caso, os elementos 2, 
3, 4, 5, 7 e 10 encontrados para y existem no conjunto B.y existem no conjunto B.y
84 UNIUBE
entendimento do que são o domínio, contradomínio e a imagem da função. Observe 
com atenção a Figura 1 a seguir:
–1
0
1
2
4
7
0
1
2
3
4
5
7
10
12
A
B
Figura 1: Relação entre conjuntos.
Veja que representamos os pares ordenados que foram gerados por meio da relação 
y = x + 3, para a função f : A → B com y = f(x). Nessa função, podemos então identificar:
O conjunto domínio: Df = A
O conjunto contradomínio: CDf = B
O conjunto imagem é dado parte do conjunto B que se “ligou” ao conjunto A por meio 
da relação y = x + 3. Assim temos: Imf = { 2, 3, 4, 5, 7, 10 }.
 IMPORTANTE! 
Tome cuidado para não se equivocar com a definição de função!
Para que uma relação matemática entre dois conjuntos A e B represente uma função 
de A em B, ou seja, f : A → B, é necessário que todos os elementos do conjunto A en-
contrem imagens no conjunto B. Nesse exemplo, existem os elementos 0, 1 e 12 que 
não se relacionaram ao conjunto A.
 IMPORTANTE! 
Tome cuidado para não se equivocar com a definição de função!
UNIUBE 85
No entanto, não há restrição para que “sobrem” elementos do conjunto B sem se rela-
cionarem ao conjunto A. Apenas deve -se ficar atento para que não haja confusão entre 
o conjunto contradomínio e o conjunto imagem. Podemos entender o contradomínio 
como os possíveis valores para as imagens da função, enquanto o conjunto imagem é 
a “porção” do contradomínio B que se tornou imagem do conjunto A.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Uma relação entre dois conjuntos sempre representará uma função?
Nesse próximo exemplo, você verá que nem sempre uma relação entre dois conjuntos 
representa uma função. Se algum dos elementos do conjunto A não encontrar um 
elemento no conjunto B para se relacionar e formar um par ordenado, a relação entre 
os conjuntos não é uma função.
Exemplo 2
Vamos, novamente, considerar os conjuntos A = { –1, 0, 1, 2, 4, 7 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 7, 10, 12 } e mostrar que a relação y = 2x não é uma função de A em B.
Resolução
Substituindo os valores de x  A na expressão y = 2x, obtemos para y os valores in-
dicados na tabela abaixo:
x –1 0 1 2 4 7
y –2 0 2 4 8 14
Observe que a relação y = 2x permitiu que se formassem os seguintes pares ordenados 
(x,y), com y  B: (0,0), (1,2), (2,4). Os elementos –1, 4 e 7, pertencentes ao conjunto 
A, não encontram imagens no conjunto B para se relacionarem. Dessa forma, essa 
relação matemática não representa uma função f : A → B.
 SINTETIZANDO... 
Toda função de A em B é uma relação entre esses conjuntos, mas nem toda relação entre os 
conjuntos A e B é uma função f : A → B
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Uma relação entre dois conjuntos sempre representará uma função?
 SINTETIZANDO... 
Toda função de A em B é uma relação entre esses conjuntos, mas nem toda relação entre os B é uma relação entre esses conjuntos, mas nem toda relação entre os B
conjuntos A e B é uma função B é uma função B f : f : f A → B
86 UNIUBE
Na resolução dos exercícios sobre funções você verá que, em muitos casos, não há 
referência ao conjunto domínio da função ou preocupação em verificar se uma expres-
são matemática é ou não função. Nesse tipo de exercício, uma determinada relação já 
é apresentada como função, e a resolução do problema consiste em determinar certo 
valor da função ou ainda encontrar o elemento do domínio que produz certa imagem 
na função. Leia com atenção os exemplos resolvidos a seguir:
Exemplo 3
a) Determine a imagem fornecida pela função f(x) = 5x – 12 x + 7 para o elemento 9.
Para resolver o exercício, basta substituir o valor de x = 9 na função, e, em seguida, 
calcularo valor da função para esse elemento do domínio.
f(9) = 5·9 – 12 9 + 7 = 45 –12·3 + 7
f(9) = 45 – 36 + 7
f(9) = 16
Assim, a imagem fornecida para o número 9 é igual a 16.
b) Considere a função f(x) = x
3
5 – 12. Determine o elemento do domínio que tem ima-
gem igual a 13.
Nesse caso, como foi fornecida a imagem da função, devemos substituir o valor 13 para 
a função e determinar o valor de x na equação que irá aparecer. Temos: 13 = x
3
5 – 12.
Para resolver essa equação, vamos isolar o termo com a variável x, deslocando o valor 
–12 para o primeiro membro da igualdade. Obtemos:
13 + 12 = x
3
5 → 25 = x
3
5
Terminando a resolução da equação, basta isolar a variável x. Para isso o número 3 
passa para o primeiro membro multiplicando e o número 5 vai dividindo o valor obtido 
nesse produto. Temos:
5
25 3$ = x → x = 15
Assim, o elemento do domínio que fornece imagem igual a 13 é o número 15.
c) Encontre os valores de x que tornam nula a imagem da função f(x) = x2 – 6x
Se a função tem imagem nula, então f(x) = 0, o que resulta na equação x2 – 6x = 0.
UNIUBE 87
 DICAS 
O método de solução de equações desse tipo já foi estudado por você no capítulo anterior. 
Deve -se utilizar o método de resolução pela fórmula de Bhaskara ou ainda, por se tratar de 
uma equação incompleta, ela pode ser resolvida por meio de uma fatoração da expressão, 
para em seguida igualar cada um dos termos da fatoração a zero.
x2 – 6x = 0
x·(x – 6) = 0
x = 0
ou
x – 6 = 0
x = 6
O conjunto solução da equação é S = { 0, 6 }. Dessa forma, os valores de x que tornam 
nula a imagem da função são x = 0 ou x = 6.
 AGORA É A SUA VEZ 
Agora, exercite esses conceitos iniciais sobre funções, realizando a Atividade 1.
Atividade 1
1. Determine qual é a imagem fornecida pela função f(x) = x2 – 1 para o elemento do domínio 
igual a 3.
2. Expresse por meio de uma fórmula matemática a função f : R → R que associa para cada 
número real x:
a) o seu quadrado;
b) o seu cubo somado com oito;
c) a sua metade diminuída do seu quadrado.
3. Sejam as funções f(x) = 2x – 8 e g(x) = x
3
 + 12. Determine qual é o elemento do domínio 
destas funções que provoca nelas imagens iguais.
4. Determine o elemento do domínio da função f(x) = x – 16 cuja imagem é igual ao seu triplo.
 DICAS 
O método de solução de equações desse tipo já foi estudado por você no capítulo anterior. 
Deve -se utilizar o método de resolução pela fórmula de Bhaskara ou ainda, por se tratar de 
uma equação incompleta, ela pode ser resolvida por meio de uma fatoração da expressão, 
para em seguida igualar cada um dos termos da fatoração a zero.
 AGORA É A SUA VEZ 
Agora, exercite esses conceitos iniciais sobre funções, realizando a Atividade 1.
Atividade 1
1. Determine qual é a imagem fornecida pela função f(f(f x) = x2x2x – 1 para o elemento do domínio 
igual a 3.
2. Expresse por meio de uma fórmula matemática a função f : f : f R → R que associa para cada 
número real x:
a) o seu quadrado;
b) o seu cubo somado com oito;
c) a sua metade diminuída do seu quadrado.
3. Sejam as funções f(f(f x) = 2x – 8x – 8x e g(x) = x
3
 + 12. Determine qual é o elemento do domínio 
destas funções que provoca nelas imagens iguais.
4. Determine o elemento do domínio da função f(f(f x) = x – 16x – 16x cuja imagem é igual ao seu triplo.
88 UNIUBE
Após essa apresentação, em que você teve os conceitos iniciais de funções, vamos 
dar um tempo no estudo desse tema e relembrarmos um tópico importante para que 
você consiga determinar, de maneira correta, o conjunto domínio de uma função. Leia 
com bastante atenção os exemplos de solução das inequações do primeiro grau, pois 
a correta solução desse tipo de expressão será importante para você nos problemas 
de estudo do domínio das funções, que será desenvolvido logo após o tópico sobre 
inequações.
 PESQUISANDO NA WEB 
Visite o site e aprofunde seus 
conhecimentos sobre o assunto tratado até aqui.
 2.3 Inequações do 1o grau
Chamamos de inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
Podemos escrever uma inequação do primeiro grau das seguintes formas:
ax + b > 0; ax + b 0 b) x
2
3 – 
3
5 ≥ 0
 
Como faríamos para resolver uma inequação de primeiro grau e achar o conjunto solução 
(S) de “x”?
Veja a seguir a resolução detalhada dos dois exemplos:
a) 3x + 2 > 0
 PESQUISANDO NA WEB 
Visite o site e aprofunde seus 
conhecimentos sobre o assunto tratado até aqui.
Como faríamos para resolver uma inequação de primeiro grau e achar o conjunto solução 
(S) de “x”?
UNIUBE 89
1o passo
Devemos deixar no primeiro membro o número que acompanha a incógnita que aqui 
está representada pela letra “x” e passar, para o segundo membro, o número que não 
acompanha “x”, que neste caso é o número dois.
3x > –2
Observe que ao passarmos o número dois para o segundo membro, mudamos o sinal, 
pois ao passarmos um número de um membro para outro mudamos a operação (antes 
era soma e agora é subtração).
2o passo
Devemos tomar, no primeiro membro, o número que está multiplicando a incógnita e 
passá -lo dividindo o número que está no segundo membro da operação.
 DICAS 
Lembre -se de que o contrário de multiplicar é dividir. Muitos de nós cometemos um erro clás-
sico que é: passar o número que está multiplicando dividindo, mas invertendo o seu sinal. 
Isso nunca deve acontecer.
x > – 
3
2 ou x > – 0,666...
Assim, o conjunto solução da inequação é: /S x x
3
2
R 2!=
-) 3
b) 
2
3 x – 
3
5 ≥ 0
Podemos resolvê -la de dois modos, observe:
1o modo: 
2
3 x ≥ 
3
5
Tiramos o MMC (mínimo múltiplo comum) de 2 e 3, que é 6, pois, como 2 e 3 são primos 
podemos multiplicar os dois números para achar o MMC.
x
6
9 ≥ 
6
10
Já que tiramos o MMC, podemos cancelar os denominadores e operarmos somente 
com os numeradores.
 DICAS 
Lembre -se de que o contrário de multiplicar é dividir. Muitos de nós cometemos um erro clás-
sico que é: passar o número que está multiplicando dividindo, mas invertendo o seu sinal. 
Isso nunca deve acontecer.
90 UNIUBE
9x ≥ 10
x ≥ 
9
10
2o modo: 
2
3 x ≥ 
3
5
Passaremos o valor do primeiro membro dividindo o valor do segundo membro. Como 
teremos uma divisão de fração, copiaremos a primeira fração e multiplicaremos pela 
segunda fração invertida. Veja, a seguir:
x x x
2
3
3
5
3
5
3
2
9
10
+ +$$ $ $
 IMPORTANTE! 
Observe que em ambas as maneiras o conjunto solução (S) é:
10/
9
S x x = ∈ ≥ 
 

Exemplo 4
Colocaremos, a seguir, uma aplicação de uma inequação de primeiro grau.
Uma pessoa economizou R$ 900,00 para pagar prestações de dois carnês em atraso. 
O primeiro carnê tem prestações fixas de R$ 65,00 e o segundo tem prestações fixas 
de R$ 85,00. Qual o número máximo de prestações que ele pode pagar do segundo 
carnê se for obrigado a quitar duas prestações do primeiro carnê?
Resolução
No primeiro carnê, chamaremos o número de prestações de “x” e para o segundo 
carnê, de “y”.
Já que a pessoa tem R$ 900,00, eu pergunto a você: Ela pode gastar até que valor? 
Veja que nos foi solicitada a quantidade máxima de prestações, assim a inequação 
ficará maior ou igual ou menor ou igual ao valor de R$ 900,00?
 IMPORTANTE! 
Observe que em ambas as maneiras o conjunto solução (S) é:
S x x 10 10S x x= ∈ ≥S x x  S x x S x x 
 
 10 10
 
10 10/ / / /S x x S x x S x x S x x/S x x/ /S x x/ /S x x/ /S x x/= ∈ ≥ = ∈ ≥S x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x x/S x x/= ∈ ≥/S x x/ /S x x/= ∈ ≥/S x x/ = ∈ ≥ 
 
 = ∈ ≥ S x x S x x= ∈ ≥S x x S x x S x x S x x= ∈ ≥S x x S x x/S x x/ /S x x/= ∈ ≥/S x x/ /S x x/ /S x x/ /S x x/= ∈ ≥/S x x/ /S x x/
 99 
 
 9 9 9 9
S x x S x x
 
S x x S x x/S x x/ /S x x/
 
/S x x/ /S x x/= ∈ ≥ = ∈ ≥
 
= ∈ ≥ = ∈ ≥S x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x x
 
S x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x x/S x x/= ∈ ≥/S x x/ /S x x/= ∈ ≥/S x x/
 
/S x x/= ∈ ≥/S x x/ /S x x/= ∈ ≥/S x x/ 
 
 

 
 
 S x x S x x S x x S x xS x x S x x S x x S x xS x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x xS x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x xS x x S x x= ∈ ≥S x x S x x S x x S x x= ∈ ≥S x x S x xS x x S x x= ∈ ≥S x x S x x S x x S x x= ∈ ≥S x x S x xS x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x x
 
S x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x xS x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x x
 
S x x= ∈ ≥S x x S x x= ∈ ≥S x x
UNIUBE 91
 REGISTRANDO 
Sempre que tivermos a expressão “quantidade máxima ou no máximo” a inequação será 
sempre menor ou igual. Já se houver a expressão “quantidade mínima ou no mínimo” a ine-
quação será sempre maior ou igual.
Então, neste caso, veja como ficará a inequação de primeiro grau:
65x + 85y ≤ 900
Você deve estar imaginando agora como iremos resolver essa inequação, já que temos 
duas incógnitas ao mesmo tempo. Mesmo assim, devemos nos ater à interpretação 
do problema. Observe que devem ser pagas duas prestações do primeiro carnê, neste 
caso devemos resolver da seguinte forma:
Como já sabemos o número fixo de prestações do primeiro carnê, devemos substituir 
este valor no local adequado, que é na incógnita “x”.
65(2) + 85y ≤ 900
130 + 85y ≤ 900
Como temos agora uma inequação do primeiro grau com uma única incógnita, podemos 
resolver semelhantemente aos dois exemplos já resolvidos anteriormente. Veja:
85y ≤ 900 – 130
85y ≤ 770
y ≤ 
85
770
y ≤ 9,06
Como estamos tratando de uma situação que pode ser aplicada ao nosso cotidiano 
e, normalmente, as prestações são pagas integralmente e não fracionadas, devemos 
arredondar o número de prestações para um número inteiro (Z), que para nós são nove 
prestações, porque além desse número de prestações, atingiríamos um valor superior 
de R$ 900,00.
 REGISTRANDO 
Sempre que tivermos a expressão “quantidade máxima ou no máximo” a inequação será 
sempre menor ou igual. Já se houver a expressão “quantidade mínima ou no mínimo” a ine-
quação será sempre maior ou igual.
92 UNIUBE
 PESQUISANDO NA WEB 
Visite o site e veja outros 
exemplos de inequações e suas aplicações.
 2.4 Estudo do domínio de uma função
Você talvez já tenha percebido que não é a expressão matemática que define se uma 
relação de A em B é função de A em B. Em um dos exemplos anteriores, mostramos a 
você porque a relação y = 2x não representa uma função f : A → B entre os conjuntos 
A = {–1, 0, 1, 2, 4, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12}.
No entanto, bastaria que o conjunto A fosse tal que todos os seus elementos encon-
trassem uma imagem no conjunto B para se relacionarem, e essa relação matemática 
seria uma função.
Por exemplo, caso tivéssemos o conjunto A = {0, 1, 2} todos os elementos desse con-
junto encontrariam um elemento em B para formarem pares ordenados, e teríamos uma 
função f : A → B com domínio dado pelo conjunto A, contradomínio sendo o conjunto 
B e imagem dada por Im = {0, 2, 4}.
Podemos então dizer que, de modo geral, para que exista uma função de A em B, de-
vemos tomar um conjunto A, tal que todos seus elementos formem pares ordenados 
com os elementos de B. Esse processo de “encontrar” o conjunto A é denominado 
estudo do domínio de uma função.
O foco de nossos estudos são as funções de variáveis reais. De um modo geral, vamos 
estudar funções do tipo f : D → R em que, em boa parte dos casos, o contradomínio é 
o conjunto dos números reais, e o conjunto domínio D é um subconjunto dos números 
reais (D , R), podendo até mesmo ser o domínio dado pelo próprio conjunto dos nú-
meros reais (D = R).
Para se determinar o domínio de uma função, deve -se então verificar qual é o sub-
conjunto de valores x  R que permite a todo x  Df encontrar um elemento do con-
tradomínio para formar um par ordenado. De um modo geral, devemos observar as 
seguintes restrições:
• todo denominador de uma função deve ser diferente de zero;
• funções que apresentem radicais com índice par devem ser tais que a expressão no 
interior do radical seja maior ou igual a zero, garantindo que exista raiz real.
 PESQUISANDO NA WEB 
Visite o site e veja outros 
exemplos de inequações e suas aplicações.
UNIUBE 93
Exemplo 5
Determine o conjunto domínio das seguintes funções de variáveis reais:
a) ( ) 5f x
x 2
3
=
+
-
Deve -se ter x + 2 ≠ 0, que faz x ≠ –2. Assim: Df = { x  R | x ≠ –2 }.
b) ( )f x x x5 2 6 2 2$= - +
Para que exista raiz real, é necessário que a expressão no interior da raiz não resulte 
em um valor negativo. Assim: 2x – 6 ≥ 0. Para determinar os valores de x que tornam 
verdadeira a desigualdade, devemos utilizar os passos descritos anteriormente nesse 
capítulo, no tópico sobre inequações:
2x ≥ 6 → x ≥ 
2
6
x ≥ 3 Assim: Df = { x  R | x ≥ 3 }.
c) g x
x
x x
9
2 7 10
2=
-
- +^ h
Primeiro, o denominador não pode ser nulo, o que faz x2 – 9 ≠ 0.
Para determinar os valores de x que satisfazem essa restrição, podemos igualar a 
expressão a zero, fazendo x2 – 9 = 0.
Caso você não se lembre, esse tipo de expressão é uma equação do segundo grau, e 
sua forma de resolução já foi apresentada anteriormente nessa unidade, por meio da 
fórmula de Bhaskara ou ainda simplesmente isolando -se o valor de x na expressão. 
Temos então:
x2 = 9 → x = ± 9
x = ±3
Quando igualamos o denominador a zero, encontramos os valores de x que são solução 
dessa equação. Como a condição de existência do denominador exige que ele seja 
diferente de zero, devemos ter, então, x ≠ –3 e x ≠ 3.
No entanto, somente essa restrição não é suficiente para que a função exista, uma 
vez que existe um radical de índice par na função, e deve -se garantir que a expressão 
no interior do radical seja maior ou igual a zero, o que resulta em x ≥ 0. Fazendo a in-
94 UNIUBE
terseção entre essas condições, para que as duas restrições sejam atendidas, temos: 
Dg = { x  R | x ≥ 0 e x ≠ 3 }.
d) h x x
3
5
3=
+^ h
Nesta função aparece um radical de índice ímpar. Dessa forma, no interior do radical 
podem aparecer valores nulos, positivos, ou até mesmo negativos, uma vez que nú-
meros negativos admitem raízes cúbicas reais.
 IMPORTANTE! 
O único problema que poderia ocorrer é quanto ao denominador da expressão no interior do 
radical, que não poderia ser nulo.
Porém, você pode observar que o denominador da expressão x
3
5+ é sempre diferente de 
zero, para quaisquer valores de x. Assim, o domínio da função é todo o conjunto dos números 
reais, ou seja: Dh = R ou Dh = { x  R }
 AGORA É A SUA VEZ 
Após essa leitura, exercite os conceitos sobre funções que já foram estudados, na resolução 
dos exercícios da Atividade 2, a seguir:
Atividade 2
Determine o conjunto domínio das seguintes funções de variáveis reais:
a) f x5 16 2x = + -^ h b) 5f
x 10
6x 2=
+
-^ h
c) f x x
x
x
5 6 7
3
5
x
4 2
2 3
$= + + -
-^
^
h
h
 IMPORTANTE! 
O único problema que poderia ocorrer é quanto ao denominador da expressão no interior do 
radical, que não poderia ser nulo.
Porém, você pode observar que o denominador da expressão x
3
5+ é sempre diferente de 
zero, para quaisquer valores de x. Assim, o domínio da função é todo o conjunto dos números 
reais, ou seja: Dh = R ou Dh = { x  R }
 AGORA É A SUA VEZ 
Após essa leitura, exercite os conceitos sobre funções que já foram estudados, na resolução 
dos exercícios da Atividade 2, a seguir:
Atividade 2
Determine o conjunto domínio das seguintes funções de variáveis reais:
a) f x5 1f x5 1f x6 2f x6 2f x= +f x= +f x5 1= +5 1f x5 1f x= +f x5 1f xf x6 2f x-f x6 2f x5 1f x5 1f xf xf x5 1f x5 1f x5 1f x^ hf x^ hf xx^ hxf xxf x^ hf xxf x b) 5f
x 10
6
2=
+
-^ hf̂ hf x^ hxf xf̂ hf xf
c) f x
x
x
5 6f x5 6f x2.3 Inequações do 1o grau ..............................................................................................89
2.4 Estudo do domínio de uma função............................................................................93
2.5 Espaço bidimensional e pares ordenados ................................................................96
2.6 Função afim ou função do 1o grau ............................................................................97
2.6.1 Construção de gráficos de funções do 1o grau ou lineares ..............................99
2.6.2 Estudo do crescimento e decrescimento de uma função por meio do 
coeficiente angular ..................................................................................................102
2.6.3 Variação do sinal da função do 1o grau ..........................................................103
2.7 Função constante ....................................................................................................106
2.8 Função quadrática ou função do 2o grau ................................................................107
2.8.1 Construção de gráficos de funções quadráticas ............................................ 111
2.8.2 Sinal da função quadrática .............................................................................113
2.9 Inequações do 2o grau ............................................................................................116
2.10 Função composta ....................................................................................................120
2.11 Outras funções polinomiais e funções racionais .....................................................125
2.12 Funções definidas por diferentes sentenças ...........................................................127
VI UNIUBE
Capítulo 3 Outras funções elementares: modular, exponencial 
e logarítmica ..............................................................................133
3.1 Módulo .....................................................................................................................135
3.2 Funções, equações e inequações modulares .........................................................136
3.2.1 Função modular .............................................................................................136
3.2.2 Equações modulares......................................................................................139
3.2.3 Inequações modulares ...................................................................................140
3.3 Funções, equações e inequações exponenciais.....................................................142
3.3.1 Equação exponencial .....................................................................................143
3.3.2 Função exponencial .......................................................................................144
3.3.3 Inequação exponencial ..................................................................................145
3.4 Logaritmos e funções logarítmicas ..........................................................................147
3.4.1 Logaritmos ......................................................................................................147
3.4.2 Função logarítmica .........................................................................................150
UNIUBE VII
Apresentação
Caro(a) aluno(a),
Temos o propósito de oferecer novos caminhos e olhares sobre conteúdos básicos 
essenciais de matemática.
Pensando nisso, elaboramos o livro -texto Matemática Básica e Funções Elementares. 
Ao longo dele procuramos mostrar, em vários momentos, que a construção do raciocí-
nio e conhecimento matemáticos é resultado da vivência e resolução de situações do 
cotidiano, da análise dos fenômenos naturais e sociais.
Para tanto, organizamos três capítulos intitulados Álgebra e conjuntos: conceitos e 
significados; Funções matemáticas elementares: um estudo sobre as principais 
funções de uma variável e Outras funções elementares: modular, exponencial e 
logarítmica.
No primeiro, você terá a oportunidade de revisar vários conceitos matemáticos envol-
vendo as operações numéricas, as equações numéricas e polinomiais e conjuntos. Eles 
serão importantes para o entendimento de outros conteúdos de matemática que você 
estudará ao longo de seu curso.
No segundo capítulo, faremos uma abordagem geral das funções de uma variável. 
Neste momento, você aprenderá a utilizar ferramentas matemáticas em sua interação 
com o espaço dos números, das formas, das medidas e das informações.
Por fim, no terceiro capítulo, daremos continuidade ao estudo de funções por meio das 
funções modulares, exponenciais e logarítmicas. Destacamos que é importante que 
conheça as funções abordadas neste livro, assim como pratique a resolução das ati-
vidades propostas, para que possa compreender a importância delas em sua atuação 
profissional.
Acreditamos que terá valido a pena todo esforço da equipe de produção deste material, 
se você desempenhar com firme propósito o seu papel na construção do próprio co-
nhecimento. Com certeza, isto será fundamental para maior segurança na capacidade 
de aprender e utilizar a matemática em sua vida pessoal e profissional.
 Álgebra e conjuntos: 
conceitos e 
significados
 Capítulo
1
Adriana Rodrigues /
Anderson Osvaldo Ribeiro /
Leandro Martins da Silva
Introdução
A importância da “ferramenta” matemática
Prezado aluno!
Em nossas trajetórias docentes, deparamo -nos com muitos alunos cujas 
dificuldades residiam em resolver atividades que requeriam conhecimentos 
de matemática básica. Assim, elaboramos esse capítulo a partir da análise 
dessas dificuldades, procurando mostrar que o conhecimento matemático está 
relacionado à nossa vivência cotidiana, à observação das regularidades, das 
irregularidades, dos fenômenos naturais e sociais, entre outros.
Você vai relembrar uma série de conceitos matemáticos fundamentais para 
os estudos que serão desenvolvidos posteriormente no seu curso. Esses con-
ceitos já foram estudados por você durante o Ensino Fundamental e Médio. 
No entanto, algumas regras podem ter sido esquecidas por você no decorrer 
dos anos.
Esses conceitos de matemática básica são requisitos comuns às mais di-
versas áreas do conhecimento como Engenharias, Administração, Ciências 
Contábeis, Licenciaturas em Matemática, Ciências Biológicas ou Geografia, 
Cursos de Gestão, enfim, áreas nas quais o domínio da álgebra e dos con-
juntos é indispensável para a compreensão dos demais conceitos que serão 
estudados no decorrer do curso.
O estudo da matemática contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico-
-dedutivo possibilitando o delineamento de habilidades como tomar decisões 
rápidas, analisar riscos, identificar problemas de ordem técnica ou ainda de 
aprendizagem em matemática.
No capítulo seguinte, você estudará as funções matemáticas e a modelagem 
de situações -problema por meio dessas funções. Em seguida, daremos início 
aos tópicos de Cálculo Diferencial e Integral.
Durante todo o curso, você vai necessitar, em maior ou menor escala, aplicar 
a matemática básica estudada nessa unidade didática. Assim, é fundamental 
que você entenda bem os conceitos estudados aqui.
Mas, atenção! Não queremos dizer que só esses conceitos são suficientes 
para a sua formação superior, mas podemos afirmar certamente que a com-
preensão deles contribuirá na construção de conhecimentos necessários à 
sua futura atuação.
Nesse momento, não nos preocupamos em descrever todas as possíveis 
aplicações da matemática no seu curso. Procuraremos somente ilustrar algu-
mas situações que podem ser analisadas segundo conceitos matemáticos e 
que estarão presentes, direta ou indiretamente, em sua atuação profissional.
Bons estudos!!!
Objetivos
Ao final desse capítulo, esperamos que você seja capaz de:
• reconhecer as propriedades dos conjuntos, identificar os conjuntos 
numéricos e realizar operações com esses conjuntos;
• reconhecer7
3
5
xf xxf x4f x4f xf x5 6f x4f x5 6f x 2
2 3
= +f x= +f x5 6= +5 6f x5 6f x= +f x5 6f xf x5 6f x4f x5 6f x= +f x5 6f x4f x5 6f xf x5 6f x$f x5 6f x= +f x5 6f x$f x5 6f x + -x+ -x7+ -7 2
+ -
2 -
5 6= +5 6f x5 6f x= +f x5 6f xf xf x5 6f xf x5 6f x= +f x5 6f x= +5 6= +5 6f x5 6f x= +f x5 6f x
^
f̂ xf̂ x
h
hf xhf x
UNIUBE 95
 2.5 Espaço bidimensional e pares ordenados
Em nosso texto, já fizemos algumas referências aos pares ordenados (x, y). Agora, 
você vai entender melhor o significado dele. Um par ordenado indica a posição de um 
ponto em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse sistema é composto por dois 
eixos x e y perpendiculares entre si e que se cruzam em um ponto denominado origem.
Esses eixos definem um plano, ou seja, um espaço bidimensional, com quatro regiões 
distintas denominadas quadrantes. No par ordenado, a coordenada x é denominada 
abscissa e a coordenada y, ordenada. Veja a Figura 2, a seguir, em que são mostrados 
os quadrantes e a localização de alguns pares ordenados.
–1
3
2
1
x
y
A
E
C
G
B
F
D
H
–2
–3
–1–2–3–4 1 2 3 4
3o Quadrante 4o Quadrante
2o Quadrante 1o Quadrante
Figura 2: Quadrantes.
 DICAS 
Saber localizar um par ordenado no plano cartesiano é importante para compreender o com-
portamento de uma função a partir de observações em seu gráfico.
Os pontos representados na figura anterior definem os seguintes pares ordenados: 
A(3,1), B(–3, 2), C(–2,–3), D(1,–2), E(–4,0), F(2,0), G(0,–2) e H(0,1).
Observe que os pares ordenados em que o segundo elemento é nulo (y = 0) definem 
pontos localizados sobre o eixo x, enquanto os pares com o primeiro elemento igual a 
zero (x = 0) definem pontos sobre o eixo y.
 DICAS 
Saber localizar um par ordenado no plano cartesiano é importante para compreender o com-
portamento de uma função a partir de observações em seu gráfico.
96 UNIUBE
 2.6 Função afim ou função do 1o grau
É a função f: R → R com y = f(x) que tem expressão geral do tipo y = m · x + b ou f(x) = 
m · x + b com m,b  R e m ≠ 0.
Nessa função, o termo “b” é chamado de coeficiente linear da função, enquanto o termo 
“m” é denominado coeficiente angular.
 
Você talvez esteja se perguntando se já não viu nesse texto alguma função do primeiro grau?
Realmente em um dos primeiros exemplos sobre função, a expressão G = 400 + 
100
2 
· x é uma função afim, onde os coeficientes são m = 
100
2 e b = 400.
 PARADA OBRIGATÓRIA 
É importante que você fique atento ao fato de o coeficiente angular ser o termo que multiplica 
a variável x, e não o termo que aparece primeiro na função.
É um erro muito comum na interpretação desse tipo de função a identificação do coeficiente 
angular como sendo o primeiro termo que aparece na função, devido ao fato de que na ex-
pressão geral y = m·x + b o coeficiente m aparece antes do coeficiente b.
Exemplo 6
Veja alguns exemplos de funções do primeiro grau e seus respectivos coeficientes 
angulares e lineares:
a) f(x) = 3x + 5 m = 3 e b = 5.
b) g(x) = 7 2 – 5x m = –5 e b = 7 2 .
c) f(x) = x
2
 + 13 m = 
2
1 e b = 13.
d) f(x) = –8x m = 8 e b = 0.
Uma importante característica da função afim é que ela apresenta uma taxa de va-
riação constante, ou seja, independente de a função apresentar um crescimento ou 
Você talvez esteja se perguntando se já não viu nesse texto alguma função do primeiro grau?
 PARADA OBRIGATÓRIA 
É importante que você fique atento ao fato de o coeficiente angular ser o termo que multiplica 
a variável x, e não o termo que aparece primeiro na função.
É um erro muito comum na interpretação desse tipo de função a identificação do coeficiente 
angular como sendo o primeiro termo que aparece na função, devido ao fato de que na ex-
pressão geral y = y = y m·x + x + x b o coeficiente m aparece antes do coeficiente b.
UNIUBE 97
decrescimento, esse sempre ocorre numa taxa constante. Se tomarmos qualquer uma 
das funções apresentadas anteriormente, esse comportamento pode ser facilmente 
observado.
Como exemplo, tomamos a função f(x) = 3x + 5 e adotamos alguns valores aleatórios 
para a variável x. Em seguida, substituímos esses valores na função para determinar 
o valor da variável y.
Adotamos, então, os valores –1, 1, 2, 2,50 e 5 para a variável x, e substituímos esses 
valores na função, encontrando para y os valores indicados a seguir:
x –1 1 2 2,50 5
y 2 8 11 12,5 20
Veja que é possível identificarmos que, para dois pontos quaisquer (x1, y1) e (x2, y2) 
pertencentes à função, a razão entre as variações da função e as variações nos valores 
da variável x resulta sempre num mesmo valor. Você conseguiu visualizar essa razão? 
Se não, faça as divisões e comprove -a.
Essa razão é comumente simbolizada por 
x
y
D
D , em que temos:
Dy: variação em y, ou seja, Dy = y2 – y1
Dx: variação em x, ou seja, Dx = x2 – x1
Tomando -se dois pontos quaisquer da função apresentada no exemplo anterior, é fácil 
verificarmos que essa relação é constante. Adotando -se os pontos (–1,2), (1,8) e (5,20), 
vamos determinar a razão 
x
y
D
D para dois pontos quaisquer e mostrar que essa razão 
resulta sempre num mesmo valor.
Para os pontos (–1,2), (1,8), fazemos:
Dy = y2 – y1 = 8 – 2 = 6
Dx = x2 – x1 = 1 – (–1) = 1 + 1 = 2
Temos, então, 
x
y
D
D
 = 
2
6 = 3
Para os pontos (1,8) e (5,20), obtemos:
Dy = y2 – y1 = 20 – 8 = 12
Dx = x2 – x1 = 5 – 1 = 4
98 UNIUBE
Temos, então, 
x
y
D
D
 = 
4
12 = 3
Para fazer essas demonstrações, foram escolhidos dois pontos aleatórios. Para quais-
quer outros pontos que fossem escolhidos, os valores de Dy e Dx seriam diferentes. No 
entanto, a razão entre eles será sempre a mesma.
 
Você percebeu alguma relação entre o valor da razão 
x
y
D
D e um dos coeficientes da função 
do primeiro grau?
A relação 
x
y
D
D resulta sempre no valor do coeficiente angular da função afim. Assim, 
para toda e qualquer função do primeiro grau, com expressão geral do tipo y = m·x + b, 
temos 
x
y
D
D = m.
Devido à sua taxa de crescimento/decrescimento constante, o gráfico cartesiano de uma 
função do primeiro grau tem seus pontos alinhados sobre uma reta, conforme vamos 
exemplificar nos exemplos seguintes.
 2.6.1 Construção de gráficos de funções do 1o grau ou lineares
Construiremos os gráficos de duas funções do primeiro grau (figuras 3 e 4), marcando 
alguns pontos no plano cartesiano e ligando esses pontos. O quadro de valores mos-
trado junto à função apenas auxilia para marcar os pontos no gráfico.
Os valores de x foram atribuídos aleatoriamente, e os valores de y foram calculados 
substituindo -se na função os x adotados.
Temos:
a) y = 2x + 3
x y
–2 –1
–1 1
0 3
1 5
2 7
Você percebeu alguma relação entre o valor da razão 
x
y
D
D e um dos coeficientes da função 
do primeiro grau?
UNIUBE 99
7
y
6
5
4
3
2
1 2
x1
–1
–2
–1
Figura 3: Gráfico de funções do primeiro grau.
 DICAS 
Sempre que for plotar (construir) o gráfico de uma função linear é mais prudente seguir os 
dois passos apresentados a seguir.
1o passo
Substituir o “x” por zero para determinar o valor de “y”. Com isso, você terá o par or-
denado onde o gráfico cortará (interceptará) o eixo dos valores de “y” (eixo das orde-
nadas). Observe:
y = 2x +3
y = 2(0) + 3
y = 3
Portanto, o par ordenado (x, y) onde o gráfico toca o eixo y é: (0; 3).
No entanto, somente esse ponto não basta para desenharmos a reta do gráfico, uma 
vez que precisamos de pelo menos dois pares ordenados (dois pontos) para definirmos 
uma reta. Um segundo ponto poderá ser obtido pelo procedimento a seguir:
2o passo
Substituir o “y” por zero para determinar o valor de “x”. Com isso, você terá o par 
ordenado onde o gráfico vai “cortar” (interceptar) o eixo dos valores de “x” (eixo das 
abscissas).
 DICAS 
Sempre que for plotar (construir) o gráfico de uma função linear é mais prudente seguir os 
dois passos apresentados a seguir.
100 UNIUBE
Observe:
0 = 2x + 3
–2x = 3
Multiplicando por menos um.
–2x = 3 (–1)
2x = –3
x = –
2
3 ou x = –1,5
Portanto, o par ordenado (x, y) é: (–1,5;0).
Observando o gráfico anterior, é possível perceber que a reta passa pelos pontos de-
terminados nesses dois passos.
b) y = 6 – 3x
x y
–1 9
0 6
1 –3
2 0
3 –3
7
8
y
6
5
4
3
2
1 2 4
x1
–1–2
–1
–3
–2
3
9
Figura 4: Gráfico de funções do primeiro grau.
UNIUBE 101
 IMPORTANTE! 
No plano cartesiano, o gráfico de uma função do primeiro grau afim será sempre uma reta 
inclinada em relação ao eixo x.
 2.6.2 Estudo do crescimento e decrescimento de uma função por meio do 
coeficiente angular
O valor do coeficiente angular “m” da função representa a inclinação da reta do gráfico 
ou, ainda, a taxa de variação da função.
Em um dos exemplos apresentados anteriormente, a função y = 2x + 3, que tem coefi-
ciente angular m = 2, apresenta também uma taxa de variação de +2 unidades para cada 
aumento de uma unidade na variável x. Também é possível observar essa característica 
no gráfico da função, bastando para isso tomar dois pontos que pertençam à função 
e verificar que dentre esses dois pontos os valores de y apresentam um aumento de 
duas vezes o aumento em x.
De forma semelhante, no gráfico da função y = 6 – 3x, que possui coeficiente angular –3, 
é possível verificar que os valores de y apresentam um decrescimento de –3 unidades, 
para cada aumento de uma unidade nos valores da variável x.
 IMPORTANTE! 
Uma função é crescente para certo intervalo de valores de x, se neste intervalo para qualquer 
x2 > x1 tivermos f(x2) > f(x1). A função é decrescente no intervalo de valores de x se para x2 > x1 
obtém -se f(x2) x1 tivermos f(f(f x2x2x ) > f(f(f x1). A função é decrescente no intervalo de valores de x se para x2x2x > x1
obtém -se f(f(f x2x2x ) 0) e, por último, a condição de a função ser negativa (y 0, temos:
–3x + 6 > 0
–3x > –6 · (–1)
3x 2. Podemos, 
ainda, escrever:
para
para
y
y
y
x
x
x
0
0
0
2
2
2para
1
2
2
1
= =
Z
[
\
]]
]]
Fique atento para não errar!
Uma dúvida muito comum dos alunos é dizer que, para valores de x 38, o que produz a 
inequação 0,50x + 8 > 38. Resolvendo essa inequação:
0,50x + 8 > 38
0,50x > 30
x > 60
Para uma produção superior a 60 peças, o custo torna -se maior que R$ 38,00.
 2.7 Função constante
 
O que lhe vem à mente quando nos referimos à palavra constante?
Provavelmente, você deve ter pensado em algo que “não muda”, “permanece sempre 
igual”. Para entendermos o comportamento de uma função constante basta conside-
rarmos essas ideias. Tomemos um exemplo:
Observe sua conta telefônica. Veja o valor da assinatura. Mensalmente em sua conta 
telefônica vem discriminado um valor que é o da assinatura mensal do serviço de tele-
fonia. Esse valor é fixo. Nesse caso, vamos entendê -lo como um custo fixo.
Os custos fixos (CF) são aqueles que não dependem da quantidade vendida ou pro-
duzida pela empresa ou pessoa física. O aluguel é outro tipo de custo fixo que muitos 
cidadãos brasileiros têm mensalmente.
Vejamos, agora, a definição de função constante:
É a função do tipo f: R → R com f(x) = K com K  R.
A função constante associa a todo número x um mesmo valor y = K.
No plano cartesiano, o gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x. De-
pendendo do sinal da constante K, esse gráfico pode estar localizado acima ou abaixo 
do eixo das abscissas. Observe esse comportamento na Figura 6, a seguir:
O que lhe vem à mente quando nos referimos à palavra constante?
106 UNIUBE
7
8
y
6
5
4
3
2
1 2 3
x
1
–1–2 –1
–3
–4
–2 y = –3
f(x) = 5
Figura 6: Gráfico da função constante.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Qual é a taxa de variação em uma função constante?
Para responder a esse questionamento basta analisarmos os valores para y. O que 
acontece com eles quando ocorre variação de x?
Observamos que a função constante apresenta sempre os mesmos valores para y, in-
dependentemente dos valores de x, logo nesse tipo de função a taxa devariação é nula.
 2.8 Função quadrática ou função do 2o grau
Vamos, inicialmente, explorar algumas características da função quadrática que aju-
darão na compreensão do seu comportamento ou ainda na construção do gráfico de 
uma função quadrática qualquer.
Vejamos a definição de função quadrática:
É a função y = f(x), f: R → R com forma geral do tipo: y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c 
com a, b, c  R e a ≠ 0.
Exemplo 9
a) f(x) = 5x2 – 7x + 11 Temos os coeficientes: a = 5, b = –7 e c = 11
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Qual é a taxa de variação em uma função constante?
UNIUBE 107
b) f x
3
8x
2
= -^ h Temos os coeficientes: a = 
3
1 , b = 0 e c = –8
c) f x x3
5
7
x
2$= +^ h Temos os coeficientes: a = 3 , b = 
5
7 e c = 0
d) f(x) = 14x + 1 – 2x2 Temos os coeficientes: a = –2, b = 14 e c = 1
Uma característica interessante para ser observada nas funções quadráticas é o fato 
de essas funções não apresentarem um valor fixo de taxa de variação. Para cada valor 
diferente de x, tem -se uma taxa de variação diferente. Leia com atenção o exemplo a 
seguir, que ilustra o comportamento da função f(x) = x2 + 1:
Exemplo 10
Vamos supor alguns valores para a variável x e substituir esses valores na função para 
determinar os valores de y = f(x):
x –1 0 1 2 3 4 5
y 2 1 2 5 10 17 26
Observe o quadro com atenção!
Nesse quadro, os valores de x a cada coluna, da esquerda para a direita, estão variando 
de uma em uma unidade.
 
Mas, o que acontece com os valores de y?
Observe que os valores de y não estão variando em taxa constante. Da primeira para 
a segunda coluna, houve uma diminuição de – 1 unidade em y, da segunda para a 
terceira coluna houve um crescimento de + 1 unidade, da terceira para a quarta coluna, 
o crescimento da função foi de + 3 unidades.
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Qual a consequência gráfica desse comportamento?
Esse comportamento faz com que o gráfico de uma função quadrática não seja formado 
por pontos localizados sobre uma reta, uma vez que esses pontos não estarão alinhados.
Mas, o que acontece com os valores de y?
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Qual a consequência gráfica desse comportamento?
108 UNIUBE
O gráfico de uma função quadrática, no plano cartesiano, é denominado parábola 
do segundo grau, e sua forma geral está representada na Figura 7 a seguir. O sinal do 
coeficiente “a” indica se a concavidade desta parábola é voltada para cima ou para baixo
y
x
a 0
Parábola para cima
Figura 7: Gráfico de uma função quadrática.
Essa representação apenas esquematiza, de forma geral, o gráfico de uma parábola 
do segundo grau. Não aparecem nesse desenho os pontos de interseção dessas pa-
rábolas com os eixos coordenados. Apenas estão ilustrando a forma de uma parábola 
do segundo grau e sua concavidade, de acordo com o sinal do coeficiente “a”.
Diferentemente da função do primeiro grau, que sempre apresenta uma raiz, ou seja, um 
ponto no qual o gráfico da função toca o eixo x, a função quadrática pode apresentar: 
duas raízes reais e distintas; duas raízes reais e iguais; nenhuma raiz. Assim, o gráfico 
de uma função quadrática pode tocar no eixo x em dois pontos distintos, em um ponto 
ou ainda em nenhum ponto, caso não existam raízes reais.
 
Mas, como se determinam as raízes de uma função do segundo grau? Você tem alguma ideia?
Na resolução que iremos apresentar a seguir, você vai perceber que já viu anteriormente 
como se determinam essas raízes.
 DICAS 
As raízes de uma função são os valores de x que tornam nula a imagem da função. Assim, para 
uma função do tipo y = ax2 + bx + c, ao tentarmos determinar as raízes, teríamos: ax2 + bx + 
c = 0.
Mas, como se determinam as raízes de uma função do segundo grau? Você tem alguma ideia?
 DICAS 
As raízes de uma função são os valores de x que tornam nula a imagem da função. Assim, para 
uma função do tipo y = y = y ax2ax2ax + bx + bx + bx c, ao tentarmos determinar as raízes, teríamos: ax2ax2ax + bx + bx + bx
c = 0.c = 0.c
UNIUBE 109
A determinação dessas raízes pode ser feita, então, pela fórmula de Bhaskara:
Se ax2 + bx + c = 0 → D = b2 – 4ac e x = 
a
b
2
! D-
O discriminante D define o número de raízes da função e, consequentemente, quantas 
vezes o gráfico desta função tocará no eixo x. Na representação da Figura 8, a seguir, 
temos três possíveis situações para o gráfico de uma função quadrática, no caso de 
uma parábola voltada para cima.
x
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ 0: Duas raízes x' e x" distintas.
D = 0: Duas raízes x' e x" iguais.
Ddo sinal da função quadrática, é o mesmo 
que descrevemos anteriormente para a função do primeiro grau.
A única diferença é o formato do gráfico da função, que anteriormente era uma reta e 
agora se torna uma parábola do segundo grau para a função quadrática. Assim, a ideia 
central do método continua sendo a mesma. Determinam -se as raízes da função, caso 
elas existam, faz -se um esboço do gráfico da função e depois se indica na figura o sinal 
da função, de acordo com os intervalos onde o gráfico está acima/abaixo do eixo x.
Nos intervalos onde o gráfico da função está localizado acima do eixo x, o sinal é 
positivo, e nos intervalos onde a função está abaixo do eixo x, o sinal é negativo. Nos 
pontos onde o gráfico toca o eixo x, a função é nula.
Veja o exemplo da função f(x) = x2 + 2x – 15.
As raízes da função são tais que: x2 + 2x – 15 = 0, que fazem x' = –5 e x" = 3.
UNIUBE 113
Fazendo um esboço do gráfico (Figura 9), tem -se:
–5 3
x+ + + + + + + + + + + +– – – – – –
Figura 9: Esboço do gráfico.
A variação do sinal da função, então, fica:
f(x) > 0 se x 3
f(x) = 0 se x = –5 ou x = 3
f(x) , 0
Observe que o fato de o termo “a” da inequação do segundo grau ser diferente de zero 
é obrigatório, uma vez que se esse coeficiente for nulo, a inequação deixaria de ter o 
termo x2 e não seria mais uma inequação do segundo grau.
As inequações do segundo grau são resolvidas facilmente, desde que você conheça o 
estudo da variação do sinal. Lembramos a você que já foi apresentado anteriormente 
um método de estudo do sinal de uma expressão quadrática do tipo y = ax2 + bx + c, 
no tópico sobre estudo do sinal da função quadrática.
Apresentaremos, agora, a você outra forma de se resolver esse tipo de inequação, por 
meio da análise do sinal do termo “a” e, ainda, juntamente com o número de raízes 
reais que a equação ax2 + bx + c apresentar.
Vamos seguir, então, esses dois passos:
1o passo
Calcular o discriminante D(delta) da fórmula de Bhaskara.
D = b2 – 4ac
Com isso, podemos ter as seguintes situações:
D > 0: teremos duas raízes reais distintas;
 EXEMPLIFICANDO! 
a) x2x2x – 12x + 3 0
116 UNIUBE
D = 0: teremos duas raízes reais e iguais;
Dteremos:
–8 8
x+ + + + – – – – + + + +
Como a inequação nos pede que seja ≥ 0, teremos como solução real:
S = { x  R | x ≤ – 8 ou x ≥ 8}
c) Sendo a inequação do segundo grau igual a x2 – 6x + 9 > 0, determine o conjunto 
solução.
Novamente, vamos começar calculando as possíveis raízes reais da inequação do 
segundo grau.
' "
x
a
b b ac
x
x x
2
4
2 1
6 6 4 1 9
2
6 0
3
2 2
!
$
! $ $
!
=
- -
=
- - - -
=
= =
^ ^h h
Nesse caso, as duas raízes reais são iguais. Então, faremos o estudo do sinal da se-
guinte forma:
x' = x"
xm/a m/a
Portanto, teremos:
3
x+ + + + + + + +
 RELEMBRANDO 
• O que estamos chamando de “m/a” quer dizer que naquele intervalo teremos o mesmo 
sinal do termo “a” da inequação.
• O que estamos chamando de “c/a” quer dizer que naquele intervalo teremos o sinal con-
trário do termo “a” da inequação.
UNIUBE 119
O estudo do sinal da expressão x2 – 6x + 9 mostrou que ela se torna positiva para 
quaisquer valores de x diferentes de 3, uma vez que x = 3 é o único valor que torna 
nula a expressão. Como a inequação nos pede que tenhamos > 0, o conjunto solução 
é dado por todos os números reais, exceto o número 3, ou seja: S = R – {3}
 2.10 Função composta
Para que você compreenda mais facilmente o conceito de função composta, vamos 
propor uma situação -problema que poderia ser descrita, matematicamente, por meio 
de uma função composta.
Situação -problema
Suponha que você deseje contratar um servente para fazer o seguinte serviço: cons-
truir uma cerca ao redor de dez terrenos quadrados com lado medindo x metros cada 
um, e, em seguida, fazer um serviço de limpeza em todos os terrenos. Ele, então, lhe 
fornece o seguinte orçamento de serviço: R$ 5,00 para cada metro de cerca construída 
e R$ 1,50 para cada metro quadrado de terreno a ser limpo.
A área de um terreno pode ser determinada por x2, uma vez que cada um dos lados do 
terreno mede x metros, e a área pode ser calculada por x · x = x2 (área de um quadrado 
de lado x). O comprimento de cerca construída será 4x, pois cada terreno tem quatro 
lados de mesma medida x.
O valor total do serviço realizado pelo servente é então uma função direta do número 
de terrenos. No entanto, esse valor também é uma função indireta da medida x do 
lado de cada terreno, uma vez que o valor do serviço em cada um dos terrenos depende 
das dimensões do terreno.
Para cada uma das grandezas envolvidas no problema, vamos atribuir uma variável 
para posteriormente montar a função. Fazemos, então:
x: medida do lado do terreno;
f: valor do serviço para um terreno;
S: valor do serviço para os dez terrenos.
O valor do serviço em um dos terrenos pode então ser determinado pela função f = 
1,50·Área + 5·Perímetro.
120 UNIUBE
 DICAS 
Lembre -se de que o perímetro de uma figura geométrica é dado pela soma dos comprimentos 
dos lados dessa figura.
Assim, o serviço em um dos terrenos seria dado pela seguinte função:
f = 1,50·Área + 5·Perímetro = 1,5·x2 + 5·4x
f(x) = 1,5x2 + 20x
O valor do serviço total seria calculado, então, pelo produto do valor do serviço em um 
terreno pelo número de terrenos onde o serviço seria realizado. Teríamos:
S = g(f) = 10·f
S = 10·(1,5x2 + 20x)
S(x) = 15x2 + 200x
Vamos adotar, aqui, uma medida para o lado do quadrado, apenas para ilustrar nu-
mericamente a composição de funções. Supondo que o lado de cada um dos terrenos 
meça 10 m, poderíamos calcular o valor total do serviço de duas formas:
1o modo
Calcularíamos o valor do serviço para um terreno:
f(12) = 1,5·122 + 20·12 = 1,5·144 + 240
f(12) = 216 + 240
f(12) = 456
O valor do serviço total poderia ser calculado multiplicando -se por 10 (número de ter-
renos) o valor do serviço de um terreno:
S = 10·f(12) = 10·456
S = 4560
 DICAS 
Lembre -se de que o perímetro de uma figura geométrica é dado pela soma dos comprimentos 
dos lados dessa figura.
UNIUBE 121
Assim, o valor total do serviço de limpeza e construção da cerca seria de R$ 4560,00.
2o modo
O valor total do serviço poderia ser calculado diretamente na função S(x) = 15x2 + 200x, 
substituindo nessa função o valor da medida do lado do terreno. Dessa forma, teríamos:
S(12) = 15·122 + 200·12
S(12) = 15·144 + 240 = 2150 + 2400
S(12) = 4560
Observe que o valor obtido para o serviço total é o mesmo encontrado anteriormente. 
Nessa segunda forma de se calcular o valor total do serviço, foi utilizado o conceito de 
função composta.
A composição de funções é um processo que consiste em substituir uma função “dentro” 
de outra, obtendo uma terceira função. No caso desse exemplo, a função S é resul-
tado da composição da função f, do preço para um terreno, com outra função g, que 
calcula o valor total para os dez terrenos.
Podemos escrever S = 10·f(x) ou S(x) = 10·(1,5x2 + 20x). Essa função S pode, então, ser 
entendida como resultado da composição entre duas funções f e g tais que:
f(x) = 1,5x2 + 20x e g(x) = 10x fazem S(x) = g(f(x))
A essa função S(x) denominamos composta de f em g e podemos escrever ainda 
S(x) = (gof)(x). Observe o esquema representado a seguir:
x
f g
1,5x2 + 20x
S = g(f(x))
150x2 + 200x
10
f g
456
S = g(f(x))
4560
Ao escrevermos (gof)(x) estamos apenas apresentando uma nova forma de simbolizar 
a expressão da função g(f(x)). As duas formas devem ser igualmente entendidas como 
122 UNIUBE
a função composta de f em g. Pode, ainda, aparecer uma terceira forma de simbolizar 
essa função composta, por (gof)(x).
 PONTO -CHAVE 
Independente da forma de apresentação, o que é fundamental é que você perceba como se 
realiza a composição entre duas funções. Um procedimento simples diz que, para encontrar 
a composta de f em g, basta substituir a função f no lugar onde aparece a variável na função 
g. De maneira análoga para se fazer a composição de uma função g em outra função f, de-
terminando a função (fog)(x), basta substituir a função g na variável da função f.
Exemplo 13
Considerando as funções f x
3
2
x =
-
^ h , g(x) = 9x2 + 12x e a composta p(x) = g(f(x)) responda 
às seguintes questões:
a) Determine a expressão da função p(x).
Para encontrarmos a expressão da composta, substituímos a expressão da função f 
na variável x da função g. Assim:
9 12
9 4 4 4 4 8
p x x
p x x x x x x
p x
3
2
3
2
9
4 4 2
4
x
x
x
2
2
2
2
$ $
$ $
=
-
+
-
=
- +
+ - = - + + -
= -
e e
^
^
^
^
o o
h
h
h
h
b) O valor numérico de p(5).
Conhecendo a expressão da função p(x) = 3x2 – 8x + 4, basta fazer p(5) = 52 – 4 obtendo 
p(5) = 21.
Ainda há outra forma de se obter a solução. Uma vez que p(5) = g(f(5)), é possível calcular, 
primeiro, o valor de f(5), para, em seguida, substituir esse valor na função g. Fazemos, 
então:
f
3
5 2
3
3 15 =
-
= =^ h
 PONTO -CHAVE 
Independente da forma de apresentação, o que é fundamental é que você perceba como se 
realiza a composição entre duas funções. Um procedimento simples diz que, para encontrar 
a composta de f em g, basta substituir a função f no lugar onde aparece a variável na função 
g. De maneira análoga para se fazer a composição de uma função g em outra função f, de-
terminando a função (fog)(x), basta substituir a função g na variável da função f.
UNIUBE 123
Substituindo o valor encontrado para f(5) na função g, obteríamos:
p(5) = g(f(5)) = g(1)
p(5) = 9·(1)2 + 12·1 = 9 + 12
p(5) = 21
Depois dessa visão geral, podemos, então, definir a função composta:
Para duas funções f: A → B e g: B → C, denomina -se função composta de f em g à 
função gof: A → C definida por gof(x) = g(f(x)) com x  A.
Em nossos estudos futuros, principalmente nos tópicos de derivação de funções, é 
importante que você consiga identificar, ao observar a expressão matemática de uma 
função qualquer, que ela pode ser resultado da composição de outras duas funções. 
Veja os exemplos a seguir:
a) h x10 10 5x
2$= - +^ h
pode ser entendida como h(x) = f(g(x)) em que f(x) = 10· x + 5 e g(x) = x2 – 10.
b) r(x) = 2·cos(3x + 9r)
é uma composta r(x) = (gof)(x) para g x
2
3
x
r
=
+
^ h e f(x) =2·cos x.
Vale ressaltar que esses exemplos somente ilustram a formação de uma função que 
pode ser encarada como uma composição de outras duas. De um modo geral, pode-
riam existir outras funções f e g, que por meio de uma composição entre elas também 
resultariam nas funções h(x) e r(x).
Você não precisa ficar tão preocupado em identificar todas essas possibilidades, e sim 
entender que para se formar uma função composta estamos substituindo, na variável 
de uma das funções, a expressão matemática da outra.
 AGORA É A SUA VEZ 
Após essa leitura, exercite os conceitos estudados realizando a Atividade 4.
Atividade 4
1. Sejam as funções f(x) = 4x – 1 e g(x) = 5 – 3x. Responda:
a) Determine o valor de x para que se tenha (fog)(x) = –1.
 AGORA É A SUA VEZ 
Após essa leitura, exercite os conceitos estudados realizando a Atividade 4.
Atividade 4
1. Sejam as funções f(f(f x) = 4x – 1 e x – 1 e x g(x) = 5 – 3x. Responda:
a) Determine o valor de x para que se tenha (fog)(x) = –1.
124 UNIUBE
b) Determine o valor de g(f(5))
2. Sejam as funções f(x) = 2x2 – 7 e g(x) = 5 – 3x. Determine a expressão das seguintes com-
postas:
a) fog(x) b) gof(x) c) f(f(x)) d) g(g(x))
 2.11 Outras funções polinomiais e funções racionais
As funções do primeiro e segundo grau estudadas anteriormente são dois tipos de 
funções polinomiais. Relembrando a você, os polinômios são expressões que têm a 
seguinte forma geral:
p(x) = an · xn + an–1 · xn–1 + an–2 · xn–2 + ... + a2 · x2 + a1 · x + a0
em que:
an, an–1, an–2 ... a2, a1, a0 são números reais denominados coeficientes do polinômio.
“n” é um número inteiro positivo ou nulo e indica o grau do polinômio.
Dessa forma, as funções do tipo f(x) = 5x2 + 12x, y = – 3x + 7 e f(x) = –4x3 – 15x2 + x – 3 
representam, respectivamente, polinômios de grau dois, um e três. Podemos então gene-
ralizar que toda função polinomial do tipo f(x) = an · xn + an–1 · xn–1 + ... + a2 · x2 + a1 · x + a0 
é uma função polinomial de grau “n”, com an ≠ 0.
A função racional é aquela que se apresenta na forma de quociente entre dois polinô-
mios. Veja os exemplos a seguir:
a) f
x
x x
2 5
3 1
x
2
=
+
- +
^ h
b) f
x
x x
1
15
x 3
4 2
=
+
-
^ h
Nessa unidade, enfocaremos o estudo de alguns conceitos que se aplicam às funções 
polinomiais e racionais e apresentaremos o comportamento de algumas funções poli-
nomiais mais elementares.
O domínio das funções polinomiais é o conjunto dos números reais, enquanto para as 
funções racionais o domínio é tal que o denominador não se anule.
b) Determine o valor de g(f(5))f(5))f
2. Sejam as funções f(f(f x) = 2x2x2x – 7 e g(x) = 5 – 3x. Determine a expressão das seguintes com-
postas:
a) fog(x) b) gof(gof(gof x) c) f(f(f f(f(f x)) d) g(g(x))
UNIUBE 125
Exemplo 14
a) f(x) = 3x4 + 12x3 + 5x2 tem domínio Df = R.
b) f
x
x x
1
2 4
x 3
4
=
+
+
^ h tem domínio tal que Df = R – {–1}, uma vez que devemos ter x3 + 1 ≠ 0.
c) g
x
x
9
2 5
x 2=
+
+
^ h tem domínio Dg = R, pois a condição x2 + 9 ≠ 0 é satisfeita para qual-
quer valor real de x.
Vamos apresentar alguns exemplos de funções polinomiais do tipo f(x) = an · xn com 
an  R, an ≠ 0 como, por exemplo: f(x) = 2·x3, f(x) = x4, f(x) = 3·x5 e f(x) = –3·x6.
Esse tipo de função, quando apresenta expoente par, comporta -se de modo semelhante 
à função f(x) = x2, no entanto, apresentando uma taxa de crescimento ou decrescimento 
numericamente maior, devido ao maior grau da potência. A seguir, indicamos os gráficos 
de alguns exemplos dessas funções (figuras 10 e 11):
y
x
f(x) = 3x4
f(x) = 2x4
f(x) = x4
Figura 10: Gráfico de funções polinomiais.
Já as funções f(x) = an · xn com expoente ímpar apresentam comportamento semelhante 
ao da função f(x) = x3. A seguir apresentamos o gráfico (Figura 11) dessa função e de 
outras.
126 UNIUBE
y
x
f(x) = 4x3
f(x) = 2x3
f(x) = x3
Figura 11: Gráfico de funções polinomiais.
 2.12 Funções definidas por diferentes sentenças
É comum nos depararmos com funções que apresentam diferentes expressões mate-
máticas, para uma determinada restrição do domínio, principalmente nos estudos do 
domínio e continuidade de funções.
Geralmente são formadas por funções polinomiais, racionais ou exponenciais.
Veja alguns exemplos dessas funções:
Exemplo 15
a) 
0
0
f
x
x x
x
x
2 5
6
, se
, se
x 2 2
#
=
+
+
^ h )
A função apresentada anteriormente comporta -se como função do primeiro grau para 
valores de x menores ou iguais a zero e como função quadrática para valores de x 
maiores que zero.
b) 
4
f
x
x
x
x
x
x
3
9
2 5
3
3 4
, se
, se
, se
x
2 1
2
#
#=
- -
-
-
-
-^ h
Z
[
\
]]
]
UNIUBE 127
 IMPORTANTE! 
Vale ressaltar que, para esse tipo de função, caso se necessite determinar o valor numérico 
da função em um ponto, deve -se tomar cuidado para verificar qual é a sentença que se deve 
utilizar.
Por exemplo, se desejássemos calcular o valor de f(0), deveríamos utilizar a expressão 
f(x) = x2 – 9, pois x = 0 está compreendido no intervalo –3 4. Assim, o valor encontrado 
como solução da equação não é raiz da função.
Veja, a seguir, na Figura 12, o gráfico da função do exemplo b. O gráfico de uma função 
definida por diferentes sentenças nada mais é do que uma junção dos gráficos de cada 
uma das sentenças, no intervalo onde essa sentença estiver definida.
 IMPORTANTE! 
Vale ressaltar que, para esse tipo de função, caso se necessite determinar o valor numérico 
da função em um ponto, deve -se tomar cuidado para verificar qual é a sentença que se deve 
utilizar.
Por exemplo, se desejássemos calcular o valor de f(0)f(0)f , deveríamos utilizar a expressão 
f(f(f x) = x2x2x – 9, pois x = 0 está compreendido no intervalo –3racional 7 18f x x x7 1x x7 1
2 5x2 5x
2x x2x x
=
+2 5+2 5
7 1- -7 1x x- -x x7 1x x7 1- -7 1x x7 1^ hf x^ hf x , determine qual é o elemento do domínio que 
tem imagem nula.
2. Construa o gráfico da função f(f(f x) = x4x4x e verifique as interseções dela com a função f(f(f x) = x2x2x .
3. Seja a função 
0
0 3
3
f x
x
0 3x0 3
x
2 1x2 1x
5
para
para
para
2 0 310 3
2
#
0 3#0 3=
2 1-2 1
^ hf̂ hf x^ hxf xf̂ hf xf * .
Calcule o valor da seguinte expressão: E = E = E f(–2)f(–2)f + f(0)f(0)f + f(f(f 5 ) + f(3)f(3)f + f(2006)f(2006)f
4. Seja a função cujo gráfico está indicado a seguir. Determine a lei de formação dessa função.
UNIUBE 129
5. Considere a função 2 5
5
g x
x
x x
x
x
x
x
3
1
6 10
3
1 4
2, se
, se
, se
2 1 1
2
#
=
-
+ +
-
^ h
Z
[
\
]
]]
]
]]
.
Determine:
a) g(5) c) g(6) e) g(0) + g(4)
b) g(2) d) as raízes dessa função.
 
5. Considere a função 2 5
5
g x
x
x x
x
x
2 5x2 5
x
3
1
6 10
3
1 4
2, se
, se
, se
2x x2x x 2 51 12 52 5x2 51 12 5x2 5
2
#
=
-
+ +x x+ +x x6 1+ +6 1x x6 1x x+ +x x6 1x x
-
^ hg x^ hg x
Z
[
\
]
Z
]
Z
]
]
]
]
]
[
]
[
]]]
]
[
]
[
]
]
]
]
]
\
]
\
]]]
.
Determine:
a) g(5) c) g(6) e) g(0) + g(4)
b) g(2) d) as raízes dessa função.
130 UNIUBE
Resumo
Neste capítulo, iniciamos o estudo de funções. Para tanto, enfocamos:
• definições importantes sobre funções, como lei de formação, domínio, imagem e 
contradomínio;
• representações de funções com a utilização de diagramas e o plano cartesiano. Para 
compreendermos o plano cartesiano, vimos a representação de pontos e, depois, 
como fazer a representação de uma função;
• as funções de primeiro e segundo grau, constante, composta, outras polinomiais e 
funções racionais e funções formadas por várias sentenças;
• as inequações de primeiro e segundo grau.
Referências
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicação. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
DEMANA, Franklin D. et al. Pré -cálculo. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2009.
MACHADO, Nilson. A matemática não é consenso. Folha de São Paulo. São Paulo, 29 jun. 
2007.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: 
Atlas, 2002.
THOMAS, George B. J. et al. Cálculo. 10. ed. v. 1. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 
2002.
WIKIPEDIA. Número de Euler. Disponível em: . Acesso em: 27 jan. 2010.
UNIUBE 131
 Outras funções 
elementares: modular, 
exponencial e 
logarítmica
 Capítulo
3
Valdir Barbosa da Silva Júnior /
Wilton Rezende de Freitas
Introdução
Prezado aluno, seja bem -vindo a mais um momento de estudos matemáti-
cos. No dia a dia de qualquer ser humano, a matemática se faz presente, 
auxiliando diversos profissionais em suas mais variadas áreas de atuação. 
A matemática nos mostra de forma interessante, e até mesmo prazerosa, 
como trabalhar a aritmética que está presente a todo instante em nosso co-
tidiano, seja nas informações gráficas, no cálculo de alturas não acessíveis, 
na matemática dos códigos de correção de erros, no uso dos supercompu-
tadores, entre outros. A época atual é de forte apelo tecnológico, em que as 
transmissões são feitas em alta velocidade e a troca de informações ocorre 
em tempo real.
Às vezes, nos perguntamos: Para que estudar matemática? Por que preciso 
conhecer logaritmos? Quando é que vou aplicar, na minha profissão, esses 
conceitos que, agora, parecem tão distantes?
Para termos uma ideia da importância dos logaritmos, por exemplo, sua 
invenção na primeira metade do século 17 representou para a astronomia e 
para a navegação algo próximo do que representa hoje o computador para 
essas áreas. De modo geral, as ciências físicas (química, física, oceanogra-
fia, astronomia) necessitam da matemática para o desenvolvimento de suas 
teorias. Em ecologia, a matemática tem sido usada quando se estudam as 
leis da dinâmica populacional. A estatística fornece teorias e métodos para 
a análise de muitos tipos de dados. A estatística também é essencial em 
medicina, para a análise de dados das causas de doenças e da utilidade de 
novas drogas. A viagem de avião não teria sido possível sem a matemática 
dos fluxos de ar e do controle de sistemas. Desde a Antiguidade e até hoje, 
o homem sempre teve a necessidade de avaliar distâncias inacessíveis. Na 
verdade, são raras as distâncias que podem ser medidas diretamente, com 
uma trena, por exemplo. Praticamente tudo o que desejamos saber sobre 
distâncias no mundo em que vivemos é calculado com o auxílio da trigono-
metria. Estas aplicações têm sido desenvolvidas frequentemente a partir de 
estudos, cada dia mais aprofundados, que buscam descobrir novas utilidades 
da matemática para o desenvolvimento social.
Neste capítulo, continuaremos nossos estudos sobre as funções elemen-
tares. Em especial, nosso objeto de estudo serão as funções modulares, 
exponenciais e logarítmicas. Tão importante quanto você conhecer estas 
funções, é você praticá -las por meio de exercícios e, no decorrer de seus 
estudos, você deverá buscar entender como estas importantes funções 
matemáticas são úteis na sua profissão.
Desejamos que o estudo deste capítulo contribua para fazer de você um 
estudante apaixonado pela matemática. Que descubra, dia a dia, o quão 
importante é esta ciência na vida do engenheiro, do administrador, do pro-
fissional da saúde, enfim, na vida de qualquer ser humano, independente 
da profissão escolhida, que trabalha e visa promover, com seu esforço, uma 
sociedade melhor.
Bons estudos!!!
Objetivos
Ao término deste capítulo, você deverá ser capaz de:
• definir módulo;
• reconhecer que o módulo de um número real é sempre positivo;
• definir e identificar funções, equações, inequações modulares, expo-
nenciais e logarítmicas;
• analisar o gráfico bem como o domínio das funções modulares, ex-
ponenciais e logarítmicas;
• aplicar logaritmos em operações aritméticas complicadas, tais como po-
tenciação e radiciação, transformando -as em operações mais simples;
• resolver problemas que envolvem funções modulares, exponenciais 
e logarítmicas.
134 UNIUBE
Esquema
3.1 Módulo
3.2 Funções, equações e inequações modulares
3.2.1 Função modular
3.2.2 Equações modulares
3.2.3 Inequações modulares
3.3 Funções, equações e inequações exponenciais
3.3.1 Equação exponencial
3.3.2 Função exponencial
3.3.3 Inequação exponencial
3.4 Logaritmos e funções logarítmicas
3.4.1 Logaritmos
3.4.2 Função logarítmica
 3.1 Módulo
Você, agora, estudará módulo e sua aplicação matemática. Para tanto, precisamos 
formalizar a definição de módulo!
Seja x um número real tal que x  R, dizemos que o módulo de x por |x| é tal que:
, 0
, 0x
x
x
x
x
se
se 1
$
=
-
)
Podemos dizer então que:
• o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero;
• o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;
• o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.
UNIUBE 135
Observe e analise alguns exemplos:
|–3| = 3
| 3 | = 3
|– 8 | = 8
 TROCANDO IDEIAS 
Conhecer módulo e sua aplicação matemática é passo essencial para que você possa, adiante, 
estudar as funções, equações e inequações modulares. Portanto, se você tem dúvidas sobre 
o que leu até aqui, procure saná -las.
 3.2 Funções, equações e inequações modulares
Neste momento, estudaremos as funções, equações e inequações modulares. Vamos 
a elas!
 3.2.1 Função modular
Definida da mesma forma que o módulo, podemos dizer que, na função modular, a 
cada x  R, associa -se o elemento |x|  R, ou seja, é a função f: R → R tal que f(x) = |x|.
 
Você, certamente, deve estar se perguntando: como é o gráfico da função modular?
Pois bem, o gráfico da função modular é a reunião de duas semirretas de origem 0, que 
são as bissetrizes do 1o e 2o quadrante. Observe a Figura 1 a seguir:
 TROCANDO IDEIAS 
Conhecer módulo e sua aplicação matemática é passoessencial para que você possa, adiante, 
estudar as funções, equações e inequações modulares. Portanto, se você tem dúvidas sobre 
o que leu até aqui, procure saná -las.
Você, certamente, deve estar se perguntando: como é o gráfico da função modular?
136 UNIUBE
Figura 1: Gráfico de uma função modular.
O conjunto imagem da função modular é R+ (Im = R–), isto é, a função modular assume 
somente valores reais não negativos.
Vamos discutir um novo exemplo. Podemos observar que a função f(x) pode ser rees-
crita como:
2 1
1
, 2
, 2
, 2
, 2
f x
x
x
x
x
f x
x
x
x
x2
3
1
se
se
se
se
&
1 1
$ $
=
- -
- - -
=
-
- +
^
^
^h
h
h) )
Vamos, agora, aprender como montar o gráfico de uma função modular?
Esboce o gráfico da função f(x) = |x – 2| – 1.
• O primeiro passo é obedecer à condição de existência.
• O segundo passo é, na função, atribuir, no mínimo, dois valores para x.
x ≥ 2 x 7
|2x2 – 1| > –3
 Há diferença entre uma equação e uma inequação?
A resposta é a ausência do sinal de igualdade, ou, melhor dizendo, a presença dos 
sinais de .
 EXEMPLIFICANDO! 
Para compreender melhor as inequações modulares, observe os exemplos a seguir:
a) |x – 1| 0 e a ≠ 0, temos:
ax1 = ax2 ⇔ x1 = x2
 
Mas o que é uma função Injetora? Vamos relembrar?
Uma função f: A → B é injetora se quaisquer dos elementos distintos de A sempre 
possuem imagens distintas em B como, por exemplo:
• A função f: x → f(x) definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos 
dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).
• A função f: x → f(x) definida por f(x) = x2 + 5 não é injetora, pois parax = 1, temos 
f(1) = 6 e para x = –1 temos f(–1) = 6.
Veja a seguir alguns exemplos de equações exponenciais.
a) 5x = 53 → x = 3 → S = {3}
b) 4x = 2 → 22x = 21 → 2x = 1 → x = 
2
1 → S = 
2
1) 3
c) 27x = 81 → 33x = 34 → 3x = 4 → x = 
3
4 → S = 3
4' 1
Mas o que é uma função Injetora? Vamos relembrar?
UNIUBE 143
3.3.2 Função exponencial
Dado um número real a, tal que 1 ≠ a >0, chamamos de função exponencial qualquer 
função de R em R*+, definida por f(x) = ax, cuja base é a.
Exemplo 5
f(x) = 2x; f(x) = ( 2 )x; f(x) = (0,36)x
Você certamente deve estar curioso para conhecer o gráfico de uma função exponen-
cial. Pois bem!
O gráfico de uma função exponencial crescente (a > 1) é constituído por uma hipérbole 
que nos faz lembrar a decolagem de um avião. Veja -o na Figura 4 a seguir.
Se a >1:
Figura 4: Gráfico de uma função exponencial crescente.
O gráfico de uma função exponencial decrescente (0 1, a função é crescente (x1 > x2) ⇒ ax1 > ax2.
Para 0 x2) ⇒ ax1 > ax2.
Quando definida de R em R*+, a função F(x) = ax é:
→ Injetora, x1 ≠ x2 ⇒ ax1 ≠ ax2 ou ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2
→ Sobrejetora CD(F) = Im(F) = R*+
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Observe que, sendo uma injetora e uma sobrejetora, a função exponencial é bijetora, portanto 
admite inversa, que será a função logarítmica, que você irá estudar ainda neste capítulo.
 3.3.3 Inequação exponencial
Pois bem, você já estudou as equações e as funções exponenciais. Agora, você irá 
estudar as inequações exponenciais.
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Observe que, sendo uma injetora e uma sobrejetora, a função exponencial é bijetora, portanto 
admite inversa, que será a função logarítmica, que você irá estudar ainda neste capítulo.
UNIUBE 145
Uma inequação é dita exponencial quando a incógnita está no expoente.
Veja, a seguir, alguns exemplos:
2x > 32 → 2x > 24 → x > 4 → S = { x > 4 }
3
1 x
e o ≤ 81 → 3–x ≤ 34 → –x ≤ 4 → x ≥ –4 → S = { x ≥ –4 }
 DICAS 
Para resolvermos uma inequação exponencial, devemos escrevê -la em potência de mesma 
base.
Sendo a função exponencial f(x) = ax, crescente para a >1 e decrescente para 0 64 b) 
3
1 x
e o ≤ 27 c) ( 2 )x ≥ 4 2
2. Resolva as equações:
a) 3x2+1 = 243 b) 2–x²–2x+8 = 
8
1
 DICAS 
Para resolvermos uma inequação exponencial, devemos escrevê -la em potência de mesma 
base.
 AGORA É A SUA VEZ 
Após a leitura, resolva os exercícios indicados adiante. Eles tratam de equações e inequações 
exponenciais. Bom trabalho!
Atividade 2
1. Resolva as seguintes inequações:
a) 2x > 64 b) x > 64 b) x
x
e o3e o3
1e o1e o ≤ 27 c) ( 2 )x ≥ 4x ≥ 4x 2
2. Resolva as equações:
a) 3x2+1x2+1x = 243 b) 2–x²–2x²–2x x+8 = 
8
1
146 UNIUBE
 TROCANDO IDEIAS 
Concluímos, portanto, o estudo das funções, equações e inequações exponenciais. Se ainda 
restam dúvidas sobre estes assuntos, sugiro que você faça uma revisão do conteúdo estudado.
 3.4 Logaritmos e funções logarítmicas
 3.4.1 Logaritmos
Prezado aluno, para que você estude com êxito as funções logarítmicas, vamos, rapi-
damente, definir o que são logaritmos e suas principais propriedades.
Sendo a e b números reais e positivos com a ≠ 1, chamamos de logaritmo de b na 
base a o expoente real x, ao qual se eleva a para obter b. Isto é, logb
a = x ⇒ ax = b com 
a > 0, b > 0 e b ≠ 1.
Observe, a seguir, alguns exemplos:
log8
2 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3
9 3 3 2 2log x x x
3
1 x
x
3
1
9 2
& & & &= = = - = =--e o
São consequências da definição de logaritmo:
a) log1
a = 0, pois a0 = 1
b) loga
a = 1, pois a1 = a
c) loga
am = m, pois am = am
d) alogb
a = b, pois logb
a = x ⇒ ax = b
Quando aplicamos a definição de logaritmo, solucionamos grande parte de nossos 
problemas, mas podemos ainda tentar facilitar os cálculos utilizando algumas proprie-
dades a fim de simplificar as expressões. A seguir, você irá estudar quatro propriedades.
Concluímos, portanto, o estudo das funções, equações e inequações exponenciais. Se ainda 
restam dúvidas sobre estes assuntos, sugiro que você faça uma revisão do conteúdo estudado.
UNIUBE 147
1ª propriedade: Logaritmo do produto
Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual à 
soma dos logaritmos de cada um desses números:
loga
(b·c) = loga
b + loga
c
Para compreender melhor esta propriedade, observe o exemplo a seguir:
log2
(64·128) = log2
64 + log2
128 = log2
26 + log2
27
= 6·log2
2 + 7·log2
2 = 6 + 7 = 13
Há um segundo caminho, até mais fácil, para a resolução do problema anterior. Observe:
log2
64 = x ⇒ 2x = 26 ⇒ x = 6
log2
128 = y ⇒ 2y = 27 ⇒ y = 7
x + y = 6 + 7 = 13
2ª propriedade: Logaritmo de um quociente
Em qualquer base o logaritmo do quociente de dois números reais é igual à diferença 
entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.
log log loga
c
b
a
b
a
c
= -
c m
Veja o exemplo a seguir:
 EXEMPLIFICANDO! 
0 3 3log log log2
8
1
2
1
2
8
= - = - =-
c m
 IMPORTANTE! 
O logaritmo sempre muda de sinal quando o logaritmando tem sua base invertida, ou seja, 
quando o numerador do logaritmando passa a ser denominador e vice -versa. Exemplos:
 EXEMPLIFICANDO! EXEMPLIFICANDO! 
0 3 3log log log2
1
2
1
2
8
= -log= -log2= -2 = - =0 3= - =0 3 -
c m8c m8
1c m1
 IMPORTANTE! 
O logaritmo sempre muda de sinal quando o logaritmando tem sua base invertida, ou seja, 
quando o numerador do logaritmando passa a ser denominador e vice -versa. Exemplos:
148 UNIUBE
log log3
5
1
3
5
=-
log log2
4
3
2
3
4
=-
Portanto, diz -se que o cologaritmo de c na base a é cologc
a = – logc
a
3ª propriedade: Logaritmo de uma potência
Numa determinada base, o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente 
pelo logaritmo de base da potência.
loga
bn = n·loga
b
Observe a aplicação desta propriedade nos exemplos citados a seguir:
log2
32 = log2
25 = 5·log2
2 = 5·1 = 5
3·log2
2 = log2
23 = log2
8 = 3
log log log
log
3
1
3
1 1
3
1 1
3
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3
1 1
$
$ $ $
= =
= - =- =-
-
^
c
c
h
m
m
4ª propriedade: Mudança de base
Para escrevermos o logb
a, usando logaritmos na base c realizamos a mudança de base:
log
log
log
b
a
c
b
c
a
= (para c > 0, b > 0, a >0, b ≠ 1 e c ≠ 1)
Observe e analise estes exemplos:
log
log
log
3
5
2
3
2
5
=
log
log
log
7
8
7
8
=
log log3
5
1
3
5
=-
log log2
4
3
2
3
4
=-
Portanto, diz -se que o cologaritmo de c na base a é cologc na base a é cologc c
a = – logc
a
UNIUBE 149
As propriedades que você acabou de estudar visam facilitar a solução de operações 
que envolvem logaritmo. Portanto, sempre que necessário for, recorra a elas!
 3.4.2 Função logarítmica
Uma vez revisado o conceito de logaritmo e suas principais propriedades, você está 
apto a estudar a função logarítmica.
Dado um número real a com (0 0)
São, portanto, exemplos de funções logarítmicas:
y = log2
x; y = logx
10; y = loge
x
A função exponencial, que é definida de R em R*+, é bijetora e portanto admite função 
inversa, que é a função logarítmica.Portanto:
f(x) = ax, definida de R em R*+
f –1(x) = loga
x, definida de R*+ em R
 
Você, certamente, está se perguntando: mas o que é função inversa?
Dada uma função bijetora f : A → B, denomina -se função inversa de f à função g: B → A, 
tal que se f(a) = b, então g(b) = a. Assim temos a função inversa de f por f –1.
Exemplo 6
Sejam A = {1,2,3,4,5}, e a função f : A → B definida por f(x) = 2x e g: B → A definida 
por g(x) = x
2
. Observe você, na Figura 6 a seguir, as situações das setas indicativas 
das duas funções.
Você, certamente, está se perguntando: mas o que é função inversa?
150 UNIUBE
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
f(x) = 2x
A B
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
g(x) = x/2
A B
Figura 6: Exemplo de função inversa.
Então, como obter uma função inversa? Vejamos: Seja a função f : x → f (x), para 
f (x) = x + 2. Colocando y no lugar de f(x), teremos y = x + 2. Trocando x por y e y por 
x, teremos x = y + 2. Se y for isolado, teremos y = x – 2. Assim, g(x) = x – 2 é a função 
inversa de f(x) = x + 2.
Pronto, agora com o conceito de função inversa fica mais fácil de entendermos as 
funções logarítmicas.
De um modo geral, o gráfico da função y = loga
x tem as características ilustradas nas 
figuras 7 e 8 apresentadas a seguir:
Para a > 1, ou seja, função logarítmica crescente:
Figura 7: Gráfico de uma função logarítmica crescente.
UNIUBE 151
Para 0 0, x – 1 > 0 e x – 1 ≠ 1. Portanto:
3 – x > 0 ⇒ x 0 ⇒ x > 1 (II)
x – 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2 (III)
Fazendo a interseção dos conjuntos (I), (II) e (III), resulta 1 . Acesso em: 27 jan. 2010.
UNIUBE 155
Anotações
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Anotações
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________a operação de potenciação, identificar e aplicar suas pro-
priedades;
• solucionar equações polinomiais;
• determinar o valor de expressões numéricas;
• efetuar divisão de polinômios;
• fatorar e simplificar expressões algébricas;
• reconhecer a operação de radiciação, identificar e aplicar suas pro-
priedades;
• realizar operações de racionalização;
• determinar soluções reais e complexas das equações polinomiais.
2 UNIUBE
Esquema
1.1 Conjuntos numéricos
1.1.1 Conjunto dos números naturais (N)
1.1.2 Conjunto dos números inteiros (Z)
1.1.3 Conjunto dos números racionais (Q)
1.1.4 Conjunto dos números irracionais (I)
1.1.5 Conjunto dos números reais (R)
1.2 Potenciação
1.2.1 Potência com expoente inteiro positivo
1.3 Frações
1.3.1 Igualdade de frações
1.3.2 Soma e subtração de frações
1.3.3 Produto de frações
1.3.4 Divisão de frações
1.4 Expressões numéricas
1.5 Equações polinomiais
1.5.1 Equações polinomiais do 1o grau
1.5.2 Equações polinomiais do 2o grau
1.5.3 Equações incompletas
1.5.4 Dispositivo prático para determinar as raízes
1.6 Produtos notáveis
UNIUBE 3
1.6.1 Outros produtos notáveis
1.7 Fatoração
1.8 Simplificação de expressões algébricas
1.8.1 Divisão de monômios
1.8.2 Outras operações com expressões algébricas
1.9 Radiciação e racionalização
1.10 Outras equações polinomiais e divisão de polinômios
1.10.1 Equações polinomiais com grau maior ou igual a 3
1.10.2 Divisão de polinômios
1.11 Introdução aos números complexos
1.12 Determinando as raízes de um polinômio
 1.1 Conjuntos numéricos
 
Quando nos referimos a um conjunto, o que vem à sua mente?
Um conjunto formado por peças de um vestuário. Um conjunto de rock, ou música 
pop -rock. Aquela coleção de carrinhos ou bonecas que iniciou na infância. A lista de 
contatos do serviço.
Você percebe que temos várias coleções ou conjuntos e objetos com os quais lidamos 
diariamente?
Entenda por conjunto uma coleção qualquer: de animais, números, objetos etc. Já os 
objetos que formam um conjunto são denominados elementos.
Quando nos referimos a um conjunto, o que vem à sua mente?
4 UNIUBE
Um conjunto é geralmente representado por uma letra maiúscula (e os elementos por 
uma letra minúscula) e se apresenta de três formas:
1. Enumerando seus elementos, escrevendo -os entre chaves e separando -os por 
vírgulas, como:
A = { segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo }
B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
C = { a, e, i, o, u }
2. Por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos, como por exemplo:
A = { x | x é um dia da semana }. Lê -se: Conjunto A, formado por elementos x, tal que 
“x” é um dia da semana.
B = { x | x é um número ímpar entre 0 e 10 }.
C = { x | x é vogal }. Lê -se: “C é o conjunto dos elementos x, tal que x é vogal”
3. Por uma figura denominada diagrama de Venn. Veja um exemplo dessa represen-
tação na Figura 1 a seguir:
a e i
o u
A
Figura 1: Representação conjunto A.
A utilização de uma ou de outra forma de representação será de acordo com a situação 
proposta.
Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado conjunto. Utilizamos 
o símbolo  quando um elemento pertence a um conjunto, e o símbolo  quando não 
pertence.
Vamos tomar o conjunto B apresentado anteriormente para exemplificar a utilização 
desses símbolos: B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
1  B – lê -se: o elemento 1 pertence ao conjunto B.
UNIUBE 5
7  B – lê -se: o elemento 7 pertence ao conjunto B.
8 Ó B – lê -se: o elemento 8 não pertence ao conjunto B.
15 Ó B – lê -se: o elemento 15 não pertence ao conjunto B.
Veja, a seguir, algumas propriedades dos conjuntos!
• Igualdade de conjuntos: Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos 
elementos.
Indica -se A = B (A é igual a B) e a negação da igualdade é indicada por A ≠ B. (A é 
diferente de B).
• Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é re-
presentado por { } ou Ø. Para exemplificar vamos considerar o conjunto A a seguir:
A = { x | x é um ser humano vivo com mais de 300 anos de idade }
Podemos concluir que não existe nenhum elemento que pertença ao conjunto A. 
Neste sentido A= { }.
• Subconjuntos: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B se 
todos os elementos do conjunto A pertencerem ao conjunto B.
Escreve -se A , B e lê -se A está contido em B, ou B . A e lê -se B contém A. A negação 
destas relações é feita por meio dos símbolos ÷ (não está contido) e À (não contém).
 IMPORTANTE! 
Fique atento às regras!
Todo conjunto A é subconjunto dele próprio: A , A.
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto: Ø , A.
 EXEMPLIFICANDO! 
Dados A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 3, 5 } temos que o conjunto B está contido no conjunto 
A, ou seja, B , A.
 IMPORTANTE! 
Fique atento às regras!
Todo conjunto A é subconjunto dele próprio: A , A.
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto: Ø , A.
 EXEMPLIFICANDO! 
Dados A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 3, 5 } temos que o conjunto B está contido no conjunto 
A, ou seja, B , A.
6 UNIUBE
Observe com atenção a Figura 2 a seguir, onde esses conjuntos estão representados em 
um diagrama de Venn, auxiliando na visualização de que o conjunto A contém o conjunto B.
• 1
 • 5
• 3
 • 0
• 2
 • 4
A B
Figura 2: Diagrama de Venn.
• União de conjuntos: dados os conjuntos A e B, define -se como união dos conjuntos A 
e B o conjunto representado por A B, formado por todos os elementos 
pertencentes a A e B, simultaneamente (Figura 4), ou seja:
A > B = { x / x  A e x  B }.
A B
A > B
Figura 4: Intersecção de conjuntos.
• Diferença de conjuntos: dados os conjuntos A e B, define -se como diferença entre A 
e B (nesta ordem) o conjunto representado por A – B, formado por todos os elementos 
pertencentes a A, mas que não pertencem a B (Figura 5), ou seja:
A – B = { x | x  A e x Õ B}
Observe com atenção a Figura 2 a seguir, onde esses conjuntos estão representados em 
um diagrama de Venn, auxiliando na visualização de que o conjunto A contém o conjunto B.
• 1
 • 5
• 3
 • 0
• 2
 • 4
A B
Figura 2: Diagrama de Venn.
UNIUBE 7
A B
A – B
Figura 5: Diferença de conjuntos.
 
Você já respondeu a algum questionário de opinião, por exemplo, preferência por determinada 
marca de determinado produto, opção de voto etc.?
Esses questionários são muito utilizados e com base nos resultados chega -se a várias 
conclusões. Para visualizar os resultados é comum a utilização dos diagramas de Venn 
como um recurso matemático. Observe com atenção os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Uma prova de Matemática foi proposta a uma turma com 95 alunos. A prova foi elabo-
rada com apenas duas questões e o resultado foi:
• 27 alunos acertaram as duas questões;
• 39 alunos acertaram a primeira questão;
• 48 alunos acertaram a segunda questão.
Vamos representar o resultado da turma utilizando um diagrama de Venn. Assim, temos:
PQ SQ
35
12 27 21
U
 
Como chegar aos valores apresentados?
Você já respondeu a algum questionário de opinião, por exemplo, preferência por determinada 
marca de determinado produto, opção de voto etc.?
Como chegar aos valores apresentados?
8 UNIUBE
Temos no problema exposto um conjunto universo U igual a 95 alunos, e esse universo 
é subdividido em subconjuntos menores que são:
• PQ: subconjunto que representa os alunos que acertaram a primeira questão;
• SQ: subconjunto que representa os alunos que acertaram a segunda questão;
• PQ > SQ (intersecção entre os conjuntos PQ e SQ): subconjunto que representa 
os alunos que acertaram as duas questões.
 DICAS 
Lembre -se de que a intersecção é o valor comum entre dois ou mais conjuntos.
• U – PQ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________entre o conjunto universo e a união dos conjuntos PQ e SQ): 
subconjunto que representa os alunos que erraram as duas questões.
Vamos compreender!
Então, chamamos de “PQ” o diagrama dos alunos que acertaram a primeira questão e 
de “SQ” o diagrama dos alunos que acertaram a segunda questão.
Como 27 acertaram as duas questões, esse valor representa a intersecção entre os 
dois conjuntos (PQ > SQ).
Tínhamos 39 alunos que acertaram a primeira questão. Então, para chegar aos 12 
alunos, subtraímos de 39 os 27, que é a nossa intersecção.
Tínhamos 48 alunos que acertaram a segunda questão. Então, para chegar aos 21 
alunos, subtraímos de 48 os 27, que é a nossa intersecção.
Como a soma de todas as partes (subconjuntos) tem que ser igual a 95, temos que 
subtrair dos 95 as outras partes (subconjuntos) para chegar a 35 alunos, que são os 
que erraram ambas as questões. Fazemos, então:
95 – 12 – 27 – 21 = 35
Após esse detalhamento, podemos responder a alguns questionamentos, como:
a) Quantos alunos erraram as duas questões?
Resposta: 35 alunos.
 DICAS 
Lembre -se de que a intersecção é o valor comum entre dois ou mais conjuntos.
UNIUBE 9
b) Quantos alunos acertaram somente a primeira questão?
Resposta: 12 alunos.
c) Quantos alunos acertaram somente a segunda questão?
Resposta: 21 alunos.
d) Quantos alunos acertaram apenas uma questão?
Resposta: 33 alunos.
 IMPORTANTE! 
Para chegar ao resultado anterior, somamos o número de alunos que acertaram a primeira 
questão com os alunos que acertaram a segunda questão. Portanto, alunos que tinham acer-
tado só uma questão. Fizemos, então: 12 + 21 = 33
e) Quantos alunos não acertaram a primeira questão?
Resposta: 56 alunos.
Para chegar a este resultado, somamos o número de alunos que acertaram somente a 
segunda questão com o número de alunos que erraram as duas questões.
f) Quantos alunos erraram a segunda questão?
Resposta: 47 alunos.
Para chegar a este resultado somamos o número de alunos que acertaram somente a 
primeira questão com o número de alunos que erraram as duas questões.
Exemplo 2
Numa pesquisa de opinião, um total de 800 pessoas foram entrevistadas sobre qual 
jornal elas liam. As respostas foram tabuladas e obtiveram -se os seguintes dados:
• 90 leem os três jornais;
• 260 leem os jornais Diário e Pasquim;
• 240 leem os jornais Diário e Planeta;
 IMPORTANTE! 
Para chegar ao resultado anterior, somamos o número de alunos que acertaram a primeira 
questão com os alunos que acertaram a segunda questão. Portanto, alunos que tinham acer-
tado só uma questão. Fizemos, então: 12 + 21 = 33
10 UNIUBE
• 240 leem os jornais Pasquim e Planeta.
• 430 leem o jornal Diário;
• 490 leem o jornal Pasquim;
• 500 leem o jornal Planeta.
Agora, responda:
Quantas pessoas não leem nenhum dos jornais?
Qual o total de pessoas que leem somente um dos jornais?
Para a resolução desse exemplo, vamos representar os três conjuntos por meio de 
diagramas de Venn, que se interceptam e possuem regiões em comum, uma vez que 
a pesquisa indicou existirem pessoas que leem dois ou três jornais.
Inicialmente, vamos representar a região de interseção entre os três conjuntos, onde 
existem 90 leitores (Figura 6).
Planeta
90
DiárioPasquim
Figura 6: Interseção entre três conjuntos.
 DICAS 
Devemos sempre começar o preenchimento pelas regiões de interseção.
Em seguida, vamos preencher as regiões desse diagrama de acordo com as quanti-
dades indicadas no enunciado.
 DICAS 
Devemos sempre começar o preenchimento pelas regiões de interseção.
UNIUBE 11
O enunciado indicou que 260 leem os jornais Pasquim e Diário. No entanto, já sabe-
mos que 90 pessoas leem os três jornais. Assim, para preenchermos a região do dia-
grama que indica os leitores, dentre esses 260, que leem somente os jornais Pasquim 
e Diário, devemos fazer:
260 – 90 = 170 leitores de Pasquim + Diário
Da mesma forma, fazemos:
240 – 90 = 150 leitores de Diário + Planeta
240 – 90 = 150 leitores de Pasquim + Planeta
Preenchemos, então, mais algumas regiões do diagrama (Figura 7):
Planeta
90
150 150
170
DiárioPasquim
Figura 7: Diagrama de leitores.
Precisamos agora encontrar as quantidades de leitores que leem somente um dos 
jornais. Para determinarmos essas quantidades, vamos tomar o total de leitores de 
cada um dos jornais, e em seguida subtrairmos os valores que já estão indicados nos 
diagramas.
Por exemplo, para determinarmos o número de pessoas que leem somente o jornal 
Pasquim, fazemos:
490 – 150 – 90 – 170 = 80 pessoas
De maneira semelhante, podemos determinar quantas pessoas leem somente o jornal 
Diário, ou somente o jornal Planeta:
430 – 170 – 90 – 150 = 20 pessoas leem somente o Diário
500 – 150 – 90 – 150 = 110 pessoas leem somente o Planeta
Preenchemos, então, as regiões restantes do diagrama de Venn (Figura 8):
12 UNIUBE
Planeta
90
150
80 20
110
150
170
DiárioPasquim
Figura 8: Diagrama de Venn.
As regiões do diagrama representam as quantidades de pessoas que leem um, dois ou 
três jornais. Vamos, agora, responder às questões propostas no exemplo:
a) Quantas pessoas não leem nenhum dos jornais?
Somamos as quantidades indicadas em todas as regiões do diagrama anterior, que 
resulta em 770 pessoas, e retiramos esse valor do total de pessoas entrevistadas (800 
pessoas). Temos, então:
800 – 770 = 30 pessoas não leem nenhum dos jornais
b) Quantas pessoas leem somente um dos jornais?
Ao nos referirmos às pessoas que leem somente um dos jornais, estamos falando 
daqueles leitores que leem somente o Diário, ou somente o Planeta ou somente o 
Pasquim. Assim, temos:
80 + 20 + 110 = 210 pessoas leem somente um dos jornais.
1.1.1 Conjunto dos números naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de N é o conjunto N* (naturais não nulos):
N* = { 1, 2, 3, 4, 5,...}
Qual a diferença dessa representação para a anterior?
Veja que o zero foi excluído do conjunto N.
UNIUBE 13
 1.1.2 Conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
O conjunto Z é subconjunto de Z.
Temos, também, outros subconjuntos de Z:
Z* = Z – {0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Z– = conjunto dos inteiros não positivos = {0, –1, –2, –3, –4, –5, ...}
 1.1.3 Conjunto dos números racionais (Q)
Um número é denominado racional quando puder ser representado por meio de uma 
fração, ou seja, quando pode ser escrito na forma 
b
a (com a  Z e b  Z*). Assim, 
podemos escrever:
Q = { x | x = 
b
a , com a  Z e b  Z* }
O conjunto dos números racionais representa a união do conjunto dos números inteiros, 
com as frações positivas e negativas, que resultam nos diversos números decimais que 
se encontram entre dois números inteiros quaisquer.
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Para entender que um número inteiro também é um racional lembre -se, por exemplo, de que 
o número inteiro 5 pode ser representado como uma fração na forma 
2
10 ou 
8
40
-
- ou outra 
fração qualquer cuja divisão resulte no número cinco, desde que o denominador não seja nulo.
É possível representarmos um número racional, na forma decimal, que se obtém divi-
dindo a por b. Essa divisão entre dois números inteiros pode então resultar num decimal 
exato ou, ainda, em um decimal periódico infinito.
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Para entender que um número inteiro também é um racional lembre -se, por exemplo, de que 
o número inteiro 5 pode ser representado como uma fração na forma 
2
10 ou 
8
40
-
- ou outra 
fração qualquer cuja divisão resulte no número cinco, desde que o denominador não seja nulo.denominador não seja nulo.denominador
14 UNIUBE
 EXEMPLIFICANDO! 
• Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
4
1 = 0,25 
20
75 = 3,75
• Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
3
7 = 2,333... 
7
6 = 0,857142857142...
 
Você se recorda do procedimento de transformar um número racional da forma decimal para 
a forma fracionária?
Quando o decimal for exato, basta transformá -lo em uma fração cujonumerador é o 
numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos 
zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado.
Exemplo 3
1,729 = 
1000
1729 (3 casas decimais – acrescentam -se 3 zeros no denominador)
4,14 = 
100
414 (2 casas decimais – acrescentam -se 2 zeros no denominador)
Neste caso, não podemos nos esquecer de simplificar a fração. Assim:
2 2
2 2
414 212 106
100 50 25
÷ ÷
÷ ÷
= =
Realize, agora, a seguinte divisão: 
9
4
Aproveite e anote o seu resultado.
Você deve ter chegado ao resultado da dízima periódica 0,4444....
 EXEMPLIFICANDO! 
• Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
4
1 = 0,25 
20
75 = 3,75
• Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
3
7 = 2,333... 
7
6 = 0,857142857142...
Você se recorda do procedimento de transformar um número racional da forma decimal para 
a forma fracionária?
UNIUBE 15
Definições importantes:
• Denominamos dízima periódica ao número decimal infinito que apresenta um período 
de repetição, ou seja, um ou mais algarismos que se repetem infinitamente.
• Ao número racional que gera a dízima periódica, denominamos fração geratriz.
Nesse caso, o período é dado pelo algarismo 4, e 
9
4 é a fração geratriz da dízima.
Observe outros exemplos:
12,474747...: o período é dado por 47.
9,12835835835...: o período é dado por 835.
Exemplo 4
Vamos considerar que você não conhecesse a fração geratriz do número decimal 
0,444... Como poderia encontrá -la?
 COMPARANDO 
Acompanhe, agora, nossa resolução e compare os resultados.
Para transformar a dízima periódica 0,444... em fração, podemos seguir os passos 
enumerados:
1o passo
Inicialmente, igualamos a dízima periódica a uma variável x. Assim, temos:
0,444... = x
2o passo
Observe o período. Como no nosso exemplo o período é 4, você multiplicará ambos 
os membros (do passo anterior) por 10, de modo que a vírgula se desloque para a 
direita até que se tenha, na parte antes da vírgula, um período inteiro de repetição da 
dízima. Temos:
10x = 4,444...
 COMPARANDO 
Acompanhe, agora, nossa resolução e compare os resultados.
16 UNIUBE
3o passo
Subtraia membro a membro a equação do 1° passo da equação do 2° passo.
10x = 4,444...
– x = 0,444...
9x = 4
Observe que essa subtração eliminou o período de repetição da dízima.
4o passo
Resolva a equação resultante e obtenha a fração geratriz.
9x = 4 → x = 
9
4
Logo, 0,444... = 
9
4
Exemplo 5
Escreva o número 3,2145454545... na forma fracionária.
 COMPARANDO 
Agora, veja nossa resolução e compare os resultados.
Para escrever 3,2145454545... na forma fracionária temos que analisar o período e os 
números que não fazem parte dele.
x = 3,21454545...
Observe que nesse caso o decimal apresenta uma parte não periódica, então devemos 
transformá -la numa parte inteira, deslocando a vírgula duas casas para a direita.
100x = 321,454545...
 COMPARANDO 
Agora, veja nossa resolução e compare os resultados.
UNIUBE 17
 IMPORTANTE! 
Para deslocar a vírgula duas casas para a direita, seria necessário que se multiplicasse por 
100 o segundo membro da igualdade. Assim, para que a igualdade se mantivesse como ver-
dadeira, o primeiro membro também foi multiplicado por 100.
Agora, responda: o que ficou à direita da vírgula? Você deve ter observado que temos 
aí apenas os períodos. Neste momento, podemos prosseguir como no exemplo anterior.
10000x = 32145,4545...
–100x = 321,454545...
9900x = 318247
 x = 
9900
318247 (simplificando a fração por 36)
 x = 
275
884
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Podemos representar todos os números decimais utilizando frações?
Para responder a esse questionamento, surge o conjunto dos números irracionais. 
Veja -o, a seguir:
 1.1.4 Conjunto dos números irracionais (I)
Observe os números a seguir:
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508...
r = 3,1415926535...
e = 2,718281...
 IMPORTANTE! 
Para deslocar a vírgula duas casas para a direita, seria necessário que se multiplicasse por 
100 o segundo membro da igualdade. Assim, para que a igualdade se mantivesse como ver-
dadeira, o primeiro membro também foi multiplicado por 100.
 PARADA PARA REFLEXÃO 
Podemos representar todos os números decimais utilizando frações?
18 UNIUBE
 EXPLICANDO MELHOR 
r – lê -se pi
É um importante número irracional, que representa a razão entre as grandezas do perímetro 
de uma circunferência e seu diâmetro.
e – número de Euler (pronuncia -se óilar), assim chamado em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais ou neperianos.
Fonte: Wikipedia (2010).
 
Podemos identificar seus períodos?
Se você respondeu não, acertou! Observe que em nenhum deles existem repetições 
regulares formando um período. Assim, não é possível fazermos a representação deles 
na forma fracionária.
Esses números são denominados decimais infinitos não periódicos e constituem o 
conjunto dos números irracionais.
Outros exemplos
• 0,23145213657...
• 1,36598265892...
• 458,25369248597...
 1.1.5 Conjunto dos números reais (R)
Denominamos número real a todo número racional ou irracional, ou seja, o conjunto 
dos números reais (R) é a união do conjunto dos números racionais (Q) com o con-
junto dos números irracionais (I), isto é: R = Qe b, incluindo a.
Representação: { x  R | a ≤ x B para:
A = [ −5, 8 ) B
153
Figura 17: Intervalos dos conjuntos.
Assim, temos o conjunto A > B = { x  R | 3 B = ] 3 , 8 [ 1 }
d) D = ] –1, 5 ]
2. Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica:
a) 0,7777...
b) 0,232323...
c) 1,666666...
d) 2,131313...
3. Sejam os conjuntos A, B, C e D indicados, a seguir:
A = { x  R | x ≤ 3 3ou x ≥ 5 }
B = { x  R | –4 1 }
d) D = ] –1, 5 ]
2. Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica:
a) 0,7777...
b) 0,232323...
c) 1,666666...
d) 2,131313...
3. Sejam os conjuntos A, B, C e D indicados, a seguir:
A = { x  R | x ≤ x ≤ x 3 3ou x ≥ 5 }x ≥ 5 }x
B = { B = { B x  R | –4 B
b) C > D
c) (D > B) B
b) C > D
c) (D > B)dizer que devemos multiplicar a base por ela mesma conforme a quantidade 
de vezes que o expoente nos indica. Porém, é de suma importância entender que a 
base está subordinada ao expoente.
Voltemos à indagação feita anteriormente:
–32 : nesse caso, o expoente está aplicado somente ao três, e não para o sinal negativo. 
Portanto, temos:
–(3 · 3) = –9
Já para (–3)2, a base da potência é menos três. Dessa forma, tanto o sinal negativo 
quanto o três estão subordinados ao expoente. Temos, então:
(–3) · (–3) = 9
 1.3 Frações
Em muitos cálculos que nos interessam trabalhamos com números decimais exatos ou, 
ainda, as chamadas dízimas periódicas. Estes números podem ser expressos como 
uma fração. Nos exemplos apresentados anteriormente já apareceram algumas frações 
e algumas operações já realizadas com essas frações.
Agora, vamos comentar sobre alguns conceitos envolvendo frações e destacar as 
operações realizadas com os números fracionários.
 RELEMBRANDO 
Uma fração indica a divisão (ou razão) entre dois números quaisquer a e b, com b ≠ 0, e pode 
ser representada por 
b
a , em que a é o numerador e b é o denominador.
 1.3.1 Igualdade de frações
Agora, para que duas frações 
b
a e 
d
c sejam iguais, tem -se que 
b
a = 
d
c ou a · d = b · c 
para quaisquer b ≠ 0 e d ≠ 0. Observe o exemplo a seguir:
 RELEMBRANDO 
Uma fração indica a divisão (ou razão) entre dois números quaisquer a e b, com b ≠ 0, e pode 
ser representada por 
b
a , em que a é o numerador e b é o denominador.
28 UNIUBE
3
2 = 
6
4
2 · 6 = 3 · 4
12 = 12
 1.3.2 Soma e subtração de frações
Ao efetuarmos uma soma ou subtração de frações que possuem denominadores 
distintos, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador, encontrando o mínimo 
múltiplo comum (mmc) desses denominadores. Em seguida, adicionamos ou subtraí-
mos os numeradores, conservando o denominador comum. Veja o exemplo a seguir:
5
2
7
3
10
1
70
2 14 3 10 1 7
70
24 30 7
70
47$ $ $
+ - =
+ -
=
+ -
=
 DICAS 
Não se esqueça! Podemos simplificar o resultado, quando for possível, obtendo uma fração 
equivalente.
 1.3.3 Produto de frações
Se nosso objetivo for multiplicar duas frações 
b
a e 
d
c , com b ≠ 0 e d ≠ 0, procederemos 
da seguinte forma:
Multiplicamos entre si os numeradores e os denominadores, ou seja:
b
a
d
c
b d
a c
$
$
$
=
Veja os exemplos a seguir:
a) 
5
2
7
3
35
6
# =
b) 
y
x
y
x
y
x
y
x
3
2
7 21
2
21
2
3 1 3
1 1
4
2
$ = =
+
+
 DICAS 
Não se esqueça! Podemos simplificar o resultado, quando for possível, obtendo uma fração 
equivalente.
UNIUBE 29
 1.3.4 Divisão de frações
Para dividir uma fração 
b
a por outra fração 
d
c , com b ≠ 0 e d ≠ 0, conservaremos a 
primeira fração e multiplicaremos pelo inverso da segunda fração.
d
c
b
a
b
a
c
d
b c
a d
$
$
$
= =
A seguir, temos alguns exemplos:
 EXEMPLIFICANDO! 
a) 
5
1
3
2
3
2
1
5
3
10
$= =
b) 
5
4
13
1
13
4
5
4
65
$= =
c) 
6
14
3
14
3
6
1
84
3
28
1
$= = =
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Apresentaremos aqui novos exemplos de potenciação com expoente inteiro negativo, pois seu 
entendimento necessita da propriedade da divisão de frações que tratamos há pouco no texto.
Desenvolva a potência 
b
x
4
3
2
3-
e o .
Aplicando a operação indicada na propriedade número 6, teríamos o seguinte:
b
x
b
x4
3
4
3
1
2
3
2
3=
-
e
e
o
o
.
 EXEMPLIFICANDO! 
a) 
5
1
3
2
3
2
1
5
3
10
= =$= =$= == =
b) 
5
4
13
1
13
4
5
4
65
= =$= =$= == =
c) 
6
14
3
14
3
6
1
84
3
28
1
= =$= =$ == == =
 PARADA OBRIGATÓRIA 
Apresentaremos aqui novos exemplos de potenciação com expoente inteiro negativo, pois seu 
entendimento necessita da propriedade da divisão de frações que tratamos há pouco no texto.
30 UNIUBE
Desenvolvendo a potência no denominador e aplicando a propriedade da divisão de 
frações chegamos ao seguinte resultado:
1
b
x
b
x x
b
b
x
x
b
4
3
64
27
1
27
64
4
3
27
64
2
3
6
3 3
6
2
3
3
6
$= =
=
-
-
e
c
o
m
No entanto, podemos adotar uma regra prática quando se tem uma fração elevada a 
um expoente negativo:
Invertemos de posição o numerador e o denominador da potência e trocamos o sinal 
do expoente para positivo. Em seguida, desenvolvemos a potenciação normalmente, 
elevando o numerador e o denominador da fração à potência indicada. Observe:
b
x
x
b
x
b
x
b
4
3
3
4
3
4
27
64
2
3 2 3
3
2 3
3
6
= = =
-
e e
^
^
o o
h
h
Veja outros exemplos:
a) 
y
x
x
y
x
y
4
4 16
2
2 2 2
2
4
= =
-
e eo o
b) 
x
x x
5
2
2
5
8
1253 3 3
= =
-
e eo o
As operações de potenciação com expoente negativo são comuns em diversas situações 
como, por exemplo, nas operações de cálculo de juros compostos. Nunca é demais 
relembrar as propriedades da potenciação e os cuidados que se deve ter para não 
realizar cálculos equivocados nesses casos. Observe os casos a seguir:
1o 
2
3 1-
e o 2o 
2
3 1-
e o
Novamente, vale ressaltar onde e para quem está o expoente.
• No primeiro caso, temos:
O menos um está somente para o três e não para a fração, então devemos proceder 
da seguinte maneira:
Primeiro, devemos inverter o três para tornar o expoente positivo.
UNIUBE 31
2
3
1 1
c m
, como todo número elevado a um é ele mesmo, temos:
2
3
1
. Assim, temos uma divisão de fração. Para resolver, vamos copiar a primeira fração 
vezes o inverso da segunda fração:
3
1 × 
2
1 = 
6
1
• No segundo caso, como o menos um está para toda a fração, basta inverter a fração 
inteira.
3
2
3
21
=e o
Observe os resultados! Veja que são diferentes. Por isso, é muito importante analisar 
com calma antes de resolver qualquer exercício. Um sinal ou a interpretação errônea 
nos leva a outros resultados. Assim, é muito importante estar com os conhecimentos 
bem sedimentados.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 2
1. Calcule as potências:
a) 8–1 f) 11–2
b) (–5)–1 g) 
5
12 2
-
-
e o
c) 
8
1 1-
e o h) 
7
6 3
-
-
e o
d) 4
7 1-
e o i) 
10
3 4-
e o
e) (0,6)–1 j) (2,1)–2
2. Reduza cada item a uma potência de expoente positivo:
a) 22 ÷ 25
b) 
7
5
7
52 4
'
- -
e eo o
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 2
1. Calcule as potências:
a) 8–1 f) 11–2
b) (–5)–1 g) 
2-
e o5e o5
12e o12
-e o-e o
c) 
1-
e o8e o8
1e o1e o h) 
3-
e o7e o7
6e o6-e o-e o
d) 
1-
e o4e o4
7e o7e o i) 
4-
e o10e o10
3e o3e o
e) (0,6)–1 j) (2,1)–2
2. Reduza cada item a uma potência de expoente positivo:
a) 22 ÷ 25
b) 
2 42 4- -2 4
e e7e e7
5e e5 2 4
o o
2 452 45o o5
2 45o o7o o7
5o o5
2 4
o o
2 452 45o o5
2 452 4- -2 4
o o
2 4- -2 452 45- -52 45o o5
2 45- -52 45e eo oe e
2 4
e e
2 4
o o
2 4
e e
2 4
'e e'o o'e e'
- -
e e
- -
o o
- -
e e
- -2 4- -2 4
e e
2 4- -2 4
o o
2 4- -2 4
e e
2 4- -2 4
e eo o
32 UNIUBE
c) 
8
7
8
7 1
'
-
e eo o
d) 
10
1 1 5-
e o= G
3. Determine as seguintes potências:
a) (3x2b)4
b) 
z3
2 3-
e o
c) 
x p2
1
2 5
2 3-
e o= G
d) [3 · (a2m)2]3
 1.4 Expressões numéricas
A resolução da maioria dos problemas de matemática que nos interessam está rela-
cionada à determinação do valor numérico de uma expressão ou, ainda, à resolução 
de uma equação determinando -se o valor de uma variável que torna verdadeira a 
igualdade indicada.
Nesse momento, vamos relembrar algumas regras básicas de prioridade ou de prece-
dências de operações na resolução de expressões numéricas.
Na resolução de expressões numéricas, devemos efetuar as operações na seguinte 
ordem:
1. potenciação e radiciações;
2. multiplicações ou divisões, na ordem em que elas aparecem, da esquerda para a 
direita;
3. adições ou subtrações, na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.
Quando uma expressão apresenta parênteses, colchetes e chaves, resolvemos, em 
primeiro lugar, as operações indicadas entre parênteses. Em seguida, as operações 
entre colchetes e, por último, as que estão indicadas entre chaves.
c) 
1-
e e8e e8
7e e7 o o8o o8
7o o7e eo oe e'e e'o o'e e'e eo o
d) 
1 5-
e o10e o10
1e o1= Ge o
3. Determine as seguintes potências:
a) (3x2x2x b)4
b) 
3-
e oze oz3e o3
2eo2e o
c) 
2 3-
e ox pe ox p2e o2
1e o1
2 5e o2 5x p2 5x pe ox p2 5x p= Ge o
d) [3 · (a2m)2]3
UNIUBE 33
A seguir, você poderá acompanhar a resolução de uma expressão numérica e a des-
crição dos procedimentos utilizados para determinar o valor dessa expressão.
 IMPORTANTE! 
Fique atento à ordem de prioridade das operações e aos cálculos realizados.
Exemplos 15
a) Determine o valor numérico da expressão E indicada a seguir:
E 3 3 4 8
2
1 1 2 8 4 12 9 5
2
3 36 23
1
5 2 2
1
3
$ $ $ $ ' '= - + + + - + -^ eh o6 @) 3
 
Antes de começar a resolver, pense nesses questionamentos:
O que podemos resolver primeiro? Qual é a ordem? O que devemos considerar?
Observe o passo a passo da resolução comentada, para que você possa entender os 
questionamentos feitos anteriormente:
E 9 4 8
2
1 1 2 8 4 12 9 5
2
3 6 23 8$ $ ' '= - + + + - + -^ eh o6 @) 3
• começamos multiplicando o 3 pelo 3, o que gerou um resultado igual a 9. Porém, 
não subtraímos o 4 desse 9, pois o 4 está multiplicando todos os valores dentro das 
chaves;
• o 83
1
 virou raiz cúbica de 8, pois podemos transformar um número elevado a um 
expoente fracionário em um radical, em que o denominador será sempre o índice 
da raiz e o numerador, o expoente do número dentro da raiz. Da mesma forma, o 92
1
 
tornou -se raiz quadrada de 9;
• no caso do 223
, resolvemos primeiro o dois elevado à terceira, que são 8, tendo um 
resultado de 28;
 IMPORTANTE! 
Fique atento à ordem de prioridade das operações e aos cálculos realizados.
Antes de começar a resolver, pense nesses questionamentos:
O que podemos resolver primeiro? Qual é a ordem? O que devemos considerar?
34 UNIUBE
• no parêntese da parte de fora, extraímos a raiz quadrada de 36, que é seis, pois seis 
elevado ao quadrado é igual a 36;
Continuando a resolução...
9 4 5E 2
2
1 1 256 8 4 12 3
2
3 12 4
$ $ ' '= - + + + -
+ -^ eh o6 @) 3
• agora, extraímos a raiz cúbica de 8, que é igual a dois, uma vez que dois elevado 
ao cubo é igual a 8;
• logo após, elevamos o dois à oitava potência, que é o mesmo que multiplicar o dois 
por ele mesmo oito vezes, gerando um resultado igual a duzentos e cinquenta e seis;
• no parêntese dentro das chaves, não podemos somar o oito com o quatro, pois pri-
meiro devemos resolver a divisão para só depois realizar a soma;
• no parêntese de fora tiramos o M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum), que foi igual a dois.
Continuando a resolução...
9 4 5E 2
2
1 1 32 4 12 3
2
11
$ $ '= - + + + -^ eh o6 @) 3
• Dividimos o duzentos cinquenta e seis por oito, obtendo um resultado igual a 32.
• No parêntese de fora, somamos o três com o doze e subtraímos quatro, tendo um 
resultado igual a onze meios (ou onze sobre dois). Temos:
9 4E 2
2
1 1 36 12 3
2
55
$ $ '= - + + -^ h6 @) 3
• Somamos o trinta e dois com o quatro, gerando 36, e multiplicamos o menos cinco 
por onze meios, gerando um resultado de menos cinquenta e cinco sobre dois.
Obtemos, então:
9 4E 2
2
1 36 12 3
2
55
$ $ '= - + + -6 @) 3
• Multiplicamos o número um no interior do colchete pelo trinta e seis e dividimos o 
resultado por doze, gerando um valor igual a 3.
UNIUBE 35
9 4E 2
2
1 3 3
2
55
$ $= - + + -6 @) 3
• Agora, multiplicamos a fração 
2
1 por 3, e vamos obter no interior das chaves dois 
valores inteiros e um fracionário.
• Podemos somar os valores inteiros e obter o seguinte:
9 4 9 4E 2
2
3 3
2
55 5
2
3
2
55
$= - + + - = - + -) )3 3
• Podemos, agora, realizar a soma no interior das chaves, determinando o M.M.C entre 
os denominadores “dois” e “um”. Temos, então:
9 4E
2
10 3
2
55 9 4
2
13
2
55
$= -
+
- = - -) )3 3
• Em seguida, multiplicamos o número 4 pela fração 
2
13 , o que resulta em 
2
52 = 26.
E = 9 – 26 – 
2
55
Finalmente...
Podemos somar os dois números inteiros, 9 e –26, obtendo um resultado igual a 
–17. Em seguida, determinamos o MMC para somarmos o –17 com a fração 
2
55- .
Observe a resolução: E
E
17
2
55
2
34 55
2
89
=- - =
- -
=-
Esse é o resultado final que não pode ser simplificado, pois os números não possuem 
divisores comuns.
 IMPORTANTE! 
Na resolução de uma expressão numérica é muito importante atentar para as prioridades de 
resolução e também não fazer as coisas às pressas ou mesmo querer economizar espaço. 
Não faça nada muito direto, pois isso aumenta a possibilidade de cometer erros.
 IMPORTANTE! 
Na resolução de uma expressão numérica é muito importante atentar para as prioridades de 
resolução e também não fazer as coisas às pressas ou mesmo querer economizar espaço. 
Não faça nada muito direto, pois isso aumenta a possibilidade de cometer erros.
36 UNIUBE
b) Determine o valor da expressão T
u u
u u
3
5 6
7 3 13 5
1
1 2
=
+
-
+
+ - -
-
-^ h para u = 
3
1 :
Primeiro, devemos substituir o valor de “u” na expressão:
T
3
1
3
5 6
3
1
7 3
3
1
13 5
3
1
1
1 2
$
$
=
+
-
+
+ - -
-
-
c
c
m
m; E
Em seguida, podemos realizar os produtos entre a fração 
3
1 e os números 3 e 6. Também 
já é possível realizar as operações de potenciação em que a fração aparece elevada 
a um expoente negativo. Temos, então:
T
3
3
5 2
7 1 13 5 3 2=
+
-
+
+ - -6 @
Agora, podemos realizar a subtração no interior dos colchetes e também a subtração 
entre os números 5 e 2 que há no denominador da expressão:
T
3
3
3
8 13 2
3 1
8 13 42=
+
+ - =
+
+ -6 @
Finalmente, podemos realizar a soma no denominador da fração e, ainda, fazer a sub-
tração entre 13 e 4 no numerador. Temos assim:
T
T
4
8 9 2 9
11
= + = +
=
Você, agora, vai resolver as atividades propostas a seguir, para fixar os conceitos 
estudados.
UNIUBE 37
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 3
1. Realize as operações indicadas a seguir, atentando às prioridades das operações:
a) x
3
5
3
10 2 2
$
-
c m
b) 
4
2
3
5 6
1 + -
-
c) 
3
5
3
2 6
2
3
1
22
$ $+
-
-
c m
2. Determine o valor de y em cada uma das seguintes expressões. Considere o valor de x dado.
a) y
x
x
x
1
3
5 2 1
3
5
2'=- + + - -c cm m para x = 2
b) y
x
x x1
4 3
3 3
5
3 1 2
3
1
6
72' $= +
+
- - - + +c c ^ cm m h m para x = 
2
1
c) y x x
2
1
9
4
3
4 1
2
32
$ '=
-
- - - +c c c ^m m m h; E para x = 
2
3
d) y x x x
2
1 1 2 1
2 2
1
'= - - - + - + + +c cm m; E para x = 1
e) y x x
6
1 2 32 3$= - - -- ^ h; E para x = 
4
1
 1.5 Equações polinomiais
Um polinômio é uma expressão do tipo f(x) = an · xn + an–1 · xn–1 + ... + a2 · x2 + a1 · x + a0, 
onde os termos an, an–1, ... , a0 são constantes reais e an ≠ 0. As constantes an, an–1, ... , a0 
são os denominados coeficientes do polinômio, o termo an · xn é chamado de termo 
principal e a0 é o termo constante.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 3
1. Realize as operações indicadas a seguir, atentando às prioridades das operações:
a) 
3
5 10 2 2
$
-
c mxc mx
3c m3
10c m10 2
c m
2
b) 
4
2
3
5 6
1 + -
3
+ -
3
5
+ -
5
-
c) 
3
5 2 6
2
3
1
22
$ $6$ $6$ $+$ $+$ $
-
-
c m2c m2c m3c m3
$ $c m$ $
2. Determine o valor de y em cada uma das seguintes expressões. Considere o valor de y em cada uma das seguintes expressões. Considere o valor de y x dado.x dado.x
a) y
x
x
x
1
3
5 2 1
3
5
2'=- + +
3
+ +
3
5
+ +
5
- -c+ +c+ + cm m- -m- - para x = 2x = 2x
b) y 1
4 3x4 3x
3 3
5
3 1 2
3
1
6
721 221 2'= +1= +1= +
+4 3+4 3
- - - +x x- +x x1 2- +1 2x x1 2x x- +x x1 2x x- +1 2- +1 2x x1 2x x- +x x1 2x x- +1 2- +1 2x x1 2x x- +x x1 2x x1 221 2- +1 221 2x x1 2x x2x x1 2x x- +x x1 2x x2x x1 2x xx x1 2x x$x x1 2x x- +x x1 2x x$x x1 2x x +c= +c= + c ^ c1 2c1 2c- +c- +1 2- +1 2c1 2- +1 2x x1 2x x- +x x1 2x xcx x1 2x x- +x x1 2x xm m- -m- - h1 2h1 2h- +h- +1 2- +1 2h1 2- +1 2x x1 2x x- +x x1 2x xhx x1 2x x- +x x1 2x x m para x = x = x
2
1
c) y x1 4
3
4 1
2
32
'= - - - +1- +1c c2c c2
1c c1-c c- c- -c- - ^m mxm mx9m m9
4m m4c cm mc c$c c$m m$c c$ m h- +h- +; E para x = 
2
3
d) y x x1
2 2
1y x= -y x + +
2 2
+ +
2 2
+
2 2
+
2 2c cy xc cy x
2c c2
1c c1y x= -y xc cy x= -y x- -c c- -m mxm mx1m m1
2 2m m2 2
+ -m m+ - + +m m+ +
x
+ +
xm mx+ +
x
2 2
+ +
2 2m m2 2
+ +
2 2c cm mc c1 2c c12m m1 2c c1 2- -c c- -m m- -c c- - + -c c+ -m m+ -c c+ -1 2+ -1 2c c1 2+ -1 2m m1 2+ -1 2c c1 2+ -1 2 '+ -'c c'+ -'m m'+ -'c c'+ -';c cm mc c;c cm mc c E2 2E2 2
+ +E+ +
2 2
+ +
2 2E2 2
+ +
2 2
 para x = 1x = 1x
e) y x
6
1 2 32 32 332 3= -y x= -y x $= -$ 2 3- -2 3- ^ h2 3^ h2 3x2 3x^ hx2 3x- -^ h- -2 3- -2 3^ h2 3- -2 3x2 3x- -x2 3x^ hx2 3x- -x2 3x;= -;= - E2 3E2 3E2 3E2 32 3- -2 3E2 3- -2 3 para x = 
4
1
38 UNIUBE
1.5.1 Equações polinomiais do 1o grau
Uma equação com uma incógnita x é denominada equação polinomial do 1o grau, ou 
simplesmente equação do 1o grau, se puder ser reduzida por meio de operações ele-
mentares à forma a · x + b = 0 em que “a” e “b” são números reais e a ≠ 0. Temos que:
• x é a incógnita;
• “a” é denominado coeficiente;
• “b” é denominado termo independente.
Ao resolver uma equação de 1o grau, estamos determinando o valor da variável, que 
no momento estamos chamando de x, que satisfaça à equação dada. Para isso, é 
necessário isolar a incógnita em um dos membros que compõem a equação. Assim, 
o número resultante no outro membro será a solução da equação. Veja a tabela do 
exemplo 16 a seguir.
Exemplos 16
5x + 2 = 12 Equação inicial
5x = 12 – 2 O número 2, que estava somando no 1o membro, 
passa subtraindo para o 2o membro.
5x = 10 Para isolar a variável, o número 5 que estava multiplicando x 
passa dividindo para o 2o membro.
x = 5
10 = 2 Solução
a) x x
2
3 5 4
3
1-
+ = +
Para iniciar a resolução, devemos determinar o mínimo múltiplo comum de toda a ex-
pressão para, em seguida, resolvermos a igualdade:
x x
x x
x x
x
x
6
3 3 30
6
24 2
3 9 30 24 2
21 2 24 3
19 21
21
19
- +
=
+
- + = +
- = -
=
=
^ h
UNIUBE 39
b) 
y y
y
y
2 3
3
2
4
5 2
-
-
=- +
+
Na resolução deste exemplo vamos adotar um procedimento um pouco diferente, mas 
que apresenta resultados equivalentes àquele descrito anteriormente com o mmc. 
Vamos multiplicar toda a expressão por 12, uma vez que os denominadores são todos 
divisores deste valor.
y y
y
y
y y y y
y y
y y
y
y
2
12
3
12 3
2 12
4
12 5 2
6 4 12 24 15 6
2 12 18 15
2 18 15 12
20 3
20
3
$
$
$
-
-
=- +
+
- + =- + +
+ =- +
+ = -
=
=
^ ^h h
 DICAS 
• Se adicionarmos (ou subtrairmos) um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, 
obteremos uma nova igualdade.
• Se multiplicarmos (ou dividirmos) dois membros de uma igualdade por um mesmo número, 
obteremos uma nova igualdade.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 4
Determine a solução de cada uma das seguintes equações do 1o grau:
a) 3 – (3x – 6) = 2x + (4 – x)
b) 2(y – 2) + 5(2 – y) = –3(2y + 2)
c) t t t
2
5
3
1
3 12
3 14-
- = -
+
d) x x x
5
1
12
6 1
3
3 1+
+
+
=
+
e) y y y y
3 12
5 3
4
3
2
$
+
-
+
-
=
^ h
 DICAS 
• Se adicionarmos (ou subtrairmos) um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, 
obteremos uma nova igualdade.
• Se multiplicarmos (ou dividirmos) dois membros de uma igualdade por um mesmo número, 
obteremos uma nova igualdade.
 AGORA É A SUA VEZ 
Atividade 4
Determine a solução de cada uma das seguintes equações do 1o grau:
a) 3 – (3x – 6) = 2x – 6) = 2x x + (4 – x + (4 – x x)
b) 2(y – 2) + 5(2 – y – 2) + 5(2 – y y) = –3(2y + 2)y + 2)y
c) t t
2
5t t5t t
3
1t t1t t
3 12
3 1t3 1t 4t t-t t
- = -
+3 1+3 1
d) x x
5
1x x1x x
12
6 1x x6 1x x
3
3 1x3 1x+x x+x x
+
+6 1+6 1
=
+3 1+3 1
e) y y y
3 12
5 3
4
3y y3y y
2
5 3$5 3
+
3 1
+
3 1
+
y y-y y
=
^ hy^ hy5 3^ h5 3y5 3y^ hy5 3y5 3-5 3^ h5 3-5 3
40 UNIUBE
 1.5.2 Equações polinomiais do 2o grau
Chama -se equação polinomial do 2o grau na variável x, equação do 2o grau ou equação 
quadrática, a qualquer expressão algébrica que possa ser reduzida à forma: ax2 + bx + 
c = 0, com a, b, c  R e a ≠ 0. Os números reais a, b, c são chamados coeficientes da 
equação do 2o grau, sendo que:
“a” é sempre o coeficiente de x2;
“b” é sempre o coeficiente de x;
“c” é chamado de termo independente ou termo constante.
Para encontrar a solução de uma equação do 2o grau, utilizaremos a fórmula de 
Bhaskara, x = 
a
b b ac
2
42!- - onde a expressão b2 – 4ac é chamada de discriminante 
da equação e usualmente é representada pela letra grega D (delta). Assim, temos que 
x = 
a
b
2
! D- e podemos estudar o discriminante D da seguinte maneira:
Se D > 0, a equação apresenta duas soluções (duas raízes) reais e distintas:
x' = 
a
b
2
D- + e x" = 
a
b
2
D- -
Se D = 0, a equação apresenta duas soluções iguais: x' = x" = –
a
b
2
.
Se D