Para encontrar a transformada de Laplace de \( f(t) \) e \( 3t f(t) \), vamos usar algumas propriedades da transformada de Laplace. 1. Transformada de Laplace de \( f(t) \): Dado que \( L\{f(t)\} = \frac{1}{s^2 + 4} \), podemos identificar que \( f(t) \) é uma função cuja transformada é essa. 2. Transformada de Laplace de \( 3f(t) \): Usando a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, temos: \[ L\{3f(t)\} = 3L\{f(t)\} = 3 \cdot \frac{1}{s^2 + 4} = \frac{3}{s^2 + 4} \] 3. Transformada de Laplace de \( 3t f(t) \): Usamos a propriedade que relaciona a multiplicação por \( t \) com a derivada da transformada de Laplace: \[ L\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}L\{f(t)\} \] Portanto: \[ L\{3t f(t)\} = 3L\{t f(t)\} = 3 \left(-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^2 + 4}\right)\right) \] Calculando a derivada: \[ -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^2 + 4}\right) = -\left(-\frac{2s}{(s^2 + 4)^2}\right) = \frac{2s}{(s^2 + 4)^2} \] Assim, temos: \[ L\{3t f(t)\} = 3 \cdot \frac{2s}{(s^2 + 4)^2} = \frac{6s}{(s^2 + 4)^2} \] Resumindo: - \( L\{3f(t)\} = \frac{3}{s^2 + 4} \) - \( L\{3t f(t)\} = \frac{6s}{(s^2 + 4)^2} \)