Para encontrar o valor de \( f'(1) \) da função \( f(x) = x^2 \cdot \log_2(x) \), precisamos aplicar a regra do produto, já que a função é um produto de duas funções: \( x^2 \) e \( \log_2(x) \). A derivada do produto \( u \cdot v \) é dada por \( u'v + uv' \). 1. Identificando as funções: - \( u = x^2 \) e \( v = \log_2(x) \) 2. Calculando as derivadas: - \( u' = 2x \) - Para \( v = \log_2(x) \), usamos a mudança de base: \( \log_2(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2)} \) - Portanto, \( v' = \frac{1}{x \ln(2)} \) 3. Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (2x) \log_2(x) + (x^2) \left(\frac{1}{x \ln(2)}\right) \] Simplificando: \[ f'(x) = 2x \log_2(x) + \frac{x^2}{x \ln(2)} = 2x \log_2(x) + \frac{x}{\ln(2)} \] 4. Calculando \( f'(1) \): - \( \log_2(1) = 0 \) - Portanto: \[ f'(1) = 2(1)(0) + \frac{1}{\ln(2)} = 0 + \frac{1}{\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)} \] Agora, analisando as alternativas: A) In(2) B) In(2) C) e ln(2) D) ln(2) E) e A resposta correta é \( \frac{1}{\ln(2)} \), que não está diretamente listada, mas se considerarmos que "In" pode ser uma forma de representar \( \ln \), as opções A e B podem ser consideradas como \( \frac{1}{\ln(2)} \). Portanto, a resposta correta é: A) In(2) (considerando que "In" representa \( \frac{1}{\ln(2)} \)).