Para resolver a equação diferencial dada, vamos primeiro reescrevê-la de forma mais clara: \[ 2s' + 4s = 8e^{2x} \] Dividindo toda a equação por 2, obtemos: \[ s' + 2s = 4e^{2x} \] Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante \( \mu(x) \) é dado por: \[ \mu(x) = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \] Multiplicando a equação original pelo fator integrante: \[ e^{2x}s' + 2e^{2x}s = 4e^{4x} \] Agora, a equação à esquerda pode ser escrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{2x}s) = 4e^{4x} \] Integrando ambos os lados: \[ e^{2x}s = \int 4e^{4x} \, dx = e^{4x} + C \] Portanto, temos: \[ s = e^{2x} + Ce^{-2x} \] Agora, aplicamos a condição inicial \( s(0) = 2 \): \[ 2 = e^{0} + Ce^{0} \] \[ 2 = 1 + C \] \[ C = 1 \] Assim, a solução particular é: \[ s(x) = e^{2x} + e^{-2x} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( s(x) = e^{2x} - 2e^{-2x} \) B) \( s(x) = e^{2x} + 2e^{-2x} \) C) \( s(x) = e^{2x} + e^{-2x} \) D) \( s(x) = e^{2x} - e^{-x} \) E) \( s(x) = e^{x} + 2e^{-x} \) A alternativa correta é a C) \( s(x) = e^{2x} + e^{-2x} \).