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MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS 
 
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SUMÁRIO 
 
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS ......................................................................... 3 
Introdução ................................................................................................................... 3 
Representação de Números ........................................................................................ 3 
Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário ........................................... 4 
Aritmética de Ponto Flutuante ..................................................................................... 7 
Arredondamento .......................................................................................................... 8 
Truncamento ............................................................................................................... 9 
Tipos de Erros ............................................................................................................. 9 
Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante ............................................... 10 
Classificação das Funções Reais .............................................................................. 11 
Fase I: Isolamento das Raízes .................................................................................. 13 
Fase II: Refinamento ................................................................................................. 16 
Critério de Parada ..................................................................................................... 16 
Métodos Iterativos ..................................................................................................... 16 
Convergência ............................................................................................................ 22 
INTERPOLAÇÃO ...................................................................................................... 24 
Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial ................................................... 25 
Método de Lagrange ................................................................................................. 26 
A Tabela de Diferenças Divididas: Método de Newton .............................................. 29 
INTEGRAÇÃO ........................................................................................................... 33 
Regra do Trapézio ..................................................................................................... 34 
Regra de Simpson ..................................................................................................... 37 
Referências ............................................................................................................... 41 
 
 
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NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS 
 
Introdução 
A maioria dos problemas na matemática surge da necessidade de resolver 
problemas da vida real, isto porque tais problemas podem ser descritos através do 
uso de modelos matemáticos. Assim: 
 
PROBLEMA ⇒ MODELO MATEMÁTICO ⇒ SOLUÇÃO 
 
Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se 
esperaria obter, ainda que todas as fases de resolução tenham sido realizadas 
corretamente. 
Os resultados obtidos dependem também: 
• da precisão dos dados de entrada; 
• da forma como estes dados são representados no computador; 
• das operações numéricas efetuadas. 
 
Representação de Números 
 
Exemplo 1. 
Calcule a área de uma circunferência de raio 100m. Para π igual a: 
a) 3,14 área = 31400m2 
b) 3,1416 área = 31416m2 
c) 3,141592654 área = 31415,92654m2 
d) 
- Como justificar as diferenças entre os resultados? 
- É possível obter “exatamente” esta área? 
 
Exemplo 2. 
Efetuar os somatórios seguintes em uma calculadora e em um computador. 
∑ 𝑋1
30000
𝐼=1 , para xi = 0,5 e para xi = 0,11. 
 
Resultados obtidos: 
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i) para xi = 0,5: 
na calculadora: S = 15000 
no computador: S = 15000 
 
i) para xi = 0,11: 
na calculadora: S = 3300 
no computador: S = 3299,99691 (operando em base 2) 
 
Como justificar a diferença entre os resultados obtidos pela calculadora e pelo 
computador para xi = 0,11? 
Os erros ocorridos nos dois problemas dependem da representação dos 
números na máquina utilizada. A representação de um número depende da base 
escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados 
na sua representação. 
O número π, por exemplo, não pode ser representado através de um número 
finito de dígitos decimais. No exemplo 1, foi escrito como 3,14; 3,1416 e 3,141592654, 
respectivamente nos casos (a), (b) e (c). Em cada um deles foi obtido um resultado 
diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproximação escolhida para 
π. Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será obtida exatamente, uma 
vez que π é um número irracional. 
 
Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário 
 
1) Represente os números que estão na base 2 na base 10: 
a) (11101)2 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29 
b) (10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 
c) (10001)2 = 1x24 + 0x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 
d) (0,1101)2 = 1x2-1 + 1x2-2 + 0x2-3+ 1x2-4 = 1/2 + 1/4 + 0 + 1/16 = 0,5 + 
0,25 + 0,0625 = 0,8125 
e) (10,001)2 = 1x21 + 0x20 + 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 2 + 0 + 0 + 0 + 1/8 = 2 
+ 0,125 = 2,125 2) Represente os números que estão na base 10 na base 2. 
a) 20 
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b) 33 
 
c) 0,8125 
0,8125 x 2 = 1,625 
0,625 x 2 = 1,25 (0,8125)10 = (0,1101)2 
0,25 x 2 = 0,5 0,5 x 2 = 1,0 
 
 
d) 5,125 
Calculando a parte inteira, temos: 
 
 
Calculando a parte decimal, temos: 
 
0,125 x 2 = 0,250 
0,250 x 2 = 0,5 (0,125)10 = (0,001)2 
0,5 x 2 = 1,0 
 
Escrevendo as duas partes juntas, temos: 
 
(5,125)10 = (101,001)2 
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e) 0,11 = (0,000111000010100011110101110000101000111101...)2 
0,11 x 2 = 0,22 
0,22 x 2 = 0,44 
0,44 x 2 = 0,88 
0,88 x 2 = 1,76 
0,76 x 2 = 1,52 
0,52 x 2 = 1,04 
0,04 x 2 = 0,08 
0,08 x 2 = 0,16 
0,16 x 2 = 0,32 
0,32 x 2 = 0,64 
0,64 x 2 = 1,28 
0,28 x 2 = 0,56 
0,56 x 2 = 1,12 
0,12 x 2 = 0,24 
0,24 x 2 = 0,48 
0,48 x 2 = 0,96 
0,96 x 2 = 1,92 
0,92 x 2 = 1,84 
0,84 x 2 = 1,68 
0,68 x 2 = 1,36 
0,36 x 2 = 0,72 
0,72 x 2 = 1,44 
0,44 x 2 = 0,88 
0,88 x 2 = 1,76 
0,76 x 2 = 1,52 
0,52 x 2 = 1,04 
0,04 x 2 = 0,08 
0,08 x 2 = 0,16 
0,16 x 2 = 0,32 período – 01110000101000111101 
 
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Podemos ver que o número (0,11)10 não tem representação binária finita. Um 
computador que operar no sistema binário irá armazenar uma aproximação para 
(0,11)10, uma vez que possui uma quantidade fixa de posições para guardar os dígitos 
da mantissa de um número, e esta aproximação será usada para realizar os cálculos. 
Não se pode, portanto,esperar um resultado exato. 
Podemos agora entender melhor por que o resultado da operação: 
 
 ∑ 0,11 30000𝐼=1 
 
Não é obtido exatamente num computador quando opera em base 2. 
 
Aritmética de Ponto Flutuante 
 
Um computador ou calculadora representa um número real no sistema 
denominado aritmética de ponto flutuante. Neste sistema, o número x será 
representado na forma: 
 
 O modo usual de representar um sistema F de ponto flutuante é: 
𝐹 = 𝐹(𝛽, 1,𝑚,𝑚), onde: 
• β é a base em que a máquina opera; 
• t é o número de dígitos da mantissa; 0≤ 𝑑,≤ 𝛽 − 1; 𝑗 = 1,2, … , 𝑡; 𝑑1 ≠ 0; 
• e é o expoente no intervalo [m, M]; 
• 𝛽, 𝑡,𝑚, 𝑛 são números inteiros. 
 
Exemplo: 
Sistema de ponto flutuante da: 
a) HP25: F(10, 9, -98,100) 
b) Texas SR50: F(10,10,-98,100) 
c) Texas SR52: F(10,12,-98,100) 
d) HP41C: F(10,10,-98,100) 
Considere, por exemplo, uma máquina que opera no sistema: F(10, 3, -5, 5). 
Os números serão representados da seguinte forma neste sistema: 
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EXEMPLOS: 
Considerando a máquina com sistema acima: 
1) Qual o menor número representado nesta máquina? 
Menor número = 0,100 x 10-5 
2) Qual o maior número representado nesta máquina? 
Maior número = 0,999 x 105 
3) Caso tenha um número x = 0,245 x 10-7, como posso representá-lo nesta 
máquina? 
Neste caso teremos x < menor número do sistema, logo este número x não 
poderá se representado no sistema F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a 
máquina acusa a ocorrência de underflow. 
4) Caso tenha um número x = 0,875 x 109, como posso representá-lo nesta 
máquina? 
Neste caso teremos x > maior número do sistema, logo este número x não 
poderá se representado no sistema F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a 
máquina acusa a ocorrência de overflow. 
 
Arredondamento 
Essa “aproximação” de um número real para um número de ponto flutuante 
pode ser feita de diversas maneiras. 
 
Tipos de arredondamentos 
Os mais conhecidos são: 
• arredondamento para cima ou por excesso; 
• arredondamento para baixo ou por falta; 
• arredondamento para o número de máquina mais próximo ou simétrico. 
 
Exemplo 1: Seja a representação numa máquina com 4 dígitos na mantissa. 
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x = 0,333 333 y = 0,348 436 
z = 0,666 666 
 
Temos então: 
 
Exemplo 2: Se w = 0,12345, então: 
 
Durante nossos trabalhos utilizaremos o arredondamento simétrico (ou para o 
número de máquina mais próximo). 
Assim, em linhas gerais, para arredondar um número para o número de 
máquina mais próximo, na base 10, devemos apenas observar o primeiro dígito a ser 
descartado. Se este dígito é menor que 5, deixamos os dígitos inalterados; e se é 
maior ou igual a 5, devemos somar 1 ao último dígito que restou. 
 
Truncamento 
Simplesmente é desprezada uma parte escolhida da mantissa e o cálculo é 
feito com o número que ficou. Exemplo: π = 3,14159265... truncamento de π com 4 
casas decimais: π = 3,1415. 
 
Tipos de Erros 
• Erros inerentes – ocorrem geralmente na fase de criação ou 
simplificação de um modelo matemático, ou ainda em medidas em geral. 
• Erros de discretização, ou de aproximação, ou de truncamento – são os 
erros cometidos quando se substitui qualquer processo infinito por um processo finito 
ou discreto. 
• Erros de arredondamento – surgem quando trabalhamos com máquinas 
digitais para representar os números reais. 
A diferença entre o valor aproximado e o valor exato de um número pode ser 
medida pelo erro absoluto ou pelo erro relativo. 
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Sejam: 
EA – erro absoluto 
ER – erro relativo 
VE ou x - valor exato 
VA ou �̅�- valor aproximado 
 
Erro Absoluto: 𝐸𝐴 = |𝑥 − �̅�| e Erro Relativo: 𝐸𝑟 =
𝐸𝑎
�̅�
=
|𝑥−�̅�|
�̅�
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
1) Digamos que x = 0,003 e que �̅� = 0,002, então: 
 
, analisando a resposta podemos considerar um erro pequeno. 
 
, analisando o erro relativo podemos ver que este erro é grande em 
relação aos valores utilizados para cálculo. 
 
2) Digamos que x = 10100 e x = 10000. Então: 
 
𝐸𝐴 = |𝑥 − �̅�| = |10100 − 10000| = 100 
 
𝐸𝑟 =
𝐸𝑎
�̅�
= |
𝑥−�̅�
�̅�
| = 
100
10000
= 0,01 → 1% , neste caso teremos um erro 
relativamente pequeno. 
 
Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante 
 
Exemplo 1) Dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102, obtenha x + y. 
 
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A adição aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos 
decimais dos dois números. Para isto, a mantissa do número de menor expoente deve 
ser deslocada para direita. Este deslocamento deve ser um número de casas decimais 
igual à diferença entre os dois expoentes. 
 
Alinhando os pontos decimais dos valores acima, temos: 
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104 
Então: x + y = (0,937 +0,001272) x 104 = 0,938272 x 104 
 
Este é o resultado exato desta operação. Suponhamos que esta operação seja 
efetuada num sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos na mantissa e na 
base 10. 
Teríamos: 
i) no arredondamento: x + y = 0,9383 x 104 
ii) no truncamento: x + y = 0,9382 x 104 
 
Exemplo 2) No mesmo sistema anterior, obtenha xy. 
 
xy = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102) = (0,937 x 0,1272) x 106 = 0,1191864 x 106 
 
Então, xy = 0,1192 x 106 no arredondamento e xy = 0,1191 x 106 no 
truncamento. 
 
 
ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS 
 
Um problema particularmente importante na Matemática é o de se encontrar 
um valor para a variável livre x, dado um valor de y, tal que f(x) = y. 
 
Classificação das Funções Reais 
 
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Seja f(x) = y. Aos valores reais que tornam y = 0 denominaremos de zero da 
função f(x) ou raízes da equação f(x) = 0. Isto é, um número real ξ (ksi) é um zero da 
função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se, e somente se, f(ξ) = 0. 
Estudaremos nesta unidade métodos numéricos para a resolução de equações 
não-lineares e, embora os valores de x que anulem f(x) possam ser reais ou 
complexos, estaremos interessados somente nos zeros reais de f(x). 
Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos 
onde a curva intercepta o eixo 𝑜𝑥⃗⃗⃗⃗ 
 
 
O procedimento básico dos métodos numéricos para resolver equações 
polinomiais consiste essencialmente em obter uma aproximação inicial para a raiz e 
em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo (ou seja 
repetitivo). Por isso, os métodos constam de duas fases: 
 
FASE I: LOCALIZAÇÃO ou ISOLAMENTO das raízes, que consiste em obter 
um intervalo que contém a raiz. 
 
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FASE II: REFINAMENTO, que consiste, escolhidas aproximações iniciais no 
intervalo encontrado na fase I, em melhorá-las sucessivamente até se obter uma 
aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada. 
 
Fase I: Isolamento das Raízes 
 
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante 
ressaltar que o sucesso da fase II depende fortemente da precisão desta análise. 
A técnica de localização a ser usada baseia-se, em primeiro lugar, no seguinte 
fato a respeito de funções polinomiais: 
Se uma função polinomial real f(x) é contínua num intervalo [a, b] e assume um 
valor positivo quando x = a, e um valor negativo quando x = b,o produto de f(a).f(b) 
será um valor negativo (f(a).f(b) < 0) e isso nos leva a concluir que a curva intercepta 
o eixo das abscissas neste intervalo. Então existirá pelo menos um número ξ entre a 
e b tal que f(ξ) = 0. 
Sob essas hipóteses, se sua derivada f’(x) existir e preservar sinal em (a, b), 
então este intervalo contém um único zero de f(x). 
 
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é 
tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal 
da derivada no intervalo em que f(x) mudou de sinal. 
 
Exemplo 1. 
f(x) = x3 – 9x + 3 
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Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, 
temos: 
 
Podemos concluir que: 
 
Como f(x) é um polinômio de grau 3, podemos afirmar que cada intervalo 
contém um único zero de f(x); assim, localizamos todas as raízes de f(x) = 0. 
Exemplo 2. 
 
Analisando a tabela, vemos que f(x) admite pelo menos um zero no intervalo 
[1, 2]. 
Analisando o sinal de f’(x): 
 
 
Assim podemos concluir que f(x) admite um único zero em todo seu domínio 
de definição e este zero está no intervalo [1, 2]. 
A análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x) = 0 é fundamental para se 
obter boas aproximações para a raiz. 
Apresentaremos um processo para se localizar a raiz de uma equação, 
chamado de APROXIMAÇÃO GRÁFICA. 
Aproximação Gráfica: a partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente 
g(x) = h(x), esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo plano cartesiano e 
localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam. Neste caso teremos f(ξ) = 
0 ⇔ g(ξ) = h(ξ). 
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Exemplo 1. Seja f(x)= 𝑥3 − 9𝑥 + 3 
 
Da equação , 𝑥3 − 9𝑥 + 3 = 0, podemos obter a equação equivalente= 9𝑥 + 3. 
Neste caso, temos g(x)= 𝑥3 e h(x)=9x-3. Após isso, esboçamos os gráficos das duas 
funções no mesmo eixo cartesiano. 
 
 
Assim, podemos localizar as três raízes da equação nos intervalos abaixo: 
ξ1 ∈ [-4, -3] ξ2 ∈ [0, 1] e ξ3 ∈ [2, 3] 
 
Exemplo 2. Seja f(x) = √𝑥 − 5𝑒−𝑥 
A partir de f(x) podemos obter g(x)=√𝑥 e h(x)=5𝑒−𝑥 
 
 
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Analisando a tabela podemos observar que g(x) cresce, mas até x = 1 ainda é 
menor que h(x), que decresce. Para x = 2, g(x) > h(x), pois g(2) = e h(2) = 0,6767. 
Podemos concluir com isso que as curvas se interceptam no intervalo [1, 2]. 
 
Fase II: Refinamento 
 
Estudaremos métodos numéricos de refinamento de raiz. Para isso usaremos 
métodos iterativos. 
 
Critério de Parada 
 
Admitindo que nossa busca é por uma raiz aproximada com precisão ε 
(epsilon), adotaremos critério de parada para nossos cálculos: 
i) │�̅� - ξ │< ε ou 
ii) │f(�̅�)│< ε 
Como efetuarmos o teste (i) se não conhecemos ξ? 
Uma forma de verificarmos isso é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada 
iteração. Ao se conseguir um intervalo [a, b] tal que: ξ ∈ [𝑎, 𝑏] e b-a < ε. 
 
Métodos Iterativos 
 
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1 – MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0. É certo que existe 
pelo menos uma raiz ξ ∈ [a,b] que satisfaz a equação f(x) = 0. 
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se seu ponto médio x1, de modo que 
se tem: [a,b] = [a,x1] U [x1,b]. 
Se f(x1) = 0, então ξ = x1. Caso contrário, a raiz estará num dos subintervalos 
onde a função tem sinais opostos nos extremos. 
Isto é, ξ ∈ [a,x1], se f(a).f(x1) < 0 ou ξ ∈ [x1,b], se f(x1).f(b) < 0. 
O novo intervalo que contém ξ é dividido ao meio e obtém-se x2. O processo 
iterativo se repete até que se tenha obtido um valor aproximado para ξ, que nos 
satisfaça (critério de parada). 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Calcule a raiz real da equação x2 + ln x=0, com tolerância máxima de ε 
< 10-2 . 
Solução: 
 
 
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. 
 
 
Obs.: Na segunda iteração o sinal de f(x1) muda de sinal em relação a f(x2), isto 
nos mostra que f(x1).f(x2)<0, logo a raiz está contida no intervalo [0,625;0,75] e não no 
intervalo [0,5; 0,625]. Com esse tipo de análise, decidimos a partir de qual intervalo 
continuaremos a fazer nossos cálculos. 
 
2) Calcule a raiz real da equação xlog(x) –1 que tem zero em [2,3], para um 
erro menor do que 0,001 ( ). 
Não há a necessidade de localizarmos a raiz da equação xlog(x) –1= 0 pelo 
método da aproximação gráfica, pois a própria atividade nos dá o intervalo onde se 
localiza a raiz. Com isso, vamos direto para o método da bissecção para refinar o valor 
da raiz para o erro estipulado. 
Para 
Adotaremos para o Intervalo (I) = [0,5;1,0], e 
 temos (I) = [2;3], e 
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Portanto . 
Apresentamos abaixo a aproximação gráfica, caso precisássemos localizar a 
raiz. 
 
, com 
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2 – MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (M.I.L.) 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, 
f(x) = 0, é possível transformar tal equação em uma equação equivalente x = F(x) e, a 
partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xi} de aproximações para 
ξ (zero de f(x)) pela relação xi+1 = F(xi), uma vez que F(x) é tal que F(ξ) = ξ se, e 
somente se, f(ξ) = 0. 
Iniciamos o Método de Iteração Linear reescrevendo a função f(x) como, f(x) = 
F(x) – x. Essa forma de escrever f(x) é bastante útil, pois no ponto x que corresponde 
à raiz de f(x), isto é, onde f(x) = 0 teremos que: f(x) = F(x) – x = 0, o que equivale a 
determinar x tal que F(x) = x. 
Portanto procuraremos o valor de x que ao ser substituído em F(x) retorna o 
próprio valor de x. Dizemos que este valor é o ponto fixo de F(x). 
Grá fi co de 
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Para encontrarmos esse valor de ξ, vamos utilizar um processo iterativo, onde 
começamos a calcular o valor de F(x) com um valor inicial de x0, e recalculamos 
repetidamente o valor de F(x) sempre usando o resultado de uma dada iteração. 
Ou seja: xi+1 = F(xi), onde i é a ordem da iteração (i = 0, 1, 2, 3, 4, ...). A função 
F(x) é chamada de função de iteração. A seguir ilustramos o processo. 
 
Obs.: Dada uma equação do tipo f(x) = 0, há para tal equação mais de uma 
função de iteração F(x), no entanto, nem todas convergem para ξ. Omitiremos aqui o 
estudo dessa convergência, mas aconselhamos que você pesquise sobre o assunto. 
 
Exemplo: 
Seja f(x) = x2 – x – 2. 
Então: f(x) = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x2 – 2 = x 
Fazendo F(x) = x2 – 2, temos uma função tal que F(x) = x. 
Então, podemos admitir F(x) = x2 – 2 como uma função de iteração. 
 
Portanto: xi+1 = F(xi) = xi2 – 2 
X0= 0 ⇒ x1 = 02 – 2 = -2 
x1 = -2 ⇒ x2 = (-2)2 – 2 = 2 
x2 = 2 ⇒ x3 = (2)2 – 2 = 2. ⇒ Encontramos x = 2 tal que F(2) = 2 
 
Naturalmente, para essa função não é necessário lançar mão de qualquer 
método do cálculo numérico. Bastaria resolver a equação x2 – x – 2 = 0 usando 
Báskara. 
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Convergência 
Observeo comportamento das iterações representadas a seguir quando 
usamos o método de Iteração Linear. 
 
Repita o que fizemos no exemplo inicial e você vai perceber que nem todas 
permitem construir uma sequência que convirja para a raiz. Não discutiremos aqui 
sobre convergência, no entanto, listamos a seguir, o teorema que trata do assunto: 
Sendo ξ uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em ξ e f(x) uma 
função de iteração para f(x) = 0. Se 
i. g(x) e g’(x) são contínuas em I 
ii. |g’(x)| ≤ M < 1, x ∈ I e 
iii. x1 ∈ I 
Então a sequência {xk}gerada pelo processo iterativo xi+1 = F(xi) convergirá para 
ξ. 
3 – MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (M.N.R.) 
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é 
possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente a 
uma curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas. 
Admitamos um xi próximo de ξ e tracemos uma reta tangente à curva pelo ponto 
(xi, f(xi)). Consideremos xi+1 o ponto onde essa tangente corta o eixo Ox e seja α o 
ângulo de inclinação dessa tangente. 
 
Então teremos 𝑡𝑔𝛼 =
𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖−𝑥𝑖+1
 
 
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Mas tg α é a derivada de f no ponto xi. Ou seja, tg α = f´(xi). 
 
Então 
 
 
Portanto, 
 
Fazendo 𝐹(𝑥𝑖) = 𝑥 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖)
 , temos xi+1 = F(xi), como a função de iteração que 
gera uma sequência {xi} que converge para ξ rapidamente. 
 
Obs.: O método de Newton Raphson apresenta, em relação ao Método de 
Iteração Linear, a vantagem de gerar uma sequência com maior possibilidade de 
convergência e mais rapidamente. 
 
Exemplo: 
Suponha que desejamos encontrar uma aproximação da raiz quadrada de 3. 
Isto é, queremos x = . 
Mas: x = ⇒ x2 = 3 ⇒ x2 – 3 = 0 
Admitindo f(x) = x2 – 3, queremos calcular x tal que f(x) = 0. 
Mas f´(x) = 2x. 
Então a função de iteração por Newton Raphson é 
 
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Ou seja, 
 
Encontraremos x tão próximo de ξ quanto f(x) estiver próximo de zero. Observe 
que na tabela encontramos x = √3 = 1,732142 com uma aproximação ε = 0,00032 < 
𝟏𝟎−𝟒. 
 
INTERPOLAÇÃO 
 
O problema da interpolação consiste basicamente em encontrar uma função 
que seja a expressão lógica de determinados pontos. Conhecendo-se alguns pontos 
(x1, y1), (x2, y2).....(xn, yn) e desconhecendo a função analítica a qual pertençam, a 
Interpolação possibilita que calculemos o valor numérico intermediário da função num 
ponto não tabelado, com certo grau de erro. 
 
Embora não conheçamos a função que contém esses pontos, podemos 
substituí-la por outra função que é uma aproximação deduzida a partir dos dados 
tabelados. 
Diante da possibilidade de termos uma função cuja forma analítica é muito 
complicada, os métodos de interpolação ainda permitem que procuremos uma outra 
função que seja uma aproximação da função dada, cujo manuseio seja bem mais 
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simples. A função mais usual é a função polinomial por ser de mais fácil operação com 
derivação e integração. 
Observe pelo gráfico que para àqueles pontos da tabela que pertencem à 
função f, teremos f(x) = g(x), onde g(x) é a função substituta. Esses pontos são 
conhecidos como pontos de amarração. 
Para (n+1) pontos, existe um e somente um polinômio de grau não superior a 
n. 
 
2 pontos (polinômio de 1º grau)3 pontos (polinômio de 2º grau) 4 pontos 
(polinômio de 3º grau) 
 
Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial 
 
Se uma função f(x) é contínua num determinado intervalo, então esta função 
poderá ser substituída no interior deste intervalo por um polinômio de grau não 
superior a “n”, conforme a seguinte expressão: 
𝑃(𝑥) = ∑𝑎0 + 𝑎1
𝑛
𝑖=0
𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 = ∑𝑎𝑖𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=0
 
 
Dados n+1 pontos, se desejamos determinar a função polinomial de grau n, 
podemos construir um sistema de n equações, substituindo cada um dos pontos em 
P(x)= 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎4𝑥
4 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
 
Isso significa que: dados dois pontos (x0, y0) e (x1, y1), podemos obter a função 
polinomial de 1º grau, definida por 𝑃(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 através de um sistema de duas 
equações a duas incógnitas; que dados três pontos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), o 
polinômio interpolador será a função quadrática (função polinomial do 2º grau) 
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. 
Nesses dois casos específicos, tanto na interpolação linear, quanto na 
quadrática, estas funções podem ser obtidas ao resolvermos, respectivamente, os 
sistemas de equações: 
a) Na interpolação linear 
 onde a1 e a0 são suas incógnitas. 
 
 
b) Na quadrática 
 cujas incógnitas são a2, a1 e a0. 
Embora possamos resolver um sistema por escalonamento, sobretudo os de 
1º e 2º graus, que não apresentam dificuldades, no cálculo numérico encontramos 
métodos, como o de Newton e o de Lagrange, que nos permitem encontrar um 
polinômio interpolador de grau n de maneira menos trabalhosa que resolver o sistema 
pelos processos que aprendemos no Ensino Médio. 
 
Método de Lagrange 
 
O método de Lagrange admite para os n+1 pontos, n polinômios pi(x) que 
passem, cada um deles, pelo ponto de abscissa xi e possuam para “zeros” os n -1 
outros xj onde j ≠ i. 
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Admitir-se-á que o polinômio interpolador Pn(x) seja a combinação linear destes 
polinômios. Observemos que para cada ponto Pi de coordenadas (xi,yi) tem-se yi = 
Pn(xi) = pi(xi) já que pj(xi) = 0 para j ≠ i. Ou seja, a imagem de xi para o polinômio Pn(x) 
é a imagem de xi obtida pela função pi(x) já que para todas as outras a imagem é zero. 
Assim, seja a função polinomial Pn(x) a função substituta de f(x): 
 
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O polinômio interpolador será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Tabela de Diferenças Divididas: Método de Newton 
 
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Seja f(x) em sua forma tabelada, os valores x0, x1, x2, ..., xn da variável 
independente {f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn)}, chamar-se-ão Diferença Dividida as 
expressões: 
 
 
Resumindo teremos como a interpolação entre interva- 
los não equidistantes. 
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Portanto, chamando o polinômio que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn de Pn(x), 
este será obtido por: 
 
 
 
Nos dois métodos apresentados, que usam para aproximação uma função 
polinomial, o erro associado será igual a . 
 
Exemplo: 
Determine o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,2), (1,11), (3,71) 
e (5,227). 
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Aplicação/Exemplo: 
 
Utilizando os valores de seno, dados pela tabela abaixo é possível determinar 
a função quadrática que se aproxima de , trabalhando com três casas 
decimais. 
Podemos usar qualquer um dos métodos para construir a função polinomial P2(x) = a2x2 +a1x +a0: escalonamento, Lagrange ou Newton. Experimente fazer por cada 
um deles como exercício. 
 
A função quadrática obtida será 
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A seguir o gráfico mostra quão próximos são os gráficos das funções 
 e no intervalo [0, π/4]. Podemos 
usar essa função polinomial para determinar o valor aproximado que qualquer 
x compreendido entre 0 e π/4 produzirá na função . 
 
 
 
 
INTEGRAÇÃO 
 
Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) é 
conhecida, a integral definida dessa função nesse intervalo é dada por: 
 
 
 
Para calcular a integral definida pelo teorema fundamental do cálculo é 
necessário conhecermos sua integral indefinida, mas existem funções para as quais 
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não existe um método conhecido para determinar sua primitiva. No entanto, se f é um 
função contínua no intervalo [a,b], a integral definida existe e será um número único. 
Usaremos métodos do cálculo numérico para obter um valor aproximado desse 
número. 
Vale lembrar que isso implica em determinar uma aproximação da área 
compreendida entre os eixo Ox, as retas x = a e x = b e a curva definida por f(x). 
 
Dois métodos se destacam entre as possibilidades de obter uma boa 
aproximação dessa integral: o método do Trapézio e o de Simpson. 
 
Regra do Trapézio 
 
Para aproximar a área da região compreendida como a integral definida, 
usaremos a área de um trapézio. Isto é, a área da região compreendida entre os eixo 
Ox, as retas x = a e x = b e a curva definida por f(x), é substituída pela área do trapézio 
definido pelo eixo Ox, as retas x = a e x = b e o segmento que liga os pontos (a,f(a)) 
e (b,f(b)). 
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Se considerarmos, no entanto, o intervalo [a,b] dividido em n subintervalos de 
amplitude , isso nos dá n +1 pontos tais que: x0 = a, x1 = a + Δx, x2 = a + 2Δx, 
x3 = a + 3Δx, ... xn-1 = a + (n-1)Δx e xn = b. 
 
Então: 
 
 
Onde ∫ 𝑓(𝑥)
𝑥𝑖+1
𝑥𝑖
 é a área da região limitada pelo eixo Ox, pelas retas x = xi e x 
= xi+1 e o segmento definido pelos pontos Pi e Pi+1. 
 
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Como a área do trapézio pode ser obtida pela expressão , 
cada uma das aproximações pode ser expressa por: 
 
Logo: 
 
Ou ainda: 
 
Pode-se perceber intuitivamente que quanto maior é o valor de n mais exata 
será a aproximação. Considerando-se apenas o erro intrínseco do processo, prova-
se que , a ≤ ε ≤ b. 
Exemplo: Calcule pela regra dos trapézios, dividindo o intervalo em 6 
subintervalos, e depois, analiticamente, e comparar os resultados de: 
𝐼 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
3,6
3,0
 
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a) Pela Regra dos Trapézios: 
 
I=
ℎ
2
(𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + ⋯+ 2𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛) onde ℎ =
𝑎−𝑏
𝑛
=
3,6−3,0
6
= 0,1 
 
 
Mas I=
ℎ
2
( 𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 2𝑦4 + 2𝑦5 + 𝑦6) , 
então: 
 
 
𝐼 =
0,1
2
 (0,33333 + 2.0,32258 + 2.0,31250 + 2.0,30303
+ 2.0,29411 + 2.0,28571 + 0,2777) 
 
Logo: 𝐼 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
3,6
3,0
= 0,182348 
 
b) Pelo cálculo da integral: 
c) 
𝐼 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
3,6
3,0
= 𝐼𝑛(3,6) − 𝐼𝑛(3,0) = 0,1823215567 
 
 
 
Regra de Simpson 
 
Uma melhor aproximação para a integral definida é obtida pela Regra de 
Simpson ou Regra da Parábola. Enquanto na Regra do Trapézio os pontos são 
ligados por segmentos de reta, nessa nova regra os pontos são ligados por segmentos 
de parábolas. Isto é, dados os pontos P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2), a área definida pela 
integral ∫ 𝑓(𝑥)
𝑃2
𝑃0
 será aproximada para a área da região compreendida pelo eixo Ox, 
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pelas retas x = x0 e x = x2 e pelo segmento da parábola que passa pelos pontos P0, 
P1 e P2. 
 
Sejam P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2) três pontos não-colineares que possuam suas 
abscissas tais que x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h. Se y = Ax2 + Bx + C é a equação da 
parábola que contém esses três pontos, então: 
 
Portanto, se f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], podemos 
considerar uma partição de 2n subintervalos de amplitude , cada um deles, 
para obtermos n segmentos de parábolas 
 
 
A soma das áreas sob as parábolas nos intervalos [x0,x2] , [x2,x4], ..., e [x2n-2,x2n] será 
a aproximação da integral definida no intervalo [a,b] pela Regra de Simpson. 
Esta soma pode ser expressa por: 
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Então, 
 
Portanto: 
 
Exemplo: Calculemos agora pela regra de Simpson, dividindo o intervalo em 6 
subintervalos a mesma integral definida do exemplo que usamos anteriormente: 
 
 
Inicialmente calculamos ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
= 
3,6−3,0
6
= 0,01 
 
Obtemos, portanto, os 2n + 1 pontos x0, x1, x2, x3..., x2n-1 e x2n, cujas respectivas 
imagens estão calculadas na tabela abaixo. 
 
 
 
Calcularemos 
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Então: 
 
 
Portanto, pela Regra de Simpson encontramos I = 0,182320233333... 
Observemos que encontramos uma aproximação melhor do que a que 
encontramos com a Regra do Trapézio (I = 0,182348), já que o cálculo da integral pelo 
cálculo de sua primitiva dá 
 
 
 
 
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Referências 
 
BARROSO, L.C.; Araújo, M.M. Araújo; CAMPOS, F. Ferreira; CARVALHO, M.L. Bunte 
de; Maia, M.L. 
Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1993. 
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Atlas, 1994. 
HUMES; MELO; YOSHIDA; MARTINS. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: 
McGraw Hill, 1984. LINHARES, O.D. Cálculo Numérico B. Apostila publicada pelo 
Departamento de Ciências de Computação e Estatística do ICMSC, 1969. 
RUGGIERO, M. A. Gomes & LÓPES, V.L. Rocha. Cálculo Numérico. Aspectos 
Teóricos e computacionais. 
2 ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 
ZAMBONI, L. & outros. Cálculo Numérico para Universitários. São Paulo: Páginas e 
Letras, 2002.