Para calcular a massa da chapa com densidade variável dada pela função \( \rho(x, y) = 2xy \), precisamos realizar a integral dupla sobre a área delimitada pelo retângulo com vértices nos pontos (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4). A massa \( M \) é dada por: \[ M = \iint_R \rho(x, y) \, dA \] onde \( R \) é a região do retângulo. Neste caso, a integral dupla se torna: \[ M = \int_0^3 \int_0^4 2xy \, dy \, dx \] Vamos calcular essa integral passo a passo. 1. Integral interna (em relação a \( y \)): \[ \int_0^4 2xy \, dy = 2x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 2x \left[ \frac{16}{2} - 0 \right] = 2x \cdot 8 = 16x \] 2. Integral externa (em relação a \( x \)): \[ M = \int_0^3 16x \, dx = 16 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = 16 \left[ \frac{9}{2} - 0 \right] = 16 \cdot \frac{9}{2} = 72 \] Portanto, a massa total da chapa é \( 72 \, \text{g} \).