Para resolver essa questão, precisamos analisar a expressão \( (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^n \) e determinar quando ela resulta em um número real. Podemos reescrever a expressão usando a forma polar dos números complexos. A forma polar de \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) é: 1. O módulo é \( |z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \). 2. O argumento \( \theta \) é dado por \( \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \). Assim, podemos escrever: \[ \sqrt{2} + \sqrt{2}i = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Usando a fórmula de De Moivre, temos: \[ (\sqrt{2} + \sqrt{2}i)^n = 2^n \left( \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) \right) \] Para que essa expressão seja um número real, a parte imaginária deve ser zero, ou seja, \( \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) = 0 \). Isso ocorre quando \( \frac{n\pi}{4} = k\pi \), onde \( k \) é um inteiro. Simplificando, temos: \[ \frac{n}{4} = k \quad \Rightarrow \quad n = 4k \] Portanto, \( n \) deve ser um múltiplo de 4. Assim, a alternativa correta é: b) n for um múltiplo de 4.