A matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.
Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 2, tais que A . B = I, em que I é a matriz identidade. A matriz X tal qual A . X . A = C é igual a:
a) B . C . B
b) (A2) -1 . C
c) C . (A-1)2
d) A . C . B

Question

A matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.
Sej...

Ed · Answer

Para resolver a questão, vamos analisar a equação dada: $ A \cdot X \cdot A = C $.

Sabemos que $ A \cdot B = I $, onde $ I $ é a matriz identidade. Isso implica que $ B $ é a matriz inversa de $ A $, ou seja, $ B = A^{-1} $.

Agora, vamos manipular a equação $ A \cdot X \cdot A = C $ para encontrar $ X $:

1. Multiplicamos ambos os lados da equação pela matriz inversa de $ A $ à esquerda e à direita:
   $$
   A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot A) \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot C \cdot A^{-1}
   $$
2. Isso simplifica para:
   $$
   X = A^{-1} \cdot C \cdot A^{-1}
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) $ B \cdot C \cdot B $ - Isso é $ A^{-1} \cdot C \cdot A^{-1} $, que é igual a $ X $.

b) $ (A^2)^{-1} \cdot C $ - Não é equivalente a $ X $.

c) $ C \cdot (A^{-1})^2 $ - Isso não é equivalente a $ X $.

d) $ A \cdot C \cdot B $ - Isso não é equivalente a $ X $.

Portanto, a alternativa correta é:
**a) B . C . B**.

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