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Matemática

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Questão 8 Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superfície. A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superfície. Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY. Esse método permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa.Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por δ(x, y) = 2x²y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa: A) 144 g. B) 198 g. C) 184 g. D) 167 g. E) 123 g.
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Quetiline Rodrigues

mês passado

Respostas

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mês passado

Para calcular a massa da chapa com densidade variável, precisamos realizar a integral dupla da função densidade \(\delta(x, y) = 2x²y\) sobre a região delimitada pelo retângulo no plano XY, que vai de \(x = 0\) a \(x = 3\) e de \(y = 0\) a \(y = 4\). A massa \(M\) é dada pela integral dupla: \[ M = \int_0^3 \int_0^4 \delta(x, y) \, dy \, dx \] Substituindo a função densidade: \[ M = \int_0^3 \int_0^4 2x²y \, dy \, dx \] Primeiro, calculamos a integral em relação a \(y\): \[ \int_0^4 2x²y \, dy = 2x² \left[ \frac{y²}{2} \right]_0^4 = 2x² \cdot \frac{16}{2} = 16x² \] Agora, substituímos isso na integral em relação a \(x\): \[ M = \int_0^3 16x² \, dx = 16 \left[ \frac{x³}{3} \right]_0^3 = 16 \cdot \frac{27}{3} = 16 \cdot 9 = 144 \, g \] Portanto, o valor correto da massa da chapa é: A) 144 g.

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