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Análise Matemática

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Considere o trecho de texto a seguir: “As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n, (a0,a1,⋯∈R são escalares) que são chamadas séries de potências.” Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯.
II. ( ) Podemos escrever ex como ex=∑∞0xnn! para x∈R.
III. ( ) Podemos escrever sin(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈R.
A F – F – F
B F – V – V
C V – V – F
D V – F – V
E V – V – V
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há 8 meses

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ANALISE MATEMATICA

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há 8 meses

Vamos analisar cada uma das afirmativas: I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0, isto é, f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x²+⋯+Cnxn+⋯. É verdadeira (V). A série de Maclaurin é uma forma específica da série de Taylor em que o ponto de expansão é zero (x0 = 0). II. ( ) Podemos escrever e^x como e^x = ∑∞0 (x^n/n!) para x∈R. É verdadeira (V). A série de potências que representa a função exponencial é exatamente essa, onde a soma é feita para n variando de 0 ao infinito. III. ( ) Podemos escrever sin(x) como sin(x) = ∑∞0 (−1)^n (x^(2n+1)/(2n+1)!) para x∈R. É falsa (F). A expressão correta para a série de Taylor de sin(x) é sin(x) = ∑∞0 (−1)^n (x^(2n+1)/(2n+1)!), mas a forma apresentada na afirmativa não está correta, pois não inclui a divisão por (2n+1)!. Portanto, a sequência correta é: V - V - F. A alternativa que apresenta essa sequência é a C) V – V – F.

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O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n é que o conjunto de valores de x para os quais ela converge é um intervalo de centro x0. Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a R ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R). Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯
B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯
C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯
D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯
E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯

O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente.
Considere o conjunto A={1,2,3,4}. De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
A R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
B R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
C R={(2,1),(3,1)}.
D R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
E R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.

Considere a seguinte citação: “Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn) quando, para todo número real ε>0, dado arbitrariamente, pode-se obter n0 tal que todos os termos xn com índice n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn ou xn→a. Esta última expressão lê-se ‘xn tende para a’ ou ‘converge para a’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente.”
Dada a sequência (12n)n∈N. Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
A 1212
B ∞
C −∞
D 1
E 0

Considere o seguinte trecho de texto a seguir: “Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→R, definida num intervalo compacto, é derivável num ponto a∈[c,d], isto significam, no caso de a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto a e elas são iguais. No caso de a ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto a, aquela derivada lateral que faz sentido.”
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta:
A As derivadas laterais f′+(x0) e f′−(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no ponto x0.
B Toda função derivável em um ponto x0 é contínua no ponto x0.
C Toda função contínua em um ponto x0 é derivável no ponto x0.
D Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada.
E Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções f e g é igual ao produto das derivadas.

Leia o seguinte fragmento de texto: “Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais a e b tais que a≤(xn)≤b para todo n∈N.”
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
A A sequência (sin(n)n) é divergente.
B limsin(n)n=0.
C ∣∣sin(n)n∣∣≤12, para todo n∈N.
D limsin(n)n=1.
E A sequência (sin(n)n) é limitada.

Leia o excerto de texto a seguir. “Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções.”
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
A 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
D 6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
E 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1

Leia o fragmento de texto a seguir. “(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x)) e, então, expressar em palavras como: A derivada de (f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro.”
Considere as funções e f(x)=ex, g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2). Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
C h′(x)=2x⋅e(x2+2)

Considere as funções e f(x)=ex, g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2). Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
C h′(x)=2x⋅e(x2+2)
D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1

Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
I. ( ) A sequência de termos (rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈R
II. ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r.
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1.
IV. ( ) ∑∞n=0(12)n=2.
A V-V-V-F
B V-F-V-F
C F-V-V-F
D F-V-V-V

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