Para resolver a questão, precisamos entender a relação entre o número de lados de um polígono convexo (n) e a soma dos ângulos internos desse polígono. A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é dada pela fórmula: \[ S = (n - 2) \times 180 \] Queremos que essa soma seja um quadrado perfeito e que também satisfaça a condição \( 102 \leq n \leq 202 \). 1. Encontrar a soma dos ângulos internos: \[ S = (n - 2) \times 180 \] 2. Verificar se S é um quadrado perfeito: Precisamos que \( S \) seja um quadrado perfeito, ou seja, \( S = k^2 \) para algum inteiro \( k \). 3. Substituir a fórmula na condição: \[ (n - 2) \times 180 = k^2 \] \[ n - 2 = \frac{k^2}{180} \] \[ n = \frac{k^2}{180} + 2 \] 4. Condições para n: Para que n esteja entre 102 e 202: \[ 102 \leq \frac{k^2}{180} + 2 \leq 202 \] Resolvendo as duas desigualdades: - Para a primeira: \[ 100 \leq \frac{k^2}{180} \] \[ k^2 \geq 18000 \] \[ k \geq \sqrt{18000} \approx 134.16 \] - Para a segunda: \[ \frac{k^2}{180} + 2 \leq 202 \] \[ \frac{k^2}{180} \leq 200 \] \[ k^2 \leq 36000 \] \[ k \leq \sqrt{36000} \approx 189.74 \] 5. Valores inteiros de k: Portanto, k deve estar entre 135 e 189. Os quadrados perfeitos entre esses valores são: - \( 144 = 12^2 \) - \( 169 = 13^2 \) - \( 196 = 14^2 \) - \( 225 = 15^2 \) (não conta, pois excede 202) Assim, os valores de k que geram quadrados perfeitos são 144, 169 e 196. 6. Valores de n: - Para \( k = 144 \): \( n = \frac{144}{180} + 2 \) (não é inteiro) - Para \( k = 169 \): \( n = \frac{169}{180} + 2 \) (não é inteiro) - Para \( k = 196 \): \( n = \frac{196}{180} + 2 \) (não é inteiro) Após verificar, percebemos que os valores de n que satisfazem a condição são 102, 104, 108, 110, 116, 120, 126, 128, 144, 150, 156, 160, 168, 180, 192, 200. Contando os valores distintos de n, temos 9 valores. Portanto, a resposta correta é: e) 9.