Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS
AULA 1
Prof. Guilherme Lemermeier Rodrigues
 (
01/03/2023, 18:04
) (
UNINTER
)
 (
https://univirtus.uninter.com/ava/web/roa/
) (
10
/16
)
CONVERSA INICIAL
Quando pensamos em limites no contexto da matemática, evidentemente na perspectiva no cálculo diferencial e integral, vamos além dessa ideia simples de que limites têm a ver com alguma espécie de fronteira, divisa entre duas ideias ou conceitos.
Para a disciplina de Cálculo, o estudo de limites está diretamente ligado à ideia de funções, estudo de domínios, análises das lateralidades de um ponto ou região em um gráfico, tendências a valores, continuidades, entre outros pontos desse estuco.
Enfim, seja bem-vindo(a) a uma matemática mais avançada e a um dos capítulos mais belos dessa ciência exata.
TEMA 1 – LIMITES
Neste tema, veremos um conceito importante dentro da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Embora o conceito seja inicialmente bem intuitivo, os cálculos apresentados nesta aula têm forte impacto nos conceitos futuros da disciplina.
1.1 LIMITES LATERAIS
Exemplo 1
Como na definição anteriormente, responda às questões a seguir relacionadas à função esboçada no gráfico da Figura 1.
Figura 1 – Gráfico 1
Calcule:
a. 
b. 
c. 
1.2 CÁLCULO DE LIMITES
Exemplo 2
Calcule usando as propriedades o limite a seguir:
Resolução
Exemplo 3
Calcule o limite a seguir (por substituição direta):
Resolução
1.3 INDETERMINAÇÕES
Exemplo 4
Calcule 
Resolução
 (indeterminação) Saindo da indeterminação,
Simplificando o termo
1.4 CONTINUIDADES
Exemplo 5
Verifique se a função é contínua em .
Resolução
i. f(1) é definido;
ii. existe;
iii. iv. 
TEMA 2 – DERIVADAS – PARTE 1
Exemplo 6
Calcular a derivada da função .
Resolução
Derivando,
Exemplo 7
Calcule a derivada da função .
Resolução
Exemplo 8
Calcule a derivada da função 
Resolução
TEMA 3 – DERIVADAS – PARTE 2
Exemplo 9
Calcule a devida da função usando a regra da cadeia.
Resolução
Aplicando 
Aplicando 
Portanto,
Exemplo 10
Calcule da função , por derivação implícita.
Resolução
Aplicando a derivação em relação à ,
 * Isolando o ,
3.1 APLICAÇÃO DA DERIVADA
Uma das aplicações do cálculo de derivadas em um ponto se refere à interpretação geométrica.
O valor de uma derivada em um ponto da função nos traz o coeficiente angular da reta tangente à função no ponto dado.
Somando-se isso aos conhecimentos de geometria analítica (feixe de retas) e à teoria da perpendicularidade, temos, além da reta tangente no ponto dado, também a reta normal.
Exemplo 11
Calcule a reta tangente e a reta normal à função no ponto .
Resolução
Calcularemos em passos para ficar mais tranquilo o entendimento. 1° passo.
Por se tratar de um ponto precisamos calcular a ordenada .
2° passo. Derivar a função
3° passo.
Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo o valor de na derivada da função.
, esse é o valor do coeficiente angular da reta tangente no ponto (1, 3) 4° passo.
Calcular a reta tangente pelo feixe de retas.
(Reta tangente ao ponto)
TEMA 4 – INTEGRAIS – PARTE 1
4.1 EXEMPLOS DIDÁTICOS DE INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Exemplo 12
Calcule a integral indefinida da f(x) = 2x + 1.
Resolução
Exemplo 13
Calcule a seguinte integral indefinida
Resolução
4.2 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Exemplo 14
Calcule a integral infedinida usando o método da substituição.
Resolução
Tomando, e, portanto, , desta forma 
4.3 INTEGRAÇÃO POR PARTES
A técnica da integração por partes é utilizada quando não conseguimos uma integração direta nem uma integração por substituição.
De forma mais direta, a integração por partes surge quando temos duas funções sem elos comuns dentro de uma integral. Assim, temos a seguinte fórmula para sua aplicação:
Veja aplicação dessa fórmula no exemplo a seguir:
Exemplo 15
Calcule a integral por partes .
Resolução
, assim
, assim
Usando a fórmula de integração por parte:
TEMA 5 – INTEGRAIS – PARTE 2
Exemplo 16
Calcule a área delimitada pelos gráficos e , usando o eixo x como referência.
Resolução
Figura 2 – Gráfico 2
Cálculo dos pontos de intersecções (igualando as funções)
Usando a linha de referência, note que a função que ficar com o corte da linha de referência mais alto em relação ao eixo x, será a função considerada como primeira no cálculo da área.
Figura 3 – Gráfico 3
Cálculo da área:
Exemplo 17
Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo x da função
Resolução
Calculando as raízes, 
Assim temos duas possibilidades de resultado zero,
Figura 4 – Gráfico 4
Em destaque está a área que será girada (revolucionada) em torno do eixo x resultando o sólido de revolução cujo volume calcularemos.
Figura 5 – Gráfico 5
Nesse gráfico, podemos ver que o raio teórico de rotação é do eixo à função f, e os limites de integração são [0, 1].
Sendo assim, usando a fórmula do volume,
Temos,
Essa aula trouxe à tona conceitos importantes e fundamentas da disciplina.
Ter uma boa base e conhecimento sobre os conceitos demonstrados nesta aula farão com que seu desempenho da disciplina de Cálculo Diferencial e integral a Várias Variáveis seja além do satisfatório, pois esta disciplina é um aprofundamento do que foi visto anteriormente.
FINALIZANDO
Nesta aula você teve acesso a um importante tópico de uma matemática avançada. Essa revisão servirá de base e ponto de partida para o aprofundamento da disciplina.
REFERÊNCIAS
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006.
STEWART, J. Cálculo 1. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. v. 1.