Obtenha a solução geral da equação diferencial dy = 2yx: A = 2ex² + k, k real B = x² + k, k real C y= (x²), k real D = k real E = (x²) + k, k real

Para resolver a equação diferencial \( dy = 2yx \), podemos reescrevê-la na forma separável: \[ \frac{dy}{y} = 2x \, dx \] Agora, integramos ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx \] Isso resulta em: \[ \ln |y| = x^2 + C \] onde \( C \) é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados, obtemos: \[ |y| = e^{x^2 + C} = e^{x^2} \cdot e^C \] Podemos substituir \( e^C \) por uma nova constante \( k \) (onde \( k > 0 \)), então: \[ y = k e^{x^2} \] Como \( k \) pode ser positivo ou negativo, podemos escrever a solução geral como: \[ y = Ce^{x^2} \] onde \( C \) é uma constante real. Agora, analisando as alternativas: A) \( 2e^{x^2} + k, k \) real - Não é a forma correta. B) \( x^2 + k, k \) real - Não é a forma correta. C) \( y = (x^2), k \) real - Não é a forma correta. D) \( k \) real - Não é a forma correta. E) \( (x^2) + k, k \) real - Não é a forma correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à solução geral correta da equação diferencial dada. Portanto, parece que as opções não estão corretas. Você pode precisar revisar as alternativas ou a formulação da questão.