Você não forneceu as alternativas para que eu possa escolher a correta. Além disso, para aplicar o método de Newton, é necessário um valor inicial \(x_0\). Como a raiz positiva de \(f(x) = x^2 - 10\) é \(\sqrt{10} \approx 3,1623\), podemos escolher um intervalo \([a,b]\) com \(b - a = 1\) que contenha essa raiz, por exemplo, \([3,4]\). Vamos usar \(x_0 = 3\) como aproximação inicial. O método de Newton é dado por: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] onde \(f'(x) = 2x\). Calculando as aproximações: - \(x_0 = 3\) - \(x_1 = 3 - \frac{3^2 - 10}{2 \times 3} = 3 - \frac{9 - 10}{6} = 3 + \frac{1}{6} = 3,1667\) - \(x_2 = 3,1667 - \frac{(3,1667)^2 - 10}{2 \times 3,1667} \approx 3,1667 - \frac{10,0278 - 10}{6,3334} = 3,1667 - \frac{0,0278}{6,3334} \approx 3,1667 - 0,0044 = 3,1623\) - \(x_3 = 3,1623 - \frac{(3,1623)^2 - 10}{2 \times 3,1623} \approx 3,1623 - \frac{10,000006 - 10}{6,3246} = 3,1623 - \frac{0,000006}{6,3246} \approx 3,1623 - 0,000001 = 3,1623\) - \(x_4\) será praticamente igual a \(x_3\), ou seja, \(3,1623\). Portanto, a quinta aproximação \(x_4 \approx 3,1623\). Se você fornecer as alternativas, posso indicar qual corresponde a esse valor.