Apostila - Poliedros

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POLIEDROS
Poliedros (do latim poli — muitos — e edro — face)
são figuras tridimensionais formadas pela união de polígonos regulares, na
qual os ângulos poliédricos são todos congruentes. A união desses polígonos
forma elementos que compõem o poliedro, são eles: vértices, arestas e faces.
No entanto, nem toda figura tridimensional é um poliedro, um exemplo disso
são as figuras que possuem faces curvas chamadas de corpos redondos.
Existe uma fórmula matemática que relaciona os elementos de um poliedro
chamada relação de Euler. Além disso, os poliedros dividem-se em dois
grupos: os chamados poliedros convexos e os não convexos. Alguns
poliedros merecem uma atenção especial, são os chamados poliedros de
Platão: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Diferenças entre figuras planas e espaciais
A diferença mais importante entre figuras planas e espaciais é o número de
dimensões necessárias para definir essas figuras. Uma figura é chamada
de plana quando são necessárias apenas duas dimensões para defini-la.
Como essa figura pode ser definida em um plano – que é o espaço onde
figuras bidimensionais são definidas –, ela passa a ser chamada de figura
plana.
Já as figuras espaciais precisam ser definidas em espaços tridimensionais,
pois elas são figuras que possuem profundidade, além de comprimento e
largura. Os cubos, prismas, cilindros, cones e esferas, por exemplo, são
figuras que só podem ser definidas em espaços tridimensionais.
A imagem a seguir mostra alguns exemplos de figuras planas, ou seja,
figuras bidimensionais.
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POLIEDROS
A imagem a seguir mostra alguns exemplos de figuras planas, ou seja, figuras 
bidimensionais.
A imagem abaixo mostra exemplos de figuras espaciais, isto é, tridimensionais:
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https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferencas-entre-figuras-planas-espaciais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferencas-entre-figuras-planas-espaciais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferencas-entre-figuras-planas-espaciais.htm
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POLIEDROS
Poliedros convexos
Um poliedro será convexo quando for formado por polígonos convexos, de
forma que as condições a seguir sejam aceitas:
1.Dois dos polígonos nunca são coplanares, ou seja, não pertencem ao
mesmo plano.
2.Cada lado de um desses polígonos pertence a apenas dois polígonos.
3.O plano que contém qualquer um desses polígonos deixa os demais
polígonos no mesmo semiespaço.
Poliedros côncavos (não convexos)
Um poliedro é não convexo, ou côncavo, quando tomamos dois pontos em
faces distintas e a reta r que contém esses pontos não fica toda contida no
poliedro.
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POLIEDROS
Os poliedros convexos são formados pelos seguintes elementos:
•Faces: as faces são formadas por polígonos convexos;
•Arestas: as arestas são os lados dos polígonos das faces;
•Vértices: os vértices são os mesmos vértices dos polígonos das faces;
•Superfícies: as superfícies do poliedro são a reunião das faces.
Elementos de um poliedro convexo
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POLIEDROS
Propriedades de um poliedro convexo
• Propriedade 1
A soma das arestas de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas do
poliedro.
Exemplo
Um poliedro tem 6 faces quadradas. Vamos determinar a quantidade de arestas.
De acordo com a propriedade, basta multiplicar o número de arestas de uma face pela
quantidade de faces, e isso é igual ao dobro do número de arestas. Dessa forma:
• Propriedade 2
A soma dos vértices de todas as faces é igual à soma das arestas de todas as faces,
que é igual ao dobro do número de arestas.
Exemplo
Um poliedro com 5 ângulos tetraédricos e 4 ângulos hexaédricos. Vamos determinar a
quantidade de vértices.
De maneira análoga ao exemplo anterior, a segunda propriedade diz que a soma das arestas
de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas. O número de arestas é dado pelo
produto de 5 por 4 e 4 por 6, pois são 5 ângulos tetraédricos e 4 hexaédricos. Assim:
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POLIEDROS
Poliedros Regulares
Dizemos que um poliedro é regular quando suas faces são polígonos
regulares iguais entre si e com os ângulos poliédricos todos iguais.
Veja alguns exemplos:
Perceba que todas as suas faces
são polígonos regulares. Suas faces laterais
são retangulares e congruentes.
Novamente, as faces são formadas por polígonos
regulares e as faces laterais também são
congruentes.
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POLIEDROS
Ângulos poliédricos
Ângulos poliédricos são os formados entre dois planos de um diedro, triedro ou 
poliedro.
Sejam n semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num 
mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de 
cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura 
formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
Dois ângulos poliédricos convexos, de mesmo número de arestas, são 
congruentes quando os ângulos de suas faces forem ordenadamente 
congruentes, assim como os diedros.
Citaremos duas propriedades importantes dos ângulos poliédricos:
P1) A medida do ângulo de qualquer face é menor do que a soma das medidas 
dos ângulos das outras.
P2) A soma das medidas dos ângulos de todas as faces é menor que 360º.
Questões ângulos poliédricos
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POLIEDROS
TEOREMA DE EULER
A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números
de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Essa relação é dada
pela seguinte expressão:
V – A + F = 2
Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número
de faces do poliedro.
Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns
poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada.
Dessa forma, dizemos que todo poliedro convexo é Euleriano (isso
significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro
Euleriano é convexo.
Antes de prosseguir com exemplos e demais explicações, é bom
relembrar o que é um poliedro convexo, pois a relação acima vale para
todos eles.
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POLIEDROS
Poliedros de Platão
É chamado de poliedro de Platão todo poliedro que satisfaz as condições seguintes:
1.É valida a relação de Euler
2.Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas
3.Todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas
É provado que existem somente cinco poliedros regulares e convexos, ou poliedros de
Platão, são eles:
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POLIEDROS
A) TETRAEDRO REGULAR
O tetraedro regular é uma pirâmide regular que apresenta as quatro 
faces congruentes e as seis arestas também congruentes.
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POLIEDROS
B) HEXAEDRO REGULAR
Segundo o filósofo grego Platão, o hexaedro é o representante do
elemento terra, figura formada por 12 arestas, 8 vértices e 6 faces no
formato quadrangular. O hexaedro também pode ser denominado de
cubo.
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POLIEDROS
C) OCTAEDRO REGULAR
De acordo com o filósofo grego Platão, o octaedro é o representante do
elemento ar. Esse sólido platônico é formado por 12 arestas, 6 vértices e 8
faces que possuem o formato de um triângulo equilátero.
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POLIEDROS
D) DODECAEDRO REGULAR
O mais harmonioso e soberano dos sólidos Platônicos é o dodecaedro que, 
segundo Platão, representa o universo ou o cosmos. É constituído por doze 
pentágonos e não se divide em outros poliedros regulares. Possui 30 
arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais.
L
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POLIEDROS
ICOSAEDRO REGULAR
Identificado pelo filósofo grego Platão como representante do elemento
água, o icosaedro é um sólido formado por 30 arestas, 12 vértices e 20
faces no formato de um triângulo equilátero. Os poliedros platônicos
possuem uma propriedade que os distingue dos demais, somente eles
podem ser inscritos na esfera.
L
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POLIEDROS
RESUMO DOS SÓLIDOS DE PLATÃO
Obs: Esse resumo foi elaborado pelo professor Gustavo Reis.
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POLIEDROS
PLANIFICAÇÃO DOS SÓLIDOS DE PLATÃO
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POLIEDROS
1) (Enem) Uma joia foi lapidada na forma de um poliedro convexo de 32
faces, sendo que 20 dessas são hexaedros e as restantes são
pentagonais.Essa joia será um presente para uma senhora que está
fazendo aniversário, completando uma idade cujo número é a quantidade
de vértices desse poliedro. Essa senhora está completando:
a) 90 anos
b) 72 anos
c) 60 anos
d) 56 anos
e) 52 anos
Da propriedade 1 de poliedros convexos sabemos que:
Agora, como conhecemos o número de arestas e o número de
faces, podemos utilizar a relação de Euler.
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POLIEDROS
2) (PUC-SP) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces
triangulares em que o número de vértices é três quintos do número de
faces?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Das propriedades de um poliedro convexo e do enunciado do exercício 
temos que:
Substituindo esses valores na relação de Euler, teremos o seguinte:
Organizando a equação anterior e resolvendo a equação em F, segue 
que:
Substituindo o valor da quantidade de faces encontrado na equação das
arestas, teremos:
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POLIEDROS
3) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e
cinco faces quadrangulares. Calcule o número de arestas e de vértices
do poliedro.
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POLIEDROS
1. Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número
de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?
2. Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em
6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro.
3. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule
o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o
quádruplo do número de faces triangulares e o número, de faces
quadrangulares é igual a 5.
4. Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um:
a) tetraedro;
b) hexaedro;
c) octaedro;
d) dodecaedro;
e) icosaedro.
5. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces 
quadrangulares e 8 faces triangulares.
6. (FAASP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede em 6 unidades, 
o número de vértices. Calcule o número de faces?
7. Determine o o número de faces de um poliedro convexo e fechado, que 
possui 15 arestas e 8 vértices.
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POLIEDROS
8. Determine o número de vértices do dodecaedro convexo que possui 20 
restas.
9. Determine qual é o poliedro convexo e fechado que possui 6 vértices e 12 
arestas.
10. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Um dodecaedro possui 2 faces;
b) Existe poliedro com três faces;
c) Todo poliedro tem 8 vértices;
d) Um hexaedro tem 6 faces;
e) Uma aresta é a intersecção de duas faces.
11. Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) Um poliedro de Platão tem todas as faces do mesmo tipo;
b) Um poliedro regular tem todas as arestas congruentes;
c) Se um poliedro tem todas as arestas congruentes, então ele é um poliedro 
regular;
d) As faces de um poliedro regular são polígonos regulares;
e) O cubo é um poliedro de Platão.
12. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces 
hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces quadrangulares.
13. Determine o número de faces de um poliedro convexo que tem 2 ângulos 
triédricos, 6 ângulos tetraédricos e 2 ângulos pentaédricos.
14. Qual é a área da superfície de:
a) Um tetraedro regular de aresta 6m;
b) Um icosaedro regular de aresta 5 cm.
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1. 6
2. 8
3. 9
4. A) 720°; b) 2160°; c) 1440°; d) 6480°; e) 3600°
5. 8
6. 8
7. 9
8. 10
9. octaedro
10. D
11. B
12. 48
13. 12
14. A) 72 2 m2 ; b) 125 3 cm2
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