Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dt} = y + 1 \) usando o método de Euler, com a condição inicial \( y(0) = 1 \), intervalo \([0, 0.5]\) e passo temporal \( \Delta t = 0.1 \), siga os passos abaixo: 1. Defina os parâmetros: - \( y_0 = 1 \) (condição inicial) - \( t_0 = 0 \) - \( \Delta t = 0.1 \) - Número de passos: \( n = \frac{0.5 - 0}{0.1} = 5 \) 2. Aplique o método de Euler: A fórmula do método de Euler é: \[ y_{n+1} = y_n + f(t_n, y_n) \cdot \Delta t \] onde \( f(t, y) = y + 1 \). 3. Cálculos passo a passo: - Para \( n = 0 \): \[ t_0 = 0, \quad y_0 = 1 \] \[ y_1 = y_0 + (y_0 + 1) \cdot 0.1 = 1 + (1 + 1) \cdot 0.1 = 1 + 0.2 = 1.2 \] - Para \( n = 1 \): \[ t_1 = 0.1, \quad y_1 = 1.2 \] \[ y_2 = y_1 + (y_1 + 1) \cdot 0.1 = 1.2 + (1.2 + 1) \cdot 0.1 = 1.2 + 0.22 = 1.42 \] - Para \( n = 2 \): \[ t_2 = 0.2, \quad y_2 = 1.42 \] \[ y_3 = y_2 + (y_2 + 1) \cdot 0.1 = 1.42 + (1.42 + 1) \cdot 0.1 = 1.42 + 0.242 = 1.662 \] - Para \( n = 3 \): \[ t_3 = 0.3, \quad y_3 = 1.662 \] \[ y_4 = y_3 + (y_3 + 1) \cdot 0.1 = 1.662 + (1.662 + 1) \cdot 0.1 = 1.662 + 0.2662 = 1.9282 \] - Para \( n = 4 \): \[ t_4 = 0.4, \quad y_4 = 1.9282 \] \[ y_5 = y_4 + (y_4 + 1) \cdot 0.1 = 1.9282 + (1.9282 + 1) \cdot 0.1 = 1.9282 + 0.29282 = 2.22102 \] 4. Resultados: - \( y_1 = 1.2000 \) - \( y_2 = 1.4200 \) - \( y_3 = 1.6620 \) - \( y_4 = 1.9282 \) - \( y_5 = 2.2210 \) Portanto, a solução aproximada da equação diferencial usando o método de Euler, com quatro casas decimais, é: - \( y(0.1) \approx 1.2000 \) - \( y(0.2) \approx 1.4200 \) - \( y(0.3) \approx 1.6620 \) - \( y(0.4) \approx 1.9282 \) - \( y(0.5) \approx 2.2210 \)