Para calcular a área do triângulo formado pelos pontos representados pelos números complexos \( z \) e \( w \) e pela origem \( O \), podemos usar a fórmula da área de um triângulo com vértices em coordenadas cartesianas. Os números complexos dados são: - \( z = 2(\cos 60^\circ + i \sen 60^\circ) \) - \( w = 2(\cos 30^\circ + i \sen 30^\circ) \) Calculando as coordenadas: 1. Para \( z \): - \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) e \( \sen 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - Portanto, \( z = 2\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3} \) - As coordenadas de \( z \) são \( (1, \sqrt{3}) \). 2. Para \( w \): - \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sen 30^\circ = \frac{1}{2} \) - Portanto, \( w = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i \) - As coordenadas de \( w \) são \( (\sqrt{3}, 1) \). Agora, temos os vértices do triângulo: - \( O(0, 0) \) - \( A(1, \sqrt{3}) \) - \( B(\sqrt{3}, 1) \) A fórmula da área \( A \) de um triângulo com vértices \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \) é dada por: \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os valores: \[ A = \frac{1}{2} \left| 0(\sqrt{3} - 1) + 1(1 - 0) + \sqrt{3}(0 - \sqrt{3}) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + 1 - 3 \right| = \frac{1}{2} \left| -2 \right| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] Portanto, a área do triângulo é \( 1,0 \) u.a. A alternativa correta é: a) 1,0 u.a.